传染病模型

1s
P1: s0>1/σ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/σ i(t)单调降至0
传染病蔓延 传染病不蔓延
1/σ~ 阈值
模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平
(日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
di dt
i(1
i)
i
i(0) i0
~ 日接触率 1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的有
效接触人数，称为接触数。
模型3
di/dt
di i(1 i) i /
dt
i
>1
i0
>1
1-1/
di i[i (1 1 )]
dt i
1
i0 di/dt < 0
0
1-1/ 1 i
传染病模型
2。考虑接触率、日治愈率随时间变化时如何？
模型5
传染病有免疫性——病人治愈后 即移出感染系统；传染病流行期 间，人口出生率为常数。不考虑 死亡、人口迁移。
传染病模型
假设 1）传染病流行期间，人口出生率为常数 k
2）传染病流行期间，病人、健康人和移出
si
消去dt
/
di
ds
1
s
Fra Baidu bibliotek
1
i
i
s s0
0
相轨线
i(0) i0 , s(0) s0 相轨线 i(s) 的定义域
1s
i(s)
(s0
i
i0 )
s
ln
s0
1
D {(s,i) s 0, i 0, s i 1}
在D内作相轨线 i(s)
的图形，进行分析
D 0
s
1
模型4 相轨线 i(s)及其分析
1/2
1
1 i0
1et
i0
0
tm
t=tm, di/dt 最大
t
tm
1
ln
1 i
0
1
tm~传染病高潮到来时刻
(日接触率) tm
模型3
传染病无免疫性——病人治愈成为
健康人，健康人可再次被感染
SIS 模型
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模 N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
di i
dt i(0) i0
i(t) i0et
ti ?
若有效接触的是病人，则 不能使病人数增加
必须区分已感染者(病人) 和未感染者(健康人)
模型2
假设
建模
区分已感染者(病人，Infective)和易感染 者(健康人，Susceptible)
1）总人数N不变，病人和健康 人
的 比例分别为 i(t), s(t)
的估计
提高 r0 s0 i0 r0 1
s0
i0
s
1
ln s s
0
忽略i0
0
群体免疫
ln s0 ln s
s0 s
模型4
被传染人数的估计
记被传染人数比例 x s0 s
1s
s i s ln 0
0
0
s0
i0 0, s0 1
x<<s0
x(1
1
s0
x
2s02
)0
SIR模型
x 1 ln(1 x ) 0
传染病模型
20世纪初，霍乱、天花经常在世界上的 某些地区流行，虽然现在这些病在世界上 已基本灭绝，但其它的烈性传染病还不时 在一些不发达的贫穷国家爆发流行，而象 爱滋病、SARS等更是经常在世界上引起恐 慌。所以，建立传染病的数学模型来描述 传染病的传播过程，分析受感染人数的变 化规律，预报传染病高峰的到来等等，一 直是各国有关专家和官员关注的问题。
SI 模型
2）每个病人每天有效接触人数为 ~ 日
, 且使接触的健康人致病
接触率
N[i(t t) i(t)] [s(t)]Ni(t)t
di si
dt
s(t) i(t) 1
di dt
i(1 i)
i(0)
i 0
模型2
di
dt
i(1
i)
Logistic 模型
i
i(0) i0
1
1
i(t)
s0
i
x 2s (s 1 )
0
0
P1
0 s 1/ s0
s
s0 - 1/ = x 2
小, s0 1
降低s0，提高阈值1/σ降 低被传染人数比例 x
群体免疫和预防
根据对 SIR 模型的分析，当 s0 1 时传染病不会蔓延。所以 为制止蔓延；除了提高卫生和医疗水平，使阈值 1 变大以外，另一
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段
• 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
模型1
假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
• 每个病人每天有效接触
(足以使人致病)人数为
i(t t) i(t) i(t)t
SIR模型
di dt
si
i
ds
dt
si
di
ds
1
s
1
i ss0 i0
i
1
D
i(s)
(s0
i0
)
s
1
ln
s s0
i(0) i0 , s(0) s0
P4
s(t)单调减相轨线的方向 im
s 1/ , i im t , i 0
P2
P1
P3
s满足
s0
i0 s
1
ln
s s0
0
0
s S0 1/ s0
N[s(t t) s(t)] Ns(t)i(t)t
di
dt
si
i
ds
dt
si
无法求出 i(t), s(t)
的解析解
i(0) i0 , s(0) s0
在相平面 s ~ i 上
研究解的性质
i0 s0 1(通常r(0) r0很小）
模型4
SIR模型
di dt
si
i
ds dt
假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移出
者的比例分别为 i(t ), s(t), r(t)
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = /
建模 s(t) i(t) r(t) 1
需建立 i(t ), s(t ), r (t ) 的两个方程
模型4
SIR模型
N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
个途径是降低 s0 ，这可以通过比如预防接种使群体免疫的办法做到。
忽略病人比例的初始值 i0 ，有 s0 1 r0 。于是传染病不会蔓
延的条件 s0 1 可以表为
r0
1
1
（20）
这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即免疫者比
例） r0 满足（20）式，就可以制止传染病的蔓延。
问题： 1。考虑人口出生率时如何？
i0
0
i()
1
1
,
1
0,
1
1 i0小 i(t)按S形曲线增长
t
0
t
接触数 =1 ~ 阈值
1 i(t)
感染期内有效接触感染的 健康者人数不超过病人数
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
模型4
传染病有免疫性——病人治愈后即移 出感染系统，称移出者（Removed） SIR模型