传染病模型
传染病模型
丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli,1700-1782)1760年：《天花死亡率新分析以及对预防性接种疫苗的优势研究》；证明了采用接种疫苗方式对于抵抗这种疾病是非常有效的。
引入爱德华·詹纳1796年5月，詹纳接种天花疫苗。
W. Kermack和A.McKendrick Kermack W. O and McKendrick. W. O . A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics, Proceedings of The Royal Society A Mathematical Physical and Engineering Sciences 115(772):700-721，January 1927 .SIR模型得到了历史上发生过的大规模的传染病(如孟买1905 ～1906 年发生的瘟疫)数据的有力支持。
常见的传染病模型有：SI，SIS，SIR，SEIR等等SI模型与SIS模型传染源传播途径易感人群S:Susceptible 易感人群I:Infective患者感染率传染S:Susceptible健康人I:Infective患者感染率总人数设为N ，每个患者每天有效接触而感染的人数λ，为日感染率；(),();s t i t 时刻t 健康人群、患者() () s t i t + =1λ213S:Susceptible; I:Infective[()()]i t t i t +∆-λ()()1+=s t i t ()N i t ∆t ∆t 在时间内,患者的改变量：N =→+∆t t t感染人数()s t disi dtλ=()()1s t i t +=0(1)(0)dii i dti i λ=-=0(1)(0)dii i dti i λ=-=01()111ti t ei λ-=⎛⎫+- ⎪⎝⎭1/2t mi i 01t∙t m ~传染病高潮到来时刻101ln 1m t i λ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭λ(有效感染数)↓→t m ↑1→⇒∞→i t 1/2t mi i 01t∙SI 模型SIS 模型(伤风)SIR 模型(天花)考虑治愈S:Susceptible; I:Infective一、SI 模型——修正模型1/2t mi i 01t二、SIS 模型S:Susceptible 健康人I:Infective患者感染率传S:Susceptible健康人痢疾，伤风感冒总人数设为N ，每个患者每天有效接触的人数λ，日感染率；(),();s t i t 每天移出的患者占总患者的比例为μ，日治愈率;时刻t 健康人群、患者占总人数的比例为2134S:Susceptible健康人I:Infective患者感染率S:Susceptible健康人二、SIS 模型——模型假设(1)二、SIS 模型——建立模型(2)[()()]i t t i t +∆-λ()N i t ()N i t ∆t ∆t μ∆t 在时间内,λ：每个患者日感染率；μ：日移出率；N ：总人数；患者的改变量：N =→+∆t t t感染人数治愈人数()s t t ：时间；-0(1)(0)dii i i dt i i λμ⎧=--⎪⎨⎪=⎩()()1+=s t i tλσμ=这种传染病的平均感染期；1μ每天移出的患者占总患者的比例为μ;34在疾病初期，整个感染期内每个患者有效接触而感染的平均人数，称为感染数；二、SIS 模型——建立模型(2)每个患者每天有效接触的人数λ；0R =2,i 0it0R 1<0R 1=0R 1>0R 2.2≈基本再生数：它表示在疾病爆发的初期，所有人群都是易感人群的时候，一个感染者，在他的染病期内平均能传染几个人。
传染病最简单模型
传染病最简单模型：已感染人数 (病人) x(t)，每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为λ 有()()()x t t x t x t t λ+∆-=∆ 又设()00x x =，得微分方程dxx dtλ= 解得0()t x t x e λ=SI 模型：区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)。
总人数N 不变，λ为日接触率，病人和健康人的比例分别为i(t),s(t)。
则有di si dt λ=，又有s(t)+i(t)=1。
所以有0(1),(0)dii i i i dtλ=-=。
求解出01()11(1)ti t e i λ-=+- ，传染速度最快时刻为101ln(1)mt i λ-=-SIS 模型：传染病无免疫性。
总人数N 不变，病人的日接触率为λ，病人和健康人的比例分别为i(t),s(t)，接触数σ(感染期内每个病人的有效接触人数)。
病人日治愈率为μ，所以有diN Nsi Ni dtλμ=- ， 0(0)i i =。
由s(t)+i(t)=1，/σλμ=，就推出1[(1)]di i i dt λσ=---。
SIR 模型：传染病有免疫性。
总人数N 不变，病人、健康人和移出者的比例分别为i(t)，s(t)，r(t) ，病人的日接触率为λ，病人日治愈率为μ，接触数/σλμ=。
且有s(t)+i(t)+r(t)=1。
则有r(0)=r0很小，故000i s +≈。
推出00d ,(0)d d ,(0)d i si i i i ts si s s t λμλ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩ 经济增长模型；1 ）道格拉斯(Douglas)生产函数 Q(t)，K(t)，L(t)，0f 分别表示某地区在t 时刻的产值、资金、劳动力和技术。
静态模型令z=Q/L ，y=K/L ，则z 是每个劳动力产值，y 是每个劳动力投资。
由于z 随y 增加而增长，但增速递减。
)(/0y g f L Q z ==，10,)(<<=ααy y g ，α)/(0L K L f Q =αα-=10),(L K f L K Q 此为Douglas 生产函数。
传染病传播模型
传染病传播模型传染病一直是人类面临的严重公共卫生问题之一，了解传染病的传播规律对于控制疫情的蔓延至关重要。
在传染病学领域，研究人员提出了各种传染病传播模型，以帮助我们更好地理解疾病的传播过程。
本文将介绍几种常见的传染病传播模型。
一、SIR模型SIR模型是最经典的传染病传播模型之一，模型中将人群划分为易感者(S)，感染者(I)和康复者(R)三个群体。
在SIR模型中，易感者被感染后转为感染者，感染者经过一段潜伏期后康复并具有免疫力。
该模型适用于传染病传播速度较慢且一旦康复后不再感染的情况。
二、SEIR模型SEIR模型在SIR模型的基础上增加了潜伏者(E)这一群体，即将易感者感染后先转化为潜伏者，再由潜伏者成为感染者。
这样的模型更适用于具有潜伏期的传染病，如流感和艾滋病等。
通过引入潜伏者这一群体，SEIR模型可以更准确地反映出疾病的传播过程。
三、SI模型与SIR模型和SEIR模型不同，SI模型只考虑了易感者和感染者这两类人群，即易感者一旦被感染就无法康复并具有免疫力。
SI模型适用于那些一旦感染就无法康复的传染病，比如艾滋病和病毒性肝炎等。
四、SIS模型SIS模型在SI模型的基础上增加了康复者再次成为易感者这一过程，即感染者可以康复但并没有永久的免疫力。
SIS模型适用于那些患者可以反复感染的传染病，如流感和普通感冒等。
五、SEIRS模型在SEIR模型的基础上，SEIRS模型引入了康复者再次成为易感者这一过程，从而更为贴合实际传染病的传播过程。
SEIRS模型适用于那些感染后康复后不具备永久免疫力的疾病。
以上是一些常见的传染病传播模型，每种模型都有其适用的场景和特点。
在实际研究和预测传染病传播过程时，我们可以根据病原体的特性和传播规律选择合适的模型来进行分析和预测，从而更好地控制疫情的蔓延。
传染病模型的研究为我们提供了有效的工具，帮助我们更好地理解传染病的传播机制，为公共卫生工作提供科学依据。
希望在未来的研究中能够进一步完善传染病传播模型，为防控传染病提供更有力的支持。
传染病模型
在
i
2
时达到）。
记
a
，可知
i ()
1
1 a
,
0 ,
a 1 a 1
i(t)
i0
1 1 a
i0
0
t
(a 1)
i(t) a 1
a 1
0
t
(a 1)
模型解释
可知 a（ a 刻画出该地区医疗条件和卫生水平）为
一个阈值，当 a 1 时，i(t) 0；当a 1时，i(t) 增减
性取决于i0
的大小，但其极限1
x s0 s
由 i0 0, s0 1, 经（8），
x
1
ln(1
x s0
)
0
x
2s0
(s0
1
)
当该地区的卫生和医疗水平不变时， 就不变，这个
比例也不变。
2、群体免疫和预防
由于当 s0
1
时不会蔓延，故降低
s0也是种手段。
由 i0
0 ， s0
1 r0
，于是 s0
1
可表示为 r0
1 1
，即通
过群体免疫使初始时刻的移出者比例r0
求出（6）的解为
（6）
i
(s0
i0 )
s
1
ln
s s0
（7）
从（5）中无法得到 s(t) 和 i(t) 的解析解，转到 s i 相平
面上讨论解的性质。
D (s,i) | s 0,i 0, s i 1
i 1
O
1/σ
0
σ
s 1
可根据（5），（7）及上图分析 s(t),i(t),r(t) 的变化情况：
1、无论s0,i0如何，i 0，即病人终将消失。
传染病模型
染病类(Infectives)：其数量记为I(t)，表示t时刻已经
被感染成病人而且具有传染力的人数；
移出类(Removed)：其数量记为R(t)，表示t时刻已经从染
病类移出的人数；
Susceptibles
Infectives
模型1
假设 建模
已感染人数（病人）
i (t )
1/ σ 阈值
• s0 < 1 / σ ( P2 ) → i (t )单调降至0
模型4
预防传染病蔓延的手段
传染病不蔓延的条件——
s0 < 1 / σ
• 提高阈值1 / σ ⇒ σ ( = λ / µ ) ↓⇒ λ ↓, µ ↑
λ (日接触率)↓ ⇒ 卫生水平↑ µ(日治愈率)↑ ⇒ 医疗水平↑
• 降低s0 ( s0 + i0 + r0 = 1) ⇒ r0 ↑
t
tm~传染病高潮到来时刻 λ (日接触率)↓ → tm↑
1 − 1 t m = λ ln i 0
t → ∞ ⇒ i →1 ?
病人可以治愈！
模型3
增加假设
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染
SIS 模型
3）病人每天治愈的比例为µ µ ~日治愈率
建模 N [i (t + ∆t ) − i (t )] = λNs (t )i (t ) ∆t − µNi (t ) ∆t
第二部分 建立模型前的准备工作
1. 艾滋病发展阶段
感染
潜伏
发病
死亡
2个 月
8年
1年
每年的新发HIV感染数
年龄段 性别 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 男 13.5 0 10.65 8.18 5.63 4.39 1.24 0 0 0.34 0 0 0 0 合计(千人) 45.06 2000 女 6.44 2.31 2.25 3.43 0.89 0.98 0.89 0.32 0 0.28 0 0 0 0 18.86 男 12.48 0 9.86 7.23 6.5 5.06 1.08 0 0 0.39 0 0 0 0 43.78 2001 女 5.94 1.08 1.73 2.94 0.47 1.26 0.71 0.36 0 0.25 0 0 0 0 15.89 男 21.21 7.83 22.7 24.19 22.51 15.96 8.21 0 0.76 0.73 0 0 0 0 125.5 2002 女 9.02 5.81 7.04 7.79 4.15 3.26 2.22 1.35 0 0.42 0 0 0 0 42.45 男 19.13 5.32 16.14 17.34 18.67 12.27 4.13 0 1.04 0.51 0 0 0 0 96.2 2003 女 8.91 4.75 5.53 6.75 3.73 3.43 1.52 1.3 0 0.42 0 0 0 0 37.9 男 25.7 10.6 20.52 24.78 27.45 18.05 6.35 0 1.84 0.48 0 0 0 0 137.7 2004 女 11.62 7 6.6 8.17 5.42 4.43 2.09 1.91 0 0.58 0 0 0 0 49.65 男 35.95 19.4 28.71 38.62 43.4 29.7 12.58 0.96 3.18 0.55 0 0 0 0 215.5 2005 女 16.64 11.79 10.15 13.12 9.81 7.22 3.53 3.21 0 1.11 0 0 0 0 78.89
04、传染病模型
di si i dt 无法求出 i(t ), s(t ) ds 的解析解 si dt i (0) i0 , s (0) s0 在相平面 s ~ i 上 s 1 (通常r (0) r 很小） 研究解的性质 i0 0 0
消去dt 1 di di si i ds s 1 / dt i s s i0 ds si dt 相轨线 i (0) i0 , s (0) s0 1 s i ( s ) ( s0 i0 ) s ln
~ 日接触率 1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的有效接触 人数，称为接触数。
模型3
di/dt
di 1 / i[i (1 )] dt 接触数
i
1
1
i0
1
1
i
i0
1
0
1-1/
1 i
i0
0
t
0
t
1 1 , 1 i ( ) 0, 1 1
建模
s(t ) i(t ) r (t ) 1
需建立
i(t ), s(t ), r (t )的两个方程
模型4
SIR模型
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t N[ s(t t ) s(t )] Ns(t )i(t )t
1 ~阈值 1 i (t )
感染期内有效接触感染的 i0小 i(t )按S形曲线增长 健康者人数不超过病人数
思考
模型4
假设
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者 SIR模型
传染病传播模型
传染病传播模型随着世界人口的不断增加和人类活动的频繁交流，传染病的传播成为了一个日益严重的问题。
为了更好地理解和应对传染病的传播，科学家们提出了各种传染病传播模型。
本文将介绍几种常见的传染病传播模型，并分析它们的特点和应用。
一、SI模型SI模型是最简单的传染病传播模型之一，其中S表示易感者(Susceptible)、I表示感染者(Infectious)。
在SI模型中，人群中的个体只有在易感者和感染者两种状态之间相互转换。
具体而言，易感者可以通过与感染者接触而被感染，一旦感染，就成为感染者，并在一段时间内具有传播传染病的能力。
然而，在SI模型中，感染者随着时间的流逝不会重新变回易感者。
由于缺乏免疫力的存在，SI模型所描述的传染病在人群中的传播速度通常很快，例如流感等。
二、SIR模型SIR模型是相对复杂一些的传染病传播模型，其中R表示康复者(Recovered)。
和SI模型一样，SIR模型中的人群也被分为易感者、感染者和康复者三个状态。
然而，SIR模型引入了康复者的概念，即感染者经过一段时间的潜伏期后可以康复并具有免疫力。
在SIR模型中，康复者不再具有传播传染病的能力，不会再感染其他人。
与SI模型相比，SIR模型所描述的传染病传播速度相对较慢，且可能经历一次大规模的传播后逐渐衰减。
三、SEIR模型SEIR模型是在SIR模型的基础上进一步扩展的，其中E表示潜伏者(Exposed)。
在SEIR模型中，人群被分类为易感者、潜伏者、感染者和康复者四个状态。
潜伏者是指已经被感染但尚未表现出症状的个体，潜伏期结束后，潜伏者会进一步转化为感染者，并开始传播传染病。
由于潜伏期的存在，SEIR模型所描述的传染病具有一定的潜伏期，并且在人群中的传播速度相对较慢。
四、SIRS模型SIRS模型是对SIR模型的改进，其中S表示易感者、I表示感染者，R表示免疫者(Susceptible-Infected-Recovered-Susceptible)。
传染病的传播模型
传染病的传播模型传染病是指通过直接或间接接触，人与人之间传播的一类由病原体引起的疾病。
了解传染病的传播模型对于控制和预防疾病的传播具有重要意义。
本文将介绍一些常见的传染病传播模型，并对其特点和应用进行分析。
一、接触传播模型接触传播模型是指病原体通过直接接触传播至受感染者的传播方式。
这种传播方式主要包括密切接触和接触传播。
密切接触是指患者和健康人员之间有较长时间的近距离接触，如同居、护理和工作等。
接触传播是指通过接触患者的血液、体液、呕吐物、粪便等体液传播病原体。
二、空气传播模型空气传播模型是指病原体通过空气传播至受感染者的传播方式。
这种传播方式主要包括飞沫传播和气溶胶传播。
飞沫传播是指通过患者咳嗽、打喷嚏等方式，将含有病原体的液体颗粒释放到空气中，进而被他人吸入而导致感染。
气溶胶传播是指患者排出的微小液滴中的病原体随空气流动传播至他人。
三、血液传播模型血液传播模型是指病原体通过血液传播至受感染者的传播方式。
这种传播方式主要包括输血传播、注射传播和性传播。
输血传播是指通过输血过程中病原体传播至受血者的方式。
注射传播是指共用注射器、针头等器械而导致病原体传播的方式。
性传播是指通过性接触传播病原体的方式，特别是对于性传播病毒如艾滋病病毒等。
四、垂直传播模型垂直传播模型是指病原体通过母婴传播至受感染者的传播方式。
这种传播方式主要包括围产儿传播和胎儿传播，即在婴儿在子宫内感染或在分娩过程中被母亲感染。
传染病的传播模型对于制定疾病防控策略具有重要意义。
根据不同传播模型的特点，可以采取相应的预防措施来降低疾病的传播风险。
例如，对于接触传播模型，需要加强个人卫生和环境卫生措施，如勤洗手、保持通风等。
对于空气传播模型，需要加强呼吸道防护，如佩戴口罩等。
对于血液传播模型，需要加强注射安全和性保护等。
对于垂直传播模型，需要加强孕产妇的健康管理和儿童疫苗接种等。
总之，传染病的传播模型多种多样，了解和掌握不同传播模型的特点对于预防和控制疾病的传播至关重要。
传染病模型
传染病模型模型假设1. 总人数N 不变.人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者( Re m oved)三类,称SIR 模型.三类人在总人数N 中占的比例分别记作s( t), i( t)和r( t).2. 病人的日接触率为λ,日治愈率为μ(与SI 模型相同),传染期接触数为σ= λ/μ.模型构成由假设1 显然有s( t) + i( t) + r( t) = 1 (12)根据条件2 方程(8)仍成立.对于病愈免疫的移出者而言应有Nd rd t= μNi (13)再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0 ( s0 > 0)和i0 ( i0 > 0)(不妨设移出者的初始值r0 = 0),则由(8),(12),(13)式, SIR 模型的方程可以写作(14)d i/ d t =λsi - μi, i(0) = i0ds /d t = - λsi, s(0) = s0数值计算在方程(14)中设λ= 1,μ= 0. 3, i(0) = 0. 02, s(0) = 0.98.MA TLAB软件编程function y=ill(t,x)a=1;b=0.3y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)]'输入ts=0:50x0=[0.02,0.98][t,x]=ode45('ill',ts,x0);[t,x]结果为ans =0 0.0200 0.98001.0000 0.0390 0.95252.0000 0.0732 0.90193.0000 0.1285 0.81694.0000 0.2033 0.69275.0000 0.2795 0.54386.0000 0.3312 0.39957.0000 0.3444 0.28398.0000 0.3247 0.20279.0000 0.2863 0.149310.0000 0.2418 0.114511.0000 0.1986 0.091712.0000 0.1599 0.076713.0000 0.1272 0.066514.0000 0.1004 0.059315.0000 0.0787 0.054316.0000 0.0614 0.050717.0000 0.0478 0.048018.0000 0.0371 0.046019.0000 0.0287 0.044520.0000 0.0223 0.043421.0000 0.0172 0.042622.0000 0.0133 0.041923.0000 0.0103 0.041524.0000 0.0079 0.041125.0000 0.0061 0.040826.0000 0.0047 0.040627.0000 0.0036 0.040428.0000 0.0028 0.040329.0000 0.0022 0.040230.0000 0.0017 0.040131.0000 0.0013 0.040032.0000 0.0010 0.040033.0000 0.0008 0.040034.0000 0.0006 0.039935.0000 0.0005 0.039936.0000 0.0004 0.039937.0000 0.0003 0.039938.0000 0.0002 0.039939.0000 0.0002 0.039940.0000 0.0001 0.039941.0000 0.0001 0.039942.0000 0.0001 0.039943.0000 0.0001 0.039944.0000 0.0000 0.039845.0000 0.0000 0.039846.0000 0.0000 0.039847.0000 0.0000 0.039848.0000 0.0000 0.039849.0000 0.0000 0.039850.0000 0.0000 0.0398plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,pause图1plot(x(:,2),x(:,1)),grid图2结果：输出的简明计算结果列入表1, i( t), s( t)的图形见图1,图2 是i～ s 的图形,称为相轨线,初值i(0) = 0.02, s(0) = 0.98 相当于图2中的P0 点,随着t的增加,( s, i)沿轨线自右向左运动.由表1、图1、图2 可以看出, i( t)由初值增长至约t = 7 时达到最大值,然后减少, t→∞, i→0; s( t)则单调减少, t →∞, s→0.0398.。
数学建模——传染病模型
数学建模——传染病模型数学建模——传染病模型关键词：数学建模，传染病模型，预测，疫情，发展一、引言传染病模型是数学建模中的一个重要领域，旨在通过数学方法描述和预测传染病的发展趋势。
通过建立传染病模型，我们可以了解疾病传播的机制，评估各种干预措施的效果，并为制定有效的防控策略提供决策支持。
二、传染病模型概述传染病模型是基于生物学、流行病学和数学理论建立的，主要考虑个体之间的接触方式和疾病传播的动态过程。
基本的传染病模型通常假设人群由易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）三类组成。
通过分析这三类人群的数量变化，可以揭示疾病传播的规律。
常见的传染病模型包括 SIR 模型、SEIR 模型等。
SIR 模型假设人群分为易感者（S）、感染者（I）和康复者（R），其中感染者与易感者接触后将传染疾病，感染后将进入康复阶段。
SEIR 模型则在 SIR 模型的基础上增加了潜伏期（E），即感染者并非立即变为易感者，而是进入潜伏期，一段时间后才具有传染性。
三、建模方法与步骤1、建立数学模型：根据传染病的基本假设，列出描述疾病传播的微分方程，确定变量及其含义。
2、参数估计：根据历史数据或实验结果，估计模型中的参数值。
这些参数包括感染率、恢复率、潜伏期等。
3、模型求解：通过求解微分方程，得到易感者、感染者和康复者的数量变化情况。
4、模型检验：将模型的预测结果与实际数据进行比较，检验模型的准确性和可靠性。
四、案例分析以某个地区的流感疫情为例，通过建立 SIR 模型预测疫情的发展趋势。
首先，根据历史数据估计模型的参数值，包括感染率和恢复率等。
然后，通过求解微分方程得到易感者、感染者和康复者的数量变化情况。
根据预测结果，可以评估各种干预措施的效果，如隔离、疫苗接种等。
通过比较预测结果与实际数据的差异，可以不断修正和完善模型，提高预测精度。
五、结论传染病模型是数学建模中的一个重要领域，通过建立数学模型描述和预测传染病的发展趋势。
传染病模型 (2)
传染病模型
传染病模型是一种用数学和计算机模拟来研究传染病传播过程和预测未来发展趋势的方法。
常用的传染病模型包括SIR模型、SEIR模型、SI模型等。
1. SIR模型：SIR模型划分人群为三个组成部分，分别是易感者(Susceptible, S)、感染者(Infected, I)和恢复者(Recovered, R)。
模型假设人群之间的转移是通过直接接触传播的，且感染后会产生免疫力。
该模型用于研究传染病的基本传播过程。
2. SEIR模型：SEIR模型在SIR模型的基础上加入了暴露者(Exposed, E)的概念。
暴露者是指已经感染病毒但尚未出现症状的人群。
该模型考虑了传染病的潜伏期，在研究疫情的初期或具有显著潜伏期的传染病时较为常用。
3. SI模型：SI模型是最简单的传染病模型，只考虑了易感者(S)和感染者(I)两个组成部分。
该模型没有考虑恢复者和
免疫力的概念，适用于一些无法恢复或无法获得免疫的传
染病。
传染病模型的建立需要依赖大量的数据和参数，如传染率、恢复率、潜伏期等，可以利用已有的疫情数据对模型进行
参数估计。
基于模型的分析可以帮助政府和卫生机构制定
合适的控制措施，预测疫情的发展趋势，并进行防控策略
的优化。
然而，传染病模型仍有其局限性，如对人群行为
的假设较为简单，无法精确模拟复杂的社交网络。
因此，
模型的结果需要结合实际情况进行综合分析。
传染病模型
传染病模型流行病动力学是用数学模型研究某种传染病在某一地区是否蔓延下去，成为当地的“地方病”，或最终该病将消除。
设：总人口N 不变，既不考虑出生、死亡、迁移等。
传染每一个健康人通过与病人接触都可能得病，但尚未严重到发生死亡或需要隔离的程度，如上呼吸道感染等。
模型一、SI - 模型()S t ——t 时刻易感者（Susceptible ）占总人口N 的比例，未染病者，但只要与病人接触，就会得病（有效接触）。
()I t ——t 时刻感染者（Infective ）占总人口N 的比例，当与未染病者接触会把疾病传染给他人。
假设：1、染病者一旦得病就不会痊愈，也不会死亡，即永远属于()I t 类。
2、总人口为常数，即()(), 1t S t I t ∀+=3、本地区人之间的接触率是均匀的，一经接触，即可染病，记λ为每个病人每天有效接触的平均人数，λ称为日接触率。
根据假设，每个病人单位时间内传染的人数与此时易感者人数成正比，每个病人每天可使()S t λ个健康者变成病人，因病人数为()NI t ，则每天共有()()NS t I t λ个健康者成为病人，于是NSI λ记为病人数()NI t 的增加率，即得：()()()()()()01, 00dNI t NS t I t dt S t N t I I λ⎧=⎪⎨⎪+==>⎩， ① 等价于()()01 00dI I I dt I I λ⎧=-⎪⎨⎪=>⎩， ②②即为Logistic 模型，用分离变量法可求解为：()()000111111t t tI e I t I e e I λλλ-==⎛⎫--+- ⎪⎝⎭ 由此可知，当(), 1t I t →+∞→，即很长时间后，本地区所有人都得病。
用此模型可用来预报传染较快的疾病前期传染高峰期到来的时间。
首先，由()()00011t t N I I e dI SI dt I e λλλλ-==--可计算传染病的传染速度（医学上称传染病曲线）令220d I dt =，可得0011ln 1t I λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，称传染病高峰期。
传染病的数学模型
For personal use only in study and research; not for commercial use传染病模型详解2.2.2 /,SI SIS SIR 经典模型经典的传播模型大致将人群分为传播态S ，易感染态I 和免疫态R 。
S 态表示该个体带有病毒或谣言的传播能力，一旦接触到易感染个体就会以一定概率导致对方成为传播态。
I 表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。
R 表示当经过一个或多个感染周期后，该个体永远不再被感染。
SI 模型考虑了最简单的情况，即一个个体被感染，就永远成为感染态，向周围邻居不断传 播病毒或谣言等。
假设个体接触感染的概率为β，总人数为 N ，在各状态均匀混合网络中建立传播模型如下：dS SI dt N I SId tN ββ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 从而得到(1)di i i dtβ=- 对此方程进行求解可得：0000(),01tti e i t i i i i e ββ==-+（） 可见，起初绝大部分的个体为I 态，任何一个S 态个体都会遇到I 态个体并且传染给对方，网络中的S 态个数随时间成指数增长。
与此同时，随着I 态个体的减少，网络中S 态个 数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为S 态。
然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。
有些节点会因为传播的能力和意愿 的下降，从而自动转变为永不传播的R 态。
而有些节点可能会从S 态转变I 态，因此简单的SI 模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求，因而出现SIS 模型和SIR 模型。
SIR 是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。
采用与病毒传播相似的过程中的S ，I ，R 态 代表传播过程中的三种状态。
Zanetee ，Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。
Moreno 等人将人群分为S （传播谣言）、I （没有听到谣言），R （对谣言不再相信也不传播）。
假设没有听到谣言I 个体与S 个体接触，以概率()k λ变为S 个体，S 个体遇到S 个体 或R 个体以概率()k α变为R ，如图 2.9 所示。
传染病模型精选推荐(一)2024
传染病模型精选推荐（一）引言：传染病模型是研究传染病传播方式和防控策略的重要工具。
本文将介绍5个精选的传染病模型，并探讨它们的特点和应用领域。
大点一：SIR模型1. SIR模型是传染病模型中最基本的一种，包括易感者(Susceptible)、感染者(Infected)和康复人群(Recovered)。
2. SIR模型适用于研究人群中的疾病传播情况，可以预测传染病的爆发和蔓延趋势。
3. SIR模型假设人群中没有出生死亡和迁移，并且感染后具有免疫力。
4. SIR模型可以通过改变参数来研究不同防控措施的效果，如隔离、疫苗接种等。
大点二：SEIR模型1. SEIR模型在SIR模型的基础上增加了潜伏期(Exposed)的状态，即潜伏期内已经感染但还未展现症状的人群。
2. SEIR模型适用于研究传染病的潜伏期和潜伏期内的传播方式。
3. SEIR模型可以更准确地描述疾病的传播过程，并提供更精确的防控策略。
4. SEIR模型可以通过添加接触率和潜伏期的参数来模拟不同传染性和潜伏期的疾病。
大点三：SEIRD模型1. SEIRD模型在SEIR模型的基础上增加了死亡者(Death)的状态，用于研究传染病的死亡率和致死风险。
2. SEIRD模型适用于研究死亡率高的传染病，如高致病性禽流感等。
3. SEIRD模型可以通过改变死亡率和康复率的参数来预测传染病的死亡数量和康复情况。
4. SEIRD模型有助于评估不同防控策略对死亡率的影响，如加强医疗资源、提高疫苗接种率等。
大点四：Agent-based模型1. Agent-based模型是一种基于个体行为和交互的传染病模型。
2. Agent-based模型可以模拟个体之间的接触和传播过程，更加现实和细致。
3. Agent-based模型适用于研究人口密集区域的传染病传播，如城市、机场等。
4. Agent-based模型能够考虑到不同个体的行为差异和健康状态，有助于制定个体化的防控策略。
(6数学建模)传染病模型
3.传染者的恢复数正比于传染者的数量NI，比例系 数ν称为恢复率，则平均传染周期为1／ν。若考虑 死亡，则平均传染周期为1／（μ＋ν）。 σ＝λ／（μ＋ν)为一个传染者在其传染周期
内与其他成员的接触总数，称为接触数。
二、SIS模型
SIS模型是最简单的传染模型，人群只分成两类， S类和I类。人员的流动形式：S→I→S，如图
简化可得SIRS模型 S I (t ) SI S
I SI I I R I R I (t ) S I R 1 S 0 0, I 0 0, R0 0
下图显示模型的理论曲线与实际数据
（四）接触数σ的估计
已经看到，在SIS及SIR模型中，传染病是否流行与接 触数σ直接有关，因而有必要估计这个参数。 一般地，初始传染者数量很小，可近似取 I 0 ， 0 故1 R0 S 0 ，则可得
ln( S 0 S ) ( S0 S )
传 染 病 模 型
朱建青 （苏州科技学院信息与计算科学系）
传染病模型
一、记号与假设 二、SIS模型 三、不考虑出生和死亡的SIR模型 四、考虑出生和死亡的SIR模型 五、SEIR模型 六、SIRS模型
一、记号与假设
首先把人群分成以下三类。 S类：易感类（Susceptible） 指未得病，但缺乏免疫，与患病者接触后易受感染。 I类：传染类（Infective） 指已染上传染病，且可能传给S类成员。 R类：排除类（Removal） 指从I类中被隔离或具有免疫力。 S（t）、I（t)、R（t）分别表示t时刻S类、I类、 R类成员占人口总数的比例，故 S（t）＋I（t）＋R（t）＝1。
称为潜伏期，记为
把处于潜伏期内的成员的全体记为E类，用E(t)
传染病数学模型
f (x) 0 的实根 x x0 , 显然也是该方程的解， 称为
方程的平衡点（奇点）
如果存在某个邻域，使得该方程的解在邻域
t
x(t)
x0 ,
则称平衡点 x0 为
稳定点 判定 x0 是否为稳定点， 主要利用直接法
若 f '( x0 ) 0, 则 x0 为稳定点 x '(t) f '( x0 )( x x0 ) 若 f '( x0 ) 0, 则 x0 非稳定点 x(t ) ce f '( x0 )t x0
1s 1 s ln 0
s0 则 i 先单调递增
s 1
i 减小且趋向于零
ds
di
1
s
1
i ss0 i0
dr i
dt
ds si
dt
r 单调递增
i 0
s 单调递减
s0
1
i 减小且趋向于零 s 单调递减至 s
稳定性理论
设微分方程 x'(t) f (x) ，方程右边不显含自变量 t
称之为自治方程。
模型假设
人群中只分为健康人和病人两种 i s n 人群中任何两人的接触是相互独立的。每人 平均每天与 m 人接触。 当一健康人与一病人接触时，健康人被感染 的概率为
接触概率 p
感染概率
p1
接触人数服从二项分布 m (n 1) p
一健康人被一指定病人感染的概率
p1
p
m
n1
一健康人被感染的概率 p2 1 (1 p1 )i
i0
di dt
i(1 i) i
i(0) i0
i(t)
[
( 1 )e( )t ]1 , i0 (t 1 )1,
传染病模型知识点
传染病模型知识点传染病模型是流行病学研究中的重要工具，通过对传染病传播机制和流行规律进行建模，帮助我们更好地理解疾病的传播方式、预测疫情发展趋势，并制定科学的防控策略。
本文将介绍常见的传染病模型及其相关知识点。
一、SEIR模型SEIR模型是传染病模型中最常用的一种，它将人口划分为四个状态：易感者（Susceptible）、潜伏期感染者（Exposed）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）。
SEIR模型的基本假设是疾病传播的过程中，人口在各个状态之间的转换服从特定的数学规律。
在SEIR模型中，易感者通过暴露于感染者而进入潜伏期感染者状态，一段时间后进入感染者状态，并最终康复并获得免疫力。
该模型利用微分方程描述了各个状态之间的转换过程，并利用基本再生数R0来评估疫情的传播能力。
R0表示每个感染者平均能够传播给多少个易感者，如果R0大于1，则表示疫情呈指数增长，需要采取有效的干预措施。
二、SIR模型SIR模型是传染病模型中一种经典的简化模型，将人口划分为三个状态：易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）。
与SEIR模型相比，SIR模型忽略了潜伏期感染者状态，即认为人口从易感者直接进入感染者状态。
在SIR模型中，感染者通过与易感者的接触传播疾病，一段时间后康复并具有免疫力。
与SEIR模型类似，SIR模型也利用微分方程描述了各个状态之间的转换过程，并利用基本再生数R0来评估疫情的传播能力。
三、流行病学调查传染病模型的建立需要依赖于流行病学调查数据，包括疾病的传播速度、感染人数、康复人数等。
通过对这些数据的统计和分析，可以得到疫情的基本特征和传播规律，为模型的建立和参数的估计提供依据。
流行病学调查可以通过各种方式进行，包括病例报告、样本检测、流行病学调查问卷等。
在调查过程中，需要注意数据的准确性和可靠性，以确保模型的建立和分析结果的科学性。
从理论到实践：传染病模型的应用探究
从理论到实践：传染病模型的应用探究传染病模型是一种用于描述传染病在人群中传播动态的数学模型。
它可以帮助我们理解传染病的传播规律，预测疫情的发展趋势，并为防控策略提供理论依据。
在理论上，传染病模型主要包括三个基本参数：感染率、恢复率和死亡率。
感染率是指单位时间内每个感染者传染给其他个体的数量；恢复率是指单位时间内每个感染者康复并失去传染性的数量；死亡率是指单位时间内每个感染者死亡的数量。
通过对这些参数的研究，我们可以了解传染病的传播特性，并为防控策略提供指导。
1. 疫情预测：通过对传染病模型的参数进行估计，我们可以预测疫情的发展趋势。
例如，在新冠病毒疫情期间，研究人员通过对感染率、恢复率和死亡率等参数进行估计，预测了疫情的发展趋势，为政府制定防控策略提供了重要依据。
2. 防控策略评估：传染病模型可以帮助我们评估不同防控策略的效果。
例如，在新冠病毒疫情期间，研究人员通过模拟不同社交距离措施下的疫情传播情况，评估了这些措施的 effectiveness。
这有助于政府选择最有效的防控策略，以减少疫情对经济和社会的影响。
3. 资源优化配置：传染病模型可以帮助我们优化医疗资源配置。
例如，在新冠病毒疫情期间，研究人员通过对感染率、恢复率和死亡率等参数进行建模，预测了不同地区未来一段时间内的病例数量。
这有助于政府合理调配医疗资源，确保病例能够得到及时救治。
4. 疫苗研发与分配：传染病模型可以帮助我们评估疫苗的效果，并优化疫苗的分配策略。
例如，在新冠病毒疫情期间，研究人员通过模拟疫苗接种后的感染率、恢复率和死亡率等参数，评估了疫苗的保护效果。
他们还研究了不同疫苗分配策略对疫情控制的影响，为政府制定疫苗分配计划提供了依据。
1. 数据质量：传染病模型的准确性取决于输入数据的质量。
因此，我们需要确保数据的准确性和可靠性，以获得准确的预测结果。
2. 模型选择：不同的传染病模型具有不同的适用场景和假设条件。
因此，在应用传染病模型时，我们需要根据实际情况选择合适的模型。
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提高 r0 s0 i0 r0 1
s0
i0
s
1
ln s s
0
忽略i0
0
群体免疫
ln s0 ln s
s0 s
模型4
被传染人数的估计
记被传染人数比例 x s0 s
1s
s i s ln 0
0
0
s0
i0 0, s0 1
x<<s0
x(1
1
s0
x
2s02
)0
SIR模型
x 1 ln(1 x ) 0
di i
dt i(0) i0
i(t) i0et
ti ?
若有效接触的是病人，则 不能使病人数增加
必须区分已感染者(病人) 和未感染者(健康人)
模型2
假设
建模
区分已感染者(病人，Infective)和易感染 者(健康人，Susceptible)
1）总人数N不变，病人和健康 人
的 比例分别为 i(t), s(t)
s0
i
x 2s (s 1 )
0
0
P1
0 s 1/ s0
s
s0 - 1/ = x 2
小, s0 1
降低s0，提高阈值1/σ降 低被传染人数比例 x
群体免疫和预防
根据对 SIR 模型的分析，当 s0 1 时传染病不会蔓延。所以 为制止蔓延；除了提高卫生和医疗水平，使阈值 1 变大以外，另一
SI 模型
2）每个病人每天有效接触人数为 ~ 日
, 且使接触的健康人致病
接触率
N[i(t t) i(t)] [s(t)]Ni(t)t
di si
dt
s(t) i(t) 1
di dt
i(1 i)
i(0)
i 0
模型2
di
dt
i(1
i)
Logistic 模型
i
i(0) i0
1
1
i(t)
1/2
1
1 i0
1et
i0
0
tm
t=tm, di/dt 最大
t
tm
1
ln
1 i
0
1
tm~传染病高潮到来时刻
(日接触率) tm
模型3
传染病无免疫性——病人治愈成为
健康人，健康人可再次被感染
SIS 模型
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模 N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
传染病模型
2。考虑接触率、日治愈率随时间变化时如何？
模型5
传染病有免疫性——病人治愈后 即移出感染系统；传染病流行期 间，人口出生率为常数。不考虑 死亡、人口迁移。
传染病模型
假设 1）传染病流行期间，人口出生率为常数 k
2）传染病流行期间，病人、健康人和移出
1s
P1: s0>1/σ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/σ i(t)单调降至0
传染病蔓延 传染病不蔓延
1/σ~ 阈值
模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平
(日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段
• 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
模型1
假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
• 每个病人每天有效接触
(足以使人致病)人数为
i(t t) i(t) i(t)t
N[s(t t) s(t)] Ns(t)i(t)t
di
dt
si
i
ds
dt
si
无法求出 i(t), s(t)
的解析解
i(0) i0 , s(0) s0
在相平面 s ~ i 上
研究解的性质
i0 s0 1(通常r(0) r0很小）
模型4
SIR模型
di dt
si
i
ds dt
si
消去dt
/
di
ds
1
s
1
i
i
s s0
0
相轨线
i(0) i0 , s(0) s0 相轨线 i(s) 的定义域
1s
i(s)
(s0
i
i0 )
s
ln
s0
1
D {(s,i) s 0, i 0, s i 1}
在D内作相轨线 i(s)
的图形，进行分析
D 0
s
1
模型4 相轨线 i(s)及其分析
SIR模型
di dt
si
i
ds
dt
si
di
ds
1
s
1
i 0 i0
i
1
D
i(s)
(s0
i0
)
s
1
ln
s s0
i(0) i0 , s(0) s0
P4
s(t)单调减相轨线的方向 im
s 1/ , i im t , i 0
P2
P1
P3
s满足
s0
i0 s
1
ln
s s0
0
0
s S0 1/ s0
di dt
i(1
i)
i
i(0) i0
~ 日接触率 1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的有
效接触人数，称为接触数。
模型3
di/dt
di i(1 i) i /
dt
i
>1
i0
>1
1-1/
di i[i (1 1 )]
dt i
1
i0 di/dt < 0
0
1-1/ 1 i
i0
0
i()
1
1
,
1
0,
1
1 i0小 i(t)按S形曲线增长
t
0
t
接触数 =1 ~ 阈值
1 i(t)
感染期内有效接触感染的 健康者人数不超过病人数
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
模型4
传染病有免疫性——病人治愈后即移 出感染系统，称移出者（Removed） SIR模型
假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移出
者的比例分别为 i(t ), s(t), r(t)
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = /
建模 s(t) i(t) r(t) 1
需建立 i(t ), s(t ), r (t ) 的两个方程
模型4
SIR模型
N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
个途径是降低 s0 ，这可以通过比如预防接种使群体免疫的办法做到。
忽略病人比例的初始值 i0 ，有 s0 1 r0 。于是传染病不会蔓
延的条件 s0 1 可以表为
r0
1
1
（20）
这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即免疫者比
例） r0 满足（20）式，就可以制止传染病的蔓延。
问题： 1。考虑人口出生率时如何？
传染病模型
20世纪初，霍乱、天花经常在世界上的 某些地区流行，虽然现在这些病在世界上 已基本灭绝，但其它的烈性传染病还不时 在一些不发达的贫穷国家爆发流行，而象 爱滋病、SARS等更是经常在世界上引起恐 慌。所以，建立传染病的数学模型来描述 传染病的传播过程，分析受感染人数的变 化规律，预报传染病高峰的到来等等，一 直是各国有关专家和官员关注的问题。