用matlab实现寻找最短路

用matlab寻找赋权图中的最短路中的应用

1引言

图论是应用数学的一个分支，它的概念和结果来源都非常广泛，最早起源于一些数学游戏的难题研究，如欧拉所解决的格尼斯堡七桥问题，以及在民间广泛流传的一些游戏的难题，如迷宫问题，博弈问题等。这些古老的难题，吸引了很多学者的注意。

1847年，图论应用于分析电路网络，这是它最早应用于工程科学，以后随着科学的发展，图论在解决运筹学，网络理论，信息论，控制论，博弈论以及计算机科学等各个领域的问题时，发挥出很大的作用。在实践中，图论已成为解决自然科学，工程技术，社会科学，军事等领域中许多问题的有力工具之一。

最短路问题是图论理论中的经典问题，寻找最短路径就是在指定网络中两节点间找一条距离最小的路。

2 最短路

2.1 最短路的定义（short-path problem）

对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了，其中对赋权图()0

w≥的有效算法是由荷兰著名计算机专家E.W.Dijkstra在1959年首次提出的,该算法ij

能够解决两指定点间的最短路,也可以求解图G中一特定点到其它各顶点的最短路。后来海斯在Dijkstra算法的基础之上提出了海斯算法。但这两种算法都不能解决含有负权的图的最短路问题。因此由Ford提出了Ford算法,它能有效地解决含有负权的最短路问题。但在

现实生活中,我们所遇到的问题大都不含负权,所以我们在()0ij w≥的情况下选择Dijkstra算法。

若网络中的每条边都有一个数值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源

节点和阱节点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。最短路问题是网络理论解决

的典型问题之一，它不仅可以直接应用于解决生产实际的许多问题，如管路铺设、线

路安装、厂区布局和设备更新等，而且经常被作为一个基本的工具，用于解决其他的

做优化问题。

定义1：若图G=G（V，E）中个边[v i ,v j]都赋有一个实数w ij ，则称这样的图G 为赋权图，w ij 称为边[v i ,v j]上的权。

定义2：给定一个赋权有向图，即给一个有向图D=（V,A），对每一个弧a=（v i ,v j），相应地有权w（a）=w ij，又给定D中的两个顶点v s ，v t 。设P是D中从v s 到v t 的一条路，定义路P的权是P中所有弧的权之和，记为w（P）。最短路问题就是要在所有从v s到v t 的路中，求一条权最小的路，即求一条从v s到v t 的路P0 ，使w（P0）=

min w（P）

P

式中对D中所有从v s到v t 的路P最小，称P0 是从v s到v t 的最短路。

2.2 最短路问题算法的基本思想及其基本步骤

在求解网络图上节点间最短路径的方法中，目前国内外一致公认的比较好的算法有Dijkstra和Floyd算法。这两种算法，网络被抽象为一个图论中定义的有向图或无向图，并利用图的节点邻接矩阵记录点的关联信息。在进行图的遍历搜索最短路径时，以该矩阵为基础不断进行目标值的最小性判别，知道获得最后的优化路径。鉴于课本使用Dijkstra算法，下面用Floyd算法进行计算：

设A=（a）n*n 为赋权图G=（V，E，F）的矩阵，当V i V j ∈E时，a ij =F（v i，v j），否则，取a ij =0，a ij =+∞（i≠j），d ij 表示从v i到v j 的点的距离，r ij 表示从v i到v j 的点的最短路中的一个点的编号。

①赋初值。对所有i，j，d ij = a ij ，r ij =j，k=1，转向②；

②更新d ij ，r ij ，对所有i，j，若d ik + d kj < d ij ,则令d ij = d ik + d kj ，r ij =k，转向；

③终止判断。若d ij <0,则存在一条含有顶点v i的负回路，终止；或者k=n，终止；否则，

另k=k+1，转向②。

最短路线可由r ij得到。

2.3 用matlab程序实现上述算法

编写程序函数程序如下：

function f=shortpath(n,A)

clear;

n=input('请输入矩阵的阶n=');

A=input('请输入赋权图对应的n阶矩阵A='); % 顶点之间不通时，用inf表示（MATLAB中，inf 表示无穷）

D=A; %赋初值

for(i=1:n)

for(j=1:n)

R(i,j)=j;

end;

end %赋路径初值

for(k=1:n)

for(i=1:n)

for(j=1:n)

if(D(i,k)+D(k,j)

D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); %更新dij

R(i,j)=k; %更新rij

end;

end;

end

k %显示迭代步数

D %显示每步迭代后的路长

R %显示每步迭代后的路径

pd=0;

for(i=1:n) %含有负权

if(D(i,j)<0)

pd=1;

break;

end;

end %存在一条含有顶点的vi的负回路

if(pd)

break;

end %存在一条负回路，终止程序

end %程序结束

下面用一个实际的例子进行一下函数实际运算：

例：求解下赋权图中任意两点中的最短路。

V1 6 V4

2 6 5

3 8

V08 V2 1 V5 6 v7

1 7

2 4 3

V39 V5

用matlab函数运行以后，运行结果如下：

请输入矩阵的阶n=8

请输入赋权图对应的n阶矩阵A=[0 2 8 1 inf inf inf inf;2 0 6 inf 1 inf inf inf;8 6 0 7 5 1 2 inf;1 inf 7 0 inf inf 9 inf;inf 1 5 inf 0 3 inf 8;inf inf 1 inf 3 0 4 6;inf inf 2 9 inf 4 0 3;inf inf inf inf 8 6 3 0]

k =1

D =

0 2 8 1 Inf Inf Inf Inf

2 0 6

3 1 Inf Inf Inf

8 6 0 7 5 1 2 Inf

1 3 7 0 Inf Inf 9 Inf

Inf 1 5 Inf 0 3 Inf 8

Inf Inf 1 Inf 3 0 4 6

Inf Inf 2 9 Inf 4 0 3

Inf Inf Inf Inf 8 6 3 0

R =