截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴公式

b/2 b/2
形心主轴： 过截面形心的主轴。 h/2
z'
形心主惯性矩：截面对形心主轴的
z
惯性矩。
h/2
y
例3 计算图示矩形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积。
解： Iz y2dA
A
h/2 y2 bdy h / 2
bh3 12
同样地
hb3 I y 12
I yz 0
y、z为形心主轴 Iy、Iz为形心主惯性矩
i=1
例5 图示矩形中，挖去两个直径为d 的圆形，求余 下图形对z轴的惯性矩。
b/2 b/2
z
Iz

1 12
bh3

5 d 4
32
y
例6 由两个20a号槽钢截面图形组成的组合平面图形，设 a =100mm,设求此组合平面图形对y,z两根对称轴的惯性矩。
a
z0
z
zC
y
yC
A=28.83×102mm2, Iyc=128×104mm4 Izc=1780.4×104mm4 ,z0=20.1mm
bb/2/2 bb/2/2
hh/2/2
zz
y
hh/2/2
dy
yy
例4 计算图示圆形截面对其直径轴y和z的惯性矩。
d
d
z y
z
y
dy
zz y
Iy

Iz


64
d4
若为空心截面呢？（d/D）求Iy与Iz （作业题）
四、惯性半径的定义
√iy =
Iy A
√iz =
Iz A
故 Iy = A iy2 Iz = A iz 2
n
Sy = ∑Ai zci
i=1
n
Sz = ∑Ai yci
i=1
形心位置： yc zc
=
Sz A
=
Sy A
n
∑Ai yci
=
i=1 n
∑Ai
i=1
n
∑Ai zci
=
i=1 n
∑Ai
i=1
15.5
例2 求图示截面的形心的位置。
解： A1 150 50mm2 A2 180 50mm2
A3 250 50mm2
作业题 求图示工字形截面对z轴的惯性矩。
b
d百度文库
z
120mm
zC 0
§A-2 截面的惯性矩和惯性积
一、惯性矩的定义
Iy=∫ A z2dA Iz=∫ A y2dA
惯性矩恒为正
二、惯性积的定义
o
z
Iyz=∫ A yzdA
惯性积可正、可负或为零
y z dA
y dA dA z
若y为对称轴，则
zz
Iyz= 0
y y
三、形心主轴和形心主惯性轴
主轴： 惯性积为零的一对坐标轴。 主惯性矩： 截面对主轴的惯性矩。
注意平方问题
第十六次课结束处
§A-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
一、平行移轴公式
O
z
Iz=∫ A y2dA =∫ A(a+yC)2dA =∫ Aa2dA + 2a∫ A yCdA +∫ A yC2dA
y
C
dA
a zc
yc
∫ A yCdA 对形心轴的面积矩=0
b zc z
∫ A yC2dA 对形心轴的惯性矩
150
50
C1
yC1 255mm yC2 140mm
5c 0
C2
yC3 25mm zC1 zC2 zC3 0
50
C3
z
yC

A1 yC1 A2 yC 2 A3 yC3 A1 A2 A3
250
y
150 50 255 180 50140 250 50 25 mm 150 50 180 50 250 50
y yc
故 Iz=∫ A a2dA + IzC
同理
Iy=∫ A b2dA + IyC Iyz=∫ A abdA + IyCzC
二、组合截面惯性矩的计算式
Iy=∫ A z2dA
=∫ A1z2dA +… +∫ Anz2dA
n
= ∑ Iyi
i=1
同理
n
Iz = ∑ Izi
i=1
n
Iyz = ∑ Iyzi
y
形心轴：过平面图形形心的轴 截面对形心轴的面积矩为零。
例1 求如图矩形Sz和Sy
解： ah
Sz
ydA
A

a
ybdy
bh(a h) 2
A yC
同样地
Sy

bh(d

b) 2

A zC
z b/2 b/2 a
y h/2
h/2
dy
y
d
三、组合截面的面积矩和形心位置的确定
面积矩：
附录A 截面的几何性质
§A-1 截面的面积矩和形心位置
一、面积矩的定义
Sy=∫ zdA A
Sz=∫ ydA A
面积矩可为正、负或为零。
o
z
y z dA
y
二、截面形心的位置
∫ yc =
ydA
A
= A
Sz A
zc
∫ =
zdA
A
A
=
Sy A
故 Sz = A yc Sy = A zc
z
o zc
z
yc
y
C
dA