锐角的三角比专题复习一(教案)
锐角三角比教案
锐角三角比教案教案标题：锐角三角比教案教案概述：本教案旨在帮助学生理解和应用锐角三角比的概念，包括正弦、余弦和正切。
通过多种教学方法和活动，学生将能够掌握如何计算和应用锐角三角比，并能够解决与实际问题相关的三角函数计算。
教学目标：1. 理解锐角三角比的概念，包括正弦、余弦和正切。
2. 能够计算给定角度的正弦、余弦和正切值。
3. 能够应用锐角三角比解决实际问题。
适用对象：初中数学教学，面向初中学生，年级可根据实际情况调整。
教学准备：1. 教师准备：教案、投影仪、计算器、白板、标尺等。
2. 学生准备：教科书、笔、纸。
教学步骤：引入：1. 利用投影仪或白板展示一个锐角三角形，并引导学生观察其中的各个角度。
2. 提问学生：你们知道如何计算锐角三角比吗？为什么这些比值对我们来说很重要？探索：3. 教师引导学生回顾正弦、余弦和正切的定义，并解释它们与锐角三角比的关系。
4. 教师示范如何计算给定角度的正弦、余弦和正切值，并让学生跟随计算。
5. 学生个别或小组合作完成一些简单的计算练习，以巩固他们对锐角三角比的理解和计算能力。
应用：6. 教师提供一些实际问题，要求学生运用锐角三角比解决问题。
例如：一座塔楼的高度为30米，在塔楼底部站立的人向上仰望角度为30°，请计算这个人的视线与水平线的夹角。
7. 学生个别或小组合作解决应用问题，并展示他们的解决方法和答案。
8. 教师对学生的解决方法和答案进行评价和指导，纠正他们可能存在的错误。
总结：9. 教师与学生一起总结锐角三角比的概念和应用，强调其在数学和实际生活中的重要性。
10. 鼓励学生提出问题和疑惑，并解答他们的疑问。
拓展：11. 对于学习较快的学生，教师可以提供更复杂的锐角三角比计算问题，以挑战他们的能力。
12. 对于学习较慢的学生，教师可以提供更多的练习机会，并提供更多的示范和指导。
作业：13. 布置一些练习题作为课后作业，以巩固学生对锐角三角比的理解和应用能力。
锐角三角比复习导学案
锐角三角比复习课导学案（一）夏庄初中韩勇刚一、教学目标：1．理解锐角三角比的定义，熟记特殊角的三角比并能熟练进行有关计算。
2．掌握直角三角形中边、角关系，并熟练地解直角三角形。
二、教学重点、难点：能熟练地解直角三角形，会把矩形、梯形、非直角三角形的图形进行分解划归为直角三角形问题。
三、教学过程：（一）知识回顾1、锐角三角比的定义：sinA=角A的对边/斜边cosA＝角A的邻边/斜边tgA角A的对边/邻边ctgA=角A的邻边/对边2、同角的三角比关系：tgA×ctgA=13、互为余角的三角比关系：sinA=cos(90-A)cosA=sin(90-A),tgA=ctg(90-A)ctgA=tg(90-A)4直角三角形边、角关系：边与边a2+b2=c2角与角∠A+∠B=90°边与角：锐角三角比概念5、解直角三角形：已知一边一角已知二边6、特殊角的锐角三角比的值：见书（全班熟记）（二）巩固练习：1、填空（1）已知在△ABC中,∠C＝90°AB=17，AC=8，则sinA=____,cosA=_____,tgA=____,ctgA=_____.（2）△ABC中AB=AC=3,BC=4.则tgB=___.3则（3）已知△ABC中，∠C＝90°sinA=4cosA=____,tgA=____,ctgA=______12，则较（4）矩形周长17cm，对角线与边的夹角的正弦值为13短边为_____.说明：1、在没有直角三角形的图形中求锐角三角比可适当添垂线段构造直角三角形。
2、已知一个锐角的一个三角比要会求它的其余三个三角比。
2、比较大小：（1）sin37°___sin49°; cos22°____cos67°;tg46°_____tg78°；ctg47°____ctg65°（2）sin57°___cos34°; tg48°___ctg76°（3）sin56°___tg46°; cos89°___ctg44°说明：这类比较大小主要利用四个锐角三角比的递增递减性来解决。
锐角三角函数复习教案
锐角三角函数复习教案 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020课题：锐角三角函数（复习课）复习目标（1）知识与技能：1.通过复习进一步巩固锐角三角函数的定义，并能灵活运用定义进行有关计算。
2.通过复习牢记特殊角的三角函数值，并能进行有关计算。
3.通过复习进一步巩固直角三角形的边角关系，并能进行解直角三角形的知识应用。
（2）过程与方法：通过对本章的复习，让学生学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决的能力，培养学生用数学的意识。
（3）情感与价值：通过测量避雷针的高，认识到数与形相结合的意义和作用，体验到学好知识，能应用于社会实践，通过选式的诀窍，可简便计算，从而体会探索，发现科学的奥秘和意义。
复习重点：特殊角的三角函数值，并能进行有关计算；解直角三角形的知识应用。
复习难点：解直角三角形的知识应用。
教学方法：讲练结合法课型：复习课教具准备：多媒体课件教学过程一、锐角三角函数的定义在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ．则∠A 的正弦：sin A=_______________ ∠A 的余弦：cos A ＝________ ∠A 的正切：tan A ＝_______________、在Rt △ABC 中，∠C=90°，a =2，B自己动手：1、在等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.2、求适合下列各式的锐角α3=α3tan二、特殊角的三角函数值60-例sin22⋅4530costan练习检测：求下列各式的值：211）（sin︒︒30-30costantan302）45（3-+2︒︒︒60sin三、解直角三角形1、解直角三角形的定义：利用已知元素，求出未知元素的过程。
2、解直角三角形的性质：①三边间关系：②两锐角间关系：③边角间关系：3、解直角三角形条件：已知两边，或已知一边一角。
九年级数学上册《锐角三角比》教案、教学设计
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的表现，如参与度、提问、合作等，鼓励学生积极参与课堂活动。
（2）总结性评价：通过课后作业、单元测试等方式，评估学生对知识点的掌握程度。
（3）反馈机制：及时给予学生反馈，指出学生的优点和不足，指导学生进行针对性的学习。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：以生活中的实例作为导入，例如，教师可以展示一张斜拉桥的图片，并提问：“同学们，你们知道这座桥是如何建成的吗？在建造过程中，工程师是如何确定桥的各部分尺寸和角度的呢？”通过这个问题，引导学生思考三角形在实际应用中的重要性。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：锐角三角比的定义、计算方法以及特殊角度的正弦、余弦、正切值。
2.难点：
（1）理解正弦、余弦、正切函数的图像和性质，尤其是周期性、奇偶性等。
（2）将锐角三角比知识应用于解决实际问题，尤其是非直角三角形的求解。
（）教学设想
1.对于重点内容的教授：
（1）采用生动的实际例子引入锐角三角比的概念，如测量旗杆高度、计算三角形面积等，让学生感受到数学的实用价值。
（3）开展探究活动，让学生在尝试和犯错中学习，鼓励学生提出不同解题思路，培养学生的创新思维。
3.教学策略：
（1）差异化教学：针对不同学生的学习能力，提供不同难度的学习材料，确保每个学生都能在原有基础上得到提升。
（2）情境教学：创设与实际生活相关的教学情境，提高学生的学习兴趣和参与度。
（3）合作学习：鼓励学生进行小组合作，通过讨论和互助，共同解决问题，提高团队协作能力。
作业要求：
1.学生独立完成作业，注重作业质量，要求字迹工整、步骤清晰。
2.学生在完成作业过程中，如遇到问题，可主动向同学或老师请教，及时解决问题。
中考锐角三角函数复习教案
中考锐角三角函数复习教案【教案内容】一、教学目标1.知识与技能（1）复习锐角三角函数的定义；（2）掌握常见锐角三角函数的计算方法；2.过程与方法（1）通过讲解、分析和解题等学习方法，帮助学生全面复习锐角三角函数的相关知识；（2）通过练习题，巩固学生的计算能力和应用能力；3.情感态度价值观通过学习锐角三角函数，培养学生的数学思维能力，提高学生的逻辑思维和分析问题的能力，培养学生的合作意识和团队精神。
二、教学重点1.锐角三角函数的定义；2.常见锐角三角函数的计算方法。
三、教学难点1.锐角三角函数的综合运用；2.有关锐角三角函数的实际问题。
四、教学过程1.复习（1）复习锐角三角函数的定义；（2）回顾与锐角三角函数相关的练习题。
2.讲授（1）解析定义法解析定义法是指通过三角形的几何关系来定义锐角三角函数的方法。
其基本定义如下：- 正弦函数sinA：在一个锐角三角形中，对于任意锐角A，a/b就是其正弦函数。
- 余弦函数cosA：在一个锐角三角形中，对于任意锐角A，b/c就是其余弦函数。
- 正切函数tanA：在一个锐角三角形中，对于任意锐角A，a/c就是其正切函数。
（2）练习题演练通过一些具体的练习题，帮助学生巩固解析定义法的运用。
3.拓展（1）锐角三角函数的性质-在锐角三角形中，锐角的对边是锐角三角函数的对边，锐角的邻边是锐角三角函数的邻边。
-在锐角三角形中，正弦函数的值总是小于等于1，余弦函数的值总是小于等于1，正切函数的值没有上界。
（2）常用锐角三角函数的计算- 根据锐角的大小和所在象限，计算sinA、cosA和tanA的值。
- 根据锐角的大小和所在象限，计算cscA、secA和cotA的值。
（3）练习题演练通过一些具体的练习题，帮助学生巩固常用锐角三角函数的计算方法。
4.整合与应用（1）综合运用通过一些综合的锐角三角函数计算题，帮助学生综合应用所学知识解答问题。
（2）实际问题通过一些与现实生活相关的锐角三角函数问题，帮助学生发现锐角三角函数在实际应用中的重要性和作用。
《锐角三角比》(中考第一轮复习课)教学设计说明.
《锐角三角比》（中考第一轮复习课）教学设计说明启良中学周建军《锐角三角比》这一章内容共分为四个部分：锐角三角比的意义、特殊的锐角三角比、解直角三角形以及解直角三角形的应用。
前三个部分是锐角三角比的概念及基本应用，第四部分内容“解直角三角形的应用”，则是通过将实际问题、测量问题等生活应用问题通过构建直角三角形的数学模型，从而转化为前三个部分知识的灵活应用。
因此我将整个这一章的内容分两课时完成，今天复习的这节课就是前三个知识点融合在一起的一节课。
在设计这节课的过程中，考虑到中考的第一轮复习主要对基础知识、概念以及一些基本运用进行回顾和总结，但作为中考的总复习也不能：复习一个知识点，仅仅只为这个知识点二复习。
因此在设计题组练习中，由单一性问题逐渐过渡到小综合题。
同时考虑到学生在复习这一章内容前，对直角三角形各知识网络可能有所遗忘或记忆不全，因此在进入主题前，我先复习了直角三角形的各知识点构成，一来引出今天的复习主题，同时也为下文要用到其他直角三角形的一些性质定理做了铺垫。
教学的班级中学生的层次参差不齐，因此对练习的设计，做了一个分层，循序渐进，先由最直接的概念的应用再过渡到该知识点与其他知识点的灵活应用中，在这个过程中，也让基础薄弱的学生有所体验：我不是什么也不会的；对层次高的同学，后面的小综合题有一定的挑战性。
在教学过程中，对一些数学形式的表达或表示结合数学思想和方法与学生一起回顾，让学生体验到锐角三角比在应用时怎样表示出已知条件，以及所需要什么样的条件，复习过程中，对基础的题型，让学生口答完成，强化学生口头表达能力，但小综合题强调规范的的书写。
《课程标准》中提出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
”因此，在本节课的教学活动中，努力做到：给予学生充分的独立思考的时间，使学生面对新问题，寻求新的解决办法；参与到学生活动中，适时进行点拨与指导，对学生在活动中的各种表现，都应该及时给予鼓励，使他们真正体验到自己的进步，感受到成功的喜悦；为学生提供协作、交流的机会，使每个学生的个性得以张扬。
锐角三角函数复习教案
第二十八章锐角三角函数（复习）一、教学目标：：1、掌握锐角三角函数的概念，利用锐角三角函数的意义及直角三角形的边角关系解决一些数学问题。
2、通过运用勾股定理，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数知识，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3、渗透数形结合思想，培养学生良好的学习习惯。
二、教学重点：锐角三角函数及直角三角形有关知识的综合运用三、教学难点：实际问题转化成数学模型。
四、教学过程：（一）师生共同复习本章知识结构（1）锐角三角函数及特殊角的三角函数值：①如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．那么∠A的正弦：sin A＝∠A的余弦：cos A＝∠A的正切：tan A＝∠B的正弦：sin A＝∠B的余弦：cos B＝∠B的正切：tan B＝思考：通过边角关系，你发现了什么规律？②特殊角的三角函数值：③三角函数的增减性：当0°< α < 90°时对于sinα与tanα，角度越大，函数值越；对于cosα，角度越大，函数值越 .(2). 解直角三角形①在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．三边关系：三角关系：边角关系：(3). 三角函数的应用 ①仰角和俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. ② 坡度，坡角如图：坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ） 的比叫做坡面坡度.记作i ，即i= h l.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有 i = tan α. 坡度通常写成1∶m 的形式，如i =1∶6.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡. ③ 方位角：以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角，叫做方位角. 如图所示 （二）、双基练习1、若∠A 为锐角，sinA=13,则：cosA=_____,tanA=______2、比较大小：sin530_____ sin540 sin270______ cos7203、(2014·凉山州)在△ABC 中，若|cos A －12|＋(1－tan B)2＝0，则∠C 的度数是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°4、(2015·兰州)如图，△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2AB ，则cos A ＝( )A .52B .12C .255D .555、如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A ＝35，BE ＝2，则tan ∠DBE的值是_ __． （三）、能力提升练习 6、(2015·巴中)计算：|2－3|－(2015－π)0＋2sin 60°＋(13)－1.7、(2015·丽水)如图，点A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos ∠α的值，错误的是( )A .BD BCB .BC AB C .AD AC D .CD AC8、(2015·太原)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( )A ．2 B.255 C .55 D .129、如图在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD=8，tan ∠BDC=34，则线段AB 的长为( ) A 、 4 B 、5 C 、6 D 、1010、如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交所成的锐角为α，若AC=a ，BD=b ，则：S □ABCD=( )A 、12absinaB 、absinaC 、abcosaD 、 12abcosa11、如图，直径为10的⊙A 经过点C(0，5)和点O(0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( )A .12B .34C .32D .4512、(2014·临沂)如图，在某监测点B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A 处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C 处，在C 处观测到B 在C 的北偏东60°方向上，则B ，C 之间的距离为( )A ．20海里B ．10 3 海里C ．20 2 海里D ．30海里13、(2015·曲靖)如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC ＝2，则cos D ＝____． 14、(2015·宁波)如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度．站在教学楼的C 处测得旗杆底端B 的俯角为45°，测得旗杆顶端A 的俯角为30°.若旗杆与教学楼的距离为9 m ，则旗杆AB 的高度是__________m (结果保留根号)15、(2015·牡丹江)在△ABC 中，AB ＝122，AC ＝13，cos B ＝22，求BC 的长。
初中数学【锐角三角比】优质教案
一、教与学目标：1.2.的文字语言与符号语言3.三、教与学方法： 自主探究、合作交流四、教与学过程：（一）、情境导入：如图，在Rt △ABC ，∠为边AB 上的两点，DE ⊥则ACBC AH GH AE DE ，，的值相么？在BC 上取一点B 分别交DE 、GH 于D ACC B AH H G AE ED '''，，的值如么？观察比较AEE D AEDE '与（二）、探究新知：1、问题导读： （1）米，另一端A 放在平地上，分别量的木板上的点B 1，B 2，B 3，B 4到A 点的距离AB 1，AB 2，AB 3，AB 4与它们距地面的高度B 1C 1，B 2C 2， B 3C 3，B 4C 4， 数据如表所示，现？个性化设计:（2）、如图9-2（1），作一个锐角A ，在∠A 的一边上任意取两个点B, B ′,经过这两个点分别向∠A 的另一边作垂线，垂足分别为C ，C ′，比值B AC B AB BC '''与相等吗?为什么？（3）、如果设K B A C B ='''，那么对于确定的锐角A 来说，比值K 的大小与点B ′在AB 边上的位置有关吗？ （4）、如图9-2（2），以点A 为端点，在锐角A 的内部作一条射线，在这条射线上取点B ″，使AB ″=AB ′,这样又得到了一个锐角∠CAB ″.过B ″作B ″C ″⊥AC ，垂足为C ″.比B A C B ''''''与K 的值相等吗？为什么？由此你得到怎样的结论？2、合作交流：三角比的定义在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即s inA ＝斜边的对边A ∠∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ， 即cosA=斜边的邻边A ∠个性化设计CB ′AC ′ B B ″C ′ B ′BAC ″（1） 图9-2（2）B 4B 2 B 1 0.400.50 0.60 0.75 0.80B 3 1.20 1.00 1.50 木板上的点 距地面的高度／米到A 点的距离／米∠A 的对边与∠A 的邻边的比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tanA ， 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan锐角A 的正弦、余弦和正切统称锐角A 的三角比.注意：sinA ，cosA ，tanA 都是一个完整的符号，单独的 “sin ”没有意义，其中A 前面的“∠”一般省略不写. 3、精讲点拨： 在Rt △ABC ，∠C=90°，把∠A 的对边记作a, 把∠B 的对边记作b, 把∠C 的对边记作c,你能分别用a ，b ，c 表示∠A 的正弦、余弦和正切吗？sinA ＝c a ，cosA=c b ，tanA=ba 仿照如此，你能分别用a ，b ，c 表示∠B 的正弦、余弦和正切吗？例1：（课本64页，图略）如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°，AC=4,BC=2, 求∠A 的正弦,余弦和正切的值. 分析：由勾股定理求出AB 的长度，再根据直角三角形中锐角三角比与三边之间的关系求出各函数值.生：独立思考，交流结果，举手板演． （三）、学以致用： 1、巩固新知： （1）、在△ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列关系式中错误的是（ ）A ．b=c cosB B ．b=a tanBC ．a=c sinAD ．a=b cosB （2）、在△ABC 中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则Sin B 的值是（ ）A.12B. 22C.32D.2（3）、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ）A ．1B ．2C ．22D ．22 2、能力提升：（1）、如果α是锐角，且54cos =α，那么αsin 的值是（ ）． A. 259 B. 54C. 53D. 2516（2）、在⊿ABC 中，∠C = ︒90，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，且5,2==c a ，则____sin =A ；____cos =A ；____tan =B ；个性化设计:（四）、达标测评：1、选择题：（1）、直角三角形的两条边长分别为3、4，则第三条边长为( )A ．5B ．7C ．7D ．5或7（2）、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝3，CD ⊥AB 于D ，设∠ACD ＝a ，则cos a 的值为 ( )A ．54B ．43C ．34D ．532、填空题： （3）、在△ABC 中，∠C=90°，若4a=5b ，则sinA=_____，cosA=_____，tanA=_______．（4）、在⊿ABC 中，∠C = ︒90，若,10,8==c a 则__cos ___,==A b ； 3、解答题：（5）、在Rt △ABC 中，∠C = ︒90，BC=8，sinA ＝54，求cosA 和tanB 的值.（6）、在Rt △ABC 中，∠C = ︒90，AB=2AC, 求cosB 和tanA 的值. 五、课堂小结：在Rt ΔABC 中,设∠C=900，∠α为Rt ΔABC 的一个锐角，则∠α的正弦________sin =α ， ∠α的余弦 _______cos =α， ∠α的正切_________tan =α. 六、作业布置：必做题：习题9.1 A 组， 选做题: 习题9.1 B 组 七、教学反思：个性化设计：。
《锐角三角比》教案
《锐角三角比》教案教学目标1、使学生了解直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值是固定的；2、通过实例认识正弦、余弦、正切三个函数的定义.教学过程一、新课导入：操场里有一个旗杆，小明去测量旗杆高度.小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了.你想知道小明怎样算出的吗？二、新课教学 (一)、认识三个三角比1、认识角的对边、邻边与斜边.如图，在Rt △ABC 中，∠A 所对的边BC ，我们称为∠A 的对边；∠A 所在的直角边AC ，我们称为∠A 的邻边.∠C 所对的边AB 为斜边.说出∠B 的对边和邻边巩固练习：﹙讨论﹚如图，﹙1﹚在Rt △ABE 中，∠BEA 的对边是 ，邻边是 ，斜边是 . ﹙2﹚在Rt △DCE 中，∠DCE 的对边是 ，邻边是 ，斜边是 . ﹙3﹚在Rt △ADE 中，∠DAE 的对边是 ，邻边是 ，斜边是.341米10米?2、认识三个三角比在Rt △ABC 中，∠C =90∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c . (1)我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦.记作sin A .sin A ＝A aA c ∠=∠的对边的斜边(2)我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦.记作cos A .cos A ＝c b=∠斜边的邻边A(3)我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切.记作tan A .tan A ＝ba=∠∠的邻边的对边A A∠A 的正弦、余弦、正切统称为∠A 的三角比 ［读一读］你知道三角函数符号的由来吗？三角学和算术、几何、代数一样，都是人类最早涉足的数学领域，sin 的英文全文是sine(正弦)，sine 一词创始于阿拉伯人，最早使用这一词的是西欧数学家雷基奥蒙坦(1463－1476)，cos 的英文全名是cosine(余弦)，cot 的英文全名是cotange nt ，这个词为英国人跟日耳所创用，tan 的英文全名是tangent(正切)，这个词为丹麦数学家托玛斯.芬(1561－1646)所创用.注意：1、sin A 不是sin 与A 的乘积，而是一个整体； 2、正弦的三种表示方式：sin A 、sin56°、sin ∠DEF 3、sin A 是线段之间的一个比值；sin A 没有单位.其他类同.讨论：∠B 的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？3、尝试练习：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，求．∠A 、∠B 的三个三角比值 (二)例题教学：例1如图2-4(课本第40页)在Rt △ABC 中，∠C=90°，a =2，b =4.求∠A 的正弦、余弦、正切的值．(三)课堂小结掌握∠A 的正弦,余弦，正切.ABECD(1)C B43。
九年级同步第14讲：锐角的三角比章节复习(1)(教案教学设计导学案)
锐角的三角比是九年级数学上学期第二章的内容．本章的基本要求是理解锐角三角比的概念，会求特殊锐角的三角比的值，会解直角三角形，需理解仰角、俯角、方向角、坡度和坡角等概念，并能解决有关的实际问题．重点是应用锐角三角比的意义及运用解直角三角形的方法进行有关的几何计算．难点是解直角三角形的应用．【练习1】已知中，，那么是的（）A．正弦B．余弦C．正切D．余切【难度】★【答案】D【解析】．【总结】考查锐角三角比的定义．【练习2】将锐角所在的三角的三边同时扩大三倍，这时角的正弦值（）A．变大B．变小C．不变D．不确定【难度】★【答案】B【解析】考查锐角三角比的定义．【练习3】已知中，，AC = 2，BC = 3，那么下列各式中正确的是（）A．B．C．D．【难度】★【答案】C【解析】考查锐角三角比的定义．【练习4】已知中，，AB = c，AC = b，BC = a，则下列关系不成立的是（）A．B．C．D．【难度】★【答案】B【解析】考查锐角三角比的定义及相关变形．【练习5】计算2sin 60° + 3tan30°的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】2sin 60° + 3tan30°．【总结】考查特殊角的锐角三角比值及代数式求值．【练习6】下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【难度】★【答案】D【解析】通过计算特殊角的锐角三角比的值，可以判断D正确．【总结】当锐角的度数逐渐增大时，正切值和正弦值也逐渐增大，而余切值和余弦值反而逐渐减小．【练习7】在中，，下列条件中不能解直角三角形的是（）A．已知c和a B．已知b和C．已知a和b D．已知和【难度】★【答案】D【解析】考查解直角三角形的条件．【总结】要解直角三角形，必须至少知道一条边．【练习8】已知AD是的斜边BC边上的高，BC = a，，那么AD等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：在中，，∴．在中，∴．【总结】本题主要考查利用锐角三角比解直角三角形．【练习9】如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6厘米，则这个三角形的面积为（）A．4.5平方厘米B．平方厘米C．平方厘米D．36平方厘米【难度】★★【答案】B【解析】解：根据题意解直角三角形可得：等腰三角形的高为3，底边长为，则三角形的面积为．【总结】本题主要考查30°角的锐角三角比的值．【练习10】如图，设点A（m，n）是锐角的一条边上的任意一点，则的值（）A．只与角的大小有关B．只与点A在角的边上的位置有关C．与角的大小及点A在角的边上的位置有关D．与角的大小及点A在角的边上的位置无关【难度】★★【答案】A【解析】，所以只与角的大小有关．【总结】本题主要考查锐角三角比的概念及相关性质．【练习11】等腰三角形的两条边分别为5和6，关于底角A下列等式中成立的是（）A．B．C．或D．或【难度】★★【答案】D【解析】①等腰三角形的两腰为5，底为6时，；②等腰三角形的两腰为6，底为5时，．【总结】本题主要考查锐角三角比的概念，注意要分类讨论．【练习12】如图，CD是平面镜，光线从点A出发经CD上点E反射后照射到点B，若入射角为，ACCD，BDCD，垂足分别为C、D，且AC = 3，BD = 6，CD = 11，则的值为（）A．B．C．D．【难度】★★【答案】D【解析】解：由光线反射定律可知：．则．∴．∴，解得：．∴．【总结】本题主要是跟物理知识相结合，注意反射角等于入射角的运用．【练习13】菱形的边长为4，有一个内角为40°，则较短的对角线是（）A．B．C．D．【难度】★★【答案】C【解析】考查菱形对角线平分一组内角和解直角三角形基础知识．【练习14】如图，在中，，E为AC上一点，且AE : EC = 3 : 1，EF AB于点F，连接FC，则的值为（）A．B．C．D．【难度】★★【答案】D【解析】过C作CG⊥AB．∵EF⊥AB，CG⊥AB，∴EF∥CG∴．设，则．在中，，∴，∴．∵，∴∴在中，．【总结】本题主要考查通过添加辅助线将所要求的锐角放到直角三角形中求解．【练习15】在中，AD是BC边上的高，且，CD = 1，那么的大小可能是（）A．15°B．75°C．15°，75°D．105°【难度】★★【答案】C【解析】解：在中，，∴．在中，，∴．∴①；②．【总结】本题主要考查解直角三角形，注意分类讨论．【练习16】如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上一点B，取，BD = 500米，，要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（）米A． B． C． D．【难度】★★【答案】B【解析】解：∵，∴．∵，∴．在中，，∴．【总结】本题主要考查解直角三角形的运用，注意分析题目中的条件．【练习17】如图，四边形ABCD中，，，，AD = 2，则四边形ABCD的面积是（）A．B．C．4 D．6【难度】★★【答案】C【解析】延长CD和BA交于点E．∵，，∴．∴．【总结】本题主要考查通过解直角三角形求几何图形的面积．【练习18】如图，在梯形ABCD中，AD // BC，ACAB，AD = CD，，BC = 10，则AB的值是（）A．3 B．6 C．8 D．9【难度】★★【答案】B【解析】解：∵AD = CD，∴．∵AD // BC，∴，∴．∴在中，，∴，解得：．∴．【总结】当两个锐角相等时，它们的相应的锐角三角比的值也相等．【练习19】如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB = 1.8米，要在窗子外面上方安装水平当光板AC，使午间光线不能直接射入室内，则挡光板的宽度AC为（）A．B．C．D．以上都不对【难度】★★【答案】D【解析】正确答案为．【总结】本题主要考查锐角三角比的准确运用．【练习20】如图，已知矩形ABCD的两边AB与BC的比为4 : 5，E是AB上的一点，沿CE将向上翻折，若点B恰好落在边AD上的点F，则等于（）A．B．C．D．【难度】★★★【答案】B【解析】解：设，．∵△CBE≌△CFE，∴．在中，．∵，，∴，∴．【总结】本题一方面考查翻折的性质，另一方面考查等角的锐角三角比的相关性质．【练习21】在中，，，c = 3，则sin A = ______．【难度】★【答案】．【解析】．【总结】考查锐角三角比的定义．【练习22】三边长分别为7，24，25，那么这个三角形最小角的余切值为______．【难度】★【答案】．【解析】根据勾股定理逆定理可知，是直角三角形，则最小角为7所对的角，则此角的余切值为．【总结】考查锐角余切的概念及勾股定理逆定理的运用．【练习23】中，，，那么tan A = ______．【难度】★【答案】．【解析】设，．由勾股定理可知：∴．【总结】本题主要考查锐角的正切的概念．【练习24】中，，，则= ______．【难度】★【答案】．【解析】∵，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值．【练习25】中，，AC = 6，如果，那么的度数是______．【难度】★【答案】60°．【解析】解：∵，，∴．∴，∴．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值．【练习26】在中，是锐角，则= ______．【难度】★【答案】1．【解析】解：原式=．【总结】本题主要考查锐角的正弦的取值范围．【练习27】若，则x = ______．【难度】★【答案】10°．【解析】，∴．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值．【练习28】菱形的两条对角线长为和6，则菱形较小的内角为______．【难度】★★【答案】60°．【解析】∵菱形的对角线互相垂直且每条对角线平分一组内角，∴最小内角一半的正切值是，∴最小内角一半为30°，∴最小内角为60°．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及菱形的性质．【练习29】如果，那么锐角= ______．【难度】★★【答案】60°．【解析】解方程可得：或，∵，∴，∴．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值．【练习30】校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______米．【难度】★★【答案】13．【解析】如图，AB=8，CD=13，BD=12．过A作AE⊥DC，则四边形ABDE为矩形．∴AB=DE=8，BD=AE=12，∴．【总结】本题主要考查根据题目中的已知条件求直角三角形的斜边．【练习31】等腰三角形ABC中，AB = AC，BC = 10，，那么______．【难度】★★【答案】120°．【解析】∵，BC = 10，∴．∴，∴．∴．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及等腰三角形的性质．【练习32】中，，斜边上的中线CD = 6，sin A =，则= _____．【难度】★★【答案】．【解析】∵，斜边上的中线CD = 6，∴AB = 2CD = 12．∵sin A =，∴．∴．∴．∴．【总结】本题主要考查解直角三角形以及直角三角形的性质．【练习33】如图，在C处测得铁塔AB的塔顶A的仰角为30°，向塔前进10米到达D处，在D处测得A的仰角为45°，则铁塔的高为______．【难度】★★【答案】．【解析】由题意，可设．在中，，∴．∴，解得：．【总结】本题主要考查解直角三角形与仰角结合的应用．【练习34】某拦水坝的横截面为梯形ABCD，其中斜面AB的坡比为1 : 3，如果自A向B 走了米，那么升高的高度为______米．【难度】★★【答案】10．【解析】设斜面AB的垂直高度为，则水平高度为，∴，解：∴升高的高度为10米．【总结】本题主要考查解直角三角形在坡比问题中的应用．【练习35】如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4米．如果在坡度为1：的山坡上种树，也要求株距为4米，则相邻两树间的坡面距离是______．【难度】★★【答案】5．【解析】考查坡度的定义．【练习36】用高为h的测角仪测得铁塔AB的顶点A的仰角为，测角仪到铁塔距离为m，那么铁塔高度为____________．【难度】★★【答案】．【解析】考查仰角的定义．【练习37】如图，某人从A点沿西南方向行了个单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为______．【难度】★★★【答案】．【解析】由题意可知：，，．过B作BC⊥AO．在中，，∴，．在中，，∴．∴．∴A点的坐标为．【总结】本题主要考查通过添垂线将特殊角放在直角三角形中，然后进行求解．【练习38】如图，如果绕点B按逆时针方向旋转30°后得到，且BP = 2，那么的长为______．（）【难度】★★★【答案】．【解析】联结，过B作BD⊥．∵，，∴．∴在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查通过添垂线将特殊角放在直角三角形中，然后进行求解，另外还考查了旋转的性质．【练习39】中，AB = 5，AC = 8，，则的面积是______．【难度】★★★【答案】．【解析】过A作AD⊥BC，垂足为D．在中，．∴．在中，．；②．【总结】本题主要考查根据已知条件解直角三角形，另外要注意进行分类讨论．【练习40】如图，在中，，，沿的中线CM将折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，则tan A的值为______．【难度】★★★【答案】．【解析】∵△AMC≌△DMC，∴，．∵CM为的中线，∴．∵CD恰好与MB垂直，∴．又∵，∴．∴．∵，∴．∴，∴．【总结】本题综合性较强，主要考查翻折的性质以及直角三角形的性质和特殊角的锐角三角比的值．【练习41】计算：．【难度】★★【答案】．【解析】解：原式=．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值及代数式求值．【练习42】已知为锐角，且无意义，求的值．【难度】★★【答案】．【解析】∵为锐角，且无意义．∴，∴．∴原式=．【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及分式无意义的条件．【练习43】如图，在中，，AC = BC，BD为AC边上的中线．求和的值．【难度】★★【答案】，．【解析】过D作DE⊥AB，垂足为E．设AE=DE=，则．∵BD为AC边上的中线，∴．∴．∴．∴．∴，．【总结】本题主要考查解直角三角形以及锐角三角比的概念．【练习44】如图，等腰梯形ABCD，AD // BC，，翻折梯形ABCD，使点B 重合于点D，折痕分别交AB、BC于点F、E，若AD = 2，BC = 8．求：（1）BE的长；（2）的正切值．【难度】★★【答案】（1）5；（2）．【解析】∵EF垂直平分BD，∴．∴，∴．过A作AG⊥BC，由等腰梯形的性质可得：．∴．∴．∴在中，．【总结】本题综合性较强，主要考查翻折的性质以及等腰梯形的性质和特殊角的锐角三角比的值．【练习45】如图，已知梯形ABCD中，AD // BC，，，BECD于点E，AD = 1，．求BE的长．【难度】★★【答案】．【解析】过D作DF⊥BC，垂足为F，则可得四边形ABFD为矩形．∵在中，，∴，∴．∴．∴，．∴．∵在中，，∴，∴．【总结】本题主要考查解直角三角形，注意通过添加垂线，将特殊角放到直角三角形中．【练习46】如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°．在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长．【难度】★★【答案】．【解析】过A作AG⊥CD，垂足为G．由题意可得：，，．∵在中，，∴，∴，∴．∵在中，，∴，∴．【总结】本题主要考查解直角三角形在仰角问题中的应用．【练习47】如图，有一朝向为正南方向的居民楼CD，该居民楼的一楼是高6米的超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼AB，当冬季正午阳光与水平线的夹角为30°时．（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响？为什么？（2）若要超市采光不受影响，两楼应相距多少米？【难度】★★【答案】（1）不受影响，理由见解析；（2）．【解析】（1）由题意可知：，．在中，∵，∴，∴．∵，∴超市以上的居民住房采光不受影响．（2）当时，超市采光不受影响，在中，，∴，∴．∴两楼至少相距米．【总结】本题主要考查解直角三角形在实际生活中的应用．【练习48】如图，拦水坝的横截面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6米，坝高为3.2米，为提高拦水能力，需要将水坝加高2米，并保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但背水坡坡度由原来的1 : 2变成1 : 2.5．求加高后的坝底HD的长为多少？【难度】★★★【答案】29.4米．【解析】解：∵BH=3.2，∴加高后MF=EN=5.2，MN=EF=BC=6，在和中，，∴HM=2.5MF=13，DN=2EN=10.4 ，∴HD=13+6+10.4=29.4．【总结】本题主要考查解直角三角形在坡度问题中的应用．【练习49】近日A市气象局测得沙尘暴中心在A市正西300公里的B处，并以公里/小时的速度向南偏东60°的BF方向移动，距沙尘暴中心200公里的范围是受沙尘暴影响的区域．（1）A市是否受到本次沙尘暴的影响？（2）若A市受沙尘暴影响，求受影响的时间有多长？【难度】★★★【答案】（1）是；（2）10小时．【解析】如图，点C为台风离A市最近的地方．D为A市是开始受到沙尘暴影响，E为A市不受沙尘暴影响．在中，．∴A市会受到本次沙尘暴影响．（2）由题意可知：AD=AE=200．在中，，∴．∴．【总结】本题主要考查解直角三角形在方位角问题中的应用．【练习50】如图，在中，，AB = 10，AC = 5，求的值．【难度】★★★【答案】．【解析】解：过C作CD⊥AB，垂足为D，过B作BE⊥AC，垂足为E．∵，∴．在中，，∴．在中，．∴．在中，，∴在中，．在中，；∴．【总结】本题主要考查解直角三角形的应用，综合性较强，要注意去寻找包含所求锐角的直角三角形．。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 锐角的三角比复习(一) 教案
课题: 锐角的三角比复习（一）一、复习目标1．进一步巩固锐角的三角比的定义，会用锐角的三角比的知识解直角三角形2．运用数形结合、转化、方程、分类讨论等思想和数学建模解相关数学问题，提升思维品质，形成数学素养3．采用解题方法的探讨（一题多解），积极打造以“快乐、智慧、多元、有效”为目标的阳光课堂，激发学生的学习兴趣二、复习重点、难点和关键1．复习重点：锐角的三角比相关知识的熟练巩固2．复习难点：灵活运用锐角的三角比知识及数学思想解相关的数学问题 3．复习关键：数形结合，构造直角三角形及直角三角形知识的应用三、复习进程【知识回顾】锐角的三角比相关知识 【题组1】如图:在△ABC 中,∠C=90°(1)若AC=4,BC=3,则sinA= , cosA = , tan A = .(2)若AB=25，cosB=53，则BC= . (3)若cotB=32，则 sinA= .【题组2】在Rt △ABC 中，90=∠ACB ，(1)已知：15`=AC ，45=∠A ，则BC=______，AB=_______；(2)已知：5=BC ，30=∠A ，则AB=_______,AC=________； (3)已知：33=BC ，3=AC ，则AB=_______，B ∠=_______； (4)已知：10=AC ，210=AB ，则BC=______，A ∠ =_______.(1) (2) (3) (4)【题组3】（1）等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是______.如图，在∆ABC 中，2tan =B ，22sin =C ，BC=6，（2）则AB=___，AC= .(1) （2）（3）在∆ABC 中，22sin =C ， BC=6，52=AB ，则AC= .【议一议】BBCABCABCA BCABCA1.已知：在矩形ABCD中，F是BC上的一点，AFDE⊥于E，5=AB，12=BF. )1(求ADE∠的正弦值)2(求CDE∠的余切值．)3(当EF=CF时，求AD的长2.在直角梯形ABCD中,AB∥CD, DA⊥AB, AB=4,CD=3,AD=7.(1) 求cos∠ABC的值;(2) 当E在边AD上移动（与点A、D不重合）时，△BEC是否能成为直角三角形？如能，求cot∠DCE的值；如不能，请说明理由【课堂小结】【作业】锐角的三角比试卷：1-17必做题；18选做【反馈练习】CABDEF如图:在△ABC 中,∠C=90°（1）若AC=12,BC=5,则sinA= , cosA = , tan A = .（2）若AB=26，cosB=135，则BC= . （3）若tanB=23，则 cosA= .在Rt △ABC 中，90=∠ACB ，(4)已知：5`=AC ， 45=∠B ，则BC=______，AB=_______； (5)已知：10=BC ，60=∠B ，则AB=_______,AC=________；(6)已知：34=BC ，4=AC ，则AB=_______，B ∠=_______； (7)已知：3=AC ，23=AB ，则BC=______，A ∠ =_______.(4) (5) (6) (7)（8）如图，等腰三角形中，腰长为13m ，底边长24cm ，则它的底角的正切值是______.如图，在∆ABC 中，22cos =B ，43tan =C ，BC=7，（9）则AB=___，AC= .BC ABCABCABCABCAA(8) (9)（10）在∆ABC 中，22cos =B ， BC=7，5=AC ，则AB= .。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 锐角的三角比(专题复习一) 教案
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯课题：锐角的三角比（专题复习一）一、复习目标1.进一步掌握锐角三角比的意义；灵活地解直角三角形.2.经历运用锐角三角比、解直角三角形的知识解决问题的过程，渗透数形结合等数学思想方法．3.通过积极参与数学学习的活动，提高学生分析问题和解决问题的能力，获得运用知识，领悟提高的成就感.二、复习重点、难点1.复习重点：锐角三角比的意义、解直角三角形.2.复习难点：灵活运用锐角三角比、解直角三角形的知识解决问题.三、复习思路四、复习进程（一）题组引入1.锐角的三角比的定义（1）在Rt △ABC中，︒=∠90C ，a、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，下列等式中正确的是（ ） A.c a A =cos ； B.b c B =sin ； C.b a B =tan ； D.abA =cot ． （2）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，则下列结论正确的是（ ） A ．sin A ； B ．tan A ＝12； C ．cos B ； D ．tan B （3）在以O 为坐标原点的直角坐标平面内有一点A （2，4），如果AO 与x 轴正半轴的夹角为，那么= ．小结：锐角的三角比的定义: 如图，在RtΔABC ，∠C ＝90°，tan A A A ∠=∠的对边的邻边；cot A A A ∠=∠的邻边的对边；sin A A ∠=的对边斜边；cos A A ∠=的邻边斜边.BC2.解直角三角形 知识梳理：① 直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形. ② 在Rt △ABC 中，如果∠C =90°，那么它的三条边和两个锐角这五个元素之间有以下的关系：三边之间的关系：222a b c +=.锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒. 边角之间的关系：tan A A A ∠=∠的对边的邻边，cot A A A ∠=∠的邻边的对边，sin A A ∠=的对边斜边，cos A A ∠=的邻边斜边（1）RtΔABC ，已知∠C ＝900，∠B =30°，AB =6，则∠A = °， BC = .（2）在△ABC 中，已知∠C =90°，AC =2，AB ，则∠B = °. （3）在等腰三角形ABC 中，已知AB =AC ，∠A =120°，BC =6，那么AB = . （4）在△ABC 中，AC =9，AB=8，∠A =30°，则△ABC 的面积为 . 小结:把非直角三角形中的几何计算问题化归为解直角三角形的问题时，常常要构造直角三角形.（二）及时反馈 1.选择题：（1）在RtΔABC 中，∠C=900，则cb是∠A 的（ ） A.正弦； B.余弦； C.正切； D.余切.（2）在直角△ABC 中，90C ∠=︒，1BC =，AC =，下列判断正确的是（ ）A. 30A ∠=︒；B. 45A ∠=︒；C. cot A =； D. tan A =. （3）已知Rt △ABC 中，90C ∠=︒，CAB α∠=，7AC =，那么BC 为（ ） A. 7sin α； B. 7cos α； C. 7tan α； D. 7cot α.（4）在△ABC 中，若tan A =1，sin B =22，你认为最确切的判断是（ ）A.△ABC 是等腰三角形；B.△ABC 是等腰直角三角形；C.△ABC 是直角三角形；D.△ABC 是一般锐角三角形. 2.填空题：（5）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果6AB =，2cos 3A =，那么AC = . （6）计算：6tan 2 30°－3sin 60°－2sin 45°= .（7）等腰三角形腰与底边之比是10：12，那么底角的正弦值为 . （8）在△ABC 中，∠ACB =135°，AC = 52，则BC 边上的高为 . （9）如图，在RtΔABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，AC =6，AB =10，则∠ACD 的正切值是 .（10）△ABC 中，∠C=90°，斜边上的中线CD =6，sin A = ，则S △ABC =______.（三）例题讲解例题1：∆ABC 中，AB =6，AC =4，∠BAC =120︒，（1）求∆ABC 的面积； （2）求tan B 的值.例题2：如图，矩形ABCD 中，AB =6，BC =12，BE =2EC ，DM ⊥AE 于M . 求：∠ADM 的余弦值.（四）能力提升21 A CBD已知在△ABC 中，∠C=90o ，AC=3，BC=4．在平面内将△ABC 绕B 点旋转，点A 落到A’，点C 落到C’，若旋转后点C 的对应点C’和点A 、点B 正好在同一直线上，求∠A’AC’的正切值.（五）课堂小结 1. 锐角的三角比的定义如图，在RtΔABC ，∠C ＝90°，tan A A A ∠=∠的对边的邻边；cot A A A ∠=∠的邻边的对边；sin A A ∠=的对边斜边；cos A A ∠=的邻边斜边2. 解直角三角形在Rt △ABC 中，如果∠C =90°，那么它的三条边和两个锐角这五个元素之间有以下的关系：三边之间的关系：222a b c +=.锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒. 边角之间的关系：tan A A A ∠=∠的对边的邻边，cot A A A ∠=∠的邻边的对边，sin A A ∠=的对边斜边，cos A A ∠=的邻边斜边五、课外作业复习点要《锐角的三角比》BCBC。
第二十五章《锐角的三角比》复习设计方案
第二十五章《锐角的三角比》复习设计方案九峰实验学校肖华明一、本章复习的总体目标1、建立清晰、系统的知识结构框架图,帮助学生完善知识结构、认知结构,提升元认知能力。
2、理解锐角的三角比的概念,会运用定义来求锐角的三角比的值，能推导并熟记30°,45°,60°角的三角比的值，并能根据这些值写出对应的锐角度数；能熟练计算含有这些角的三角比的运算式.3、会利用计算器求锐角的三角比的值,也能根据锐角的三角比的值求锐角的大小.4、会解直角三角形.理解仰角、俯角等概念，会解决简单的实际问题，从中感受数学与现实的联系，感悟化归、方程等数学思想，增强学数学、用数学的意识与能力。
二、本章知识的结构框图三、本章复习设计的一些说明1、本章复习教学课时数定为四节课.2、复习本章时的重点在于准确把握相关概念,建立清晰、系统的知识模块。
能熟练地解直角三角形.3、复习本章时的难点在于熟练解直角三角形（包括解直角三角形的应用），感悟化归、方程等数学思想，增强学数学、用数学的意识与能力.四、具体实施的一些途径和方法1、(可在第一节课实施)要求学生在课前细读课本，从学生实际出发，让学生自己提出相关的概念，并给出解释，在教师的引导进行反思、补充完善知识结构框图。
期待形成清晰、稳固的知识链和知识模块。
加强有关概念习题训练。
练习：一、填空：1、β角的正切记为，cos α表示∠α的。
2、在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 4，AB = 5，则cotA = 。
3、在Rt △ABC 中，∠C = 90°，cosA = 23，则tanA= 。
4、等腰△ABC 中，AB = AC = 25，BC = 14，则底角的余切值为 。
5、一段斜坡的垂直高度为8米，水平宽度为10米，则这段斜坡的坡比 i = 。
6、一物体沿着坡角为45°的斜坡向上推了10米，则该物体升高了 米。
7、如图1在Rt △ABC 中，∠C = 90°，CD ⊥AB 于D ， sinA=43,BD=6,则BC= 。
锐角三角比教案
25.1〔1〕锐角三角比的意义一、教学内容分析通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变. 二、教学目的设计1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变.2、能根据正切、余切概念正确进展计算.3、开展形象思维，初步形成由特殊到一般的演绎推理才能. 三、教学重点及难点理解认识正切概念，引导学生比拟、分析并得出：对任意锐角，它的对边与邻边的比值是不变的.四、教学用具准备五、教学流程设计六、教学过程设计一、 情景引入操场里有一旗杆，老师让小明去测量旗杆的高度.〔演示学校操场上的国旗图片〕小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与程度线的夹角为34度，并目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了.你想知道小明怎样算出的吗？1.观察(1)在Rt△ABC 中，∠C=90o ，∠A=30o ，BC=35m,求CB .(2) Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对边与邻边比.2.考虑引入新课稳固练习回家作业新课讲授课堂小结DBCC ’ A通过上面的计算，你能得到什么结论？[说明] 在一个直角三角形中，假如一个锐角等于30o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比值都等于33；在一个直角三角形中，假如一个锐角等于45o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比值都等于1. 3．讨论一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个定值？二、学习新课1．概念辨析如图：Rt △ABC 与Rt △A ’B ’C’，∠C=∠D C’A =90°，∠A=α，那么CABC 与AC DC ''有什么关系?结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边的比是一个固定值.如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c.在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切.记作tanA.板书：tanA ＝ba=∠∠的邻边的对边A A在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切.记作cotA.板书：cotA ＝A A ∠=∠的的ba2．例题分析例题1. 在Rt ⊿ABC 中，∠C=900，AC=3,BC=2,求tanA 和tanB 的值.解：在Rt ⊿ABC 中， ∵AC=3,BC=2∴tanA=32=AC BC tanB=23=BC AC .⊿ABC 中，∠C=900，BC=4，AB=5，求cotA 和cotB 的值. 解：在Rt ⊿ABC 中，由勾股定理得 AB 2=AC 2+BC 2 ∵BC=4,AB=5,∴AC=3452222=-=-BC AB .∴cotA=43=BC AC cotB=34=AC BC . 3．问题拓展在上题中，在同一个直角三角形中，∠A 的正切和余切有怎样的数量关系？∠B 是∠A 的余角，那么它们的正切、余切值之间有怎样的数量关系？[说明]在Rt ⊿ABC 中，∠A+∠B=90°：那么有 tanA ·cotA=1 tanA=B cot 1tanB=Acot 1三、稳固练习1．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o ，假设AB ＝5，CBAABCABCAC ＝4，那么cotA ＝〔 〕A ．35B ．45C ．34D ．432． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，tanA=23，那么边AC 的长是( )A ．13B ．3C ．43D ． 5四、课堂小结在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边〔邻边与对边〕的比是一个固定值.五、作业布置练习册25.1〔1〕25.1〔2〕锐角的三角比的意义一、教学内容分析使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实；逐步培养学生观察、比拟、分析、概括的思维才能. 二、教学目的设计1、知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值都不变；2、理解同一个锐角正弦与余弦之间的关系，正切与正弦、余弦的关系.三、教学重点及难点理解余弦、正切的概念；纯熟运用锐角三角函数的概念进展有关计算.B ’BC C ’A四、教学用具准备教具、学具、多媒体设备〔宋体四号〕 五、教学流程设计六、教学过程设计一、 情景引入1.观察(1)在Rt△ABC 中，∠C=90o ，∠A=30o ，BC=35m,求AB .(2) Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对边与斜边的比.2.考虑通过上面的计算，你能得到什么结论？[说明] 在一个直角三角形中，假如一个锐角等于30o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于21；在一个直角三角形中，假如一个锐角等于45o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于21.3．讨论由上面的观察，我们可以得到什么结论？二、学习新课1．概念辨析引入新课稳固练习回家作业新课讲授课堂小结如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠DC`A =90o ，∠A=α，那么BABC 与AB C B '''有什么关系? 结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比是一个固定值. 如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c.在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦.记作sinA. 板书：sinA ＝ca=∠∠的斜边的对边A A ；在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余弦.记作cosA.板书：cosA ＝cb=∠∠的斜边的邻边A A ；2．例题分析例题 1〔1〕如图, 在中，,,,求sinB ，cosB 的值.解：在中 22BC AB AC -=∵AB=6， BC=3 ∴AC=36-=3 sinB=2163==AB AC =22； cosB=222163===AB BC .123 1 2 34 XY PQ〔2〕在Rt △ABC 中, ∠C=90°,BC=6,sinA=53,求cosA 和tanB 的值. 解:, .又, .例题2. 在直角坐标平面中有一点P 〔3，4〕.求OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切、正弦、和余弦的值.解：过点P 向x 轴引垂线，垂足为点Q ，那么 ∠OPQ=900.由点P 的坐标为〔3，4〕得OQ=3,QP=4. 在Rt ⊿OPQ 中，OP=.5432222=+=+PQ OQ ∴tan α=34=OQ PQ , sin α=54=OP PQ cos α=53=OP OQ .sin A 与cosA 有什么关系？sin B 与cos A 呢？满足这种关系的A∠与B ∠又是什么关系呢？利用定义及勾股定理你还能发现sin A 与cos A 的关系吗？再试试看tan A 与sin A 和cos A 存在特殊关系吗？ 〔1〕假设90A B ∠+∠=,那么sin A =cos B 或sin B =cos A ; 〔2〕22sin cos 1A A +=;〔3〕sintancos AAA.三、稳固练习1.在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，那么有〔〕A．B．C．D．2. 在中，∠C＝90°，假如那么的值为〔〕A．B．C．D．3、如图：P是∠的边OA上一点，且P点的坐标为〔3，4〕，那么sin＝_____________.四、课堂小结1、使学生理解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系．2、使学生理解同一个锐角正弦与余弦之间的关系3、使学生理解正切与正弦、余弦的关系五、作业布置练习25.1〔2〕一、教学内容分析能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能纯熟计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式二、教学目的设计能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能纯熟计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式.三、教学重点及难点熟记30°、45°、60°角的三角比值，能纯熟计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式；30°、45°、60°角的三角比值的推导过程.四、教学用具准备 多媒体五、教学流程设计六、教学过程设计一、 情景引入问题：〔1〕还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即sin30°=21,sin45°=22. 〔2〕你还能推导出sin60°的值及30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？3．讨论画30°、45°、60°的直角三角形,分别求sin 30° 、cos45°、tan60°的值.归纳结果sinA cosA tanA二、学习新课1．例题分析 求以下各式的值：〔1〕(cos60°)2+(cos45°)2+sin30°sin45°；〔2〕 .解 〔1〕原式=221212()()22222++⨯⨯1111422=++= 〔2〕原式==3．问题拓展〔1〕8)30tan 60(cos 2+︒-︒+- 〔2〕2)145(sin 230tan 3121-︒+︒--[说明]此题主要考察特殊角的正弦、余弦值，解题关键是熟悉并牢记特殊角的正弦余弦值.易错点因没有记准特殊角的正弦、余弦值，造成错误.三、稳固练习求以下各式的值：(1)sin30°+cos30°； (2)sin30°·sin45°；(3)tan60°+2sin45°-2cos30°；(4)︒+︒-︒45tan 30cos 2330sin 2； (5)︒•︒+︒+︒︒+︒60cot 60tan 30cos 30cot 45sin 30sin 22.四、课堂小结通过本节课的学习，能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能纯熟计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式.五、作业布置练习25.225.3〔1〕解直角三角形一、教学内容分析本课时的内容是解直角三角形，首先是理解直角三角形中的边角的关系和什么是解直角三角形，以及在解直角三角形时，选择适宜的工具解，即优选关系式.从而能进步学生分析问题和解决问题的才能. 二、教学目的设计1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步形成分析问题、解决问题的才能． 3．浸透数形结合的数学思想，养成良好的学习习惯． 三、教学重点及难点教学重点：直角三角形的解法．教学难点：锐角三角比在解直角三角形中的灵敏运用．四、教学用具准备三角尺、实物投影仪、多媒体设备. 五、教学流程设计六、教学过程设计一、 情景引入1．观察引入新课：如下图，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处.问大树在折断之前高多少米? 显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的局部的长度为222410 ＝26 ， 26＋10＝36所以， 大树在折断之前的高为36米. 2．考虑1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ 3．讨论复习师白：Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系分别是什么？ 总结：直角三角形的边与角之间的关系 (1)两锐角互余∠A ＋∠B ＝90°；情景问题引入复习知识新课讲授稳固练习 课堂小结 布置作业(2)三边满足勾股定理a 2＋b 2＝c 2；(3)边与角关系sinA ＝cosB ＝a c ，cosA ＝sinB ＝bc，tanA ＝cotB ＝a b ，cotA ＝tanB ＝ba.二、学习新课1．概念辨析师白：我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．定义：我们把由元素求出所有末知元素的过程，叫做解直角三角形.2．例题分析例题1 在Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=380，a=8，求这个直角三角形的其它边和角.分析：此题直角三角形的一个锐角和一条直角边，那么首先要搞清楚这两个元素的位置关系，再分析怎样用适宜的锐角三角比解决问题，在此题中边是角的邻边，所以可以用的锐角三角比是余弦和正切.解：∵∠A+∠B=900∴∠A=900－∠B=900－380=520 ∵cosB=ca∴C=B a cos =15.1038cos 8∵tanB=ab∴b=atanB=8tan380≈例题2 在Rt △ABC 中，∠C=900，c=7.34，a=5.28，解这个直角三角形.分析：此题直角三角形的一条直角边和斜边，当然首先用勾股定理求第三边，怎样求锐角问题，要记住解决问题最好用原始数据求解，防止用间接数据求出误差较大的结论.解：在Rt △ABC 中，∵∠C=900，∴a 2＋b 2＝c 2∴b=099.528.534.72222≈-=-a c ∵sinA=7193.034.728.5≈=c a ∴∠A=460∴∠B=900－∠A ≈900－460=440.[说明] 我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概理解解直角三角形的概念，同时又陷入考虑，为什么两个元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情． 3．问题拓展例题3 如图，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰C ，炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东40°的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的间隔 (准确到l 米).分析：此题中，条件是什么?(AB ＝2000米， ∠CAB ＝90°－ ∠CAD ＝50°)，那么求AC 的长是用 “弦〞还是用“切〞呢?求BC 的长呢?显然，AC 是直BCA角三角形的斜边，应该用余弦，而求BC 的长可以用正切，也可以用余切.讲解后让学生考虑以下问题：(1)在求出后，能否用勾股定理求得BC ；(2)在这题中，是否可用正弦求AC ，是否可以用余切求得BC. [说明] 通过这几道例题的分析和挖掘，使学生明确在求解直角三角形时可以根据题目的详细条件选择不同的“工具〞以到达目的. 从上面的几道题可以看出，假设知道两条边利用勾股定理就可以求出第三边，进而求出两个锐角，假设知道一条边和一个锐角，可以.利用边角关系求出其他的边与角.所以，解直角三角形无非以下两种情况：(1)两条边，求其他边和角. (2)一条边和一个锐角，求其他边角三、稳固练习1、课本P73练习1、22、由以下条件解题：在Rt △ABC 中，∠C=90°： 〔1〕a=4，b=8，求c ．(c=54)〔2〕b=10，∠B=60°，求a ，c ．〔3〕c=20，∠A=60°，求a ，b ．3320,3310==c a 10,310==b a四、课堂小结本节课我们利用直角三角形的边与边、角与角、边与角的关系，由元素求出未知元素，在做题目时，学生们应根据题目的详细条件，正确选择上述的“工具〞，求出题目中所要求的边与角.五、作业布置练习册25.3〔1〕25.3〔2〕解直角三角形一、教学内容分析本课时其实是安排了一个解直角三角形和应用的一节过度课，它起到了承上启下的作用.先从解一般的三角形或梯形的问题，寻找转化为直角三角形的方法，然后，到下一节课的应用，使学生不会有知识过度跳跃的感觉.二、教学目的设计1．进一步运用勾股定理、锐角三角比解非直角三角形．2．通过综合运用锐角三角比解三角形，逐步形成分析问题、解决问题的才能．三、教学重点及难点教学重点：学会把一般三角形转化为直角三角形解决．教学难点：如何转化为直角三角形的辅助线的做法．四、教学用具准备三角尺、实物投影仪、多媒体设备.五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1．复习1、求以下各直角三角形中字母的值．2、在△ABC中，∠C为直角，b=2，a=6，解这个三角形．3、在△ABC中，∠C为直角，且b=20，B=350，解这个三角形〔准确到0.1〕．2．考虑在一般的三角形中，假如适当的元素能否能求出其余相关的元素呢？ 3．讨论在一般的三角形中，几个元素能求出其余相关的元素呢？二、学习新课1．例题分析例题1 在等腰三角形ABC中，AB=AC, ∠A=45°,BC=6,求它的腰长和底角.分析：根据三角形内角和定理，可求得底角的大小．如图，作底边上的高，由等腰三角形“三线合一〞的性质，可知底边被高平分，于是得到两个全等的直角三角形．因此在其中任意一个直角三角形中，知道了一个锐角、一条直角边，可解这个直角三角形，从而得到等腰三角形的腰长．解：在△ABC中，∠B= ∠C=21(1800-∠A)=21〔1800-4500=67030’过点A作AD⊥BC，垂足为点D∵ AB＝AC，C B∴BD=21BC=21×6=3 在Rt △ABD 中∵cosB=AB BD∴AB=839.70367cos 3cos 0≈'=B BD 所以，这个等腰三角形的腰长约为7．839，底角为67030’. 考虑：此题假如作腰上的高，能解△ABC 吗？试一试：在等腰三角形中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求它的顶角和底角．例题2 在△ABC 中，AC=9，AB=8.5，∠A=38°,求AC 边上的高及△ABC 的面积．分析：为了利用∠A 的三角比，所以作出AC 或AB 边上的高，构造直角三角形，可求出一条高，再求出三角形的面积.解：过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D.在Rt △ABD 中，∵sinA=ABBD， ∴ BD ＝AB ·×sin38°≈ S △ABC =21AC ·BD=21×9×≈所以，AC 边上的高约为5．233，△ABC 的面积约为23．55. 2．问题拓展例题3 如图，在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB=23,AC=23,求AB分析：此题可以过点C 作AB 边ACB的垂线，把∠A和∠B作在直角三角形中，再利用锐角三角比解决问题.老师引导学生解答.[说明]通过这几道例题的分析和挖掘，使学生明确可以用解直角三角形的知识解决一般三角形中的计算问题.就是要把握好转化的技巧.三、稳固练习1、课本25.3〔2〕2、等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求顶角∠A的四个三角比值．3、在直角梯形ABCD中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34，那么底角∠B= ；4、如下图，：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8.求：△ABC的面积(结果可保存根号).四、课堂小结本节课我们利用直角三角形的知识将某些一般三角形问题或梯形问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．今后，我们还要擅长用数学知识解决实际问题．五、作业布置练习册25.3〔2〕25.4〔1〕解直角三角形的应用一、教学内容分析本节列举理解直角三角形的一类典型问题：仰角、俯角问题.让学生感受数学与生活的严密联络，进步数学问题实际化的才能，领会数学思想.二、教学目的设计1．掌握仰角、俯角概念；2．在用解直角三角形的知识解决实际问题的过程中，感受数学与生活的严密联络，增强学数学、用数学的意识和才能.三、教学重点及难点将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素间关系进展解题.四、教学用具准备 计算器、多媒体 五、教学流程设计六、教学过程设计一、引入让学生从仰视和俯视两种神态亲身体验,再利用投影仪显示一些有关仰角和俯角的实例，从而引出仰角、俯角的定义.[说明]从学生的实际生活背景出发，创设问题情境，这样的情景创设，表达了浓重的生活气息，充分调动学生思维的积极性.二、学习新课1．概念辨析在测量时，在视线与程度线所成的角中，视线在程度线上方的角叫做仰角，视线在程度线下方的角叫做俯角.[说明] 在仰角和俯角这两个概念中，必须强调是视线与程度线所夹的角，而不是水平线视线视线︶仰角︶俯角铅垂线h视线与铅垂线所成的角.2．例题分析例题1 如图，在地面上离旗杆BC底部10米的A处，用测角仪测得旗杆顶端C的仰角为52°，测角仪AD的高为，求旗杆BC的高〔准确到〕.分析结合图形旗杆与地面是垂直的，从测角仪D处作DE∥AB，可以得到一个Rt△DCE，利用直角三角形中的元素,可以求出CE，从而求得BC.解从测角仪D处作DE∥AB，交BC于点E.根据题意，可知DE=AB=10〔米〕，BE=AD=1.5〔米〕，∠CDE=52°.CE，得在Rt△DCE中,tan∠CDE=DECE=DE ·tan∠CDE=10·tan52°≈12.80(米).那么BC=BE+CE≈≈14.3(米).答:旗杆BC的高约为.例题2 如图,甲乙两幢楼之间的间隔 CD等于40米,如今要测乙楼的高BC(BC⊥CD),所选观察点A在甲楼一窗口处,AD∥°,底部C的俯角为25°.求乙楼的高度(准确到1米).解从观察点A处作AE∥CD,交BC于点E.根据题意,可知AE=CD=40(米), ∠BAE=32°, ∠CAE=25°.BE，得在Rt△ABE中,tan∠BAE=AEBE=AE·tan∠BAE=40·tan32°≈25.0(米).在Rt △ACE 中,tan ∠CAE=AECE，得 CE=AE ·tan ∠CAE=40·tan25°≈18.7(米). 那么BC=BE+CE ≈≈44(米). 答:乙楼的高度约为44米.[说明]在实际问题数学化，运用仰角、俯角概念解直角三角形时，要首先找出它们所在的直角三角形，表示时注意“程度线〞，再结合图形中的元素，解出要求的未知元素.同时在学生审题时，强调注意题后对结果准确度的要求，培养严谨的学习态度.三、稳固练习1. 在离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，假如测角仪高为米，那么旗杆的高为 米〔用含α的三角比表示〕．100米高的平台上，测得地面上一塔顶与塔基的俯角分别为30°和60°，那么塔高为__________米;3. ：如图，建筑物AB 高为200米，从它的顶部A 看另外一建筑物CD 的顶部C 和底部D ，俯角分别为30°和45°，求建筑物CD 的高．4．如图,线段AB 、CD 分别表示甲、乙两幢楼,从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C 的仰角α=30°,从乙楼底部D 测得甲楼顶部A 的仰角β=60°.甲楼的高AB=24米,那么乙楼的高CD为多少米? 5．如图，AB 和CD 是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB 的楼顶A 点测得楼CD 的楼顶C 的仰角为45°，楼底D 的俯角为30°．求楼CD的高(结果保存根号). 四、课堂小结1．知道仰角、俯角的意义，明确概念强调的是视线与程度线的夹角；2．认真分析题意，在原有的图形中寻找或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题；AB CABC D C (第5题图)3．按照题目中的准确度进展计算，五、作业布置练习册：习题25.4〔1〕25.4〔2〕解直角三角形一、教学内容分析本节梳理了在直角三角形中，除直角外五个元素之间的关系，然后分析了满足什么条件的直角三角形是可以求解的.二、教学目的设计进一步学习如何把某些实际问题的数量关系归结为直角三角形各元素之间的关系，将实际问题转化为数学问题的方法，进步分析问题、解决问题的才能，体验数学在实际生活中的应用，增强数学应用的意识.三、教学重点及难点正确理解题意，利用解直角三角形的知识将实际问题转化为数学问题.四、教学用具准备三角板、计算器、多媒体设备 五、教学流程设计六、教学过程设计一、 情景引入1．说一说请学生以自己为观察点，尝试运用较为准确的说法说说班级中其他一些同学所处的位置.10°东南西A BCE15°45°北D30°2．考虑如图，以A 为观测中心，分别指出点B 、C 、D 、E 各点所处的方向.[说明]通过创设问题情境激发学生的求知欲望，感悟“数学源于生活又作用于生活〞，体验数学的价值.二、学习新课1．概念辨析 回忆方位角 2．例题分析例题1 如图，在港口A 的南偏东52°方向有一小岛B ，一艘船以每小时24千米的速度从港口A 出发，沿正东方向航行，20分钟后，这艘船在C 处且测得小岛B 在船的正南方向.小岛B 与港口A 相距多少千米〔准确到〕？解: 根据题意,可知∠CAB=90°-52°=38°,∠ACB=90°,AC=24×6020=8(千米). 在Rt △ABC 中,cos ∠CAB=ABAC，得 AB=CAB AC cos =o38cos 8≈10.2(千米).答:小岛B 与港口A 相距约.△ABC 中,测得∠C=62°,∠B=49°,BC=,求河宽(准确到).解: 过点A 作AD ⊥BC,垂足为点D,河宽就是AD 的长.ACB北 南52°30°在Rt △ABD 中,cotB=ADBD，得 BD=AD ·cotB=AD ·cot49°. Rt △ACD 中,cotC=ADCD，得 CD=AD ·cotC=AD ·cot62°, 因为BD+CD=BC ，所以AD ·cot49°+ AD ·cot62° 那么AD=062cot 49cot 5.33 ≈23.9(米).答:河宽约为. 3．问题拓展1.某海防哨所发现间隔 它400海里的北偏西30°A 处有一艘船，该船正向东方向航行，经过3分钟到达哨所东北方向的B 处.求这船的速度是多少？2.某条道路上通行车辆限速为60千米/时,在离道路50米△ABC 中,∠A=45°, ∠B=30°,车辆通过AB 段的时间在多少秒以内时,可认定为超速(准确到0.1秒)?[说明]在例题分析讲解的根底上进展问题的拓展,可以增强对知识点的理解,起到稳固作用.三、稳固练习1．一艘轮船向正东方向航行，上午9时测得它在灯塔P 的南偏西30°方向，间隔 灯塔120海里的M 处，上午11时到达这座灯塔的正南方向的N 处，那么这艘轮船在这段时间内航行的平均速度是多少？2. 由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭.近日，A 市气象局测得沙尘暴中心在A 市的正西方向300千米的B 处，以 千米/小时的速度向东偏南30°的BF 方向挪动，距沙尘暴中心200千米的范围是受沙尘暴严重影响的区域〔如图〕.北东(1)通过计算说明A市必然会受到这次沙尘暴的影响；(2)计算A市受沙尘暴影响的时间.四、课堂小结今天学习了什么, 你有什么收获？五、作业布置练习册：习题25.4〔2〕25.4〔3〕解直角三角形的应用一、教学内容分析本节教材内容主要是坡度有关概念，以及利用直角三角形边角关系，解决消费及生活中有关坡度的实际应用问题.二、教学目的设计1．理解坡度有关的概念，学会利用已学过的知识解决有关坡度的实际问题；2．形成分析问题、解决问题的才能和运用数学的意识，感悟数学来源于理论又作用于理论．体验数学的价值.三、教学重点及难点1、学会将某些实际问题中的数量关系归结为解直角三角形中的元素之间的关系，从而解决问题；2、掌握坡度的意义，强调坡度i的表示形式1∶m．四、教学用具准备多媒体五、教学流程设计六、教学过程设计一、 情景引入1．观察 同学们，你们有没有观察到在我们教学楼的东侧有一条残疾人通道？2．考虑我们知道，残疾人通道是斜坡，假设用AB 表示，沿着通道走可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高，那么你知道该通道的坡角吗？[说明] 从学生身边的实际生活背景出发，创设问题情境，这样的情景创设，表达了浓重的生活气息，充分调动学生思维的积极性.二、学习新课1．概念辨析如图，坡面的铅垂高度〔h 〕和程度宽度〔L 〕的比叫做坡面的坡度〔或坡比〕，记作i ，即i=Lh .坡度通常写成1:m 的形式，如i=1∶1.5．坡面与程度面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i 与坡角α之间的关系: i=Lh =tan α. 2．例题分析例题 1 大楼前残疾人通道是斜坡，假设用AB 表示，沿着通道走可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高，那么你知道该通道的坡度与坡角吗？〔角度准确到1’，其他近似数取四位有效数字〕.提问：AB 表示什么？题中数据、各表示什么量？如何求i ？ 解 过点A 作程度线l ，再作BC ⊥l,垂足为点C. 根据题意,可知AB=,BC=. 在Rt △ABC 中,AC=22BC AB -=224.02.3-≈3.175(米). ∴i=175.34.0=AC BC ≈1:7.938. ∴tanA=175.34.0=AC BC ≈0.1260， ∴∠A ≈7°11’.答:残疾人通道的坡度约为1：7.938，坡角约为7°11’.实际生活中,在修路、挖河、开渠等设计图纸上,都需要注明斜坡的倾斜程度,使用着坡度.例题2 如图(图中单位:米),一段铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD,路基顶宽BC 为,路基高为,斜坡AB 的坡度i=1:1.6.(1)计算路基的下底宽(准确到); (2)求坡角(准确到1°)解 分别过点B 、C 作BE ⊥AD 、CF ⊥AD ，垂足分别为点E 、F.根据题意，可知BE=1.29(米),AE=DF,EF=BC=2.8(米). 在Rt △ABE 中, ∵6.11AE BE ， ∴×1.2=1.92〔米〕. (1)AD=AE+EF+DF=2AE+EF =2×≈6.6(米) (2)设坡角为α,那么 i=tan α=6.11=0.625, ∴α≈32°.答:路基下底宽约为,坡角约为32°. 3．问题拓展有一段防洪大堤, 其横断面为梯形ABCD,AB ∥CD, 斜坡AD 的坡度ABCD。
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课题：锐角的三角比（专题复习一）
一、复习目标
1.进一步掌握锐角三角比的意义；熟练掌握特殊锐角的三角比的值；灵活地解直角三角形.
2.经历运用锐角三角比、解直角三角形的知识解决问题的过程，渗透数形结合、化归与转化的数学思想方法．
3.通过积极参与数学学习的活动，提高学生分析问题和解决问题的能力，获得运用知识，领悟提高的成就感.
二、复习重点、难点
1.复习重点：锐角三角比的意义、特殊锐角的三角比值、解直角三角形.
2.复习难点：灵活运用锐角三角比、解直角三角形的知识解决问题.
三、复习思路
四、复习进程
（一）题组引入
1.锐角的三角比的定义
（1）在Rt △
ABC 中，︒=∠90C ，
a 、
b 、c
分别是A ∠、B ∠、C ∠
的对边，下列等式中正确的是（ ） A.c a A =
cos ； B.b c B =sin ； C.b a B =tan ； D.a
b
A =cot ． （2）在Rt △ABC 中，∠AC
B ＝90°，B
C ＝1，AC ＝2，则下列结论正确的是（ ） A ．sin A ； B ．tan A ＝1
2
； C ．cos B ； D ．tan B （3）在以O 为坐标原点的直角坐标平面内有一点A （2，4），如果AO 与x 轴
正半轴的夹角为，那么= ．
小结：锐角的三角比的定义: 如图，在RtΔABC 中，∠C ＝
B
C
tan A A A ∠=
∠的对边的邻边；cot A A A ∠=∠的邻边
的对边
；sin A A ∠=的对边斜边；cos A A ∠=的邻边斜边.
2.特殊锐角的三角比的值
（1）计算：2sin60°＋tan45°＝ ． （2）若α为锐角，已知cos α=2
1
，那么tan α= . （3）计算：．
小结：特殊锐角的三角比的值：
3.解直角三角形 知识梳理：
① 在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形. ② 在Rt △ABC 中，如果∠C =90°，那么它的三条边和两个锐角这五个元素之间有以下的关系：
三边之间的关系：222a b c +=.
锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒. 边角之间的关系：tan A A A ∠=
∠的对边的邻边，cot A A A ∠=∠的邻边
的对边，
sin A A ∠=
的对边斜边，cos A A ∠=的邻边
斜边
（1）RtΔABC ，已知∠C ＝90°，∠B =30°，AB =6，则∠A = °， BC = . （2）在△ABC 中，已知∠C =90°，AC
，AB =2，则∠B = °. （3）在等腰三角形ABC 中，已知AB =AC ，∠A =120°，BC =6，那么AB = . （4）在△ABC 中，AC =9，AB=8，∠A =30°，则△ABC 的面积为 . 小结:把非直角三角形中的几何计算问题化归为解直角三角形的问题时，常常要
构造直角三角形.
（二）及时反馈
1. 在RtΔABC 中，∠C=90°，则
c
b
是∠A 的（ ） A.正弦； B.余弦； C.正切； D.余切.
2. 在直角△ABC 中，90C ∠=︒，1BC =
，AC =下列判断正确的是（ ） A. 30A ∠=︒； B. 45A ∠=︒；
C. cot 2
A =
；
D. tan 2A =.
3. 已知Rt △ABC 中，90C ∠=︒，CAB α∠=，7AC =，那么BC 为（ ） A. 7sin α； B. 7cos α； C. 7tan α； D. 7cot α.
4. 在△ABC 中，若tan A =1，sin B =
2
2
，你认为最确切的判断是（ ） A.△ABC 是等腰三角形； B.△ABC 是等腰直角三角形； C.△ABC 是直角三角形； D.△ABC 是一般锐角三角形. 5. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果6AB =，2
cos 3
A =
，那么AC = . 6. 计算：6tan 2 30°－3sin 60°－2sin 45°= .
7. 等腰三角形腰与底边之比是10：12，那么底角的正弦值为 . 8. 在△ABC 中，∠A =45°，∠C =30°,AB
= BC 的长为 . 9. 如图，在RtΔABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，AC =6，
AB =10，则∠ACD 的正切值是 .
10. △ABC 中，∠C=90°，斜边上的中线CD =2，sin A = ，则S △ABC =______.
2
1 A C
D
（三）例题讲解
例题1：∆ABC中，AB=6，AC=4，∠BAC=120︒，（1）求∆ABC的面积；
（2）求tan B的值.
例题2：如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=12，BE=2EC，DM⊥AE于M.
求：∠ADM的余弦值.
（四）能力提升
已知在△ABC中，∠C=90o，AC=3，BC=4．在平面内将△ABC绕B点旋转，点A落到A’，点C落到C’，若旋转后点C的对应点C’和点A、点B正好在同一直线上，求∠A’AC’的正切值.
（五）课堂小结
通过这节课的复习你有哪些收获？
五、课外作业
《锐角的三角比》相关练习
B C
B C
A。