自学考试 线性代数试卷及答案集合

2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试04184线性代数（经管类）试卷本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。

说明：本试卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()A r 表示矩阵A 的秩。

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设3阶行列式111232221131211a a a a a a =2，若元素ij a 的代数余子公式为ij A （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A 【 】A.1-B.0C.1D.2 2.设A 为3阶矩阵，将A 的第3行乘以21-得到单位矩阵E ， 则A =【 】 A.2- B.21-C.21D.23.设向量组321,,ααα的秩为2，则321,,ααα中 【 】 A.必有一个零向量B. B.任意两个向量都线性无关C.存在一个向量可由其余向量线性表出D.每个向量均可由其余向量线性表出4.设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特征向量为【 】A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛211 5.二次型212322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为 【 】A.0B.1C.2D.3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错误、不填均无分、6.设1312)(--=x x f ，则方程0)(=x f 的根是7.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0210A ,则*A = 8.设A 为3阶矩阵，21-=A ,则行列式1)2(-A = 9.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2001P ,若矩阵A 满足B PA =,则A = 10.设向量T )4,1(1-=α,T)2,1(2=α,T )2,4(3=α,则3α由21,αα线性表出的表示式为11.设向量组TT T k ),0,1(,)0,1,4(,)1,1,3(321===ααα线性相关，则数=k12.3元齐次线性方程组⎩⎨⎧=-=+003221x x x x 的基础解系中所含解向量的个数为13.设3阶矩阵A 满足023=+A E ，则A 必有一个特征值为 14.设2阶实对称矩阵A 的特征值分别为1-和1，则=2A 15.设二次型212221212),(x tx x tx x x f ++=正定， 则实数t 的取值范围是三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.计算4阶行列式3100131001310013=D 的值。

17.已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0001001011223a a aa a a A ，求1-A 。

18.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110011111A ,且矩阵X 满足X A E AX +=+3,求X 。

19.设向量T T T T k k k k )1,1,1,1(,)1,,1,1(,)1,1,2,1(,)1,1,1,1(2321+=++===βααα,试确定当k 取何值时β能由321,,ααα线性表出，并写出表示式。

20.求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++=+++1332122043214324321x x x x x x x x x x x 的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）。

21.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11131111x A 与对角矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200020001B 相似，求数x 与可逆矩阵P ，使得B AP P =-1。

22.用正交变换将二次型3123222132122),,(x x x x x x x x f +++=化为标准形，写出标准形和所作的正交变换。

四、证明题（本题7分）23.设向量组321,,ααα线性相关，且其中任意两个向量都线性无关。

证明：存在全不为零．．．．的常数321,,k k k 使得0332211=++αααk k k 。

2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码04184）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1.D2.A3.C4.B5.C 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6. 57. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0210 8. 41-9. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛22321 10. 2133ααα+-= 11. 1- 12. 1 13. 23-14. E15. 0＜t ＜1三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.解 3100131001310013=D =3100131000130131- ......3分5555000310013100131=--= ......9分17.解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001100100101000011000000110000001010000100100100011232223a a aaa aa a a a a a ......2分 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→001100001001001000010100001a a a ..........7分从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-00101010010001a a a A ......9分18.解 由X A E AX +=+3,得E A X E A -=-3)( ......2分又由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-010001110100010001110011111E A 可逆 ......5分由E A X E A -=-3)(,可得))(()(2E A A E A X E A ++-=- 两边左乘1)(--E A ,得到⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=3311233221000100011100111111211022102E A A X ......9分19解 设βααα=++332211x x x ， ......2分 该线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----++→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=-22222000100101111111111*********k k k k k k k k k k A ......6分 由于β能有321,,ααα线性表出，则必有3)()(==-A r A r 此时0=k ，方程组有唯一解0,1321===x x x表示式为1αβ= ......9分 20.解 方程组的增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000001221011101133211221001111A ......2分 可知2)()(==-A r A r ＜＜4，方程组有无穷多解 ......4分由同解方程组⎩⎨⎧--=++-=4324312211x x x x x x求出方程组的一个特解T)0,0,1,1(*-=η,导出组的一个基础解系为TT)1,0,2,1(,)0,1,2,1(21-=-=ξξ ......7分 从而方程组的通解为T T T c c c c )1,0,2,1()0,1,2,1()0,0,1,1(212211*-+-+-=++ξξη21,(c c 为任意常数） ......9分21.解 由条件可知矩阵A 的特征值为2,1321===λλλ ......2分由0101121110=-=-----=-x xA E ，得1=x ......4分 对于11=λ，由线性方程组0)(=-x A E 求得一个特征向量为 T)1,1,1(1-=α对于232==λλ，由线性方程组0)2(=-x A E 求得两个线性无关的特征向量为TT )1,1,0(,)1,0,1(32==αα令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==111101011),,(321αααP ,则B AP P =-1......9分 22.解 二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A ......2分由0)2(11201012=-=-----=-λλλλλλA E故A 的特征值为0,2321===λλλ ......4分 对于221==λλ，求解齐次线性方程组0)(=-x A ，得到基础解系T)1,0,1(3-=α将其单位化，得T )21,0,21(3-=γ ......7分令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==2121000121210),,(321γγγP ,则P 为正交矩阵，经正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y P x x x ，化二次型为标准形222122y y + ......9分四、证明题（本题7分）23.证 由于向量组321,,ααα线性相关，故存在不全为零的常数321,,k k k ，使得 0332211=++αααk k k ......2分 其中必有01≠k 。

否则，如果01=k ，则上式化为03322=+ααk k其中32,k k 不全为零，由此推出32,αα线性相关，与向量组中任意两个向量都线性无关的条件矛盾 ......5分 类似地，可证明0,032≠≠k k ........7分2015年4月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试卷课程代码：04184一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1、设行列式D 1=2211b a b a ，D 2=2221113232a b a a b a --，则D 2= 【 】A.-D 1B.D 1C.2D 1D.3D 1 2、若A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1x 1021，B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛y 24202，且2A =B ，则 【 】 A.x=1，y=2 B.x=2，y=1C.x=1，y=1D.x=2，y=23、已知A 是3阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A 等价的是 【 】A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000001B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000001D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000100014、设2阶实对称矩阵A 的全部特征值味1，-1，-1，则齐次线性方程组（E +A ）x =0的基础 解系所含解向量的个数为 【 】 A.0 B.1 C.2 D.35、矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3113有一个特征值为 【 】 A.-3 B.-2 C.1 D.2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6、设A 为3阶矩阵，且A =3，则13-A = .7、设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5312，则A *= .8、已知A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1201，B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-211111，若矩阵X 满足AX =B ，则X = . 9、若向量组=1α(1，2，1)T ，=2α(k-1，4，2)T 线性相关，则数k= .10、若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++030202321321321x x x x x x ax x x 有非零解，则数a = .11、设向量=1α(1，-2，2)T ，=2α(2，0，-1)T ，则内积（21,αα）= . 12、向量空间V ={x=(x 1，x 2，0)T |x 1，x 2R ∈}的维数为 .13、与向量（1，0，1）T 和（1，1，0）T 均正交的一个单位向量为 . 14、矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛3221的两个特征值之积为 .15、若实二次型f(x1，x2，x3)=2123222212x x x a ax x +++正定，则数a 的取值范围是 .三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16、计算行列式D =5111141111311112的值. 17、设2阶矩阵A 的行列式21=A ，求行列式*12)2(A A +-的值. 18、设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101111010，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--301521，矩阵X 满足X =AX +B ，求X .19、求向量组TT T T )10,1,3(,)6,3,1(,)1,5,2(,)1,2,1(4321-=--===αααα的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.20、利用克拉默法则解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++232212322123221333c x c cx x b x b bx x a x a ax x ，其中c b a ,,两两互不相同.21、已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111311a a A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b B 00010000相似，求数b a ,的值.22、用正交变换化二次型212121455),(x x x x x x f ++=为标准型，并写出所作的正交变换. 四、证明题（本题7分）23、设A ，B 均为n 阶矩阵，且A =B +E ，B 2=B ，证明A 可逆.答案：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分类，共10分）1.C2.A3.D4.C5.B 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6. 97.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2315 8.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--031111 9. 3 10. -2 11. 012. 2 13.()()T T 1,1,1311,1,131---或14. -1 15.a ＞1 三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.解 D=4200320115011315111141*********------=-=7442032115=-- 17.解 由于21=A ，所以A 可逆，于是1*-=A A A 故11*12212)2(---+=+A A A A A =2923232112111=⎪⎭⎫⎝⎛==+----A A A A18.解 由B AX X +=，化为()B X A E =-，而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-201101011A E 可逆，且()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--110123120311A E故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=11021335021111012312031X19.解 由于()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→00007510171101751075103121,,,4321αααα 所以向量组的秩为2，21,αα是一个极大线性无关组，并且有214213717,511αααααα-=+-= 注：极大线性无关组不唯一。