2011年全国大学生数学建模竞赛B题优秀论文

3 4 7 8 10 11 12 13 14 15 16 19 20
要 道 路 口
16 48 29 30 22 24 12 23 21 28 14 38 62
路径
3 -> 45 -> 35 -> 36 -> 16 4 -> 57 -> 58 -> 59 -> 51 -> 50 -> 5 -> 47 -> 48 7 -> 30 -> 29 8 -> 33 -> 32 -> 7 -> 30 10 -> 26 -> 11 -> 22 11 -> 25 -> 24 12 -> 12 13 -> 23 14 -> 21 15 -> 28 16 -> 14 19 -> 79 -> 78 -> 1 -> 69 -> 70 -> 2 -> 40 -> 39 -> 38 20 -> 85 -> 62
关键词：均衡度 时间约束 指派问题 平台合理度
1
一、问题重述
警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯 彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交 巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实 际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警 务部门面临的一个实际课题。试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型 分析解决下面的问题： 问题一： 题目附件 1（A 区和全市六区交通网络与平台设置的示意图）中的附图 1 给出了该 市中心城区 A 的交通网络和现有的 20 个交巡警服务平台的设置情况示意图，相关的数 据信息见附件 2 （全市六区交通网络与平台设置的相关数据表） 。 请为各交巡警服务平台 分配管辖范围， 使其在所管辖的范围内出现突发事件时， 尽量能在 3 分钟内有交巡警 （警 车的时速为 60km/h）到达事发地。 对于重大突发事件，需要调度全区 20 个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区 的 13 条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出 该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。 根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟 在该区内再增加 2 至 5 个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。 问题二： 针对全市（主城六区 A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台 的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。如 果有明显不合理，请给出解决方案。 如果该市地点 P（第 32 个节点）处发生了重大刑事案件，在案发 3 分钟后接到报 警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警 力资源的最佳围堵方案。
二、模型假设
1.假设交巡警时速为平均速度。 2.假设嫌犯逃逸速度为 60km/h（题目未给出速度） 。 3.分析各区平台设置合理性时， 假设交巡警平台到达区内平台的途中不经过其他区。 4.为平台分配管辖范围时，假设题目给出的路口发案率指路口周边一定范围内的发 案率。 5.假设题目所给的路口坐标数据是精确、合理的。
1 19 71 74 78 80 39 40 42 43 69 3 44 54 55 68 76 4 57 60 62 63 64 66 6 49 53 58 5 50 51 52 56 59 30 32 33 48 61 7 9 47 8 16 35 37 10 11 26 27 12 25 13 21 22 23 24 14 15 28 29 31 34 36 38 45 46 2 17 41 70 20 72 79 82 85 89 90 18 65 67 73 75 77 81 83 84 86 87 88 91 92
5.1.2 第二小问模型的建立与求解
对于这一小问，核心为指派问题，即从 20 个平台中选出一部分去封锁该区的 13 条 要道，也就是 13 条关键路口节点。 设随机变量
1 第i个平台封锁第j个路口节点
ij
0 第i个平台不封锁第j个路口节点
i 1, 2, , 20 j 1, 2, ,13
max Ge( S )
4
min tij xij
i 1 j 1
20
92
min
20 xij 1 i 1 s.t tij 0 xij 0,1
1 20 92 1 20 92 ( x p xij pij ) 2 ij ij 20 20 i 1 j 1 i 1 j 1
20 92
t x
i 1 j 1
ij ij
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（3）
由于总有几个无法满足题目要求的路口节点，即无法使得交巡警在 3min 内到达， 因此模型应尽可能的保证更多的点符合题意。 设集合 S 为满足时间要求的路口节点，则
S j | i, 使得tij 3min 为了使更多的点符合题意，令 Ge（S）最大，其中 Ge（S）为集合 S 元素的个数。 综合上述分析，可以得到该问题的模型为：
i 1, 2, 20
j 1, 2, ,92
（4）
根据上述模型，我们使用 Lingo 及 MatLab 软件进行求解，工作量均衡度 σ=7.7018， 各平台管辖的路口结果见表 2： 表 2 A 区各平台管辖的路口 平台 管辖的路口 到达最远路口时间（min）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
耗时(min)
6.03 7.40 8.02 3.06 7.71 3.81 0 0.50 3.27 3.27 6.74 7.64 6.45
由表 3 可以得出实现最快封锁的调度方案需 8.02min。 根据表格结果我们绘出具体交巡警服务平台警力合理的调度方案示意图（见图 2） ：
1.7583 3.6822 2.7622 2.8356 2.9426 2.3841 4.1902 2.4777 1.5325 0 1.6433 1.7889 2.7083 0 5.7005 3.4059 2.5911 2.7785 2.7880 3.6013
5
由表 1 可以看出，除路口 28，29，38，39，61，92 到相应管辖平台的时间超过 3min 外，其他路口若出现案件，交巡警平台都能及时到达。而且平台到路口的最远时间为
5.7005min，已经是较好的结果了。
根据表格结果我们绘出具体交巡警平台管辖范围图（见图 1） ：
交通服务平台服务范围图
400 380 360 340 320 300 280 260 200
‘. ’ 表示交叉路口 ‘+’ 表示交通服务平台
250
300
350
400
450
图 1 A 区交巡警平台管辖范围图
2
三、符号定义
各符号及含义见表 1。 表1 符号 v tij pj S Ge（S） N M q σ T C(t) 符号含义说明 含义 交巡警的速度 交巡警从第 i 个平台到第 j 个路口节点所需时间 第 j 个路口节点的发案率 满足时间要求的路口节点的集合 集合 S 元素的个数 表示区内到任一平台时间均超过 3min 的路口数 表示区内路口总数 平台设置合理度 工作量均衡度 封锁完所有要道的总用时 完全封锁这个逃逸范围的最少路口集合
3
五、模型的建立与求解
5.1 问题一模型的建立与求解 5.1.1 第一小问模型的建立与求解 题目要求将 92 个路口节点分配给 20 个交巡警平台管辖，使交巡警在所管辖的范围 内出现突发事件时，尽量能在 3 分钟内到达事发地，因此我们要综合交巡警到达时间和 平台管辖的总路口节点数来考虑。 设 dij 为第 i 个平台到第 j 个路口节点的距离，v 为交巡警的速度，则交巡警从第 i 个平台到第 j 个路口节点所需时间 tij 为
四、问题分析
问题一： 题目第一小问要求为 A 区各交巡警服务平台分配管辖范围， 需要从总平台工作量最 小、各平台工作量最均衡、满足 3min 约束的路口数目最多这三方面考虑。 第二小问要求调度交巡警对 A 区进行封锁，属于指派问题。 第三小问要求对交巡警平台设置方案进行改进，应该从使所有路口满足 3min 约束 和新增平台数目最少两方面考虑。 问题二： 题目第一小问要求评价该市交巡警服务平台设置方案的合理性，应该以满足 3min 约束的路口数目所占比例为主要指标，对各区分别进行评价，并给出改进方案。 第二小问要求给出调度全市警力资源的最佳围堵方案，需要将围堵嫌犯的动态过程 转化为各个时刻的静态过程，简化问题的求解。
基于时间约束和均衡度的平台设置与调度模型 摘要
警察是社会中非常重要的角色，而警务资源是有限的。因此，本文针对如何合理地 设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源这一问题，建立了基于时 间和均衡度约束的平台设置与调度模型。 针对问题一第一小问，以总平台工作量最小、平台工作量均衡度最大、满足 3min 约束的路口数目最多这三个为综合目标函数，利用 0—1 规划，建立了 A 区各平台分配 管辖范围模型。 求解得出除路口 28， 29， 38， 39， 61， 92 外， 其他 86 个路口都满足 3min 约束，具体结果见表 2。 第二小问属于指派问题，我们在第一小问的基础上做些修改，将封锁路口的时间作 为目标函数，求解得出实现最快封锁的调度方案需 8.02min。 第三小问从使所有路口满足 3min 约束和新增平台数目最少两方面考虑， 得到 10 种 可行方案，再从均衡度考虑，最终得出最优方案为增加平台 28、40、48、87，此时各平 台到所管辖的路口最长时间为 2.9682min，满足时间约束。 针对问题二第一小问，定义平台合理度为满足 3min 约束的路口数目所占比例，对 各区分别进行评价，得出 F 区合理度最低，对其平台设置方案仿照第一问进行改进，应 增加平台 12、31、35、51、66、67、75、86、87、92、100、101、104、108，此时各平 台到所管辖的路口最长时间为 2.9530min，满足时间约束。 第二小问将围堵嫌犯的动态过程转化为各个时刻的静态过程，对不同时刻求出嫌烦 最大逃逸范围，当封锁最大逃逸范围所用时间 Z(t)小于嫌犯的逃逸时间减去案发至报警 的 3min，则认为围堵成功。采用 floyd 算法最终求出最短围堵时间为 10.9635min。
由于一个平台的警力最多封锁一个路口， 则

j 1
13
ij
1
（5）
设第 i 个平台封锁第 j 个关键路口节点的时间为 tij，则封锁完所有要道的总用时 T 以用时最长的为准，即
T max tij ij
i
为实现快速封锁，选取总用时最短的方案。
6
综合上述分析，该问题的数学模型为：
minT max tij ij
其中 pj 为第 j 个路口节点的发案率。 设随机变量
1 第i个平台管辖第j个节点 xij 0 第i个平台不管辖第j个节点 i 1, 2, , 20 j 1, 2, ,92
根据上述路口节点对应平台的选择原则，最终会有多种方案，在此前提下，选择各 平台到每个节点的总用时最短的，即使得（3）式达到最小。
i
13 ij 1 j 1 20 1 s.t ij i 1 ij 0,1 tij 0
i 1, 2, 20 j 1, 2,13
（6）
根据上述模型，我们使用 Lingo 及 MatLab 软件进行求解，求解得出交巡警服务平 台警力合理的调度方案见表 3： 表 3 交巡警服务平台警力合理的调度方案 平 台
tij dij v
（1）
由此可以得出各平台到每个路口节点的时间。对于时间均大于 3min 的节点令其归 属于最近的平台；仅到一个平台时间小于 3min 的节点令其归属于对应的平台；到两个 或两个以上平台时间小于 3min 的节点，我们选择任一个使工作量均衡度最大的平台， 即满足（2）式最小即可。 1 20 92 1 20 92 ( x p xij p j ) 2 ij ij 20 20 i 1 j 1 i 1 j 1 （2）