材料力学课件 第十章 压杆稳定
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《材料力学压杆稳定》课件
05
压杆稳定性设计原则与实例
压杆稳定性设计原则
压杆稳定性是指压杆在受到外力作用 时，能够保持其原有平衡状态的能力 。
压杆稳定性设计原则是确保压杆在使 用过程中能够承受外力作用，避免发 生失稳和破坏的关键。
设计压杆时，应遵循以下原则：选择 合适的材料、确定合理的截面尺寸、 优化压杆长度和形状、避免过大的偏 心载荷等。
本课程介绍了多种稳定性分析方法，包括欧拉公式法、经验公式法、能量法等。通过这些 方法的学习和应用，我们能够根据不同情况选择合适的分析方法，对杆件进行准确的稳定 性评估。
实际应用与案例分析
本课程结合实际工程案例，对压杆稳定问题进行了深入的探讨和分析。通过这些案例的学 习，我们了解了压杆稳定问题在实际工程中的重要性和应用价值，提高了解决实际问题的 能力。
不同截面形状的压杆，其临界载荷和失稳形态 存在差异。
支撑条件
支撑刚度、支撑方式等对压杆的稳定性有重要 影响。
提高压杆稳定性的措施
选择合适的材料
选择具有高弹性模量和合适泊松 比的材料，以提高压杆的稳定性
。
优化截面形状与尺寸
通过改变截面形状或增加壁厚等 方法，提高压杆的稳定性。
改善支撑条件
采用具有足够刚度的支撑，并合 理布置支撑位置，以提高压杆的
的比率。
03
压杆稳定性的定义与分类
压杆稳定性的定义
压杆稳定性是指压杆在受到轴向 压力时，保持其平衡状态而不发
生弯曲或屈曲变形的能力。
压杆稳定性问题主要关注的是压 杆在轴向压力作用下，是否能够 保持直线形状而不发生弯曲变形
。
压杆的稳定性取决于其自身的力 学特性和外部作用力的大小和分
布。
压杆稳定性的分类
压杆·稳定性
sin kl = 0
即
kl = nπ n = 0,1, 2,
（d）
解得 k = nπ ，又 k 2 = P ，于是得
l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
EI
P
=
n2π2 EI l2
（10.1）
因为 n 是正整数，故式（10.1）表明使杆件保持为曲线平衡的压力，理论上是多值的。
其中使压杆保持微小弯曲的最小压力，才是临界压力 Pcr 。因此，只有取 n=1，才得到压力 的最小值。于是临界压力为
x = 0 和 x = l 时， y = 0
由此求得
B = 0 ， Asin kl = 0
上式表明，A 或 sin kl 等于零。但因 B 已经等于零，如 A 再等于零，则式（c）变为 y ≡ 0 。这
表示杆件轴线上任意点的挠度皆为零，它仍为直线的情况。这就与假设杆件处于微弯平衡的
前提相矛盾。因此必须是
第 10 章 压杆·稳定性
当轴向压力 P 较小（P＜Pcr）时，当横向干扰力消失后，其横向弯曲变形也随之消失， 直杆将恢复到图 10.1（a）所示的原直线平衡位置。此时原直线平衡位置平衡状态属于稳定平 衡状态，如图 10.1（c）。
当轴向压力 P 适中（P =Pcr）时，干扰力消失后，将保持微弯平衡状态，而不能恢复到 图 10.1（a）所示的原直线平衡位置。此时原直线平衡位置平衡状态属于临界平衡状态（或随 遇平衡状态），如图 10.1（d）。
如图 10.1（a）所示一下端固定，上端自由的理想细长直杆，受一轴向压力 P 作用。此 时，该压杆如果受到一个很小的横向干扰力，杆将产生弯曲变形，如图 10.1（b）。显然，该 压杆在原初始直线位置是能够平衡的，但平衡状态会随轴向压力 P 的大小而变化。
《材料力学》压杆稳定 PPT课件
(b): 木杆的横截面与(a)相同，高为 1.4m(细长压杆），当压力为 0.1KN时杆被压弯，导致破坏。
(a)和(b)竟相差60倍，为什么？
细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯
曲变形而使结构丧失工件能力，并非因强度不
够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态
(a)
(b) 所致。这种现象称为失稳。
1907年加拿大圣劳伦斯河上的魁北克桥 （倒塌前正在进行悬臂法架设中跨施工）
s
a
s
b
a, b 是与材料性
能有关的常数。
材料 a(MPa) b(MPa) p
s
硅钢 577 3.74 100
60
铬钼钢 980 5.29 55
0
直线公式适合合 金钢、铝合金、铸
硬铝
372
2.14
50
0
铁与松木等中柔度
铸铁 331.9 1.453
压杆。
松木 39.2 0.199 59
3：小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算。
cr 压杆容易失稳
二、欧拉公式的适用范围
材料服从胡克定律 cr p
cr
2E 2
p
.
2E p
p
2E p
（细长压杆临界柔度）
欧拉公式的适用范围: p ，称大柔度杆（细长压杆 ）
例：Q235钢， E 200 GPa, p 200 MPa.
例：一等直压杆长 L=3.4 m，A=14.72 cm2，I=79.95 cm4，
E =210 GPa，F =60 kN，材料为A3钢，两端为铰支座。
试进行稳定校核。
1、nst= 2； 2、〔σ〕=140 MPa
(a)和(b)竟相差60倍，为什么？
细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯
曲变形而使结构丧失工件能力，并非因强度不
够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态
(a)
(b) 所致。这种现象称为失稳。
1907年加拿大圣劳伦斯河上的魁北克桥 （倒塌前正在进行悬臂法架设中跨施工）
s
a
s
b
a, b 是与材料性
能有关的常数。
材料 a(MPa) b(MPa) p
s
硅钢 577 3.74 100
60
铬钼钢 980 5.29 55
0
直线公式适合合 金钢、铝合金、铸
硬铝
372
2.14
50
0
铁与松木等中柔度
铸铁 331.9 1.453
压杆。
松木 39.2 0.199 59
3：小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算。
cr 压杆容易失稳
二、欧拉公式的适用范围
材料服从胡克定律 cr p
cr
2E 2
p
.
2E p
p
2E p
（细长压杆临界柔度）
欧拉公式的适用范围: p ，称大柔度杆（细长压杆 ）
例：Q235钢， E 200 GPa, p 200 MPa.
例：一等直压杆长 L=3.4 m，A=14.72 cm2，I=79.95 cm4，
E =210 GPa，F =60 kN，材料为A3钢，两端为铰支座。
试进行稳定校核。
1、nst= 2； 2、〔σ〕=140 MPa
材料力学 第十章 压杆稳定问题
由杆，B处内力偶
MB Fcraq1 , q1
由梁，B处转角
MB Fcr a
q2
MBl 3EI
q1 B
MB MBl Fcra 3EI
3EI Fcr al
q2 C
l
Page21
第十章 压杆稳定问题
作业
10-2b，4，5，8
Page22
第十章 压杆稳定问题
§10-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
稳定平衡
b. F k l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
Fcr kl 临界载荷
F
k l
F 驱动力矩 k l 恢复力矩
Page 5
第十章 压杆稳定问题
（3）受压弹性杆受微干扰
F Fcr 稳定平衡 压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线
F >Fcr 不稳定平衡 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳
(
w)
令 k2 F
EI
d 2w dx2
k
2w
k
2
l
l
FM w
x
F B
F
B F
Page24
第十章 压杆稳定问题
d 2w dx2
k2w
k 2
F
w
通解：
A
x
B
w Asinkx Bcoskx
l
考虑位移边界条件：
x 0, w 0,
B
x 0, q dw 0
Page31
第十章 压杆稳定问题
二、类比法确定临界载荷
l
压杆稳定PPT课件
E20G0P , a设计要求的强度安全系数 n2,
稳定安全系数 nst3。试求容许荷载 P 的值。
A 2m
C 3m
P
B
h3.5m
D
35
解：1）由平衡条件可得
A
P NCD
2.5
2m
C 3m
D
2）按强度条件确定 [P]
P
B
h3.5m
N CD σ A σ n sπ 4 (D 2 d 2) 3K 40 N
Q
解：一、分析受力
1500
500
取CBD横梁研究
A
N Cr
A
Cr
A 2E 2
2m
46K9N
D
C 3m
P
B
h3.5m
稳定条件
Pcr P
nst
[N]NCr15K6 N nst
[N] [P] 62.5KN
2.5
38Leabharlann 2mC 3mPB
h3.5m
D
[P] = 62.5KN
39
例：托架，AB杆是圆管，外径D=50mm，内径d=40mm, 两端为球铰，材料为A3钢，E=206GPa,p=100。若规定 nst=3,试确定许可荷载Q。
4
实际上，当压力不到 40N 时，钢尺就被压弯。可见， 钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度， 而是与 受压时变弯 有关。
5
稳定平衡与不稳定平衡的概念 当 P小于某一临界值Pcr，撤去横向力后，杆的轴线将 恢复其原来的直线平衡形态，压杆在直线形态下的
平衡是 稳定平衡。
6
P Q
PPcr
P
PPcr
2E cr 2 2. 中 长 杆 ( s p ), 用 经 验 公 式
稳定安全系数 nst3。试求容许荷载 P 的值。
A 2m
C 3m
P
B
h3.5m
D
35
解：1）由平衡条件可得
A
P NCD
2.5
2m
C 3m
D
2）按强度条件确定 [P]
P
B
h3.5m
N CD σ A σ n sπ 4 (D 2 d 2) 3K 40 N
Q
解：一、分析受力
1500
500
取CBD横梁研究
A
N Cr
A
Cr
A 2E 2
2m
46K9N
D
C 3m
P
B
h3.5m
稳定条件
Pcr P
nst
[N]NCr15K6 N nst
[N] [P] 62.5KN
2.5
38Leabharlann 2mC 3mPB
h3.5m
D
[P] = 62.5KN
39
例：托架，AB杆是圆管，外径D=50mm，内径d=40mm, 两端为球铰，材料为A3钢，E=206GPa,p=100。若规定 nst=3,试确定许可荷载Q。
4
实际上，当压力不到 40N 时，钢尺就被压弯。可见， 钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度， 而是与 受压时变弯 有关。
5
稳定平衡与不稳定平衡的概念 当 P小于某一临界值Pcr，撤去横向力后，杆的轴线将 恢复其原来的直线平衡形态，压杆在直线形态下的
平衡是 稳定平衡。
6
P Q
PPcr
P
PPcr
2E cr 2 2. 中 长 杆 ( s p ), 用 经 验 公 式
材料力学课件第十章压杆稳定57页PPT
EI
F
(2n1)22EI
(2l)2
取 n=1, 得：
第十章 压杆稳定
2 EI
Fcr (2l )2
二、一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷
l
F
偏离直线平衡位置后的状态
FR F
x
第十章 压杆稳定
建立x坐标处梁段的平衡方程：
M(x) FR
FR
Fv
F
lxБайду номын сангаас
列出临界状态的平衡方程: 挠曲轴近似微分方程：
第十章 压杆稳定
2EI
B
FR EIk2
0
Ak
FR EIk2
0
A sk i n lB ck o l0 s
第十章 压杆稳定
方程组的非零解条件：
B
FR EIk2
0
Ak
FR EIk2
0
具有非零解
A sk i n l B ck o l0 s
0
k sin kl
1
0 cos kl
l
EIk 2
l EIk 2
0
0
taknlkl
Fk2EI
F=1.015Fcr, vmax=0.11l
vmax OAC(绿色): 小挠度理论 AB 的起始段平坦，与直线AC 相切
OD(虚线): 实验曲线
例：确定图示压杆的临界载荷(两端为球形铰支)
l
F
F
h
b
z
y
z
a
y y1
Iz
bh 3 12
hb 3 I y 12
临界载荷？ 失稳方向？
Fcr
2EI
l2
失稳总是发生在最小刚度平面内，压杆首先在 x-z 平面内失稳
F
(2n1)22EI
(2l)2
取 n=1, 得：
第十章 压杆稳定
2 EI
Fcr (2l )2
二、一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷
l
F
偏离直线平衡位置后的状态
FR F
x
第十章 压杆稳定
建立x坐标处梁段的平衡方程：
M(x) FR
FR
Fv
F
lxБайду номын сангаас
列出临界状态的平衡方程: 挠曲轴近似微分方程：
第十章 压杆稳定
2EI
B
FR EIk2
0
Ak
FR EIk2
0
A sk i n lB ck o l0 s
第十章 压杆稳定
方程组的非零解条件：
B
FR EIk2
0
Ak
FR EIk2
0
具有非零解
A sk i n l B ck o l0 s
0
k sin kl
1
0 cos kl
l
EIk 2
l EIk 2
0
0
taknlkl
Fk2EI
F=1.015Fcr, vmax=0.11l
vmax OAC(绿色): 小挠度理论 AB 的起始段平坦，与直线AC 相切
OD(虚线): 实验曲线
例：确定图示压杆的临界载荷(两端为球形铰支)
l
F
F
h
b
z
y
z
a
y y1
Iz
bh 3 12
hb 3 I y 12
临界载荷？ 失稳方向？
Fcr
2EI
l2
失稳总是发生在最小刚度平面内，压杆首先在 x-z 平面内失稳
材料力学课件(压杆稳定性)
2 EI
2 a2
改变力F指向，BD成为压杆，临界压力
F2
2 EI
2a 2
Fcr
比较：Fcr Fcr
1 2 EI
2FAB FBD 2 a 2
例9-4.一端固定一端自由压杆，长为 l，弯曲刚度
为EI，设挠曲线方程
w
2l 3
(3lx 2
x3)
，为自由
端挠度。试用能量法去定临界压力的近似值。
思考： P 3169-4，习题9-11，13，14，18
练习： P 319习题9-10，12，15，17
（3）合理稳定性设计
[ ]st
与
L
i
成反比
合理截面：约束性质接近时，iminimax ——组合截面 提高 i ——使截面积远离形心
增强约束：缩短相当长度
思考：含有压杆的超静定问题
温度变化引起的稳定性问题
、[]st与 成反比
值：木杆——式（9 11，12）
钢杆——表 92，3
（2）稳定性条件
F A
[ ]st
[ ]
稳定性r 或 与 或 i 为非线性关系，选择截面
尺寸时需用迭代法
例9-5. Q235钢连杆，工字型截面A＝552mm2，Iz＝ 7.40×104mm4，Iy＝1. 41×104mm4，有效长度l＝ 580mm，两端柱形铰约束，xy平面失稳μz＝1，xz 平面失稳μy＝0.6，属 a 类压杆，轴向压力F＝35kN， [σ]＝206MPa。试求稳定许用应力，并校核稳定性。
思考：比较一根杆的柔度与柔度的界限值
影响大柔度、中柔度和小柔度杆临 界应力因素的异同
3. 压杆的稳定性条件与合理设计
（1）稳定许用应力
实际压杆与理想压杆的差异：初曲率、压力偏心、 材料缺陷等
材料力学第十章压杆稳定
π2
200 103 108 (2 2500 )2
10 4
N
85187N
85.19kN
10-3 欧拉公式的适用范围及经验公式
1、临界应力与柔度
将临界压力除以压杆的横截面面积A，就可以得到与临界压力
对应的应力为
cr
Fcr A
π2EI
(l)2 A
cr即为临界应力。
利用惯性半径 i 和惯性矩 I 的关系：
但在已经导出 两端铰支压杆的临 界压力公式之后， 便可以用比较简单 的方法，得到其他 约束条件下的临界 力。
l 2l
F
F 一端固定，一端自由，
长为l 的的压杆的挠曲线
和两端铰支，长为2l的
压杆的挠曲线的上半部
分相同。则临界压力:
Fcr
π 2 EI (2l)2
2、其它支承情况下细长压杆的临界力
利用同样的方法得到: 两端固定的压杆的临界压力为:
F
Fcr
π 2 EI
( l ) 2
π2 200 103 48 10 4 N (2 2500 )2
b z
l h
37860N 37.86kN
y
若 h b 60mm
Iy
Iz
bh3 12
60 4 12
mm
108 10 4 mm
Fcr
π 2 EI
( l ) 2
1、计算s, p
p
π2E
p
π2 210109 280106
86
查表优质碳钢的 a、b
s
a s
b
材料力学课件 第十章压杆稳定
sinkL0
kn P
L EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且 杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
Pcr
2
EImin L2
14
Pcr
2
EImin L2
二、此公式的应用条件：
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
29
我国钢结构柱子曲线
二、 受压构件的稳定公式
利用最大强度准则确定出轴心受压构件的临界应力 cr ，引入抗力分项系数 R ，则轴心受压构件的稳定计算公式如下：
N cr cr f y f A R R fy
f ：钢材的强度设计值
（10.24）
30
例6
如图所示，两端简支，长度l 5m 的压杆由两根槽钢组成，若限定两个槽钢腹板
Iy [73.3 (51.8)2 21.95]2 2176.5cm4
33
若失稳将仍会在 xoy平面内，有
imin iz
Iz A
1732.4 6.28cm 43.9
max
l imin
500 79.6 6.28
查表得2 0.733
此时3 与3 已经很接近，按两个 16a 槽钢计算压杆的许可压力，有
20
[例3] 求下列细长压杆的临界力。
y y
x
z
z
h
L1
L2
解：①绕
y 轴，两端铰支：
=1.0，
I
y
b3h 12
,
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
b
Pcry
2EI L22
y
=0.7，
材料力学课件 压杆稳定
1907年加拿大魁 北克桥的失稳
(跨度548m,重9000T。 86人施工，死75人)
2.1922年冬天下大雪，美国华盛顿 尼克尔卜克尔剧院由于屋顶结构中的一 根压杆超载失稳，造成剧院倒塌，死98 人，伤100余人。
3.2000年10月25日上午10时30分， 在南京电视台演播中心演播厅屋顶的浇 筑混凝土施工中，因脚手架失稳，造成 演播厅屋顶模板倒塌，死5人，伤35人。
2）求得不为零的挠曲函数，说明压杆的 确能够在曲线状态下平衡，即出现失 稳现象。
一、两端铰支细长压杆的临界压力
设： 压杆处于微弯状态，
x
x
且 p
F
由 Ew IM x MxFw
wk2w0 k2 F
EI
FN
M(x) l
y
y
x
x
y
y
F
F
w k2w0 w A sk i B n x ck ox s(c)
一、欧拉临界应力公式及其使用范围
欧拉公式
Fcr
π2 EI
l 2
1.临界应力
临界应力——临界压力除以横截面面积
即：
cr
F cr A
2 EI
l 2 A
2E l 2
2E 2
i
I Ai2
i I ——惯性半径
A
l ——压杆的柔度或细长比
w k2 w k2
EI
w A s k i B c n x k o x ( s 2 )
w A s k i B c n x k o x ( s 2 )
一阶导数为 w A c k o k B x s s k i k ( n x 3 )
材料力学课件第十章压杆稳定
第十章
压杆稳定
① 强度
构件的承载能力
② 刚度 ③ 稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度,却不一定能安全可 靠地工作.
第十章
2.工程实例
压杆稳定
工程构件稳定性实验
第十章
压杆稳定
压杆稳定性实验
第十章
压杆稳定
第十章
其他形式的稳定问题
压杆稳定
F Fcr
第十章
3.失稳破坏案例
压杆稳定
案例1 20世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏在圣劳伦斯河 上建造1907年8月29日，发生稳定性破坏，86位工人伤亡，成为
理论分析计算
压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？
第十章
压杆稳定
10.2 两端绞支细长压杆的临界压力
x
F
l
m w
y B
m
x y
F M(x)=-Fw
m x B m
第十章
该截面的弯矩
压杆稳定
压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移 w f ( x )
M ( x ) Fw
F M(x)=-Fw
第十章
10.1 压杆稳定的概念
压杆稳定
1.引言
第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为 σmax
例如:一长为300mm的钢板尺,横截面尺寸为 20mm 1 能承受的轴向压力为 [F] = A[] = 3.92 kN
FN max [σ ] A
mm.钢的许用应力为[]=196MPa.按强度条件计算得钢板尺所 实际上,其承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度,而是 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时,钢板尺就突然发 生明显的弯曲变形,丧失了承载能力.
第十章压杆稳定53197共33页PPT资料
2E 2
柔柔
D
度
度 大柔度杆
杆杆
O
s
P
S
a
S
b
p
2E p
例 a，b两杆直径均为d，材料都是Q235钢，二者长度和约 束均不同；分析哪一根压杆的临界力比较大？
P
P
分析：越小，临界力越大
2 EI
PLj l 2
临界应力
Lj
PLj A
2
l
EI
2A
2 Ei 2
l 2
记 i2 I A
l
i
——截面的惯性半径
——压杆的柔度（长细比） 影响压杆承载能力的综合指标。
则得欧拉公式另一形式
Lj
2E 2
§10.3 细长杆的临界应力
一、临界应力与柔度
Lj
2E 2
≤p
2E p
若杆的柔度 P
0•A+1•B=0 sinkl • A +coskl • B=0
§10.2 细长杆的临界力
一、两端铰支细长杆的临界力 微分方程的通解 y(x) =A sin k x + B cos k x
0•A+1•B=0
B = 0 A =≠0？
sinkl • A +coskl • B=0
sinkl =0 k ln
§10.1 压杆稳定的概念
§10.2 细长压杆的临界力
重点
§10.3 压杆的临界应力
§10.4 压杆稳定的计算
§10.5 提高压杆稳定性的措施
§10.1 压杆稳定的概念
在材料力学中，衡量构件是否具有足够的承载能力， 要从三个方面来考虑：强度、刚度、稳定性。
§10.1 压杆稳定的概念
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临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且 杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
Pcr
2
EI L2
m in
13
Pcr
2
EImin L2
二、此公式的应用条件：
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
Pcr (2ELI)m2in
l
i
11.560889.3c
123
所以，应由抛物线公式求临界压力。
26
cr
s [1
0.43(
c
)2 ]
235[1
0.43(89.3)2 ] 123
181 .7MPa
PcrA cr28.36710 4181 .7106304 kN
安全系数
nst
解：图(a)
P
P
I
m
in
5010 12
3
10
12
4.1710
9
m
4
10 50
z
y
Pcr (2I1ml )in2E
24.17200 (0.70.5)2
67
.14
kN
图(b)
L L
图(a)
(4545 6) 等边角钢
图(b)
IminI z 3.8910 8 m4
P A
st
28
例10-4 空气压缩机的活塞杆由45号钢制成，可简化成两端 铰支的压杆。 p 280 MPa s 350 MPa E 210GPa l 703mm d 45mm。最大压力Fmax 41.6kN 。规定稳定安全因数为
nst 8 ∽10。试校核其稳定性。
160
31
②求折减系数
木杆:80时,3000 23000 160 20.117
③求许用压力
st
PBC
ABC
st
0.32 4
0.117
11 10 6
91kN
32
减系数法举例
33
三、压杆的合理截面:
L
i
i Imin A
,
Pcrz(0.27ELI1)z 2
③压杆的临界力 Pcr min( Pcry , Pcrz )
19
§10–3 超过比例极限时压杆的临界应力
一、 基本概念 1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
cr
Pcr A
2.细长压杆的临界应力：
c
r
Pcr A
(
2EI L)2 A
29
30
[例6 ] 图示起重机， AB 杆为圆松木，长 L= 6m，[ ] =11MPa，
直径： d = 0.3m，试求此杆的许用压力。
B
解：折减系数法
T1
T2
A
W
①最大柔度
x y面内， =1.0
xy
L
i
164 0.3
80
y
O
x
z
z y面内， =2.0
zy
L
i
264 0.3
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pc2
2EI
Pcr (0.7l ) 2
Pc r (0.25El )I2
Pcr
2EI
(2l ) 2
长度系数μ =1 0.7 =0.5 =2
2EI
Pcr l 2
材料均为A3钢，E=200GPa， p 200MPa 。
试求 : ①哪一根压杆最容易失稳？ ②三杆中最大的临界压力值。
37
解：① i d 4cm
4
杆(a)： l 1 500 125
i4
杆(b)： 0.7 700 122.5
4
杆(a)最易失稳
杆(c)： 0.5900 112.5
2E P
2200109 200106
99.3
大柔度杆，由欧拉公式求临界力。
Pcr
2EI ( l ) 2
2 200 396 .6 10 2
(0.7 6)2
443 .8kN
36
第十章 练习题 一、如何区别压杆的稳定平衡和不稳定平衡？ 二、压杆因失稳而产生弯曲变形，与梁在横向 力作用下产生弯曲变形，在性质上有何区别？ 三、三根直径均为 d=16cm 的圆杆如图所示，
3
P
4
压杆失稳实例
5
其它失稳
6
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡
7
2. 稳定平衡
8
3. 稳定平衡和不稳定平衡
9
二、压杆失稳与临界压力 ：
1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。
2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：
稳 定 平 衡
不
稳
定
平
衡
10
3.压杆失稳：
4.压杆的临界压力
y P yyk 2 y0 EI
其中:k 2 P
EI
12
③微分方程的解： ④确定积分常数：
yAsinxBcosx y(0)y(L)0
即:
A0B0 As ink LBc osk
L0
0
1
0
sinkL coskL
sinkL0
kn P
L EI
Pcr (2I2mli)n2E
20.389200 (20.5)2
76
.8kN
18
[例3] 求下列细长压杆的临界力。
y y
x
z
z
h
L1
L2
解：①绕
y 轴，两端铰支：
=1.0，
I
y
b3h 12
,
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
b
Pcry
2EI L22
y
=0.7，
I
z
bh3 12
临界状态
稳
定 平
过
衡
对应的 压力
临界压力:
不 稳 度定 平 衡 Pcr
11
§10–2 细长压杆临界力的欧拉公式 一、两端铰支压杆的临界力:
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图， 从挠曲线入手，求临界力。
P xL
P P
xM
y
①弯矩： M (x,y)Py
②挠曲线近似微分方程：
y M P y EI EI
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
14
表10–1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
两端固定但可沿 横向相对移动
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5 l
稳 时
L
z0
y
y1
2[25.612.74(1.52a/2)2 ]
即 : 198 .3 25.6 12.74(1.52 a / 2)2时合理 a4.32cm 35
求临界力：
L 0.76 0.76 106.5
i
Iz
396.6108
2A1 212.74104
p
M0 P
M0 边界条件为:
P
x0,yy0;xL,yy0
16
cM ,d0,kL2n 并 kLn
P
kL2n
为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：
所以，临界力为：
kL2
4 2EI 2EI
Pcr L2 (L/2)2
= 0.5
17
[例2] 求下列细长压杆的临界力。已知： L=0.5m ， E=200GPa.
Pcr
2 EI min (L)2
I minI max
合理
保国寺大殿的拼柱形式
1056年建，“双筒体”结构，塔身平面 为八角形。经历了1305年的八级地震34。
[例7 ] 图示立柱，L=6m，由两根10号槽钢组成，材料为A3钢
E=200GPa， p 200 MPa ，下端固定，上端为球铰支座，试问 a=？
S
cr ab
③临界应力总图
P
2E
cr
2
s a s
b
P 2E
P
L
i
22
2.抛物线型经验公式
①P<<s 时：
cr a1b12
我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
Pcr P
304 150
2.02
27
§10–4 压杆的稳定校核及其合理截面 一、压杆的稳定许用应力:
1.安全系数法确定许用应力:
st
cr
nst
2.折减系数法确定许用应力:
st
折减系数 , 1, 其值与材料性能及压杆