材料力学课件 第十章 压杆稳定

临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且 杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。

Pcr

2
EI L2
m in
13
Pcr

2
EImin L2
二、此公式的应用条件：
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
Pcr (2ELI)m2in
2E P

2200109 200106
99.3
大柔度杆，由欧拉公式求临界力。
Pcr
2EI ( l ) 2
2 200 396 .6 10 2
(0.7 6)2
443 .8kN
36
第十章 练习题 一、如何区别压杆的稳定平衡和不稳定平衡？ 二、压杆因失稳而产生弯曲变形，与梁在横向 力作用下产生弯曲变形，在性质上有何区别？ 三、三根直径均为 d=16cm 的圆杆如图所示，
,
Pcrz(0.27ELI1)z 2
③压杆的临界力 Pcr min( Pcry , Pcrz )
19
§10–3 超过比例极限时压杆的临界应力
一、 基本概念 1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。

cr

Pcr A
2.细长压杆的临界应力：

c
r

Pcr A
(
2EI L)2 A
S
cr ab
③临界应力总图
P
2E
cr
2
s a s
b
P 2E
P
L
i
22
2.抛物线型经验公式
①P<<s 时：
cr a1b12
我国建筑业常用：
cr


s
1



c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
14
表10–1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
两端固定但可沿 横向相对移动
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5 l
稳 时
(
2E L/i)
2
2E 2
即： cr

2E 2
i I ——惯性半径。 A
3.柔度： L ——杆的柔度（或长细比）
i 20
4.大柔度杆的分界：

cr
2E 2

P

2E P
P
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 长细杆），其临界力用 欧拉公式求。
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
y P yyk 2 y0 EI
其中:k 2 P
EI
12
③微分方程的解： ④确定积分常数：
yAsinxBcosx y(0)y(L)0
即:
A0B0 As ink LBc osk
L0
0
1

0
sinkL coskL
sinkL0
kn P
L EI
c 时，由此式求临界应力 。
2E 0.56 S
②s< 时：
cr s
23
[例4 ]托架结构如图所示，AB杆的直径d=40mm,长度l=800mm, 两端铰支，CD是钢性杆，材料是Q235钢。试根据AB杆的失稳 来求托架的临界载荷。 解：
24
25
[例5 ] 一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两端
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pc
r

2
l
EI
2
2EI
Pcr (0.7l ) 2
Pc r (0.25El )I2
Pcr
2EI
(2l ) 2
长度系数μ =1 0.7 =0.5 =2
2EI
Pcr l 2
29
30
[例6 ] 图示起重机， AB 杆为圆松木，长 L= 6m，[ ] =11MPa，
直径： d = 0.3m，试求此杆的许用压力。
B
解：折减系数法
T1
T2
A
W
①最大柔度
x y面内， =1.0
xy

L
i
164 0.3
80
y
O
x
z
z y面内， =2.0
zy

L
i

264 0.3


l
i
11.560889.3c
123
所以，应由抛物线公式求临界压力。
26
cr


s [1

0.43(
c
)2 ]

235[1
0.43(89.3)2 ] 123
181 .7MPa
PcrA cr28.36710 4181 .7106304 kN
安全系数
nst
160
31
②求折减系数
木杆:80时,3000 23000 160 20.117
③求许用压力
st
PBC

ABC
st


0.32 4
0.117
11 10 6

91kN
32
减系数法举例
33
三、压杆的合理截面:
L
i
i Imin A
L
z0
y
y1
2[25.612.74(1.52a/2)2 ]
即 : 198 .3 25.6 12.74(1.52 a / 2)2时合理 a4.32cm 35
求临界力：
L 0.76 0.76 106.5
i
Iz
396.6108
2A1 212.74104
p
4
② 杆(c)的临界力最大
p
2E
p
99.35 2200103 200
112.5
P 3136 KN 2EI
220010 164
cr
l 2
640.59 2
38
10-12 由横梁AB与立柱CD组成的结构如图所示，载荷 Fp=10kN，l=60cm,立柱的直径d=2cm,两端饺支，材料是 Q235钢，弹性模量E=215GPa，规定稳定安全因数nst=2。 （1） 试较核立柱的稳定性。 （2） 如已知许应用里[σ]=120 Mpa，试选择横梁AB的工 字钢型

Pcr P

304 150

2.02
27
§10–4 压杆的稳定校核及其合理截面 一、压杆的稳定许用应力:
1.安全系数法确定许用应力:

st
cr
nst
2.折减系数法确定许用应力:
st
折减系数 , 1, 其值与材料性能及压杆
柔度有关。
二、压杆的稳定条件:
二、中小柔度杆的临界应力计算
1.直线型经验公式
①P<<S 时：
cr ab
cr a b s


a s
b
s
sP 的杆为中柔度杆，其临 界应力用经验公式求。
21
②S< 时： cr s
cr
S 的杆为小柔度杆，其临 界应力为屈服极限。
时，立柱的临界压力最大，值为多少？
P
解：对于单个10号槽钢，形心在C1点。
A112.74c m2 ,z0 1.52c m,
I z1198.3cm4 ,I y125.6cm4
a
两根槽钢图示组合之后，
C1 z1 I z 2I z12198 .3396 .6cm4
I y2[I y1A1(z0a/2)2]
Pcr (2I2mli)n2E

20.389200 (20.5)2
76
.8kN
18
[例3] 求下列细长压杆的临界力。
y y
x
z
z
h
L1
L2
解：①绕
y 轴，两端铰支：
=1.0，
I
y
b3h 12
,
②绕 z 轴，左端固定wenku.baidu.com右端铰支：
b
Pcry


2EI L22
y
=0.7，
I
z
bh3 12


P A
st
28
例10-4 空气压缩机的活塞杆由45号钢制成，可简化成两端 铰支的压杆。 p 280 MPa s 350 MPa E 210GPa l 703mm d 45mm。最大压力Fmax 41.6kN 。规定稳定安全因数为
nst 8 ∽10。试校核其稳定性。
解：图(a)
P
P
I
m
in
5010 12
3
10
12
4.1710
9
m
4
10 50
z
y
Pcr (2I1ml )in2E

24.17200 (0.70.5)2
67
.14
kN
图(b)
L L
图(a)
(4545 6) 等边角钢
图(b)
IminI z 3.8910 8 m4
1
第十章 压杆稳定
§10–1 压杆稳定性的概念 §10–2 细长压杆临界力的欧拉公式 §10–3 超过比例极限时压杆的临界应力 §10-4 压杆的稳定校核及其合理截面
2
§10–1 压杆稳定性的概念 构件的承载能力： ①强度
②刚度 ③稳定性 工程中有些构 件具有足够的强度、 刚度，却不一定能 安全可靠地工作。
39
10-18 在图示结构中CF为铸铁圆杆，直径d=10cm，[σ]=160 Mpa，E=120GPa。BE为钢圆杆，直径d=5cm，材料为Q235 钢，[σ]=160 Mpa，E=200GPa。若横梁可视为钢性的，试求 载荷Fp的许可值。
40
41
3
P
4
压杆失稳实例
5
其它失稳
6
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡
7
2. 稳定平衡
8
3. 稳定平衡和不稳定平衡
9
二、压杆失稳与临界压力 ：
1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。
2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：
稳 定 平 衡
不
稳
定
平
衡
10
3.压杆失稳：
4.压杆的临界压力
临界状态
稳
定 平
过
衡
对应的 压力
临界压力:
不 稳 度定 平 衡 Pcr
11
§10–2 细长压杆临界力的欧拉公式 一、两端铰支压杆的临界力:
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图， 从挠曲线入手，求临界力。
P xL
P P
xM
y
①弯矩： M (x,y)Py
②挠曲线近似微分方程：
y M P y EI EI
15
=1
[例1 ] 试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力
公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
L
P
P
EIyM (x)PyM
M0
令:k 2 P
EI
x
Px
y k 2 y k 2 M
M0
y

c
cosk
x

d
P
sin
k
x

M
P
y d coskx c sin kx
材料均为A3钢，E=200GPa， p 200MPa 。
试求 : ①哪一根压杆最容易失稳？ ②三杆中最大的临界压力值。
37
解：① i d 4cm
4
杆(a)： l 1 500 125
i4
杆(b)： 0.7 700 122.5
4
杆(a)最易失稳
杆(c)： 0.5900 112.5
铰支，压力P=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或抛物线公
式求临界压力和稳定安全系数nst。
z
解：一个角钢：
y
A18.367cm2, I y123.63cm4
两根角钢图示组合之后 I y I z
IminI y2I y1223.6347.26cm4
i Imin 47.26 1.68cm A 28.367
M0 P
M0 边界条件为:
P
x0,yy0;xL,yy0
16
cM ,d0,kL2n 并 kLn
P
kL2n
为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：
所以，临界力为：
kL2
4 2EI 2EI
Pcr L2 (L/2)2
= 0.5
17
[例2] 求下列细长压杆的临界力。已知： L=0.5m ， E=200GPa.
Pcr
2 EI min (L)2
I minI max
合理
保国寺大殿的拼柱形式
1056年建，“双筒体”结构，塔身平面 为八角形。经历了1305年的八级地震34。
[例7 ] 图示立柱，L=6m，由两根10号槽钢组成，材料为A3钢
E=200GPa， p 200 MPa ，下端固定，上端为球铰支座，试问 a=？