1.5.1曲边梯形的面积

y y x2
2近似代替 记fx x2.
如图1.5 3 ,当n很大 ,即
Δx很小时,
在区间i
1, n
i n

o
i1 i
nn
1x
上,可以认为函数f x x2
图1.5 3
y
的值变化很小,近似等于一
个常数,不妨认为它近似地
y x2
等于左端点i 1处的函数
三国时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失弥 少，割之又割，以至 于不可割，则与圆周 合体而无所失矣…”
——刘徽
当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积
三国时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失弥 少，割之又割，以至 于不可割，则与圆周 合体而无所失矣…”
——刘徽
当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积
A1
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
得 A A1.
y = f(x) y
A1
A2
Oa
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形
的面积A，得
A A1+ A2
y = f(x)
y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2+ A3+ A4

1. 3
我们通过下表还可以从数值上看出这一变化趋势.
区 间0,1的 等 分 数n
2 4 8 16 32 64 128 256 512
S的 近 似 值Sn 0.12500000 0.21875000 0.27343750 0.30273438 0.31787109 0.32556152 0.32943726 0.33138275 0.33235741

1Δx
nn 1
n
2
i1

i
12
n

1 n
0
1n
n
1
n
12

nn16
2n



1n
n
1. 2


1 n

1 n3
12
22
n 12

1 n3
n 1n2n 1

探 究 在 "近 似 代 替" 中,如 果 认 为 函 数fx x2 在
区
间i
1, n
i n
i

1,2,

,n上
的
值
近
似
地
等
于
右
端点
i 处 的 函 数 值f i ,用 这 种 方 法 能 求 出S 的 值 吗?
n
n
若
能
求
出,这
个
值
也
是1 3
吗?
取
任
6

1 1 1 1 3 n
1 . 2n
从而可得S的近似值S

Sn

1 1 3
1 1 n
1 . 2n
y y x2
y y x2
y y x2
y

y x2
o
1x o
1x o
1x
o
1x
图1.5 5
4取极限 分别将区间0,1等分成4,8,,20, 等份
上任意一
点ξi处的值fξi 作近似值,都有
S

lim
n
n i1
f
ξi
Δx

lim 1 f n n
ξi
1. 3
一般地,对如图1.5 1
y
f b
所示的曲边梯形,我们
f a
也可以采用分割、近
y fx
似代替、求和、取极 o a
bx
限值的方法求出其面积.
意ξ
i


i
n
1,
i n
处
的 函 数 值fξi 作 为 近 似 值,情 况 又 怎 样?
y
(过剩近似值)
y x2
12 nn
k n
nx
n
S
n i1
Si

n i1
f( i ) 1 nn

n ( i )2 i1 n
1 n

1 n3
[12

22



(n
图1.5 5,可以看到,当n趋向于无穷大,即Δx趋向
于0时,Sn

1 3
1
1 n
1
1 2n
趋向于S,
从而有S

lim Sn
n

lim
n
n i1
1 f i n
1 n

lim
n
1 1 3
1 1 n
1 2n
2. 有 理 由 相 信 ， 分 点 越 来 越密时，即分割越来越细 时，矩形面积和的极限即 为曲边形的面积。
o
x
B.可以是该区间内任一点的函数值 f (i )(i xi , xi1)
C.只能是右端点的函数值 f (xi1)
D.以上答案均不正确
小结:
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
(1)分割 (2)求面积的和 (3)取极限 n
y
1.把这些矩形面积相加作为
整个曲边形面积S的近似值。
1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线
y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做
曲边梯形。
y
y=f (x)
x=a
Oa
x=b
bx
P 放大
P
再放大
Pl
因此，我们可以用这条直线L来代替点P附 近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看 作直线（即在很小范围内以直代曲）．
y = f(x) y
1) 2

n2 ]
y
(过剩近似值)
y x2
12 nn
k n
nx
n
S

1 n3
[12

22



(n
1)2

n2 ]
1 n(n 1)(2n 1) 1 1 1 1
n3
6
(1 )(2 ) 6n n3
可以证明,取f x

x2在区间i
1, n
i n

n
值f i 1.从图形上看,就是
o
i1 i nn
1x
n
图1.5 4
用平行于x轴的直线段近似
y y x2
地代替小曲边梯形的曲
边图1.5 4.这样,在区
o
i1 i nn
1x
图1.5 3
y
y x2
wk.baidu.com
间
i
1, n
i n
上,用小矩形
的面积 ΔSi' 近似地代替 ΔSi,即在局部小范围内 "以直代曲",则有ΔSi
割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到
“…割之弥细，所失弥 少，割之又割，以至 于不可割，则与圆周 合体而无所失矣…”
——刘徽
当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积
观察图1和图2，如何求直边图形的面积？ 图3中，如何求曲边图形的面积？
y y
y
0
直线
x0
x
o
x
几条线段连成的折线
曲线？
一. 求曲边梯形的面积
ΔSi'

f
i
1Δx n

o
i1 i nn
1x
图1.5 4

i

12

1
i

1,2,

,n.
n n
3求和 由2,图1.5 4中阴影部分的面积Sn 为
可以 n 证明n
S1n 2
i1
2Δ2Si'


f
i1
i
图1.5 1
练习
1. 当n很大时，函数
f (x) x2
在区间
i
1 n
,
i n

上的值，可以用( C )近似代替。
A.
f (1) n
C.
f (i ) n
B.f
(
2 n
)
D. f 0
2、在“近似代替”中，函数f(x)在区间xi , xi1
上的近似值等于（ B ）
A.只能是左端点的函数值 f ( xi )
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵
形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形
的面积A近似为
A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯
形的面积。
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
y
1 1 2 i 1 i n 1 n
[0, ],[ , ],,[ , ],,[ , ],
n nn
nn
nn
每个区间的长度为
i i 1 1
y x2
x
nn n
O 12 nn
k n
nx
n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小
曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.