曲边梯形的面积 课件

(4)取极限． S＝lni→m∞Sn ＝lni→m∞ －91－n11－21n＋91－1n＋9 ＝－9(1－0)(1－0)＋9(1－0)＋9＝9， 即所求曲边梯形面积为S＝9.
1．在求由x＝a，x＝b(a＜b)，y＝f(x)(f(x)≥0)及y＝0围成 的曲边梯形面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分 点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲 边梯形，下列说法中正确的个数是( A )
(3)求和．
n
Sn＝i＝Σ1
f
3i－1
n
Δx
n
＝i＝Σ1
－9i－n212＋2×3i－n 1＋3×3n
＝－2n73 [12＋22＋…＋(n－1)2]＋1n82 [1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋9
＝－2n73 ×61(n－1)n(2n－1)＋1n82 ×nn2－1＋9，
＝－91－1n1－21n＋91－1n＋9. ∴S≈Sn＝－91－1n1－21n＋91－1n＋9.
i＝1
(2)近似代替．
记f(x)＝x2.当n很大，即Δx很小时，在区间 2i－n 2，2ni上， 可以认为函数f(x)＝x2的值变化很小，近似地等于一个常数， 不 在妨区认间为2i它－n 近2，似2ni地 上等，于用左小端矩点形2i的－n 2面处积的ΔS函′数i近值似f 代2i替－n 2ΔS.这i，样即， 在局部小范围内“以直代曲”，则有
定积分的概念 曲边梯形的面积
基础梳理
1．画出由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x3所围成的平 面图形．
答案：所画的图形如右图：
2．曲线y＝f(x)与平行于y轴的直线和x轴围成的图形，通常 称为_曲__边__梯__形___．
例如：
上图中的阴影部分就是一个曲边梯形．
3．半径为r的圆的面积公式是__S_＝__π_r2__，推导圆的面积公 式的思想方法是_“_以__直__代__曲__”__和__逼__近__的__思__想__方__法_．
4．求解曲边梯形的面积的具体步骤为__分__割______、 _近__似__代__替_、___求__和___、__取__极__限__.
5．在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n
b－a
个小区间，则每个小区间的长度为___n___． 例如：在区间[0,1]上等间隔地插入99个点，将它等分成
答案：C
求梯形的面积
求由直线y＝0，x＝2, x＝4和y＝x所围成的平面图形 的面积．
解析：这些直线围成的平面图形是如图阴影部分所示的
梯形，梯形的面积为
S＝
2＋4 2
×2＝6.
跟踪训练
1．由直线y＝x，y＝0和x＝2围成的平面图形的面积是 ______2____．
求曲边梯形的面积
计算由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2所围成的 平面图形的面积．
分析：按照“分割→近似代替→求和→取极限”的步骤 进行．
解析：(1)分割．
1,2，如…上，图n)，的将长区度间为[Δ0x,3＝]n等3n.分分别，过则各每分个点区作间x3轴i－的n 1垂，线3n，i(i把＝原 曲边梯形分成n个小曲边梯形．
(2)近似代替． 以每个小区间的左端点函数值为高作n个小矩形．则当n 很大时，用n个小矩形面积之和Sn近似代替曲边梯形的面积S.
(4)取极限．
当n趋向于无穷大，即Δx趋向于0时，
Sn＝431－n12－1n趋向于S，从而有
S＝lni→m∞Sn＝lni→m∞
n
i＝1
2 n
f
2i－2 n
＝lni→m∞ 431－n12－1n＝83.
跟踪训练
如图，求直线x＝0，x＝3，y＝0与二次函数f(x)＝－x2＋ 2x＋3所围成的曲边梯形的面积．
①n个小曲边梯形的面积和等于S；
ห้องสมุดไป่ตู้
②n个小曲边梯形的面积和小于S；
③n个小曲边梯形的面积和大于S；
④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定
A．1
B．2
C．3
D．4
2．在区间[1,10]上等间隔地插入8个点，则将它等分成 ____9__个小区间，每个小区间的长度为___1___．
3．由直线x＝0，x＝2，y＝ 0和曲线y＝x2所围成的平面图形 (如右图)，若把区间[0,2]等分成 10个小区间，把曲边梯形分成10 个小曲边梯形，则第6个小梯形 的面积可近似地等于( )
1
100个小区间，则每个小区间的长度为__1_0_0____．
自测自评
1．函数f(x)＝x2在区间 i－n 1，ni 上(
)
A．f(x)的值变化很小
B．f(x)的值变化很大
C．f(x)的值不变化
D．当n很大时，f(x)的值变化很小
解析：函数f(x)＝x2在区间 i－n 1，ni 上，随着n的增大，f(x)的 值的变化逐渐缩小，当n很大时，f(x)的值变化很小．
解析：(1)分割．
在区间[0,2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小 区间：0，2n，2n，4n ，…，2nn－2，2 .
其长度为 Δx＝ 2ni－2i－n 2＝2n .
分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个
小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
n
显然，S＝ΔSi.
16 A.125
16 C.25
1 B.5
36 D.25
形可近解似析地：等第于6个边区长间分为别1为，1565和 ，1的区矩间形长的为面15 积，第15 .6个小曲边梯 答案：B
求解曲边梯形的面积是用“以直代曲”和逼近的思想方 法；其步骤为：①分割；②近似代替；③求和；④取极限．
ΔSi≈ΔS′i＝f 2i－n 2·Δ x＝ 2i－n 22·2n (i＝1,2，…，n)．
(3)求和．
n
n
Sn＝ ΔS′i＝ f
i＝1
i＝1
2i－ n 2·Δx
n
＝
i＝1
2i－ n 22·2n
＝0·2n＋n22·2n＋…＋2nn－22·2n ＝n83[12＋22＋…＋(n－1)2] ＝8n－16·nn·32n－1＝431－1n2－n1.
答案：D
2．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间 i－n 1，ni 上的值可以用下 列哪个值近似代替( )
A．f
1 n
C．f
i n
B．f
2 n
D．f(0)
解析：当n很大时，f(x)＝x2在区间i－n 1，ni 上的值可用该区 间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点 的函数值近似代替．