线性规划-讲义-2
运筹学 第二章 线性规划课件
ij m n
1
m
则模型可表示为
Maxz CX
s .t
.
AX X
0
b
2020/11/9
运筹学 第二章 线性规划
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 428.0000
VARIABLE VALUE X1 20.000000 X2 24.000000
A
B
CD
0.1
0
0.1 0.2
0
0.1
0.2 0.1
0.4
0.6
2.0 1.7
试决定买M与N二种饲料各多少公斤而使支出的总费用为 最少？
运筹学 第二章 线性规划
2020/11/9
解：设购买M、N饲料各为 x , x ，则
1
2
M 1 i x 1 n 0 4 x 2 z
0.1x1 0 x 2 0.4
第二章 线性规划（Linear Programming）
第一节 线性规划的模型与图解法 第二节 单纯形法 第三节 对偶问题与灵敏度分析 第四节 运输问题 第五节 线性整数规划
2020/11/9
运筹学 第二章 线性规划
第一节 线性规划的模型与图解法
一、线性规划问题及其数学模型
在生产管理和经营活动中经常需要解决：如何 合理地利用有限的资源，以得到最大的效益。
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运筹学 第二章 线性规划
2020/11/9
例1 某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗 煤、电、油三种资源。现将有关数据列表如下：
资源单耗 产 品
资源 煤 电 油
单位产品价格
甲乙
线性规划讲义
线性规划讲义一、引言线性规划是一种优化问题的数学建模方法，它可以用来解决一类特定的最优化问题。
本讲义将介绍线性规划的基本概念、问题形式化、求解方法以及应用领域。
二、线性规划的基本概念1. 线性规划定义线性规划是一种在给定的约束条件下，求解线性目标函数的最优解的数学问题。
线性规划的目标函数和约束条件都是线性的。
2. 线性规划的数学模型线性规划可以用数学模型来表示，一般形式为：最大化（或最小化）目标函数约束条件：线性规划的目标函数和约束条件可以包含多个变量和多个约束条件。
3. 线性规划的基本假设线性规划的求解过程基于以下假设：- 可行解存在：问题存在满足约束条件的解。
- 目标函数有界：问题存在有限的最优解。
- 线性关系：目标函数和约束条件都是线性的。
三、线性规划的问题形式化1. 目标函数的确定线性规划的目标函数可以是最大化或最小化某个特定的指标，如利润最大化、成本最小化等。
2. 约束条件的确定约束条件是限制问题解的条件，可以包括等式约束和不等式约束。
约束条件可以来自于问题的实际限制，如资源的有限性、技术要求等。
3. 决策变量的确定决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值将影响目标函数的值。
决策变量的选择应该与问题的实际需求相匹配。
四、线性规划的求解方法1. 图解法图解法是线性规划求解的一种直观方法，通过绘制约束条件的图形和目标函数的等高线，找到目标函数取得最大（或最小）值的点。
2. 单纯形法单纯形法是一种常用的线性规划求解算法，它通过迭代计算，逐步接近最优解。
单纯形法的基本思想是通过不断地移动到更优的解，直到找到最优解。
3. 整数规划的分支定界法整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量的取值为整数。
分支定界法是一种用于求解整数规划的方法，它通过将问题分解为多个子问题，并逐步缩小解空间，最终找到最优解。
五、线性规划的应用领域线性规划在实际问题中有广泛的应用，包括但不限于以下领域：- 生产计划与调度- 运输与物流管理- 金融投资组合优化- 能源调度与优化- 供应链管理等六、总结线性规划是一种重要的数学建模方法，它可以用来解决一类特定的最优化问题。
线性规划讲义
线性规划讲义一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的目标最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本讲义将介绍线性规划的基本概念、模型建立和求解方法。
二、基本概念1. 线性规划模型线性规划模型由目标函数和一组线性约束条件组成。
目标函数是要最小化或者最大化的线性表达式，而约束条件是对决策变量的限制条件。
2. 决策变量决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值将影响目标函数的值。
决策变量通常用符号x表示。
3. 约束条件约束条件是对决策变量的限制条件，可以是等式约束或者不等式约束。
等式约束表示某些决策变量之间的关系，不等式约束表示某些决策变量的取值范围。
4. 目标函数目标函数是线性规划模型中要最小化或者最大化的线性表达式。
它通常由决策变量和系数构成。
三、模型建立1. 确定决策变量根据问题的具体情况，确定需要决策的变量，并用符号x表示。
2. 建立目标函数根据问题要求，建立一个线性表达式作为目标函数。
目标函数可以是最小化或者最大化的。
3. 建立约束条件根据问题中给出的限制条件，建立一组线性不等式或者等式作为约束条件。
每一个约束条件都要写成决策变量的线性表达式。
4. 确定变量的取值范围根据问题的实际情况，确定决策变量的取值范围。
这些范围可以是非负数、整数或者其他限制条件。
四、求解方法1. 图形法当决策变量的个数较少时，可以使用图形法来求解线性规划问题。
图形法通过绘制约束条件的图形，并找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
它通过迭代计算，逐步逼近最优解。
单纯形法的核心是构造单纯形表，并进行基变量的选择和迭代计算。
3. 整数线性规划当决策变量需要取整数值时，可以使用整数线性规划方法来求解。
整数线性规划是一种复杂的优化问题，通常需要使用分支定界等算法来求解。
五、案例分析以一个生产计划问题为例，假设一个工厂有两个产品A和B，需要决定每一个产品的生产数量，以最大化利润。
运筹学—线性规划第2章
• 解：此问题的可行域如上图，是一个无界的 多边形。但 极大化目标函数却以1为上界。因此这个线性规划问题没有无 界解，而且事实上，此问题目标函数最优值max f=1在可行域 射线 x1 x2 1 上均可达到。
三. 基、基本可行解
定义6：对于约束条件Ax=b，设A是秩m的mｘn矩阵，用(Pj, j=1 ~n) 表示A的第j列向量。即A=( p1.... pn )。由A的m个列向量构成 的m阶方阵 B=( p j1 , p j2 ... p jm )
定义13：如果 x=(x1…xn)T,y=(y1…yn)T是Rn中任意两点，定义
z x (1 ) y,( 0,1)
z (z1, z2 ,...zn )T 的点
所构成的集合为以x,y为端点的线段，对应 0, 1 的
点 x, y叫做这线段的端点，而对应 0 1 的点叫做这线
段的内点。
• 若B是非奇异的，即detB‡0，则称B为一个基或称为一个基矩阵。
• 因为SLP问题中含有约束条件Ax=b，因此也通常称B为线性规划SLP 的一个基。
•由上面定义可知，B中m个列向量是线性无关的，并且它是 A的列向量组的一个最大无关组。
•按定义，A中m个列向量，只要是线性无关的就可以构成一
个基。
p2
1 2
不在这个基中，所以x1,
x2为非基变量。
•定义8 ：设Ax=b, x 0一个基B p j 1...p jm ，其对应的基变
量构成的m维列向量记为xB (x j1...x jm )T
这时若取非基
• 变量等于0，则 Ax=bBxB=b,得唯一解xB=B-1b.记为
于是得到方程组BAx1b=b的(b一1 ..个.bm解)T： 非基变量 x j 0,( j 1,2....n,i j1, jm
线性规划讲义
线性规划讲义标题：线性规划讲义引言概述：线性规划是一种数学优化技术，用于在给定约束条件下最大化或者最小化线性目标函数。
它在各种领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将详细介绍线性规划的基本概念、解题方法以及实际应用。
一、线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义：线性规划是一种数学方法，用于寻觅一个线性函数的最大值或者最小值，同时满足一组线性等式或者不等式的约束条件。
1.2 线性规划的基本要素：线性规划包括目标函数、约束条件和决策变量三个基本要素。
目标函数用于描述要最大化或者最小化的目标，约束条件描述了问题的限制条件，决策变量是需要确定的未知数。
1.3 线性规划的标准形式：线性规划问题通常被转化为标准形式，即最小化目标函数，同时满足一组线性等式和不等式约束条件。
二、线性规划的解题方法2.1 图形法：图形法是线性规划的基本解法之一，通过在坐标系中画出约束条件和目标函数的等高线图，找到最优解的方法。
2.2 单纯形法：单纯形法是一种高效的线性规划求解算法，通过逐步挪移顶点，找到最优解的方法。
2.3 对偶理论：对偶理论是线性规划的重要理论基础，通过对原问题的对偶问题进行求解，可以得到原问题的最优解。
三、线性规划的应用3.1 生产计划：线性规划可以用于制定最优的生产计划，以最大化利润或者最小化成本。
3.2 资源分配：线性规划可以匡助企业合理分配资源，以达到最优的效益。
3.3 运输问题：线性规划可以解决运输问题，如货物运输路线的最优规划和运输成本的最小化。
四、线性规划的工具4.1 MATLAB：MATLAB是一种常用的数学建模工具，可以用于解决线性规划问题。
4.2 Excel：Excel也可以用于线性规划问题的建模和求解，通过插件或者函数实现。
4.3 Gurobi：Gurobi是一种专业的线性规划求解器，可以高效地解决大规模线性规划问题。
五、线性规划的发展趋势5.1 混合整数线性规划：混合整数线性规划是线性规划的扩展，将决策变量限制为整数，适合于更多实际问题。
线性规划讲义
线性规划讲义引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决在给定约束条件下最大化或最小化线性目标函数的问题。
它在各个领域都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将从五个大点来详细阐述线性规划的相关概念和应用。
正文内容：1. 线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义和形式线性规划是一种数学模型，其目标函数和约束条件均为线性函数。
一般形式为：最大化（或最小化）目标函数 Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中x1, x2, ..., xn为决策变量，c1, c2, ..., cn为常数。
约束条件一般为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1，a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2，...，am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm，其中a11, a12, ..., amn为系数，b1, b2, ..., bm为常数。
1.2 线性规划的可行解和最优解可行解是指满足所有约束条件的解，而最优解是在所有可行解中使目标函数达到最大（或最小）值的解。
线性规划问题的解空间是一个多面体，最优解通常位于多面体的顶点。
1.3 线性规划的图解法和单纯形法线性规划问题可以通过图解法和单纯形法求解。
图解法适用于二维或三维问题，通过画出目标函数和约束条件的图形，找到最优解所在的区域。
单纯形法适用于高维问题，通过一系列的迭代计算，逐步接近最优解。
2. 线性规划的应用领域2.1 生产计划线性规划可以用于确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
通过考虑生产能力、资源约束和市场需求等因素，可以确定最优的生产数量和产品组合。
2.2 资源分配线性规划可以用于确定最佳的资源分配方案，以最大化资源利用率或最小化资源浪费。
通过考虑资源供应量、需求量和优先级等因素，可以实现资源的有效调配。
2.3 运输问题线性规划可以用于解决运输问题，如货物的调度和路径规划。
线性规划讲义
线性规划讲义一、引言线性规划是一种优化问题的数学建模工具，它可以帮助我们在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小值的最优解。
本讲义将介绍线性规划的基本概念、常见的线性规划模型以及求解方法。
二、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数被称为目标函数。
通常用字母Z表示目标函数。
2. 约束条件：线性规划的解必须满足一系列约束条件，这些约束条件可以是等式或不等式。
约束条件可以限制决策变量的取值范围，也可以限制决策变量之间的关系。
3. 决策变量：决策变量是我们需要确定的变量，它们的取值将影响目标函数的值。
决策变量通常用字母x表示。
4. 可行解：满足所有约束条件的解被称为可行解。
可行解必须满足约束条件，并且在定义域内取值。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解被称为最优解。
最优解可能是唯一的，也可能有多个。
三、线性规划模型1. 单目标线性规划模型：单目标线性规划模型是指只有一个目标函数的线性规划模型。
常见的单目标线性规划模型包括生产计划、资源分配等问题。
2. 多目标线性规划模型：多目标线性规划模型是指有多个目标函数的线性规划模型。
多目标线性规划模型需要考虑多个目标之间的权衡和平衡。
四、线性规划的求解方法1. 图形法：图形法是一种直观的求解线性规划问题的方法，它适用于二维或三维的线性规划问题。
通过绘制约束条件的图形，可以找到最优解所在的区域。
2. 单纯形法：单纯形法是一种高效的求解线性规划问题的方法，它适用于多维的线性规划问题。
单纯形法通过迭代计算，逐步接近最优解。
3. 整数规划法：整数规划是线性规划的一种扩展，它要求决策变量只能取整数值。
整数规划问题的求解相对困难，可以使用分支定界法等方法求解。
五、线性规划的应用领域线性规划广泛应用于各个领域，包括生产计划、资源分配、运输问题、投资组合、市场营销等。
线性规划可以帮助决策者优化资源利用，提高效益。
第二章线性规划知识课件
方案 x1 x2 x3 x4 x5
2.9米 1 2 0 1 0
2.1米 0 0 2 2 1
1.5米 3 1 2 0 3
合计 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6
余料 0 0.1 0.2 0.3 0.8
OBJ: MinZ 0x1 0.1x2 0.2x3 0.3x4 0.8x5
x1 2x2 x4 100 s.t. 3x12x3x2 2x24x3 x53x5101000
4) 移动等值线到可行域边界得到最优点
11
1.用图解法求解极大化问题
例1 OBJ : max Z 2 x1 3 x 2
x1 2x2 8
s
.
t
.
4
x
1
16 4 x 2 12
x1 , x 2 0
x x12x2 2
2x13x24
做目标函数2x1+3x2的等值线，与 3 阴影部分的边界相交于Q(4,2)点， 这表明最优解是:x1= 4,x2 =2
0
4x1=16 x1+2x2=8
Q(4,2) 4x2=12
4 Z=2x1+3x2
8 x1
12
例2
max Z 6 x 1 4 x 2
2 x 1 x 2 10
s
.t
.
x1 x2 8 x2 7
x 1 , x 2 0
最优解 : x1 2 x2 6 Z 36
x2
10 F
9
8E
7 ABG 3
A
533
1.5
B
221
0.7
每人每月最低需求量（单位） 60 40 35
例3 现要做100套钢架，每套需2.9米、2.1米和1.5米的圆钢各一
线性规划讲义
线性规划讲义一、什么是线性规划线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它的目标是在给定的线性约束条件下，找到使目标函数达到最大或者最小值的变量取值。
二、线性规划的基本要素1. 决策变量：决策变量是指问题中需要决策的变量，用来表示问题的解。
通常用x1、x2、...、xn来表示。
2. 目标函数：目标函数是用来衡量问题的优劣的函数，通常是需要最大化或者最小化的函数。
通常用f(x)表示。
3. 约束条件：约束条件是问题中需要满足的条件，通常是一组线性等式或者不等式。
约束条件可以分为等式约束和不等式约束，分别用等式和不等式来表示。
三、线性规划的标准形式线性规划的标准形式可以表示为：最小化：f(x) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn约束条件：Ax ≤ bx ≥ 0其中，f(x)是目标函数，c1、c2、...、cn是目标函数的系数，x1、x2、 (x)是决策变量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的常数向量，x ≥ 0表示决策变量的非负约束。
四、线性规划的求解方法线性规划可以使用多种方法进行求解，常见的方法有：1. 图形法：适合于二维问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线图来找到最优解。
2. 单纯形法：适合于多维问题，通过迭代计算顶点来找到最优解。
3. 对偶理论：通过构建对偶问题，将原问题转化为对偶问题进行求解。
4. 整数规划法：将决策变量限制为整数，通过枚举或者分支定界法来求解。
五、线性规划的应用领域线性规划广泛应用于各个领域，包括但不限于以下几个方面：1. 生产计划：通过优化资源分配和生产计划，最大化利润或者最小化成本。
2. 运输问题：通过最优化运输路线和货物分配，降低运输成本。
3. 供应链管理：通过优化供应链中的各个环节，提高效率和利润。
4. 金融投资：通过优化投资组合，最大化收益或者最小化风险。
5. 能源管理：通过优化能源生产和消耗，提高能源利用效率。
chapter2线性规划
二.线性规划问题的图解法
1.图解法求最大化的步骤：
第一步，得到可行域，也就是满足所有约束条
件的自变量组成的集合。 第二步，在可行域中找到使目标函数最大的那 一点，也就是最优解。 第三步，通过最优解，求出目标函数的最优值。
案例：考虑生产规划模型：
max z 50 x1 100 x 2 x1 x 2 300 2 x x 400 1 2 x 2 250 x1 , x 2 0
注3:
一般优化模型的基本类型： (1)只有目标函数而没有约束条件和非负约束 的特殊情况称为无约束规划. (2)当模型中的决策变量取值为连续数值(实 数)时,称为连续优化即通常所说的数学规划; 此时,如果目标函数与约束条件都是线性函数, 成为线性规划(linear programming,LP).至少 有一个是非线性函数,则称为非线性规划 (nolinear programming,NLP).特别当目标函数 为二次函数,而约束条件为线性函数,称为二 次规划(quadratic programming,QP).
件中含有变量的非线性的等式或不等式的数学
模型称之为非线性规划。
(2)线性规划的目标函数为线性函数：z=ax，x 为自变量，a为参数。当a>0时，z随着x的增加 而增加，无论x为多少，x增加一个单位带来的z 的增加总是同样的a。 由于其性质，没有约束条件的时候max z=ax是 不存在的，趋向于无穷大，所以现实的模型必 须包括对自变量取值的限制，例如加入 0<=x<=5。
max z 50 x1 100 x 2 x1 x 2 300 2 x x 400 1 2 x 2 250 x1 , x 2 0
第二章线性规划(运筹学讲义)
产品Ⅰ 产品Ⅱ
设备使用成本和单价
资源限制
设备
1
1
10元 / 时
300台时
原料A
2
1
12元 / kg
400kg
原料B
0
1
18元 / kg
250kg
销售单价(元)
84
140
单位产品利润(元)
50
100
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？
设工厂生产产品Ⅰ、Ⅱ分别为x1，x2单位， 则线性规划模型：
确定需求的约束，它们表示了一定数量的确定的需求，提供的数量等于要 求的数量。网络配送问题的共性就是它们的主要函数约束为一种特定形式 的确定需求的约束。
混合问题（mixed Problem）除以上三类以外的问题
建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；
2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一组值表示一个方案；
因此,凸集用数学表示为:对任何X1 ∈C, X2 ∈C, 有α X1 ＋(1- α) X2 ∈C (其中0<α<1),则称道C为凸集。 规定：单点集 {X} 为凸集，空集为凸集。
A B
E
C
D
顶点:设C是凸集, X∈C;若X不能用不同的两点X1∈C和 X2∈C的线性组合表示为X= αX1＋(1－α) X2 (其中 0<α<1),则称X为C的一个顶点
x2 49
z=10000=50x1+100x2
AB
250
C
z=27500=50x1+100x2 z=20000=50x1+100x2
z =0=50x1+100x2
第2章线性讲义规划的对偶问题
6
三、非对称形式的原--对偶问题的关系
1. 非对称转化为对称LP问题的步骤
➢ 目标函数及变量约束的转化同标准形式的转化；
➢ 约束方程若为等式
则令:
n
a ij x j b i
n
aij x j bi
j 1
j1
n
a ij x j b i j1
n
➢ 约束方程若为” ≥”， aij x j bi j 1
s.t. ………………………… a m 1 x 1 a m 2 x 2 a m x n n b m x1,x2, ,xn0
注：对称形式的LP问 题,对b没有非负要求。
其对偶问题为(LP2) ：
M W b 1 i y 1 n b 2 y 2 b m y m
a 1 y 1 1 a 2 y 2 1 a m 1 y m c 1 a 1 y 1 2 a 2 y 2 2 a m 2 y m c 2
资源向量 C’
约束条件系数矩阵 A 约束条件系数矩阵 A ‘
9
三、非对称形式的原--对偶问题的关系 练习: 给出下述LP问题的对偶问题:
max z x1 2 x2 3 x3
x1 x2 x3 4
st
.
x1 x1
2 x2 2 x2
3x3 3x3
5 6
x1 0, x2无约束 , x3 0
精品
第2章线性规划的对偶问题
2.1 线性规划的对偶问题
一、对偶问题的提出
支持对偶理论的基本思想是：每一个线性规划问题都存 在一个与其对偶的问题。在求一个问题的解的同时，也 给出了另一个问题的解。
例：
二、对称形式下对偶问题的一般形式
线性规划问题具有对称形式，若：
线性规划讲义
线性规划讲义一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束下的最优化问题。
它的目标是找到一组决策变量的最佳取值，使得目标函数达到最大或最小值。
线性规划广泛应用于经济学、工程学、管理学等领域，可以帮助决策者做出最优决策。
二、基本概念1. 决策变量：线性规划的决策变量是指需要决策者确定的变量，通常用x1,x2, ..., xn表示。
2. 目标函数：线性规划的目标函数是需要最大化或最小化的线性函数，通常用f(x)表示。
3. 约束条件：线性规划的约束条件是决策变量需要满足的一组线性等式或不等式，通常用g(x)≤b或g(x)≥b表示。
4. 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使得目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
三、标准形式线性规划问题可以通过将其转化为标准形式来求解。
标准形式的线性规划问题具有以下特点：1. 目标函数是最小化问题。
2. 所有约束条件均为等式。
3. 所有决策变量均为非负数。
标准形式的线性规划问题可以通过以下步骤进行转化：1. 将目标函数转化为最小化问题：如果目标函数是最大化问题，可以通过将目标函数乘以-1来转化为最小化问题。
2. 引入松弛变量：对于每个不等式约束条件，引入一个松弛变量将其转化为等式约束条件。
3. 引入非负变量：对于每个决策变量，引入一个非负变量。
四、线性规划求解方法线性规划问题可以使用多种方法求解，常见的方法包括：1. 图形法：适用于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到最优解的图形位置。
2. 单纯形法：适用于多维线性规划问题，通过迭代计算，不断改变基变量和非基变量的取值，直到找到最优解。
3. 对偶法：通过构建原始问题和对偶问题之间的对应关系，可以通过求解对偶问题来得到原始问题的最优解。
4. 整数规划法：适用于决策变量需要取整数值的线性规划问题，通过将问题转化为整数规划问题来求解。
五、应用案例线性规划在实际应用中有广泛的应用，以下是一个简单的应用案例：假设一个农场有100亩土地，种植小麦和玉米两种作物。
线性规划讲义
线性规划讲义一、引言线性规划是一种数学建模和优化方法，用于解决具有线性约束条件和线性目标函数的问题。
它可以应用于各种领域，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本讲义将介绍线性规划的基本概念、模型建立方法、解法和应用案例。
二、基本概念1. 线性规划问题的定义线性规划问题是指在一组线性约束条件下，寻找使线性目标函数取得最大（小）值的决策变量的取值。
2. 线性规划问题的数学表达线性规划问题的数学表达可以用如下形式表示：最大化（最小化）目标函数：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 03. 线性规划问题的基本要素线性规划问题包含以下基本要素：目标函数：决策变量的线性组合，表示待优化的目标。
约束条件：对决策变量的约束，限制了可行解的范围。
决策变量：问题中需要决策的变量。
可行解：满足所有约束条件的决策变量取值。
最优解：使目标函数取得最大（小）值的可行解。
三、模型建立方法1. 确定决策变量根据问题的实际情况，确定需要决策的变量，如生产数量、资源分配比例等。
2. 建立目标函数根据问题的目标，将决策变量线性组合，构建目标函数。
3. 建立约束条件根据问题的约束条件，将决策变量的线性组合与约束条件进行比较，建立约束方程。
4. 确定变量的取值范围根据问题的实际情况，确定决策变量的取值范围，如非负约束条件。
四、解法1. 图形法图形法适用于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到最优解的图形位置。
2. 单纯形法单纯形法是一种迭代求解线性规划问题的方法，通过不断移动基变量，找到最优解。
3. 整数规划法整数规划法适用于决策变量需要取整数值的线性规划问题，通过引入整数变量和约束条件，将问题转化为整数规划问题，并应用相应的求解方法。
第二章 线性规划课件
be max bi bi 0
是没
所有a i k 0
有
否
最 优
计算
min
bi a ik
a ik
0
be aek
解
没是
有
所有 a e j 0
最 优
否
解
计算
min
i aej
aej
<0
k aek
以为中心元素进行迭代
以为中心元素进行迭代
例6 用单纯形表求解例1。（见书P25） 解 已知该问题的标准型为:
§1 对线性规划的回顾
非标准形式化为标准形式总结
线性规划模型
变量 Xj≥0
Xj≤0
Xj无约束
约 右端 bi≥0
束项 条
bi<0
件 形式 ai1x1+…+ainxn =bi
ai1x1+…+ainxn ≤bi
ai1x1+…+ainxn ≥ bi 目标函数 max z= c1x1+…+cnxn
min z= c1x1+…+cnxn
Y*分别是问题 P和D 的最优解。
【性质4】 (强对偶性) 原规划与对偶规划同有最优解，且两者最优值相等。
【性质5】互补松弛定理：设X、Y各为原规划与对偶规划的一个可行解，则X、Y为最
优解的充分必要条件为 Y XS = YS X = 0。 【性质6】 (基解对应性) 原规划单纯形表中检验数行对应对偶规划的一个基解。
推论⑴.若X和Y分别是问题（P）和（D）的可行解，则 CX是（D）的目标函数最小 值的一个下界；Yb是（P）的目标函数最大值的一个上界。
推论⑵.在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则 另一个问题不可行；反之不成立。这也是对偶问题的无界性。
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4、 单纯形表 两个重要公式： XB =B-1 b-B-1 NXN S=CB B-1 b+(CN -CB B-1 N)XN XB + B-1 NXN = B-1 b
-S + 0 XB + (CN -CB B-1 N)XN = -CB B-1 b 作表 且每张表中基阵对应的是单位阵
例 11—对例1用单纯形表求解
max S c jx j
j1
n i 1, 2, ..., m ai jx j b i j1 s . t xj 0 j 1, 2, ..., n i 1, 2, ..., m b i 0
(2)、矩阵形式 max S=CX
AX=b X 0
n! m!(n-m)!
个。
可 行 解
基 本 解
例10 – 对例9的线性规划问题标准形式
max S=40x1+ 50x2
(1)写出它的矩阵形式； (2) 判断(P3 P4 P5) 是否为基阵,若是基阵, 写出该基阵对应的基变量； (3)根据（2）中的基阵，用非基变量表示基变量； (4)根据（2）中的基阵，求出该问题的一个基本 解，并判断是否为基可行解，同时求出对应的目 标函数值； (5)将(3)中的基变量代入目标方程，并判断目标 函数有没有达到最优.
定义1 、 基阵—A中一个子矩阵B是可逆矩 阵， 则方阵B称为LP问题的一个基。
有：AX=P1 x1+ P2 x2 + … +Pn xn=b A= (P1 … Pm Pm+1 … Pn )
定义：基向量 =(B N ) X= x1 … xm T xm+1 … xn T =(XB XN)T 定义：基变量
1 3 0
0 0 1
1 0 0
0
1 0
-1 -1
½
6 12 -
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x3 x4
x2
表2 -S
6 36
12
-600
1 3 0
0 0 1
1 0 0
0 1 -3
0 1 0
0 0 1
-1 -1
½
6 12
9
x1 x4
6 18
40 0 1 0 0 0
-25 -1 2
x2
表3 -S
12
0
1 0
单纯形法基本步骤
(1)、定初始基，初始基本可行解 (2)、对应于非基变量检验数 j全 0。 若是，停，得到最优解； 若否，转(3)。
(3)、由换基迭代原则：进基:最大正价值系数 出基:最小比值原则
确定轴心元素
(4)、以轴心元素为中心 换基迭代转(2)
…… a1k Pk = … ark amk … 初等行变换
a11 a1m a1m1 a1n x x b x x 三 1 m m1 n 种 a a mm a mm 1 a mn m1 形
x1 -x2 +x4 -x5 -x7 =2
x1 , x2 , x4 ,
…
, x7 0
例9 对例1的L.P问题进行标准化
maxS=40x1 +50x2 x1 +2x2 ≤ 30 3x1 +2x2 ≤ 60 2x2 ≤ 24 x1 ， x2 0 maxS=40x1 +50x2 x1 +2x2 +x3 =30 3x1 +2x2 +x4 =60 2x2 +x5 =24
…
L.P问题数学模型的标准化
(1) min S = CX 令Sˊ= -S 得到：
max Sˊ= - CX
(2) 约束条件 例 minS=40x1+ 50x2 x1 + 2x2 30 3x1 + 2x2 60 2x2 24 x1 , x2 , x3 0 松弛变量 ˊ= -S 令S 得max Sˊ= - 40x1 – 50x2 +0 x3 +0 x4 +0 x5 x1 +2x2 +x3 =30 3x1 +2x2 +x4 =60 2x2 + －x5 =24 x1 , …, x5 0 剩余变量
15 30 12
-S
50
Cj XB
40
x1
50
x2
0
x3
0
x40Βιβλιοθήκη x5bx3 x4
x5
30 60
24
1 3
0
2 2
2
1 0
0
0 1
0
0 0
1
15 30 12
40 50 0 0 0 -S 0 高斯变换③× 1/2 ，①－③，②－③
XB x3 x4 x2
表2 -S
b
x1
x2
x3
x4
x5
6 36 12
-600
若令非基变量 xm+1 = · = xn = 0 ,用高斯消元法 · · 可求出LP标准型的一个解 X = ( x1 x2 · xm 0 · 0 )T · · · · 称 X 为基本解. 这个解的非0分量的数目不大于方程个数 m.
AX=b的求解 定义2 基本解： 对应于基B，X= 为AX=b 的一个解。 B-1 b 0
对LP矩阵标准型 max S=CX AX=b 时， X0 A=(BN) X=(XB XN )T XB = b (BN) XN BXB +NXN=b XB =B-1 b- B-1 NXN S=CB B-1 b+(CN -CB B-1 N)XN
不失一般性，设
B= (P1 P2 …Pm )
N = ( Pm+1, ·, Pn ) · · CB = ( c1 , ·, cm ) · · CN = ( cm+1, ·, cn ) · ·
maxS=40x1 +50x2 做初始单纯形表 x1 +2x2 +x3 =30 3x1 +2x2 +x4 =60 2x2 +x5 =24 x1 … x5 0
Cj
40
x1
50
x2
0
x3
0
x4
0
x5
XB
x3 x4 x5
b
30 60 24 0
1 3 0 40
2 2
2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
(3) 变量 若xj 0, 令 xj = -xjˊ, 其中: xjˊ 0 若xj是无限制变量. 令 xj = xjˊ- xj〞, 其中: xjˊ、 xj〞 0
例 3x1+2x2 8
x1 –4x2 14
x2 0 令x1= x1'- x1 " 3 x1' –3x1 " +2x2 8 x1' - x1 " – 4x2 14 x1' , x1" ,x2 0
0 -40
0 0
1/2 15
24
-840 0
XB x1 x4 x2
表3 -S
b 6 18 12 15
x1
x2
x3
x4
x5
1 0 0 1 9 0
0
0
1 0 0 0 1
1 -3 0
0
1
0
-1 2 1/2
9 24
-840 0
x1 x5 x2
表4 -S
-40 0 15 -1/2 1/2 0 -3/2 1/2 1 3/4 -1/4 0
15/2 0
-975 0
0
-35/2
-15/2 0
最优解 X*=(15 15/2 0 0 9)T
Smax=975
最优性判别定理 定理5.4 若 X(0) = ( XB(0), XN(0) )T , 其中XB(0)=B-1b ,
XN(0) =0 为对应于基 B 的基可行解, 若检验数
j全部 0，则X(0)为最优解。
…
非基向量 非基变量
AX=b 求解
A=(BN)
X=(XB XN )T
XB = B-1 b - B-1N XN
XB (BN) =b XN BXB +NXN=b BXB =b-NXN
S=CB B-1 b+(CN -CB B-1 N)XN
P1 xAX=b的求解 + Pm+1 xm+1+ …+ Pn xn=b 1+ …+ Pm xm
a11 a1m a1m 1 a1n x x x x b 1 m m 1 n a m1 a mm a mm 1 a mn a11 a1m a1m1 a1n x x b x x 1 m m1 n a m1 a mm a mm 1 a mn
x1 ， …， x5 0
2、单纯形法的解的概念
max S=CX AX =b X0 Am×n 满秩
a11 … a1m a1m+1 … a1n a21 … a2m a2m+1 … a2n
………… P1 … Pm
…………… Pm+1 … Pn
am1 … amm amm+1 … amn
A=[ B N ] N B (m< n) r(A)=m , 至少有一个m 阶子式不为0 不失一般性,不妨假设P1 … Pm线性无关
例8
将 min S = -x1+2x2 –3x3 x1+x2 +x3 7 解：① 令x3 =x4 - x5 ② 添加松弛变量x6 x1 -x2 +x3 2 ③ 添加剩余变量x7 x1，x2 0，x3无限制 ④ 令S'= -S maxS'= x1 –2x2 +3x4 –3x5 化为标准型 x1 +x2 +x4 -x5 +x6=7