线性规划讲义 优质课件
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线性规划PPT课件
线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义
4.2线性规划ppt课件
4.2线性规划ppt课件
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。
简单线性规划 课件(48张)
22
由 z＝x＋3y，得 y＝－13x＋3z，平移直线 x＋3y＝0 可
知，当直线 y＝－13x＋3z经过 A 点时 z 取最大值．由
2x＋y＝4，
得 A(1，2)，所以 zmax＝1＋2×3＝7.
x＝1，
2021/10/10
23
类型 2 求非线性目标函数的最值 x－y－2≤0，
[典例 2] 设实数 x，y 满足约束条件x＋2y－4≥0， 2y－3≤0，
2021/10/10
30
[变式训练] (1)在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不
2x－y－2≥0， 等式组x＋2y－1≥0，所表示的区域上一动点，则直线
3x＋y－8≤0， OM 斜率的最小值为( )
A．2 B．1 C．－13 D．－12
2021/10/10
31
2x＋y－5≥0， (2)已知3x－y－5≤0，求(x＋1)2＋(y＋1)2 的最大、
简单的线性规划
2021/10/10
1
[学习目标] 1.了解线性规划的意义，了解线性约束 条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概 念． 2.掌握线性规划问题的图解法，会用图解法求线性 目标函数的最大值、最小值． 3.训练数形结合、化归等 数学思想，培养和发展数学应用意识．
2021/10/10
x－2y＋5≥0， 最小值．
(1)解析：如图所示，
2021/10/10
32
2x－y－2≥0， x＋2y－1≥0，所表示的 3x＋y－8≤0，
平面区域为图中的阴影部分．
x＋2y－1＝0，
由
得 A(3，－1)
3x＋y－8＝0，
当 M 点与 A 重合时，OM 的斜率最小，
2021/10/10
线性规划一PPT资料优秀版
该方法可以解决两方面的问题：（1）产品数量在一 定范围内可以变化时, 根据给出的生产设备，找到使利 润最大化的产品混合生产方式；（2）计算出要制造出 给定数量产品所需要的最少设备量。这种基于线性规划 的优化系统被称为CAPS，从1996年开始成为IBM最大 半导体生产线用于生产能力规划方面的决策支持系统。
加州大学伯克利分校的Leachman教授利用线性规划来解决生产计划的研究工作并给出一个企业级的生产规划模型，该模型包括了多
种设备，并把生产过程集成到这些设备当中。
表 示 的 平 面 区 域 如 图 (阴 影 部 分 ) 近几十年来，线性规划在各个行业中都得到了广泛的应用。
•P2( x 0 , y 2 )
材料二：
提高企业的经济效益是现代化管理的 根本任务，各个领域中的大量问题都可以 归结为线性规划问题。近几十年来，线性 规划在各个行业中都得到了广泛的应用。
根据 《财富》杂志对全美前500家大 公司的调查表明，线性规划的应用程度名 列前茅，有85%的公司频繁地使用线性规 划，并取得了显著提高经济效益的效果。
思考:不等式Ax By C 0表示的平面区域是什么？
2 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 找 出 点 集 { ( x , y ) |x y 2 0 } 显 然 :x y 2 0 y x 2
x0y020 坐 标 系 中 分 别 表 示 什 么 图 形 ？ 二元一次不等式表示的平面区域
加州大学伯克利分校的Leachman教授利用线性规划来解决生产计划的研究工作并给出一个企业级的生产规划模型，该模型包括了多 种设备，并把生产过程集成到这些设备当中。
二元一次不等式表示的平面区域
1 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 找 出 点 集 { ( x , y ) |x y 2 0 }
加州大学伯克利分校的Leachman教授利用线性规划来解决生产计划的研究工作并给出一个企业级的生产规划模型，该模型包括了多
种设备，并把生产过程集成到这些设备当中。
表 示 的 平 面 区 域 如 图 (阴 影 部 分 ) 近几十年来，线性规划在各个行业中都得到了广泛的应用。
•P2( x 0 , y 2 )
材料二：
提高企业的经济效益是现代化管理的 根本任务，各个领域中的大量问题都可以 归结为线性规划问题。近几十年来，线性 规划在各个行业中都得到了广泛的应用。
根据 《财富》杂志对全美前500家大 公司的调查表明，线性规划的应用程度名 列前茅，有85%的公司频繁地使用线性规 划，并取得了显著提高经济效益的效果。
思考:不等式Ax By C 0表示的平面区域是什么？
2 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 找 出 点 集 { ( x , y ) |x y 2 0 } 显 然 :x y 2 0 y x 2
x0y020 坐 标 系 中 分 别 表 示 什 么 图 形 ？ 二元一次不等式表示的平面区域
加州大学伯克利分校的Leachman教授利用线性规划来解决生产计划的研究工作并给出一个企业级的生产规划模型，该模型包括了多 种设备，并把生产过程集成到这些设备当中。
二元一次不等式表示的平面区域
1 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 找 出 点 集 { ( x , y ) |x y 2 0 }
第3章 线性规划.ppt
max z x1 x2 则凸多边形的边AB 上的所有点都是问 题的解。因此，解 是无穷多个。
x2
400
300 A
250 B
x2 250
x1 x2 300
0
200
300
x1
2x1 x2 400 16
第3章 线性规划
3. 无最优解(目标函数值
x2
为无穷大或无穷小)。
若例3-4中式(b),(c)的约 250
成立,则称x为凸集D的极点。即在凸集上不能表 示成相异两点凸组合的点，称为极点；在线性 规划问题的凸集上称之为顶点。
20
第3章 线性规划
3. 基本解：对于有n个变量、m个约束方程的标 准线性规划问题，取其m个变量，若这些变量在 约束方程中的系数列向量线性无关，则它们组 成一组基本变量。确定了一组基本变量后，其 它n-m个变量称为非基本变量。
变量约束： xi 0, 1 i 4
6
第3章 线性规划
一、线性规划问题的标准形式（※）
1. 标准形式
目标函数： 约束条件：
n
max z cj xj j 1
n
aij xj b0i , i 1, 2,
j 1
, m, (b0i 0)
变量约束： xj 0, j 1, 2, , n
通常把上述三个式子描述的问题称为标准线
5. 基本可行解：如果基本解中的每一个变量都是非 负的，即满足变量约束 xj 0, (1 j n) 的基本解称 为基本可行解。如果在基本可行解中至少有一个基 本变量为零，则该解称为退化的基本可行解，反之， 称为非退化的基本可行解。
注：基本可行解既是基本解、又是可行解，它对应 于线性规划问题可行域的顶点。
9
第3章 线性规划
x2
400
300 A
250 B
x2 250
x1 x2 300
0
200
300
x1
2x1 x2 400 16
第3章 线性规划
3. 无最优解(目标函数值
x2
为无穷大或无穷小)。
若例3-4中式(b),(c)的约 250
成立,则称x为凸集D的极点。即在凸集上不能表 示成相异两点凸组合的点，称为极点；在线性 规划问题的凸集上称之为顶点。
20
第3章 线性规划
3. 基本解：对于有n个变量、m个约束方程的标 准线性规划问题，取其m个变量，若这些变量在 约束方程中的系数列向量线性无关，则它们组 成一组基本变量。确定了一组基本变量后，其 它n-m个变量称为非基本变量。
变量约束： xi 0, 1 i 4
6
第3章 线性规划
一、线性规划问题的标准形式（※）
1. 标准形式
目标函数： 约束条件：
n
max z cj xj j 1
n
aij xj b0i , i 1, 2,
j 1
, m, (b0i 0)
变量约束： xj 0, j 1, 2, , n
通常把上述三个式子描述的问题称为标准线
5. 基本可行解：如果基本解中的每一个变量都是非 负的，即满足变量约束 xj 0, (1 j n) 的基本解称 为基本可行解。如果在基本可行解中至少有一个基 本变量为零，则该解称为退化的基本可行解，反之， 称为非退化的基本可行解。
注：基本可行解既是基本解、又是可行解，它对应 于线性规划问题可行域的顶点。
9
第3章 线性规划
线性规划PPT优秀课件
y
1
x+y-1>0
1
O
x+y-1<0 x+y-1=0
x
复习二元一次不等式表示平面区域的范例 例1 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。 y
6
注意：把直
线画成虚线以 表示区域不包 括边界
O
2x+y-6=0
3
x
复习二元一次不等式表示平面区域的范例 y
5Hale Waihona Puke 例2 画出不等式组 x+y=0
x y 5 0 x y 0 x 3
探索结论
复习判断二元一次不等式表示哪一 侧平面区域的方法
由于对在直线ax+by+c=0同 一侧所有点(x，y)，把它的坐标 (x，y)代入ax+by+c，所得的实 数的符号都相同，故只需在这条 直线的某一侧取一特殊点(x0，y0) 以ax0+by0+c的正负的情况便可 判断ax+by+c>0表示这一直线 哪一侧的平面区域，特殊地，当 c≠0时常把原点作为此特殊点
可行域
(5,2)
(1,1)
线性规划
例1 解下列线性规划问题： 求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下 列条件： 2x+y=0 y
解线性规划问题的一般步骤：
2x+y=-3 y x 1 1 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； C( , ) 2 2 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点； x y 1 O y 1 第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数 B(2,-1) 2x+y=3
x-y=7 C(3,6) y=6
线性规划课件ppt
根据实际问题的特点，选择适合的线性规划模型进行建模和优化。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
线性规划课件PPT课件
14
变式训练（三）
若 x、y 满足
y 1
y
2x-1
x y m
若目标函数 z x y 最小值-1，则m的值.
15结束
变式训练（四）
x y 1
若 x、y 满足 x y 4
x
y
2
x y 2
则目标函数
z ax y(a 0)仅在(3,1)处有最大值，
则a的取值范围.
16结束
谢 谢！
6
问题（四）
用什么方法解决这个问题呢？ 根据什么判断这是一个线性规划问题呢？
7
解：设每天吃x百克苹果,y百克桔子,花 钱z元，则 50x 25y 75
0.2x 0.4y 1 x0 y0
z 0.75x y
8
M
M
9
当直线z=0.75x+y经过可行域上的点M时，z有最小值
解方程组
50x+25y=75 0.2x+0.4y=1
得M的坐标为（ 1 ，7 ） 33
所以，zmin
0.75x
y
31 12
2.6
答：最少可以花约2.6元.
10
问题（五）
解决线性规划实际问题的步骤：
（1）设变元 （2）写出线性约束条件和线性目标函数 （3）画出可行域 （4）求出最优解
11
巩固练习
x y 1
若点M(x, y)在平面区域 x y 4 上
鸭梨 每天补充 (百克) 量(毫克)
3
75
0.4
1
0.5
3
问题（二）
猜想选择哪两种水果，既保证人体 维生素的需求量，又最省钱？
4
问题（三）
如果选择苹果和桔子两种水果， 怎样将这个实际问题转化为数学问题？
变式训练（三）
若 x、y 满足
y 1
y
2x-1
x y m
若目标函数 z x y 最小值-1，则m的值.
15结束
变式训练（四）
x y 1
若 x、y 满足 x y 4
x
y
2
x y 2
则目标函数
z ax y(a 0)仅在(3,1)处有最大值，
则a的取值范围.
16结束
谢 谢！
6
问题（四）
用什么方法解决这个问题呢？ 根据什么判断这是一个线性规划问题呢？
7
解：设每天吃x百克苹果,y百克桔子,花 钱z元，则 50x 25y 75
0.2x 0.4y 1 x0 y0
z 0.75x y
8
M
M
9
当直线z=0.75x+y经过可行域上的点M时，z有最小值
解方程组
50x+25y=75 0.2x+0.4y=1
得M的坐标为（ 1 ，7 ） 33
所以，zmin
0.75x
y
31 12
2.6
答：最少可以花约2.6元.
10
问题（五）
解决线性规划实际问题的步骤：
（1）设变元 （2）写出线性约束条件和线性目标函数 （3）画出可行域 （4）求出最优解
11
巩固练习
x y 1
若点M(x, y)在平面区域 x y 4 上
鸭梨 每天补充 (百克) 量(毫克)
3
75
0.4
1
0.5
3
问题（二）
猜想选择哪两种水果，既保证人体 维生素的需求量，又最省钱？
4
问题（三）
如果选择苹果和桔子两种水果， 怎样将这个实际问题转化为数学问题？
线性规划教材教学课件
02
线性规划的基本理论
线性规划的几何解释
01
线性规划问题可以解释为在多维 空间中寻找一个点，该点使得某 个线性函数达到最大或最小值。
02
线性规划问题可以用图形表示， 通过观察图形可以直观地理解问 题的约束条件和目标函数。
线性规划的基本定理
线性规划问题存在最优解，且最优解必定在约束条件的边界 上。
大M法的优点是计算量较小， 可以快速找到一个近似解，但 解的精度和可靠性相对较低。
大M法适用于一些对解精度要 求不高，但需要快速得到近似 解的场合。
两阶段法
两阶段法是一种求解线性规划问题的分 解方法，将原问题分解为两个阶段进行
求解。
第一阶段是求解一个初始的线性规划问 题，得到一个初步的解；第二阶段是在 初步解的基础上进行修正和调整，以得
Python求解线性规划
总结词
Python是一种通用编程语言，也提供了求解线性规划的 库。
详细描述
Python的PuLP库可以用来求解线性规划问题，用户只需 要编写Python代码来定义线性规划的约束条件和目标函 数，然后调用PuLP库的函数即可得到最优解。
总结词
PuLP库提供了多种求解器选项，包括GLPK、CBC、 CP，这些最优解称为最优 解集。
线性规划的解的概念
线性规划问题的最优解称为最优解， 而所有最优解的集合称为最优解集。
在最优解集中，存在一个最优解被称 为最优基解，它是线性规划问题的一 个基可行解。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是一种求解线性规划问题的 经典方法，通过不断迭代和寻找最优 解的过程，最终找到满足所有约束条 件的解。
单纯形法具有简单易行、适用范围广 等优点，但也有计算量大、需要多次 迭代等缺点。
《线性规划》课件
x1, x2, , xn≥0
其中，bi≥0 (i=1,2,,m)
不符合标准型的几个方面：
⑴目标函数为 min z=c1x1+c2x2++cnxn 令z=-z ,变为 max z= -c1x1- c2x2- -cnxn
⑵约束条件为 a11x1+a12x2++a1nxn≤b1 加入非a1负1x1变+a量12xx2n++1，+称a为1nx松n+弛xn+变1=量b1，有
⑴用一组变量表示某个 线性规划模型的一般形式
方案，一般这些变量取 如下：
值是非负的。
⑵存在一定的约束条件， 可以用线性等式或线性 不等式来表示。
max(min)z c1x1 c2 x2 cn xn a11x1 a12 x2 a1n xn (, )b1 a21x1 a22 x2 a2n xn (, )b2
σ j 3-6M –1+M –1+3M 0 -M 0 0 X4 3 -2 0 1 0 0 -1 10 X6 0 (1) 0 0 -1 1 -2 1 X3 -2 0 1 0 0 0 1 1 σ j 1 -1+M 0 0 -M 0 1-3M X4 (3) 0 0 1 -2 2 -5 12 X2 0 1 0 0 -1 1 -2 1 X3 -2 0 1 0 0 0 1 1
用单纯行法求解线性规划问题后，应回答下面 几个问题：
⑴是否解无界？上面的步骤已作出回答。
⑵是否无可行解？求解后，若人工变量都已取 0，则有可行解；否则，无可行解。
⑶唯一最优解还是无穷多最优解？在最后的单 纯形表中，若所有非基变量的检验数都严格小于0， 则为唯一最优解；若存在某个非基变量的检验数等 于0，则有无穷多最优解。
其中，bi≥0 (i=1,2,,m)
不符合标准型的几个方面：
⑴目标函数为 min z=c1x1+c2x2++cnxn 令z=-z ,变为 max z= -c1x1- c2x2- -cnxn
⑵约束条件为 a11x1+a12x2++a1nxn≤b1 加入非a1负1x1变+a量12xx2n++1，+称a为1nx松n+弛xn+变1=量b1，有
⑴用一组变量表示某个 线性规划模型的一般形式
方案，一般这些变量取 如下：
值是非负的。
⑵存在一定的约束条件， 可以用线性等式或线性 不等式来表示。
max(min)z c1x1 c2 x2 cn xn a11x1 a12 x2 a1n xn (, )b1 a21x1 a22 x2 a2n xn (, )b2
σ j 3-6M –1+M –1+3M 0 -M 0 0 X4 3 -2 0 1 0 0 -1 10 X6 0 (1) 0 0 -1 1 -2 1 X3 -2 0 1 0 0 0 1 1 σ j 1 -1+M 0 0 -M 0 1-3M X4 (3) 0 0 1 -2 2 -5 12 X2 0 1 0 0 -1 1 -2 1 X3 -2 0 1 0 0 0 1 1
用单纯行法求解线性规划问题后，应回答下面 几个问题：
⑴是否解无界？上面的步骤已作出回答。
⑵是否无可行解？求解后，若人工变量都已取 0，则有可行解；否则，无可行解。
⑶唯一最优解还是无穷多最优解？在最后的单 纯形表中，若所有非基变量的检验数都严格小于0， 则为唯一最优解；若存在某个非基变量的检验数等 于0，则有无穷多最优解。
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单纯形法的实质
单纯形法是一个代数计算过程，但它本 质上是基于几何原理
了解这些几何原理能为我们理解单纯形 法的运算步骤提供非常直观的解释，同 时也有助于我们将解释为什么单纯形法 为什么会如此有效
单纯形法的几何原理
约束边界（constraint boundary）：每个约束条件都 是一条直线，该直线就是满足对应约束的边界线
BF解相邻（adjacent）：当非基变量只有一个 不同时，两个BF解相邻（因此，从当前BF解转 到另一个相邻的BF解时，围绕着把一个变量从 非基变量转变为基变量来进行）
单纯形法的代数-初始化
选择 x1 , x2 为非基变量（这些变量设为0）
令x1 0, x2 0,因此有 （1）x1 x3 4 x3 4 （2）2x2 x4 12 x4 12 （3）3x1 2x2 x5 18 x5 18 因此，初始BF解是（0，0，4，12，18）
线性规划讲义（linear program）
组员： 林舒进 万军 曾跃文 李婷
线性规划（LP）
线性规划是使用数学模型描述相关问题 的一种工具
内涵 线性：模型中所有的数学函数都是线性
函数。 规划：等同与计划，既在模型中找找出
最优解。
线性规划解决什么类型的问题
狭义问题：给活动分配资源（竞争性活 动中以z 3x1 5x2 s.t.
x1 4 2x2 12 3x1 2x2 18 且x1, x2 0
关键的解原理
解原理1：单纯形法只关注CPF解 解原理2：单纯形法是一个迭代算法（一个系统
化的求解过程，它重复着一系列固定的我们称 之为迭代的步骤，直到得到期望的结果），结 构如下
角点解（corner-point solutions）：约束边界的交点 角点可行解（CPF solutions）：在可行域上的角点 相邻（adjacent）：两个CPF解位于同一条约束边界上，
它们是相邻的，两个相邻的CPF解连成的一条线段被称 为可行域的边 （edge） 最优性检验（optimality test）：如果一个CPF解没有 比它更好（以z来衡量）的相邻CPF解，那么它就是最 优解
解原理5：得到当前的CPF解后，单纯形法考察 从这个解出发的可行域的每一条边（不是计算 相邻CPF解，而仅仅是判断沿这条边移动时z的 增长率）
关键的解原理
解原理6：z增长率为正，意味着相邻CPF 解优于当前CPF解；z增长率为负，意味 着相邻CPF解并不优于当前CPF解。因此， 最优性检验及时检查是否有边界线会带 给z正的增长率，如果没有，则证明当前 的CPF解是最优的。
单纯形法的代数-最优性检验
目标函数：z 3x1 5x2 对于初始可行解，z 0
起始步骤（开始准备迭代，包括找出初始CPF解） 最优性检验：（当前CPF解是最优解吗？） 不是 /是 停止 迭代（进行一次迭代，找出更好的CPF解）
关键的解原理
解原理3： 只要有可能单纯形法的起始步骤就 选择原点作为初始CPF解
解原理4：已知一个CPF解，从计算上来说，获 取它的相邻CPF解的信息比获取其他CPF解的信 息更快
常是最大或者最小
构建线性规划模型
线性规划的一般形式 目标函数：max(min)z c1x1 c2 x2 ... cn xn
a11x1 a12 x2 ... a1n xn (, )b 约束条件：.a.2.1x1 a22 x2 ... a2n xn (, )b
最优解（optimal solution）目标函数取 得最有利的可行解
模型解的术语
基（the basis）：约束方程构成矩阵中 的非奇异矩阵（基向量、基变量、基解）
基可行解：非负的基解 可行基：对应基可行解的基
单纯形法原理分析
单纯型法（simplex method）
1947年乔治.丹捷格（George Dantzig）提 出单纯形法，（乔治.丹捷格堪称运筹学最 重要的先驱，由于在单纯形法及其他方面的 很多重要贡献，他被称为线性规划之父）单 纯形法已经被证实是真正有效的方法，如今 通常用于在计算机上解决大型问题。（除了 一些小问题，这种方法总是在计算机上实现） 单纯形法的延伸和变化也被用来对模型进行 优化后分析（包括灵敏度分析）
构建单纯形法
单纯形法通常是在计算机上实施的，而计算 机只能执行代数运算，因此需要把上述几何 原理转化成可应用代数计算的步骤。
第一步：把不等式约束转化为等价的等式约 束，这个过程考引入松弛变量（slack variables）来完成
模型的扩展模式（augmented form）：原线 性模型在引入松弛变量后形成的新的模式
如：x1 4 x1 x2 4
扩展模式的术语
扩展解（augmented solution）：原始变量 （决策变量）取值再加入相应的松弛变量取值 后形成的解
基本解（basic solution）：是一个扩展后的角 点解
基本可行解（BF解）：是扩展的CPF解（非负） （非基变量，基变量，基）
am1x1 am2 x2 ... amnxn (, )b x1, x2 ,...,xn 0
图解法
无穷多解 无界解 无可行解
模型解的术语
可行解（feasible solution）满足所以约 束条件的解（非可行解）
可行域（feasible region）所有可行解的 集合
例如：生产设施的分配，国家资源和家 庭必须品的分配，部长职位的选举，海 运模式的选择，农业生产计划，放射性 治疗等
广义问题：数学模型符合线性规划一般 形式的任何问题都是线性规划问题
线性模型的三个要素
决策变量:待求的未知数 约束条件：一组线性方程，该线性方程的
集合为决策变量的可行域 目标函数：用函数表示的追求的目标，通