线性规划讲义

简单的线性规划问题

高考要求：

能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以

解决。

知识梳理：

1．线性规划的基本概念：

(1)二元一次不等式组是一组对变量y x ,的约束条件,这组约束条件都是关于y x ,的一次不等式,所以又称为线性约束条件。

(2)by ax z +=),(R b a ∈是欲达到最大值或最小值所涉及的变量y x ,的解析式，叫做目标函数。由

于by ax z

+=又是y x ,的一次解析式，所以又叫线性目标函数。

(3)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条

件的解),(y x 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。分别使目标函数by ax z +=取得最大值或

最小值的可行解叫做这个问题的最优解。 2．基本思想：数形结合

高考热点：

热点1：平面区域问题

1．设集合A ＝{),(y x |x ，y ，y x --1是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )

热点2：目标函数的最值问题

2．若变量y x ,满足不等式组⎪⎩

⎪

⎨⎧≥+≥-≥+-0203052y x x y x ，求下列目标函数的最值：

（1）y x z 2+= （2）y x z +=3 （3）y x z -=3

（4）1

1

++=x y z

（5）2

2)1()1(+++=y x z

小结：

拓展延伸：

（6）若),(y x M 为D 上的动点，点A 的坐标为)1,3(-，则z OM OA =⋅的最大值为 （7）已知向量)3,(z x a +=，),2(z y b -=，且b a ⊥，则z 的取值范围是 （8）y x z 2+=

（9）y x z 2+=

（10）若y x ,在上述不等式组所表示的区域内变动，且t x y +=2

，则实数t 的取值范围是 热点3：已知最优解逆向求解参数值或范围

3．（2010. 浙江理7）若实数x ，y 满足不等式组330,

230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪

--≤⎨⎪-+≥⎩

且x y +的最大值为9，则实

数m =（ ） （A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2 变式1：若上述不等式组中1=m ，使目标函数y ax z +=取最大值的最优解有无穷多个时，a 的值为 。若最优解只有一个时，a 的取值范围是 。

变式2：若原题中不等式组不变，且目标函数y mx z +=的最大值为9，则a 的值为 。

思考：（2008浙江理17）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩

⎪

⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐

标的点P （a ，b ）所形成的平面区域的面积等于 小结：通过本节课，你学到了哪些知识与方法？

练习与作业： 1．（2011四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型 卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需 满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的 每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．设公司当天派用甲型卡车x 辆，派

用乙型卡车y 辆，则y x ,所要满足的约束条件是 。

该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= 。

2．（2006浙江理.3）在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,

02x y x y x 表示的平面区域的面积是.

(A)21 (B)23 (C)81 (D)8

9

3．若变量y x ,满足⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≥-≤+-1020

12x y x y x 则点P ),2(y x y x +-表示区域的面积为（ ）

A .43

B .34

C .2

1

D .1 4．（2009浙江理13）若实数x ，y 满足不等式组224230x y x y x y x y +≥⎧⎪

-≤+⎨⎪-≥⎩

，

，则，的最小值是__________.

5．（2011浙江理5）设实数,x y 满足不等式组250

270,0x y x y x +-⎧⎪

+-⎨⎪⎩＞＞≥，y ≥0，

若,x y 为整数，则34x y +的最

小值是（ ）

A ．14

B ．16

C ．17

D ．19

6．已知βα,是函数bx ax x x f 22

131)(2

3++=

的两个极值点，且)1,0(∈α，)2,1(∈β),(R b a ∈，则

1

2

--a b 的取值范围是 。 7． (杭州模拟)已知函数x x x f -=2

)(，y x ,满足条件⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥≤02

1)()(y y f x f ，若目标函数y

ax z +=（其中a 为常数）仅在（

2

1

,21）处取得最大值，则a 的取值范围是 8．（2011湖南理7）设m ＞1，在约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≤+≤≥1y x mx y x y 下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，

则m 的取值范围为（ ） A ．（1

，1 B ．

（1+∞）

C ．（1,3 ）

D ．（3，+∞）

9．已知y x ,满足⎪⎩

⎪

⎨⎧≥++≤+≥042c by ax y x x 且目标函数y x z +=3的最大值为10，最小值5，则

=++a

c

b a 10．（2007浙江理17）设m 为实数，若{}

22

250()30()250x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+⎧⎪⎪⎪-⊆+⎨⎨⎬⎪⎪⎪

+⎩⎩⎭

≥，≥，≤≥，

则m 的取值范围是 ．

11．（江苏14）设集合 },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是

_____________

}

,,)2(2

|),{(222R y x m y x m

y x A ∈≤+-≤=