线性规划讲义

简单的线性规划问题
高考要求：
能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以
解决。

知识梳理：
1．线性规划的基本概念：
(1)二元一次不等式组是一组对变量y x ,的约束条件,这组约束条件都是关于y x ,的一次不等式,所以又称为线性约束条件。

(2)by ax z +=),(R b a ∈是欲达到最大值或最小值所涉及的变量y x ,的解析式，叫做目标函数。

由
于by ax z
+=又是y x ,的一次解析式，所以又叫线性目标函数。

(3)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

满足线性约束条
件的解),(y x 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

分别使目标函数by ax z +=取得最大值或
最小值的可行解叫做这个问题的最优解。

2．基本思想：数形结合
高考热点：
热点1：平面区域问题
1．设集合A ＝{),(y x |x ，y ，y x --1是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )
热点2：目标函数的最值问题
2．若变量y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≥-≥+-0203052y x x y x ，求下列目标函数的最值：
（1）y x z 2+= （2）y x z +=3 （3）y x z -=3
（4）1
1
++=x y z
（5）2
2)1()1(+++=y x z
小结：
拓展延伸：
（6）若),(y x M 为D 上的动点，点A 的坐标为)1,3(-，则z OM OA =⋅的最大值为 （7）已知向量)3,(z x a +=，),2(z y b -=，且b a ⊥，则z 的取值范围是 （8）y x z 2+=
（9）y x z 2+=
（10）若y x ,在上述不等式组所表示的区域内变动，且t x y +=2
，则实数t 的取值范围是 热点3：已知最优解逆向求解参数值或范围
3．（2010. 浙江理7）若实数x ，y 满足不等式组330,
230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
且x y +的最大值为9，则实
数m =（ ） （A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2 变式1：若上述不等式组中1=m ，使目标函数y ax z +=取最大值的最优解有无穷多个时，a 的值为 。

若最优解只有一个时，a 的取值范围是 。

变式2：若原题中不等式组不变，且目标函数y mx z +=的最大值为9，则a 的值为 。

思考：（2008浙江理17）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐
标的点P （a ，b ）所形成的平面区域的面积等于 小结：通过本节课，你学到了哪些知识与方法？
练习与作业： 1．（2011四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型 卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需 满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的 每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．设公司当天派用甲型卡车x 辆，派
用乙型卡车y 辆，则y x ,所要满足的约束条件是 。

该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= 。

2．（2006浙江理.3）在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,
02x y x y x 表示的平面区域的面积是.
(A)21 (B)23 (C)81 (D)8
9
3．若变量y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥-≤+-1020
12x y x y x 则点P ),2(y x y x +-表示区域的面积为（ ）
A .43
B .34
C .2
1
D .1 4．（2009浙江理13）若实数x ，y 满足不等式组224230x y x y x y x y +≥⎧⎪
-≤+⎨⎪-≥⎩
，
，则，的最小值是__________.
5．（2011浙江理5）设实数,x y 满足不等式组250
270,0x y x y x +-⎧⎪
+-⎨⎪⎩＞＞≥，y ≥0，
若,x y 为整数，则34x y +的最
小值是（ ）
A ．14
B ．16
C ．17
D ．19
6．已知βα,是函数bx ax x x f 22
131)(2
3++=
的两个极值点，且)1,0(∈α，)2,1(∈β),(R b a ∈，则
1
2
--a b 的取值范围是 。

7． (杭州模拟)已知函数x x x f -=2
)(，y x ,满足条件⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥≤02
1)()(y y f x f ，若目标函数y
ax z +=（其中a 为常数）仅在（
2
1
,21）处取得最大值，则a 的取值范围是 8．（2011湖南理7）设m ＞1，在约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≤≥1y x mx y x y 下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，
则m 的取值范围为（ ） A ．（1
，1 B ．
（1+∞）
C ．（1,3 ）
D ．（3，+∞）
9．已知y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥++≤+≥042c by ax y x x 且目标函数y x z +=3的最大值为10，最小值5，则
=++a
c
b a 10．（2007浙江理17）设m 为实数，若{}
22
250()30()250x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+⎧⎪⎪⎪-⊆+⎨⎨⎬⎪⎪⎪
+⎩⎩⎭
≥，≥，≤≥，
则m 的取值范围是 ．
11．（江苏14）设集合 },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是
_____________
}
,,)2(2
|),{(222R y x m y x m
y x A ∈≤+-≤=。