线性规划大M法或两阶段法-文档资料
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2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零, 则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。
3）无界解判别：某个σk >0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性 规划具有无界解。
4）无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并 且存在人工变量时，则表明原线性规划无可行解。
5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。
3 x1 3 1 -2/3 0 1/6 1/2
-2 x3 1 0 - 4/3 1 -1/6 1/2
-7
0 -5/3
0 -M-5/6 -M-1/2
X* = ( 3, 0, 1 )T, z* = 7
10
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
解的判别：
1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零, 则线性规划具有唯一最优解。
反之，若经过迭代，不能把人工变量都变 为非基变量，则表明原LP问题无可行解。
大M法或两阶段法
4
一、大M法
若迭代最终得到最优解X* ，而且基变量中不含有人工变量，则X*的 前n个分量就构成原问题的一个最优基本解；否则，原问题无可行解。
若迭代结果是解无界，而且基变量中不含有人工变量， 则原问题也 解无界；否则，原问题无可行解。
0
0
-M
x4
x5
x6
-1
0
1
0
1
0
0
0
0
-M
-1
0
1
0
1
0
0
0
0
-M
0
0
－1/5
0
3/5
1
－2/5
0
0
0
1
2
1
5/3
0
2/3
-5
-25/3
-M
x7
θi
0
4
0
5
1
1→
3/5 →
8/3 ——
——
→
31/3 ——
8
一、大M法
例 用大M法求解下述LP问题
max z = 3x1 – x2 – 2x3
3x1+ 2x2 – 3x3 = 6
+xn+m = bm(≥0)
xn+1, xn+2, … , xn+m 称为人工变量。
初始基本可行解：( 人造基本解 )
X0 = ( 0, 0, … , 0, b1, b2, …, bm )T
n个
(2.1)
3
人工变量法
基本思想：
人造解 X0 不是原LP问题的基本可行解。 但若能通过单纯形法的迭代步骤，将虚拟 的人工变量都替换出去，都变为非基变量（即 人工变量xn+1 = xn+2 = … = xn+m = 0），则X0的 前n个分量就构成原LP问题的一个基本可行解。
x
1
x2
2x3
x5
10
2
x1
2x2
x3
1
x j 0, j 1,2, ,5
系数矩阵中不存在 单位矩阵，无法建 立初始单纯形表。
6
一、大M法
故人为添加两个单位向量，得到人工变量单
纯形法数学模型：
max
Z
3 x1
2x2
x
－
3
M
x
6
Mx7
4x1 3x2 x3 x4 x6 4
x1
x2
所以
xn+1, xn+2, … , xn+m ≥0
max w ≤0
(1) 若w* < 0，说明人工变量中至少有一个为正（针对max w 来说），表示原问题无可行解，停止计算；
(2) 若w* = 0，且人工变量都变换为非基变量，说明原问题得 到了初始基本可行解，转入阶段Ⅱ：
求解原问题；
13
两阶段法
(3) 若w* = 0，但“基列”存在人工变量，例如该列第l 行的基变 量xBl是人工变量，同时该行的前n个系数al j全都是0，这说明 原问题的该约束方程式多余的，那么删去第l 行及xBl列，类 似情况全都这样删去相应行、列；转入阶段Ⅱ；
2x3
x5
10
2
x
1
2x2
x3
x7
1
x j 0, j 1,2, ,7
其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值， 可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介 绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。
7
CB -M 0 -M
-M 0 -1
2 0 -1
2 3 -1
cj
3
XB
b
x1
s.t.
x1 – 2x2 + x3 = 4
x1， x2， x3 ≥ 0
解 max z = 3x1 – x2 – 2x3 – Mx4 –Mx5
3x1+ 2x2 – 3x3 +x4 = 6
s.t. x1 – 2x2 + x3 + x5 = 4
x1， x2， x3 ， x4， x5 ≥ 0
9
一、大M法
cj 基 解
-M -M
xx45
6 4
3 -1
x1
x2
-2
x3
-M
x4
-M
x5
比值
3 2 -3 1 0 2 min
1 -2 1 0 1 4
10M 3+4M -1 -2+2M 0
0
3 x1 2 - M x5 2
1 2/3 -1 1/3 0 0 -8/3 22 -1/3 1
-6+2M 0 -3-8M/3 1+2M -4M/3-1 0
x6
4
-4
x5
10
1
x7
1
2
j
3-2M
x6
3
-6
x5
8
-3
x3 j
1
2 5-6M
x2
3/5 －6/5
x5
31/5 3/5
x3
11/5 －2/5
j
5↑
x2
13
0
x1
31/3
1
x3 j
19/3
0 0
2 x2 3 -1 -2 2+M 5 3 -2 5M↑ 1 0 0 0 1 0 0 0
一、大M法
-1 x3 1 2 1 -1+2M↑ 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
11
二、两阶段法
两阶段法是处理人工变量的另一种方法， 这种方法是将加入人工变量后的线性规划 问题分两段来求解。
第一阶段：要判断原线性规划问题是否存在 基本可行解。
第二阶段：将第一阶段的最终计算表中的人 工变量取消，并将第一阶段最终计算表中的 目标函数行的数字换成原问题的目标函数的 数字，继续求解，直到得到最优解。
12
两阶段法
阶段Ⅰ 求解人造极大问题（先将线性规划问题化标准型，并 将其约束条件中加入人工变量，得第一阶段的数学模型）
max w = -xn+1 -xn+2 - … -xn+m 或者 min w = xn+1 +xn+2 + … +xn+m
s.t. ( 2.1 )
人工变量的系数 均为1或-1
因为人工变量
5
一、大M法
例： 用大M法解下列线性规划
max Z 3 x1 2 x2 x3
4x1 3x2 x3 4
x1 x2 2x1
2
2x3 x2
10 x3
1
x1、x
、
2
x来自百度文库
3
0
解：首先将数学模型化为标准形式
max Z 3 x1 2 x2 x3
4x1 3x2 x3 x4 4
1
第八节 单纯形法的进一步讨论
——人工变量
2
人工变量法
考虑标准型 (M)： 分别给每个约束方程硬性加入一个非负变量
a11x1 +a12x2+…+a1nxn +xn+1
a12x1 +a22x2+…+a2nxn
+xn+2
… … ………
am1x1+am2x2+…+amnxn
= b1 (≥0) = b2 (≥0)
3）无界解判别：某个σk >0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性 规划具有无界解。
4）无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并 且存在人工变量时，则表明原线性规划无可行解。
5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。
3 x1 3 1 -2/3 0 1/6 1/2
-2 x3 1 0 - 4/3 1 -1/6 1/2
-7
0 -5/3
0 -M-5/6 -M-1/2
X* = ( 3, 0, 1 )T, z* = 7
10
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
解的判别：
1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零, 则线性规划具有唯一最优解。
反之，若经过迭代，不能把人工变量都变 为非基变量，则表明原LP问题无可行解。
大M法或两阶段法
4
一、大M法
若迭代最终得到最优解X* ，而且基变量中不含有人工变量，则X*的 前n个分量就构成原问题的一个最优基本解；否则，原问题无可行解。
若迭代结果是解无界，而且基变量中不含有人工变量， 则原问题也 解无界；否则，原问题无可行解。
0
0
-M
x4
x5
x6
-1
0
1
0
1
0
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-M
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-M
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0
3/5
1
－2/5
0
0
0
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5/3
0
2/3
-5
-25/3
-M
x7
θi
0
4
0
5
1
1→
3/5 →
8/3 ——
——
→
31/3 ——
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一、大M法
例 用大M法求解下述LP问题
max z = 3x1 – x2 – 2x3
3x1+ 2x2 – 3x3 = 6
+xn+m = bm(≥0)
xn+1, xn+2, … , xn+m 称为人工变量。
初始基本可行解：( 人造基本解 )
X0 = ( 0, 0, … , 0, b1, b2, …, bm )T
n个
(2.1)
3
人工变量法
基本思想：
人造解 X0 不是原LP问题的基本可行解。 但若能通过单纯形法的迭代步骤，将虚拟 的人工变量都替换出去，都变为非基变量（即 人工变量xn+1 = xn+2 = … = xn+m = 0），则X0的 前n个分量就构成原LP问题的一个基本可行解。
x
1
x2
2x3
x5
10
2
x1
2x2
x3
1
x j 0, j 1,2, ,5
系数矩阵中不存在 单位矩阵，无法建 立初始单纯形表。
6
一、大M法
故人为添加两个单位向量，得到人工变量单
纯形法数学模型：
max
Z
3 x1
2x2
x
－
3
M
x
6
Mx7
4x1 3x2 x3 x4 x6 4
x1
x2
所以
xn+1, xn+2, … , xn+m ≥0
max w ≤0
(1) 若w* < 0，说明人工变量中至少有一个为正（针对max w 来说），表示原问题无可行解，停止计算；
(2) 若w* = 0，且人工变量都变换为非基变量，说明原问题得 到了初始基本可行解，转入阶段Ⅱ：
求解原问题；
13
两阶段法
(3) 若w* = 0，但“基列”存在人工变量，例如该列第l 行的基变 量xBl是人工变量，同时该行的前n个系数al j全都是0，这说明 原问题的该约束方程式多余的，那么删去第l 行及xBl列，类 似情况全都这样删去相应行、列；转入阶段Ⅱ；
2x3
x5
10
2
x
1
2x2
x3
x7
1
x j 0, j 1,2, ,7
其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值， 可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介 绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。
7
CB -M 0 -M
-M 0 -1
2 0 -1
2 3 -1
cj
3
XB
b
x1
s.t.
x1 – 2x2 + x3 = 4
x1， x2， x3 ≥ 0
解 max z = 3x1 – x2 – 2x3 – Mx4 –Mx5
3x1+ 2x2 – 3x3 +x4 = 6
s.t. x1 – 2x2 + x3 + x5 = 4
x1， x2， x3 ， x4， x5 ≥ 0
9
一、大M法
cj 基 解
-M -M
xx45
6 4
3 -1
x1
x2
-2
x3
-M
x4
-M
x5
比值
3 2 -3 1 0 2 min
1 -2 1 0 1 4
10M 3+4M -1 -2+2M 0
0
3 x1 2 - M x5 2
1 2/3 -1 1/3 0 0 -8/3 22 -1/3 1
-6+2M 0 -3-8M/3 1+2M -4M/3-1 0
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4
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3-2M
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3/5 －6/5
x5
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x3
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2 x2 3 -1 -2 2+M 5 3 -2 5M↑ 1 0 0 0 1 0 0 0
一、大M法
-1 x3 1 2 1 -1+2M↑ 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
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二、两阶段法
两阶段法是处理人工变量的另一种方法， 这种方法是将加入人工变量后的线性规划 问题分两段来求解。
第一阶段：要判断原线性规划问题是否存在 基本可行解。
第二阶段：将第一阶段的最终计算表中的人 工变量取消，并将第一阶段最终计算表中的 目标函数行的数字换成原问题的目标函数的 数字，继续求解，直到得到最优解。
12
两阶段法
阶段Ⅰ 求解人造极大问题（先将线性规划问题化标准型，并 将其约束条件中加入人工变量，得第一阶段的数学模型）
max w = -xn+1 -xn+2 - … -xn+m 或者 min w = xn+1 +xn+2 + … +xn+m
s.t. ( 2.1 )
人工变量的系数 均为1或-1
因为人工变量
5
一、大M法
例： 用大M法解下列线性规划
max Z 3 x1 2 x2 x3
4x1 3x2 x3 4
x1 x2 2x1
2
2x3 x2
10 x3
1
x1、x
、
2
x来自百度文库
3
0
解：首先将数学模型化为标准形式
max Z 3 x1 2 x2 x3
4x1 3x2 x3 x4 4
1
第八节 单纯形法的进一步讨论
——人工变量
2
人工变量法
考虑标准型 (M)： 分别给每个约束方程硬性加入一个非负变量
a11x1 +a12x2+…+a1nxn +xn+1
a12x1 +a22x2+…+a2nxn
+xn+2
… … ………
am1x1+am2x2+…+amnxn
= b1 (≥0) = b2 (≥0)