讲义 反比例函数1
反比例函数经典讲义,绝对经典!!
初三反比例函数讲义第1节 反比例函数本节容：反比例函数定义 反比例函数定义的应用（重点）1、 反比例函数的定义电流I 、电阻R 、电压U 之间满足关系式：U=IR当U=220V 时，可以用含有R 的代数式表示I ：__________________舞台灯光的亮暗就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的。
当电流I 较小时，灯光较暗；当电流I 较大时，灯光较亮。
一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xky =k (为常数，)0≠k 的形式，那么称y 是x 的反比例函数。
反比例函数的自变量x 不能为零。
小注：（1）x k y =也可以写成1-=kx y 或k xy =的形式； （2）xky =若是反比例函数，则x 、y 、k 均不为零；（3）k xy =)0(>k 通常表示以原点及点()y x ,为对角线顶点的矩形的面积。
下列函数中是反比例关系的有___________________（填序号）。
①3x y -= ②131+=x y ③x y 2-= ④2211x y -= ⑤x y 23-= ⑥21=xy ⑦28xy = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x ky =k (为常数，)0≠k2、 反比例函数定义的应用（重点）确定解析式的方法仍是____________，由于在反比例函数xky =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值，即可求出k 的值，从而确定其解析式。
由欧姆定律可知，电压不变时，电流强度I 与电阻R 成反比例，已知电压不变，电阻R=12.5欧姆，电流强度I=0.2安培。
（1） 求I 与R 的函数关系式； （2） 当R=5欧姆时，求电流强度。
本节作业：1、小明家离学校1.5km ，小明步行上学需x min ，那么小明的步行速度min)/(m y 可以表示为xy 1500=；水名地面上重1500N 的物体，与地面的接触面积为x 2m ，那么该物体对地面的压强)/(2m N y 可以表示为x y 1500=。
反比例函数讲义
反比例函数一、反比例函数的概念1、概念：反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成k y x =(k为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数．2、注意：(1)k 为常数，k ≠0；（2）kx中分母x 的指数为1； (3)自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数； （4）因变量y 的取值范围是y ≠0的一切实数．3、xk y =（k ≠0）还可以写成1-=kx y （k ≠0）或xy ＝k （k ≠0）的形式 4、有表格数据判断是否为反比例函数关系时主要判断x 与y 的乘积是否相等。
例题：例1．下列等式中，哪些是反比例函数 （1）3x y =（2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y（5）x y 23-=（6）31+=xy （7）y ＝x －4 例2、若函数y ＝（m 2－1）x235m m +-为反比例函数，则m ＝________．课上练习：1.下列函数中哪些是y 是x 的正比例函数？哪些是y 是x 的反比例函数?①1-x 3=y ②22x y = ③xy 1= ④32x y =⑤x y 3= ⑥x y 1-= ⑦xy 31= ⑧x y 23=2．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度（cm ）与所挂物体的质量（kg ）有下面的关系：那么弹簧总长（cm ）与所挂物体质量（kg ）之间的函数关系式为_____________．3．苹果每千克x 元，花10元钱可买y 千克的苹果，则y 与x 之间的函数关系式为 4．若函数28)3(m xm y -+=是反比例函数，则m 的取值是5．矩形的面积为4，一条边的长为x ，另一条边的长为y ，则y 与x 的函数解析式为 6．已知y 与x 成反比例，且当x ＝－2时，y ＝3，则y 与x 之间的函数关系式是 ， 当x ＝－3时，y ＝7．函数21+-=x y 中自变量x 的取值范围是二、反比例函数解析式的确定1、在反比例函数关系式 y= kx 中，只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数．因此，只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入y= kx 中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的关系式．2、定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： ①设所求的反比例函数为：y= kx (k ≠0)；②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k 的方程； ③由代入解待定系数k 的值； ④把k 值代人函数关系式y= kx 中.例题：例1．已知：y 与 x 2成反比例，并且当x =3时，y =4， 求: 当x =1.5时，y 的值。
《反比例函数》 讲义
《反比例函数》讲义一、什么是反比例函数在数学的世界里，函数就像是一座桥梁，连接着不同的变量和它们之间的关系。
而反比例函数，就是其中独特而重要的一种。
反比例函数的一般形式为：y ＝ k/x（k 为常数，k ≠ 0，x ≠ 0）。
通俗地说，当两个变量 x 和 y 的乘积始终等于一个非零常数 k 时，我们就说 y 是 x 的反比例函数。
例如，如果有一个矩形的面积始终为 12 平方米，设长为 x 米，宽为 y 米，那么就有 xy ＝ 12，即 y ＝ 12/x，这里的 y 就是 x 的反比例函数。
二、反比例函数的图像反比例函数的图像是一种特殊的曲线，它有自己独特的性质。
以 y ＝ 2/x 为例，我们来绘制它的图像。
首先，我们可以通过给 x 取值，计算出对应的 y 值，得到一些点的坐标。
比如，当 x ＝ 1 时，y ＝ 2；当 x ＝ 2 时，y ＝ 1；当 x ＝－1 时，y ＝－2 等等。
然后，把这些点在坐标系中描出来，并用平滑的曲线连接起来，就得到了反比例函数的图像。
反比例函数的图像有两个分支，分别位于第一、三象限或者第二、四象限，这取决于常数 k 的正负。
当 k ＞ 0 时，图像的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。
当 k ＜ 0 时，图像的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。
三、反比例函数的性质1、对称性反比例函数的图像关于原点对称。
这意味着如果点（a, b) 在反比例函数的图像上，那么点（a, b) 也一定在图像上。
2、渐近线当 x 趋近于 0 或者无穷大时，反比例函数的图像会无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。
对于 y ＝ k/x，x 轴和 y 轴就是它的渐近线。
3、定义域和值域定义域为x ≠ 0，值域为y ≠ 0。
四、反比例函数的应用反比例函数在实际生活中有很多应用。
比如，在物理学中，当压力一定时，压强与受力面积成反比例关系。
反比例函数讲义(1)
1第二十六章 反比例函数一、知识点总结知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如xky =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①xky =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =⋅（定值）（0k ≠）； ⑸函数xky =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。
（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，xky =，就不是反比例函数了，由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0y≠，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双x≠，函数值0曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：23注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。
辅导讲义1(反比例函数图像及性质)
下列函数中，反比例函数有 ()11y -= ②11y x =+ ③21
y x
= ④13y x = ⑤()0k y k x =< 实战演练] ．如果函数2
22
k
k y kx +-=是反比例函数，那么k 的值为
为坐标原点. 已知反比例函数轴于点B ，且△AOB 的面积为 ，且AB ∥第14题图 B O A
4.（甘肃兰州）如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点221k k y x
++=的图像上。
若点A 的坐标为（－2，－2），则k 的值为（ ）
A ．1
B ．－3
C ．4
D ．1或－3
y
B
第5题图 第6题图
8.（福建福州）如图是我们学过的反比例函数图象,它的函数解析式可能是 （ A ．2y x = B ．4y x = C ．3y x
=- D ．12y x =
9.（河北）根据图5—1所示的程序，得到了y 与x 的函数图象，过点M 作P Q ∥x 轴交图象于点y 随x 的增大而增大
M
P Q
第
上的点（不与A、B重合）,过点
B OD面积是S2、△P OE
第15题图。
反比例函数(1)PPT课件(北师大版)
R（Ώ）
20
60
I（A）
2.2
例2:在某一电路中,保持电压U(伏)不变， 电流I(安)是电阻R(欧)的反比例函 数,当电阻R=5欧时,电流I=2安。
(1) 求I与R之间的函数关系式。
(2) 当电流I=0.5安时,求电阻R的值。
互动的课堂
问题1:关系式xy+4=0中y是x的反比 例函数吗?若是，相应的k值等于多 少？若不是，请说明理由。
问题2:
若
y
=
m－ x
1
是反比例函数，则m应满足
的条是
.
问题3：
函数关系式
y
=
100
x
可以表示许多
生活中变量之间的关系，你能举出一
些这样的实际例子吗？
问题4： 若 y =(m + 1)xm 2-2 是关于x的反比例 函数,确定m的值,并求其函数关系式。
说说收获
1.通过本节课的学习，你有哪些收获？ 2.你还存在什么疑问？
（1）y
=
4
2x
（3）
y
=
1-x
（4）xy = 1
（5）y
=
x
2
（6） y = 2x-1
检测练习
下列函数中，x均为自变量，那么哪些y是x的 反比例函数？k值是多少？
（1）y =-3x
（2）y
=
-
2
3x
（3）xy=0.4
（4）y
=
5
x
+
1
（5）y =
n
x
例: y是x的反比例函数，下图给出了x与 y的一些值:
成 y = xk（k为常数，k ≠0）的情势，那么
反比例函数复习讲义
反比例函数复习讲义知识点一：反比例函数的概念ﻫ 一般地,如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成k y x=（ｋ为常数，)的形式,那么称y 是x 的反比例函数．注:（１）反比例函数k y x =中的k x 是一个分式,自变量x ≠0, k y x=也可写成1y kx -=或xy k =,其中ｋ≠0；ﻫ （２)在反比例函数1y kx -=(ｋ≠0）中，x 的指数是-1。
如，5y x=也写成：15y x -=；ﻫ （３）在反比例函数k y x=（k ≠０）中要注意分母ｘ的指数为1，如21y x=就不是反比例函数。
ﻫ知识点二：反比例函数的图象反比例函数(0)ky k x=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.ﻫ 注: （1)观察反比例函数(0)ky k x=≠的图象可得：ｘ和y 的值都不能为0,并且图象既是轴对称图形,又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点． (２)用描点法画反比例函数y=kx的图象时，应注意自变量x 的取值不能为０，一般应从1或-1开始对称取点.ﻫ （3)在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ,过点P ,Ｑ分别作x 轴,y 轴的平行线,与两坐标轴分别围成的矩形面积为S 1，Ｓ2 则S １＝S ２. 知识点三：反比例函数的性质 1.图象位置与函数性质当ｋ>0时，x 、y 同号,图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小;当ｋ<0时，x 、y 异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．2.若点(a ，ｂ）在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，则点（-a,-b ）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称；正比例函数反比例函数解析式图 像直线 有两个分支组成的曲线（双曲线）位 置ｋ>0，一、三象限； ｋ＜0，二、四象限 k ＞0，一、三象限 k ＜０，二、四象限增减性k>0，y 随x 的增大而增大 ｋ＜０,y 随x 的增大而减小k>0，在每个象限,y 随ｘ的增大而减小ﻫｋ<0，在每个象限,ｙ随ｘ的增大而增大4．反比例函数y ＝kx 中k 的意义 反比例函数y = k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y = kx（ｋ≠0）上任意一点引ｘ轴、y 轴垂线，所得矩形面积为│ｋ│．ﻫ知识点四：反比例函数解析式的确定ﻫ 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于在反比例函数关系式(0)ky k x=≠中，只有一个待定系数k,确定了ｋ的值,也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入(0)ky k x =≠中即可求出k 的值,从而确定反比例函数的解析式.ﻫ知识点五：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点１.反比例函数在现实世界中普遍存在,在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。
(完整版)反比例函数讲义(一)
反比例例函数（一）一、知识点：1. 定义：一般地，形如xk y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。
x k y =还可以写成kx y =1-2. 反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1.⑵比例系数0≠k⑶自变量x 的取值为一切非零实数。
⑷函数y 的取值是一切非零实数。
3. 反比例函数的图像⑴图像的画法：描点法① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序）③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，xk y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。
⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。
4二、范例讲解： （一）考察概念例1 已知函数 y = （5m — 3）x n -2 + （n+m ）（1）当m ，n 为何值时，是一次函数？（2）当m ，n 为何值时，为正比例函数？（3）当m ，n 为何值时，为反比例函数？例2 已知y=y 1+y 2 ,y 1与x ＋1成正比例，ｙ2与x ＋1成反比例，当x ＝0时，ｙ＝－5；当x ＝2时，ｙ＝－7。
（1）求ｙ与x 的函数关系式；（2）当ｙ＝5时，求x 的值（二）考察函数图象和性质例3 在反比例函数y = x k 3-的图象上，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围为 。
例4 反比例函数y = x6的图象上有三点（x 1，y 1）、（x 2，y 2）、（x 3，y 3），其中x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1，y 2，y 3用“＜”连接 。
人教版初中数学讲义第1讲 反比例函数及性质
第1讲 反比例函数的图像及性质知识要点梳理：一、反比例函数意义： 形如xky =（k ≠0，k 为常数），叫做y 是x 的反比例函数 还可以写成1-=kx y （k ≠0）或xy ＝k （k ≠0）的形式。
二、反比例函数图像的性质：反比例函数xky =(k ≠0)的图象是由两个分支组成的曲线， 当0>k 时，图象在一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小， 当0<k 时，图象在二、四象限，在每一象限内 ，y 随x 的增大而增大。
反比例函数xky =(k ≠0)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。
例1．下列等式中，哪些是反比例函数 （1）3xy = （2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x y 23-=（6）31+=xy （7）y ＝x －4例2．当m 取什么值时，函数23)2(m x m y --=是反比例函数？例3．已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5 （1） 求y 与x 的函数关系式 （2） 当x ＝－2时，求函数y 的值例4．已知反比例函数32)1(--=m x m y 的图象在第二、四象限，求m 值，并指出在每个象限内y 随x 的变化情况？例5．如图，过反比例函数xy 1=（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ）（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定例6．若点A （－2，a ）、B （－1，b ）、C （3，c ）在反比例函数xky =（k ＜0）图象上，则a 、b 、c 的大小关系怎样？例7．如图， 一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数xmy =的图象交于A （－2，1）、B （1，n ）两点 （1）求反比例函数和一次函数的解析式（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围。
第26章反比例函数第1课时 反比例函数-人教版九年级数学下册讲义
人教版九年级数学上册讲义第二十六章反比例函数第1课时反比例函数教学目的理解反比例函数的概念．能判断一个函数是否为反比例函数．会用待定系数法求反比例函数解析式教学重点会用待定系数法求反比例函数解析式．教学内容知识要点1.反比例函数的定义一般地，形如xky=（k是常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2.反比例函数的三种形式：①（k为常数，k≠0）②（k为常数，k≠0）③（k为常数，k≠0）3.求反比例函数解析式的步骤：①设：设反比例函数的解析式②代：把满足条件的x ，y 代入③求：求出k 的值④写：写出反比例函数解析式 对应练习1．已知三角形的面积是定值S ，则三角形的高h 与底a 的函数关系式是h =__________，这时h 是a 的__________；2．如果y 与x 成反比例，z 与y 成正比例，则z 与x 成______3．如果函数222-+=k k kx y 是反比例函数，那么k=________，此函数的解析式是________；4． 有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的31，若下底长为x ，高为y ，则y 与x 的函数关系是______________. 5．如果函数12-=m x y 为反比例函数，则m 的值是 （ ）A - 1B 0C 21D 16．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校。
在课堂上，李老师请学生画出自行车行进路程s 千米与行进时间t 的函数图像的示意图，同学们画出的示意图如下，你认为正确的是（ ）7、下列函数中，y 是x 反比例函数的是（ ）（A ） 12+=x y （B ）22x y = （C ）x y 51=（D ）x y =2课后作业1.A.B 两地相距120千米，一辆汽车从A 地去B 地，则其速度v （千米/时）与行驶时间t （小时）之间的函数关系可表示为_____________；2.有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的 13，设下底长为x ，高为y ，则y 与x 的函数关系式是___________； 3.已知y 与x 成反比例，并且当x = 2时，y = -1，则当x = -4时，y = ________________ .4.下列各问题中的两个变量成反比例的是（ ）；A.某人的体重与年龄B.时间不变时，工作量与工作效率C.矩形的长一定时，它的周长与宽D.被除数不变时，除数与商5.已知y 与x 成反比例，当x = 3时，y = 4，那么当y = 3时，x 的值为（ ）；A. 4B. -4C. 3D. -36.下列函数中，不是反比例函数的是（ ）A. xy = 2B. y = - k 3x (k ≠0)C. y = 3x-1D. x = 5y-1 7.一水池内有污水60m 3，设放净全池污水所需的时间为t (小时），每小时的放水量为wm3，（1）试写出t 与w 之间的函数关系式，t 是w 反比例函数吗？（2）求当w = 15时，t 的值.8.已知函数y = y 1 +y2，y1与x 成正比例，y2与x 成反比例，且当x = 1时，y = 4，当x = 2时，y = 5. 求y 关于x 的函数解析式.练习答案1.aS 2 反比例函数2.反比例3.－1或214．90 yx5．B 6．C；7．D作业答案:1.v = 120 t；2.y = 90 x；3.1 2 .4.D；5.A；6. C.7.（1）t = 60w，（2）t = 4.8.y = 2x + 2 x。
九年级培训讲义：第1讲 反比例函数
第一讲 反比例函数知识要点1、反比例函数的图象和性质：反比例函数(0)ky k x=≠ k 的符号 0k > 0k <图象性质①x 的取值范围是0x ≠， y 的取值范围是0y ≠．②当0k >时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限．在每个象限内，y 随x 的增大而减小． ①x 的取值范围是0x ≠， y 的取值范围是0y ≠．②当0k <时，函数图象的两个分支分别在第二、第四象限．在每个象限内，y 随x 的增大而增大．反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．2函数 正比例函数反比例函数解析式 (0)y kx k =≠(0)ky k x=≠ 图象 直线，经过原点 双曲线，与坐标轴没有交点自变量取值范围 全体实数0x ≠的一切实数图象的位置当0k >时，在一、三象限； 当0k <时，在二、四象限．当0k >时，在一、三象限； 当0k <时，在二、四象限．性质当0k >时，y 随x 的增大而增大； 当0k <时，y 随x 的增大而减小．当0k >时，y 随x 的增大而减小；当0k <时，y 随x 的增大而增大．xyOxyO一、定义1、下列函数中，y 是x 的反比例函数是（ ） （A ） 1)1(=-y x （B ） 11+=x y （C ） 21xy = （D ） x y 31=2、已知22)1(--=a xa y 是反比例函数，则a=____ ．3、若反比例函数y = (2m -1)22-m x 的图象在第二、四象限，则m = ，该反比例函数的解析式为 ；4. 已知y 与x -1成反比例，当x = 12 时，y = - 13，那么，当x = 2时，y 的值为 ；二、增减性1.如果点A (7，y 1)，B (5，y 2)在反比例函数y = x1的图象上，那么，y 1与y 2的大小关系是 ； 2、若M(12-,1y )、N(14-,2y )、P(12,3y )三点都在函数xy 4=的图象上， 则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）（A ）132y y y >> （B ）312y y y >> （C ） 213y y y >> （D ）123y y y >>3.点A (a ，b )，B (a -1，c )均在反比例函数y = 1x 的图象上，若a < 0, 则b c (填“>”、“<”或“=”)；4、在反比例函数xk y 1+=的图象上有两点11()x y ，和22()x y ，，若x x 120<<时，y y 12>， 则k 的取值范围是 ．三、函数图像1、在同一直角坐标系中，函数y=kx-k 与(0)ky k x=≠的图像大致是（ ）2、如图，A 为反比例函数ky x=图象上一点，AB 垂直x 轴 于B 点，若AOB S ∆＝5，则k 的值为（ ） （A ） 10 （B ） 10- （C ） 5- （D ）25-3、某村的粮食总产量为a （a 为常数）吨，设该村的人均粮食产量为y 吨，人口数为x ， 则y 与x 之间的函数关系式的大致图像应为（ ）4、已知：甲、乙两地相距100千米，如果把汽车从甲地到乙地所用的时间y （小时）表示为汽车行驶的平均速度x （千米/小时）的函数，则此函数的图象大致是（ ）；四、综合题：1.已知y 与12-x 成反比例，且当1=x 时，2-=y 。
(教师学生)第1讲 反比例函数经典讲义
1第1讲 反比例函数（重点）反比例函数定义的应用电流I 、电阻R 、电压U 之间满足关系式：U=IR当U=220V 时，可以用含有R 的代数式表示I ：_________________舞台灯光的亮暗就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的。
当电流I 较小时，灯光较暗；当电流I 较大时，灯光较亮。
知识精讲反比例函数的定义1、反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y=kx（k•为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数．反比例函数y=k x（k ≠0）还可以写成1-=kx y （k ≠0）或k xy =（k ≠0）. 2、反比例函数的概念需注意以下几点： （1）k 为常数，k ≠0； （2）kx中分母x 的指数为1； (3)自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数；（4）因变量y 的取值范围是y ≠0的一切实数．则x 、y 、k 均不为零 （5）k xy =)0(>k 通常表示以原点及点()y x ,为对角线顶点的矩形的面积 3.典型例题例1、下列关系式中，哪个等式表示y 是x 的反比例函数___________. A 、x k y =B 、2xB y =C 、121+=x y D 、12=-xy 练习：1．下列函数中是反比例关系的有___________________（填序号）。
①3x y -= ②131+=x y ③x y 2-= ④2211x y -= ⑤x y 23-=⑥ 21=xy ⑦28xy = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x ky =k (为常数，)0≠k例2、已知122)2(-++=m mx m m y 是反比例函数，那么m =__________。
练习：(1)已知三角形的面积是定值S ，则三角形的高h 与底a 的函数关系式是______________=h ，这时h 是a 的_____________________；(2)若反比例函数22)1(mx m y -+=的图象在第二、四象限，求m 的值．2例3．由欧姆定律可知，电压不变时，电流强度I 与电阻R 成反比例，已知电压不变，电阻R=12.5欧姆，电流强度I=0.2安培。
反比例函数经典讲义-绝对经典!!
反比例函数经典讲义-绝对经典!!初三反比例函数讲义第1节 反比例函数本节内容： 反比例函数定义 反比例函数定义的应用（重点）1、 反比例函数的定义 电流I 、电阻R 、电压U 之间满足关系式：U=IR 当U=220V 时，可以用含有R 的代数式表示I ：__________________舞台灯光的亮暗就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的。
当电流I 较小时，灯光较暗；当电流I 较大时，灯光较亮。
一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xk y =k (为常数，)0≠k 的形式，那么称y 是x 的反比例函数。
反比例函数的自变量x 不能为零。
小注：（1）x k y =也可以写成1-=kx y 或k xy =的形式；■例1■例2由欧姆定律可知，电压不变时，电流强度I与电阻R成反比例，已知电压不变，电阻R=12.5欧姆，电流强度I=0.2安培。
（1）求I与R的函数关系式；（2）当R=5欧姆时，求电流强度。
1xy2、某工人打算利用一块不锈钢条加工一个面积为0.82m的矩形模具，假设模具的长与宽分别为y与x。
（1）你能写出y与x之间的函数表达式吗？变量y 与x之间是什么函数？（2）若想使模具的长比宽多1.6m，已知每米这34、已知y =21y y +，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，并且当x =2时，y = —4；当x = —1时，y =5，求出y 与x 的函数关系式。
6、（2008·安徽）函数xk y =的图象经过点A （1，—2），则k 的值为（ ）。
A ．21 B. 21- C. 2 D. —27、若函数132)1(+++=m m xm y 是反比例函数，则m 的值为（ ）。
A ．m = —2 B. m = 1C. m = 2或m = 1D. m = —2，或m = —18、若甲、乙两城市间的路程为1000千米，车速为每小时x 千米，从甲市到乙市所需的时间为y 小时，那么y 与x 的函数表达式是_______________________（不必写出x 的取值范围），y 是x 的__________函数。
反比例函数经典讲义,绝对经典
文案初三反比例函数讲义第1节 反比例函数本节容：反比例函数定义 反比例函数定义的应用（重点）1、 反比例函数的定义电流I 、电阻R 、电压U 之间满足关系式：U=IR当U=220V 时，可以用含有R 的代数式表示I ：__________________舞台灯光的亮暗就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的。
当电流I 较小时，灯光较暗；当电流I 较大时，灯光较亮。
一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xky =k (为常数，)0≠k 的形式，那么称y 是x 的反比例函数。
反比例函数的自变量x 不能为零。
小注：（1）x k y =也可以写成1-=kx y 或k xy =的形式； （2）xky =若是反比例函数，则x 、y 、k 均不为零；（3）k xy =)0(>k 通常表示以原点及点()y x ,为对角线顶点的矩形的面积。
■例1下列函数中是反比例关系的有___________________（填序号）。
①3x y -= ②131+=x y ③x y 2-= ④2211x y -= ⑤x y 23-=⑥21=xy ⑦28xy = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x ky =k (为常数，)0k≠2、反比例函数定义的应用（重点）2文案2、某工人打算利用一块不锈钢条加工一个面积为0.82m 的矩形模具，假设模具的长与宽分别为y 与x 。
（1）你能写出y 与x 之间的函数表达式吗？变量y 与x 之间是什么函数？（2）若想使模具的长比宽多1.6m ，已知每米这种不锈钢条6元钱，求加工这个模具共花多少钱？3、若函数满足023=+xy，则y 与x 的函数关系式为______________，你认为y 是x 的______________函数。
4、已知y =21y y +，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，并且当x =2时，y = —4；当x= —1时，y=5，求出y与x的函数关系式。
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第六章 反比例函数讲义6.1反比例函数教材精华知识点1 反比例函数的概念定义：一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成y ＝xk(k 为常数，k ≠0)的形式，那么称y 是x 的反比例函数．拓展 (1)等号左边是函数y ，等号右边是一个分式，分子是不为零的常数k (也叫做比例系数k )，分母中含有自变量x ，且x 的指数是1，若写成y ＝kx －1．则x 的指数是－1． (2)比例系数k ≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分． (3)自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数． (4)函数y 的取值范围也是一切非零实数．知识点2 用待定系数法求反比例函数的表达式 由于在反比例函数y ＝xk中，只有一个待定系数．因此只需要一组对应值，即可求出k 的值，从而确定其表达式．知识点3 反比例关系与反比例函数的区别和联系我们学过反比例关系．如果xy ＝k (k 是常数，k ≠0)．那么x 与y 这两个量成反比例关系，这里x ，y 既可以代表单独的一个字母，也可以代表多项式或单项式，例如若y ＋3与x －1成反比例，则y ＋3＝1x k，若y 与x 2成反比例，则y ＝2x k ．成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数y ＝xk 中的两个变量必成反比例关系． 拓展 反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数一定是反比例关系．规律方法小结 类比思想：在学习反比例函数的概念时，注意与成反比例的量进行类比，与正比例函数的概念对比，这样便于我们对反比例函数的概念的理解与掌握． 课堂检测基本概念题1、下列各式中，y 是x 的反比例函数吗?为什么? (1)xy ＝2； (2)y ＝10－x ； (3)y ＝x 31； (4)y ＝xb 3 (b 为常数，b ≠0)．基础知识应用题2、判断下列各题中的两个变量是否成比例关系，若成比例关系，指出是正比例关系，还是反比例关系． (1)三角形底边长为定值，它的面积S 与这条边上的高h ； (2)三角形面积为定值，它的底边长a 与这条边上的高h ； (3)正方形的面积S 与它的一边长a ； (4)周长为定值的长方形的长和宽； (5)面积为定值的长方形的长和宽； (6)儿童的身高与年龄；(7)圆的周长与它的半径．3、若函数y ＝(m ＋1)132++m m x 是反比例函数，求m 的值．综合应用题4、一定质量的二氧化碳，它的体积V 与它的密度ρ成反比例，当V ＝5m 3时，ρ=1.98kg ／m 3，求ρ与V 的函数关系式．5、一水池内蓄水40 m 3.设放完满池水的时间为T 小时，每小时的放水量为W m 3，规定放水时间不得超过20小时，求T 与W 之间的函数关系式，指出函数T 和自变量W 的取值范围.探索创新题6、某工人计划利用一块不锈钢钢锭加工成一个面积为0．8m 2的矩形框工件，设工件的长与宽分别为y m 与x m ．(不计厚度)(1)请写出y 与x 之间的函数表达式；(2)如果想使工件的长比宽多1．6 m ，已知加工费为每米6元，求加工这个工件所需的费用． 体验中考若梯形的下底长为x ，上底长为下底长的31，高为y ，面积为60，则y 与x 的函数关系式是 ．(不考虑x 的取值范围)6.2反比例 函数的图像与性质新课导引【生活链接】爱思考的小明想在坐标系中描出横、纵坐标的积等于6的点，并列表如下：然后他将x ，y 的对应值分别作为点的横、纵坐标在直角坐标系中描了出来(如下图所示)．【问题探究】如果用光滑曲线顺次连接图中各点，能得到怎样的图象?你能描述它的形状和性质吗? 【点拨】由xy =6可得xy 6=，是反比例函数．反比例函数的图象叫做双曲线． 教材精华知识点1 反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，也称双曲线xky =(k ≠0)，其图象如图5－1所示．拓展 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以它们的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不能到达坐标轴．知识点2 反比例函数图象的画法(1)列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两边取三对(或三对以上)相反数，如1和－1，2和－2，3和－3等等，填y 值时，只需计算原点一侧的函数值，如分别计算出当x ＝1，2，3时的函数值，那么当x ＝－1，－2，－3时的函数值应是与之对应的相反数．(2)描点：先画出反比例函数的图象的一侧，另一侧可根据图象关于原点对称的性质来画．(3)连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸．拓展 画反比例函数的图象时，应注意以下几点：(1)两条曲线是平滑的，不要只画一个分支，而忘了画另一个分支． (2)两条曲线无限靠近坐标轴，但与坐标轴无交点． 探究交流 反比例函数xky = (k ≠0)的图象是轴对称图形吗? 点拨 反比例函数xky =(k ≠0)的图象是轴对称图形，它的对称轴有两条，分别是直线y ＝x 和直线y ＝－x ． 知识点3 反比例函数的性质 反比例函数xky =(k ≠0)的性质如下： 当k ＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是说，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k ＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是说，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．拓展 (1)描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内”．若说成“当k ＞0(或k ＜0)时，y 随x 的增大而减小(或增大)”，就会出现与事实不符的矛盾．(2)反比例函数的图象的位置、函数的增减性都是由比例系数k 的符号决定的．反过来，由双曲线的位置、反比例函数的增减性也可以推断出k 的符号，即双曲线在第一、三象限时，k ＞0；双曲线在第二、四象限时，k ＜0． 探究交流 反比例函数的表达式中k 的几何意义． 点拨 反比例函数xky =的本质特征是两个变量y 与x 的乘积是一个常数k ，由此可以推得反比例函数的一个重要性质．若A 是反比例函数xky =图象上任意一点，且A B 垂直x 轴，垂足为B ，AC 垂直y 轴，垂足为C ，则S 矩形ABOC ＝k ，如图5－2所示．由反比例函数图象与矩形面积的关系可以得出反比例函数图象与三角形面积的关系：S △AOB＝S △AOC ＝S 矩形ABOC ＝k 21． 规律方法小结 数形结合思想：学习反比例函数与学习其他函数一样，要善于数形结合，由表达式联想图象的位置及性质，由图象和性质联想比例系数k 的符号． 课堂检测基础知识应用题1、在同一直角坐标系内画出反比例函数x y 4=与xy 4-=的图象．2、已知反比例函数的表达式为xky -=4，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围．(1)函数图象位于第一、三象限；(2)在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．综合应用题3、如图5－5所示，A ，B 是函数xy 1=的图象上关于原点O 的对称点，AD 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，△ABC 的面积为S ，则下列各式正确的是 ( )A ．S ＝1B ．S ＝2C ．S ＞2D ．1＜S ＜24、已知反比例函数x k y =的图象经过点(4，21)，若一次函数y ＝x ＋1的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B (2，m )，求平移后的一次函数图象与x 轴的交点坐标．探索创新题5、如图5－7所示，已知双曲线xky = (k ＞0)与直线y ＝k ′x 交于A ，B 两点，点A 在第一象限，试解答下列问题．(1)若点A 的坐标为(4，2)，则点B 的坐标为 ，若点A 的横坐标为m ，则点B 的坐标可表示为 ．(2)如图5－8所示，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线xky = (k ＞0)于P ，Q 两点，点P 在第一象限． ①试说明四边形APBQ 一定是平行四边形；②设点A ，P 的横坐标分别为m ，n ，四边形APBQ 可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出m ，n 应满足的条件；若不可能，请说明理由． 体验中考1、已知图5－10(1)中的曲线是反比例函数xm y 5-=(m 为常数)图象的一支． (1)这个反比例函数图象的另一支在第几象限?常数m 的取值范围是什么?(2)若该函数的图象与正比例函数y =2x 的图象在第一象限内的交点为A ，过A 点作x 轴的垂线，垂足为B ，当△OAB 的面积为4时，求点A 的坐标及反比例函数的解析式．2、如图5－11所示，已知A(－4，n )，B (2，－4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数xmy =的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积；(3)求方程0=-+x mb kx 的解(请直接写出答案)； (4)求不等式xmb kx -+＜0的解集(请直接写出答案)．6.3反比例函数的应用【生活链接】一段时期市场上使用杆称，一些不法商贩在卖货时将秤砣挖空，或更换较小的秤砣，使砣较轻，从而欺骗客户．【问题探究】(1)如右图所示，对于同一物体，哪个图用的是标准秤砣，哪个图用的是较轻的秤砣?(2)在称同一物体时，所称得的物体质量y (千克)与所用秤砣质量x (千克)之间满足什么关系?(3)当砣较轻时，称得的物体变重，这正好符合哪个函数的哪些性质?【点拨】(1)设物体重为W ，阻力臂为L 1，秤砣重F ，动力臂为L 2，则由于W ·L 1＝F ·L 2，且W ·L 1一定，∴F 越小，L 2越大，显示物体质量越多，故(2)用的是标准秤砣，(1)用的是较轻的秤砣． (2)由(1)的分析可知，y 与x 之间满足反比例关系． (3)设这个反比例函数为xky =(k ＞0)，则当x 变小时，y 增大，所以当砣较轻时，称得的物体变重，这正好符合反比例函数xky =中，当k ＞0，x ＞0时，函数的图象在第一象限内，y 随x 的减小而增大的性质(即y 随x 的增大而减小)． 教材精华知识点 利用反比例函数解决实际问题反比例函数是反映现实世界中两个变量之间关系的一种重要的数学模型．它在现实生活中有着广泛的应用．利用反比例函数的图象与性质，能比较清晰、直观、简捷地解决一些实际问题．在生活中有许许多多成反比例关系的实例．如：当路程s 一定时，时间t 与速度v 成反比例关系，写成vs t =(s 是常数)；当矩形面积S 一定时，长a 与宽b 成反比例关系，写成bSa = (S 是常数)；当面积是常数S 时，三角形的底边长y 与高x 成反比例关系，写成xSy 2=(S 是常数)；当功是常数W 时，力F 与物体在力的方向上通过的位移s 成反比例关系，写成s WF = (W 是常数)；当压力F 一定时，压强p 与受力面积S 之间成反比例关系，写成SF p =(F 是常数)；在某一电路中，保持电压U 不变，电流I 与电阻R 成反比例关系，写成RUI = (U 是常数)等等．在利用反比例函数解决实际问题时，一定要注意xky = (k 为常数，k ≠0)这一条件．结合图象说出性质，根据性质大致画出图象，求函数的表达式是必须掌握的．拓展 实际问题中的数量关系一般都具有实际意义，所以在建立数学模型解答问题时，需注意实际问题对数学答案的要求与限制．如一些数量非负(时间、速度、长度一定是正数，人数是正整数等)，在解答过程中要时刻注意问题中的要求．规律方法小结 数学建模思想是解决实际问题的基本思想方法．在许多实际问题中，需抽象出数学模型(如建立坐标系，设出函数关系式，列出方程等)，即用数学关系式或图形来表示实际问题中数量之间的关系，从而运用数学方法求出问题的答案，使问题得以解决．课堂检测基础知识应用题1、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P (kPa)是气体体积V (m 3)的反比例函数，其图象如图5－19所示．当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应 ( )A ．不小于45m 3 B ．小于45m 3 C ．不小于54 m 3 D ．小于54m 32、一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出发，则经过6小时可到达乙地． (1)甲、乙两地相距多少千米?(2)如果汽车把速度提高到v 千米／时，那么从甲地到乙地所用时间t 小时将怎样变化? (3)写出t 与v 之间的函数关系式；(4)因某种原因，这辆汽车需要在5小时内从甲地到达乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少?(5)已知汽车的平均速度最大可达80千米／时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时问?综合应用题33(1)猜想p与V之间的关系，并求出函数关系式；(2)当气体的体积是12 cm3时，压强是多少?4、某地区去年电价为0．8元，年用电量为1亿度，今年计划将电价调至0．55～0．75元之间，经测算，若电价调至x元，则今年新增加用电量y亿度与(x－0．4)元成反比例，当x＝0．65元时，y＝0．8．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)若每度电的成本价为0．3元，则电价调至多少元时，今年电力部门的收益将比去年的增加20％?(收益＝用电量×实际电价－用电量×成本价)探索创新题5、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(千帕)(千帕是一种压强单位)是气体体积V(米3)的反比例函数，其图象如图5－20所示．(1)写出这个函数的表达式；(2)当气球的体积为0．8立方米时，气球内的气压是多少千帕?(3)当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米?体验中考1、一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图5－23所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10 A，那么此用电器的可变电阻应 ( )A ．不小于4．8 ΩB ．不大于4．8 ΩC ．不小于14 ΩD ．不大于14 Ω2、为了预防流感，某学校在休息日用药熏消毒对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比，药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为tay (a 为常数)，如图5－24所示，根据图5－24中提供的信息，解答下列问题．(1)写出从药物释放开始，y 与t 之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0．25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室?。
反比例函数讲义(知识点+典型例题)
变式1 如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 变式2 若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．题型二：反比例函数解析式例3 已知A （﹣1，m ）与B （2，m ﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m 的值 ．例4 已知y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．变式3已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－23时，求x 的值．变式4 已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值．1、反比例函数的图像（1）形状与位置：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
（2）变化趋势：由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2、反比例函数的性质（1）对称性：反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形，同时也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，即直线y x =±。
（注：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称）（2）双曲线的位置：当k>0时，双曲线位于一、三象限（x ，y 同号）；当k<0时，双曲线位于二、四象限（x ，y 同号异号），反之也成立。
（3）增减性： 当k>0时，双曲线走下坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线走上坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而增大。
八年级讲义反比例函数(教师版)
数形结合思想在解题中运用
数形结合思想概述
数形结合是一种重要的数学思想方法，它通过将数学问题与图形相结合，利用图形的直 观性和形象性来帮助理解和解决问题。在反比例函数问题中，数形结合思想同样具有重
要的应用价值。
数形结合思想在反比例函数中的应用
在处理反比例函数问题时，可以通过绘制函数的图像来直观地展示函数的性质和变化规 律。通过观察图像的变化趋势、拐点、渐近线等特征，可以更加深入地理解反比例函数 的性质，并找到问题的解决方案。同时，数形结合思想还可以帮助我们验证和检验解题
投资回报率与风险水平关系
在投资决策中，投资回报率与风险水平通常成反比例关系。高回报往往伴随着高风险。通过建立反比例函数 模型，可以帮助投资者权衡投资回报与风险之间的关系，制定理性的投资策略。
反比例函数图像变
03
换与性质分析
平移、伸缩变换对图像影响
平移变换
当反比例函数图像沿x轴或y轴平移时 ，函数图像的形状和大小不变，但位 置发生改变。平移不会改变函数的性 质，如单调性、奇偶性等。
反比例函数的性质
回顾反比例函数的增减性 、对称性、最值等性质， 并强调这些性质在解题中 的应用。
学生自我评价报告
知识掌握情况
请学生自我评价对反比例函数定 义、图像和性质的理解程度，以 及是否能够灵活运用这些知识解
决问题。
解题能力
请学生自我评价在解题过程中的思 路是否清晰，是否能够准确运用反 比例函数的性质进行求解。
结合化学知识背景，介绍反比例函数 在化学领域的应用实例，如化学反应 速率与浓度的关系等。
课程总结与回顾
06
关键知识点总结回顾
01
02
03
反比例函数定义
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教师： 学生： 时间：一般地，形如ky x=(k 为常数，k 不等于零)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数或叫因变量，ky x=也可以写成:,.要点诠释：1、y=k x 中分母x 的指数为1，如，2ky x =就不是反比例函数；2、y= k x()可以写成()的形式，自变量x 的指数是-1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件；3、y=k x()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反比例函数的解析式。
两个变量的积均是一个常数（或定值），这也是识别两个量是否成反比例函数关系的关键。
典例分析1．下列哪个等式中的y 是x 的反比例函数？23y x =（ ）12y x -=（ ）1y x =（ ）31y x =-（ ）6xy =（ ）k y x=（ ） 32y x =（ ）4x y =（ ） 12y x -=（ ）11y x =-（ ） 11y x=- （ ） 2.下列函数中，y 是x 的反比例函数的是 ( )思楷教育学生辅导讲义期末复习专题：反比例函数A.()12x y -=B.12y x =- C.21y x = D.17y x=- 3.若函数()221n y n x-=-是反比例函数，则n 的值是 ( )A. ±1B. -1C. 1D. 24.已知函数2211kk y k x --=-（）是反比例函数,你知道k 的值是多少吗？5.已知函数()211m y m x -=-.请你探求当m 取何值时:(1)该函数是正比例函数? (2)该函数是反比例函数?反比例函数 y=xk(k ≠0) k 的符号 k>0 k<0图象性质 ①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0.②当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限。
在每个象限内，y 随x 的增大而减小。
①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0.②当k<0时，函数图象的两个分以分别在第二、第四象限。
在每个象限内，y 随x 的增大而增大。
1、点（3，4）在反比例函数xm m y 122-+=的图像上，则此函数还过点（ ）A ．（2，6）B ．（2，-6）C ．（4，-3）D ．（3，-4）2、已知反比例函数的图象经过点(2)m ，和(23)-，，则m 的值为 ．要点诠释：（1）反比例函数的图象是一条双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；（2）若点(a,b)在反比例函数y= kx的图象上，则点(－a,－b)也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称；（3）在反比例函数中由于x ≠0，k ≠0，所以y ≠0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴．典例分析：1、如果反比例函数12my x-=（m 为常数）的图象在第二、四象限内，那么m 的取值范围是（ ）A ．0m <B ．12m <C ．12m >D ．m ≥122、已知一次函数y = kx + b （0k ≠）的图象经过第一、二、四象限，则函数kby x=的图象有（ ）A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第三、四象限D ．第一、二象限典例分析： 1. 函数1ky x-=的图象过点P （1，2），则该函数图象在其所在的每个象限内，y 随x 的增加而 ．2．反比例函数12k y kx -=，当x ＞0时，y 随x 而增大。
3．反比例函数22(21)my m x -=-，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则m 的值是 ．4.已知反比例函数1y x=-的图象上有两点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，且x 1<x 2，则下列结论正确的是( )A.y 1>y 2B.y 1=y 2C.y 1<y 2D.不能确定y 1与y 2的大小关系5．点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在反比例函数2y x=-的图象上，若x 1＜x 2，则y 1与y 2的大小关系为（ ）．A ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1 = y 2D ．y 1与y 2的大小关系不能确定6. 若点(x 1，y 1)、（x 2，y 2）、（x 3，y 3）都是反比例函数1y x=-的图象上的点，并且x 1<0<x 2<x 3，则下列各式中正确的是（ ）A.y 1<y 2<y 3B.y 2<y 3 <y 1C.y 1>y 2>y 3D.y 1<y 3<y 27.若点()12,y -、()21,y -、()31,y 都是反比例函数1y x=的图象上的点,则下列各式中正确的是（ ）A.y 1>y 2>y 3B.y 2>y 1>y 3C.y 3>y 1>y 2D.y 3>y 2>y 18. 反比例函数ky x=（k ＞0）的图象上的三个点（x 1，-1）（x 2，2）（x 3，3），则下列成立的是（）A ．x 1＜x 2＜x 3B ．x 2＜x 1＜x 3C ．x 1＜x 3＜x 2D ．x 3＜x 2＜x 19．已知函数21a y x--=（a 为常数）的图象上有三点（-4，y 1）（-1，y 2）（2，y 3）则函数值y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 2＞y 3＞y 1B ．y 3＞y 2＞y 1C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 3＞y 1＞y 210. 已知反比例函数2y x =，下列结论中，不正确的是（ ）A ．图象必经过点(12)，B ．y 随x 的增大而减少C ．图象在第一、三象限内D ．若1x >，则2y <11.在函数3k y x--=(k 为常数，且0k ≠)的图象的一支在第四象限. (1)图象的另一支在第几象限? 你能求出符合题意的k 的取值范围吗? (2)图象上有三点(-1,y 1)、21,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,2y ⎛⎫⎪⎝⎭,你会比较y 1、y 2、y 3的大小吗?要点诠释：如图所示，过双曲线上任一点作轴、轴垂线段PM 、PN ，所得矩形PMON 的面积。
∵ky x=， ∴。
∴，即反比例函数()0ky k x=≠中的比例系数k 的绝对值表示过双曲线上任意一点，作x 轴，y 轴的垂线所得的矩形的面积。
如图所示，过双曲线上一点Q 向x 轴或y 轴引垂线，则所得的三角形的面积yA BCD O xyA BCDx2AOQk S=，即反比例函数()0ky k x=≠中的比例系数k 的绝对值的一半表示过双曲线上任意一点，作x 轴（或y 轴）的垂线，并连接原点，所得的直角三角形的面积。
典例分析：1.如图，点A 、B 是函数ky x=(0k <)图象上的两点，分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别是C 、D ，已知点O 是坐标原点，则△AOC 、△BOD 的面积S 1、S 2的大小关系是( )A.S 1>S 2B.S 1=S 2C.S 1<S 2D.S 1≠S 22.A 、C 是函数1y x=的图象上任意两点，过A 作x 轴的垂线交x轴于B ，过C 作y 轴的垂线交y 轴于D ，记Rt △AOB 的面积为S 1，Rt △COD 的面积为S 2，则（ ）A.S 1<S 2B.S 1＞S 2C.S 1=S 2D.S 1和S 2的大小关系不能确定3.A 、B 是函数1y x=的图象上关于原点对称的任意两点，AC ∥y 轴，交x 轴于点C ，BD ∥y 轴，交x 轴于点D ，设四边形ADBC 的面积为S ，则（ ）A.S =1B.S =2C.1＜S ＜2D.S ＞24．如图，A 、B 是函数1y x=的图象上关于原点O 行于y 轴，BC 平行于x 轴，△ABC 的面积为S ，则（ ） A ．S = 1 B ．1＜S ＜2 C ．S = 2 D ．S ＞2要点诠释：(1)、待定系数法，由于在反比例函数关系式ky x=中，只有一个待定系数k ，只要确定了k 的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入ky x=中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的关系式。
(2)用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：①设所求的反比例函数为：kyx(k≠0)；②根据已知条件，列出含k的方程；③解出待定系数k的值；④把k 值代入函数关系式ky x=中。
典型例题：1．一个反比例函数的图象经过点()3,4-，则其函数关系式是 .2. 若函数y m m x m m =+--()232是反比例函数，求其函数解析式。
点拨：反比例函数可写成y kx =-1，在具体解题时应注意这种表达形式，应特别注意对k ≠0这一条件的讨论。
3. 已知：y 与2x 成反比例，且当2x =-时，2y =，那么当4x =时，y 等于 ( ).A. 0.5B.2C. -2D.-14. 已知：12y y y =-，1y 与2x 成反比例，2y 与1x -成正比例，且当1x =时1y =；当2x =时54y =，求1x =-时y 的值.5. （1）已知y y y =+12，而y 1与x +1成反比例，y 2与x 2成正比例，并且x =1时，y =2；x =0时，y =2，求y 与x 的函数关系式；（2）直线l ：y kx b =+与y x =2平行且过点（3，4），求l 的解析式。
1. 函数y=xk与y=kx+1(k ≠0)在同一坐标系内的大致图象是 （ ）【解析】列表分析如下：2.在同一坐标系中，正比例函数y=(m-1)x 与反比例函数y=xm4的图象大致位置不可能是（ ） 。
【解析】 列表分析如下：【点拨】 没有明确告诉系数符号，而要求选择确定函数图象的大致位置的问题，在中考试题中经常出现．不少同学对解答这类题感到困难．以上两例介绍一种简便易行的方法——列表分析法，即通过对所供选择的图象中代表的函数系数的符号列表分析，排除某些结论，进而得到正确答案．3.已知反比例函数k y x=与一次函数y = 2x + k 的图象的一个交点的纵坐标是4-，则k 的值为 ．4.如图，反比例函数k y x=与直线2y x =-相交于A 、B 两点，A 点的横坐标为-1，则两函数图象另一个交点B 的坐标为（ ）5.已知一次函数y ＝3x+m 与反比例函数y ＝xm 3-的图像有两个交点. (1)当m 为何值时，有一个交点的纵坐标为6? (2)在(1)条件下，求两个交点的坐标.点拨：(1)两个函数图像如果有交点，那么它们的交点坐标就是两个函数解析式联立方程组的解.(2)要求函数图像的交点坐标，解方程组即可.6. 已知一次函数y=2x-k 的图象与反比例函数y=x k 5的图象相交，其中有一个交点的纵坐标为-4，求这两个函数的解析式．点拨：这是关于一次函数和反比例函数的综合题，解本题的关键是要抓住两图象交点这个主要矛盾，它既在一次函数图象上，又在反比例函数图象上，从而转化为解二元一次方程组，问题得以解决．1.如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于()2,1A -、()1,B n 两点.(1)求两个函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围.2. 如图14，已知(4)A n -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m y x=的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； (3)求方程0=-+xmb kx 的解（请直接写出答案）； (4)求不等式0<-+xmb kx 的解集（请直接写出答案）.3.函数1k y x=与2y k x =（k 1，k 2为非零常数）的图象的如图所示，由图象可知：关于x 的不等式12k k x x<的解集是（ ） A ．2x > B ．22x -<< C ．20x -<<或2x > D ．2x >或2x <4.已知反比例函数3my x=-和一次函数1y kx =-的图象都经过点(),3P m m -.(1)求点P 的坐标和两个函数的解析式；(2)若点()211,A a y --、()223,B a y --是反比例函数图象上的点，请比较y 1与y 2.5. 已知一次函数25y x =-的图象与反比例函数k y x= (0k ≠)的图象交于第四象限的一点DB AyxO C(),3P a a -.(1)求这个反比例函数的解析式.(2)当-6<x <-2时，求y 的取值范围是多少?1．如图，已知一次函数y = kx + b 的图象与反比例函数8y x=-的图象交于A 、B 两点，且A 的横坐标和点B 的纵坐标都是-2，则阴 影部分的面积是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．已知一次函数8y x =-+和反比例函数k y x=的图象在第一象限内有两个不同公共点A 、B ，且△AOB 的面积S = 24，则该反比例函数的图象必过点（ ） A ．（2，4） B ．（-1，-7）C ．（1，6）D ．（-1，7）3．已知直线22y x =-与坐标轴交于A 、B 两点，反比例函数ky x=的图象与该直线交于C 点，CD ⊥x 轴于点D ，若OAB BCD S S ∆∆=，则k 值为（ ）4. 如图,直线22y x =--与双曲线ky x=交于点A ，与x 轴、y轴分别交于点B 、C ，AD ⊥x 轴于点D ，如果S △ADB =S △COB ,那么k =______.5. 已知点A （0，2）和B （0，2-），点P 在函数1y x=-的图象上，如果△PAB 的面积是6，则P 点的坐标是 ．6．如图所示，如果函数y x =-与4y x=-的图象交于A 、B 两点，过点A作AC 垂直于y 轴，垂足为点C ，则△BOC 的面积为 ．7. 如图，已知双曲线(0)k y k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为（ ）A ．12B ．9C ．6D ．48. 如图，Rt ABC ∆的锐角顶点是直线y x m =+与双曲线my x=在第一象限的交点，且S AOB ∆=3 （1）求m 的值（2）求S ABC ∆的值OyAB C DxyACD Ox9. 如图，已知反比例函数ky x=的图象经过点()3,A b -，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，△AOB 3求k 和b 的值；(2)若一次函数1y ax =+的图象经过点A ，且与x 轴交于点C ，求△AOC 的面积.10. 双曲线5y x=在第一象限的一支上有一点()1,5C ，过点C 的直线y kx b =+(0k >)与x 轴交于点(),0A a .（1）求点A 的横坐标a 与k 之间的函数关系式；（2）当该直线与双曲线在第一象限内的另一交点D 的横坐标是9时，求△COA 的面积.11. 已知：如图，一次函数y x b =+()0b ≠的图象与两坐标轴交于A 、B 两点，与函数2y x=的图象交于C 、D 两点，由点C 向x 轴做垂线，垂足为E . （1）若△AOB 的面积是△OCD 的面积的一半，求C 点的坐标； （2）证明：不论b 取任何不为零的实数，AC •BC 为定值；（3）延长CO 交函数2y x=的图象于M 点，试判断△CDM1、某市的一处道路因受强降雨而造成1200cm3的塌方，某部队受命来重新修建好．（1）重新修好所需的时间t（天）与每天完成的土石方V（m2）有怎样的关系？（2）部队共有官兵60人，每天最多完成土石方300 m3，预计部队最快可在几日内完成？（3）部队连续工作了两天后，天气预报说未来的几天还可能会有强降雨，市里要求次日完成余下的任务，需要增加多少人才能按时完成？2、制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟），据了解，该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，y与时间x成反比例关系（如图），已知该材料操作加工前温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式．（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么开始加热到停止操作，共经历了多长时间？3、为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒。