数学建模报告
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3）预测检验. 借用所建模型模型, 用历史预测现实, 以验证模型的准确度.
(七) 、模型应用 模 型 的 分 析 与 应 用:
1）模型应用的现实条件. 2）模型应用的理论条件.
(八) 、模型评价 模 型 的 评 价 与 推 广:
1）模型假设对模型的影响分析. 2）模型改进的方向和强度预测. 3）模型改进的允许环境.
1. 意义:
1). 假设是简化实际问题的必须手段。 2). 假设能缩小问题的涉及范围，使问题的条件 更加明确且条理更加清晰。 3). 做假设的过程中，能进一步辨清问题的主次方面。
2. 作用:
1)、简化问题，有利于辨识并列出与问题的研究 目标更紧密的相关因素及其关系。
2）、使模型更加严谨。拟建立的数学模型常被认为 是对实际问题的近似刻划，这种数学形式应该符合 数学的要求，不能显示出任何逻辑破绽。 3）、降低问题难度。 4）、清晰地记录我们所建的模型忽略是哪些因 素和关系，为以后改进模型奠定基础。
1. 过程:
基于“问题分析”阶段的结果，已经理清了问 题的各条线路、各个层次、各个片段及其相互关系， 建立模型就是把这些分析结果先分别表示成数学形 式，然后再把这些形式合理整合成一个统一的数学 形式。
2. 原则:
1）、对问题每一个方面所选择的数学表达都应 能合理表达该方面的因素间的关系。
2）、有利于模型的整合及模型的求解。
1、数学建模的一般方法：
◆ 机理分析 ◆ 测试分析方法
机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因 果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型 常有明确的物理或现实意义。
测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统， 内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出 数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先 确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最 好的模型。 测试分析方法也叫做系统辩识。
三、参考文献
在正文中提及或直接引用的材料或原始数据， 应注明出处，并将相应的书籍、刊物、电子文献等 列举在参考文献中。需标明出版物作者、名称、出 版单位、出版日期、页码等。
四、附录
附录是正文的补充，与正文有关又不便于编入 正文的内容都收集在这里。包括：计算机程序、比 较重要但数据量较大的中间结果等。为便于阅读， 应在源程序中加入足够量的注释和说明语句。
数学建模竞赛 答卷与评阅
主讲：高丽
y
数学建模
数学建模：数学与实际问题的桥梁. 数学建模: 应用数学知识解决实际问题的第一步.
数学建模: 通常有本质性的困难和原始性的创新 (关键一步).
一、数学建模的一般方法和步骤
建立数学模型的方法和步骤并没有一个特定的 模式，但一个理想的模型应能反映实际问题的全部 重要特征：模型的可靠性和模型的使用性。
5）有些问题的数学模型本身就是一个数学处理过程， 并不能明确地把问题集中地表达成某种数学形式，而 是采用一系列数学处理得出了问题的结果。对这类问 题，自然不需要单独列出模型求解这一步。
6）计算机是数学建模的得力助手。很多模型的求解 都面临大量的计算，所建模型是否与实际吻合，常需 要用模型的解来判断，而且这种工作，在建立一个实 际问题的数学模型过程中也常需要重复多遍。因此， 熟练使用计算机计算数学问题是对数学建模工作者的 必须要求。这一方面要求具有一定的编程水平，更重 要地是能熟练使用现有计算软件包。现时用于数学 建模中较好的软件包有：Mathematica; Matlab; SAS.
3）数据模型和随机模型，一般都有很大的运算量或 者基于大量的模拟才能给出问题的更精确结论，甚至 对有些特别复杂的问题，由于涉及的因素太多且不确 定性太大，数学模型自身就是一个计算机模拟过程。
4）必要时对所建模型作适当简化后方可进行求解。 有些问题的数学模型，现有数学理论并没有给出完善 的求解方法，例如多目标非线性规划模型，这时需要 我们根据实际问题的属性和要求，适当地简化模型， 得到适应于问题要求的参考解。
建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数
用实际问题的实测数据等来检验该数学模型
不符合实际
符合实际
交付使用，从而可产生经济、社会效益
建模过程示意图
二、数学建模过程
(一)、问题分析
问题分析是对要建模的问题熟悉、 理解并形成建模的 初步设想的阶段， 是建模过程中的一个基础性的重要阶段。 在建模全过程中， 这个阶段的工作一般都需要递进式地进 行 多 遍。
范文 程序与结果 数据
数学建模评卷
第一阶段 每 份 答 卷 有 三 个 评 阅 人评 阅。
首先由工作人员将任务单发给各位评阅人。然后 评阅人按照评阅细则对答卷打分，对有亮点、创新点 的答卷要另做记录。最后工作人员统计。
数学建模评卷
第二阶段
每 份 答 卷 按 平 均 分 排 序。
首先由工作人员将评阅人分值差大于15分或20分 的答卷抽出。然后交第四评阅人按照评阅细则对答卷 打分。工作人员统计，计算平均 值作为该答卷的 最终得分，最后按平均分排序。
(六)、模型检验
1. 模型的事实检验:
1）公理性检验. 常用法则检验和自然法则检验.
2）经验误差分析. 建模碰到的有些问题是已经有研 究历史的问题, 如果所得的经验已被几乎所有事实证 明, 那么,我们的模型所得出的结论不应该例外.
2. 模型的数学检验:
1）数值模拟检验. 2）统计检验. 这种检验多用在数据建模的过程中.
论文摘要需要用概括、简练的语言反映这些内容 ，尤其要突出论文的优点，如巧妙的建模方法、快速 有效的算法、合理的推广等等。
一般的科技论文的摘要要求不列举例证，不出现 图、表、数学公式，自我评价，且字数不超过200字。 全国大学生数学建模竞赛要求摘要单独写一页，字数 无明确限制，故在摘要中也可适当出现反映论文结果 的图、表和数学公式。
3. 原则:
1）、假设必须合理且典型。 2）、建模初期由宽到严，模型改进中由严到宽。 3）、Fra Baidu bibliotek重与建模其它阶段的配合。 例：方桌问题的假设： １）视方桌的４只脚依次为４个点。 ２）方桌是规则的，即４点在一个平面上。 ３）拟放置方桌的地面连续且不特别陡峭。 ４）把放稳理解为４个脚同时着地。
(四)、模型建立
(二)、符号设定
符号设定是与问题分析过程相伴完成的同时也与建 立模型过程结伴而行。任何一个建模过程中，最高目 标层的符号都是相对独立地首先设定的。
问 题 分 析 中 得 到 的 各 因素 的 分 类 特 征 要 体 现 在符 号 使 用 中 以 便 于 模 型 的 数学 表 达.
(三)、模型假设
数学建模评卷
以2008年B题 为 例 。
三、数据收集（30分） 2.承受能力数据（15分） ： 1）仅有平均数据（5分）， 2）有一般分类（10分）， 3）有细致分类（15分）。
数学建模评卷
以2008年B题 为 例 。
四、数据分析与建模（30分） 1.建模机理表达清楚，有模型（10分）； 2.从所建模型得出较合理的结果（15分）； 3.模型设及到培养成本和承受能力（25分）； 4.模型求解过程和结果合理（30分） 。
二、论文摘要
问题、模型、方法、结果。 论文摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈 述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的 信。在数学建模论文中，摘要时非常重要的一部分。 数学建模论文的摘要应包含以下内容：
所研究的实际问题、建立的模型、求解模型的 方法、获得的基本结果以及对模型的检验或推广。
二、论文摘要
(五)、模型求解
模型求解必须在明确认识模型的数学归类的基础上进行
1）结论为归纳型或猜想型的模型，用论证的方式给 出求解过程。
2）表达式或表达式组类型的模型，用相应的数学算 法计算出问题的结论。这类模型中的大多数都有很大 的运算量，运算结构也较复杂，或者现有数学方法不 可能给出其精确解，于是，不借助于计算机，求解工 作一般无法完成。
六、表述与印象（10分） 1. 表述不清楚 （3分）; 2. 表述一般 （4分—5分）； 3. 表述清晰 （ 6 分—7分）； 4. 印象分（3分） 。
本节结束
谢谢大家！
1. 作用: 1). 把问题中的各层关系条理化.
2). 搞清每层关 系的结点和联系. 3). 理 清 关系 层 间 的 顺序 和嵌 套.
2. 原则:
1）、深入理解问题的含义和背景。 2）、确立解决该问题的最高层目标。 3）、从最高层目标出发顺藤摸瓜，即揭示影响
最高目标的各个子层。
4）、坚持抓主要因素和主要关系的原则。
数学建模流程图解
问题分析
模型假设
模型评价
符号设定
模型应用
Y
N
模型检验
建立模型 模型求解
三、怎样撰写数学建模的论文？
1、摘要: 问题、模型、方法、结果 2、问题重述 3、模型假设 4、分析与建立模型 5、模型求解 6、模型检验 7、模型推广 8、参考文献 9、附录
数学建模答卷
一、论文题目
论 文 的 题 目 是 这 篇 论 文给 出 的涉 及 论 文 范 围 水 平 的 第 一 个 重 要 信 息 。 要 求 简短 精 练 、 高 度 概 括 、 准确 得 体 、 恰 如 其 分 。 既 要 准 确 表 达论 文 内 容 ， 恰 当 反 映 所研 究 的 范 围 和 深 度 ， 又 要 尽 可 能 概括 、 精 练 。
数学建模评卷
以2008年B题 为 例 。
五、结论与建议（10分） 1.结论含糊, 所提建议与数据和模型几乎无关(3分); 2.结论不明确, 所提建议与数据和模型有一定关系 （4分—7分）； 3.结论明确, 所提建议与数据和模型关系密切（ 8 分—10分）。
数学建模评卷
以2008年B题 为 例 。
数学建模评卷
第三阶段
对 答 卷 进 行 复 查调、整 。
各小组根据比例初步划定评奖等级，（报送、 省一、省二、无奖）。对确有亮点、创新点的答卷 写出详细的认定意见；复查“报送”答卷（质量、雷 同等等）和无奖答卷；确定答辩对象与答辩问题。
数学建模评卷
具体 以2008年B题 为 例 。
一、摘要（10分） 1.空洞（3分）, 2.一般（4分—7分）, 3.较好（8分—10分）。
将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方 法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的 参数，也是常用的建模方法。
在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我 们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。机理 分析法建模的具体步骤大致可见下图。
2、数学建模的具体步骤：
实际问题 抽象、简化、假设、确定变量、参数
数学建模评卷
以2008年B题 为 例 。
二、假设（10分） 1.有明显不合理假设（3分）, 2.假设基本合理（4分—7分）, 3.假设合理且必要（8分—10分）。
数学建模评卷
以2008年B题 为 例 。
三、数据收集（30分） 1.培养成本数据（15分）： 1）仅有平均数据（5分）， 2）有一般分类（10分）， 3）有细致分类（15分）。
(七) 、模型应用 模 型 的 分 析 与 应 用:
1）模型应用的现实条件. 2）模型应用的理论条件.
(八) 、模型评价 模 型 的 评 价 与 推 广:
1）模型假设对模型的影响分析. 2）模型改进的方向和强度预测. 3）模型改进的允许环境.
1. 意义:
1). 假设是简化实际问题的必须手段。 2). 假设能缩小问题的涉及范围，使问题的条件 更加明确且条理更加清晰。 3). 做假设的过程中，能进一步辨清问题的主次方面。
2. 作用:
1)、简化问题，有利于辨识并列出与问题的研究 目标更紧密的相关因素及其关系。
2）、使模型更加严谨。拟建立的数学模型常被认为 是对实际问题的近似刻划，这种数学形式应该符合 数学的要求，不能显示出任何逻辑破绽。 3）、降低问题难度。 4）、清晰地记录我们所建的模型忽略是哪些因 素和关系，为以后改进模型奠定基础。
1. 过程:
基于“问题分析”阶段的结果，已经理清了问 题的各条线路、各个层次、各个片段及其相互关系， 建立模型就是把这些分析结果先分别表示成数学形 式，然后再把这些形式合理整合成一个统一的数学 形式。
2. 原则:
1）、对问题每一个方面所选择的数学表达都应 能合理表达该方面的因素间的关系。
2）、有利于模型的整合及模型的求解。
1、数学建模的一般方法：
◆ 机理分析 ◆ 测试分析方法
机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因 果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型 常有明确的物理或现实意义。
测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统， 内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出 数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先 确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最 好的模型。 测试分析方法也叫做系统辩识。
三、参考文献
在正文中提及或直接引用的材料或原始数据， 应注明出处，并将相应的书籍、刊物、电子文献等 列举在参考文献中。需标明出版物作者、名称、出 版单位、出版日期、页码等。
四、附录
附录是正文的补充，与正文有关又不便于编入 正文的内容都收集在这里。包括：计算机程序、比 较重要但数据量较大的中间结果等。为便于阅读， 应在源程序中加入足够量的注释和说明语句。
数学建模竞赛 答卷与评阅
主讲：高丽
y
数学建模
数学建模：数学与实际问题的桥梁. 数学建模: 应用数学知识解决实际问题的第一步.
数学建模: 通常有本质性的困难和原始性的创新 (关键一步).
一、数学建模的一般方法和步骤
建立数学模型的方法和步骤并没有一个特定的 模式，但一个理想的模型应能反映实际问题的全部 重要特征：模型的可靠性和模型的使用性。
5）有些问题的数学模型本身就是一个数学处理过程， 并不能明确地把问题集中地表达成某种数学形式，而 是采用一系列数学处理得出了问题的结果。对这类问 题，自然不需要单独列出模型求解这一步。
6）计算机是数学建模的得力助手。很多模型的求解 都面临大量的计算，所建模型是否与实际吻合，常需 要用模型的解来判断，而且这种工作，在建立一个实 际问题的数学模型过程中也常需要重复多遍。因此， 熟练使用计算机计算数学问题是对数学建模工作者的 必须要求。这一方面要求具有一定的编程水平，更重 要地是能熟练使用现有计算软件包。现时用于数学 建模中较好的软件包有：Mathematica; Matlab; SAS.
3）数据模型和随机模型，一般都有很大的运算量或 者基于大量的模拟才能给出问题的更精确结论，甚至 对有些特别复杂的问题，由于涉及的因素太多且不确 定性太大，数学模型自身就是一个计算机模拟过程。
4）必要时对所建模型作适当简化后方可进行求解。 有些问题的数学模型，现有数学理论并没有给出完善 的求解方法，例如多目标非线性规划模型，这时需要 我们根据实际问题的属性和要求，适当地简化模型， 得到适应于问题要求的参考解。
建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数
用实际问题的实测数据等来检验该数学模型
不符合实际
符合实际
交付使用，从而可产生经济、社会效益
建模过程示意图
二、数学建模过程
(一)、问题分析
问题分析是对要建模的问题熟悉、 理解并形成建模的 初步设想的阶段， 是建模过程中的一个基础性的重要阶段。 在建模全过程中， 这个阶段的工作一般都需要递进式地进 行 多 遍。
范文 程序与结果 数据
数学建模评卷
第一阶段 每 份 答 卷 有 三 个 评 阅 人评 阅。
首先由工作人员将任务单发给各位评阅人。然后 评阅人按照评阅细则对答卷打分，对有亮点、创新点 的答卷要另做记录。最后工作人员统计。
数学建模评卷
第二阶段
每 份 答 卷 按 平 均 分 排 序。
首先由工作人员将评阅人分值差大于15分或20分 的答卷抽出。然后交第四评阅人按照评阅细则对答卷 打分。工作人员统计，计算平均 值作为该答卷的 最终得分，最后按平均分排序。
(六)、模型检验
1. 模型的事实检验:
1）公理性检验. 常用法则检验和自然法则检验.
2）经验误差分析. 建模碰到的有些问题是已经有研 究历史的问题, 如果所得的经验已被几乎所有事实证 明, 那么,我们的模型所得出的结论不应该例外.
2. 模型的数学检验:
1）数值模拟检验. 2）统计检验. 这种检验多用在数据建模的过程中.
论文摘要需要用概括、简练的语言反映这些内容 ，尤其要突出论文的优点，如巧妙的建模方法、快速 有效的算法、合理的推广等等。
一般的科技论文的摘要要求不列举例证，不出现 图、表、数学公式，自我评价，且字数不超过200字。 全国大学生数学建模竞赛要求摘要单独写一页，字数 无明确限制，故在摘要中也可适当出现反映论文结果 的图、表和数学公式。
3. 原则:
1）、假设必须合理且典型。 2）、建模初期由宽到严，模型改进中由严到宽。 3）、Fra Baidu bibliotek重与建模其它阶段的配合。 例：方桌问题的假设： １）视方桌的４只脚依次为４个点。 ２）方桌是规则的，即４点在一个平面上。 ３）拟放置方桌的地面连续且不特别陡峭。 ４）把放稳理解为４个脚同时着地。
(四)、模型建立
(二)、符号设定
符号设定是与问题分析过程相伴完成的同时也与建 立模型过程结伴而行。任何一个建模过程中，最高目 标层的符号都是相对独立地首先设定的。
问 题 分 析 中 得 到 的 各 因素 的 分 类 特 征 要 体 现 在符 号 使 用 中 以 便 于 模 型 的 数学 表 达.
(三)、模型假设
数学建模评卷
以2008年B题 为 例 。
三、数据收集（30分） 2.承受能力数据（15分） ： 1）仅有平均数据（5分）， 2）有一般分类（10分）， 3）有细致分类（15分）。
数学建模评卷
以2008年B题 为 例 。
四、数据分析与建模（30分） 1.建模机理表达清楚，有模型（10分）； 2.从所建模型得出较合理的结果（15分）； 3.模型设及到培养成本和承受能力（25分）； 4.模型求解过程和结果合理（30分） 。
二、论文摘要
问题、模型、方法、结果。 论文摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈 述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的 信。在数学建模论文中，摘要时非常重要的一部分。 数学建模论文的摘要应包含以下内容：
所研究的实际问题、建立的模型、求解模型的 方法、获得的基本结果以及对模型的检验或推广。
二、论文摘要
(五)、模型求解
模型求解必须在明确认识模型的数学归类的基础上进行
1）结论为归纳型或猜想型的模型，用论证的方式给 出求解过程。
2）表达式或表达式组类型的模型，用相应的数学算 法计算出问题的结论。这类模型中的大多数都有很大 的运算量，运算结构也较复杂，或者现有数学方法不 可能给出其精确解，于是，不借助于计算机，求解工 作一般无法完成。
六、表述与印象（10分） 1. 表述不清楚 （3分）; 2. 表述一般 （4分—5分）； 3. 表述清晰 （ 6 分—7分）； 4. 印象分（3分） 。
本节结束
谢谢大家！
1. 作用: 1). 把问题中的各层关系条理化.
2). 搞清每层关 系的结点和联系. 3). 理 清 关系 层 间 的 顺序 和嵌 套.
2. 原则:
1）、深入理解问题的含义和背景。 2）、确立解决该问题的最高层目标。 3）、从最高层目标出发顺藤摸瓜，即揭示影响
最高目标的各个子层。
4）、坚持抓主要因素和主要关系的原则。
数学建模流程图解
问题分析
模型假设
模型评价
符号设定
模型应用
Y
N
模型检验
建立模型 模型求解
三、怎样撰写数学建模的论文？
1、摘要: 问题、模型、方法、结果 2、问题重述 3、模型假设 4、分析与建立模型 5、模型求解 6、模型检验 7、模型推广 8、参考文献 9、附录
数学建模答卷
一、论文题目
论 文 的 题 目 是 这 篇 论 文给 出 的涉 及 论 文 范 围 水 平 的 第 一 个 重 要 信 息 。 要 求 简短 精 练 、 高 度 概 括 、 准确 得 体 、 恰 如 其 分 。 既 要 准 确 表 达论 文 内 容 ， 恰 当 反 映 所研 究 的 范 围 和 深 度 ， 又 要 尽 可 能 概括 、 精 练 。
数学建模评卷
以2008年B题 为 例 。
五、结论与建议（10分） 1.结论含糊, 所提建议与数据和模型几乎无关(3分); 2.结论不明确, 所提建议与数据和模型有一定关系 （4分—7分）； 3.结论明确, 所提建议与数据和模型关系密切（ 8 分—10分）。
数学建模评卷
以2008年B题 为 例 。
数学建模评卷
第三阶段
对 答 卷 进 行 复 查调、整 。
各小组根据比例初步划定评奖等级，（报送、 省一、省二、无奖）。对确有亮点、创新点的答卷 写出详细的认定意见；复查“报送”答卷（质量、雷 同等等）和无奖答卷；确定答辩对象与答辩问题。
数学建模评卷
具体 以2008年B题 为 例 。
一、摘要（10分） 1.空洞（3分）, 2.一般（4分—7分）, 3.较好（8分—10分）。
将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方 法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的 参数，也是常用的建模方法。
在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我 们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。机理 分析法建模的具体步骤大致可见下图。
2、数学建模的具体步骤：
实际问题 抽象、简化、假设、确定变量、参数
数学建模评卷
以2008年B题 为 例 。
二、假设（10分） 1.有明显不合理假设（3分）, 2.假设基本合理（4分—7分）, 3.假设合理且必要（8分—10分）。
数学建模评卷
以2008年B题 为 例 。
三、数据收集（30分） 1.培养成本数据（15分）： 1）仅有平均数据（5分）， 2）有一般分类（10分）， 3）有细致分类（15分）。