高考数学-热点专题专练-专题六-算法、统计、概率、复数测试题-理

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高考数学二轮热点专练：16(文)(专题六-概率与统计、推理与证明、算法初步、复数)

高考专题训练 (十六 )概率 (文)A 级—— 基础稳固组一、选择题1．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6 人，从这2些同学中随机精选一人表演节目，若选到女同学的概率为3，则这班参加聚会的同学的人数为 ()A ．12B ．18C ．24D ．32分析设女同学有 x 人，则该班到会的共有 (2x －6)人，所以 x2x －62＝3，得 x ＝12，故该班参加聚会的同学有 18 人，应选 B.答案B2．有一底面半径为 1，高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P ，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为()12 A.3B.331 C.4D.4分析设点 P 到点 O 的距离小于 1 的概率为 P 1，由几何概型，则 V2π×131 1 23半球π×12×2＝3，故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率 P ＝1－3＝3.P 1＝圆柱＝ V 答案 B3．连续投掷两枚正方体骰子(它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，所得向上的面的点数分x，y，坐原点和点 P(x，y)的直的斜角θ，θ>60°的概率 ()13A.4B.411C.2D.6y分析基本领件数6×6＝36 种，θ>60°的必是x＝tanθ>3，∴ 的基本领件有 (1,2)，(1,3)，⋯，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,6)，共9种．9 1∴θ>60°的概率36＝4.答案A4．(2014 · 西卷 )从正方形 4个点及此中心 5 个点中．任取 2个点， 2 个点的距离小于正方形的概率() 12A.5B.534C.5D.5分析正方形的四个点A，B，C，D，中心 O，从 5个点中任取 2 个点，一共有 10 种不一样的取法： AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，此中 2 个点的距离小于正方形的取法共有 4 种：AO，BO，CO，DO.所以由古典概型概率算公式，可4 2得所求概率 P＝10＝5，故 B.答案B5．若利用算机在区(0,1)上生两个不等的随机数 a 和b，方程x＝22b2a－ x 有不等数根的概率()11 A.4 B.232 C.4 D.5分析方程 x＝2 2a－2bx，即 x2－2 2ax＋2b＝0，原方程有不等实数根，则需知足＝ (2 2a)2－4×2b>0，即 a>b.在以下图的平面直角坐标系内，(a，b)的全部可能结果是边长为 1 的正方形 (不包含界限 )，而事件2bA“方程x＝ 2 2a－x有不等实数根”的可能结果为图中暗影部分(不包括界限 )．12×1×11由几何概型公式可得P(A)＝1×1＝2.答案B二、填空题6．(2014 ·重庆卷 )某校清晨 8：00 开始上课，假定该校学生小张与小王在清晨 7：30～7：50 之间到校，且每人在该时间段的任何时辰到校是等可能的，则小张比小王起码早 5 分钟到校的概率为 ________．(用数字作答 )分析用 x 轴表示小张到校时辰，用y 轴表示小王到校时辰，建立如图直角坐标系．设小张到校的时辰为x，小王到校的时辰为y，则 x－y≥5.由题意，知 0≤x≤20,0≤y≤20，可得可行域以下图，此中，暗影部分表示小张比小王起码早 5 分钟到校．x－y＝5，由得 A(20,15)．x＝20，易知 B(20,20)，C(5,0)，D(20,0)．由几何概型概率公式，得所求概率1×15×15S△ACD29P＝＝＝.9答案327．(2014 ·江苏卷 )从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 ________．分析从 1,2,3,6 这 4 个数中随机地取 2 个数，不一样的取法有 {1,2} ，{1,3} ，{1,6} ，{2,3} ， {2,6} ，{3,6} 共 6 个基本领件，此中乘积为 6 的21有{1,6} ，{2,3} 两个基本领件，所以所求事件的概率为P＝6＝3.答案1 38．在会合＝对于x的方程2＋mx＋3＋＝无实根}中随机A { m|x4m 1 0的取一元素 x，恰使式子 lgx 存心义的概率为 ________．分析因为＝m2－43m＋1 <0，得－ 1<m<4，若使 lgx 存心义，4一定使 x>0.在数轴上表示为，4故所求概率 P＝5.4答案59．(2014 ·课标全国卷Ⅰ )将 2 本不一样的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为 ________．分析记两本数学书分别为a1，a2，语文书为 b，则 3 本书一共有6种不一样的排法： a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，此中 2 本数学书相邻的排法有 4 种：a1a2b，a2a1b，ba1a2，ba2a1，故所求概率为4 26＝3.2答案3三、解答题10．(2014 ·天津卷 )某校夏令营有 3 名男同学 A，B，C 和 3 名女同学 X，Y，Z，其年级状况以下表：一年级二年级三年级男同学A B C女同学X Y Z现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识比赛 (每人被选到的可能性同样 )．(1)用表中字母列举出全部可能的结果；(2)设 M 为事件“选出的 2 人来自不一样年级且恰有 1 名男同学和1名女同学”，求事件 M 发生的概率．解 (1)从 6 名同学中随机选出 2 人参加知识比赛的全部可能结果为{ A，B} ， { A， C} ，{ A，X} ，{ A，Y} ，{ A，Z} ，{ B，C} ，{ B，X} ，{ B，Y}，{ B，Z} ，{ C，X} ，{ C，Y} ，{ C，Z} ，{ X，Y} ，{ X，Z} ，{ Y，Z} ，共 15 种．(2)选出的 2 人来自不一样年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的全部可能结果为 { A，Y} ，{ A，Z} ， { B，X} ，{ B，Z} ， { C，X} ，{ C，Y}共6种．6 2所以，事件 M 发生的概率 P(M)＝15＝5.11．(2014 ·山东卷 )海关对同时从 A，B，C 三个不一样地域入口的某种商品进行抽样检测，从各地域入口此种商品的数目 (单位：件)以下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测 .地域A B C数目50 150100(1)求这 6 件样品中来自 A，B，C 各地域商品的数目；(2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进前进一步检测，求这 2 件商品来自同样地域的概率．解 (1)因为样本容量与整体中的个体数的比是6 150＋150＋100＝50，所以样本中包含三个地域的个体数目分别是：111× ＝1,150× ＝3,100× ＝2.50 50 50 50所以 A ，B ，C 三个地域的商品被选用的件数分别为 1,3,2.(2)设 6 件来自 A ，B ，C 三个地域的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则抽取的这 2 件商品组成的全部基本领件为： { A ，B 1} ，{ A ，B 2} ， { A ，B 3} ，{ A ，C 1} ，{ A ， C 2} ， { B 1，B 2} ，{ B 1， B 3} ，{ B 1，C 1} ，{ B 1， C 2} ，{ B 2，B 3} ，{ B 2，C 1} ，{ B 2，C 2} ，{ B 3，C 1} ，{ B 3，C 2} ，{ C 1，C 2} ，共15个．每个样品被抽到的时机均等，所以这些基本领件的出现是等可能的．记事件 D ：“抽取的这 2 件商品来自同样地域 ”，则事件 D 包含的基本领件有 { B 1，B 2 } ， { B 1，B 3 } ， 2，B 3 ， 1，{ B} { C C 2} ，共 4 个．44所以 P(D)＝15，即这 2 件商品来自同样地域的概率为 15.B 级—— 能力提升组1．(2014 ·广东卷 )从字母 a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不一样字母，则取到字母 a 的概率为 ________．分析基本领件总数有 10 个，即 (a ，b)，(a ，c)，(a ，d)，(a ，e)，(b ，c)，(b ，d)，(b ，e)，(c ，d)，(c ，e)，(d ，e)，此中含 a 的基本领件有(a ，b)，(a ，c)，(a ，d)，(a ，e)，共 4 个，故由古典概型知所求事件4 2的概率 P ＝10＝5.答案2 52．(2014 ·重庆卷 )20 名学生某次数学考试成绩(单位：分 )的频次分布直方图以下：(1)求频次散布直方图中 a 的值；(2)分别求出成绩落在 [50,60)与[60,70)中的学生人数；(3)从成绩在 [50,70)的学生中任选 2 人，求此 2 人的成绩都在 [60,70)中的概率．解 (1)据直方图知组距＝ 10，由 (2a＋3a＋6a＋ 7a＋ 2a) ×10＝1，1解得 a＝200＝0.005.(2)成绩落在 [50,60)中的学生人数为2×0.005 ×10×20＝2.成绩落在 [60,70)中的学生人数为3×0.005 ×10×20＝3.(3)记成绩落在 [50,60)中的 2 人为 A1，A2，成绩落在 [60,70)中的 3人为 B1，B2，B3，则从成绩在 [50,70)的学生中任选 2 人的基本领件共有10个：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1， B2)，(B1，B3)，(B2，B3)．此中 2 人的成绩都在 [60,70)中的基本领件有 3 个： (B1，B2)，(B1，3 B3)，(B2， B3)，故所求概率为P＝10.。

2019年高三数学(理)二轮专项检测：专项6概率与统计、算法初步、复数专项检测

2019年高三数学（理）二轮专项检测：专项6概率与统计、算法初步、复数专项检测注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

(本卷总分值150分，考试用时120分钟)【一】选择题(本大题共12小题，每题5分，共计60分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1、(2017·临沂模拟)在复平面内，复数i3－i (i 是虚数单位)对应的点在 A 、第一象限 B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限解析i 3－i ＝i 3＋i 3－i 3＋i ＝－1＋3i 4＝－14＋34i ，其对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34在第二象限、答案B2、阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A 、－1B 、2C 、3D 、4解析第一次进入循环体可得S ＝－1，n ＝2，第二次进入循环体可得S ＝12，n ＝3，第三次进入循环体可得S ＝2，n ＝4，满足条件，跳出循环体，输出的n ＝4，应选D.答案D3、一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人、为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本、那么从上述各层中依次抽取的人数分别是A、12,24,15,9B、9,12,12,7C、8,15,12,5D、8,16,10,6解析抽取比例为40800＝120.故各层中依次抽取的人数分别是16020＝8，32020＝16，20020＝10，12020＝6.应选D.答案D4、(1＋2x)6的展开式中x4的系数是A、240B、360C、480D、960解析由二项式定理得T r＋1＝C r6(2x)r＝C r62r x r，∴x4的系数为C46·24＝240.答案A5、假设把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，那么可能出现错误的种数是A、20种B、19种C、10种D、9种解析“error”由5个字母组成，其中3个相同，这相当于5个人站队，只要给e、o选定位置，其余三个相同字母r位置固定，即所有拼写方式为A25，error 拼写错误的种数为A25－1＝19.答案B6、如图是甲、乙两名篮球运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，中间的数字表示得分的十位数，据图可知A、甲运动员的最低得分为0分B、乙运动员得分的中位数是29C、甲运动员得分的众数为44D、乙运动员得分的平均值在区间(11,19)内解析据茎叶图知应选C，注意不要错选A，甲的最低得分应为10分、答案C7、某个容量为100的样本的频率分布直方图如下图，那么在区间[4,5)上的数据的频数为A、15B、20C、25D、30解析在区间[4,5)的频率/组距的数值为0.30，而样本容量为100，所以频数为100×0.30＝30.答案D8、(2017·江西)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子那么y A 、y ＝x －1 B 、y ＝x ＋1C 、y ＝88＋12x D 、y ＝176解析因为x －＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y －＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x －，y －)，所以将(176,176)代入A 、B 、C 、D 中检验知选C. 答案C9、(2017·安徽)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，那么以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于A.110B.18C.16D.15解析解法一如下图，从正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A 、B ，A 、C ，A 、D ，A 、E ，A 、F ，B 、C ，B 、D ，B 、E ，B 、F ，C 、D ，C 、E ，C 、F ，D 、E ，D 、F ，E 、F ，共15种、假设要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A 、D ，B 、E ，C 、F ，共3种，故其概率为315＝15.解法二如下图，从正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选4个顶点，共有C 46＝15种选法，其中能够构成矩形的有FECB 、AFDC 、ABDE 三种选法，故其概率为315＝15.答案D10、一个箱子中有9张标有1、2、3、4、5、6、7、8、9的卡片，从中依次取两张，在第一张是奇数的条件下第二张也是奇数的概率是A.59B.518C.14D.12 解析设“第一张是奇数”记为事件A ，“第二张是奇数”记为事件B ，P (A )＝A 15A 18A 29＝59，P (AB )＝A 25A 29＝518，所以P (B |A )＝P AB P A ＝51859＝12. 答案D11、(2017·济南模拟)设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，假设P (ξ＞c ＋1)＝P (ξ＜c －1)，那么c 等于A 、1B 、2C 、3D 、4 解析随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，这个概率分布的密度曲线关于直线x ＝2对称，根据这个对称性，当P (ξ＞c ＋1)＝P (ξ＜c －1)时，x 1＝c ＋1，x 2＝c －1关于直线x ＝2对称，故c ＋1＋c －12＝2，即c ＝2.应选B. 答案B12、在区间[0,1]上任意取两个实数a ，b ，那么函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为A.18B.14C.34D.78解析由题意得f ′(x )＝32x 2＋a ≥0，故f (x )在x ∈[－1,1]上单调递增，又因为函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点，即有f (－1)·f (1)≤0成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－a －b ≤0，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a ＋b ≥0，可化为：⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤10≤b ≤112＋a －b ≥012＋a ＋b ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤10≤b ≤112＋a －b ≤012＋a ＋b ≤0，由线性规划知识在直角坐标系aOb 中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概型知识可以知道，函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为：可行域的面积除以直线a ＝0，a ＝1，b ＝0，b ＝1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为78.答案D【二】填空题(本大题共4小题，每题4分，共计16分、把答案填在题中的横线上)13、箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，那么获奖、现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是________、解析依题意得某人能够获奖的概率为1＋5C 26＝25(注：当摸的两个球中有标号为4的球时，此时两球的号码之积是4的倍数，有5种情况；当摸的两个球中有标号均不是4的球时，此时要使两球的号码之积是4的倍数，只有1种情况)，因此所求概率等于C 34·⎝ ⎛⎭⎪⎫253·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝96625.答案9662514、将一枚均匀的硬币抛掷6次，那么正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________、解析正面出现的次数比反面出现的次数多，那么正面可以出现4次，5次或6次，所求概率P ＝C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝1132.答案113215、现对某校师生关于上海世博会知晓情况进行分层抽样调查、该校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人、现抽取了一个容量为n 的样本，其中女学生有80人，那么n 的值等于________、解析根据分层抽样的等比例性，得n 200＋1 200＋1 000＝801 000，解得n ＝192. 答案19216、假设某程序框图如下图，那么该程序运行后输出的k 的值是________、解析初始值：k＝2，执行“k＝k＋1”得k＝3，a＝43＝64，b＝34＝81，a＞b不成立；k＝4，a＝44＝256，b＝44＝256，a＞b不成立；k＝5，a＝45＝1024，b＝54＝625，a＞b成立，此时输出k＝5.答案5【三】解答题(本大题共6小题，共74分、解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17、(12分)某市公租房的房源位于A、B、C三个片区、设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：(1)没有人申请A片区房源的概率；(2)每个片区的房源都有人申请的概率、解析(1)解法一所有可能的申请方式有34种，而“没有人申请A片区房源”的申请方式有24种、记“没有人申请A片区房源”为事件A，那么P(A)＝2434＝1681.解法二设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验、记“申请A片区房源”为事件A，那么P(A)＝1 3.由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式知，没有人申请A 片区房源的概率为P 4(0)＝C04⎝⎛⎭⎪⎫130⎝⎛⎭⎪⎫234＝1681.(2)所有可能的申请方式有34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有C24A33种、记“每个片区的房源都有人申请”为事件B，从而有P(B)＝C24A3334＝49.18、(12分)有一种旋转舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面上安装5只颜色各异的彩灯，假假设每只灯正常发光的概率为0.5.假设一个面上至少有3只灯发光，那么不需要维修，否那么需要维修这个面、(1)求恰好有两个面需要维修的概率； (2)求至少3个面需要维修的概率、解析(1)因为一个面不需要维修的概率为P 5(3)＋P 5(4)＋P 5(5)＝C 35＋C 45＋C 5525＝12，所以一个面需要维修的概率为12.因此，6个面中恰好有两个面需要维修的概率为P 6(2)＝C 2626＝1564.(2)设需要维修的面为X 个，那么X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，又P 6(0)＝C 0626＝164，P 6(1)＝C 1626＝332，P 6(2)＝C 2626＝1564，故至少有3个面需要维修的概率是1－P 6(0)－P 6(1)－P 6(2)＝1－164－332－1564＝2132.即至少3个面需要维修的概率是2132.19、(12分)对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人、女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动、(1)根据以上数据建立一个2×2列联表； (2)判断性别与休闲方式是否有关、由表中数据计算得，k ＝12443×33－27×21270×54×64×60≈6.021. 因为k ≥5.024，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”、20、(12分)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别、公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料、假设4杯都选对，那么月工资定为3500元；假设4杯选对3杯，那么月工资定为2800元；否那么月工资定为2100元、令X表示此人选对A饮料的杯数、假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力、(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望、解析(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4.P(X＝i)＝C i4C4－i4C48(i＝0,1,2,3,4)、即(2)令Y2100,2800,3500.那么P(Y＝3500)＝P(X＝4)＝1 70，P(Y＝2800)＝P(X＝3)＝8 35，P(Y＝2100)＝P(X≤2)＝53 70.E(Y)＝3500×170＋2800×835＋2100×5370＝2280.所以此员工月工资的期望为2280元、21、(12分)(2017·武汉模拟)某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)，现用分层抽样方法(按A类、B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)、(1)求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；(2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如表1和表2.表1表2①先确定x②分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数、(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)解析(1)甲、乙被抽到的概率均为110，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为P ＝110×110＝1100.(2)①由题意知，A 类工人中应抽查25名，B 类工人中应抽查75名、故4＋8＋x ＋5＋3＝25，得x ＝5,6＋y ＋36＋18＝75，得y ＝15. 频率分布直方图如下：②x －A ＝425×105＋825×115＋525×125＋525×135＋325×145＝123，x －B ＝675×115＋1575×125＋3675×135＋1875×145＝133.8，x －＝25100×123＋75100×133.8＝131.1，A 类工人生产能力的平均数、B 类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123、133.8和131.1.22、(14分)甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸，甲机投弹一次命中目标的概率为23，乙机投弹一次命中目标的概率为12，两机投弹互不影响，每机各投弹两次，两次投弹之间互不影响、(1)假设至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率； (2)记目标被命中的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望、解析设A k 表示甲机命中目标k 次，k ＝0,1,2，B l 表示乙机命中目标l 次，l ＝0,1,2，那么A k ，B l 独立、由独立重复试验中事件发生的概率公式有P (A k )＝C k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫132－k ，P (B l )＝C l 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12l ⎝ ⎛⎭⎪⎫122－l.据此算得P (A 0)＝19，P (A 1)＝49，P (A 2)＝49.P (B 0)＝14，P (B 1)＝12，P (B 2)＝14.(1)所求概率为1－P (A 0B 0＋A 0B 1＋A 1B 0)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫19×14＋19×12＋49×14＝1－736＝2936.(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝P (A 0)·P (B 0)＝19×14＝136，P (ξ＝1)＝P (A 0B 1)＋P (A 1B 0)＝19×12＋49×14＝16，P (ξ＝2)＝P (A 0B 2)＋P (A 1B 1)＋P (A 2B 0)＝19×14＋49×12×49×14＝1336，P (ξ＝3)＝P (A 1B 2)＋P (A 2B 1)＝49×14＋49×12＝13，P (ξ＝4)＝P (A 2B 2)＝49×14＝19. 综上知，ξ从而，ξ的期望为E (ξ)＝0×36＋1×6＋2×36＋3×3＋4×19＝73. 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2020版高考数学二轮复习专题六概率、统计、复数、算法、推理与证明高考热点追踪(六)练习文

高考热点追踪（六)1．复数错误!(a〉0）在复平面内对应的点在第________象限．［解析］错误!(a〉0）＝a－i，对应的点(a，－1）在第四象限．[答案] 四2．(2019·南通市高三模拟）电视台组织中学生知识竞赛，共设有5类试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人"主题被该队选中的概率是________．［解析] 依次记5类试题为A，B，C，D，E，则共有AB,AC，AD,AE,BC，BD，BE,CD，CE,DE，共10个事件，其中4个事件中含有“立德树人"主题，故所求概率P＝错误!＝错误!．［答案] 错误!3．(2019·南京调研)某校为了解高三同学暑假期间的学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天的平均学习时间，绘成频率分布直方图(如图），则这100名同学中学习时间在6～8小时内的人数为________．［解析] 由直方图知,学习时间在6～8小时内的频率为1－(0．04＋0．12＋0．14＋0．05)×2＝0．3，所以100名同学中学习时间在6～8小时内的人数为0．3×100＝30．[答案] 304．（2019·成都质检改编)执行如图所示的程序框图,则输出s的值为________．[解析］第一次循环结束,得s＝0＋2＝2，k＝2×2－1＝3；第二次循环结束，得s＝2＋3＝5，k＝2×3－1＝5；第三次循环结束，得s＝5＋5＝10，k＝2×5－1＝9；第四次循环结束,得s＝10＋9＝19，k ＝2×9－1＝17〉10，此时退出循环．故输出s的值为19．［答案］195．已知cos错误!＝错误!，cos错误!cos错误!＝错误!，cos错误!cos错误!cos错误!＝错误!，…，根据这些结果，猜想出的一般结论是________．[答案] cos错误!cos错误!…cos错误!＝错误!6．（2019·南通市高三模拟）将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为m，n，则点P（m,n）在直线y＝12x下方的概率为________．[解析] 点P(m，n)所有的结果有(1,1)，（1，2），（1，3),（1，4),（1,5)，(1，6），（2，1）,（2，2），(2,3)，(2,4),(2，5），(2，6)，（3，1)，（3，2），（3，3),（3,4），（3，5），（3，6)，（4，1），(4，2）,(4，3)，(4，4）,(4，5），(4，6)，(5,1），(5，2)，(5，3)，（5,4)，（5,5)，（5,6)，（6，1)，（6,2），(6,3),（6，4)，(6，5），(6，6）,共36种，其中在直线y＝错误!x下方的情况有（3，1)，(4，1），（5,1）,(5,2），（6，1)，(6，2),共6种，则所求概率为错误!＝错误!．［答案] 错误!7．（2019·苏州质检）观察（x2)′＝2x，（x4）′＝4x3，(cos x）′＝－sin x,由归纳推理得：若定义在R上的函数f（x)满足f(－x）＝f(x），记g(x）为f（x)的导函数，则g(－x）＝________．[解析] 由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g（x)．[答案］－g(x)8．（2019·江苏四星级学校联考)设A，B两名学生均从两位数学教师和两位英语教师中选择一位教师给自己补课，若A，B不选同一位教师，则学生A选择数学教师，学生B选择英语教师的概率为________．［解析］设两位数学教师用1，2表示，两位英语教师用3，4表示,不妨让A先选，B后选（不重复）,则他们所有的选择结果如下：(1,2），(1,3),（1，4），(2，1)，(2，3），（2，4)，(3，1），(3,2），(3，4)，（4,1)，(4，2），（4,3），共12种情况，其中学生A选择数学教师，学生B选择英语教师（数学在前，英语在后)的结果有（1，3）,（1,4)，(2，3），（2,4）共4种情况，所以所求概率为P＝错误!．［答案］错误!9．（2019·泰州期末)数列｛a n｝的前n项和是S n，若数列｛a n｝的各项按如下规律排列：错误!，错误!，错误!，错误!，错误!,错误!，错误!,错误!，错误!,错误!，错误!，…若存在整数k，使S k<10,S k＋1≥10，则a k＝________．［解析] 由题目可以看出同分母的和依次成等差数列,且公差为错误!．又错误!＋1＋错误!＋2＋错误!＋3＝10．5〉10，此时最后一列数的分母为7，而10．5－错误!<10，故a k＝错误!．［答案] 错误!10．（2019·泸州模拟)学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A、B两种菜可供选择．调查表明，凡是在这星期一选A菜的,下星期一会有20%的可能改选B菜;而选B菜的，下星期一会有30%的可能改选A菜．用a n表示第n个星期一选A菜的人数，如果a1＝428，则a6的值为________．[解析] 依题意有：a n＝错误!a n－1＋错误!(500－a n－1)＝错误!a n－1＋150(n≥2,n∈N*)，即a n－300＝错误!(a n－1－300)（n≥2,n∈N＊)，a n＝128·错误!错误!＋300．因此a6＝128·错误!错误!＋300＝304．[答案］30411．随机抽取某中学高三年级甲、乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm）,获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．(1)若已知甲班同学身高平均数为170 cm，求污损处的数据；（2)现从乙班这10名同学中随机抽取2名身高不低于173 cm的同学，求身高176 cm的同学被抽中的概率．[解］(1）甲班同学身高的平均数错误!＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋a＋182＝170．10解得a＝179,所以污损处是9．(2)设“身高176 cm的同学被抽中”的事件为A，从乙班10名同学中抽取2名身高不低于173 cm的同学有{181,173}，{181，176}，｛181，178}，{181，179｝，{179,173},{179,176},｛179，178}，{178，173｝，{178,176},｛176，173｝，10个基本事件．而事件A含有4个基本事件，所以P（A）＝错误!＝错误!．12．观察下列三角形数表，假设第n行的第二个数为a n（n≥2,n ∈N*）．(1)依次写出第六行的所有6个数字；(2）归纳出a n＋1与a n的关系式并求出a n的通项公式．［解] （1）第六行的所有6个数字分别是6，16，25,25，16,6．（2)依题意a n＋1＝a n＋n(n≥2),a2＝2，a n＝a2＋（a3－a2）＋（a4－a3)＋…＋(a n－a n－1)＝2＋2＋3＋…＋（n－1）＝2＋错误!．所以a n＝错误!n2－错误!n＋1(n≥2)．13．已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＋c＝0，f(x）在［－1，1］上的最大值为2,最小值为－错误!．求证：a≠0且错误!〈2．[证明] 假设a＝0或错误!≥2．(1)当a＝0时，由a＋c＝0,得f（x）＝bx，显然b≠0．由题意得f(x）＝bx在［－1，1］上是单调函数,所以f（x)的最大值为｜b|，最小值为－｜b｜．由已知条件,得|b｜＋（－｜b｜）＝2－错误!＝－错误!，这与｜b|＋（－|b|）＝0相矛盾，所以a≠0．(2）当错误!≥2时，由二次函数的对称轴为x＝－错误!，知f(x）在［－1，1]上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得．所以错误!或错误!又a＋c＝0，则此时b无解，所以错误!<2．由(1)（2),得a≠0且错误!<2．14．定义在（0,＋∞)上的函数f(x）,如果对任意x∈（0,＋∞)，恒有f（kx)＝kf（x)（k≥2,k∈N＊)成立，则称f(x)为k阶缩放函数．(1）已知函数f(x）为二阶缩放函数,且当x∈(1，2］时，f（x）＝1＋log错误!x，求f(2错误!）的值；（2）已知函数f（x）为二阶缩放函数，且当x∈（1，2］时，f(x）＝2x－x2，求证：函数y＝f（x)－x在(1，8）上无零点．[解］（1）由错误!∈(1，2］得，f（错误!)＝1＋log错误!错误!＝错误!，由题中条件得f（22)＝2f(错误!）＝2×错误!＝1．(2）证明：当x∈(2i，2i＋1](i＝0,1，2）时，错误!∈(1，2］，依题意可得：f(x）＝2f错误!＝22f错误!＝…＝2i f错误!＝2i错误!＝错误!．方程f（x)－x＝0⇔2i＋1x－x2＝x⇔x＝0或x＝2i,0与2i均不属于(2i，2i＋1]（i＝0，1,2），当x∈(2i,2i＋1］(i＝0，1，2)时，方程f(x)－x＝0无实数解．注意到(1，8）＝(20,21]∪(21,22]∪（22，23),所以函数y＝f(x)－x 在(1，8)上无零点．。

高考数学二轮复习第一部分专题六概率、统计、复数、算法、推理与证明第1讲排列、组合、二项式定理

方法归纳应用两个计数原理解题的方法
(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理． (2)对于复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．
1．某学校高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加
社会实践活动，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级
1．活用公式与结论 (1)两个重要公式 ①排列数公式
Anm＝（n－n！m）！＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，且 m≤n)． ②组合数公式
C
m n
＝
n！ m！（n－m）！
＝
n（n－1）（n－2）…（n－m＋1） m！
(n，m∈N*，且 m≤n)．
(2)二项式定理 (a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋C2nan－2b2＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnn bn，其中通项 Tr＋1＝Crnan－rbr. (3)二项式系数的性质 ①C0n＝Cnn，C1n＝Cnn－1，…，Crn＝Cnn－r；②C0n＋C1n＋C2n＋…＋ Cnn＝2n；③C1n＋C3n＋Cn5＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.
专题六概率、统计、复数、算法、推理与证明
专题六概率、统计、复数、算法、推理与证明
第1讲排列、组合、二项式定理
专题六概率、统计、复数、算法、推理与证明
2016考向导航本讲内容在高考中占有特殊的位置．高考试题中主要以选择题或填空题的形式呈现，考查排列、组合的实际应用，二项式系数、常数项、二项式指定项的求解．在近几年的高考中，排列、组合试题的难度有所下降，且经常与概率、数列、不等式等知识进行综合考查．
解析：个位数有 C13种，首位数有 C41种，其余各位有 A34种，共有 C13C14A34＝288 种． 2．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，且奇数数字与偶数数字相间排列的六位数共____6_0___个．

新课标高中数学高考冲刺专题训练概率与统计复数与算法测试题(理)

7 8 994 4 6 4 7 3概率与统计（理科） 2009-4第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（A ）41 （B ）12079 （C ）43 （D ）2423 2. 复数z1=(11i i-+)2,z2=2-i3 分别对应复平面上的点A,B ，则向量AB 对应的复数是（）dA. B.-3-i C.1+i D.3+i3．停车场有12辆车停放在一排，当有8辆车已停放后，则所剩4个空位恰好连在一起的概率为 ( )Ｂ 8128128128128.10.9.7.C D C C C B C A 4.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是(A1 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D )0．6485.下图是2007年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）。

A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，46.在集合P={m ︱关于x 的方程x2+mx-12m+154=0 至少有一个实根}中，任取一个元素 x ，使式子lgx 有意义的概率是（）AA. 38B. 34 C. 0 D.17、连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（）0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距A ．B ．C ．D ．8．已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（） A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ，0.849.一个口袋里面装有２个黑球1个白球，有放回地每次摸取一个球，数列{}()()1n :n n na a ⎧⎪=⎨⎪⎩第次取得白球满足-1第次取得黑球，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，那么S 7=3的概率为（）B A.525712()()33C B. 225721()()33C C. 525711()()33C D. 525722()()33C10.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （a 、b 、(0,1)c ∈），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab 的最大值为（）D A ．148 B ．124C ．112D ．1611（2009年滨海新区五所重点学校联考文8）.某流程如右图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是（D ）A ．2)(x x f =B ．xx f 1)(= C ．62ln )(-+=x x x f D ．x x f sin )(=12．已知{}(,)|6,0,0x y x y x y Ω=+≤≥≥，{}(,)|4,0,20A x y x y x y =≤≥-≥，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P落在区域A 的概率为（） A ．13 B ．23 C ．19 D ．29第Ⅱ 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，第8题图共16分把答案题填在题中横线上。

高考数学专题复习讲练测——专题六复数专题复习讲练 1 复数的性质

§ 1 复数的性质一、复习要点1．复数的有关概念和性质：（1）两个复数相等的充要条件；（2）复数是实数或纯虚数的充要条件；（3）互为共轭的两个复数的性质；（4）复数的辐角和模的性质．2．复数运算中的几个常用结论：（1）（1±ｉ）２＝±2ｉ，（1＋ｉ）／（1－ｉ）＝ｉ，（1－ｉ）／（1＋ｉ）＝－ｉ；（2）ｉｎ＋ｉｎ＋１＋ｉｎ＋２＋ｉｎ＋3＝0（ｎ∈Ｚ）；（3）设ω＝－（1／2）±（／2）ｉ，则ω3ｎ＝1；（1／ω）＝；ωｎ＋ωｎ＋１＋ωｎ＋２＝0（ｎ∈Ｚ）．3．复习中应把握好的几个要点：（1）复数的性质较多，在复习中，应尽量启发学生自己思考．要引导学生适时、恰当、准确地运用性质解题，培养自觉应用性质解题的习惯，以达到解题突破口的合理选择．（2）应注意解题后的反思．反思解题时用到复数的何种性质，采用的是什么数学思想方法，寻求不同的解法，并且比较各种解法的优劣，进一步优化解题过程，提高学生的解题速度和解题能力．二、例题讲解例1 （1）已知ａ，ｂ∈Ｒ，且ｂ＜0，ｚ１＝ａ＋ｂｉ，ｚ２＝ｂ－ａｉ，ａｒｇｚ１＝θ，则ａｒｇｚ２等于（）．Ａ．π－θＢ．（π／2）＋θＣ．θ－（π／2）Ｄ．（3π／2）－θ（2）复数（2＋2ｉ）４／（1－ｉ）５等于（）．Ａ．1＋ｉＢ．－1＋ｉＣ．1－ｉＤ．－1－ｉ讲解：（1）显然ｚ１与ｚ２有联系，欲把ａｒｇｚ２用ａｒｇｚ１表示，当找出ｚ２与ｚ１的运算联系．仔细分析，得ｚ２＝－ｉｚ１．∴ａｒｇｚ２＝θ－（π／2），选Ｃ．（2）本题结合了复数的乘方运算和除法运算，由于2＋2ｉ与1－ｉ的辐角均为特殊角，一个自然的思路是：先利用复数的三角式求得（2＋2ｉ）４＝－2６，（1－ｉ）５＝2４（1＋ｉ），∴原式＝－[4／（1＋ｉ）]＝－1＋ｉ，选Ｂ．若认真思考一下选项，发现4个选项所给复数的对应点分别位于4个不同象限，则想到：只需算辐角，便能把正确选项分离出来．∵2＋2ｉ的一个辐角是θ１＝π／4，1－ｉ的一个辐角是θ２＝－（π／3），∴所求复数的一个辐角为θ＝4θ１－5θ２＝π＋（5π／3）＝2π＋（2π／3），位于第二象限．故排除Ａ、Ｃ、Ｄ，选Ｂ．例2 设复数ｚ＝－＋ｉ，记ｕ＝（4／ｚ）３．（1）求复数ｕ的三角形式；（2）如果（ａ／ｚ）＋（ｂ／ｕ）＝ｚ＋2ｕ，求实数ａ、ｂ的值．讲解：这道题的两问是有联系的．第（1）问最容易想到将ｚ＝－＋ｉ代入ｕ＝（4／ｚ）３后，先得到ｕ的代数式，再化成三角形式，但是要将（4／ｚ）３化成标准的代数形式是相当麻烦的，也易出错．事实上，要求ｕ的三角形式，只要求得｜ｕ｜及ａｒｇｕ即可．注意到复数有关性质就不难得解．第（2）问是先将ｕ和ｚ代入化简后，得到带有ａ、ｂ的复数代数恒等式，由复数相等的充要条件得关于ａ、ｂ的方程组，再解方程组即可．（1）∵｜ｚ｜＝＝2，∴｜ｕ｜＝｜（4／ｚ）３｜＝（4／｜ｚ｜）３＝2．令ａｒｇｚ＝θ，则ｃｏｓθ＝－（／2）＝－（／2），ｓｉｎθ＝1／2，∴θ＝（5π／6），从而ａｒｇｕ＝－（5π／6）×3＋4π＝3π／2．∴ｕ的三角形式为ｕ＝2（ｃｏｓ（3π／2）＋ｉｓｉｎ（3π／2））．（2）由（1）知，ｕ＝－2ｉ，代入（ａ／ｚ）＋（ｂ／ｕ）＝ｚ＋2ｕ，得－（／8）ａ－（（／8）ａ－（／4）ｂ）ｉ＝－－3ｉ．由复数相等的充要条件，得方程组（／8）ａ＝，（／8）ａ－（／4）ｂ＝3．解得ａ＝8，ｂ＝－8．例3 已知复数ｚ１、ｚ２满足｜ｚ１｜＝｜ｚ２｜＝1，且｜ｚ１－ｚ２｜＝．（1）求｜ｚ１＋ｚ２｜的值；（2）求证（ｚ１／ｚ２）２＜0；（3）求证对于任意实数a ，恒有｜ｚ１－ａｚ２｜＝｜ｚ１＋ａｚ２｜．讲解：（1）题除用代数式和三角式求解外，若注意到复数的性质ｚ·＝｜ｚ｜２，则由｜ｚ１｜＝｜ｚ２｜＝1，得ｚ１１＝ｚ２２＝1，这时只要将｜ｚ１－ｚ２｜与｜ｚ１＋ｚ２｜分别改写成与即可．由ｚ１１＝ｚ２２＝1及（ｚ１－ｚ２）＝2，得ｚ１２＋ｚ２１＝0．∴ （ｚ１＋ｚ２）（ｚ１＋２）＝｜ｚ１｜２＋｜ｚ２｜２＋ｚ１２＋ｚ２１＝2，故｜ｚ１＋ｚ２｜＝．此题也可利用复数加减法的几何意义求解．（留给读者自己去完成）（2）若（ｚ１／ｚ２）＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），则（ｚ１／ｚ２）２＝ａ２－ｂ２＋2ａｂｉ，要证（ｚ１／ｚ２）２＜0，即证ａ２－ｂ２+2ａｂｉ∈Ｒ－， ∴ ａｂ＝0，但ｚ１≠0，∴ （ｚ１／ｚ２）≠0，∴ 只能是ａ＝0．∴ 要证原命题，只要证（ｚ１／ｚ２）是纯虚数即可．因此，首先要在已知等式｜ｚ１－ｚ２｜＝中变出（ｚ１／ｚ２）．∵ ｜ｚ１－ｚ２｜＝，｜ｚ２｜＝1，∴ （｜ｚ１－ｚ２｜）／｜ｚ２｜＝，即｜（ｚ１／ｚ２）－1｜＝．∴ （（ｚ１／ｚ２）－1）（＝2，即（（ｚ１／ｚ２）－1）（（１／２）－1）＝2，也即（ｚ１１／ｚ２２）－（ｚ１／ｚ２）－（１／２）＝1．∴ （ｚ１／ｚ２）＋＝0．设（ｚ１／ｚ２）＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），上式化为（ａ＋ｂｉ）＋（ａ－ｂｉ）＝0，即ａ＝0．又∵ ｚ１≠0，∴ ａ、ｂ不能全为零，∴ ｂ≠0．则（ｚ１／ｚ２）＝ｂｉ（ｂ∈Ｒ，ｂ≠0）． ∴ （ｚ１／ｚ２）２＝－ｂ２＜0．若注意到｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜ｚ１－ｚ２｜及ｚ１与ｚ２加减法的几何意义，不难得出｜ｚ１＋ｚ２｜与｜ｚ１－ｚ２｜恰为同一平行四边形的两条对角线长，而已知恰是此平行四边形为正方形的条件，则会得出简解．（请读者证明，并加以比较）（3）利用复数性质｜ｚ｜２＝ｚ·证左、右两边等于同一个值即可．（留给读者完成）三、专题训练 1．已知复数ｚ＝＋ｉ，则ａｒｇ（1／ｚ）是（）．Ａ．π／6Ｂ．11π／6Ｃ．π／3Ｄ．5π／32．已知ｚ１＝－（1／2）＋（／2）ｉ，ｚ２＝－（1／2）－（／2）ｉ，并且＝ｉ，那么ｎ可以取（）．Ａ．6Ｂ．8Ｃ．1Ｄ．123．复数ｚ１＝3＋ｉ，ｚ２＝ａ－ｉ，ｚ＝ｚ１·ｚ２，则是实数与是纯虚数的充要条件分别是（）．Ａ．ａ＝3与ａ＝－（1／3）Ｂ．ａ＝－（1／3）与ａ＝3Ｃ．ａ＝3与ａ＝（1／3）Ｄ．ａ＝（1／3）与ａ＝34．（（1－ｉ）６／（－1－ｉ）３）＋（（1＋ｉ）／（1－ｉ））３的值等于（）．Ａ．0Ｂ．2ｉＣ．－2ｉＤ．ｉ5．已知ｉ＝－－ｉ，则｜ｚ｜＝________，ａｒｇｚ＝________．6．已知关于x的实系数方程x２-2ax+a２-4a+4=0的两虚根分别为x１、x２,且|x１|+|x２|=3,则a的值为________．7．给出下列命题：①a,b∈R，且a=b是（a-b）+（a+b）i为纯虚数的充要条件；②ｚ１、ｚ２为复数，ｚ１-ｚ２＞0是ｚ１＞ｚ２的必要条件；③复数z的辐角主值为θ是z２的辐角主值为2θ的充分条件；④非零复数ｚ１、ｚ２对应的向量与垂直的充要条件是ｚ１=ki·ｚ２（k∈R，且k≠0）．其中正确命题的序号为________．8．设复数ｚ１、ｚ２、ｚ３满足ｚ１２＋ｚ３ｚ１＋ｚ３ｚ２＝0，且ｚｉ≠0（ｉ＝1，2，3），求ａｒｇ（ｚ１＋ｚ３／ｚ２＋ｚ３）．9．设非零复数z的辐角主值为（3π／4），且z３+2（z２-zi）是实数．（1）求复数z；（2）若w＝ｃｏｓθ＋isinθ（0≤θ≤2π），求|z-w|的最大值与最小值．10．设ｚ１，ｚ２∈Ｃ，w＝ｚ１ｚ２＋ｚ２ｚ1，ｕ＝ｚ１ｚ1＋ｚ２２．问w与ｕ能否比较大小．如果能，比较它们的大小；如果不能，说明理由．。

专题六复数不等式理科数学

专题六复数不等式理科数学1．（重庆理1）复数2341i i ii++=-A ．1122i-- B ．1122i-+ C ．1122i-D ．1122i+【答案】C2．（浙江理）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1,(1)z i z z =++⋅则=A ．3-iB ．3+iC ．1+3iD ．3【答案】A3．（天津理1）i 是虚数单位，复数131ii --=A ．2i +B ．2i -C ．12i -+D ．12i --【答案】B 4.（四川理2）复数1i i -+=A ．2i -B ．12iC ．0D ．2i【答案】A 【解析】12i i i ii-+=--=-5.（山东理2）复数z=22ii -+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D6.（全国新课标理1）（1）复数212ii +=-（A ）35i- （B ） 35i（C ）i - （D ）i【答案】C7.（全国大纲理1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z z --= A ．2i - B ．i -C ．iD ．2i【答案】B8.（辽宁理1）a 为正实数，i 为虚数单位，2=+iia ，则=a（A ）2 （B （C（D ）1【答案】B 9.（江西理1）若i z i1+2=，则复数z = A ． i -2- B ． i -2+C ． i 2-D ． i 2+【答案】D10.（湖南理1）若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+则A ．1a =，1b =B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==-【答案】D11.（湖北理1）i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭= A ．- i B ．-1C ．iD ．1【答案】A12.（福建理1）i 是虚数单位，若集合S=}{ 1.0.1-，则A ．i S ∈B ．2i S ∈C ． 3i S ∈ D ．2Si∈【答案】B13.（广东理1）设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B ．1i -C ．22i +D ．22i -【答案】B14.（北京理2）复数212i i -=+A ．iB ．-iC ．4355i-- D ．4355i -+ 【答案】A15.（安徽理1）设 i 是虚数单位，复数aii 1+2-为纯虚数，则实数a 为（A ）2 （B ） -2 （C ）1-2（D ） 12【答案】A16.（江苏3）设复数ｚ满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________ 【答案】117.（上海理19）已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z 。

高考数学二轮复习第一部分专题六概率、统计、复数、算法、推理与证明第4讲复数、算法、推理与证明

第一部分专题六概率、统计、复数、算法、推理与证明第4讲复数、算法、推理与证明专题强化精练提能理[A 卷]1．已知复数z ＝|(3－i)i|＋i 5(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( ) A ．2－i B ．2＋i C ．4－iD ．4＋i解析：选A.由题意知z ＝|3i ＋1|＋i ＝12＋（3）2＋i ＝2＋i ，所以z －＝2－i. 2．(2015·江西省九江市第一次统考)设复数z ＝2－i1＋i ，则z 的共轭复数为( )A.12－32iB.12＋32i C ．1－3iD ．1＋3i解析：选B. z －＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）2＝12＋32i ，故选B.3．(2015·潍坊模拟)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为－4时，输入的S 0的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D.第一次循环，得S ＝S 0－21＝S 0－2，i ＝2；第二次循环，得S ＝S 0－2－22＝S 0－6，i ＝3；第三次循环，得S ＝S 0－6－23＝S 0－14，i ＝4，此时不满足i <4，输出S ＝－4，即S 0－14＝－4，所以S 0＝10，故选D.4．已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是( )A ．正四面体的内切球的半径是其高的12B ．正四面体的内切球的半径是其高的13C ．正四面体的内切球的半径是其高的14D ．正四面体的内切球的半径是其高的15解析：选C.原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h .类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是其高的14，故选C.5．“复数z ＝3－a ii 在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.z ＝3－a i i ＝（3－a i ）·ii ·i ＝－a －3i 对应的点在第三象限，则a >0，可以判断“a >0”是“a ≥0”的充分不必要条件．6．已知某算法的流程图如图所示，若输入x ＝7，y ＝6，则输出的有序数对为( )A ．(13，14)B ．(12，13)C ．(14，13)D ．(13，12)解析：选A.执行流程图得，n ＝1，x ＝6＋1＝7，y ＝8；n ＝2，x ＝y ＋1＝9，y ＝10； n ＝3，x ＝y ＋1＝11，y ＝12； n ＝4，x ＝y ＋1＝13，y ＝14；n ＝5，循环结束，输出(13，14)，故选A.7．定义某种运算S ＝a ⊗b ，运算原理如图所示，则式子⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan 5π4⊗ln e －⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg 100⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1的值是( )A ．－3B ．－4C ．－8D ．0解析：选D.由题意可知，程序框图的运算原理可视为函数S ＝a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （b ＋1），a ≥b ，a （b －1），a <b ，所以2tan 5π4⊗ln e ＝2⊗1＝4，lg 100⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝2⊗3＝4，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan 5π4⊗ln e －⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg 100⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝4－4＝0，故选D. 8．(2015·郑州模拟)复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.z ＝m －2i 1＋2i ＝（m －2i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝m －45－2m ＋25i ，若复数z 在复平面上对应的点在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m －45>0，－2m ＋25>0，而此不等式组无解，所以复数z 在复平面上对应的点不可能在第一象限，故选A.9．如图是一算法的程序框图，若输出结果为S ＝720，则在判断框中应填入的条件是( )A ．k ≤6?B ．k ≤7?C ．k ≤8?D ．k ≤9?解析：选B.第一次执行循环，得到S ＝10，k ＝9；第二次执行循环，得到S ＝90，k ＝8；第三次执行循环，得到S ＝720，k ＝7.此时满足条件，故选B.10．在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＝( )A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 009解析：选B.通过观察得a 1＝1，a 2＝1，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝2，a 6＝3，a 7＝－2，a 8＝4，a 9＝3，a 10＝5，a 11＝－3，a 12＝6，…，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3＝4－1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝7＝8－1，a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝11＝12－1，…，所以a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＋a 2 016＝2 016－1＝2 015，又a 4＝2，a 8＝4，a 12＝6，…，所以a 2 016＝1 008，所以a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＝2 015－1 008＝1 007.11．(2014·高考福建卷改编)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于________．解析：由题意，得S ＝0，n ＝1；S ＝0＋2＋1＝3<15，n ＝2；S ＝3＋22＋2＝9<15，n ＝3；S ＝9＋23＋3＝20，n ＝4，因为20≥15，因此输出S .答案：2012．已知复数z ＝a －32i ，且z 2＝b ＋32i(a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________．解析：由已知，得z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫a －32i 2＝a 2－34－3a i ＝b ＋32i ，利用复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－34＝b ，－3a ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－12，故a ＋b ＝－1.答案：－113．观察下列不等式：①12<1；②12＋16<2；③12＋16＋112<3；…；则第n 个不等式为________．解析：观察题中不等式知，分母中根号下被开方数依次是1×2；2×3；3×4；…，所以所求的不等式为12＋16＋112＋…＋1n （n ＋1）<n . 答案：12＋16＋112＋…＋1n （n ＋1）<n 14．(2015·山西省质量监测)如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．解析：第一次循环后m ＝1，n ＝1；第二次循环后m ＝3，n ＝2；第三次循环后m ＝14，n ＝3；第四次循环后m ＝115，n ＝4，循环结束，输出的n 为4.答案：415．在平面几何中：△ABC 的∠ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE BE ＝ACBC.把这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中(如图)，平面DEC 平分二面角A CD B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是____________________．解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACDS △BCD. 答案：AE EB ＝S △ACDS △BCD[B 卷]1．若复数z 满足(2－i)z ＝|1＋2i|，则z 的虚部为( ) A.55B.55i C ．1 D ．i解析：选A.由z ＝|1＋2i|2－i ＝5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝5（2＋i ）5＝255＋55i ，可知其虚部为55. 2．用反证法证明命题：“若a ，b ，c ，d ∈R ，a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”的假设为( )A ．a ，b ，c ，d 中至少有一个正数B ．a ，b ，c ，d 全都为正数C ．a ，b ，c ，d 全都为非负数D ．a ，b ，c ，d 中至多有一个负数解析：选C.用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而“a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”的否定是“a ，b ，c ，d 全都为非负数”，故C 正确．3．复数z ＝1＋2i2 0151－i 2 015(i 为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.z ＝1＋2i 2 0151－i 2 015＝1－2i1＋i ＝1－3i －22＝－12－3i 2，则z ＝－12＋3i2在复平面内对应的点在第二象限，故选B.4．(2015·山西省考前质量检测)执行如图所示的程序框图，若输入的a 的值为3，则输出的i ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.第1次循环，得M ＝100＋3＝103，N ＝1×3＝3，i ＝2；第2次循环，得M ＝103＋3＝106，N ＝3×3＝9，i ＝3；第3次循环，得M ＝106＋3＝109，N ＝9×3＝27，i ＝4；第4次循环，得M ＝109＋3＝112，N ＝27×3＝81，i ＝5；第5次循环，得M ＝112＋3＝115，N ＝81×3＝243，i ＝6，此时M <N ，退出循环，输出的i 的值为6，故选C.4题图 5题图5．如图给出的是计算12＋14＋…＋1100的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( )A ．i >100，n ＝n ＋1B ．i >100，n ＝n ＋2C ．i >50，n ＝n ＋2D ．i ≤50，n ＝n ＋2解析：选C.因为12，14，…，1100共50个数，所以程序框图应运行50次，所以变量i 应满足i >50. 因为是求偶数的和，所以应使变量n 满足n ＝n ＋2，故选C.6．(2015·邢台市摸底考试)已知复数z 1＝－12＋32i ，z 2＝－12－32i ，则下列命题中错误的是( )A ．z 21＝z 2 B ．|z 1|＝|z 2|C ．z 31－z 32＝1D ．z 1，z 2互为共轭复数解析：选C.依题意，z 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝1－34－32i ＝－12－32i ＝z 2，因此选项A 正确；|z 1|＝1＝|z 2|，因此选项B 正确；z －1＝－12－32i ＝z 2，因此选项D 正确；z 31＝z 21·z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝1，同理z 32＝1，因此z 31－z 32＝0，选项C 错误．综上所述，选C.7．设三角形ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：若四面体S ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体S ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：选C.设四面体的内切球的球心为O ，则V ＝V O ABC ＋V O SAB ＋V O SAC ＋V O SBC ，即V ＝13S 1r＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，所以r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.8．(2015·太原质检)下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是( )769813679294158 6103 111 4A．6 B．10C．91 D．92解析：选B.由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知，数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出的结果为10.故选B.9．(2015·临沂模拟)执行如图所示的程序框图，则输出的a＝( )A．20 B．14C．10 D．7解析：选C.依次执行程序框图中的语句，可得：①a＝10，i＝1；②a＝5，i＝2；③a ＝14，i＝3；④a＝7，i＝4；⑤a＝20，i＝5；⑥a＝10，i＝6，因为当i＝2 016时，跳出循环，而2 016＝1＋5×403，所以输出的a＝10.10．[n ]表示不超过n 的最大整数．若S 1＝[ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3，S 2＝[ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝10，S 3＝[9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋[12 ]＋[13 ]＋[14 ]＋[15 ]＝21，…则S n ＝( ) A ．n (n ＋2) B ．n (n ＋3) C ．(n ＋1)2－1D ．n (2n ＋1)解析：选D.观察得到：S n 是从n 2开始到（n ＋1）2(不含)之前共2n ＋1个n 的和，所以S n 为n (2n ＋1)．即[n 2]＋[n 2＋1]＋[n 2＋2]＋…＋[（n ＋1）2－1]＝n (2n ＋1)． 11．(2015·德州模拟)下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题： ①|z |＝2；②z 2＝2i ；③z 的共轭复数为z ；④z 的虚部为－1. 其中所有正确命题的序号是________．解析：z ＝2－1＋i ＝2（－1－i ）（－1＋i ）(－1－i)＝－1－i ，|z |＝2；z 2＝2i ；z 的共轭复数为－1＋i ； z 的虚部为－1.所以正确命题的序号是②④. 答案：②④12．观察等式：sin 30°＋sin 90°cos 30°＋cos 90°＝3，sin 15°＋sin 75°cos 15°＋cos 75°＝1，sin 20°＋sin 40°cos 20°＋cos 40°＝33.照此规律，对于一般的角α，β，有等式________．解析：根据等式的特点，分别用α，β代替两个角，并且发现tan 30°＋90°2＝3，tan 15°＋75°2＝1，tan 20°＋40°2＝33，故对于一般的角α，β的等式为sin α＋sin βcos α＋cos β＝tanα＋β2.答案：sin α＋sin βcos α＋cos β＝tan α＋β213．某天，小赵、小张、小李、小刘四人到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A 、B 、C 、D 四部影片，于是他们商量一起看其中的一部影片．小赵说：只要不是B 就行；小张说：A 、D 我都可以看；小李说：我们四人有共同喜欢的影片；小刘说：除了A 之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同看的影片为________．解析：根据四人的描述可知，小赵可以看的影片有A 、C 、D .小张可以看的影片有A 、D ，小刘可以看的影片有B 、C 、D .又他们四人有共同喜欢的影片，所以只能是D .答案：D14．数列{a n }满足a n ＝n ，阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n ＝5，a n ＝n ，x ＝2，则输出的结果v ＝________．解析：由题意知，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，a 5＝5，初始值为n ＝5，x ＝2，v ＝a 5＝5，i ＝n －1＝4，执行程序框图的结果依次为v ＝5×2＋4＝14，i ＝3；v ＝14×2＋3＝31，i ＝2；v ＝31×2＋2＝64，i ＝1；v ＝64×2＋1＝129，i ＝0，此时终止循环，输出的v ＝129.答案：12915．(2015·南昌模拟)观察下列等式：13＋23＝1； 73＋83＋103＋113＝12；163＋173＋193＋203＋223＋233＝39； …则当m <n 且m ，n ∈N 时，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝________(最后结果用m ，n 表示)．解析：由13＋23＝1，知m ＝0，n ＝1，1＝12－02；由73＋83＋103＋113＝12，知m ＝2，n ＝4，12＝42－22；由163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，知m ＝5，n ＝8，39＝82－52；…依此规律可归纳，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝n 2－m 2. 答案：n 2－m 2。

高考数学二轮复习第一部分专题六概率、统计、复数、算法、推理与证明第3讲统计与统计案例专题强化

第一部分专题六概率、统计、复数、算法、推理与证明第3讲统计与统计案例专题强化精练提能理1．一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[20，60)上的频率为0.8，则估计样本在[40，50)，[50，60)内的数据个数共为( )A ．15B ．16C ．17D ．19解析：选A.由题知，估计样本在[40，50)，[50，60)内的数据个数共为30×0.8－4－5＝15，故选A.2．(2015·高考湖北卷)已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( )A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关解析：选C.因为y ＝－0.1x ＋1的斜率小于0，故x 与y 负相关．因为y 与z 正相关，可设z ＝b ^y ＋a ^，b ^>0，则z ＝b ^y ＋a ^＝－0.1b ^x ＋b ^＋a ^，故x 与z 负相关．3．(2015·南昌市质量检测)已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，若P (ξ>2)＝0.15，则P (0≤ξ≤1)＝( )A ．0.85B ．0.70C ．0.35D ．0.15解析：选C.P (0≤ξ≤1)＝P (1≤ξ≤2)＝0.5－P (ξ>2)＝0.35.故选C.4．从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为( )A ．480B ．481C ．482D ．483解析：选C.由题意知，间隔为25，故编号a k ＝7＋25(k －1)，由a k ≤500，即7＋25(k －1)≤500，所以k ≤51825，又k ∈N *，所以k 的最大值为20，此时样本中最大编号为7＋25×19＝482.故选C.5．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为y ＝－4x ＋a .若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为( )A.16B.13C.12D.23解析：选B.由表中数据得x －＝6.5，y －＝80，由y －＝－4x －＋a ^得a ^＝106，故线性回归方程为y ^＝－4x ＋106.将(4，90)，(5，84)，(6，83)，(7，80)，(8，75)，(9，68)分别代入回归方程可知有6个基本事件，因84<－4×5＋106＝86，68<－4×9＋106＝70，故(5，84)和(9，68)在直线的左下方，满足条件的只有2个，故所求概率为26＝13.6．在某次测量中得到的A 样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都减5后所得数据，则A 、B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．平均数B ．标准差C ．众数D ．中位数解析：选B.A 样本数据的平均数x －＝2756，B 样本数据的平均数x －′＝x －－5.A 样本数据的方差s 2＝16[(42－x －)2＋(43－x －)2＋…＋(50－x －)2]， B 样本数据的方差s ′2＝16[(42－x －)2＋(43－x －)2＋…＋(50－x －)2]，所以A 、B 两样本的标准差相同，故选B.7．(2015·太原质检)某网站就除夕是否放假问题进行社会调查，在回收的20 000份调查报表中，根据所得数据画出了样本频率分布直方图．为了更详细地分析民意，按年龄用分层抽样方法抽样，若从年龄为[50，60)(岁)段中抽取了30人，则这20 000人中共抽取的人数为________．解析：[50，60)年龄段的频率为0.015×10＝0.15，从而20 000人中共抽取了300.15＝200(人)．答案：2008．登山族为了了解山高y (km)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了4组数据，并制作了对照表，如下：气温x (℃) 18 13 10 －1 山高y (km)24343864由表中数据得到线性回归方程y ＝－2x ＋a (a ∈R )，由此估计当山高为72 km 时气温为________℃.解析：由题意知，x －＝18＋13＋10－14＝10，y －＝24＋34＋38＋644＝40，将(x －，y －)代入到线性回归方程y ^＝－2x ＋a ^，得a ^＝60，所以y ^＝－2x ＋60，由y ^＝－2x ＋60＝72，得x ＝－6.答案：－69．春节期间，某销售公司每天销售某种取暖产品的销售额y (单位：万元)与当天的平均气温x (单位：℃)有关．现收集了春节期间这个销售公司4天的x 与y 的数据列于下表：平均气温(℃) －2 －3 －5 －6 销售额(万元)20232730根据以上数据，用线性回归的方法，求得y 与x 之间的线性回归方程y ＝b ^x ＋a ^的系数b ^＝－125，则a ^＝________．解析：由表中数据可得x －＝－4，y －＝25，所以线性回归方程y ^＝－125x ＋a ^过点(－4，25)，代入方程得25＝－125×(－4)＋a ^，解得a ^＝775.答案：77510．(2015·滨州模拟)在我校2015届高三11月月考中理科数学成绩ξ～N (90，σ2)(σ>0)，统计结果显示P (60≤ξ≤120)＝0.8，假设我校有780人参加此次考试，那么试估计此次考试中，我校成绩高于120分的有________人．解析：因为成绩ξ～N (90，σ2)，所以其正态曲线关于直线x ＝90对称．又P (60≤ξ≤120)＝0.8，由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的12(1－0.8)＝0.1，所以估计成绩高于120分的有0.1×780＝78人．答案：7811．(2015·济南市第一次模拟)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得如下实验数据：(1)求y (2)利用(1)中的回归方程，预测t ＝8时，细菌繁殖个数．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n（t i－t －）（y i－y －）∑i ＝1n（t i－t －）2，a ^＝y －－b ^t －.解：（1）由表中数据计算得t －＝5，y －＝4，∑i ＝15（t i -t －）（y i -y －）=8.5，∑i ＝15（t i -t －）2=10b ^＝∑i ＝15（t i－t －）（y i－y －）∑i ＝15 （t i－t －）2=0.85，a ^＝y －－b ^t －=0.25.所以回归方程为y ^＝0.85t －0.25.(2)将t ＝8代入(1)的回归方程中得y ^＝0.85×8－0.25＝6.55. 故预测t ＝8时，细菌繁殖个数为6.55千个．12．某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下：的关系式为：S ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤w ≤100，4w －400，100<w ≤300，2 000，w >300，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率； (2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染．完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？解：(1)600元”为事件A ，由200<S ≤600，得150<w ≤250，频数为39，所以P (A )＝39100.(2)根据题中数据得到如下列联表：K 2的观测值k ＝100×（22×7－63×8）285×15×30×70≈4.575>3.841，所以有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关．13．(2015·安徽合肥、巢湖统考)安徽省2014年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100 000名高中男生的身高服从正态分布N (170.5，16)．现从安徽省某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5 cm 和187.5 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[157.5，162.5)，第2组[162.5，167.5)，…，第6组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方式得到的频率分布直方图．(1)试评估该校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况； (2)求这50名男生中身高在177.5 cm 以上(含177.5 cm)的人数；(3)从这50名男生身高在177.5 cm 以上(含177.5 cm)的人中任意抽取2人，该2人中身高排名(从高到低)在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4， P (μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4.解：(1)由频率分布直方图知，该校高三年级男生平均身高为160×0.1＋165×0.2＋170×0.3＋175×0.2＋180×0.1＋185×0.1＝171.5(cm)，该校高三年级男生的平均身高高于全省高中男生身高的平均值170.5 cm.(2)由频率分布直方图知，后两组频率和为0.2，所以人数和为0.2×50＝10，即这50名男生中身高在177.5 cm 以上(含177.5 cm)的人数为10.(3)因为P (170.5－3×4＜ξ≤170.5＋3×4)＝0.997 4，所以P (ξ≥182.5)＝1－0.997 42＝0.001 3，又0.001 3×100 000＝130.所以身高在182.5 cm 以上(含182.5 cm)的高中男生可排进全省前130名．因为该校这50名男生中身高在182.5 cm 以上(含182.5 cm)的有5人，身高在177.5 cm 以上(含177.5 cm)的有10人，随机变量ξ可取0，1，2，于是P (ξ＝0)＝C 25C 210＝1045＝29，P (ξ＝1)＝C 15C 15C 210＝2545＝59，P (ξ＝2)＝C 25C 210＝1045＝29.所以E (ξ)＝0×29＋1×59＋2×29＝1.14．(2015·南昌模拟)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：(1))；(2)若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班2名同学投中的次数之和分别记作X 和Y ，试求X 和Y 的分布列和数学期望．解：(1)两个班数据的平均值都为7，甲班的方差s 21＝（6－7）2＋（5－7）2＋（7－7）2＋（9－7）2＋（8－7）25＝2，乙班的方差s 22＝（4－7）2＋（8－7）2＋（9－7）2＋（7－7）2＋（7－7）25＝145，因为s 21<s 22，甲班的方差较小，所以甲班的成绩更稳定． (2)由题知X 可能取0，1，2，P (X ＝0)＝25×12＝15，P (X ＝1)＝35×12＋25×12＝12，P (X ＝2)＝35×12＝310，所以X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×15＋1×12＋2×310＝1110. Y 可能取0，1，2，P (Y ＝0)＝35×15＝325，P (Y ＝1)＝35×45＋25×15＝1425，P (Y ＝2)＝25×45＝825，所以Y 的分布列为Y 的数学期望E (Y )＝0×25＋1×25＋2×25＝5.。

专题六第一讲概率与统计、推理证明、算法与复数

一、选择题1．(2011·江西高考)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋12xD ．y ＝176 解析：设y 对x 的线性回归方程为y ＝bx ＋a ，因为b ＝－2×(－1)＋0×(－1)＋0×0＋0×1＋2×1(－2)2＋22＝12， a ＝176－12×176＝88，所以y 对x 的线性回归方程为y ＝12x ＋88. 答案：C2．(2011·南昌模拟)甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表示如图，若甲、乙小组的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列结论正确的是( )A.x 甲>x 乙B ．x 甲>x 乙，乙比甲成绩稳定 C ．x 甲<x 乙，甲比乙成绩稳定 D ．x 甲<x 乙，乙比甲成绩稳定解析：依题意得x 甲＝15(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，x 乙＝15(80×4＋90×1＋3＋4＋8＋9＋1)＝87，x 甲>x 乙；s 2甲＝15[(88－90)2＋(89－90)2＋(92－90)2＋(91－90)2]＝2，s 2乙＝15[(83－87)2＋(84－87)2＋(88－87)2＋(89－87)2＋(91－87)2]＝9.2，s 2甲<s 2乙，因此甲比乙成绩更稳定．答案：A3．(2011·重庆高考)从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)： 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4D ．0.5解析：依题意得，样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为410＝0.4.答案：C4．(2011·浙江高考)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A.110 B.310 C.35D.910解析：从3个红球、2个白球中任取3个，根据穷举法，可以得到10个基本事件，其中没有白球的取法只有一种，因此所取的3个球中至少有1个白球的概率P ＝1－P (没有白球)＝1－110＝910.答案：D 二、填空题5．(2011·浙江高考)某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．解析：由题意知，在该次数学考试中成绩小于60分的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，故这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是3 000×0.2＝600.答案：6006．在集合A ＝{m |关于x 的方程x 2＋mx ＋34m ＋1＝0无实根}中随机的取一元素x ，恰使式子lg x 有意义的概率为________．解析：由于Δ＝m 2－4(34m ＋1)<0，得－1<m <4，若使lg x 有意义，必须使x >0.在数轴上表示为，故所求概率为45.答案：457．(2011·江西高考)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.解析：5个数据的平均数x －＝10＋6＋8＋5＋65＝7，所以s 2＝15×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.答案：3.2 三、解答题8．为了调查某生产线上质量监督员甲对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：质量监督员甲在现场时，990件产品中合格品有982件，次品有8件，甲不在现场时，510件产品中，合格品有493件，次品有17件．试分别用列联表、独立性检验的方法对数据进行分析．解：(1)2×2列联表如下.由列联表看出|ac －bd |＝|982×17－493×8|＝12 750，相差较大，可在某种程度上认为“甲在不在场与产品质量有关”．(2)由2×2列联表中数据，计算K 2＝1 500×(982×17－493×8)21 475×25×510×990≈13.097＞6.635.所以，约有99%的把握认为“质量监督员甲在不在现场与产品质量有关系”．9.为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选了14天，统计上午8：00～10：00间各自的点击量，得如右图所示的统计图，根据统计图回答下列问题：茎叶图甲乙 85 6(1)甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？(2)甲网站点击量在[10,40]间的频率是多少？(3)甲、乙两个网站哪个更受欢迎？并说明理由．解：(1)甲网站的极差为：73－8＝65；乙网站的极差为：71－5＝66.(2)甲网站点击量在[10,40]间的频率为414＝0.286.(3)甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方．从数据的分布情况来看，甲网站更受欢迎．10．(2011·天津高考)编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率．解：(1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13.从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种．②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种．所以P(B)＝515＝13.1 2 4 95 4 02 183 6 714 2 2 58 55 47 6 46 13 2 07 1。

2013年高考数学热点专题专练 6-17 算法初步、复数课件理

答案 D
2 4． (2012· 新课标)下面是关于复数 z＝的四个命题： 1： p －1＋i |z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z 的共轭复数为 1＋i，p4：z 的虚部为－ 1. 其中的真命题为( A．p2，p3 C．p2，p4 ) B．p1，p2 D．p3，p4
解析
2－1－i 2 显然 z＝＝＝－1－i，∴|z|＝ 2，p1 2 －1＋i
高考陪练
1.(2012· 安徽)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )
A．3 C．5
B．4 D．8
解析第一次循环后：x＝2，y＝2；第二次循环后：x＝4， y＝3；第三次循环后：x＝8，y＝4，跳出循环，输出 y＝4.
答案 B
2．(2012· 山东)执行如图的程序框图，如果输入 a＝4，那么输出的 n 的值为(
2．高考复数的考查要求较低，主要集中在复数的概念及复数的四则运算这两部分内容，且都是容易题，在题型设计上，通常以选择题或填空题的形式出现，不论是高考题还是模拟题有相当数量的题目来源于教材，故我们复习时应重视课本，抓住重点即复数的概念及复数的四则运算，对于复数的几何意义了解即可．
要点串讲
专题六算法、统计、概率、复数
第十七讲
算法初步、复数
要点串讲
高频考点
高考陪练
高考专题训练
考情分析
1.算法初步主要包括三个方面的内容：一是算法的含义及简单的算法设计，二是算法的逻辑结构，三是算法语句以及程序设计．其中程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构是算法的核心，是高考的必考内容．综观近几年高考，以程序框图为载体，综合考查函数求值、数列求和、不等式求解、概率统计等问题已经成为主要的命题类型，同时，算法思想贯穿于高中课程的始终，是高中数学课程的一条主线，在备考中不仅要关注程序框图和算法语句，而且要在运算中不断体会算法的思想，以分析、明确思路，提高逻辑思维及运算求解能力．

江苏省2012届高考数学二轮复习专题训练：专题六概率与统计、算法、复数

专题六概率与统计、算法、复数第16讲概率与统计1. 某学校为了了解学生每周在校用餐的开销情况，抽出了一个容量为500的学生样本，已知他们的开销都不低于20元且不超过60元，样本的频率分布直方图如图所示，则其中支出在[50,60]元的同学人数有________．(第1题)2.样本数据11,8,9,10,7的方差是________．3.把一个体积为27 cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为________．4.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么样本容量n 的值为________．5. 为了调查高中学生眼睛高度近视的原因，某学校研究性学习小组用分层抽样的方法从全校三个年级的高度近视眼患者中，抽取若干人组成样本进行深入研究，有关数据见下表(单位：人)：6.若从高一与高三抽取的人选中选2人进行跟踪式家访调研，则这2人都来自高三年级的概率是________．7. 右表是某工厂1至4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x＋a，则a＝________.8.如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为________、________.9. 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数x依次为1、2、3、4、5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：(1) 若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；(2) 在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．10.“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100 mL(不含80)之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上时，属醉酒驾车．”11.2011年5月3日晚8时开始，某市交警一队在该市一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名，下图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图．(1) 求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；(图中每组包括左端点，不包括右端点)(2) 求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；(3) 将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x，y(单位：mg/100 ml)，则事件|x－y|≤10的概率是多少？(第10题)第17讲算法、复数1. 复数⎝⎛⎭⎫i －1i 3等于________．2.已知复数z ＝(b 2－1)＋bi(b ∈R )是纯虚数，则b 的值是________．3.已知复数z ＝2i1＋i，则该复数的虚部为________．4.如图所示的算法流程框图中，若输入a ＝4，b ＝48，则最后输出的a 的值是________．(第4题)(第5题)5. 如图所示是一个算法流程图，则输出的S 的值为________．6.在复平面内，复数－3＋i和1－i对应的点间的距离为________．7. 程序如下：以上程序输出的结果是________.8. 设复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，|z＋i＋1|的最小值等于________．9.如图所示的算法流程图，若输入的n是100，则输出的变量S的值是________．(第9题)(第10题)10. 如图给出的是计算1＋13＋15＋…＋119的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i ＞________.滚动练习(六)1. 复数i －21＋2i＝________.2.从集合{－1,0,1,2}中任取两个不同的元素a 、b ，则事件“乘积ab ＜0”发生的概率为________．3.已知集合A ＝{(x ，y)|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y) |x ，y 为实数，且y ＝x}, 则A ∩B 中的元素个数为________．4. 甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天中甲、乙两人日加工零件的平均数分别为____________和____________．(第4题)5. 右图是一个算法的流程图，则输出i 的值是________.(第5题)6.若数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2，记f(n)＝2(1－a 1)·(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)＝________.7.方程2－x －x 2＋b ＝0在[1,2]上有解，则实数b 的取值范围是________．8.在△OAB 中，OA →＝(2cosα，2sinα)，OB →＝(5cosβ，5sinβ)．若OA →·OB →＝－5，则S △OAB＝________.9. 对于满足1≤x ≤2的实数x ，使x 2－ax ≤4x －a －3恒成立的实数a 的取值范围是________．10. 在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，点P(0，p)在线段AO 上(异于端点)．设a ，b ，c ，p 均为非零实数，直线BP ，CP 分别交AC ，AB 于点E ，F ，一同学已正确算出OE 的方程：⎝⎛⎭⎫1b －1c x ＋⎝⎛⎭⎫1p －1a y ＝0，请你求OF 的方程：(________)x ＋⎝⎛⎭⎫1p －1a y ＝0.11.设不等式组{ 0≤x ≤6，≤y ≤6表示的区域为A ，不等式组{ 0≤x ≤6，－y ≥0，≥0表示的区域为B ，在区域A 中任意取一点P(x ，y)．(1) 求点P 落在区域B 中的概率；(2) 若x 、y 分别表示甲、乙两人各掷一次正方体骰子所得的点数，求点P 落在区域B 中的概率．12.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sinB,1－cosB)与向量n ＝(2,0)夹角θ的余弦值为12.(1) 求角B 的大小；(2) △ABC 外接圆半径为1，求a ＋c 的取值范围．13.已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1) 对任意实数λ，证明：数列{a n }不是等比数列；(2) 试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．14.如图，在半径为30 cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上．(1) 怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积；(2) 若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积．(第14题)专题六概率与统计、算法、复数第16讲概率与统计1. 150 解析：支出在[50,60]元的同学在分布表中的频率为0.3，所以人数为500×0.3＝150.2. 2 解析：平均数为9，代入方差公式得．3.2627解析：这是一道古典概率题，n ＝27，四个面上都未涂有红漆的只有1块，用对立事件来解决，∴ p ＝1－127＝2627.4. 80 解析：n ＝16210＝80.5. 12 解析：由表可知，x 18＝y 54＝218，∴ x ＝1，y ＝3，设高一抽的学生为A ，高三的三个学生为B 、C 、D ，则选取两个人有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共6种，其中两人都来自于高三有BC ，BD ，CD 共3种，故所求概率为12.6. 15 解析：这是一道几何概率，D 的测度为5，d 的测度为1，故概率p ＝15.7. 5.25 解析：本题考查：线性回归直线必过均值点．8. 85 1.6 解析：根据茎叶图可得这7个数据分别为：79,84,84,86,84,87,93，则去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为x －＝15×(84×3＋86＋87)＝85，方差为s 2＝15×[(84－85)2×3＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.9. 点拨：本小题主要考查概率、统计等基础知识，数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想．解：(1) 由频率分布表得a ＋0.2＋0.45＋b ＋c ＝1，即a ＋b ＋c ＝0.35，因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b ＝320＝0.15，等级系数为5的恰有2件，所以c ＝220＝0.1，从而a ＝0.35－b －c ＝0.1，所以a ＝0.1，b ＝0.15，c ＝0.1. (2) 从日用品x 1，x 2，y 1，y 2中任取两件，所有可能的结果为：{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 1，y 1}，{x 1，y 2}，{x 2，x 3}，{x 2，y 1}，{x 2，y 2}，{x 3，y 1}，{x 3，y 2}，{y 1，y 2}，设事件A 表示“从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件为：{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 2，x 3}，{y 1，y 2}共4个，又基本事件的总数为10，故所求的概率P(A)＝410＝0.4.10. 解：(1)依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上者，共有0.05×60＝3人．(2) 由图知60名驾车者血液的酒精浓度的平均值＝25×0.25＋35×0.15＋45×0.2＋55×0.15＋65×0.1＋75×0.1＋85×0.05＝47(mg/100 mL)(3) 第五组和第七组的人分别有：60×0.1＝6人，60×0.05＝3人． |x －y|≤10即选的两人只能在同一组中，设第五组中六人为a ，b ，c ，d ，e ，f ，第七组中三人为A ，B ，C.则从9人中抽出2人的一切可能的结果组成的基本事件如下： ab ；ac ；ad ；ae ；af ；aA ；aB ；aC ； bc ；bd ；be ；bf ；bA ；bB ；bC ； cd ；ce ；cf ；cA ；cB ；cC ； de ；df ；dA ；dB ；dC ； ef ；eA ；eB ；eC ； fA ；fB ；fC ；AB ；AC ；BC ，共36种．其中两人只能在同一组中的事件有18种，用M 表示|x －y|≤10这一事件，则概率P(M)＝1836＝12. 第17讲算法、复数1. －8i 解析：⎝⎛⎭⎫i －1i 3＝(2i)3＝－8i. 2. ±1 解析：⎩⎪⎨⎪⎧b 2－1＝0b ≠0＝±1.3. 1 解析：z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )2＝1＋i.4. 965. －96. 25 解析：|(－3＋i)－(1－i)|＝|－4＋2i|＝(－4)2＋22＝2 5.7. 248. 1 解析：满足|z ＋i|＋|z －i|＝2的复数z 在复平面内对应的点到(0,1)、(0，－1)两点距离之和等于2，因此复数z 在复平面内对应点的轨迹是连结(0,1)、(0，－1)的线段，|z ＋i ＋1|表示复数z 对应的点到点(－1，－1)的距离，结合图形可知，最小值是1.9. 5 049 10. 10滚动练习(六)1. i 解析：i －21＋2i ＝i ＋2i 21＋2i＝i.2. 13 解析：这是一道古典概率题，P ＝m n ＝26＝13. 3. 2 解析：集合A 表示由圆x 2＋y 2＝1上的所有点组成的集合，集合B 表示直线y ＝x上的所有点组成的集合，由于直线经过圆内的点O(0,0)，则直线与圆有两个交点．4. 24 235. 5 解析：0＋log 221＋log 232＋log 243＋log 254＝log 25>2.∴ 在第4个循环时T>2.此时i ＝1＋4＝5. 6.n ＋2n ＋1解析：f(1)＝2(1－a 1)＝32＝1＋21＋1，f(2)＝2(1－a 1)(1－a 2)＝2⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19＝43＝2＋22＋1，f(3)＝2(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝2⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116＝54＝3＋23＋1，可猜测f(n)＝n ＋2n ＋1. 7. ⎣⎡⎦⎤12，154 解析：由2－x －x 2＋b ＝0得b ＝x 2－2－x ，函数y ＝x 2－2－x 在 [1,2]上单调增，故b ∈⎣⎡⎦⎤12，154. 8.532 解析：在△ABC 中OA ＝2，OB ＝5，cos 〈OA →，OB →〉＝－52×5＝－12， ∴ S △OAB ＝12×2×5×sin120°＝532.9. [－1，＋∞) 解析：运用函数与方程、不等式的思想．∵ x 2－ax ≤4x －a －3，∴ a(x －1)≥x 2－4x ＋3.显然当x ＝1时，不等式恒成立；当x ∈(1,2]时，a ≥x －3.函数y ＝x －3在x ∈(1,2]上单调增，y ≤－1，∴ a ≥－1. 10. 1c －1b解析：(解法1，类比法)E 在AC 上，OE 的方程为⎝⎛⎭⎫1b －1c x ＋⎝⎛⎭⎫1p －1a y ＝0. F 在AB 上，它们的区别在于B 、C 互换．因而OF 的方程应为⎝⎛⎭⎫1c －1b x ＋⎝⎛⎭⎫1p －1a y ＝0. ∴ 括号内应填：1c －1b.(解法2)画草图如右，由对称性可猜想填1c －1b .事实上，由截距式可得直线AB ：x b ＋y a ＝1，直线CP ：x c ＋yp ＝1，两式相减得⎝⎛⎭⎫1c －1b x ＋⎝⎛⎭⎫1p －1a y ＝0，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．11. 解：(1) 设区域A 中任意一点P(x ，y)∈B 为事件M.因为区域A 的面积为S 1＝36，区域B 在区域A 中的面积为S 2＝18.故P(M)＝1836＝12.(2) 设点P(x ，y)落在区域B 中为事件N.甲、乙两人各掷一次骰子所得的点P(x ，y)的个数为36，其中在区域B 中的点P(x ，y)有21个．故P(N)＝2136＝712.12. 解：(1) ∵ m ＝2sin B2⎝⎛⎭⎫cos B 2，sin B 2，n ＝2(1,0)， ∴ m·n ＝4sin B 2cos B 2，|m|＝2sin B2，|n|＝2，∴ cosθ＝m·n|m|·|n|＝cos B 2.由cos B 2＝12，0＜B ＜π，得B 2＝π3，即B ＝2π3.(2) ∵ B ＝2π3，∴ A ＋C ＝π3.∴ sinA ＋sinC ＝sinA ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＝sinA ＋sin π3cosA －cos π3sinA＝12sinA ＋32cosA ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋A . 又0＜A ＜π3，∴ π3＜π3＋A ＜2π3，∴32＜sin ⎝⎛⎭⎫π3＋A ≤1，∴ sinA ＋sinC ∈⎝⎛⎦⎤32，1. 又a ＋c ＝2RsinA ＋2RsinC ＝2(sinA ＋sinC)，∴ a ＋c ∈(3，2]．13. (1) 证明：假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝⎛⎭⎫23λ－32＝λ⎝⎛⎭⎫49λ－449λ2－4λ＋9＝49λ2－＝0，矛盾．所以{a n }不是等比数列．(2) 解：因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n ·(a n －3n ＋21)＝－23b n ，又b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b n ＝0(n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列；当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，由b n ＋1＝－23b n ，可知b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列；综上知，当λ＝－18时，数列{b n }构不成等比数列；当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．14. 解：(1) (解法1)连结OC.设BC ＝x ，矩形ABCD 的面积为S. 则AB ＝2900－x 2，其中0＜x ＜30. 所以S ＝2x 900－x 2＝2x 2(900－x 2) ≤x 2＋(900－x 2)＝900.当且仅当x 2＝900－x 2，即x ＝152时，S 取最大值为900 cm 2.答：取BC 为15 2 cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为900 cm 2. (解法2)连结OC.设∠BOC ＝θ，矩形ABCD 的面积为S. 则BC ＝30sinθ，OB ＝30cosθ，其中0＜θ＜π2.所以S ＝AB·BC ＝2OB·BC ＝900sin2θ.所以当sin2θ＝1，即θ＝π4时，S 取最大值为900 cm 2，此时BC ＝15 2.答：取BC 为15 2 cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为900 cm 2. (2) (解法1)设圆柱底面半径为r ，高为x ，体积为V. 由AB ＝2900－x 2＝2πr ，得r ＝900－x 2π，所以V ＝πr 2h ＝1π(900x －x 3)，其中0＜x ＜30.由V ′＝1π(900－3x 2)＝0，得x ＝10 3.因此V ＝1π(900x －x 3)在(0,103)上是增函数，在(103，30)上是减函数．所以当x ＝103时，V 的最大值为6 0003π.答：取BC 为10 3 cm 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为6 0003π cm 3.(解法2)连结OC ，设∠BOC ＝θ，圆柱底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则圆柱的底面半径为r ＝30cosθπ，高h ＝30sinθ，其中0＜θ＜π2.所以V ＝πr 2h ＝27 000πsinθcos 2θ＝27 000π(sinθ－sin 3θ)．设t ＝sinθ，则V ＝27 000π(t －t 3)．由V ′＝27 000π·(1－3t 2)＝0，得t ＝33.因此V ＝27 000π(t －t 3)在⎝⎛⎭⎫0，33上是增函数，在⎝⎛⎭⎫33，1上是减函数．所以当t ＝33时，即sinθ＝33，此时BC ＝103时，V 的最大值为6 0003π. 答：取BC 为10 3 cm 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为6 0003cm 3.。

精选-高考数学二轮复习专题六算法复数推理与证明概率与统计第一讲算法复数推理与证明能力训练理

第一讲算法、复数、推理与证明一、选择题1．(2018·福州四校联考)如果复数z ＝2－1＋i ，则()A ．z 的共轭复数为1＋iB ．z 的实部为1C ．|z |＝2D ．z 的实部为－1解析：∵z ＝2－1＋i ＝－1－－1＋－1－＝－2－2i2＝－1－i ，∴z 的实部为－1，故选D.答案：D2．(2018·辽宁五校联考)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝－10，则输出的y ＝()A ．0B ．1C ．8D ．27解析：开始x ＝－10，满足条件x ≤0，x ＝－7；满足条件x ≤0，x ＝－4，满足条件x ≤0，x ＝－1；满足条件x ≤0，x ＝2，不满足条件x ≤0，不满足条件y ＝23＝8.故输出的y ＝8.故选C.答案：C3．i 是虚数单位，则复数i(2 018－i)在复平面内对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：复数i(2 018－i)＝1＋2 018i ，在复平面内对应的点为(1,2 018)，故选A.答案：A4．(2018·广州模拟)若复数z 满足(1＋2i)z ＝1－i ，则|z |＝()A.25B.35C.105D.10解析：法一：由(1＋2i)z ＝1－i ，可得z ＝1－i1＋2i＝－－＋－＝1－2i －i －25＝－15－35i ，所以|z |＝1＋95＝105，选C.法二：由(1＋2i)z ＝1－i 可得|(1＋2i)z |＝|1－i|，即|1＋2i||z |＝|1－i|，得到5|z |＝2，故|z |＝105，选C.答案：C5．(2018·南宁模拟)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是()A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人解析：由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.答案：C6．(2018·沈阳模拟)已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 的值为()A ．－3B ．－3或9C ．3或－9D ．－9或－3解析：当输出的y ＝0时，若x ≤0，则y ＝(12)x－8＝0，解得x ＝－3，若x ＞0，则y ＝2－log 3x ＝0，解得x ＝9，两个值都符合题意，故选B.答案：B7．(2018·长春模拟)已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是()A ．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 017项和B ．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 018项和C ．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和D ．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和解析：由程序框图可得S ＝1＋5＋9＋…＋4 033，故该算法的功能是求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和．故选C.答案：C8．(2018·山西八校联考)已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若3－4i 3＝2－bi a ＋i，则a ＋b 等于()A ．－9B ．5C ．13D ．9解析：由3－4i 3＝2－bi a ＋i 得，3＋4i ＝2－bi a ＋i，即(a ＋i)(3＋4i)＝2－b i ，(3a －4)＋(4a ＋3)i ＝2－b i ，则⎩⎪⎨⎪⎧3a －4＝2，4a ＋3＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－11，故a ＋b ＝－9，故选A.答案：A9．(2018·石家庄模拟)当n ＝4时，执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为()。

高考数学二轮热点专练：18(理)(专题六-概率与统计、推理与证明、算法初步、复数)

高考专题训练 (十八 )概率、随机变量及其散布(理)A级——基础稳固组一、选择题1．已知某一随机变量ξ的散布列以下，且E(ξ)＝6.3，则 a 的值为()ξ4a9P0.50.1bA.5B．6C．7D．8分析由散布列性质知： 0.5＋0.1＋b＝1，所以 b＝0.4，所以 E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，所以 a＝7.答案C2．以下图 2×2 方格，在每一个方格中填入一个数字，数字能够是 1,2,3,4 中的任何一个，同意重复，则填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字的概率为 ()AB11A.2B.433C.4D.8分析依据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有44＝256 种，对于 A，B 两个方格，可在 1,2,3,4 中任选 2 个，大的放进A 方格，小的放进B方格，有42＝6 种状况，C对于此外两个方格，每个方格有 4 种状况，则共有4×4＝16 种情况，则填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字的不一样的填法共有16×6＝96 396 种，则填入 A 方格的数字大于B 方格的数字的概率为 P ＝256＝8.答案D3．利用计算机产生 0～1 之间的均匀随机数 a ，则使对于 x 的一元二次方程 x 2－x ＋a ＝0 无实根的概率为 ()11A.2B.432 C.4D.3分析对于 x 的方程 x 2－ x ＋a ＝0 无实根，∴Δ＝1－4a<0，则 a>1，423则 x －x －a ＝0 无实根的概率为 4.答案 C4．(2014 ·课标全国卷Ⅱ )某地域空气质量监测资料表示，一天的空气质量为优秀的概率是 0.75，连续两天为优秀的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优秀，则随后一天的空气质量为优秀的概率是()A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45分析设 A ＝“某一天的空气质量为优秀 ”，B ＝“随后一天的空气质量为优秀 ”，则 P(B|A)＝PA ∩B ＝0.6＝0.8，应选 A.P A 0.75答案 A22 25．已知，圆 x ＋y ＝π内的曲线 y ＝－ sinx ，x ∈[－π，π]与 x 轴围成的暗影部分地区记为 Ω(如图 )，随机往圆内扔掷一个点 A ，则点 A 落在地区 Ω内的概率为 ()4B.3A. 33ππ21 C.π D.π33分析由已知得暗影部分的面积为2∫π0sinxdx＝2(－cosx)3，所以点 A 落在π0＝4，圆的面积为π地区Ω内的概率是4 3.π答案A6．甲、乙两人进行围棋竞赛，竞赛采纳五局三胜制，不论哪一方2先胜三局则竞赛结束，假定甲每局竞赛获胜的概率均为3，则甲以3:1的比分获胜的概率为 ()864A.27B.8148C.9D.9分析前三局中甲获胜 2 局，第四局甲胜，则P＝C222×1－22 33×33 8＝27.答案A二、填空题7．(2014 ·广东卷 )从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不一样的数，则这七个数的中位数是 6 的概率为 ________．分析要使6为拿出的 7 个数中的中位数，则拿出的数中必有 3个小于 6，此外 3 个大于 6，故所求概率为C 631C 107＝6.1答案68．一出租车司机从饭馆到火车站的途中经过六个交通岗，假定他1在各交通岗碰到红灯这一事件是相对独立的，而且概率都是 3.那么这位司机会到红灯前，已经经过了两个交通岗的概率是 ________．分析由题意知，在各交通岗碰到红灯这一事件是互相独立的，所以这位司机在第一、二个交通岗未碰到红灯，在第三个交通岗碰到红灯的概率 P ＝－1 143 2×＝27.13 4答案27三、解答题9．小王参加人材招聘会，分别向 A ，B 两个企业送达个人简历．假1定小王获得 A 企业面试的概率为 3，获得 B 企业面试的概率为 p ，且两个企业能否让其面试是独立的，记 X 为小王获得面试的企业个数．若1X ＝0 时的概率 P(X ＝0)＝2，则随机变量 X 的数学希望．分析由题意，知两个企业能否让小王面试是独立的，故 P(X ＝0)＝ 1－1× －＝1，解得 p ＝13(1 p) 24.1 1 1故 P(X＝2)＝×＝.43121 15所以 P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－2－12＝12.由希望的计算公式，1517可得 E(X)＝0×＋1×＋2×＝12.212127答案1210．(2014 ·津卷天 )某大学志愿者协会有6 名男同学，4 名女同学．在这 10 名同学中， 3 名同学来自数学学院，其余7 名同学来自物理、化学等其余不同样的七个学院．现从这10 名同学中随机选用 3 名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性同样)．(1)求选出的 3 名同学是来自互不同样学院的概率；(2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的散布列和数学希望．解 (1)设“选出的 3 名同学是来自互不同样的学院”为事件 A，则C13·C27＋C03·C3749P(A)＝C310＝60.49所以，选出的 3 名同学是来自互不同样学院的概率为60.(2)随机变量 X 的全部可能值为0,1,2,3.C k4·C36－kP(X＝k)＝C310(k＝0,1,2,3)．所以，随机变量X 的散布列是X 0123P 1131 6210301 1 3 1 6随机变量 X 的数学希望 E(X) ＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝5.6 2 10 30 11．现有 10 道题，此中 6 道甲类题， 4 道乙类题，张同学从中任取 3 道题解答．(1)求张同学起码取到 1 道乙类题的概率；(2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题， 1 道乙类题．设张同学答34对每道甲类题的概率都是5，答对每道乙类题的概率都是 5，且各题答对与否互相独立．用 X 表示张同学答对题的个数，求 X 的散布列和数学希望．解 (1)设事件 A ＝“张同学所取的 3 道题起码有 1 道乙类题 ”，则有－＝“张同学所取的道题都是甲类题 ”．A 3－C 36 1因为 P( A )＝C 310＝6，－ 5所以 P(A)＝1－P(A )＝6.(2)X 全部的可能取值为 0,1,2,3.0 32 2 1＝4；P(X ＝0)＝ C 2· · ·1255 5 51 3 12 1 1 03 0 2 2 428P(X＝＝···＋C· ·＝；1)C 2 5 5 525 5 5 125＝＝ 2 3 2 2 0 11 32 4 57P(X 2 5 · ·＋C 2···＝； 2) C 5 5 5 5 5 1252 32 204＝36P(X ＝3)＝ C ···.25 5 5 125所以 X 的散布列为：X 0 1 2 3P4285736 125125125125所以 E(X)＝0×4＋1×28＋2×57＋3×36＝2.125125125125B——能力提升1．(2014 · 西卷 )本数据 x1，x2，⋯，x10的均和方差分1和 4，若 y i＝x i＋a(a 非零常数， i＝1,2，⋯，10)， y1，y2，⋯，y10的均和方差分()A．1＋a,4 C．1,4B．1＋a,4＋a D．1,4＋a分析利用本的均、方差公式求解．x1＋x2＋⋯＋x1010＝1，y i＝x i＋a，所以 y1，y2，⋯，y10的均 1＋a，方差不仍 4.故 A.答案A2．(2014 ·福建卷 )回客，某商通模球的方式1 000 位客行励，定：每位客从一个装有 4 个有面的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所的面之和客所的励．(1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所的面50 元，其余 3 个均10 元，求：① 客所的励60 元的概率；② 客所的励的散布列及数学希望．(2)商励的算是60 000 元，并定袋中的 4 个球只好由有面 10 元和 50 元的两种球成，或有面20 元和 40 元的两种球成．了使客获得的励尽可能切合商的算且每位客所的励相平衡，袋中的 4 个球的面出一个合适的设计，并说明原因．解 (1)设顾客所获的奖赏额为 X.1 1C1C31①依题意，得 P(X＝60)＝2＝，1即顾客所获的奖赏额为 60 元的概率为2.②依题意，得 X 的全部可能取值为 20,60.＝1C321P(X＝，P(X＝20)＝2＝，60)2C42即 X 的散布列为X2060P0.50.5所以顾客所获的奖赏额的希望为E(X) ＝20×0.5＋60×0.5＝40(元)．(2)依据商场的估算，每个顾客的均匀奖赏额为60 元．所以，先寻找希望为 60 元的可能方案．对于面值由 10 元和 50 元构成的状况，假如选择(10,10,10,50)的方案，因为 60 元是面值之和的最大值，所以希望不行能为 60 元；假如选择 (50,50,50,10)的方案，因为 60 元是面值之和的最小值，所以希望也不行能为 60 元，所以可能的方案是 (10,10,50,50)，记为方案 1.对于面值由 20 元和 40 元构成的状况，同理可清除 (20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是 (20,20,40,40)，记为方案 2.以下是对两个方案的剖析：对于方案 1，即方案 (10,10,50,50)，设顾客所获的奖赏额为 X1，则X1的散布列为X120 60100P1 2 163 6的希望为 E(X＝12 1X 1 1)× ＋60× ＋100× ＝60，20 636X 1 的方差为 D(X21 2 221＝ 1)＝(20－60)× ＋ (60－60) × ＋ (100－60)×6361 6003.对于方案 2，即方案 (20,20,40,40)，设顾客所获的奖赏额为X 2，则X 2 的散布列为X 2 4060 80 P1 2 1636的希望为 E(X＝121X 2 2)× ＋60× ＋80× ＝60，40 6 3 62 的方差为 D(X 2 ＝－ 2 1 ＋(60－60) 2 2 21 ＝ X (40 60) × ×＋ (80－60) ×) 6 364003.因为两种方案的奖赏额的希望都切合要求，但方案2 奖赏额的方差比方案 1 的小，所以应当选择方案2.。

高考数学二轮热点专练：17(理)(专题六-概率与统计、推理与证明、算法初步、复数)

高考专题训练 (十七 )摆列、组合与二项式定理(理)A级——基础稳固组一、选择题1．如下图，使电路接通，开关不同的开闭方式有()A．11 种B．20 种C．21 种D．12 种分析使电路接通，左侧两个开关的开闭方式有22－1＝3(种)，右边三个开关的开闭方式有23－1＝7(种)，故使电路接通的状况有3×7＝21(种)．答案C2．(2014 ·河南洛阳统考 )设 n 为正整数，x－12n 睁开式中存在x x常数项，则 n 的一个可能取值为 ()A．16B．10C．4D．2分析设第 r ＋1 项为常数项．由二项式定理可得T r＋1＝C2n r x2n－14n－5r4n－5rr －r＝C2n r(－1)r x2.令＝0.x2x得 r＝4 ，且∈N ，联合选项，n可能取应选B.5n r10.答案B3．从1,3,5,7,9 这五个数中，每次拿出两个不同的数分别记为a，b，共可获得lga－lgb 的不同值的个数是()A．9B．10C．18D．20分析alga－lgb＝lgb，问题转变为ab的值的个数，所以共有A25－2＝20－2＝18(个)．答案C4．(2014 ·四川绵阳一模 )某学校组织演讲竞赛，准备从甲、乙等八名学生中选派四名学生参加，要求甲、乙两名同学起码有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲次序不可以相邻，那么不同的演讲次序的种数为 ()A．1 860B．1 320C．1 140D．1 020分析依题意，就甲、乙两名同学中实质参加演讲竞赛的人数进行分类计数：第一类，甲、乙两名同学中实质参加演讲竞赛的恰有一人，知足题意的不同的演讲次序的种数为C12·C36·A 44＝960；第二类，甲、乙两名同学中实质参加演讲竞赛的恰有两人，知足题意的不同的演讲次序的种数为 C22·C26·A22·A 23＝180，所以知足题意的不同的演讲次序的种数为C22·C26·A22·A23＝180，所以知足题意的不同的演讲次序的种数为 960＋180＝1 140，选 C.答案C5．(2014 ·浙江卷 )在(1＋x)6(1＋y)4的睁开式中，记 x m y n项的系数为f(m，n)，则 f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝()A．45B．60C．120D．210分析∵(1＋x)6睁开式的通公式 T r＋1＝C r6x r，(1＋y)4睁开式的通公式 T h＋1＝C h4y h，∴(1＋x)6(1＋y)4睁开式的通能够 C r6C h4x r y h，∴f(m，n)＝C m6C n4.∴f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝C36＋C62C14＋C16C24＋ C34＝ 20＋60＋36＋4＝120.故 C.答案C6．若两条异面直所成的角 60°，称异面直“黄金异面直”，在接正方体各点的全部直中，“黄金异面直”共有()A．12B．18C．24D．30分析每条面角与 4 条与之异面的面角所成的角60°，每个面有 2 条面角，共 6 个面，共有 48“黄金异面直”，因每无序，所以每都重复一次，故共有24 ．答案C二、填空7．(2014· 全国卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的睁开式中x2y7的系数________．(用数字填写答案)分析 (x＋y)8的通公式 T r＋1＝ C r8x8－r y r (r＝0,1，⋯，8，r∈Z)．当r＝7 ， T8＝C78xy7＝8xy7，当 r＝6 ， T7＝C68x2y6＝28x2y6，所以 (x－y)(x＋y)8的睁开式中含 x2y7的 x·8xy7－y·28x2y6＝－ 20x2y7，故系数－ 20.答案－208．某工厂将甲、乙等五名新招聘工分派到三个不同的，每个车间起码分派一名职工，且甲、乙两名职工一定分到同一个车间，则不同分法的种数为 ________．分析先分组，再分派．共有两种分组状况： 2,2,1 和 3,1,1.①若分红 2,2,1 三组，共有 C 13A 33＝18 种分法； ②若分红 3,1,1 三组，共有 C 13A 33 ＝18 种分法．由分类计数原理知，共有 18＋18＝36 种分法．答案369．将 6 位志愿者分红 4 组，此中两个组各 2 人，另两个组各 1 人，分赴全运会的四个不同场馆服务，不同的分派方案有 ________种． (用数字作答 )C 62·C 42分析先将 6 位志愿者分组，共有 A 22 种方法；再把各组分到不同场馆，共有 A 44 种方法．由乘法原理知，不同的分派方案共有C 62C 42442 ·A 2＝1 080.答案1 080三、解答题10．若x ＋1n睁开式中前三项系数成等差数列．求：24x(1)睁开式中含 x 的一次幂的项；(2)睁开式中全部 x 的有理项．解由已知条件：0 2111C n ＋C n ·2＝2C n·，2 2解得 n ＝8(n ＝1，不合题意，舍去 )．r ＋1＝C 8r1r＝C 8r ·－r· － 3 ，x) 8－r(1)T(42 x4 4r2 x3令 4－4r＝1，得 r＝4，4 －435∴x 的一次幂的项为T4＋1＝C8·2·x＝8x.3(2)令 4－4r∈N(r ≤8)，则只有当 r＝0,4,8 时，对应的项才是有理项，有理项分别为：T1＝ x4，T5＝358x， T9＝256x12.11．已知 (1＋3x)n的睁开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求：(1)睁开式中二项式系数最大的项；(2)睁开式中系数最大的项．解 (1)由已知得 C n n－2＋C n n－1＋C n n＝121，则12n(n－1)＋n＋1＝121，即 n2＋n－240＝0，解得 n＝15，所以，睁开式中二项式系数最大的项是 T8＝C715(3x)7和 T9＝C815(3x)8.(2)T r＋1＝ C r15 (3x)r，由题意得，设第 r ＋ 1 项系数最大，则C r15－13r－1≤C r153r，C r15＋13r＋1≤C r153r.∴11≤r≤12.所以睁开式中系数最大的项对应的r＝11、12，即睁开式中系数最大的项是 T12＝C1115(3x)11和 T13＝C1215(3x)12.12．某车间甲组有 10 名工人，此中有 4 名女工人；乙组有 10 名工人，此中有 6 名女工人．现采纳分层抽样方法 (层内采纳不放回简单随机抽样 )从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行技术查核．(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率；(3)求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率．解 (1)因为甲和乙各有 10 名工人，所以按分抽抽取本4 人，甲、乙两各有2 人被抽取．(2) A 表示事件：从甲抽取的工人中恰有1 名女工人， P(A)C 14C 16 8 ＝C 210＝15.(3)A i 表示事件：从甲抽取的 2 名工人中恰有 i 名男工人，i ＝0,1,2.B j 表示事件：从乙抽取的2 名工人中恰有 j 名男工人， j ＝0,1,2.B 表示事件：抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人．A i 与B j 独立， i ，j ＝0,1,2，且 B ＝ A 0·B 2＋ A 1·B 1＋A 2·B 0.故 P(B)＝P(A 0·B 2＋A 1·B 1＋A 2·B 0)＝P(A 0) ·P(B 2)＋P(A 1) ·P(B 1)＋P(A 2) ·P(B 0)＝ C 42 C 42 C 41C 61 C 61C 41 C 62 C 62312·2＋2· 2 ＋2·2＝.C 10 C 10 C 10 C 10 C 10 C 10 75B —— 能力提升．·南昌市一模若 4 ＋ 8 ＝a 0＋a 1 ＋＋ 2 ＋ 2＋⋯＋ 1 (2014) x (x 3) (x 2) a (x 2)a 12(x ＋2)12， log 2(a 1＋a 3＋a 5＋⋯＋a 11)等于 ()A ．27B ．28C ．7D ．8分析令 x ＝－ 1，得 a＋a ＋a ＋⋯＋a ＝28①1212令 x ＝－ 3，得 a 0－a 1＋a 2－a 3＋⋯＋a 12＝0 ② ①－②得 2(a 1＋a 3＋⋯＋a 11)＝28，∴a 1＋a 3＋⋯＋a 11＝27，∴log 2(a 1＋a 3＋⋯＋a 11)＝7.答案C2．(2014 ·北京卷 )学生的文、数学成均被定三个等，依次为“优异”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且此中起码有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，而且不存在语文成绩同样、数学成绩也同样的两位学生，那么这组学生最多有() A．2人B．3人C．4人D．5人分析利用反证法解决实质问题．假定知足条件的学生有 4 位及4位以上，设此中 4 位同学分别为甲、乙、丙、丁，则 4 位同学中必有两个人语文成绩同样，且这两个人数学成绩不同样，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故知足条件的学生不可以超出 3 人．当有 3位学生时，用A，B， C 表示“优异”“合格”“不合格”，则知足题意的有AC，CA，BB，所以最多有 3 人．答案B3．(2014 ·福建卷 )用 a 代表红球， b 代表蓝球， c 代表黑球．由加法原理及乘法原理，从 1 个红球和 1 个蓝球中拿出若干个球的全部取法可由 (1＋a)(1＋b)的睁开式 1＋a＋b＋ab 表示出来，如：“1表”示一个球都不取、“a”表示拿出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都拿出来．依此类推，以下各式中，其睁开式中可用来表示从 5 个无区其他红球、 5 个无区其他蓝球、 5 个有区其他黑球中拿出若干个球，且全部的蓝球都拿出或都不拿出的全部取法的是()A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)分析运用加法原理与乘法原理的基本方法(穷举法 )解决．由题意可知：5个无区其他红球拿出若干球可表示为1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5；5个无区其他蓝球都拿出或都不拿出可表示为1＋ b5；5个有区其他黑球拿出若干球可表示为 (1＋c)(1＋c)(1＋c)(1＋c)(1＋c)＝(1＋c)5.由乘法原理可得全部取法可表示为(1＋ a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋ b5) ·(1＋ c)5.应选A.。

高考数学-热点专题专练-专题六-算法、统计、概率、复数测试题-理精品

专题六算法、统计、概率、复数测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z的共轭复数为，若|＝4，则z·＝( )A．4 B．2C．16 D．±2解析设z＝a＋，则z·＝(a＋)(a－)＝a2＋b2.又|＝4，得＝4，所以z·＝16.故选C.答案C2．(2011·湖北)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )A．0.960 B．0.864C．0.720 D．0.576解析K正常工作，概率P(A)＝0.9A1A2正常工作，概率P(B)＝1－P(1)P(2)＝1－0.2×0.2＝0.96∴系统正常工作概率P＝0.9×0.96＝0.864.答案B3．(2011·课标)有3个爱好小组，甲、乙两位同学各自参与其中一个小组，每位同学参与各个小组的可能性相同，则这两位同学参与同一个爱好小组的概率为( )解析古典概型，总的状况共3×3＝9种，满意题意的有3种，故所求概率为P＝＝.答案A4．对变量x，y有观测数据(，)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(，)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以推断( )A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析夹在带状区域内的点，总体呈上升趋势的属于正相关；反之，总体呈下降趋势的属于负相关．明显选C.答案C5．某个容量为100的样本的频率分布直方图如图所示，则在区间[4,5)上的数据的频数为( )A．15 B．20C．25 D．30解析在区间[4,5)的频率/组距的数值为0.3，而样本容量为100，所以频数为30.故选D.答案D6．(2011·辽宁丹东模拟)甲、乙两名同学在五次测试中的成果用茎叶图表示如图，若甲、乙两人的平均成果分别是x甲、x乙，则下列结论正确的是( )A．x甲>x乙；乙比甲成果稳定B．x甲>x乙；甲比乙成果稳定C．x甲<x乙；甲比乙成果稳定D．x甲<x乙；乙比甲成果稳定解析由题意得，x甲＝×(68＋69＋70＋71＋72)＝×350＝70，x乙＝×(63＋68＋69＋69＋71)＝×340＝68，所以x甲>x乙．又＝×(22＋12＋02＋12＋22)＝×10＝2，＝×(52＋02＋12＋12＋32)＝×36＝7.2，所以甲比乙成果稳定．故选B.答案B7．(2012·福建)如图所示，在边长为1的正方形中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率是( )解析由图示可得，图中阴影部分的面积S＝(－x)＝错误!错误!＝错误!－错误!＝，由此可得点P恰好取自阴影部分的概率P＝＝.答案C8．如图所示的流程图，最终输出的n的值是( )A．3 B．4C．5 D．6解析当n＝2时，22>22不成立；当n＝3时，23>32不成立；当n＝4时，24>42不成立；当n＝5时，25>52成立．所以n＝5.故选C.答案C9．正四面体的四个表面上分别写有数字1,2,3,4，将3个这样的四面体同时投掷于桌面上，与桌面接触的三个面上的数字的乘积能被3整除的概率为( )解析将正四面体投掷于桌面上时，与桌面接触的面上的数字是1,2,3,4的概率是相等的，都等于.若与桌面接触的三个面上的数字的乘积能被3整除，则三个数字中至少应有一个为3，其对立事务为“与桌面接触的三个面上的数字都不是3”，其概率是3＝，故所求概率为1－＝.答案C10．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号依次平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是( ) A．5 B．6C．7 D．8解析设第1组抽出的号码为x，则第16组应抽出的号码是8×15＋x＝126，∴x＝6.故选B.答案B11．(2011·杭州市第一次教学质量检测)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则始终发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是( )解析发球次数X的分布列如下表，所以期望解得p>(舍去)或p<，又p>0，故选C . 答案 C12．(2012·济宁一中高三模拟)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ＝，其中A 的各位数中，a 1＝1，(k 可取2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为.记ξ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，ξ的数学期望E(ξ)＝( )解析 ξ＝1，P 1＝40＝， ξ＝2时，P 2＝3·＝， ξ＝3时，P 3＝·2·2＝， ξ＝4时，P 4＝·3＝， ξ＝5时，P 5＝4＝，E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 答案 C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上．13．(2012·广东湛江十中模拟)在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(x ，y)的概率为．解析如图所示，给出的可行域即为正方形与其内部．而所求事务所在区域为一个圆，两面积相比即得概率为.答案14．(2012·山东潍坊模拟)给出下列命题：(1)若z∈C，则z2≥0；(2)若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；(3)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；(4)若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限．其中正确的命题是．解析由复数的概念与性质知，(1)错误；(2)错误；(3)错误，若a＝－1，(a＋1)i＝0；(4)正确，z3＋1＝(－i)3＋1＝i＋1.答案(4)15．(2011·上海)随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份诞生的概率为．(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)解析P＝1－≈0.985.答案0.98516．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的y等于．解析由图中程序框图可知，所求的y是一个“累加的运算”，即第一步是3；其次步是7；第三步是15；第四步是31；第五步是63.答案63三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)某班主任对全班50名学生学习主动性和对待班级工作的看法进行了调查，统计数据如下表所示：是多少？抽到不太主动参与班级工作且学习主动性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习主动性与对待班级工作的看法是否有关系？并说明理由．(参考下表)主动参与班级工作且学习主动性一般的学生有19人，概率为.(2)K2＝＝≈11.5，∵K2>10.828，∴有99.9%的把握说学生的学习主动性与对待班级工作的看法有关系．18．(本小题满分12分)在1996年美国亚特兰大奥运会上，中国香港风帆选手李丽珊以惊人的耐力和斗志，勇夺金牌，为香港体育史揭开了“突破零”的新一页．在风帆竞赛中，成果以低分为优胜．竞赛共11场，并以最佳的9场成果计算最终的名次．前7场竞赛结束后，排名前5位的选手积分如表一所示：表一此时让你预料谁将获得最终的成功，你会怎么看？解由表一，我们可以分别计算5位选手前7场竞赛积分的平均数和标准差，分别作为衡量各选手竞赛的成果与稳定状况，如表二所示．表二就是说，在前7场竞赛过程中，她的成果最为优异，而且表现也最为稳定．尽管此时还有4场竞赛没有进行，但这里我们可以假定每位运动员在各自的11场竞赛中发挥的水平大致相同(实际状况也的确如此)，因此可以把前7场竞赛的成果看做是总体的一个样本，并由此估计每位运动员最终的竞赛的成果．从已经结束的7场竞赛的积分来看，李丽珊的成果最为优异，而且表现最为稳定，因此在后面的4场竞赛中，我们有足够的理由信任她会接着保持优异而稳定的成果，获得最终的冠军．19．(本小题满分12分)(2012·苏州五中模拟)设不等式组错误!表示的区域为A，不等式组错误!表示的区域为B，在区域A中随意取一点P(x，y)．(1)求点P落在区域B中的概率；(2)若x、y分别表示甲、乙两人各掷一次正方体骰子所得的点数，求点P落在区域B中的概率．解(1)设区域A中随意一点P(x，y)∈B为事务M.因为区域A的面积为S1＝36，区域B在区域A中的面积为S2＝18.故P(M)＝＝.(2)设点P(x，y)落在区域B中为事务N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点P(x，y)的个数为36，其中在区域B中的点P(x，y)有21个．故P(N)＝＝.20．(本小题满分12分)某中学部分学生参与全国中学数学竞赛，取得了优异成果，指导老师统计了全部参赛同学的成果(成果都为整数，试题满分120分)，并且绘制了“频率分布直方图”(如图)，请回答：(1)该中学参与本次数学竞赛的有多少人？(2)假如90分以上(含90分)获奖，则获奖率是多少？(3)这次竞赛成果的中位数落在哪段内？(4)上图还供应了其他信息，请再写出两条．解(1)由直方图(如图)可知：4＋6＋8＋7＋5＋2＝32(人)；(2)90分以上的人数为7＋5＋2＝14(人)，∴×100%＝43.75%.(3)参赛同学共有32人，按成果排序后，第16个、第17个是最中间两个，而第16个和第17个都落在80～90之间．∴这次竞赛成果的中位数落在80～90之间．(4)①落在80～90段内的人数最多，有8人；②参赛同学的成果均不低于60分．21．(本小题满分12分)(2012·天津)现有4个人去参与某消遣活动，该活动有甲、乙两个嬉戏可供参与者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地匀称的骰子确定自己去参与哪个嬉戏，掷出点数为1或2的人去参与甲嬉戏，掷出点数大于2的人去参与乙嬉戏．(1)求这4个人中恰有2人去参与甲嬉戏的概率；(2)求这4个人中去参与甲嬉戏的人数大于去参与乙嬉戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参与甲、乙嬉戏的人数，记ξ＝－，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.解依题意，这4个人中，每个人去参与甲嬉戏的概率为，去参与乙嬉戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参与甲嬉戏\”为事务(i＝0,1,2,3,4)，则P()＝4－i.(1)设4个人中恰有2人去参与甲嬉戏的概率为P(A2)P(A2)＝22＝.(2)设“这4个人中去参与甲嬉戏的人数大于去参与乙嬉戏的人数”为事务B，则B＝A3∪A4，由于A3和A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝3＋4＝.所以，这4个人中去参与甲嬉戏的人数大于去参与乙嬉戏的人数的概率为.(3)ξ的全部可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥，A0和A4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A2)＝，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝.所以ξ的分布列是随机变量ξ22．(本小题满分14分)(2012·福建)受轿车在保修期内修理费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保障期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预料今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事务A.则P(A)＝＝.(2)依题意得，X1的分布列为X2的分布列为(3)由(2)得，E(X1)＝1×＋2×＋3×＝＝2.86(万元)，E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．。

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