等差数列前n项和公式及性质PPT课件
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等差数列前n项和公式课件
6
例1 如图，一个堆放铅笔的 V形
架的最下面一层放一支铅笔，往 上每一层都比它下面一层多一支， 最上面一层放120支。这个V形架 上共放着多少支铅笔？
解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅
笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记
为{an},其中 a1=1 , a120=120.根据等差数列前n项 和的公式，得
120 (1120)
S120
2
7 260
答：V形架上共放着 7 260支铅笔。
7
例2 等差数列 10，6，2，2，…前多少项的和是54？
解：设题中的等差数列为{an}，前n项和是 Sn，
则a1= 10，d= 6(10) 4,设 Sn=54， 根据等差数列前 n项和公式，得
10n n(n 1) 4 54 n2 6n 27 0
100个101
所以 2x 101100, x=5050.
这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，…， n，…的前100项的和。
3
下面将对等差数列的前n项和公式进行推导
设等差数列a1,a2,a3,… 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
(m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq
2
问题1：1+2+3+…+100=？
2.3等差数列前n项和公式PPT优秀课件
四、随堂练习
１、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的sn
(1)a１=5,an=95,n=10
s1010(5295)500
(2)a1=100,d=－2,n=50 s505 0105 0 0(2 5 01)2550
(3)a1=14.5,d=0.7,an=32
先由an a1 (n1)d得 3214.5(n4.532) 2
604.5
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
n(n1)
2、(1)求正整数列中前n个数的和； sn 2
(2)求正整数列中前n个偶数的和。 snn(2 22n)n(n1)
3、等差数列5,4,3,2,1,…前多少项的和是－30？ ［前15项］
的前n项和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4
设该数列前n 项和为54
n(n- 1)
根据等差数列前n项和公式：sn =na1+
d 2
有 -10n+n(n-1)?4 54成 立 2
整 理 后 ,得 n2-6n-2 7=0
解得 n1=9, n２=－3(舍去)
21因.05.此201等9 差数列－10,－6江,－西省2赣,2州，一中．刘．利剑．整理前h9eis项hu8的001和01@是1653.4co.m
an=am+(n- m)d
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
一、等差数列前n项和的引入： １、引例：1+2+3+…+100=? 2、高斯的算法：
首项与末项的和：1+100=101,
第2项与倒数第2项的和：2+99=101, 第3项与倒数第3项的和：3+98=101,
等差数列前n项和的公式 PPT
(2)当m+n=p+q时， am+an=ap+aq
1+2+3+…+98+99+100=？
高斯10岁时曾很快算出 这一结果，如何算的呢？
高斯， (1777— 1855） 德国 著名数学家。
我们先看下面的问题。
怎样才能快速 计算出一堆钢管有 多少根呢？
一 二
4+10=14 5+9=14
三 四
6+8=14 7+7=14
1( 2
？首项 + ？尾项 )
？项数
Sn
n(a1 an) 2
以下证明 {an}是等差数列，Sn是前n项和，则
Sn
n(a1 an) 2
证：
Sn= 即Sn=
aa1+n+aa2n-+1+a3an+-2+…+a+a1…ana+-n21+a++na-32++aan-21++aan11
把+得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)
n(n-1)
2
×4 =54
整理得： n 2－6n－27=0
解得： n1=9, n2=－3（舍去）
答： 等差数列－10，－6，－2，2，···前9项的和 是54。
.
例3 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上 每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支. 这个V 形架上共放着多少支铅笔？
多媒体教学课件
等差数列的前n项和ppt课件
02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
定义
等差数列的前n项和是指从第一项到第n项的所有项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和，n表示项数。
等差数列前n项和的公式推导
公式推导
等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中a1是第一项，d是公差。
推导过程
组合数学
等差数列的前n项和在组合数学中 也有广泛应用，例如计算组合数 的公式。
数学分析
在数学分析中，等差数列的前n项 和可用于研究函数的极限、积分 等概念。
在物理中的应用
力学
01
在研究匀加速直线运动时，等差数列的前n项和可用于计算位移、
速度和加速度等物理量。
波动
02
在波动现象中，等差数列的前n项和可用于描述波动方程的解。
等差数列的前n项和
目录
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列的前n项和的求解方法 • 等差数列的前n项和的应用 • 习题与解答
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
定义
等差数列是一种常见的数列，其中任 意两个相邻项的差是一个常数，这个 常数被称为公差。
数学表达
对于等差数列 {a_n}，如果每一项满 足 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 d 是公 差，则该数列为等差数列。
详细描述
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1) * d，其中d是公差。通过通项公式，我们可以 推导出前n项和的表达式为Sn = n/2 * [2a1 + (n-1) * d]，从而求出前n项和。
04
等差数列的前n项和的应用
等差数列前n项求和ppt
公式理解
01
公式意义
等差数列的前n项和公式表示等 差数列前n项的和，其中首项为 a1，公差为d，项数为n。
公式结构
02
03
公式参数
公式由首项、公差、项数和求和 符号组成，反映了等差数列的特 性。
首项a1表示等差数列的第一项， 公差d表示相邻两项的差，项数n 表示等差数列的项数。
公式应用
应用场景一
等差数列前n项求和
目录
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列求和的常见方法 • 等差数列求和的实际应用 • 等差数列求和的注意事项
01
等差数列的定义与性质
定义
总结词
等差数列是一种常见的数列，其特点是任意两个相邻项的差是一个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的整数集合，其中任意两个相邻项的差都等于一个常数，这个常数被称为公差。等差数列的 一般形式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是第一项，d 是公差。
02
等差数列的前n项和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将前n项和表示为n/2乘以首项与末项的平均值，再利用等差数列的通项公式， 推导出前n项和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的求和公式，将前n项和表示为首项与末项的和乘以项数再除以2，同样利用等差数列的通 项公式，推导出前n项和公式。
日常生活中的应用
购物清单
在购物时，等差数列求和公式可用于计算购 物清单中商品的总价，以便快速计算出总花 费。
工资计算
在工资计算中，等差数列求和公式可用于计算工资 总额，以便计算税款和扣除项。
日常理财
在理财中，等差数列求和公式可用于计算定 期存款、基金定投等理财产品的收益。
等差数列的前n项和公式的性质及应用 课件
因为 S2k＝2ka1＋12×2k(2k－1)d＝8a1＋42，
所以 8a1＋42＝54，故 a1＝32，
所以此数列的首项是32，公差是32，项数为 8.
法二：设此数列的首项为 a1，公差为 d，项数为 2k(k∈N*)，
S奇＝24， 根据题意，得S偶＝30，
a2k－a1＝221，
12ka1＋a2k－1＝24， 即12ka2＋a2k＝30，
和 30，最后一项与第一项之差为221，求此数列的首项、公差以及项数． [解析] 法一：设此数列的首项为 a1，公差为 d，项数为 2k(k∈N*)，
S奇＝24， 由已知得S偶＝30，
a2k－a1＝221，
S偶－S奇＝6， 所以a2k－a1＝221，
kd＝6，
k＝4，
即2k－1d＝221， 解得d＝32.
②若项数为 2n－1，则 S2n－1＝(2n－1)an(an 为中间项)且 S 奇－S 偶＝ an ， n－1
SS偶 奇＝___n____.
(3)若 Sn 为数列{an}的前 n 项和，则{an}为等差数列等价于Snn是等差 数列． (4)若{an}、{bn}都为等差数列，Sn、Sn′为它们的前 n 项和，则abmm＝ SS′2m2－ m1－1. (5)项数(下标)的“等和”性质： Sn＝na12＋an＝nam＋2an－m＋1.
()
A．130
B．65
C．70
D．以上都不对
解析：S13＝a1＋2 a13×13＝a5＋2 a9×13＝130.
答案：A
3．已知某等差数列共 20 项，其所有项和为 75，偶数项和为 25，则
公差为( )
A．5
B．－5
C．－2.5
D．2.5
等差数列的前n项和PPT优秀课件1
（2）100元“零存整取”的月利息为 100×1.725‰=0.1725（元）， 存3年的利息是
0.1725×(1+2+3+……+36)=114.885(元)， 因此李先生多收益
179.82－114.885×(1－20%)=87.912元.
答：李先生办理“教育储蓄”比“零存整 取”多收益87.912元
解：（1）100元“教育储蓄”存款的月利息是 100×2.7‰=0.27（元）， 第1个100元存36个月，得利息0.27×36（元）; 第2个100元存35个月，得利息0.27×35（元）; ………… 第36个100元存1个月，得利息0.27×1（元），
此时李先生获得利息
0.27×(1+2+3+……+36)=179.82(元)， 本息和为3600+179.82=3779.82元；
解 得 30AB2
S 3 0 9 0 0 A 3 0 B 3 0 ( 3 0 A B ) 6 0
解法三： 设a1+a2+……+a10=A， a11+a12+……+a20=B，
a21+a22+……+a30=C， 则A，B，C成等差数列， 且A=10，A+B=30, 解得B=20，
2.2.2等差数列的前n项和
如图堆放一堆钢管，最上一层放了4根， 下面每一层比上一层多放一根，共8层，这 堆钢管共有多少根？
这堆钢管从上到下的数 量组成一个等差数列。
其中a1=4，公差d=1. 最下一层中a8=11。
即求4+5+6+……+11=?
我们设想，在这堆钢管旁，如图所示堆放同 样数量的钢管，这时每层都有钢管(4+11)根.
PPT教学课件等差数列的前n项和公式_1
2Sn n(a1 an )
于是有：S n
n(a1 an ) 2
.这就是倒序相加法.
思路三：
受思路二的启发，重新调整思路一，可得
2Sn n[a1 a1 (n 1)d ]，
于是 S n
na1
n(n 1) 2
d.
于是得到了两个公式：Sn
n(a1 2
an )和
Sn
na1
n(n 1) 2
(2)晨昏线(圈)所在平面始终与太阳光线垂 直。
(3)在地表表现为自东向西运动，速度为 15°/小时，与地球自转方向相反。 (4)在二分日时，与经线圈重合。在二至日 时与南北极圈相切。
(5)在日照图上，判断晨线与昏线的方法，一 是根据地球自转方向判断：顺着地球自转方 向，由昼半球过渡到夜半球的分界线是昏线， 由夜半球过渡到昼半球的分界线是晨线。二 是根据昼、夜半球判断：位于昼半球西部边 缘与夜半球的分界线为晨线，位于昼半球东 部边缘与夜半球的分界线为昏线。如图所示：
(6)永远平分赤道即赤道上永远昼夜平分， 晨线与赤道的交点地方时永远是6时，昏线 与赤道的交点地方时永远是18时。 2．产生时差 (1)原因：由于地球自西向东自转，如图， 同纬度的甲、乙相比，_乙____相对位置偏东， 见到日出时刻较早。
(2)地方时 ①判断：图中甲、乙、丙中，_甲___、_丙__位 于同一条经线上，地方时__相__同____。 ②计算：图中甲与丁经度相隔_6_0_°__，地方 时相差_4___小时，按“东加西减”原则计算， 丁地地方时为6时，则甲地为_2___时。 (3)时区与区时 ①时区：全球划分为24个时区，每时区 _跨__经__度__1_5_°___。 ②区时：每个时区_中__央______经线的地方时 即为该时区的标准时。
于是有：S n
n(a1 an ) 2
.这就是倒序相加法.
思路三：
受思路二的启发，重新调整思路一，可得
2Sn n[a1 a1 (n 1)d ]，
于是 S n
na1
n(n 1) 2
d.
于是得到了两个公式：Sn
n(a1 2
an )和
Sn
na1
n(n 1) 2
(2)晨昏线(圈)所在平面始终与太阳光线垂 直。
(3)在地表表现为自东向西运动，速度为 15°/小时，与地球自转方向相反。 (4)在二分日时，与经线圈重合。在二至日 时与南北极圈相切。
(5)在日照图上，判断晨线与昏线的方法，一 是根据地球自转方向判断：顺着地球自转方 向，由昼半球过渡到夜半球的分界线是昏线， 由夜半球过渡到昼半球的分界线是晨线。二 是根据昼、夜半球判断：位于昼半球西部边 缘与夜半球的分界线为晨线，位于昼半球东 部边缘与夜半球的分界线为昏线。如图所示：
(6)永远平分赤道即赤道上永远昼夜平分， 晨线与赤道的交点地方时永远是6时，昏线 与赤道的交点地方时永远是18时。 2．产生时差 (1)原因：由于地球自西向东自转，如图， 同纬度的甲、乙相比，_乙____相对位置偏东， 见到日出时刻较早。
(2)地方时 ①判断：图中甲、乙、丙中，_甲___、_丙__位 于同一条经线上，地方时__相__同____。 ②计算：图中甲与丁经度相隔_6_0_°__，地方 时相差_4___小时，按“东加西减”原则计算， 丁地地方时为6时，则甲地为_2___时。 (3)时区与区时 ①时区：全球划分为24个时区，每时区 _跨__经__度__1_5_°___。 ②区时：每个时区_中__央______经线的地方时 即为该时区的标准时。
等差数列前n项和性质上课用ppt课件
等差数列的性质应用：
例、已知一个等差数列的总项数为奇数， 且奇数项之和为77，偶数项之和为 66，求中间项及总项数。
解：由 S奇 S偶 中间项
得中间项为11 又由 S奇 S偶 143 得 n 13
等差数列{an}前n项和的性质的应用
例6.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分
别是Sn和Tn,且 Sn 7n 1
13a1+13×6d<0
24 d 3 7
(2)
∵
Sn
na1
1 2
n(n 1)d
1
n(12 2d ) n(n 1)d
2
d n2 (12 5d )n
2
2 5 12
∴Sn图象的对称轴为 n
由(1)知 24 7
d
3
2d
∴Sn有最大值.
由上得 6 5 12 13 即 6 n 13
A.63 B.45 C.36 D.27
例3.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且
a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=A( )
A.85 B.145 C.110 D.90
等差数列的性质应用：
例4、已知等差数列an 的前10项之和
为140，其中奇数项之和为125 ， 求第6项。
前n项的和分别为Sn和Tn,则
an bn
S2n1 T2 n 1
等差数列的性质应用：
例1、已知一个等差数列前n项和为25， 前2n项的和为100，求前3n项和。
3.等差数列{an}前n项和的性质的应用 例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若
S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B)
等差数列的前n项求和公式ppt课件
由等差数列的性质 即
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
2Sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
Sn=n(a1+an)/2
5
如果代入等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，Sn也可 以用首项a1和公差d表示，即 Sn=na1+n(n-1)d/2 所以，等差数列的前n项求和公式是
-------方程、函数思想 3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个 -------知三求二
15
A组2、4、5
16
谢谢观赏
17
S
n
n a1 a n 2
或
S
n
n a1
n n 1 d 2
6
例题
例1
54？
等差数列-10，-6，-2， 2，…前多少项的和是
例2
已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前 20项的和是1220 .求等差数列的前n项和的公式
例3
求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且m<100}的元素 个数, 并求这些元素的和.
8a 52 d n 2 14n nn 1 d S na d
a
n 1
13 d 0 d 0 2
2
2
解2： S3 S11
即 n=7
a1 0
由等差数列构成的函数图象，可知 n=（3+11）/2=7时，Sn最大
12
an 例8.等差数列 的前项n和S n，且a3 12 ，S12 0, S13 0
等差数列的前n项和公式的性质
2
例 3. 项数为奇数的等差数列{an }，奇数项之和为 44，偶数项之和为
33，求这个数列的中间项及项数．
解：设等差数列{an}共有(2n＋1)项，则奇数项有(n＋1)项，偶数项
有 n 项，中间项是第(n＋1)项，即 an＋1，
1
S奇 2a1＋a2n＋1n＋1 n＋1an＋1 n＋1 44 4
解法1: 由S3=S11, 得
1
1
3 13 3 2 d 1113 1110 d
2
2
∴ d=－2
1
Sn 13n n(n 1) (2)
2
n2 14n
( n 7)2 49
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法2: 由S3=S11, 得d=－2<0
=
5+2
，则
+3
10n 3
67
7
=_______；
=_______；
2n 2
18
8
课堂小结
等差数列的前n项和公式的性质
性质1：数列{an}是等差数列⟺Sn=An2+Bn (A,B为常数)
Sn
性质2: 若数列{an}是公差为d的等差数列, 则数列 也
d
n
是等差数列, 且公差为 2 .
当m=n时，公式变化？
an S 2 n 1
bn T2 n1
例 4.已知{an},{bn}均为等差数列，其前 n 项和分别为 Sn,
5
a5
Sn 2n＋2
Tn，且T ＝
，则b ＝________.
3
n
5
n＋3
变式1. 若
例 3. 项数为奇数的等差数列{an }，奇数项之和为 44，偶数项之和为
33，求这个数列的中间项及项数．
解：设等差数列{an}共有(2n＋1)项，则奇数项有(n＋1)项，偶数项
有 n 项，中间项是第(n＋1)项，即 an＋1，
1
S奇 2a1＋a2n＋1n＋1 n＋1an＋1 n＋1 44 4
解法1: 由S3=S11, 得
1
1
3 13 3 2 d 1113 1110 d
2
2
∴ d=－2
1
Sn 13n n(n 1) (2)
2
n2 14n
( n 7)2 49
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法2: 由S3=S11, 得d=－2<0
=
5+2
，则
+3
10n 3
67
7
=_______；
=_______；
2n 2
18
8
课堂小结
等差数列的前n项和公式的性质
性质1：数列{an}是等差数列⟺Sn=An2+Bn (A,B为常数)
Sn
性质2: 若数列{an}是公差为d的等差数列, 则数列 也
d
n
是等差数列, 且公差为 2 .
当m=n时，公式变化？
an S 2 n 1
bn T2 n1
例 4.已知{an},{bn}均为等差数列，其前 n 项和分别为 Sn,
5
a5
Sn 2n＋2
Tn，且T ＝
，则b ＝________.
3
n
5
n＋3
变式1. 若
等差数列的前n项和公式的性质ppt课件
可编辑课件
22
『变式探究』
1．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足 an＋2－2an＋1＋an＝0，n∈N*. (1)求数列{an}的通项； (2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.
解析：(1)由an＋2－2an＋1＋an＝0得，2an＋1＝an＋an＋2，
所以数列{an}是等差数列，d＝ a 4 a 1 = －2，
Sna 1a 2a 5(a 6a 7a n) (a 1a 2a 3a n)2 (a 1a 2a 5)
n 9n40 Sn＝2－25＋9·5＋n－52＋2 2n－10＝n2－9n＋40.
由①，②可得
Sn＝－n2－n2＋9n＋9n，40，
1≤n≤5 n≥6
可编辑课件
，n∈N*.
24
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可编辑课件
25
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且
Sn Tn
7n 2 n3
，则
a5 b5
65 12
.
可编辑课件
13
『变式探究』
1.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和
Bn，且
An Bn
7n 45，则使得 n3
a b
n n
为整数的正整数n的
个数是( D )
A．2
B．3
C．4
D．5
可编辑课件
14
【题型分类 深度剖析】
题型1：等差数列前n项和性质的简单应用
一般地若数列abn那么数列a为等差数列那么是什么数列为等差数列即等差数列a项的平均值组成的数列仍然是等差数列且公差是数列aa0b2011201120112009200720092007知识探究二等差数列前n项和的性质思考1
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n(n 1) Sn= na1 2 d .
质疑探究:(1)等差数列前 n 项和是用什么方法 得出的? (在推导等差数列前 n 项和时,充分利用等差数 列性质 a1+an=a2+an-1=… =ai+an-i+1(i=1,2,…,n-1)
Sn Sn
a1 an
a2 L an1 L
an a1
试一试:(1)已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该
数列的前 9 项和 S9 等于( C )
(A)18 (B)27 (C)36 (D)45
(2)已知数列{an}中,a1=-7,an+1=an+2,则 a1+a2+…
+a17=
.
解析:(1)∵a1+a9=a2+a8=8,
∴S9= 9(a1 a9 ) = 9 8 =36.故选 C.
跟踪训练 1-1:(1)已知 a1=14.5,an=32,Sn=604.5, 求 n. (2)已知 Sn=m,Sm=n,其中 m≠n,m,n∈N*,求 Sm+n. (3)已知 an=11,Sn=35,d=2,求 a1,n.
解:(1)已知 a1=14.5,an=32,Sn=604.5,
n(14.5 32)
2
(3)由已知得
naa11
2n 1 11, n n 1 35,
解得
an1
3, 5
或
an1
1, 7.
等差数列前 n 项和性质的
应用
【例 2】 (12 分)一等差数列共有偶数项,且奇 数项之和与偶数项之和分别为 24 和 30,最后一 项与第一项之差为 10.5,求此数列的首项、公差 以及项数.
等差数列前 n 项和公式
你知道高斯是怎样求和的吗? (1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+… +(50+51)=101×50=5050)
如果等差数列{an}的首项为 a1,公差
为 d,第 n 项为 an,则前 n 项和 Sn= n(a1 an ) , 2
若将前 n 项和用 a1,d,n 表示,可表示成
2 13
得 n=10,n= (舍去).
3
(2)S31= (a1 a31) ·31=a16·31=3×31=93. 2
已知等差数列的五个量 a1、d、an、n、 Sn 的任意三个求其他两个量时,常用的思想方法是 什么?(一般需建立方程(组),在求解过程中通常 用到代入消元法或加减消元法.同时要注意等差 数列的性质和整体代入思想的应用)
名师导引:(1)已知 d、an、Sn,求 n 还需知道什 么量?(需知 a1 的值,代入前 n 项和公式
Sn= n(a1 aห้องสมุดไป่ตู้ ) 求解) 2
(2)由 a16 怎么求 S31?(S31=31a16)
解:(1)d=3,an=20,Sn=65,
由 Sn= n(a1 an ) ,得 2
65= n 20 3 n 1 20 .
名师导引:有了等差数列的奇数项之和与偶 数项之和的值及最后一项与第一项之差,要 求 a1,d,n 应怎样应用条件求解?(法一:设数 列的项 n=2k(k∈N*),由 S 偶-S 奇=kd 及 an-a1=(2k-1)d 建立方程组求解. 法二:根据等差数列中的奇数项依次仍成等 差数列,偶数项依次仍成等差数列可求解)
2
2
(2)由题意得 an+1-an=2,
∴数列{an}是公差为 2 的等差数列, 又 a1=-7,
17 16
∴a1+a2+…+a17=17×(-7)+
×2=153.
2
答案:(1)C (2)153
等差数列的前 n 项和的基本
运算
【例 1】 在等差数列{an}中, (1)d=3,an=20,Sn=65,求 n; (2)已知 a16=3,求 S31.
解:法一 设此数列首项为 a1,公差为 d,项数为 2k(k∈N*), 由已知得
两式相加得 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…
+(an+a1)=n(a1+an),故 Sn= n(a1 an ) .这是一 2
种重要的思想方法,通常称为倒序相加法)
(2)等差数列的前 n 项和公式的两种形式
Sn= n(a1 an ) =na1+ 1 n(n-1)d,在具体应用时,应
∴604.5=
,解得 n=26.
2
nn 1
(2)由已知得
m na1 n ma1 m
2 m 2
d,
1
d,
m n 1
两式相减得 a1+
d=-1.
2
n(n 1)
再由 Sn=na1+
d 可得
2
m nm n 1
Sm+n=(m+n)a1+
d
2
m n 1
=(m+n)(a1+
d)=-(m+n).
前 n 项和公式
Sn= n(a1 an ) =na1+ 1 n(n-1)d,可以看
2
2
到等差数列中的五个量 a1,an,d,n,Sn,已知
其中的任意三个,可求出剩余的两个)
(4)在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,… 之间有什么关系? (在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成 等差数列,公差为 n2d)
2
2
采取哪种形式运算比较合理?
(在求等差数列的和时,一般地,若已知首项 a1 及末
项 an,用公式 Sn= n(a1 an ) 较好,若已知首项 a1 2
n n 1
及公差 d,用公式 Sn=na1+
d 较好)
2
(3)如何理解等差数列{an}中五个量
a1,an,n,d,Sn 之间的关系?
(由等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 和
2.2 等差数列的前 n 项和 第一课时 等差数列前 n 项
和公式及性质
【课标要求】
1.通过实例了解等差数列前 n 项和公式的推导 过程. 2.理解等差数列前 n 项和公式推导所体现的数 学思想. 3.掌握等差数列前 n 项和公式,会应用公式解 决等差数列问题.
栏
目
课前预习
导 航
课堂探究
【实例】 近代数学奠基者之一,德国数学家、物理学 家、天文学家、大地测量学家高斯,与阿基米德、牛 顿、欧拉并列为历史上最伟大的数学家.人们用天才、 早熟、高产、创造力不衰、数学王子等称赞高斯是“人 类的骄傲”,爱因斯坦也说:“高斯对于近代物理学的 发展,尤其是对于相对论的数学基础所作的贡献,其 重要性是超越一切,无与伦比的.”传说高斯 3 岁便能 纠正他父亲的借债账目问题,10 岁时用很短的时间算 出老师布置的任务:对自然数 1 到 100 求和.
质疑探究:(1)等差数列前 n 项和是用什么方法 得出的? (在推导等差数列前 n 项和时,充分利用等差数 列性质 a1+an=a2+an-1=… =ai+an-i+1(i=1,2,…,n-1)
Sn Sn
a1 an
a2 L an1 L
an a1
试一试:(1)已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该
数列的前 9 项和 S9 等于( C )
(A)18 (B)27 (C)36 (D)45
(2)已知数列{an}中,a1=-7,an+1=an+2,则 a1+a2+…
+a17=
.
解析:(1)∵a1+a9=a2+a8=8,
∴S9= 9(a1 a9 ) = 9 8 =36.故选 C.
跟踪训练 1-1:(1)已知 a1=14.5,an=32,Sn=604.5, 求 n. (2)已知 Sn=m,Sm=n,其中 m≠n,m,n∈N*,求 Sm+n. (3)已知 an=11,Sn=35,d=2,求 a1,n.
解:(1)已知 a1=14.5,an=32,Sn=604.5,
n(14.5 32)
2
(3)由已知得
naa11
2n 1 11, n n 1 35,
解得
an1
3, 5
或
an1
1, 7.
等差数列前 n 项和性质的
应用
【例 2】 (12 分)一等差数列共有偶数项,且奇 数项之和与偶数项之和分别为 24 和 30,最后一 项与第一项之差为 10.5,求此数列的首项、公差 以及项数.
等差数列前 n 项和公式
你知道高斯是怎样求和的吗? (1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+… +(50+51)=101×50=5050)
如果等差数列{an}的首项为 a1,公差
为 d,第 n 项为 an,则前 n 项和 Sn= n(a1 an ) , 2
若将前 n 项和用 a1,d,n 表示,可表示成
2 13
得 n=10,n= (舍去).
3
(2)S31= (a1 a31) ·31=a16·31=3×31=93. 2
已知等差数列的五个量 a1、d、an、n、 Sn 的任意三个求其他两个量时,常用的思想方法是 什么?(一般需建立方程(组),在求解过程中通常 用到代入消元法或加减消元法.同时要注意等差 数列的性质和整体代入思想的应用)
名师导引:(1)已知 d、an、Sn,求 n 还需知道什 么量?(需知 a1 的值,代入前 n 项和公式
Sn= n(a1 aห้องสมุดไป่ตู้ ) 求解) 2
(2)由 a16 怎么求 S31?(S31=31a16)
解:(1)d=3,an=20,Sn=65,
由 Sn= n(a1 an ) ,得 2
65= n 20 3 n 1 20 .
名师导引:有了等差数列的奇数项之和与偶 数项之和的值及最后一项与第一项之差,要 求 a1,d,n 应怎样应用条件求解?(法一:设数 列的项 n=2k(k∈N*),由 S 偶-S 奇=kd 及 an-a1=(2k-1)d 建立方程组求解. 法二:根据等差数列中的奇数项依次仍成等 差数列,偶数项依次仍成等差数列可求解)
2
2
(2)由题意得 an+1-an=2,
∴数列{an}是公差为 2 的等差数列, 又 a1=-7,
17 16
∴a1+a2+…+a17=17×(-7)+
×2=153.
2
答案:(1)C (2)153
等差数列的前 n 项和的基本
运算
【例 1】 在等差数列{an}中, (1)d=3,an=20,Sn=65,求 n; (2)已知 a16=3,求 S31.
解:法一 设此数列首项为 a1,公差为 d,项数为 2k(k∈N*), 由已知得
两式相加得 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…
+(an+a1)=n(a1+an),故 Sn= n(a1 an ) .这是一 2
种重要的思想方法,通常称为倒序相加法)
(2)等差数列的前 n 项和公式的两种形式
Sn= n(a1 an ) =na1+ 1 n(n-1)d,在具体应用时,应
∴604.5=
,解得 n=26.
2
nn 1
(2)由已知得
m na1 n ma1 m
2 m 2
d,
1
d,
m n 1
两式相减得 a1+
d=-1.
2
n(n 1)
再由 Sn=na1+
d 可得
2
m nm n 1
Sm+n=(m+n)a1+
d
2
m n 1
=(m+n)(a1+
d)=-(m+n).
前 n 项和公式
Sn= n(a1 an ) =na1+ 1 n(n-1)d,可以看
2
2
到等差数列中的五个量 a1,an,d,n,Sn,已知
其中的任意三个,可求出剩余的两个)
(4)在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,… 之间有什么关系? (在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成 等差数列,公差为 n2d)
2
2
采取哪种形式运算比较合理?
(在求等差数列的和时,一般地,若已知首项 a1 及末
项 an,用公式 Sn= n(a1 an ) 较好,若已知首项 a1 2
n n 1
及公差 d,用公式 Sn=na1+
d 较好)
2
(3)如何理解等差数列{an}中五个量
a1,an,n,d,Sn 之间的关系?
(由等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 和
2.2 等差数列的前 n 项和 第一课时 等差数列前 n 项
和公式及性质
【课标要求】
1.通过实例了解等差数列前 n 项和公式的推导 过程. 2.理解等差数列前 n 项和公式推导所体现的数 学思想. 3.掌握等差数列前 n 项和公式,会应用公式解 决等差数列问题.
栏
目
课前预习
导 航
课堂探究
【实例】 近代数学奠基者之一,德国数学家、物理学 家、天文学家、大地测量学家高斯,与阿基米德、牛 顿、欧拉并列为历史上最伟大的数学家.人们用天才、 早熟、高产、创造力不衰、数学王子等称赞高斯是“人 类的骄傲”,爱因斯坦也说:“高斯对于近代物理学的 发展,尤其是对于相对论的数学基础所作的贡献,其 重要性是超越一切,无与伦比的.”传说高斯 3 岁便能 纠正他父亲的借债账目问题,10 岁时用很短的时间算 出老师布置的任务:对自然数 1 到 100 求和.