新北师大版八年级上数学勾股定理知识点+对应练习
北师大版八年级数学上册勾股定理练习题
第一章勾股定理
第1课时认识勾股定理
1．若△ABC中，∠C=90°，
（1）若a=5，b=12，则c= ；
（2）若a=6，c=10，则b= ；
（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .
2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为.
3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为.
4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）.
A．30 cm2
B．130 cm2
C．120 cm2
D．60 cm2
5．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.
6．一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？
7．折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处， 若AB =8 cm ，BC =10 cm ，求EC 的长.
第2课时 验证勾股定理
1.在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？ 它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=5
2.
（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？
（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC 的两条直角边的长分别为AC =7，BC =4，请你研究这个直角三角形的斜边AB 的长的平方是否等于42+72？
北师大版八年级数学上册《勾股定理》分类练习(含详细解析)
1981-1-2勾股定理分类练习
一 .基础练习 1. 写出几组常见勾股数： 3,4,5 6,8,10 5,12,13 2.在Rt△ABC 中，∠C=90，a.b.c 为三角形的三边长， ①已知a=5,b=12,则c= 13 ② 已知a=15,c=17,则b= 8 3.在Rt△ABC 中，a.b.c 为三角形的三边长，已知a=3,b=4,则c 2 = 25 或7
4.在Rt△ABC 中，∠C=90，a.b.c 为三角形的三边长，已知
a:b=3:4,c=10 则 a= 6 b= 8 斜边上的高= 4.8 5.正方形的面积为18 ,则正方形对角线长为 6 cm 6.在ABC 中，∠C=90°，若AB=5，AB 2+AC 2+BC 2= 50 . 7.木工做一个长方形桌面，量的桌面的长为60cm ，宽为32cm ，对角线为68cm,这个桌面 （填“合格”或“不合格”）
8.有六根细木棒，它们的长分别是2,4,6,8,10,12（单位：cm ）
收尾连接能搭成直角三角形的三根细木棒分别
是 。6，8，10
9.如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2， 则OD 2
7
10.将直角三角形的三边长扩大相同的倍数后，得到的三角形 （ ） A ．直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上都不对 11. 在Rt△ABC 中，∠C=90，若a+b=14,c=10,则Rt△ABC 的面积为 。
解析：由a+b=14 得（a+b ）2=142,所以a 2+2ab+b 2=196 因为a 2+b 2=102，所以ab=48
北师大版八年级上册数学[勾股定理(提高版)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版八年级上册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
勾股定理（提高）
【学习目标】
1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；
2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；
3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．
【要点梳理】
要点一、勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222
a b c +=．
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长
可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的
目的．
（3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()2
22c a b ab =+-．
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以． 要点三、勾股定理的作用
1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3． 与勾股定理有关的面积计算；
4．勾股定理在实际生活中的应用．
【典型例题】 类型一、与勾股定理有关的证明 1、在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 延长线上的点，求证：
【答案与解析】
八年级数学上册 第一章 勾股定理知识点与常见题型总结及练习 (新版)北师大版
第1章 勾股定理
一．知识归纳 1．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么2
2
2
a b c +=
勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五〞形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH
S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，221
4()2
ab b a c ⨯+-=，化简可证．
c
b
a
H
G F E
D
C
B
A
方法二：
b
a
c
b
a
c c
a
b
c
a
b
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221
422S ab c ab c =⨯+=+
大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=
方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，211
2S 222
ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证
a b
c
c b
a
E D C
B
A
3.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角
北师大版八年级(上)数学《勾股定理》专题复习(含答案)
第一章《勾股定理》专项练习
专题一：勾股定理
考点分析：
勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和简单的解答题典例剖析
例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件
平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算
两圆孔中心A和B的距离为______mm．
（2）如图2，直线l上有三个正方形a b c
，，，若
的面积分别为5和11，则b的面积为（）
A．4 B．6
C．16 D．55
分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．
解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得：
AB2=902+1202=22500，所以AB=150（mm）
（2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C．
点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边，求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．
例2．如图3，正方形网格的每一个小正
方形的边长都是1，试求
122424454
A E A A E C A E C
++
∠∠∠的度数．
解：连
32
A E．
32122222
A A A A A E A E
==
，，
322122
90
A A E A A E
∠=∠=，
322122
Rt Rt
A A E A A E
∴△≌△（SAS）．
322122
A E A A E A
∴∠=∠．
由勾股定理，得：
4532
C E C E
===，
4532
A E A E
===，
图2
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
5
E
2
E
1
1
1
1
4
C
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
5
E
2
E
北师大版八年级上册数学[勾股定理全章复习与巩固(提高版)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版八年级上册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
《勾股定理》全章复习与巩固（提高）
【学习目标】
1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；
2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；
3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、勾股定理
1.勾股定理：
直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222
a b c +=）
2.勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；
（3）解决与勾股定理有关的面积计算；
（4）勾股定理在实际生活中的应用．
要点二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：
应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；
（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：
若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；
若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形；
若222
a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．
2.勾股数
满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.
要点诠释：
常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题
c
b
a
D C
A B
第一章 勾股定理
学问点一：勾股定理定义
画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为5和12的直角△ABC ，量AB 的长
发觉32+42及52的关系，52+122和132的关系，对于随意的直角三角形也有这特性质吗？
直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2＝c 2
）
1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；
⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（给出证明） ⑷三边之间的关系： 。 学问点二：验证勾股定理
学问点三：勾股定理证明（等面积法）
例1。已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
证明：
A
C
B
D
例2。已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2
＋b 2
=c 2
。
证明：
学问点四：勾股定理简洁应用 在Rt △ABC 中，∠C=90°
(1) 已知：a=6, b=8，求c (2) 已知：b=5，c=13，求a
学问点五：勾股定理逆定理
假设三角形的三边长为c b a ,,，满意222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ）
②计算2c 及22a b +，并验证是否相等。 若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。
新北师大版八年级上学期勾股定理同步练习题
新北师大版八年级上学期
《第一章勾股定理》同步练习题
一、选择题
1.如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行．若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是【】A．6 B．7 C．8 D．9
2.如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心．一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走的最短路程是平【】
A.40cm B．202cm C．20cm D ．102 cm
3.如图，在△ABC中，∠A=90°，P是BC上一点，且DB=DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，
PF⊥DC于F，已知：AD：DB=1：3，BC=46，则PE+PF的长是【】
A．46B．6 C．42D．26
4.点P在等腰Rt△ABC的斜边AB所在直线上，若记：k=AP2+BP2，则【】A.满足条件k ＜2CP2的点P有且只有一个 B.满足条件k＜2CP2的点P有无数个 C.满足条件k=2CP2的点P有有限个 D.对直线AB上的所有点P，都有k=2CP2
5.如图，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S
1、S
2
、S
3
，则S
1
、S
2
、S
3
之间的关
系是【】A．S
l +S
2
＞S
3
B．S
l
+S
2
＜S
3
C．S
1
+S
2
=S
3
D．S
1
2+S
2
2=S
3
2
6.如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是【】A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
北师大版八年级数学上册 勾股定理的应用同步练习题
勾股定理的应用同步练习题
一、【基础知识精讲】
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即：c 2=a 2+b 2(c 为斜边)。 2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有下面关系：a 2+b 2= c 2，
那么这个三角形是直角三角形。
注意：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。
二、【例题精讲】
例1：如图：有一个圆柱，它的高为12厘米，底面半径为3厘米，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面相对的B 点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（∏的取值为3）
例2：如图有一个三级台阶，每级台阶长、宽、高分别为2米、0.3米0.2米，A 处有一只蚂蚁，它想吃到B 处食物，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？并求出最短的线路长。
例3：古代数学著作《九章算术》中记载了如下一个问题：有一个水池，水面的边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
三、【同步练习】A组
1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向
东行走.1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进.上午10∶00，甲、乙两人相距多远？
2.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插
入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？
3．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是多少。
北师大版八年级(上)数学《勾股定理的应用》课堂练习(含答案)
1.3 勾股定理的应用
1．若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定仍然是勾股数的是（）A．a+1，b+1，c+1 B．a2，b2，c2
C．2a，2b，2c D．a－1，b－1，c－1
你能否再多写几组勾股数，从这些勾股数中，你能发现什么规律？
2．如图1，有一个底面半径为6cm，高为24cm的圆柱，在圆柱下底面的点A 有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物后再返回到A点处休息，请问它需爬行的最短路程约是多少？（π取整数3）
3．有一个长宽高分别为2cm，1cm，3cm的长方体，如图2，有一只小蚂蚁想从点A爬到点C1处，请你帮它设计爬行的最短路线，并说明理由．
4．在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？
参考答案
1．C若a，b，c为一组勾股数，那么ka，kb，kc（k≠0，k为常数）也是勾股数．
2．解：如下图：将圆柱沿着过A点的高AC剪开，并将侧面展开．
1·2πr=π·r≈18（cm）
则AC=24cm，BC=
2
∴在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=242+182，∴AB=30（cm）
∴它最短的爬行路程约为30×2=60（厘米）
3．（1）当蚂蚁在侧面A1ABB1和侧面B1BCC1上爬行时，爬行的最短路线的长设为d1，则d12=（2+1）2+32=18
（2）当蚂蚁在侧面A1ABB1和上底面A1B1C1D1上爬行时，由A到C1的最短路线的长设为d2，则d22=22+（3+1）2=20
初二数学上册知识点.复习及配套练习(新北师大版本)
.
新北师大版八年级数学上册知识
点复
习
第一章勾股定理
1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即 2 2 2
a b c 。
2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。
2 2 2
3．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足
a b c ，那么这个三角形是
2 2 2
直角三角形。满足
a b c 的三个正整数称为勾股数。
第二章实数
1．平方根和算术平方根的概念及其性质：
（1）概念：如果 2
x a，那么x 是a 的平方根，记作： a ；其中 a 叫做a 的算术平方根。
（2）性质：①当a≥0 时， a ≥0；当a ＜０时， a 无意义；②
2
a ＝a ；③ 2
a a 。
2．立方根的概念及其性质：
（1）概念：若（2）性质：①
3
3 a ；x a ，那么x 是a 的立方根，记作：
3
3 a3 a ；② 3 a a；③ 3 a ＝ 3 a
3．实数的概念及其分类：
（1）概念：实数是有理数和无理数的统称；
（2）分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零
。无理数就
是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。
4．与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意
义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。
a a
5．算术平方根的运算律：（a ≥0，b ≥0）；（a ≥0，b ＞0）。
北师大版八年级上册数学《勾股定理》必考题型专题练习
北师大版八年级上册数学《勾股定理》必考题型专题练习
1.判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长.
（1）8，15，17；（2）7，12，15；
（3）12，15，20；（4）7，24，25．
2. 蚂蚁沿图中所示的折线由点A爬到了点D，蚂蚁一共爬行了多少厘米？（图中小方格的边长代表1厘米）
3. 一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160km，然后向正北方向航行了120km，这时它离出发点有多远？
A C
B
4. 小明从家出发向正北方向走了150m，接着向正东方向走到离家250m远的地方．小明向正东方向走了多远？
5. 如图，BC长为3cm，AB长为4cm，AF长为12cm．求正方形CDEF的面积.
6. 一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7m．
（1）这架云梯的顶端距地面有多高？
（2）如果云梯的顶端下滑了4m，那么它的底部在水平方向也滑动了4m吗？
7. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？
8. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？
9. 装修工人购买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如果电梯的长、宽、高分别是1.5m、1.5m，2.2m，那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米？你能估计出装修工人买的木条最少是多少米吗？
提升练习：
1. 如图所示，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O.若AC＝1，BD＝2，CD＝4，则AB＝________.
北师大版八年级数学上册《勾股定理》知识点过关靶向专题练
北师大版八年级数学上册《勾股定理》知识点过关靶向专题练
知识点一：利用勾股定理求边长
1.求出下列直角三角形中未知边的长度.
2. 2.求斜边长为17 cm，一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积．
3. 如果直角三角形的两直角边长是9，40，那么斜边长为多少？
4.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积，尝试给两种以上的方案．
5. 如图，求等腰三角形ABC的面积．
知识点二：利用勾股定理解决实际问题
1. 1.如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面3m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4m处，旗杆折断之前有多高？
2. 1876年，美国总统伽菲尔德利用右图验证了勾股定理．你能利用这个图形验证勾股定理吗？说一说这个方法和本节的探索方法的联系.
3. 某储藏室入口的截面是一个半径为1.2m的半圆形，一个长、宽、高分别是1.2m，1m，0.8m的箱子能放进储藏室吗？
知识点三:判定直角三角形
1.如果三条线段长a，b，c满足a2=c2－b2，这三条线段组成的三角形是不是直
角三角形？为什么？
2. 如图，阴影长方形的面积是多少？
3. 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图中哪个图形是正确的？
4. 如图，一座城墙高11.7 m，墙外有一个宽为9 m的护城河，那么一个长为15 m的云梯能否到达墙的顶端？
5. 一个无盖的长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm， 8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？
北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理--动点问题 练习(含答案)
《勾股定理--动点问题》
一、单选题
1．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝90°，若P 是AC 上的一个动点，则AP+BP+CP 的最小值是（ ）
A ．14.8
B ．15
C ．15.2
D ．16
2．如图，Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AB ＝25cm ，AC ＝7cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度运动，设运动时间为ts ，当△APB 为等腰三角形时，t 的值为（ ）
A ．
62596或252B ．252或24或12C ．62596或24或12D ．62596或252或243．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，连接AC ，∠BAC ＝45°，∠CAD ＝30°，CD ＝2，点P 是四边形ABCD 边上的一个动点，若点P 到AC 的距离为3，则点P 的位置有（ ）
A ．4处
B ．3处
C ．2处
D ．1处
4．如图，在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，则DE+DF ＝（ ）
A ．5
B ．8
C ．13
D ．4.8
5．已知Rt △BCE 和Rt △ADE 按如图方式摆放，∠A ＝∠B ＝90°，A 、E 、B 在一条直线上，AD ＝3，AE ＝4，EB ＝5，BC ＝12，M 是线段AD 上的动点，N 是线段BC 上的动点，MN 的长度不可能
是（ ）
A ．9
B ．12
C ．14
D ．16
二、填空题
6．如图，已知∠AOM＝45°，OA=2，点B是射线OM上的一个动点．当△AOB为等腰三角形时，线段OB的长度为 ．
北师大版数学八年级上册 第一章勾股定理复习 学案(含部分答案)
八上期末复习一勾股定理
班级学号姓名
一、知识点归纳：
1．勾股定理：直角三角形两边的平方和等于的平方.
2．勾股定理的逆定理：
在△ABC中，若a、b、c三边满足___________，则△ABC为___________,斜边为 . 3．勾股数：
边长为0.3,0.4,0.5的三角形是否为一个直角三角形? 0.3,0.4,0.5是勾股数吗?
总结:满足_____ ___的三个___ _____，称为勾股数.
4.直角三角形中边的特殊关系：
（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=b=5，则c=
（2）在Rt△ABC，∠C=90°，a=1,c=2, 则b=
（3）在Rt△ABC，∠C=90°，b=15，∠A=30°，则a= ，c= 。
总结：①在中，30°所对的边是边的一半。
②在Rt△ABC中，若∠A=45°, ∠C=90°,则△ABC是一个三角形。其中，
= 。
二、典例讲解：
例1、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
例2、一个直角三角形的周长为9，斜边为4，求这个三角形的面积。
例3、如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，在边CD上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上一点F处，且△ABF的面积是30cm2．求此时EC的长．
例4．已知ABC ∆为等腰直角三角形，∠A ＝︒90,AB=AC, D 为BC 的中点，E 为AB 上一点， BE ＝12，F 为AC 上一点，FC=5，且∠EDF ＝︒90，求EF 的长度。
例5、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是_____________
北师大版八年级上册数学 1.1.1认识勾股定理 课后习题练习复习课件
*6.【2019•南京】无盖圆柱形杯子的展开图如图所示，将 一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在 杯子外面的部分至少有____5____cm.
【点拨】由题意可得：杯子内的
木 筷 长 度 最 多 为 122＋92 ＝ 15(cm)，则木筷露在杯子外面的 部分至少有 20－15＝5(cm)．
在 Rt△ABD 中，AD2＝AB2－BD2＝152－92＝144，所以
AD＝12. 所以 S△ABC＝12BC·AD ＝12×14×12 ＝84.
13．【2019•泰州】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4， BC＝8.
(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线(保留作图痕迹，不要求写 作法)；
12．【中考•益阳】如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14， AC＝13，求△ABC的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你 按照他们的解题思路完成解答过程．
解：在△ABC中，作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝ 14－x. 由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－ CD2＝132－(14－x)2， 所以152－x2＝132－(14－x)2. 解得x＝9.
∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为
(C) A．5
B．6
C．8
D．10
4．【中考•漳州】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5， BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线 段AD长为正整数，则点D的个数共有( C ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
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第一章勾股定理
1、勾股定理定义：直角三角形的两直角边长的平方和等于斜边的平方。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.
A
B
C
a
b
c
弦
股
勾
勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边2.勾股定理定义的应用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC
∆中，90
C
∠=︒
，则c
，b
，a）
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
例. 在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）若a=5，b=12，则c=________；
（2）b=8，c=17，则S△ABC=________。
3.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等
式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一：4
EFGH
S S S
∆
+=
正方形正方形ABCD
，22
1
4()
2
ab b a c
⨯+-=，化简
可证
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
22
1
42
2
S ab c ab c
=⨯+=+
大正方形面积为222
()2
S a b a ab b
=+=++所以222
a b c
+=
4.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
5.勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么
c
b a
H
G
F
E
D
C
B
A
b
a
c
b
a
c
c
a
b
c
a
b
ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。）常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 7 24 25 ，8 15 17
注：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转
化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；
（2）验证c 2与a 2+b 2
是否具有相等关系，