2.1.2椭圆的简单几何性质(含答案)
高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(一)(第1课时)
a＝4 2， 解得b＝4，
c＝4.
所以所求的椭圆方程为3x22 ＋1y62 ＝1 或3y22 ＋1x62 ＝1，
离心率
e＝ac＝
2 2.
当焦点在 x 轴上时，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，
顶点坐标为(－4 2，0)，(4 2，0)，(0，－4)，(0,4)；
当焦点在 y 轴上时，焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，
[题后感悟] (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数 法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准， 定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦 点所在的坐标轴；③写出标准方程． (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
2.求合适下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂 直，且焦距为6； (2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过 点A(5,0)．
2a＝5×2b， 由题意，得2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝ ＝51， ，
故所求的标准方程为2x52 ＋y2＝1；
若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
2a＝5×2b， 由题意，得a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝ ＝255，，
故所求的标准方程为6y225＋2x52 ＝1.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.……………10 分 ∴e2＝15，即 e＝ 55，所以椭圆的离心率为 55.…12 分
[题后感悟] (1)求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定 义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、类似三角形 等知识．
2.1.2-椭圆的简单几何性质2
C）
A.长轴长 B.离心率 C.焦距 D.准线方程
小结： 椭圆的第一，第二定义要灵活运用。
布置作业：P42 A组5、6
椭圆的第二定义
复习提问：椭圆的几何性质，x2 /a2+y2 /b2=1 ⑴范围：︱x︱≤a，︱y︱≤b （a为长半轴，b为短半轴）。
⑵对称性：椭圆关于X轴对称，关于Y轴对称。关于原点对 称，原点为椭圆的对称中心。
⑶顶点坐标：顶点坐标为（a，0），（-a，0），（0，b），（0， -b）。 ⑷离心率：e=c/a，0＜e＜1，a＞c＞0
2.椭圆x2/a2+y2/b2=1的两焦点F1，F2三等分准线间的距离, 则它的
离心率为 （B ）
A.√3/2 B.√3/3 C.√6/3 D.√6/6 3.如果椭圆x2/25+y2/9=1上有一点p到它的左准线的距离为2.5,
那么p到右焦点的距离为 8
4.常数的轨迹称为椭圆。 F称为椭圆的焦点，
Y M
定直线称为与F相应的准线。 由于椭圆有两个焦点，所以椭圆有两
oF
X
条准线,这两条准线均垂直于长轴。
椭圆的第二定义的数学语言可用下式来表达：MF e
点拔（1）上式蕴含方程和转化这两种数学思想。
d
（2）点M到焦点F的距离称为焦半径。
（3）焦半径公式：MF a exM
椭圆的标准方程。
x2
y2
思考：若方程 m2 (m 1)2 1 表示准线平行于
x轴的椭圆，求m的取值范围。
例3：已知点P在椭圆5x2+9y2=45上，点A（1，1）是
椭圆内一点，椭圆的右焦点F，当点P位于何处时，
PA
3 2
PF
取得最小值。
椭圆的简单几何性质复习
.M
设y
2
k(x
4)由3yx622
k(x y2 1 9
4) 得
O
Ax
( 1 4 k 2 ) x 2 1 k ( 1 6 2 k ) x 4 ( 2 4 k ) 2 3 0 6 .
所 xM以 0x12所 x2 求 21(16k:(y 14直 k22 2)k )线 1 4(x解 方 4 得)即 k程 x 212y为 .80
y
|P 1 |2 F |P 2 |2 F 2 |P 1 |P |F 2 | F 4 a 2
又P1FP2F
F1
o
|P1|2 F |P2|2 F |F 1 F 2|2 4c2
|P 1|F |P2|F 2 (a 2 c 2 ) 2b2
SPF 1F2 b2.
P
F 1(1,0),F 2(1,0).
P F 1 P F 2 ( 1 x , y ) ( 1 x , y ) x2 y2 1
∵ P(x, y)是椭圆
x2
y 2 1上的一个动点，
y2 4 4 x2
5
4
5
PF 1PF 2x244 5x21
F2 x
由 0 得 (2 u)： 24 (11)u (2 1 )0u13
25 142 45 25
13 xy13
直线与椭圆： （1）直线与椭圆位置关系
（2）弦长问题
| AB | 1 k 2 |a|
（3）弦中点问题
韦达定理或设点作差法
（4）与垂直有关的问题
例2 已知a x2 2椭 b y2 2圆 1(ab0)与直 xy线 1交A 于 、 B两点 |A|B 22， 椭圆中心连线的2斜 ，率 求为 椭圆方程 2
2.1.2椭圆的简单几何性质
（0，±c）
a>b
半轴长
离心率 a,b,c的关系
长半轴长为a,短半轴长为b. c e a a2=b2+c2
例4 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点 和顶点的坐标。 例5 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其 对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口 BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门 位于另一个焦点F2上,由椭圆一个焦点F1出发的光线，经过旋 转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2 ， |F1B|=2.8cm， |F1F2|=4.5cm.试建立适当的坐标系，求截口 y BAC所在椭圆的方程。
(1)椭圆的定义:
点M满足的几何条件： MF1 MF2 常数 （常数大于 , F1F2 ） (2)椭圆的标准方程:
y y
M
图 形
F 2
M x
F 1
o
F2 x
o
F 1
方 程
焦 点
x2 y2 2 1 a b 0 2 a b
F(±c，0)
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
B2
y b -a x a -b 的四个顶点。线段 A1A 2，B1B2叫做椭圆的长轴和短 这说明椭圆位于直线 x= ± a2b 和 y=±b所围成的矩形内. 轴。它们的长分别为 2a 和 。。
1 2 1 2
2.对称性： P1（-x，y） P（x，y） 椭圆是轴对称图形，也是中心对 称图形。坐标轴是它的对称轴， O x 坐标原点是它的对称中心。椭圆 P2（-x，-y） 的对称中心叫椭圆的中心。
B
例6
A F1
椭圆的几何性质
2．2.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．2.明确椭圆标准方程中a、b以及c、e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系．3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．,椭圆的简单几何性质1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点．()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c.()(3)椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越圆．()(4)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长等于a.()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为()A．(－1，0)，(1，0)B．(－6，0)，(6，0) C．(－6，0)(6，0) D．(0，6)，(0，－6) 答案：D3．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()A．32B．34C ．22 D ．23答案：A4．设P (m ，n )是椭圆x 225＋y 29＝1上任意一点，则m 的取值范围是________．答案：[－5，5]椭圆的简单几何性质求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 【解】 将椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，所以a ＝3，b ＝2，所以c ＝ a 2－b 2＝9－4＝ 5.所以椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6，2c ＝25，焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3，0)，A 2(3，0)，B 1(0，－2)，B 2(0，2)，离心率e ＝c a ＝53.用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置． (3)求出a ，b ，c .(4)写出椭圆的几何性质．[注意] 长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍．1.对椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的几何性质的表述正确的是( )A ．范围相同B ．顶点坐标相同C ．焦点坐标相同D ．离心率相同解析：选D.椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)范围是－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，顶点坐标是(－a ，0)，(a ，0)，(0，－b )，(0，b )，焦点坐标是(－c ，0)，(c ，0)，离心率e ＝c a ；椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)范围是－a ≤y ≤a ，－b ≤x ≤b ，顶点坐标是(－b ，0)，(b ，0)，(0，－a )，(0，a )，焦点坐标是(0，－c )，(0，c )，离心率e ＝ca，只有离心率相同．2．设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m ＞0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．解：(1)当0＜m ＜4时，长轴长和短轴长分别是4，23，焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，顶点坐标为A 1(－2，0)，A 2(2，0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3)．(2)当m ＞4时，长轴长和短轴长分别为833，4，焦点坐标为F 1⎝⎛⎭⎫0，－233，F 2⎝⎛⎭⎫0，233，顶点坐标为A 1⎝⎛⎭⎫0，－433，A 2⎝⎛⎭⎫0，433，B 1(－2，0)，B 2(2，0)．利用几何性质求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)短轴长25，离心率e ＝23；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.【解】 (1)由2b ＝25，e ＝c a ＝23，得b 2＝5，a 2－b 2a 2＝49，a 2＝9.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 29＋x 25＝1.综上，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或y 29＋x 25＝1.(2)依题意可设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，所以c ＝b ＝3，所以a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.求椭圆标准方程的常用方法(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常用待定系数法．(2)根据已知条件“选标准，定参数”．其一般步骤为：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a 2，b 2的值；③写出标准方程．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长与短轴长的和为18，焦距为6； (2)过点(3，0)，离心率e ＝63. 解：(1)设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝18，2c ＝6，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，b ＝4.因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1.(2)当焦点在x 轴上时，由题意知a ＝3， 又因为e ＝63，所以c ＝6，所以b 2＝a 2－c 2＝3. 所以椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.当焦点在y 轴上时，由题意知b ＝3， 又因为e ＝63，所以a 2－b 2a 2＝e 2＝23.即a 2－9a 2＝23.所以a 2＝27.所以椭圆方程为y 227＋x 29＝1.求椭圆的离心率(2016·高考全国卷乙)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34【解析】 法一：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ，0)，b ＞0，c ＞0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14×2b ，解得b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2， 所以c 2a 2＝14，即e 2＝14，所以e ＝12或e ＝－12(舍去)．法二：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c ，0)，b ＞0，c ＞0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14×2b ，所以bc a ＝14×2b ，所以e ＝c a ＝12.【答案】 B求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．1.(2017·青岛高二检测)A 为y 轴上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，△AF 1F 2为正三角形，且AF 1的中点B 恰好在椭圆上，则此椭圆的离心率为________．解析：如图，连接BF 2.因为△AF 1F 2为正三角形，且B 为线段AF 1的中点． 所以F 2B ⊥BF 1.又因为∠BF 2F 1＝30°，|F 1F 2|＝2c ， 所以|BF 1|＝c ，|BF 2|＝3c ， 由椭圆定义得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 即c ＋3c ＝2a ， 所以ca＝3－1.所以椭圆的离心率e ＝3－1. 答案：3－12．(2017·日照高二检测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围为________．解析：由PF 1⊥PF 2，知△F 1PF 2是直角三角形， 所以|OP |＝c ≥b ，即c 2≥a 2－c 2，所以a ≤ 2c ， 因为e ＝ca ，0＜e ＜1，所以22≤e ＜1. 答案：⎣⎡⎭⎫22，11．椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中a ，b ，c 的几何意义在椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中，a ，b ，c 的几何意义如图所示，即a ，b ，c 正好构成了一个以对称中心、一个焦点、一个短轴顶点为顶点的直角三角形．2．椭圆上到中心距离最远和最近的点设点O 为坐标原点，点P (x ，y )为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，则|PO |＝x 2＋y 2＝x 2＋b 2a 2（a 2－x 2）＝c 2x 2＋a 2b 2a.因为－a ≤x ≤a ，所以当x ＝0时，|PO |有最小值b ，这时点P 在短轴的端点B 1或B 2处；当x ＝±a 时，|PO |有最大值a ，这时点P 在长轴的端点A 1或A 2处．3．椭圆离心率的意义1．椭圆25x 2＋9y 2＝1的范围为( ) A ．|x |≤5，|y |≤3 B ．|x |≤15，|y |≤13C ．|x |≤3，|y |≤5D ．|x |≤13，|y |≤15解析：选B.椭圆方程可化为x 2125＋y 219＝1，所以a ＝13，b ＝15，又焦点在y 轴上， 所以|x |≤15，|y |≤13.故选B.2．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( )A ．C 1与C 2顶点相同B ．C 1与C 2长轴长相同 C ．C 1与C 2短轴长相同D ．C 1与C 2焦距相等解析：选D.由两个椭圆的标准方程可知：C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4，0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.故选D.3．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，它的长轴长等于圆x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 24＋y 2＝1C ．x 216＋y 24＝1D ．x 216＋y 212＝1解析：选A.圆的方程可化为(x －1)2＋y 2＝42，故2a ＝4，即a ＝2，又e ＝c a ＝12，所以c＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.又椭圆的焦点在x 轴上，所以其标准方程为x 24＋y 23＝1，故选A.4．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于________．解析：根据题意得2b ＝6，a ＋c ＝9或a －c ＝9(舍去)． 又因为a 2－b 2＝c 2， 所以a ＝5，c ＝4，故e ＝c a ＝45.答案：45, [A 基础达标]1．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )A ．8，6B ．4，3C ．2， 3D ．4，2 3解析：选B.过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得124＋y 23＝1，解得y 2＝94，即y ＝±32，所以最短弦的长为2×32＝3.故选B.2．(2017·泉州高二检测)已知椭圆x 25＋y 2k ＝1的离心率e ＝105，则实数k 的值为( )A ．3B ．3或253C ． 5D ．15或153解析：选B.当k ＞5时，e ＝c a ＝k －5k ＝105，k ＝253.当0＜k ＜5时，e ＝c a ＝5－k 5＝105，k ＝3.故选B.3．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( )A ．x 2144＋y 2128＝1B ．x 236＋y 220＝1C ．x 232＋y 236＝1D ．x 236＋y 232＝1解析：选D.因为椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，所以设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为长轴长为12，所以a ＝6.又椭圆的离心率为13，即c a ＝13，所以c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝36－4＝32，故椭圆的方程为x 236＋y 232＝1.4．已知焦点在x 轴上的椭圆：x 2a 2＋y 2＝1，过焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为( )A ．32B ．12C ．154D ．33解析：选A.椭圆的焦点坐标为(±a 2－1，0)，不妨设A ⎝⎛⎭⎫a 2－1，12可得a 2－1a 2＋14＝1， 解得a ＝2，椭圆的离心率为e ＝a 2－1a ＝32.故选A.5．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率e 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫22，1B ．⎝⎛⎭⎫0，22 C ．⎣⎡⎭⎫12，1D ．⎣⎡⎭⎫12，22解析：选C.在△PF 1F 2中，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ，根据余弦定理，得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°，配方得(m ＋n )2－3mn ＝4c 2，所以3mn ＝4a 2－4c 2，所以4a 2－4c 2＝3mn ≤3·⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝3a 2， 即a 2≤4c 2，故e 2＝c 2a 2≥14，解得12≤e ＜1.故选C.6．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为10，则椭圆上的点到椭圆中心距离的最大值与最小值之和为________．解析：椭圆的长半轴长为10，短半轴长为5，则椭圆上的点到椭圆中心距离的最小值为5，最大值为10，其和为15.答案：157．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________．解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，因此可设待求椭圆为x 2m ＋y 2m ＋5＝1.又b ＝25，故m ＝20，得x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y 225＝18．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点．已知点P (a ，b )，△F 1PF 2为等腰三角形，则椭圆的离心率e ＝________．解析：设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)，由题意得|PF 2|＝|F 1F 2|，即（a －c ）2＋b 2＝2c .把b 2＝a 2－c 2代入，整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a－1＝0，解得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝c a ＝12.答案：129．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为 3. 解：(1)由题意知，2c ＝8，c ＝4， 所以e ＝c a ＝4a ＝12，所以a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，所以椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由已知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，所以⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，所以所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.10．已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，一个顶点为H (2，0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t ，0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围．解：(1)由题意可得，c ＝1，a ＝2， 所以b ＝ 3.所以所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.① MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)， 由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0，即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.② 由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3.因为x 0≠2，所以t ＝14x 0－32.因为－2＜x 0＜2，所以－2＜t ＜－1.所以实数t 的取值范围为(－2，－1)．[B 能力提升]11．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：选C.由题意得F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)， 则y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)， OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2， 当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值为6.12．(2016·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意得B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2，F (c ，0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫c ＋32a ，－b 2·⎝⎛⎭⎫c －32a ，－b 2＝c 2－⎝⎛⎭⎫32a 2＋⎝⎛⎭⎫－b 22＝0⇒3c 2＝2a 2⇒e ＝63. 答案：6313．(2017·武汉高二检测)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程． 解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题意知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2， 即B ⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2. 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1， 得94c 2a 2＋b 24b2＝1， 即9c 24a 2＋14＝1， 解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎫3c 2，－3b 2＝32 ⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.②由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1. 14．(选做题)已知椭圆x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，C ，上顶点为B ，过F ，B ，C 三点作⊙P ，且圆心在直线x ＋y ＝0上，求此椭圆的方程．解：设圆心P 的坐标为(m ，n )，因为圆P 过点F ，B ，C 三点，所以圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分线方程为x ＝1－c 2.① 因为BC 的中点为⎝⎛⎭⎫12，b 2，k BC ＝－b ，所以BC 的垂直平分线方程为y －b 2＝1b ⎝⎛⎭⎫x －12② 由①，②联立，得x ＝1－c 2，y ＝b 2－c 2b， 即m ＝1－c 2，n ＝b 2－c 2b. 因为P (m ，n )在直线x ＋y ＝0上，所以1－c 2＋b 2－c 2b＝0， 可得(1＋b )(b －c )＝0，因为1＋b ＞0，所以b ＝c ，结合b 2＝1－c 2得b 2＝12， 所以椭圆的方程为x 2＋y 212＝1， 即x 2＋2y 2＝1.。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质应用案
第1课时 椭圆的简单几何性质[A 基础达标]1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5、3、0.8 B ．10、6、0.8 C ．5、3、0.6D ．10、6、0.6解析：选B.把椭圆的方程写成标准形式为x 29＋y 225＝1，知a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以2a ＝10，2b ＝6，ca＝0.8.2．一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则该椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 29＝1或x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1 C.x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1 D ．椭圆的方程无法确定解析：选C.由题可知，a ＝5且c ＝3，所以b ＝4， 所以椭圆方程为x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1.3．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4，0)，(0，2)，则此椭圆的方程是( )A.x 24＋y 216＝1或x 216＋y 24＝1B.x 24＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 216＋y 220＝1 解析：选C.由已知a ＝4，b ＝2，椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆方程是x 216＋y 24＝1.故选C.4．已知焦点在x 轴上的椭圆：x 2a2＋y 2＝1，过焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为( )A.32B.12C.154D.33解析：选A.椭圆的焦点坐标为(±a 2－1，0)，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1，12，可得a 2－1a 2＋14＝1，解得a ＝2，椭圆的离心率为e ＝a 2－1a ＝32.故选A.5．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率e 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22 解析：选C.在△PF 1F 2中，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ，根据余弦定理，得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°，配方得(m ＋n )2－3mn ＝4c 2，所以3mn ＝4a 2－4c 2，所以4a 2－4c 2＝3mn ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝3a 2，即a 2≤4c 2，故e 2＝c 2a 2≥14，解得12≤e ＜1.故选C.6．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________． 解析：依题意得椭圆的焦点坐标为(0，5)，(0，－5)，故c ＝5，又2b ＝45，所以b ＝25，a 2＝b 2＋c 2＝25，所以所求椭圆方程为x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y 225＝17．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的标准方程为________．解析：设椭圆的长半轴长为a ，由2a ＝12知a ＝6. 又e ＝c a ＝32，故c ＝33， 所以b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9.所以椭圆标准方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝18．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点．已知点P (a ，b )，△F 1PF 2为等腰三角形，则椭圆的离心率e ＝________．解析：设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)，由题意得|PF 2|＝|F 1F 2|，即（a －c ）2＋b 2＝2c .把b 2＝a 2－c 2代入，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1＝0，解得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝c a ＝12.答案：129．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为3.解：(1)由题意知，2c ＝8，c ＝4，所以e ＝c a ＝4a ＝12，所以a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，所以椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由已知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，所以⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，所以所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. 10.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率．解：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如题图所示，则有F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，A (0，b )，B (a ，0)，直线PF 1的方程为x ＝－c ，代入方程x 2a 2＋y 2b2＝1，得y ＝±b 2a ，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 又PF 2∥AB ， 所以△PF 1F 2∽△AOB .所以|PF 1||F 1F 2|＝|AO ||OB |，所以b 22ac ＝ba，所以b ＝2c .所以b 2＝4c 2，所以a 2－c 2＝4c 2，所以c 2a 2＝15.所以e ＝c a ＝55. [B 能力提升]11．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：选C.由题意得F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)， OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2，当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值为6.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c ，0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2＝c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0⇒3c 2＝2a 2⇒e ＝63.答案：6313．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题意知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． 其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1， 解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.②由①②解得c 2＝1，a 2＝3， 从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.14．(选做题)已知椭圆x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，C ，上顶点为B ，过F ，B ，C 三点作⊙P ，且圆心在直线x ＋y ＝0上，求此椭圆的方程．解：设圆心P 的坐标为(m ，n )，因为圆P 过点F ，B ，C 三点，所以圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分线方程为x ＝1－c2.① 因为BC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b 2， k BC ＝－b ，所以BC 的垂直平分线方程为y －b 2＝1b ⎝⎛⎭⎪⎫x －12②由①，②联立，得x ＝1－c 2，y ＝b 2－c2b ，即m ＝1－c 2，n ＝b 2－c2b.因为P (m ，n )在直线x ＋y ＝0上， 所以1－c 2＋b 2－c2b ＝0，可得(1＋b )(b －c )＝0， 因为1＋b ＞0，所以b ＝c ，结合b 2＝1－c 2得b 2＝12，所以椭圆的方程为x 2＋y 212＝1，即x 2＋2y 2＝1.。
椭圆的简单几何性质1有答案
C.(0，±13)D.(0，± )
(2)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍，那么这个椭圆的离心率为()
A. B.
C. D.
【自主解答】(1)由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝ ＝ ，故焦点坐标为(0，± ).
(2)设长轴长为2a，短轴长为2b，由题意可知a＝2b，则c＝ ＝ ＝ b，所以离心率为e＝ ＝ ＝ .
B.(－6,0)，(6,0)
C.(－ ，0)，( ，0)
D.(0，－ )，(0, )
【解析】椭圆的标准方程为x2＋ ＝1，焦点在y轴上，其长轴的端点坐标为(0，± ).
【答案】D
(2)已知椭圆 ＋ ＝1的一个顶点为(0,5)，试求椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，离心率及其余的顶点.
【解】∵(0,5)是椭圆 ＋ ＝1的顶点，
(2)焦点在y轴上，c＝6，e＝ ；
(3)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3；
(4)离心率为 ，经过点(2,0).
【精彩点拨】本题考查椭圆方程的求法.根据题中所给条件，结合椭圆的几何性质定位(即确定焦点位置)、定量(即确定长轴和短轴的长)，若没有指明焦点位置，要分焦点在x轴上、y轴上进行讨论.
【答案】
5.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为 ，焦距为8；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 .
【解】(1)由题意知，2c＝8，c＝4，
∴e＝ ＝ ＝ ，∴a＝8，
从而b2＝a2－c2＝48，
∴椭圆的标准方程是 ＋ ＝1.
【自主解答】(1)由a＝4，e＝ ＝ 知，c＝2，b2＝16－4＝12.
人教A版高中数学选修2-2课件(文)第二章2.1.2第一课时椭圆的简单几何性质
b2＝81－9＝72. 答案：A
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2．已知椭圆10x－2 m＋my－2 2＝1，长轴在 y 轴上．若焦距为 4，
则 m 等于
()
A．4
B．5
C．7
D．8
解析：由题意得 m－2>10－m 且 10－m>0，于是 6<m<10，再
由(m－2)－(10－m)＝22，得 m＝8.
答案：D
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3．椭圆 x2＋4y2＝16 的短轴长为________． 解析：由1x62＋y42＝1 可知 b＝2， ∴短轴长 2b＝4. 答案：4
2a＝5×2b， a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝＝255. ，
故所求椭圆的标准方程为6y225＋2x52 ＝1 综上所述，所求椭圆的标准方程为2x52＋y2＝1 或6y225＋2x52＝1.
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(2)由 e＝ac＝35，2c＝12，得 a＝10，c＝6， 则 b2＝a2－c2＝64. 当焦点在 x 轴上时，所求椭圆的标准方程为 1x020＋6y42 ＝1； 当焦点在 y 轴上时，所求椭圆的标准方程为 1y020＋6x42 ＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为 1x020＋6y42 ＝1 或1y020＋6x42＝1.
∠OF2B＝60°，∴acos 60°＝c，
∴ac＝12，即椭圆的离心率 e＝12，故选 A.
D.
6 4
答案：A
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4.忽视椭圆焦点位置致误 [典例] 已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心 率 e＝ 23，且过 P(2,3)，求此椭圆的标准方程．
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[解] (1)当焦点在 x 轴上时， 设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)．
ac＝ 23， 由题意知a42＋b92＝1，
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8．直线 x＋2y－2＝0 经过椭圆a2＋b2＝1 的离心率等于______．
x2 y2
(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆
9．椭圆 E：16＋ 4 ＝1 内有一点 P(2,1)，则经过 P 并且以 P 为中点的弦所在直线方程 为____________．
三、解答题 x2 y2
10．如图，已知 P 是椭圆a2＋b2＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右 a2
一、选择题
1．椭圆 25x2＋9y2＝225 的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
4
4
A．5,3，5 3
B．10,6，5 3
C．5,3，5
D．10,6，5
2．焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为 4 5，则椭圆的方程为( )
x2 y2
x2 y2
A．36＋16＝1 x2 y2
B．16＋36＝1 y2 x2
C． 6 ＋ 4 ＝1
D． 6 ＋ 4 ＝1
x2 y2
1
3．若焦点在 x 轴上的椭圆 2 ＋ m ＝1 的离心率为2，则 m 等于( )
3
8
2
A． 3
B．2
C．3
D．3
x2 y2
4．如图所示，A、B、C 分别为椭圆a2＋b2＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°， 则该椭圆的离心率为( )
焦点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线 x＝－ c (c 是椭圆的半焦距)与 x 轴的 交点，若 PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率 e.
11．已知椭圆 4x2＋y2＝1 及直线 y＝x＋m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
∴点 P(m，n)在椭圆 9 ＋ 4 ＝1 的内部， x2 y2
∴过点 P(m，n)的直线与椭圆 9 ＋ 4 ＝1 有两个交点．]
6．C [∵
M→F1 M→F2 · ＝0，∴M
点轨迹方程为
x2＋y2＝c2，其中
F1F2
为直径，
由题意知椭圆上的点在圆 x2＋y2＝c2 外部，
设点 P 为椭圆上任意一点，则|OP|>c 恒成立，
3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心 率的值或范围．
4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．
知识梳理 1.
焦点的 位置
2．1.2 椭圆的简单几何性质 答案
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准方
x2 y2
y2 x2
程
a2＋b2＝1
a2＋b2＝1
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±b,0)，(0，±a)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点 焦距
(±c,0) 2c＝2 a2－b2
(0，±c)
对称性
对称轴是坐标轴，对称中心是原点
离心率
c e＝a，0<e<1
2.一 ＝ 二 > 没有 <
作业设计
x2 y2的点M源自总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1)
( )2
0， C． 2
( ]1
0， B． 2
[ )2 ，1 D． 2
题号
1
2
3
4
5
6
答案
二、填空题
5
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 5 ，且过点 P(－5,4)，则椭圆的 方程为______________．
x2 y2
由椭圆性质知|OP|≥b，其中 b 为椭圆短半轴长，
∴b>c，∴c2<b2＝a2－c2，∴a2>2c2，
( )c 1
c2
∴ a 2<2，∴e＝a< 2 .
2
又∵0<e<1，∴0<e< 2 .] x2 y2
7.45＋36＝1
x2 y2
解析 设椭圆的方程为a2＋b2＝1 (a>b>0)， 25 16
将点(－5,4)代入得a2＋b2＝1，
1．B [先将椭圆方程化为标准形式： 9 ＋25＝1，
其中 b＝3，a＝5，c＝4.]
2．A 3.B
4．A [由(a＋c)2＝a2＋2b2＋c2，
∵b2＝a2－c2，∴c2＋ac－a2＝0，
c
－1＋ 5
∵e＝a，∴e2＋e－1＝0，∴e＝ 2 .] 4
5．B [∵ m2＋n2>2，∴ m2＋n2<4. x2 y2
2.1.2 椭圆的简单几何性质
课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中 a，b 以及 c，e 的几何意义，a、b、c、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭 圆的简单问题．
1．椭圆的简单几何性质
焦点的 位置
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准 方程
能力提升
12．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
4
3
2
1
A．5
B．5
C． 5
D．3
13．已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为
( )1
1， F1(－ 3，0)，且右顶点为 D(2，0)．设点 A 的坐标是 2 .
(1)求该椭圆的标准方程；
c5
c2 a2－b2 1
又离心率 e＝a＝ 5 ，即 e2＝a2＝ a2 ＝5， x2 y2
－1＋ 5
2
A. 2
B．1－ 2 2
C. 2－1
D. 2
5．若直线 mx＋ny＝4 与圆 O：x2＋y2＝4 没有交点，则过点 P(m，n)的直线与椭圆
x2 y2
9 ＋ 4 ＝1 的交点个数为( )
A．至多一个
B．2
C．1
D．0
6．已知
F1、F2
是椭圆的两个焦点。满足
uuuur MF 1
M→F2 · ＝0
范围
顶点
轴长 焦点
短轴长＝______，长轴长＝______
焦距
对称性 离心率
对称轴是________，对称中心是______
2.直线与椭圆
x2 y2
直线 y＝kx＋b 与椭圆a2＋b2＝1 (a>b>0)的位置关系： 直线与椭圆相切⇔Error!有______组实数解，即 Δ______0.直线与椭圆相交⇔Error!有 ______组实数解，即 Δ______0，直线与椭圆相离⇔Error!________实数解，即 Δ______0.
(2)若 P 是椭圆上的动点，求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程．
1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和 判断性问题中有着重要的应用．
2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭 圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．