数学(理)卷·2014届福建省泉州市高三单科质量检查版

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2014年高考福建理科数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试〔福建卷〕数学〔理科〕第Ⅰ卷〔选择题共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．〔1〕【2014年福建，理1，5分】复数(32i)i z =-的共轭复数z 等于〔〕〔A 〕23i -- 〔B 〕23i -+ 〔C 〕23i - 〔D 〕23i +【答案】C【解析】由复数()32i i 23i z =-=+，得复数z 的共轭复数23i z =-，故选C ．【点评】此题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．〔2〕【2014年福建，理2，5分】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是〔〕〔A 〕圆柱〔B 〕圆锥〔C 〕四面体〔D 〕三棱柱【答案】A【解析】由空间几何体的三视图可知，圆柱的正视图、侧视图、俯视图都不可能是三角形，故选A ．【点评】此题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题．〔3〕【2014年福建，理3，5分】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，假设132,12a S ==，则6a =〔〕〔A 〕8〔B 〕10 〔C 〕12 〔D 〕14【答案】C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得33232122S ⨯=⨯+=，解得2d =，则()616125212a a d =+-=+⨯=，故选C ．【点评】此题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．〔4〕【2014年福建，理4，5分】假设函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则以下函数图象正确的选项是〔〕〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕【答案】B【解析】由函数log a y x =的图像过点()3,1，得3a =．选项A 中的函数为13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则其函数图像不正确；选项B 中的函数为3y x =，则其函数图像正确；选项C 中的函数为()3y x =-，则其函数图像不正确；选项D 中的函数为()3log y x =-，则其函数图像不正确，故选B ．【点评】此题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题．〔5〕【2014年福建，理5，5分】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于〔〕〔A 〕18 〔B 〕20 〔C 〕21 〔D 〕40【答案】B【解析】输入0S =，1n =，第一次循环，0213S =++=，2n =；第二次循环，23229S =++=，3n =；第三次循环，392320S =++=，4n =，满足15S ≥，结束循环，20S =，故选B ．【点评】此题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．〔6〕【2014年福建，理6，5分】直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面积为12”的〔〕〔A 〕充分而不必要条件〔B 〕必要而不充分条件〔C 〕充分必要条件〔D 〕既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由直线l 与圆O 相交，得圆心O 到直线l 的距离1d =<，解得0k ≠．当1k =时，d =，AB =OAB ∆的面积为1122=；当1k =-时，同理可得OAB ∆的面积为12，则“1k =”是“OAB ∆的面积为12”的充分不必要条件，故选A ．【点评】此题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决此题的关键．〔7〕【2014年福建，理7，5分】已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则以下结论正确的选项是〔〕〔A 〕()f x 是偶函数〔B 〕()f x 是增函数〔C 〕()f x 是周期函数〔D 〕()f x 的值域为[)1,-+∞【答案】D【解析】由函数()f x 的解析式知，()12f =，()()1cos 1cos1f -=-=，()()11f f ≠-，则()f x 不是偶函数；当0x >时，令()21f x x =+，则()f x 在区间()0,+∞上是增函数，且函数值()1f x >；当0x ≤时，()cos f x x =，则()f x 在区间(),0-∞上不是单调函数，且函数值()[]1,1f x ∈-；∴函数()f x 不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[)1,-+∞，故选D ．【点评】此题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题．〔8〕【2014年福建，理8，5分】在以下向量组中，可以把向量()3,2a =表示出来的是〔〕〔A 〕12(0,0),(1,2)e e ==〔B 〕12(1,2),(5,2)e e =-=-〔C 〕12(3,5),(6,10)e e ==〔D 〕12(2,3),(2,3)e e =-=-【答案】B【解析】由向量共线定理，选项A ，C ，D 中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B 中的向量组不共线，可以作为基底，故选B ．【点评】此题主要考查了向量的坐标运算，根据12a e e λμ=+列出方程解方程是关键，属于基础题．〔9〕【2014年福建，理9，5分】设,P Q 分别为()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则,P Q 两点间的最大距离是〔〕〔A 〕〔B 〔C 〕7 〔D 〕【答案】D【解析】设圆心为点C ，则圆()2262x y +-=的圆心为()0,6C ，半径r 设点()00,Q x y 是椭圆上任意一点，则2200110x y +=，即22001010x y =-，∴CQ ，当023y =-时，CQ 有最大值，则P ，Q 两点间的最大距离为r =D ．【点评】此题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．〔10〕【2014年福建，理10，5分】用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出假设干个球的所有取法可由()()11a b ++的展开式1a b ab +++表示出来，如：“1”表示一个球都不取．“a ”表示取出一个红球，而“ab ”则表示把红球和篮球都取出来．依此类推，以下各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球．5个无区别的蓝球5个有区别的黑球中取出假设干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是〔〕〔A 〕()()()523455111a a a a a b c +++++++ 〔B 〕()()()552345111a b b b b b c +++++++ 〔C 〕()()()523455111a b b b b b c +++++++ 〔D 〕()()()552345111a b c c c c c +++++++【答案】A【解析】从5个无区别的红球中取出假设干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为23451a a a a a +++++；从5个无区别的蓝球中取出假设干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为51b +；从5个有区别的黑球中取出假设干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为122334455555551C c C c C c C c C c +++++=()51c +，根据分步乘法计数原理得，适合要求的取法是()()()523455111a a a a a b c +++++++，故选A ．【点评】此题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题．第Ⅱ卷〔非选择题共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．〔11〕【2014年福建，理11，4分】假设变量,x y 满足约束条件102800x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最小值为．【答案】1 【解析】作出不等式组表示的平面区域(如下图)，把3z x y =+变形为3y x z =-+，则当直线3y x z =-+经过点()0,1时，z 最小，将点()0,1代入3z x y =+，得min 1z =，即3z x y =+的最小值为1．【点评】此题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．〔12〕【2014年福建，理12，4分】在ABC ∆中，60,4,23A AC BC =︒==，则ABC ∆的面积等于．【答案】23【解析】由sin sin BC AC A B =，得4sin 60sin 123B ︒==，∴90B =︒，()18030C A B =︒-+=︒，则11sin 423sin302322ABC S AC BC C ∆=⋅⋅⋅=⨯⨯︒=，即ABC ∆的面积等于23．【点评】此题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积．正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题．〔13〕【2014年福建，理13，4分】要制作一个容器为43m ，高为1m 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是〔单位：元〕．【答案】160【解析】设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4m 3，高为1m 得，另一边长为4xm ．记容器的总造价为y 元，则4444202110802080202?160y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯⨯=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(元)，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立．因此，当2x =时，y 取得最小值160元，即容器的最低总造价为160元．【点评】此题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题．〔14〕【2014年福建，理14，4分】如图，在边长为e 〔e 为自然对数的底数〕的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为．【答案】22e【解析】因为函数ln y x =的图像与函数x y e =的图像关于正方形的对角线所在直线y x =对称，则图中的两块阴影部分的面积为112ln d 2(ln )2[(ln )(ln11)]2ee S x x x x x e e e ==-=---=⎰，故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率22P e =．【点评】此题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．〔15〕【2014年福建，理15，4分】假设集合{,,,}{1,2,3,4}a b c d =，且以下四个关系：①1a =；②1b ≠；③2c =；④4d ≠有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是 __．【答案】6【解析】假设①正确，则②③④不正确，可得b ≠1不正确，即b ＝1，与a ＝1矛盾，故①不正确；假设②正确，则①③④不正确，由④不正确，得4d =；由1a ≠，1b ≠，2c ≠，得满足条件的有序数组为3a =，2b =，1c =，4d =或2a =，3b =，1c =，4d =．假设③正确，则①②④不正确，由④不正确，得4d =；由②不正确，得1b =，则满足条件的有序数组为3a =，1b =，2c =，4d =；假设④正确，则①②③不正确，由②不正确，得1b =，由1a ≠，2c ≠，4d ≠，得满足条件的有序数组为2a =，1b =，4c =，3d =或3a =，1b =，4c =，2d =或4a =，1b =，3c =，2d =；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6．【点评】此题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．〔16〕【2014年福建，理16，13分】已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-．〔1〕假设02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值；〔2〕求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．解：解法一：〔1〕因为02πα<<， 2sin 2α=，所以2cos 2α=．所以22211()()22222f α=+-=．〔2〕2111cos 21112()sin cos cos sin 2sin 2cos 2sin(2)22222224x f x x x x x x x x π+=+-=+-=+=+，22T ππ∴==．由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈．所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈．解法二：2111cos 21112()sin cos cos sin 2sin 2cos 2sin(2)22222224x f x x x x x x x x π+=+-=+-=+=+，〔1〕因为02πα<<，2sin 2α=，所以4πα=，从而2231()sin(2)sin 24242f ππαα=+==．〔2〕22T ππ==，由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈．所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈．【点评】此题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．〔17〕【2014年福建，理17，13分】在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BD CD BD ⊥⊥．将ABD∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图．〔1〕求证：AB CD ⊥；〔2〕假设M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．解：〔1〕因为ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面,BCD BD AB =⊂平面,ABD AB BD ⊥，所以AB ⊥平面.BCD 又CD ⊂平面BCD ，所以AB CD ⊥．〔2〕过点B 在平面BCD 内作BE BD ⊥，如图．由〔1〕知AB ⊥平面,BCD BE ⊂平面,BCD BD ⊂平面BCD ，所以,AB BE AB BD ⊥⊥．以B 为坐标原点,分别以,,BE BD BA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意,得11(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,,)22B C D A M ．则11(1,1,0),(0,,),(0,1,1)22BC BM AD ===-．设平面MBC 的法向量000(,,)n x y z =．则00n BC n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00000102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩．取01z =，得平面MBC 的一个法向量(1,1,1)n =-．设直线AD 与平面MBC 所成角为θ，则6sin cos ,3n ADn AD n AD θ⋅=<>==，即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63．【点评】此题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sin cos ,n AD n AD n AD θ⋅==⋅，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题．〔18〕【2014年福建，理18，13分】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．〔1〕假设袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；〔2〕商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解：〔1〕设顾客所获的奖励为X ．①依题意,得1113241(60)2C C P X C ===．即顾客所获得的奖励额为60元的概率为12． ②依题意,得X 的所有可能取值为20，60．232411(60),(20)22C P X P X C =====．即X 的分布列为X20 60 P0.5 0.5 所以顾客所获得的奖励额的期望为()200.5600.540E X =⨯+⨯=〔元〕．〔2〕根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元．所以先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1．对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2．以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励为1X ，则1X 的分布列为：1X 20 60 100P16 23 161X 的期望为1121()206010060636E X =⨯+⨯+⨯=， 1X 的方差为22211211600()(2060)(6060)(10060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=．对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励为2X ，则2X 的分布列为： 2X 40 60 80P16 23 162X 的期望为2121()40608060636E X =⨯+⨯+⨯=， 2X 的方差为2222121400()(4060)(6060)(8060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=．由于两种方案的奖励额都符合要求，但方案2奖励的方差比方案1的小，所以应该选择方案2．【点评】此题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想．〔19〕【2014年福建，理19，13分】已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的两条渐近线分别为12:2,:2l y x l y x ==-．〔1〕求双曲线E 的离心率；〔2〕如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线12,l l 于,A B 两点〔,A B 分别在第一，四象限〕，且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？假设存在，求出双曲线E 的方程；假设不存在，说明理由．解：〔1〕因为双曲线E 的渐近线分别为和2,2y x y x ==-．所以222,2,5b c a c a a a -=∴=∴=, 从而双曲线E 的离心率5e =．〔2〕由〔1〕知，双曲线E 的方程为222214x y a a-=．设直线l 与x 轴相交于点C ．当l x ⊥轴时，假设直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则,4OC a AB a ==，又因为OAB ∆的面积为8，所以118,48,222OC AB a a a =∴⋅=∴=．此时双曲线E 的方程为221416x y -=．假设存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为221416x y -=．以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：221416x y -=也满足条件．设直线l 的方程为y kx m =+，依题意,得2k >或2k <-．则(,0)m C k-，记1122(,),(,)A x y B x y ．由2y x y kx m =⎧⎨=+⎩，得122m y k =-，同理得222m y k =+．由1212OAB S OC y y ∆=-得：1228222m m m k k k -⋅-=-+即222444(4)m k k =-=-．由221416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，222(4)2160k x kmx m ----=．因为240k -<，所以22222244(4)(16)16(416)k m k m k m ∆=+-+=---，又因为224(4)m k =-．所以0∆=，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为221416x y -=．【点评】此题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想．〔20〕【2014年福建，理20，14分】已知函数()x f x e ax =-〔a 为常数〕的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-．〔1〕求a 的值及函数()f x 的极值；〔2〕证明：当0x >时，2x x e <；〔3〕证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()0x x ∈+∞，，恒有2x x ce <．解：解法一：〔1〕由()x f x e ax =-，得'()x f x e a =-．又'(0)11f a =-=-,得2a =．所以()2,'()2x x f x e x f x e =-=-．令'()0f x =，得ln 2x =．当ln 2x <时, '()0,()f x f x <单调递减；当ln 2x >时，'()0,()f x f x >单调递增．所以当ln 2x =时，()f x 取得极小值,且极小值为ln 2(ln 2)2ln 22ln 4,()f e f x =-=-无极大值．〔2〕令2()x g x e x =-，则'()2x g x e x =-．由〔1〕得'()()(ln 2)0g x f x f =≥>，故()g x 在R 上单调递增，(0)10g =>，因此，当0x >时，()(0)0g x g >>，即2x x e <．〔3〕①假设1c ≥，则x x e ce ≤．又由〔2〕知，当0x >时，2x x e <．所以当0x >时，2x x ce <．取00x =，当0(,)x x ∈+∞时，恒有22x cx <．②假设01c <<，令11k c=>，要使不等式2x x ce <成立，只要2x e kx >成立．而要使2x e kx >成立，则只要 2ln()x kx >，只要2ln ln x x k >+成立．令()2ln ln h x x x k =--，则22'()1x h x x x-=-=．所以当2x > 时, '()0,()h x h x >在(2,)+∞内单调递增．取01616x k =>，所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增．又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+．易知ln ,ln 2,50k k k k >>>．所以0()0h x >．即存在016x c=，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．解法二：〔1〕同解法一．〔2〕同解法一．〔3〕对任意给定的正数c，取o x =，由〔2〕知，当0x >时，2x e x >，所以2222,()()22x x x x x e e e =>，当o x x >时，222241()()()222x x x x e x c c>>= 因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．【点评】此题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．属难题．此题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答．总分值14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．〔21〕【2014年福建，理21〔1〕，7分】〔选修4-2：矩阵与变换〕已知矩阵A 的逆矩阵12112-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．〔1〕求矩阵A ；〔2〕求矩阵1-A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．解：〔1〕因为矩阵A 是矩阵1-A 的逆矩阵,且1221130-=⨯-⨯=≠A ，所以232113 2121333⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ==⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-⎪ ⎭⎝A ．〔2〕矩阵1-A 的特征多项式为221() 43(1)(3)12f λλλλλλλ--==-+=----，令()0f λ=，得矩阵1-A 的特征值为11λ=或23λ=，所以111ξ⎛⎫= ⎪-⎝⎭是矩阵1-A 的属于特征值11λ=的一个特征向量．211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵 1-A 的属于特征值23λ=的一个特征向量．【点评】此题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．〔21〕【2014年福建，理21〔2〕，7分】〔选修4-4：坐标系与参数方程〕已知直线l 的参数方程为24x a t y t=-⎧⎨=-⎩，〔t 为参数〕，圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，〔θ为参数〕．〔1〕求直线l 和圆C 的普通方程；〔2〕假设直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解：〔1〕直线l 的普通方程为220x y a --=．圆C 的普通方程为2216x y +=．〔2〕因为直线l 与圆有公共点，故圆C 的圆心到直线l的距离4d =≤，解得a -≤≤【点评】熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键．〔21〕【2014年福建，理21〔3〕，7分】〔选修4-5：不等式选讲〕已知定义在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a ．〔1〕求a 的值；〔2〕假设p q r ，，为正实数，且p q r a ++=，求证：2223p q r ++≥．解：〔1〕因为12(1)(2)3x x x x ++-≥+--=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立，所以()f x 的最小值等于3，即3a =．〔2〕由〔1〕知3p q r ++=，又因为,,p q r 是正数，所以22222222()(111)(111)()9p q r p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯=++=，即2223p q r ++≥．【点评】此题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．。

2014年福建省高考数学试卷及解析(理科)

2014年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的、1、（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A、﹣2﹣3iB、﹣2+3iC、2﹣3iD、2+3i2、（5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A、圆柱B、圆锥C、四面体D、三棱柱3、（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A、8B、10C、12D、144、（5分）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A、B、C、D、5、（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A、18B、20C、21D、406、（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB 的面积为”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分又不必要条件7、（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A、f（x）是偶函数B、f（x）是增函数C、f（x）是周期函数D、f（x）的值域为[﹣1，+∞）8、（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A、=（0，0），=（1，2）B、=（﹣1，2），=（5，﹣2）C、=（3，5），=（6，10）D、=（2，﹣3），=（﹣2，3）9、（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是（）A、5B、+C、7+D、610、（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来、以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A、（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B、（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5C、（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D、（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分、把答案填在答题卡的相应位置11、（4分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为、12、（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于、13、（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）14、（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为、15、（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是、三、解答题：本大题共4小题，共80分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16、（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣、（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间、17、（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD 沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图、（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值、18、（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额、（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成、为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由、19、（13分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x、（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由、在21-23题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换20、（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1、（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x、21、（7分）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）、（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量、五、选修4-4：极坐标与参数方程22、（7分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）、（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围、六、选修4-5：不等式选讲23、已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a、（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3、参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的、1、（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A、﹣2﹣3iB、﹣2+3iC、2﹣3iD、2+3i分析：直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求、解答：解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，∴、故选：C、点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题、2、（5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A、圆柱B、圆锥C、四面体D、三棱柱分析：直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可、解答：解：圆柱的正视图为矩形，故选：A、点评：本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题、3、（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A、8B、10C、12D、14分析：由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6解答：解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a6=a1+5d=2+5×2=12，故选：C、点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题、4、（5分）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A、B、C、D、分析：由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可、解答：解：由题意可知图象过（3，1），故有1=log a3，解得a=3，选项A，y=a﹣x=3﹣x=（）x单调递减，故错误；选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=log a（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误、故选：B、点评：本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题、5、（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A、18B、20C、21D、40分析：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，计算满足条件的S值，可得答案、解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15、∴输出S=20、故选：B、点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键、6、（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB 的面积为”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分又不必要条件分析：根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论、解答：解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立、若△OAB的面积为，则S==×2×==，即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，则（|k|﹣1）2=0，即|k|=1，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立、故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件、故选：A、点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键、7、（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A、f（x）是偶函数B、f（x）是增函数C、f（x）是周期函数D、f（x）的值域为[﹣1，+∞）分析：由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可、解答：解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，当x＞0时，函数的值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确、故选：D、点评：本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题、8、（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A、=（0，0），=（1，2）B、=（﹣1，2），=（5，﹣2）C、=（3，5），=（6，10）D、=（2，﹣3），=（﹣2，3）分析：根据向量的坐标运算，，计算判别即可、解答：解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能、选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能、选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能、故选：B、点评：本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题、9、（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是（）A、5B、+C、7+D、6分析：求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离、解答：解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6、故选：D、点评：本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题、10、（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来、以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A、（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B、（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5C、（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D、（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）分析：根据“1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来”，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决、解答：解：从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+a+a2+a3+a4+a5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1+b5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+c+c2+c3+c4+c5=（1+c）5，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5、故选：A、点评：本题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题、二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分、把答案填在答题卡的相应位置11、（4分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为1、分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值、解答：解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小、此时z的最小值为z=0×3+1=1，故答案为：1点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法、12、（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于2、分析：利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出△ABC 的面积、解答：解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，∴，解得sinB=1，∴B=90°，C=30°，∴△ABC的面积=、故答案为：、点评：本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积、正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题、13、（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160（单位：元）分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求、解答：解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：160点评：本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题、14、（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为、分析：利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率、解答：解：由题意，y=lnx与y=e x关于y=x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣e x）dx=2（ex﹣e x）=2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为、故答案为：、点评：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到、15、（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6、分析：利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论、解答：解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个、点评：本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键、三、解答题：本大题共4小题，共80分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16、（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣、（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间、分析：（1）根据题意，利用sinα求出cosα的值，再计算f（α）的值；（2）化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期与单调增区间即可、解答：解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z、点评：本题考查了三角函数的化简以及图象与性质的应用问题，是基础题目、17、（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD 沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图、（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值、分析：（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；（2）建立如图所示的空间直角坐标系、设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=|cos|=即可得出、解答：（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD、（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系、∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M、∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=、设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣1，则x=1，z=1、∴=（1，﹣1，1）、设直线AD与平面MBC所成角为θ、则sinθ=|cos|===、点评：本题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sinθ=|cos|=，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题、18、（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额、（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成、为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由、分析：（1）根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X得所有可能取值为20，60，分别求出P（X=60），P（X=20），画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望；（2）先讨论，寻找期望为60元的方案，找到（10，10，50，50），（20，20，40，40）两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决、解答：解：（1）设顾客所获取的奖励额为X，①依题意，得P（X=60）=，即顾客所获得奖励额为60元的概率为，②依题意得X得所有可能取值为20，60，P（X=60）=，P（X=20）=，即X的分布列为X6020P所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E（X）=20×+60×=40（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案、对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元，如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是（10，10，50，50）记为方案1，对于面值由20元和40元的组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2，以下是对这两个方案的分析：对于方案1，即方案（10，10，50，50）设顾客所获取的奖励额为X1，则X1的分布列为X16020100PX1的数学期望为E（X1）=、X1的方差D（X1）==，对于方案2，即方案（20，20，40，40）设顾客所获取的奖励额为X2，则X2的分布列为X2406080PX2的数学期望为E（X2）==60，X2的方差D（X2）=差D（X1）=、由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2、点评：本题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想、19、（13分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x、（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由、分析：（1）依题意，可知=2，易知c=a，从而可求双曲线E的离心率；（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1，设直线l与x轴相交于点C，分l⊥x轴与直线l不与x轴垂直讨论，当l⊥x轴时，易求双曲线E的方程为﹣=1、当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，与双曲线E的方=|OC|•|y1﹣y2|=8可证得：双曲线E的方程为﹣=1，程联立，利用由S△OAB从而可得答案、解答：解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x，所以=2、所以=2、故c=a，从而双曲线E的离心率e==、（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1、设直线l与x轴相交于点C，当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=4a，所以|OC|•|AB|=8，因此a•4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为﹣=1、以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E的方程为﹣=1也满足条件、设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜﹣2；则C（﹣，0），记A（x1，y1），B（x2，y2），由得y1=，同理得y2=，=|OC|•|y1﹣y2|得：由S△OAB|﹣|•|﹣|=8，即m2=4|4﹣k2|=4（k2﹣4）、由得：（4﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣16=0，因为4﹣k2＜0，所以△=4k2m2+4（4﹣k2）（m2+16）=﹣16（4k2﹣m2﹣16），又因为m2=4（k2﹣4），所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点、因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为﹣=1、点评：本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想、在21-23题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换20、（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1、（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x、分析：（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数的符号变化可求得函数的极值；（2）构造函数g（x）=e x﹣x2，求出导数，利用（1）问结论可得到函数的符号，从而判断g（x）的单调性，即可得出结论；（3）首先可将要证明的不等式变形为x2＜e x，进而发现当x＞时，x2＜x3，因此问题转化为证明当x∈（0，+∞）时，恒有x3＜e x、解答：解：（1）由f（x）=e x﹣ax，得f′（x）=e x﹣a、又f′（0）=1﹣a=﹣1，解得a=2，∴f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2、由f′（x）=0，得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4、f（x）无极大值、（2）令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x；（3）首先证明当x∈（0，+∞）时，恒有x3＜e x、证明如下：令h（x）=x3﹣e x，则h′（x）=x2﹣e x、由（2）知，当x＞0时，x2＜e x，从而h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减，所以h（x）＜h（0）=﹣1＜0，即x3＜e x，取x0=，当x＞x0时，有x2＜x3＜e x、因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x、点评：该题主要考查导数的几何意义、导数的运算及导数的应用等基础知识，考查学生的运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、属难题、21、（7分）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）、（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量、分析：（1）利用AA﹣1=E，建立方程组，即可求矩阵A；（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量、解答：解：（1）设A=，则由AA﹣1=E得=，解得a=，b=﹣，c=﹣，d=，所以A=；（2）矩阵A﹣1的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）2﹣1，令f（λ）=（λ﹣2）2﹣1=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=3，设λ1=1对应的一个特征向量为α=，则由λ1α=Mα，得x+y=0得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1，所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为，同理可得矩阵M的一个特征值λ2=3对应的一个特征向量为、点评：本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题、五、选修4-4：极坐标与参数方程22、（7分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）、（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围、分析：（1）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程；（2）求出圆心到直线的距离d，再根据直线l与圆C有公共点⇔d≤r即可求出、解答：解：（1）直线l的参数方程为，消去t可得2x﹣y﹣2a=0；圆C的参数方程为，两式平方相加可得x2+y2=16；（2）圆心C（0，0），半径r=4、由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d=、∵直线L与圆C有公共点，∴d≤4，即≤4，解得﹣2≤a≤2、点评：熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键、六、选修4-5：不等式选讲23、已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a、（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3、分析：（1）由绝对值不等式|a|+|b|≥|a﹣b|，当且仅当ab≤0，取等号；（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，即可证得、解答：（1）解：∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，∴f（x）的最小值为3，即a=3；（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r2≥3、点评：本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、。

2024届福建省泉州市高三上学期质量监测数学试题(二)及答案

泉州市2024届高中毕业班质量监测（二）高三数学本试卷共22题，满分150分，共8页.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸､试题卷上答题无效.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的，黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整､笔迹清楚.4.保持答题卡卡面清洁，不折叠､不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合(){20},{236}A x xB x x x x =->=-<-∣∣，则A B = （）A. ()3,+∞B. ()2,+∞ C. ()2,5 D. ()2,32. 已知复数12ππcos isin ,i 55z z =+=，则12z z 在复平面内对应点位于（）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知()0,π,sin cos θθθ∈=，则sin cos =θθ（）A. B. 12-C.12D.4. 已知圆柱母线长等于2，过母线作截面，截面的最大周长等于8，则该圆柱的体积等于（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π5. 函数()f x 的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（）x -2-101235()f x 2.31.10.71.12.35.949.1的A. ()xf x ka b=+B. ()e xf x kx b=+C. ()f x k x b =+D. ()2(1)f x k x b=-+6. 若抛物线24y x =与椭圆2222:11x y E a a +=-的交点在x 轴上的射影恰好是E 的焦点，则E 的离心率为（）A.B.C.1D.1-7. 某学校举办运动会，径赛类共设100米､200米､400米､800米､1500米5个项目，田赛类共设铅球､跳高､跳远､三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（）A. 70B. 140C. 252D. 5048. 已知函数()()41134f x x x x=+≤≤-.若函数()y f x a =-存在零点，则a 的取值范围为（）A. 97,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 713,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 913,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 抛掷一枚股子，设事件A =“出现点数为偶数”，事件B =“出现的点数为3的倍数”，则（）A. A 与B 是互斥事件B. A B ⋃不是必然事件C. ()13P AB =D ()23P A B ⋃=10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当1,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()2f x x =，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()sin πf x x =，则（）的.A. 12033f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B. 24033f f ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 23032f f ⎛⎫⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 25052f f ⎛⎫⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11. 已知抛物线2:4C x y =的准线为l ，焦点为F ，过F 的直线m 与C 交于,A B 两点，则（）A. l 的方程为1y =-B. l 与以线段AB 为直径的圆相切C. 当线段AB 中点的纵坐标为2时，3AB =D. 当m 的倾斜角等于45 时，8AB =12. 在空间直角坐标系Oxyz 中，()0,0,0A ，()1,1,0B ，()0,2,0C ，()3,2,1D -，()2,2,1E x 在球F 的球面上，则（）A. DE //平面ABC B. 球F 的表面积等于100πC. 点D 到平面ACED. 平面ACD 与平面ACE 的夹角的正弦值等于45三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在平行四边形ABCD 中，()()1,2,4,2AB AD ==- ，则||||AC BD +=__________.14. 数列{}n a 中，111,2+==+nn n a a a ，则4a =__________.15. 已知直线:2l x y +=，圆C 被l 所截得到的两段弧的长度之比为1:3，则圆C 的方程可以为__________.（只需写出一个满足条件的方程即可）16. 若222ln 0x x a x -+≥，则a 的取值范围为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，1133522,5,20a b a b a b ==+=+=.（1）求{}n a 的公差d ；（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n S ，若0n a >，求20S .18. 教育部印发的《国家学生体质健康标准》，要求学校每学年开展全校学生的体质健康测试工作.某中学为提高学生的体质健康水平，组织了“坐位体前屈”专项训练.现随机抽取高一男生和高二男生共60人进行“坐位体前屈”专项测试.高一男生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩在[)5,10的男生有4人.高二男生成绩（单位：cm ）如下：10.212.8 6.4 6.614.38.316.815.99.717.518.618.319.423.019.720.524.920.525.117.5（1）估计高一男生成绩的平均数和高二男生成绩的第40百分位数；（2）《国家学生体质健康标准》规定，高一男生“坐位体前屈”成绩良好等级线为15cm ，高二男生为16.1cm .已知该校高一年男生有600人，高二年男生有500人，完成下列22⨯列联表，依据小概率值0.005α=的独立性检验，能否认为该校男生“坐位体前屈”成绩优良等级与年级有关？附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d=+++α0.050.0100.0050.001x α3.8416.6357.87910.82819. 如图，两个棱长均等于2的正四棱锥拼接得到多面体PABCDQ ..（1）求证：PA 平面QBC ；（2）求平面PCD 与平面QBC 的夹角的正弦值.20. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.（1）求第2次摸到红球的概率；（2）设第1,2,3次都摸到红球的概率为1P ；第1次摸到红球的概率为2P ；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为3P ；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为4P .求1234,,,P P P P ；（3）对于事件,,A B C ，当()0P AB >时，写出()()()(),,,P A P BA P C AB P ABC ∣∣的等量关系式，并加以证明.21. ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知()sin sin sin B C b cb B Ca c+-==+-.（1）若π6C =，求a ；（2）点D 是ABC 外一点，AC 平分BAD ∠，且2π3ADC ∠=，求BCD △的面积的取值范围.22. 动圆C 与圆221:(4C x y ++=和圆222:(4C x y -+=中的一个内切，另一个外切，记点C 的轨迹为E .（1）求E 的方程；（2）已知点()331,,42M t t x ⎛⎫<<⎪⎝⎭轴与E 交于,A B 两点，直线AM 与E 交于另一点P ，直线BM 与E交于另一点Q ，记,ABM PQM 面积分别为12,S S .若214915S S =，求直线PQ 的方程.的泉州市2024届高中毕业班质量监测（二）高三数学本试卷共22题，满分150分，共8页.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸､试题卷上答题无效.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的，黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整､笔迹清楚.4.保持答题卡卡面清洁，不折叠､不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合(){20},{236}A x xB x x x x =->=-<-∣∣，则A B = （）A. ()3,+∞B. ()2,+∞ C. ()2,5 D. ()2,3【答案】D 【解析】【分析】求出集合,A B ，再由交集的定义求解即可.【详解】因为()236x x x -<-，所以2560x x -+<，解得：23x <<，所以{2},{23}A xx B x x =>=<<∣∣，所以A B = ()2,3.故选：D .2. 已知复数12ππcos isin ,i 55z z =+=，则12z z 在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数乘法运算和坐标对应方式即可做出选择.【详解】12ππππcos isin i sin icos 5555z z ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，对应复平面内对应的点ππsin ,cos 55⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为ππsin0,cos 055-<>，所以ππsin ,cos 55⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第二象限.故选：B3. 已知()0,π,sin cos θθθ∈=，则sin cos =θθ（）A. B. 12-C.12D.【答案】C 【解析】【分析】根据同角三角函数关系和θ范围即可解出sin cos θθ==，则得到答案.【详解】因为()0,π,sin cos θθθ∈=，则π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，结合22sin cos 1θθ+=，解得sin cos θθ==，则21sin cos 2θθ==，故选：C.4. 已知圆柱母线长等于2，过母线作截面，截面的最大周长等于8，则该圆柱的体积等于（）A. π B. 2πC. 4πD. 8π【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件知当截面的周长最大时，截面为圆柱的轴截面，结合已知条件求出圆柱的半径，利用圆柱的体积公式即可求解.【详解】当过母线作截面，截面的周长最大时，此时截面为轴截面.设圆柱的底面半径为r ，则因为过母线作截面，截面的最大周长等于8，所以()2228r ⨯+=，解得1r =.所以该圆柱的体积为2π122π⨯⨯=.故选：B.5. 函数()f x 的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（）x -2-101235()f x 2.31.10.71.12.35.949.1A. ()xf x ka b=+B. ()e xf x kx b=+C. ()f x k x b =+D. ()2(1)f x k x b=-+【答案】A 【解析】【分析】由函数()f x 的数据即可得出答案.【详解】由函数()f x 的数据可知，函数()()()()22,11f f f f -=-=，偶函数满足此性质，可排除B ，D ；当0x >时，由函数()f x 的数据可知，函数()f x 增长越来越快，可排除C .故选：A .6. 若抛物线24y x =与椭圆2222:11x y E a a +=-的交点在x 轴上的射影恰好是E 的焦点，则E 的离心率为（）A.B.C.1D.1-【答案】C 【解析】【分析】求出椭圆与抛物线交点坐标，代入椭圆方程并结合离心率定义即可.【详解】不妨设椭圆与抛物线在第一象限的交点为A ，椭圆E 右焦点为F ，则根据题意得AF x ⊥轴，()22211c a a =--=，则1c =，则()1,0F ，当1x =时，241=⨯y ，则2A y =，则()1,2A ，代入椭圆方程得22221211a a +=-，结合210a ->，不妨令0a >；解得1a =+，则其离心率1c e a ===-，故选：C.7. 某学校举办运动会，径赛类共设100米､200米､400米､800米､1500米5个项目，田赛类共设铅球､跳高､跳远､三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（） D. 504C. 252B. 140A. 70【答案】B 【解析】【分析】由分类加法、分步乘法计数原理以及排列组合的计算即可得解.【详解】由题意若甲、乙的相同的参赛项目为径赛类项目，则有15C 5=种选法，他们再分别从田赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有24A 4312=⨯=种选法，所以此时满足题意的选法有1254C A 51260=⨯=，由题意若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目，则有14C 4=种选法，他们再分别从径赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有45A 5420=⨯=种选法，所以此时满足题意的选法有1245C A 42080=⨯=，综上所述，甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于6080140+=种.故选：B8. 已知函数()()41134f x x x x=+≤≤-.若函数()y f x a =-存在零点，则a 的取值范围为（）A. 97,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 713,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 913,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】对()f x 求导，求出()f x 的单调性和最值，函数()y f x a =-存在零点，即()y f x =与y a =的图象有交点，即可求出a 的取值范围.【详解】()()()()()()22222223884133264444x x x x f x x x x x x x -+--+-=-+==--'-，令()0f x '<，解得：813x <<；令()0f x '>，解得：833x <<，所以()f x 在813⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在8,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()411311413f =+=-，()41733433f =+=-，84198834433f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭-，所以()f x 的最大值为133，最小值为94，故()913,43f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()y f x a =-存在零点，即()0f x a -=，即()y f x =与y a =的图象有交点，所以913,43a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：C ,二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 抛掷一枚股子，设事件A =“出现的点数为偶数”，事件B =“出现的点数为3的倍数”，则（）.A. A 与B 是互斥事件B. A B ⋃不是必然事件C. ()13P AB =D. ()23P A B ⋃=【答案】BD 【解析】【分析】利用事件的关系，互斥事件与对立事件的定义结合古典概型的概率公式，即可判断求解.【详解】掷骰子有点数为1，2，3，4，5，6六种结果，事件A =“出现的点数为偶数”包含2，4，6三种结果，事件B =“出现的点数为3的倍数”包含3，6两种结果，对于A ，事件A ，B 有可能同时发生，故事件A ，B 不是互斥事件，故A 错误；对于B ，事件A B ⋃包含2,3,4,6四种结果，所以A B ⋃不是必然事件，故B 正确；对于C ，事件AB 包含6一种结果，所以()16P AB =，故C 错误；对于D ，()()()()32126663P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=，故D 正确.故选：BD.10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当1,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()2f x x =，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()sin πf x x =，则（）A. 12033f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B. 24033f f ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 23032f f ⎛⎫⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 25052f f ⎛⎫⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】求出函数的周期，根据周期性计算函数值再判断即可.【详解】因为()()1f x f x +=-，则()()()21f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为2，对A ，11sin33f π⎛⎫==⎪⎝⎭，因为()()1f x f x +=-，令13x =-，则121223333f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦-⎣，显然12033f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对B ，因为()()2f x f x =+，则2433f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则24033f f ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对C ，31121222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2233f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2310323f f ⎛⎫⎛⎫+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对D ，22sin π055f ⎛⎫=>⎪⎝⎭，51πsin 1222f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则25052f f ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：BD.11. 已知抛物线2:4C x y =的准线为l ，焦点为F ，过F 的直线m 与C 交于,A B 两点，则（）A. l 的方程为1y =-B. l 与以线段AB 为直径的圆相切C. 当线段AB 中点的纵坐标为2时，3AB =D. 当m 的倾斜角等于45 时，8AB =【答案】ABD 【解析】【分析】A ，根据抛物线定义及圆与直线相切的判定判断B ，利用抛物线的定义求弦长可判断CD.【详解】由抛物线2:4C x y =的方程可知12p=，所以准线方程为1y =-，故A 正确；设AB 中点为M ，过,,B M A 分别作准线的垂线，垂足分别为,,B M A '''，则由梯形中位线可得2BB AA MM +='''，再由抛物线定义可得，,BF BB AF AA '=='，所以22BF AFAB MM +=='，即圆心到准线的距离等于半径，所以l 与以线段AB 为直径的圆相切，故B 正确；设()()1122,,,A x y B x y ，因为AB 中点的纵坐标为2，所以124y y +=，由抛物线的定义可知12116AB AF BF y y =+=+++=，故C 错误；当m 的倾斜角等于45 时，由于(0,1)F ，所以直线m 的方程为1y x =+，联立214y x x y=+⎧⎨=⎩，消去x ，得2610y y -+=，所以126y y +=，由抛物线定义可得12118AB AF BF y y =+=+++=，故D 正确.故选：ABD12. 在空间直角坐标系Oxyz 中，()0,0,0A ，()1,1,0B ，()0,2,0C ，()3,2,1D -，()2,2,1E x 在球F 的球面上，则（）A. DE //平面ABC B. 球F 表面积等于100πC. 点D 到平面ACED. 平面ACD 与平面ACE 的夹角的正弦值等于45【答案】AC 【解析】【分析】由球心F 在平面ABC 上的投影位置及D 点求球心F 的坐标和球半径，可得E 点坐标，利用空间向量计算点D 到平面ACE 的距离和平面ACD 与平面ACE 的夹角的正弦值.【详解】平面ABC 的一个法向量(0,0,1)n =，2(3,0,0)DE x =+ ，则0n DE ⋅=，又因为DE ⊄平面ABC ，所以//DE 平面ABC ，A 正确；因为()0,0,0A ，()1,1,0B ，()0,2,0C ，则AB BC ⊥，球心F 在平面xOy 上的投影点即ABC 外接圆圆心(0,1,0)F '，的设(0,1,)F z ，因FC FD =，则22222(12)(03)(12)(1)z z -+=++-+-，得5z =，即(0,1,5)F，球半径R FC ==，球F 表面积4π26104πS =⨯=，B 错误；由FE R =，2222(0)(21)(15)26x -+-+-=，得23x =，(3,2,1)E ，(0,2,0)AC =，(3,2,1)AE = ，设平面ACE 的一个法向量(,,)m a b c = ，AE m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以32020a b c b ++=⎧⎨=⎩，取(1,0,3)m =- ，(3,2,1)AD =- ，点D 到平面ACE的距离等于AD m m ⋅== ，C 正确；同理可得平面ACD 的一个法向量(1,0,3)s =，平面ACD 与平面ACE的夹角的余弦值等于45s m s m ⋅==⋅ ，正弦值等于35，D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：注意到A ，B ，C 三点共面，且平面ABC 即为平面xOy ，所以易得球心F 在平面ABC 上的投影，将空间问题平面化.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在平行四边形ABCD 中，()()1,2,4,2AB AD ==- ，则||||AC BD +=__________.【答案】10【解析】【分析】根据向量加减的坐标运算和向量模的坐标运算即可得到答案.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形，则()5,0A A C AB D =+=，()3,4BD AD AB =-=-，则||||10AC BD +==，故答案为：10.14. 数列{}n a 中，111,2+==+nn n a a a ，则4a =__________.【答案】15【解析】【分析】根据递推关系求解即可.为【详解】由111,2+==+nn n a a a ，可得2123a a =+=，2322347a a =+=+=，34327815a a =+=+=.故答案为：1515. 已知直线:2l x y +=，圆C 被l 所截得到的两段弧的长度之比为1:3，则圆C 的方程可以为__________.（只需写出一个满足条件的方程即可）【答案】224x y +=（答案不唯一）【解析】【分析】求出圆心到直线的距离与半径的关系，再假设圆心位于原点，代入计算即可.【详解】若圆C 被l 所截得到的两段弧的长度之比为1:3，则劣弧所对圆心角为1242ππ⨯=，设圆C 的半径为r ，则圆心到直线l 的距离为sin4r π=，不妨使得圆心为坐标原点，设圆C 的方程为222x y r +=，，解得2r =，则此时圆C 的方程为224x y +=，故答案为：224x y +=（答案不唯一.）16. 若222ln 0x x a x -+≥，则a 的取值范围为__________.【答案】{2}-【解析】【分析】令2()22ln f x x x a x =-+，根据(1)0f =，可转化为min ()(1)f x f =，利用()01f '=求出a ，再检验即可得解.【详解】令2()22ln f x x x a x =-+，则定义域为(0,)+∞，且(1)0f =，由题意，0x ∀>，()0(1)f x f ≥=，min ()(1)f x f ∴=，又()f x 在(0,)+∞上可导，所以1x =为函数()f x 的极值点，()42af x x x'=-+，(1)420f a '∴=-+=，即2a =-，当2a =-时，224222(21)(1)()42x x x x f x x x x x--+-'=--==，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以min ()(1)0f x f ==，()0f x ≥成立.综上，222ln 0x x a x -+≥时a 的取值范围为{2}-.故答案为：{2}-四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，1133522,5,20a b a b a b ==+=+=.（1）求{}n a 的公差d ；（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n S ，若0n a >，求20S .【答案】（1）12d =或52d =- （2）10-【解析】【分析】（1）根据已知条件及等差等比数列的通项公式即可求解；（2）根据（1）的结论及等差等比数列的通项公式，利用分组求和及等差数列的前n 项和公式即可求解.【小问1详解】设等比数列{}n b 的公比为q ，由题意得222252440d q d q ⎧++=⎨++=⎩，整理，得22232210q d q d ⎧+=⎨++=⎩，消去q ，得24850d d +-=，解得12d =或52d =-.【小问2详解】由（1）得112q d =-⎧⎪⎨=⎪⎩或252q d =⎧⎪⎨=-⎪⎩.因为0n a >，所以0d >，故112q d =-⎧⎪⎨=⎪⎩.从而()13,212n n n n a b -+==⋅-，()()131n n n a b n -=+⨯-1122334455661919202200S a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++= 4567892223--+-+=+-+ ()()4682257923++++-+++=+ ()()10422105231022⨯+⨯+=-=-.18. 教育部印发的《国家学生体质健康标准》，要求学校每学年开展全校学生的体质健康测试工作.某中学为提高学生的体质健康水平，组织了“坐位体前屈”专项训练.现随机抽取高一男生和高二男生共60人进行“坐位体前屈”专项测试.高一男生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩在[)5,10的男生有4人.高二男生成绩（单位：cm ）如下：10212.8 6.4 6.614.38.316.815.99.717.518.618.319.423.019.720.524.920.525.117.5（1）估计高一男生成绩的平均数和高二男生成绩的第40百分位数；（2）《国家学生体质健康标准》规定，高一男生“坐位体前屈”成绩良好等级线为15cm ，高二男生为16.1cm .已知该校高一年男生有600人，高二年男生有500人，完成下列22⨯列联表，依据小概率值0.005α=的独立性检验，能否认为该校男生“坐位体前屈”成绩优良等级与年级有关？.等级年级良好及以上良好以下合计高一高二合计附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.050.0100.0050.001x α3.8416.6357.87910.828【答案】（1）15，16.35 （2）详见解析【解析】【分析】（1）完善频率分布直方图，根据频率分布直方图求高一男生成绩平均值，根据所给数据按百分位数定义求高二男生成绩第40百分位数；（2）列出列联表，计算2χ.【小问1详解】依题意得，抽取高二男生20人，所以抽取高一男生40人.因为高一男生成绩在[5,10)的男生有4人，所以450.140a ⨯==，解得002a =.由(0.010.070.04)51ab ++⨯++=，解得0.06b =.由样本估计总体，可估计高一男生成绩的平均数()1 2.50.017.50.0212.50.0717.50.0622.50.045x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯12.5(100.0550.100.3550.3100.2)15=⨯⨯⨯+--+++=⨯⨯.由200.48⨯=，可知样本数据的第40百分位数是第8项和第9项数据的均值，高二男生“坐位体前屈”成绩在[5,15)有7人，[15,20) 有8人,所以第40百分位数m 在[15,20)中，故15.916.816.352m +==.由样本估计总体，可估计高二男生成绩的第40百分位数为 16.35.【小问2详解】根据样本，知高一男生成绩良好及以上占50%，良好以下占50%，高二男生成绩良好及以上占1260%20=，良好以下占840%20=，由样本估计总体，可得22⨯列联表如下：良好及以上良好以下合计高一300300600高二300200500合计6005001100零假设为0H ：该校男生“坐位体前屈”成绩等级与年级之间无关.根据列联表中的数据，得()220.0051100300200300300117.879600500600500x χ⨯-⨯==>=⨯⨯⨯根据小概率值0.005α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为“坐位体前屈”成绩等级与年级有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.19.如图，两个棱长均等于2PABCDQ .（1）求证：PA 平面QBC ；（2）求平面PCD 与平面QBC 夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量共线可得//PA QC ，再由线面平行的判定定理得证；的（2）求出两个平面的法向量，利用向量夹角求出平面夹角的余弦，再转化为正弦即可.【小问1详解】连结,AC BD ，交于点O ，连结,PO QO ，由正四棱锥性质可知PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD ，所以,,P O Q 三点共线，又四边形ABCD 是正方形，可得,,PO AC BD 两两垂直，且交于点O .以O 为原点，分别以,,OB OC OP的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，如图，由2AO PA ==，在Rt PAO △中，PO =，则(()()())(,0,,,,,0,0,P A D C BQ ，从而((0,,PA QC ==，故PA QC =-，又A QC ∉，所以//PA QC ，又PA ⊄平面QBC ，QC ⊂平面QBC ，所以PA 平面QBC .【小问2详解】由（1）可得(((,,,PC PD QC QB ====，设平面PCD 的法向量1111(,,)n x y z =，则1111110n PC n PD ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令11z =，得1(1,1,1)n =-，设平面QBC 的法向量2222(,,)n x y z =，则2222220n QB n QC ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令21z =，得2(1,1,1)n =--，所以1212121cos ,3n n n n n n ⋅===，设平面PCD 与平面QBC 的夹角为θ，则121cos cos ,3n n θ==，所以sin θ==.20. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.（1）求第2次摸到红球的概率；（2）设第1,2,3次都摸到红球的概率为1P ；第1次摸到红球的概率为2P ；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为3P ；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为4P .求1234,,,P P P P ；（3）对于事件,,A B C ，当()0P AB >时，写出()()()(),,,P A P BA P C AB P ABC ∣∣的等量关系式，并加以证明.【答案】（1）710（2）详见解析（3）详见解析【解析】【分析】（1）根据全概率公式求解即可；（2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解；（3）根据（2）猜想()()()()P ABC P A P B A P C AB =，由条件概率公式证明即可.【小问1详解】记事件“第i 次摸到红球”为()1,2,3,,10i A i = ，则第2次摸到红球的事件为2A ，于是由全概率公式，得()()()()()2121121||P A P A P A A P A P A A =+7237710310910=⨯+⨯=.【小问2详解】由已知得()371123310A 7A 24P P A A A ===，()21710P P A ==，()()()21273212110A 107102|A 71573P A A P P A A P A ===⨯=⨯=，()()()1234312127155|2478P A A A P P A A A P A A ===⨯=.【小问3详解】由（2）可得1234P P P P =，即()()()()123121312||P A A A P A P A A P A A A =，可猜想：()()()()P ABC P A P B A P C AB =,证明如下：由条件概率及()0()0,P A P AB >>，得()()()|P AB P B A P A =，()()()|P ABC P C AB P AB =，所以()()()()()()()()()P AB P ABC P A P B A P C AB P A P ABC P A P AB =⋅⋅=.21. ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知()sin sin sin B C b cb B Ca c+-==+-.（1）若π6C =，求a ；（2）点D 是ABC 外一点，AC 平分BAD ∠，且2π3ADC ∠=，求BCD △的面积的取值范围.【答案】（1）2 （2）0BCD S < 【解析】【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求出即可；（2）由正弦定理把边化成角，再用三角形面积公式1sin 2BCD S BC CD BCD =×Ð 结合导数求出范围.【小问1详解】由正弦定理可知sin sin sin a b cA B C==，所以()()sin sin πsin sin sin sin sin sin sin B C A A a b cB CB CB C b c a c+--====++++-，所以222222a ac b c a c b ac -=-Þ+-=，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==，因为ABC 的内角,,A B C ，所以π3B =，又π6C =，所以π,2π2cos 6b A a ====.【小问2详解】由正弦定理22sin sin sin AC BC BC BACB BAC ===Þ=ÐÐ，22sin sin sin AC CD CD DACADC DAC ==Þ=ÐÐÐ，又AC 平分BAD ∠，所以BAC DAC ∠=∠，因为四边形ABCD 的内角和为2π，且πB ADC ∠+∠=，易知π2BAC BCD -Ð=Ð，所以1sin 2BCD S BC CD BCD =×Ð 1=2sin 2sin sin 2BAC DAC BCD ´Ð´Ð´Ð()22sin sin π2BAC BAC =Ð´-Ð22sin sin 2BAC BAC =Ð´Ð()1cos 2sin 2BAC BAC =-ÐÐ，①设2BAC x Ð=，则①()1cos sin sin cos sin x x x x x =-=-，令()sin cos sin f x x x x =-，则()()()222()cos sin cos 2cos cos 12cos 1cos 1f x x x x x x x x ¢=--+=-++=+-+，因为在ACD 中π03DAC <Ð<，所以202π3BAC <Ð<，所以1cos 12x -<<，所以1cos 12x -<<时()0f x '>恒成立，且1cos 2x =-，2π3x =时()f x =，cos 1x =，0x =时()0f x =，则0()f x <，所以0BCD S < .22. 动圆C 与圆221:(4C x y ++=和圆222:(4C x y -+=中的一个内切，另一个外切，记点C 的轨迹为E .（1）求E 的方程；（2）已知点()331,,42M t t x ⎛⎫<<⎪⎝⎭轴与E 交于,A B 两点，直线AM 与E 交于另一点P ，直线BM 与E交于另一点Q ，记,ABM PQM 的面积分别为12,S S .若214915S S =，求直线PQ 的方程.【答案】（1）2214x y -=（2）280x y --=【解析】【分析】（1）根据题意可得1212||||4||CC CC C C -=<=，利用双曲线的定义可判断轨迹，写出方程；（2）联立直线与双曲线的方程，分别求出,P Q 关于t 的坐标，利用三角形面积公式及面积比值可得1t =，可得,P Q 坐标，据此求出直线方程.【小问1详解】由题意，圆心分别为12(C C ，两圆半径都为2，设圆C 的半径为R ，由题意得12||2||2R CC CC =-=+或21||2||2R CC CC =-=+，故1212||||4||CC CC C C -=<=，所以点C 的轨迹是以12,C C 为焦点，实轴长为4的双曲线,其中21,a c b ====，所以轨迹E 的方程为2214x y -=.【小问2详解】如图，由题意可得()(),,,203,2,0AM BM tA B k k t -==-，所以直线AM 的方程为()23ty x =+，直线BM 的方程为(2)y t x =--，设()()1122,,,P x y Q x y ，由()222314t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y ，得()2222941616360t x t x t ----=，由2121636,2,94A A P P t x x x x x t --⋅==-=-，得21281894t x t+=-，从而212281812239494t t ty t t ⎛⎫+=+= ⎪--⎝⎭，故22281812,9494t t P t t ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，由()22214y t x x y ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩，消去y ，得()222214161640t x t x t -+--=，由2216414B Q t x x t --⋅=-，22,B Q x x x ==，得2228241t x t +=-，从而222282424141t ty t t t ⎛⎫+-=-⋅-= ⎪--⎝⎭，故22282441,14t t Q t t ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭，因为,ABM PQM 的面积分别为12,S S ，且214915S S =，sin sin PMQ AMB ∠∠=，所以211sin 21sin 2MP MQ PMQS S MA MB AMB ⋅∠==⋅∠()()121211|1||1|||||||||1(2)123x x x x MP MQ MA MB ---⋅-⋅==⋅--⋅-，由214915S S =，得214915S S =，即()()()22224349159441t t t+=--，又因为34t <()()()22224349159441t t t+=--，化简，可得21t =，解得1t =，当1t =时，2655,12P ⎛⎫⎪⎝⎭，1033,4Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以124532261053PQk +==-,所以直线PQ 的方程为1226255y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即280x y --=.。

2014年高考理科综合福建卷(含详细答案)

理科综合能力测试试卷第1页（共46页）理科综合能力测试试卷第2页（共46页）绝密★启用前 2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分300分，考试时间150分钟。

可能用到的相对原子质量：H —1 O —16 S —32 I —127 Fe —56第Ⅰ卷（选择题共108分）本卷共18小题，每小题6分，共108分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1. 用蛋白酶去除大肠杆菌核糖体的蛋白质，处理后的核糖体仍可催化氨基酸的脱水缩合反应。

由此可推测核糖体中能催化该反应的物质是（）A. 蛋白酶B. RNA 聚合酶C. RNAD. 逆转录酶2. 运动时汗腺分泌大量汗液，汗液初始的渗透压与血浆相等，在流经汗腺导管排出体外过程中大部分Na +、Cl -被重吸收，而水很少被吸收。

下列叙述正确的是（） A. 出汗可使血浆渗透压降低B. 出汗不利于体温维持稳定C. 汗腺导管重吸收Na +需消耗ATPD. 下丘脑渗透压感受器兴奋减弱 3. 研究人员用样方法调查了某地北点地梅（一年生草本植物）的种群数量变化，结果如图所示。

下列叙述正确的是（）A. 1972年北点地梅个体间生存斗争程度较1975年低B. 1971年种子萌发至幼苗阶段的死亡率高于幼苗至成熟植株阶段C. 统计种群密度时，应去掉采集数据中最大、最小值后取平均值D. 由于环境条件的限制，5年间该种群数量呈“S ”型增长4. 细胞的膜蛋白具有物质运输、信息传递、免疫识别等重要生理功能。

下列图中，可正确示意不同细胞的膜蛋白及其相应功能的是（）A.B.C.D.5. STR 是DNA 分子上以2～6个核苷酸为单元重复排列而成的片段，单元的重复次数在不同个体间存在差异。

现已筛选出一系列不同位点的STR 用作亲子鉴定，如7号染色体有一个STR 位点以“GA TA ”为单元，重复7～17次；X 染色体有一个STR 位点以“ATAG ”为单元，重复11～15次。

数学文卷·2014届建省泉州市普通中学高中毕业班单科质量检查(2014.01)

泉州市2014届普通中学高中毕业班单科质量检查文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．C 2．A 3．C 4．B 5．A 6．D 7．C 8．D 9．C 10．D 11．C 12．D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.13 14．7515．48+ 16．()28f x x x c =-++(c 为任意实数)（填写其中一种情况即可）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．本小题主要考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．解析：（Ⅰ）根据频数分布表，成绩在[)120,130，[)130,140，[]140,150中共有100人，成绩在[)120,130的有60人， …………2分故用分层抽样的方法所抽取的5人中，成绩在[)120,130的人数为6053100⨯=. …5分（Ⅱ）从（Ⅰ）中抽出的5人中，成绩在[)120,130的有3名同学，记为1,23a a a ，成绩在[)130,140和[]140,150的各有1名同学，分别记为b 和c ， …………6分则从（Ⅰ）中抽出的5人中，任取2人的所有情况为{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}121311232233,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a c a a a b a c a b a c b c ，共有10个基本事件， …………9分记事件[)[){}120,130130,1401A =成绩在和中各有人，该事件包含的基本事件为{}{}{}123,,,,,a b a b a b ，共有3个，…10分故3()10P A =. …………12分 18．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等. 满分12分. 解析:（Ⅰ）依题意可知233,9a a ==.设等差数列{}n b 的公差为d ，Q 1243,b a b a ==，∴143,9b b ==， …………1分又Q 413b b d =+，∴2d =， …………3分∴1(1)21n b b n d n =+-=+. …………5分（Ⅱ）数列{}n a 的一个通项公式为13n n a -=， …………7分∴()1321n n n a b n -+=++，∴()()2113333521n n S n -=+++++++++⎡⎤⎣⎦L L23122n n n -=++. …………12分19．本小题主要考查三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等．. 满分12分. 解析：（Ⅰ）()22cos1cos 2xf x x ==+， 2()(sin cos )12sin cos 1sin 2222x x x xg x x =+=+=+，…3分Q ()1cos()1sin 22f x x x ππ-=+-=+，∴()2f x g x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,命题得证.…5分（Ⅱ）函数()()()h x f x g x =-cos sin x x =-2(cos )22x x =-)4x π=+ ， ………7分∵[]0,x π∈, ∴ 5444x πππ≤+≤，当44x πππ≤+≤ ，即304x π≤≤ 时，()h x 递减；当544x πππ≤+≤ ，即34x ππ≤≤ 时，()h x 递增.∴函数()h x 的单调递减区间为30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增区间为3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. …10分根据函数()h x 的单调性，可知当34x π=时函数()h x 取到最小值. ……12分 20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分12分. 解析：（Ⅰ）连结AC BD 、， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥.……1分∵ PD ABCD ⊥平面，又AC ABCD ⊂平面，∴AC PD ⊥，……2分又∵PD BD D =I ， ∴AC PBD ⊥平面.…4分 ∵PB PBD ⊂平面, ∴AC PB ⊥ ． ……………5分（Ⅱ）如图连结,,OE BE DE ，∵//PA BDE 平面，PA ⊂PAC 平面，PAC 平面BDE OE ⋂=平面，∴//PA OE .∵O 为AC 的中点，∴E 为PC 的中点. ……………7分取DC 的中点H ，连结EH ，则//EH PD ，又∵PD ABCD ⊥平面，CA∴EH ⊥ABCD 平面，即EH 是四面体E BDC -的高． ………8分根据斜二测画法的规则及题设已知条件可以得到：在11D O C '∆中，01145D O C '∠=，111D C O C '==由余弦定理可以解得：11O D '=或13O D '=.又因为11O D O C ''<，所以11O D '=． ……………9分从而，可以得到菱形ABCD 的对角线4DB =，而OC =12BDC S BD OC ∆=⋅⋅=……………10分∵四面体E BDC -的体积为13⋅EH ⋅BDC S ∆=，求得94EH =，故侧棱PD 的长是9.2…………12分21．本小题主要考查圆锥曲线、直线与圆锥曲线、合情推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．解析：（Ⅰ）因为点M 到点()1,0F 和直线1-=x 的距离相等，由抛物线定义，可知曲线C 是抛物线，其中()1,0F 是焦点，所以曲线C 的方程为x y 42=. ……………3分（Ⅱ）根据图形可以直观判断，直线1l ，2l 的斜率存在且不等于0，故不妨设1l 的方程为()1y k x =-()0k ≠，()111,P x y ，()222,P x y ，由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得()2222240k x k x k -++=， ∴ 212224k x x k ++=，121x x =. ……………5分因为曲线C 与1l 交于点1P ,2P 且1l 过焦点()1,0F ，所以12122PP x x =++ 22242k k +=+2244k k +=. ……………7分同理可得21221441k Q Q k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭244k =+， ……………8分所以2221212111144444k PP Q Q k k +=+=++. ……………9分（Ⅲ）若1l ，2l 是过椭圆22:143x y Γ+=的焦点且相互垂直的两条直线，其中椭圆Γ与1l 交于点1P ,2P ,与2l 交于点1Q ,2Q ，则121211712PP Q Q +=. ……………12分 (注：只说明121211PP Q Q +为定值或给出错误的定值扣1分 .)22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分14分. 解:（Ⅰ）因为()1f x a x'=-， ………1分又因为函数()f x 在点()()1,1A f 处的切线斜率为2，所以()12f '=，解得1a =-. ……………3分（Ⅱ）因为()1,A a -，()11f a '=-，所以切线l 的方程为：()11y a x =--. ……………4分令()()()11g x f x a x =---⎡⎤⎣⎦ln 1(0)x x x =-+>，则()11g x x '=-1xx-=，由0x >得，当()0,1x ∈时()0g x '>,当()1,x ∈+∞时()0g x '<，…6分所以函数()g x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，……7分从而，当1x =时，()g x 取得最大值()10g =，所以()0g x ≤即()()11f x a x ≤--，从而证得函数()f x 的图象恒在其切线l 的下方（切点除外）；……9分（Ⅲ）解法一：因为()1,A a -，()000,ln Q x x ax -，所以QA k 000ln 1x ax a x -+=-00ln 1x a x =--， …10分所以当01x >时，0ln 21x a x -<-，即()()00ln 210x a x -+-<恒成立. ……11分令()()()()ln 211h x x a x x =-+->，则()()12h x a x'=-+. 因为1x >，所以101x<<. （ⅰ）当2a ≤-时，20a +≤，此时()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞单调递增，有()()10h x h >=，不满足题意；（ⅱ）当21a -<<-时，021a <+<，∴当11,2x a ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭时，()0h x '>，当1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪+⎝⎭时，()0h x '<，所以至少存在11,2s a ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，使得()()10h s h >=,不满足题意；（ⅲ）当1a ≥-时，21a +≥，此时()0h x '<，∴()h x 在()1,+∞单调递减，()()10h x h <=,满足题意. 综上可得：1a ≥-.……………14分解法二：因为()1,A a -，()000,ln Q x x ax -，所以QA k 000ln 1x ax a x -+=-00ln 1x a x =--， …10分所以,当01x >时，00ln 21x a x -<-，即00ln 21x a x +>-对01x >恒成立.…11分令()()()ln 11h x x x x =-->，则()11h x x'=-. ∵()10xh x x-'=<,∴()h x 在()1,+∞单调递减， ∴()()10h x h <=，即ln 1x x <-，ln 11xx <-(1x >). …12分注意到当1x →时，()0h x →，ln 1x x →-，ln 11xx →-，…13分所以21a +≥，即1a ≥-. ……………14分。

2024福建省泉州市高三高中毕业班质量监测数学试题与解析

保密★使用泉州市2024届高中毕业班质量监测（一）2023.08数学考试用时120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合(){}30A x x x =∈-<Z ，{}1,2,3B =-，则A B = （）A.{}2 B.{}2,3 C.{}1,1,2,3- D.∅2.已知复数21iz =-，则2i z +=（）A.C. D.103.已知2sin 21cos 2αα=+，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.2-B.12-C.12D.24.已知函数()2f x x =，()22x x g x -=-，如图是下列四个函数中某个函数的大致图象，则该函数是（）A.()()f xg x + B.()()f xg x ⋅ C.()()g x f x D.()()f xg x5.已知双曲线222:16x y C a -=的焦距为C 的渐近线方程是（）A.y x =±B.y =C.3y x =±D.7y x =±6.记等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若33S =，8596S S -=-，则6S =（）A.3- B.6- C.21- D.24-7.已知函数())2sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,2内有且仅有3个零点，则ω的值可以是（）A.3B.5C.7D.98.方程2y xx y x y x=满足x y ≤的正整数解的组数为（）A.0B.1C.2D.无数组二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.已知函数()22,1,log ,1,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则下列结论正确的是（）A.()()03f f <B.()f x 为增函数C.()f x 的值域为()0,+∞ D.方程()f x a =最多有两个解10.某市组织全市高中学生进行知识竞赛，为了解学生知识掌握情况，从全市随机抽取了100名学生，将他们的成绩（单位：分）分成5组：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中未知的数据a ，b ，c 成等差数列，成绩落在[)60,70内的人数为40.从分数在[)70,80和[)80,90的两组学生中采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取3人，记3人中成绩在[)80,90内的人数为ξ，设事件A =“至少1人成绩在[)80,90内”，事件B =“3人成绩均在[)70,80内”.则下列结论正确的是（）A.0.03b =B.()65E ξ=C.A 与B 是互斥事件，但不是对立事件D.估计该市学生知识竞赛成绩的中位数不高于72分11.已知圆柱12OO 的轴截面是正方形ABCD ，AB 为底面圆1O 的直径，点E 在圆1O 上，点F 在圆2O 上，且E ，F 不在平面ABCD 内.若A ，E ，C ，F 四点共面，则（）A.直线BE ∥平面ADFB.直线BD ⊥平面AECFC.平面ADF ∥平面BCED.平面BEF ⊥平面AECF12.已知ABP △的顶点P 在圆()()22:3481C x y -+-=上，顶点A ，B 在圆22:4O x y +=上.若AB =）A.ABP △的面积的最大值为B.直线PA 被圆C截得的弦长的最小值为C.有且仅有一个点P ，使得ABP △为等边三角形D.有且仅有一个点P ，使得直线PA ，PB 都是圆O 的切线泉州市2024届高中毕业班质量监测（一）2023.08数学三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2014年高考数学真题汇编(含答案)：数列

2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word 解析版) 十一、数列（逐题详解）第I 部分1.【2014年重庆卷（理02）】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列【答案】D【解析】设{}n a 公比为q ，因为336936,a aq q a a ==，所以369,,a a a 成等比数列，选择D2.【2014年福建卷（理03）】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，S 3=12，则a 6等于（） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14【答案】C【解析】由题意可得S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2=12，解得a 2=4，∴公差d=a 2﹣a 1=4﹣2=2，∴a 6=a 1+5d=2+5×2=12，故选：C ．3.【2014年辽宁卷（理08）】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >【答案】C【解析】∵等差数列{a n }的公差为d ，∴a n+1﹣a n =d ，又数列{2}为递减数列，∴=＜1，∴a 1d ＜0．故选：C4.【2014年全国大纲卷（10）】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C【解析】∵等比数列{a n }中a 4=2，a 5=5，∴a 4•a 5=2×5=10，∴数列{lga n }的前8项和S=lga 1+lga 2+…+lga 8=lg （a 1•a 2…a 8）=lg （a 4•a 5）4=4lg （a 4•a 5）=4lg10=4故选：C第II 部分5.【2014年上海卷（理08）】设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q = .【答案】q =【解析】：22311110112a a q a q q q q q -±==⇒+-=⇒=--，∵01q <<，∴q =6.【2014年广东卷（理13）】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= 。

福建省泉州市2018届高三1月单科质量检查数学(理) Word版含答案

泉州市2018届高中毕业班单科质量检查理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}210A x x =-≥，{}210B x x =-≤，则A B = （A ）{}1x x ≥- （B ）{}1x x ≥ （C ）112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ （D ）112x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【命题意图】本小题主要考查解不等式、交集等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算．【试题简析】因为1{|}2A x x =≥，{|11}B x x =-≤≤，所以1{|1}2A B x x =≤ ，故选D. 【错选原因】错选A ：误求成A B ；错选B ：集合B 解错，解成{}11或B x x x =≤-≥；错选C ：集合A 解错，解成1{|}2A x x =≤.【变式题源】（2015全国卷I·理1）已知集合{}1A x x =<，{}31x B x =<，则（A ）{|0}A B x x =< （B ）A B =R （C ）{|1}A B x x => （D ）A B =∅（2）已知z 为复数z 的共轭复数，()1i 2i z -=，则z =（A ）1i --（B ）1i -+（C ）1i - （D ）1i + 【命题意图】本小题主要考查复数的运算、共轭复数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算．【试题简析】因为22(1)11(1)(1)i i i z i i i i +===-+--+，所以1z i =--，故选（A ）. 【错选原因】错选B ：求出1z i =-+，忘了求z ；错选C ：错解1i z =+；错选D ：错解1i z =-.【变式题源】（2015全国卷Ⅰ·文3）已知复数z 满足(z -1)i =1+i ，则z=A ．-2-iB ．-2+iC ．2-iD ．2+i（3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若212a a -=，549S S -=，则50a =（A ）99 （B ）101 （C ） 2500 （D ）4592⨯【命题意图】本小题主要考查等差数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算．【试题简析】依题意得，212d a a =-=，5549a S S =-=，所以5054599a a d =+=，故选C.【错选原因】错选A ：n S 的公式记忆错误，导致计算错误；错选B ：n S 的公式记忆错误，导致计算错误；错选D ：误认为544S S a -=.【变式题源】（2017全国卷Ⅰ·理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8（4）已知点(2,1)在双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的渐近线上，则E 的离心率等于（A（B（C（D【命题意图】本小题主要考查双曲线的渐近线、离心率等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查数学运算．【试题简析】由题意得，点(2,1)在直线b y x a =上，则12b a =，所以e == B. 【错选原因】错选A ：误认为222c a b =-导致错误；错选C ：误认为双曲线的焦点在y 轴上.错选D ：未判断双曲线的焦点位置. 【变式题源】（2013全国卷Ⅰ·理4）已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)C 的渐近线方程为（A ）y ＝14x ± （B ）y ＝13x ± （C ）y ＝12x ± （D ）y x =± （5）已知实数,x y 满足1,30,220,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩则z x y =-的最大值为（A ）-1 （B ）13（C ）1 （D ）3【命题意图】本小题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，考查直观想象、数学运算等．【试题简析】由已知条件，可行域如右图阴影部分.其中阴影区域三角形的三个顶点分别为54(1,0),(1,2),(,)33，把三个点分别代入z x y =-检验得：当1,0x y ==时，z 取得最大值1，故选D.【错选原因】错选A ：误把z -的最大值当成z x y =-的最大值；错选B ：误把z 的最小值当成z x y =-的最大值；错选C ：误把z -的最小值当成z x y =-的最大值.【变式题源】（2017全国卷Ⅰ·理14）设x ，y 满足约束条件21,21,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩则32z x y =-的最小值为．（6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（A ）16π3 （B ）11π2 （C ）17π3 （D ） 35π6【命题意图】本小题主要考查三视图、空间几何体的体积，等基础知识，考查空间想像能力、运算求解能力、创新意识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查数学抽象、直观想象等．【试题简析】该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个14圆锥，然后挖掉一个相同的14圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此321633V r ππ==，故选A. 【错选原因】错选B ：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个14圆锥，且未挖掉一个相同的14圆锥. 错选C ：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个12圆锥，且未挖掉一个相同的14圆锥. 错选D ：圆锥的公式记忆错误.【变式题源】（2016全国卷Ⅰ·理6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的表面积是（A ）π17 （B ）π18（C ）π20 （D ）π28（7）《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7【命题意图】本小题主要考查程序框图，数列求和等基础知识；考查学生的运算求解能力及数据处理能力；考查化归与转化思想、分类与整合思想；考查数学抽象和数学运算等.【试题简析】解法一：0,0,1,1i S x y ====开始执行，然后11,11,2,2i S x y ==+==⋅⋅⋅ 111115,(124816)(1)33,32,2481632i S x y ==+++++++++<==，再执行一行，然后输出6i = 解法二：本题要解决的问题是数列求和的问题，11211111,2,,2(2)22n n n a a a n --=+=+⋅⋅⋅=+≥ 1233n a a a ++⋅⋅⋅+≥，解得n 的最小值为6.【错选原因】错选A ：可能把2x x =误当成2x x =来算；错选B ：当执行到5i =时，11113224816S =++++，学生估值失误，误以为会达到33或按四舍五入得到. 错选D ：可能先执行了1i i =+后才输出.【变式题源】（2015年全国卷Ⅱ·理8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”. 执行该程序框图，若输入a ，b 分别为14，18，则输出的a = （A ）0（B ）2 （C ）4 （D ）14（8）下列函数中，图象关于原点对称且单调递增的是（A ）()sin f x x x =-（B ）()()()ln 1ln 1f x x x =--+ （C ）()e e 2x xf x -+= （D ）()e 1e 1x x f x -=+【命题意图】本小题主要考查函数的图象与奇偶性、单调性、定义域等基础知识；考查学生的运算求解能力；考查数形结合思想、特殊与一般思想；考查数学抽象、直观想象和数学运算等.【试题简析】A 选项：()cos 10f x x '=-≤，不符合图象上升这个条件；B 选项：定义域不关于原点对称；C 选项函数图象先减后增，在0x =时函数取得最小值；故选D【错选原因】错选A ：符合图象关于原点对称这个条件；错选B ：有的学生可能会通过各种方法判断函数的单调性，却忽略了定义域不关于原点对称；错选C ：有的学生可能根据函数过(0,0)而错选此项.【变式题源】（2011年全国卷Ⅱ·理2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（）（A ）3y x = （B ）||1y x =+ （C ）21y x =-+（D ）||2x y -=（9）已知 1.50.5a -=，6log 15b =，5log 16c =，则（A ）b c a << （B ）c b a << （C ）a b c << （D ）a c b <<【命题意图】本小题主要考查指对数函数等基础知识；考查学生的推理论证能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查数学运算和数据分析.【试题简析】 1.5 1.5655log 15log 15log 16220.5-<<<<=【错选原因】错选B ：对数函数的换底公式不熟悉导致；错选D ：对数函数的换底公式不熟悉导致；错选C ：指数的运算不过关导致.【变式题源】（2013年全国卷Ⅱ·理8）设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（A ）c b a >>（B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）a b c >>（10）已知1(,2)2P 是函数()sin()(0)f x A x ωϕω=+>图象的一个最高点,,B C 是与P 相邻的两个最低点．若7cos 25BPC ∠=，则()f x 的图象对称中心可以是（A ）()0,0 （B ）()1,0 （C ） ()2,0 （D ）()3,0【命题意图】本小题考查三角函数的图象和性质、解三角形、二倍角公式等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查数形结合思想、化归与转化思想以及函数与方程思想；考查数学抽象、直观想象和数学分析等.【试题简析】如图，取BC 的中点D ，连结PD ，则4PD =，设BD x =，则PB PC =余弦定理可得，2222(2)cos x BPC =+-∠，解得3x =，57(,2),(,2)22B C ---，,BP CP 的中点都是()f x 图象的对称中心.故选C .【错选原因】错选A ：平时缺乏训练，只记得正弦函数的对称中心是(0,0)错选B ：误把最高点的2当成了周期；错选D ：这类同学可以求出函数的周期是6，但没注意到函数并未过原点.【变式题源】（2015年全国卷I·理8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（A ）13(,),44k k k ππ-+∈Z （B ）13(2,2),44k k k ππ-+∈Z （C ）13(,),44k k k -+∈Z （D ）13(2,2),44kk k -+∈Z（11）已知直线l ：0mx y m -+=，圆C ：()224x a y -+=.若对任意[1,)a ∈+∞，存在l 被C 截得弦长为2，则实数m 的取值范围是（A）[ （B）(,)-∞+∞（C）[ （D）(,)-∞+∞【命题意图】本小题主要考查直线与圆、点到直线的距离、解三角形等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查化归与转化思想、数形结合思想、必然与或然思想；考查数学抽象、数学建模、数学运算与数据分析等.【试题简析】解法一：由题意可得，圆心C 到l的距离d === 所以223(1)3m a =+-，又因为1a ≥，所以203m<≤，0m ≤<或0m <. 解法二：由题意可得，圆心C 到l的距离d =又l ：0mx y m -+=恒过定点()1,0A -，1a ≥，所以2AC ≥，另设直线l 的倾斜角为θ，所以sin (0,2AC θ=∈，所以l 的斜率tan [m θ=∈ .【错选原因】错选A ：在计算223[(1)3]m a =+-时，分子误当成1来计算；错选B ：分离变量时，误把223[(1)3]m a =+-写成22[(1)3]3a m +-=；错选D ：把最后的23m ≤计算成23m ≥【变式题源】（2016年全国卷Ⅱ·理4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（A ）43-（B ）34- （C （D ）2（12）已知函数()222,0,e e ,0,x x x a x f x ax x ⎧++<⎪=⎨-+-≥⎪⎩恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（A ）()0,1 （B ）()e,+∞ （C ）()()0,1e,+∞ （D ）()()20,1e ,+∞ 【命题意图】本小题主要考查二次函数的图象与性质、分段函数的图象、复合函数的图象以及零点问题等知识点；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识；考查数形结合思想、分类与整合、函数与方程思想；考查数学抽象、数学运算和数据分析等.【试题简析】解法一：当0x =时，2()1e 0f x =--≠，故0x =不是函数()f x 的零点.当(0,)x ∈+∞时，()0f x =等价于2e e x a x+=，令2e e ()(0)x g x x x +=>，则22e e e ()x x x g x x--'=，当2x <时，()0g x '<，当2x =时，()0g x '=，当2x >时，()0g x '>；所以2()[e ,)g x ∈+∞，①当01a <<时，()f x 在(,0)-∞有两个零点，故()f x 在(0,)+∞没有零点，从而2e a <，所以01a <<；②当0a ≤或1a =时，()f x 在(,0)-∞有一个零点，故()f x 在(0,)+∞有一个零点，此时不合题意；③当1a >时，()f x 在(,0)-∞有没有零点，故()f x 在(0,)+∞有两个零点，从而2e a >.综上可得01a <<或2e a >.故选D.解法二：当[0,)x ∈+∞时，2()e e x f x ax =-+-，()e x f x a '=-+，①当01a <<时，()f x 在(,0)-∞有两个零点，又当[0,)x ∈+∞时，2max ()(ln 1)e 0f x a a =--<，故()f x 在[0,)+∞没有零点，所以01a <<； ②当0a ≤或1a =时，()f x 在(,0)-∞有一个零点，又当[0,)x ∈+∞时，()e 0x f x a '=-+<，()f x 在[0,)+∞上单调递减，故2()(0)1e 0f x f ≤=--<，不合题意；③当1a >时，()f x 在(,0)-∞有没有零点，此时()f x 在[0,)+∞上必有两个零点.当[0,)x ∈+∞时，当ln x a <时，()0f x '>，当ln x a =时，()0f x '=，当ln x a >时，()0f x '<，所以2ma x ()(ln )ln ef x f a a a a ==-+-，要使()f x 在[0,)+∞上必有两个零点，只需满足2ma x ()(ln )ln e 0f x f a a a a ==-+->. 令2()ln eg t t t t =--，则'()ln g t t =，当1t >时，'()0g x >，故()g t 单调递增.又2(e )0g =，故2ln e 0a a a -+->即2()(e )g a g >，解得2e a >.综上可得01a <<或2e a >.故选D.【错选原因】错选A ：只会做二次函数部分，无视另一种情况，即左右各有一个零点.错选B ：用特殊值0或1代入，发现不成立，故排除了其他三个选项得到；错选C ：可能根本没去做，综合了A 和B ，于是选C. 【变式题源】（2013年全国卷I·理11）已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )（A ）(－∞，0] （B ）(－∞，1] （C ）[－2,1] （D ）[－2,0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

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准考证号_________________________ 姓名_________________________（在此卷上答题无效）保密★启用前泉州市2014届普通中学高中毕业班单科质量检查理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其它题为必考题.本试卷共6页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.5.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差：s =，其中x 为样本平均数；柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1．已知集合{}(1)(2)0A x x x =--<，{B x x =<<，则A B =（）A ．(-B ．(C ．(D ．)22．若复数1z i =+（其中i 为虚数单位）错误！未找到引用源。

，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（）A ．1z i =--B ．1z i =-+C ．2z =D ．z =3．已知向量()()()2,3,1,4,,3k ===a b c ，()+⊥a b c ，则实数k =（）A ．－7B ．－2C ．2D ．74．若点(),x y 在曲线y x =-与2y =-所围成的封闭区域内（包括边界），则2x y -的最大值为（）A ．－6B ．4C ．6D ．85．已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =-，则函数()y f x =的图象的一个对称中心为（）A ．,1)8π（ B ．,1)8π-(C ．,1)4π（ D ．,1)4π-（ 6．下列命题中正确的是（） A ．“1cos 2α=”是“3πα=”的充分不必要条件B ．函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，则()()0f a f b ⋅<C ．数列{}n a 是等比数列的充要条件是2*12()n n n a a a n N ++=∈D ．命题“,20x x R ∀∈>”的否定是“,20x x R ∃∈≤”.7．设,,l m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，下列命题中正确的是（） A ．若l α ，m α⊂，则l m B ．若,m n n α⊂ ，则m αC ．若α不垂直于β，则α内不存在直线垂直于βD ．若αβ⊥，l α ，则l β⊥8．已知椭圆221:143x y C +=，双曲线22222:1(,0)x y C m n m n-=>，椭圆1C 的焦点和长轴端点分别是双曲线2C 的顶点和焦点，则双曲线2C 的渐近线必不经过点（）A ．B ．C ．D ． 3)- 9．已知函数()322()(4)f x x b a x a b x =+-+-是奇函数，则(0)f '的最小值是（）A ．－4B ．0C ．1D ．410．已知函数(0)()ln (0)xe xf x xx ⎧≤=⎨>⎩，则函数[()]1y f f x =-的零点个数为（）.A ．1B ．2C ．3D ．4准考证号_________________________ 姓名_________________________（在此卷上答题无效）保密★启用前泉州市2014届普通中学高中毕业班单科质量检查理科数学第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置.11．若()0(21)20tx dx t +=>⎰，则t =_______________.12．已知某零件的三视图及尺寸如图所示，则该零件的体积是____________.13．在平面直角坐标系xOy 中，直线(2)y k x =+与圆224x y +=交于,A B 两点，且2OA OB ⋅=-,则实数k 的值是__________________．14．已知函数()245f x x x =++，若二次函数()y g x =满足：①()y f x =与()y g x =的图象在点(1,10)P 处有公共切线；②()()y f x g x =+是R 上的单调函数.则()g x = .15．“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.在数学的解题中，倘若能恰当地改变分析问题的角度，往往会有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的豁然开朗之感.阅读以下问题及其解答：问题：对任意[1,1]a ∈-，不等式220x ax +-≤恒成立，求实数x 的取值范围. 解：令2()(2)f a xa x =+-，则对任意[1,1]a ∈-，不等式220x ax +-≤恒成立只需满足222020x x x x ⎧--≤⎪⎨+-≤⎪⎩，所以11x -≤≤.类比其中所用的方法，可解得关于x 的方程322()0(0)x ax x a a a ---+=<的根为_______________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分13分）等差数列{}n a 满足13a =，1210120a a a +++= ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()*21n n S b n N =-∈，求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.17．（本小题满分13分）如图，多面体ABCDEF 中，,,BA BC BE 两两垂直，且AB EF ，CD BE ，2AB BE ==，1BC CD EF ===.（Ⅰ）若点G 在线段AB 上，且3BG GA =，求证：CG 平面ADF ；（Ⅱ）求直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值.18．（本小题满分13分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>上的一点()03,M y 到焦点F 的距离等于4.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若过点(4,0)的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，求ABO ∆面积的最小值.19.（本小题满分13分）如图，景点A 在景点B 的正北方向2千米处，景点C 在景点B 的正东方向.（Ⅰ）游客甲沿CA 从景点C 出发行至与景点B P 处, 记=PBC α∠，求sin α的值；（Ⅱ）甲沿CA 从景点C 出发前往景点A ，乙沿AB 从景点A 出发前往景点B ，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为 2千米/小时.若甲乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问有多长时间两人不能通话？（精确到0.1小时，3.9≈≈ ）20．（本小题满分14分）已知2()(12)x f x e x mx m =++-，其中m R ∈. （Ⅰ）当1m =时，求函数()y f x =单调递增区间；（Ⅱ）求证：对任意m R ∈，函数()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线恒过定点；（Ⅲ）是否存在实数m 的值，使得()y f x =在(,)-∞+∞上有最大值或最小值，若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．每个答题框内只能解答1个小题，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换已知矩阵10102M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦. (Ⅰ)求23,M M ，并猜想nM 的表达式；(Ⅱ)试求曲线221x y +=在矩阵1M -变换下所得曲线的方程.（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中,曲线1C 的参数方程为1cos cos x y αα=-⎧⎨=⎩（α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线2C 的方程为sin 2ρθ=.(Ⅰ)求1C 和2C 的普通方程:(Ⅱ)求1C 和2C 公共弦的垂直平分线的极坐标方程. （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲设函数()f x =225x x --+的最小值为m . (Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)解不等式2x x m ++>.保密★启用前泉州市2014届普通中学高中毕业班单科质量检查理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6．D 7．C 8．D 9．A 10．B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.11．1 12．163π+ 13. 14．283x x -++15．1231,x a x x =+==三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．解：设数列{}n a 的公差为d .∵1210109103+1202a a a d ⨯+++=⨯⨯= ， ∴2d = …………………………………………………………………………3分 ∴1(1)21n a a n d n =+-=+ ………………………………………………………6分∵()*21n n S b n N =-∈ ……………………………………①当2n ≥时，1121n n S b --=- ………………………………②①—②得122n n n b b b -=-即12n n b b -= …………………………………………10分当1n =时，1121S b =-，解得11b =∴数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列 ……………………………………12分 ∴11122n n n b b --=⨯= …………………………………………………………13分17．解：（Ⅰ）分别取,AB AF 的中点,M H ，连结,,MF GH DH ，则有,AG GM MF BE = . ∵AH HF =∴ 12GH MF ………………………………………………………2分又∵1,2CD BE BE MF∴CD GH∴四边形CDHG 是平行四边形∴CG DH …………………………………………………………………4分又∵,CG ADF DH ADF ⊄⊂平面平面∴CG 平面ADF ……………………………………………………6分（Ⅱ）如图，以B 为原点，分别以,,BC BE BA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则(0,0,2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,2,1)A C D E F(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)DE DA FA =-=--=-……………………………………7分设平面ADF 的一个法向量(,,)n x y z =，则有2020n DA x y z n FA y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，化简，得32x y z y =⎧⎨=⎩ 令1y =，得(3,1,2)n =………………………………………………………10分设直线CG与平面A D 所成的角为θ，则有sin n DE n DEθ⋅==⋅ . …………………13分18．解：（Ⅰ）依题意可知342pMF =+=，∴2p =.故抛物线C 的方程为：24y x =. ……………5分（Ⅱ）解法1：设()11,A x y ，()22,B x y①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为4x =，联立方程组244y xx ⎧=⎨=⎩，解得124,4y y =-=1214162ABC S y y ∆=⨯⨯-=. …………………………………8分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线:(4)(0)l y k x k =-≠.联立方程组24(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去x 得24160y y k --=124y y k+=，1216y y ⋅=- ………………………………………………………………11分1214162ABC S y y ∆=⨯⨯-===>综合①②可得当直线l 的斜率不存在时，ABC S ∆取得最小值16. ………………………………13分解法2：设直线:4l x ty =+.()11,A x y ，()22,B x y ………………………………7分联立方程组244y xx ty ⎧=⎨=+⎩，消去x 得24160y ty --=124y y t+=，1216y y ⋅=- …………………………………………………………………………10分12142ABC S y y ∆=⨯⨯-===当0t =时， ABC S ∆取得最小值16. ……………………………………………13分19.解:（Ⅰ）解法1：在Rt ABC ∆中，2,AB BC ==，∴=30C ∠在PBC ∆中，由余弦定理得222+2cos30=BC PC BC PC BP -⋅⋅ ，即212+23=7P C P -⨯化简，得26+5=0PC PC -，解得=1PC 或5PC =（舍去） ……………3分在PBC ∆中，由正弦定理得sin sin 30PC PB α=，即1sin 2α=∴sin α=……………………………………………………………………6分解法2：在Rt ABC ∆中，2,AB BC ===30C ∠在PBC ∆中，由正弦定理得sin30sin 180(30)BP BCα=⎡⎤-+⎣⎦，即21s i n (30)2α=+∴sin(30α+ ……………………………………………………3分∵BPC ∠为钝角，且180(30)BPC α∠=-+ ∴303090α<+<∴ cos(30α+∴sin sin[(30)30]=sin(30)cos30cos(30)sin30αααα=+-+-+12=. ……………………………………………6分解法3：过点B 作BD AC ⊥于点D ,则BD =又∵BP = ∴2DP =记PBD β∠=，则sinββ==………………………………3分∴1sin sin(60)sin 60cos cos60sin2αβββ=-=-=-=………………6分（Ⅱ）解法1：Rt ABC ∆中，2,4BA BC AC ====设甲出发后的时间为t 小时，则由题意可知04t ≤≤，设甲在线段CA 上的位置为点M ，4AM t =-①当01t ≤≤时，设乙在线段AB 上的位置为点Q ，则2AQ t =在AMQ ∆中，由余弦定理得，()()()222242224cos 6071616MQ t t t t t t ︒=-+-⨯⨯-⨯=-+令3MQ >即29MQ >，得271670t t -+>，解得t <或t >∴0t ≤<…………………………………………………………9分 ②当14t <≤时，乙在景点B 处在ABM ∆中，由余弦定理得，()()22244224cos 60612MB t t t t ︒=-+-⨯⨯-⨯=-+令3BM >即29BM >，得2630t t -+>，解得3t <或t >当14t <≤时，不合题意 …………………………………………………12分综上，当807t ≤<时，甲、乙间的距离大于3米.0.6≈，故两人不能通话的时间大约为0.6小时………………………13分解法2：Rt ABC ∆中，2,4BA BC AC ====设甲出发后的时间为t 小时，则由题意可知04t ≤≤，设甲在线段CA 上的位置为点M ，4AM t =-在PBC ∆中，由余弦定理得2222cos30BC PC BC PC BP +-⋅⋅=，即21227PC PC +-⨯=，化简得2650PC PC -+= 解得1PC =或5PC =（舍去）①当14t ≤≤时，乙在景点B 处，甲在线段PA 上，甲乙间的距离3d BP ≤<，此时不合题意；……………………………………………9分②当01t ≤<时，设乙在线段AB 上的位置为点Q ，则2AQ t =在AMQ ∆中，由余弦定理得，()()()222242224cos 6071616MQ t t t t t t ︒=-+-⨯⨯-⨯=-+令3MQ >即29MQ >，得271670t t -+>，解得87t <或87t >∴807t ≤<………………………………………………12分综上，当0t ≤<时，甲、乙间的距离大于3米.0.6≈，故两人不能通话的时间大约为0.6小时 ……………………13分20．解：（Ⅰ）当1m =时，2()(1)x f x e x x =+-，2'()(3)x f x e x x =+令()0f x >，得03x x ><-或∴函数()y f x =的单调递增区间为(,3),(0,)-∞-+∞ …………………………4分（Ⅱ）解法1：2'()[(2)(1)]x f x e x m x m =+++-(0)1,'(0)f m f m=-=- 函数()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为(12)(1)(0)y m m x --=-- 即(1)210m x y m -++-=令0m =，则有10x y -+=…………………………………① 令1m =，则有1y =-…………………………………………②由①②，解得21x y =-⎧⎨=-⎩经检验，点(2,1)--满足直线的方程(1)210m x y m -++-=∴函数()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程(1)210m x y m -++-=经过定点(2,1)--.……………………………………………………………………9分解法2：2'()[(2)(1)]x f x e x m x m =+++- (0)1,'(0)12f m f m =-=-∴函数()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为(12)(1)(0)y m m x --=--即(1)210m x y m -++-=方程(1)210m x y m -++-=可化为(2)(1)0m x x y +--+=当2010x x y +=⎧⎨-+=⎩即21x y =-⎧⎨=-⎩时，对任意m R ∈，(1)210m x y m -++-=恒成立∴函数()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程(1)210m x y m -++-=经过定点(2,1)--.……………………………………………………………………9分（Ⅲ）解法1：2'()[(2)(1)]xf x e x m x m =+++-令2112y x mx m =++-，22(2)(1)y x m x m =+++-2214(12)84m m m m ∆=--=+-，222(2)4(1)8m m m m ∆=+--=+①当20∆≤即80m -≤≤时，2(2)(1)0y x m x m =+++-≥ ∴2'()[(2)(1)]0x f x e x m x m =+++-≥ ∴()y f x =在(,)-∞+∞上单调递增∴()y f x =在(,)-∞+∞上不存在最大值和最小值. ………………………11分 ②当20∆>即8m <-或0m >时，设方程2(2)(1)0x m x m +++-=的两根为12,x x '(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：当x →-∞时，()0f x >，()0f x →；当x →+∞时，()f x →+∞∴要使()y f x =在(,)-∞+∞上有最大值或最小值，只需满足2()0f x ≤即10y ≤有解∴2214(12)840m m m m ∆=--=+-≥，解得4m ≤--或4m ≥-+综上可得，4m ≤--4m ≥-+……………………………………14分解法2：2'()[(2)(1)]x f x e x m x m =+++-令2112y x mx m =++-，22(2)(1)y x m x m =+++-2214(12)84m m m m ∆=--=+-，222(2)4(1)8m m m m ∆=+--=+①当20∆≤即80m -≤≤时，2(2)(1)0y x m x m =+++-≥ ∴2'()[(2)(1)]0xf x e x m x m =+++-≥ ∴()y f x =在(,)-∞+∞上单调递增∴()y f x =在(,)-∞+∞上不存在最大值和最小值. …………………………11分②当20∆>即8m <-或0m >时，设方程2(2)(1)0x m x m +++-=的两根为12,x x12x x =='(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：当x →-∞时，()0f x >，()0f x →；当x →+∞时，()f x →+∞∴要使()y f x =在(,)-∞+∞上有最大值或最小值，只需满足2()0f x ≤222222222()12[(2)(1)]220f x x mx m x m x m x m m x =++-=+++---=--≤∴(2)2202m m m m -+-⨯-=+≤化简，得2840m m +-≥解得4m ≤--4m ≥-+综上可得，4m ≤--4m ≥-+ ……………………………………14分21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．每个答题框内只能解答1个小题，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）解：(Ⅰ) 2101010111000224M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 32101010111000842M M M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 猜想10102n nM ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦…………………………………………………3分(Ⅱ) ∵12M =，∴11002M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 即在矩阵1M -的变换下有2x x y y '=⎧⎨'=⎩，故12x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩由221x y +=得221()12x y ''+=,即2214y x ''+= 故曲线221x y +=在矩阵1M -变换下所得曲线的方程为2214y x +=. ……………………………7分（2）解：(Ⅰ)22cos sin 1αα+= ，故1C 的普通方程为(1)122x y -+=. 又曲线2C 的方程为2sin ρθ=故2220x y y +-=. …………………………………………………………………4分 (Ⅱ)12C C 和公共弦的垂直平分线即过两圆圆心的直线，由(Ⅰ)得1C 的圆心为（1，0），2C 的圆心为（0，1），故直线方程为1x y +=，即其极坐标方程是cos()42πρθ-=. ………………………………7分（3）解:(Ⅰ)1,(2)()2|2|539,(2)x x f x x x x x +⎧=--+=⎨-+<⎩≥显然,函数()f x 在区间(,2)-∞上单调递减,在区间[2,)+∞上单调递增, 所以函数()f x 的最小值(2) 3.m f == ……………………………………3分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知3m =,23x x ++≥,当0x ≥时，不等式可化为：223x +>，解得12x >；当20x -<<时，不等式可化为：23x x -++>，无解；当2x ≤-时，不等式可化为：223x -->，解得52x <-；故不等式的解集为5122x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或. …………………………………………7分。