高三数学综合练习(一)(附答案)
新领航教育特供：北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学理试题
小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅导 /wxxlhjy QQ:157171090无锡新领航教育特供：东城区普通高中示范校高三综合练习（一） 高三数学（理） 2012. 12命题学校：北京汇文中学学校： 班级： 姓名： 成绩：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1．已知全集{}0,1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,3,2,4A B ==,则U B C A 为A ．{}1,2,4B ．{}2,3,4C ．{}0,2,4D ．{}0,2,3,4【答案】C【解析】{0,4}U A =ð,所以{0,4}{2,4}{0,2,4}U B A == ð，选C.2．1>a 是11<a 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0a <时，11a <，恒成立，当0a >时，由11a <得，1a >，所以1a >是11a <成立的充分不必要条件,选A.3．若y x <<0，则下列各式正确的是A ．11--<y xB ．y x sin sin <C ．y x 33loglog < D ．11()()33x y < 【答案】C【解析幂函数1y x -=在0x >时，单调递减，所以A 错误。
sin y x =在定义域上不单调，错误。
对数函数3=log y x 在定义域上单调递增，所以C 正确。
指数函数1=()3x y 在定义域上单调递减，不正确。
所以选C.4．在等差数列{}n a 中，0>n a ，且301021=+++a a a ，则65a a ⋅的最大值是A ．3B ．6C ．9D ．36【答案】C【解析】在等差数列中，121030a a a +++= ，得1105()30aa +=，即。
北京市门头沟区2023届高三综合练习(一)数学试题
一、单选题1. 定义域为的函数的导函数记作，满足，，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．2.若集合，则（ ）A．B．C．D．3. 现有随机选出的20个数据，统计如下，则（ ）7 24 39 54 61 66 73 82 82 8287 91 95 8 98 102 102 108 114 120A ．该组数据的众数为102B ．该组数据的极差为112C ．该组数据的中位数为87D ．该组数据的80%分位数为1024. 已知集合，则图中阴影部分所表示的集合为（）．A．B．C．D．5. 已知向量，，，若，则实数（ ）A ．－2B ．2C ．1D ．－16. 设椭圆，双曲线，（其中）的离心率分别为，则（ )A．B．C．D ．与1大小不确定7. 为正项等比数列的前项和，若，，则（ ）A．B．C．D．8. 双曲线的焦距是虚轴长的2倍，则（ ）A．B ．－3C ．－5D．9.已知定义在上的偶函数，对任意不相等的，有，当时，有（ ）A．B．C．D．10. 已知i 为虚数单位，复数z 满足：z (1-i)=4-3i ，则z =（ ）A．B．C．D．11.设双曲线的右焦点为，圆与双曲线的两条渐近线相切于，两点，，其中为坐标原点，延长交双曲线的另一条渐近线于点，过点作圆的另一条切线，设切点为，则（ ）A．B．C．D．12. 如图，一艘船向正北航行，航行速度为每小时30海里，在A 处看灯塔S 在船的北偏东的方向上．1小时后，船航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的北偏东的方向上，则船航行到B 处时与灯塔S 的距离为（ ）北京市门头沟区2023届高三综合练习(一)数学试题二、多选题A ．海里B ．海里C ．海里D ．海里13.化简的结果为（ ）A．B．C．D．14. 棱长为2的正方体中，E ，F 分别是棱BC，的中点，下列命题中错误的是（ ）A．B ．EF∥平面C ．EF⊥平面D ．四面体的体积等于15. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）A．B．C．D．16.已知是单位向量，且，若向量，则与的夹角为（ ）A．B．C．D．17. 已知，则（ ）A．B．C．D．18. 若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．a +c >b +cB ．ac 2≥bc 2C．D ．(a +b )(a -b )>019. 设、分别是双曲线的左、右焦点，且，则下列结论正确的有（ ）A．B ．当时，C 的离心率是2C ．到渐近线的距离随着n 的增大而减小D ．当时，C 的实轴长是虚轴长的两倍20.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则下列结论正确的是（）A．准线方程为B．焦点坐标C．点的坐标为D．的长为321. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线三、填空题的右支上位于第一象限的动点，记，的斜率分别为，则（ ）A ．双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为1时，双曲线的方程为B．双曲线的渐近线方程为C ．为定值D ．存在点，使得22. 复数，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A．B ．z的共轭复数为C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限23. 我校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系.本学期共开设了八大类校本课程，具体为学课拓展（X ）、体艺特长（T ）、实践创新(S )、生涯找划(C )、国际视野(I )、公民素养（G ）、大学先修（D ）、PBL 项目课程（P ）八大类，假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则（ ）A ．某学生从中选3类，共有56种选法B ．课程“X ”、“T ”排在不相邻两天，共有种排法C ．课程中“S ”、“C ”、“T ”排在相邻三天，且“C ”只能排在“S ”与“T ”的中间，共有720种排法D ．课程“T ”不排在第一天，课程“G ”不排在最后一天，共有种排法24. 给出下面四个推断，其中正确的为（ ）.A ．若，则B ．若，则；C ．若，，则D ．若，，则25.数列满足，且（且），若的前项和为，则满足的最小正整数的值为___________.26.设函数，若任意两个不相等正数，都有恒成立，则的取值范围是_______.27. 已知是球的直径上一点, ,平面 ,为垂足,截球所得截面的面积为 ,则球的表面积为_______.28.若函数的反函数的图象过点，则______．29. 已知数据的方差为，数据的方差为，则___________..30. 品牌电商服务商是指专门为品牌方提供电子商务服务的商家，其中包括运营、IT 、营销、仓储物流、客户服务等内容．某品牌方准备与甲、乙、丙3家服务商进行合作，为此对这3家服务商的运营、IT 、营销、仓储物流、客户服务进行考察，并根据考察结果对每项内容按照从优到劣分为3个等级，则甲服务商的5项内容等级均高于乙和丙服务商的所有可能情况的种数为______．四、解答题五、解答题31. 已知，则曲线在点处的切线方程为________.32. 已知，，与的夹角为60°，则________.33. 已知椭圆，直线过的左顶点与上顶点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为1．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点，（异于点）是椭圆上不同的两点，且，过作的垂线，垂足为，求到直线的距离的最大值．34. 已知角的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点.(1)求的值；(2)求值：.35. 已知函数，，.（1）将函数化简成，（，，），的形式；（2）求函数的值域.36. 如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问：(1)若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；(2)当的值为多少时，能使平面？37. 已知函数.（1）化简函数的表达式，并求函数的最小正周期；（2）若点是图象的对称中心，且，求点的坐标.38. 某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点，之间的距离，如图，处为码头入口，处为码头，为通往码头的栈道，且，在B 处测得，在处测得（均处于同一测量的水平面内）(1)求两处景点之间的距离；(2)栈道所在直线与两处景点的连线是否垂直？请说明理由.39. 某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在.(1)求居民收入在的频率；(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则应月收入为的人中抽取多少人？40. 已知函数.（1）在所给的坐标纸上作出函数的图像（不要求写出作图过程）；（2）令，求函数的定义域及不等式的解集.41. 已知函数；（1）若，求的值，并作出的图象；（2）当时，恒有，求的取值范围.42. 某小型学院对所有入学新生进行了数学摸底考试，如果学生得分在35分以下，则不能进入正常数学班学习，必须进补习班补习，10名进入正常数学班的学生的摸底考试成绩和学期末考试成绩如下：摸底成绩50354055806065359050期末成绩53515668877146317968并计算得：（1）画出散点图；六、解答题（2）建立一个回归方程，用摸底考试成绩来预测期末考试成绩(精确到0.1)；（3）如果期末考试60分是某课程结业的最低标准，预测摸底考试成绩低于多少分学生将不能获得某课程结业．(附：)43.如图，在三棱柱中，侧棱底面，分别是线段的中点，是线段上异于端点的点．(1)在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；(2)设（1）中的直线交于点，求三棱锥的体积．44. 2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人.2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时，为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者，得到其平均每月的志愿服务时长（单位：小时）频数分布表如下：500名志愿者平均每月的志愿服务时长频数分布表：服务时长频数1050100190904020（1）在答题卡上作出这500名志愿者平均每月的志愿服务时长的频率分布直方图；（2）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）.45.记为数列的前n 项和，已知，且．(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式；(2)从下列三个条件中选一个填在横线上，并完成下列问题．若_________，求数列的前n 项和．①；②；③．46. 如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）中，点是的中点．（1）求证：平面；（2）若，，求证：．47. 如图，已知平面平面，B为线段中点，，四边形为正方形，平面平面，，，M为棱中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求多面体的体积.48. 如图，直线和直线均垂直于平面，且，，为线段上一动点.(1)求证平面；(2)求面积的最小值.49. 在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，点、分别为、中点.(1)求证：平面；(2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.七、解答题50. 已知函数，其中为常数.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数的极大值点是，且函数的一个零点大于1，求证：.51. 中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．例如，甲乙两人进行比赛，若甲每场比赛获胜概率均为，且每场比赛结果相互独立，则由对称性可知，在5场比赛后，甲获胜次数不低于3场的概率为．现甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币．(1)若两人各抛掷3次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率；(2)若甲抛掷次，乙抛掷n 次，，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率．52. 某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是，样本数据分组为，．（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）如果年上缴税收不少于万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（Ⅲ）从企业中任选个，这个企业年上缴税收少于万元的个数记为，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）53. 在篮球比赛中，如果球员在分线内将球投进篮筐得分，若在投篮过程中，遭到对方球员犯规，则将获得罚球机会，若球投中则获得次罚球机会，若球未投中则获得次罚球机会，每次罚中球得分，未罚中不得分；如果运动员在分线外将球投进篮筐得分，且在投篮过程中，若遭到对方球员犯规，也将获得罚球机会，若球投中则获得次罚球机会，若球未投中则获得次罚球机会.已知球员甲在不被犯规的条件下分命中率为，分命中率为；在被犯规的条件下，各命中率减半.每次投篮被犯规的概率始终为，且罚球命中率为，每次罚球相互独立.(1)若在某场比赛的最后时刻，球员甲所在的球队落后分，还剩最后一次投篮机会，教练决定让甲投分球，求球队获胜的概率；(2)在一次进攻回合中，甲决定投分球，求这轮进攻甲得分的分布列及得分的数学期望.54. 随着计算机时代的迅速发展，人工智能也渗透到生活的方方面面，如：线上缴费、指纹识别、动态导航等，给人们的生活带来极大的方便，提升了生活质量，为了了解市场需求，某品牌“扫地机器人”公司随机调查了1000人，记录其年龄与是否使用“扫地机器人”得到如下统计图表：（分区间，，……统计）(1)根据所给的数据，完成下面的列联表，并根据表中数据，判断是否有的把握认为使用“扫地机器人”与年龄有关？是否使用扫地机器人年龄是否八、解答题(2)若以图表一中的频率视为概率，现从年龄在的人中随机抽取3人做深度采访，求这3人中年龄在人数X 的分布列与数学期望．附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.82855. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛.小胡、小陈两位同学参加学校组织的世界杯知识答题拿积分比赛游戏，规则如下：小胡同学先答2道题，至少答对一道题后，小陈同学才存机会答题，同样也是两次答题机会，每答对一道题获得5积分，答错不得分.小胡同学每道题答对的概率均为，小陈同学每道题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响.(1)求小陈同学有机会答题的概率；(2)记为小胡和小陈同学一共拿到的积分，求的分布列和数学期望.56. 为丰富学生在校的课余生活，某校高三年级倡导学生积极参加踢毽子、投篮、射门等体育活动．各班拟推选“运动健将”组建班级代表队参与年级组织的体育比赛，年级依据各班团体和个人项目成绩的总积分排名给予表彰．(1)踢毽子是团体项目之一．班级人均一分钟踢毽子数不低于37个就认定为优秀．A 班利用体育课进行一分钟踢毽子练习，体育委员统计出同学们的成绩（全介于10到70之间）并作出频率分布直方图如图所示（原始成绩单丢失）．已知该频率分布直方图后四组“柱高”依次成等比数列，假若以这次练习的成绩做评价，该班是否能达到优秀标准？请你说明你的判断理由．(2)年级组织的竞技比赛中设有定点投篮和射门两个个人项目，竞赛规则如下：参赛选手从甲、乙两种方式中任选一种进行比赛，若投中或射中就称之为成功．甲方式：从投篮、射门两项中通过抽签选择其中一个项目连续测试两次；乙方式：从投篮、射门两项中通过抽签选择其中一个项目进行测试，若该项目成功则换另一个项目接着进行测试，否则重复测试该项目，此方式也只测试两次．积分规则：无论选甲、乙哪种方式，若某项目首次测试成功就记5分，失败则记0分；再次测试该项目时，成功只记4分，失败仍记0分．A 班推选a 同学代表班级从甲、乙两方式中选择一种参加个人项目比赛．已知a同学投篮和射门的命中率分别为，，且前后两项测试不会相互影响．以参加比赛的得分期望为标准，请问a 同学该选择哪种方式？等可能地等可能地57. 已知函数.（1）求函数的最小正周期;（2）求函数的最大值及相应自变量的值.58. 已知中，，且边上的中线交于点.(1)求的长;(2)求的值.59. 已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且+，过、、三点的圆的半径为，过定点的直线与椭圆交于、两点（在之间）.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线的斜率为，在轴上是否存在点，使得以、为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.60. 如图1，已知为等边三角形，四边形为平行四边形，，把沿向上折起，使点E到达点P位置，如图2所示；且平面平面．(1)证明：；(2)在（1）的条件下求二面角的余弦值．61. 已知数列中，，令．(1)计算的值，并求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．62. 在中，，，______，从①，②，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.(1)求的值；(2)求和的面积.（注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分）。
高三数学综合练习题
高三数学综合练习题综合练习题一：1. 已知集合$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，集合$B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求集合$A$与集合$B$的交集。
2. 已知函数$f(x) = x^2 + 2x + 1$，求函数$f(x)$在$x = -1$处的函数值。
3. 设集合$C = \{x|x \text{是正整数}, x \leq 10\}$，集合$D = \{2, 4, 6, 8, 10\}$，求集合$C$与集合$D$的并集。
4. 已知等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2n + 1$，求当$n =5$时的数列值。
5. 已知方程$2x^2 - 5x + 2 = 0$，求方程的解。
综合练习题二：1. 已知函数$g(x) = \sqrt{x} + 1$，求函数$g(x)$的定义域。
2. 设集合$E = \{x|x \text{是偶数}, 1 \leq x \leq 10\}$，集合$F = \{2, 4, 6, 8, 10\}$，求集合$E$与集合$F$的差集。
3. 已知等比数列$\{b_n\}$的首项为$3$，公比为$2$，求当$n = 4$时的数列值。
4. 已知方程$3x^2 + 2x - 1 = 0$，求方程的解。
综合练习题三：1. 已知函数$h(x) = \frac{1}{x}$，求函数$h(x)$的定义域。
2. 设两个集合$G = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$H = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求集合$G$与集合$H$的对称差。
3. 已知等差数列$\{c_n\}$满足$c_1 = 2$，$c_2 = 5$，求当$n = 3$时的数列值。
4. 已知方程$x^2 + 4x + 4 = 0$，求方程的解。
综合练习题四：1. 已知函数$j(x) = \log(x)$，求函数$j(x)$的定义域。
2. 设两个集合$I = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$J = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求集合$I$与集合$J$的交集。
2019东城区高三一模数学试卷及答案理科
东城区2019年综合练习（一）高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）“2x >”是“24x >”的（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（2）已知数列{}n a 为等差数列，且12a =，2313a a +=，那么则456a a a ++等于（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45（3）已知函数()f x 对任意的x ∈R 有()()0f x f x +-=，且当0x >时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的大致图像为（A ）（B ）（C ） （D ）（4）已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足0PA PB PC ++=，且AB AC mAP +=，那么实数m 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（5）若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为 A ．5n ≤ B ．6n ≤ C ．7n ≤ D ．8n ≤（6）已知(,)2απ∈π,1tan()47απ+=,那么ααcos sin +的值为 （A ）51- （B ）57（C ）57-（D ）43 （7）已知函数31)21()(x x f x-=，那么在下列区间中含有函数)(x f 零点的是（A ）)31,0( （B ）)21,31( （C ）)32,21( （D ）)1,32(（8）空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是到P 到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是（A ） 33- （B ）323- （C ）36- （D ）340 50 60 70 80 90 体重(kg) 频率A第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024年3月北京市丰台区高三数学高考一模综合练习卷附答案解析
2024年3月北京市丰台区高三数学高考一模综合练习卷试卷150分．考试时长120分钟2024．03第一部分（选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}220A x x x =-≤，{}10B x x =->，则A B ⋃=（）A ．{}0x x ≥B ．{}01x x ≤<C ．{}1x x >D ．{}12x x <≤2．已知公差为d 的等差数列{}n a 满足：5321a a -=，且20a =，则d =（）A ．1-B ．0C ．1D ．23．已知双曲线222:1x C y a -=（0a >）的离心率为2，则=a （）A ．2BC D ．124．在二项式252()x x-的展开式中，x 的系数为（）A ．﹣80B ．﹣40C ．40D ．805．已知向量a ，b满足)b =，()b a λλ=∈R ，且1a b ⋅=，则λ=()A ．14B ．12C ．2D ．46．按国际标准，复印纸幅面规格分为A 系列和B 系列，其中A 系列以0A ，1A ，…等来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：①0A 规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为②将i A （i 0,1,,9= ）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为()i 1A +规格纸张（如图）．某班级进行社会实践活动汇报，要用0A 规格纸张裁剪其他规格纸张．共需4A 规格纸张40张，2A 规格纸张10张，1A 规格纸张5张．为满足上述要求，至少提供0A 规格纸张的张数为（）A ．6B ．7C ．8D ．97．在平面直角坐标系xOy 中，直线:1l ax by +=上有且仅有一点P ，使1OP =，则直线l 被圆22:4C x y +=截得的弦长为（）A ．1BC ．2D．8．已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗．在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2．关于该半正多面体的四个结论：②两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60°；③表面积为12S =+；④外接球的体积为V =．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④10．已知数列{}n a 满足()()*1*2N ,2121N ,2nn n a n k k a a n k k +⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪=-∈⎪⎩，，则（）A ．当10a <时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立B ．当11a >时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M >，使得n a M >恒成立C ．当101a <<时，存在正整数0N ，当0n N >时，112100n a -<D ．当101a <<时，对于任意正整数0N ，存在0n N >，使得1121000n a ->第二部分（非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．计算12i34i+=-.12．在ABC 中，若5b =，4B π=，cos A =，则=a .13．已知F 是抛物线24y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为．14．已知函数()f x 具有下列性质：①当[)12,0,x x ∈+∞时，都有()()()12121f x x f x f x +=++；②在区间()0,∞+上，()f x 单调递增；③()f x 是偶函数．则()0f =；函数()f x 可能的一个解析式为()f x =．15．目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具．其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道．现有材料科技条件下，对于一个n 级火箭，在第n 级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为()()()1212103ln 999n nn a a a v a a a =+++ ，其中()1,2,,np jj i i np j ij im m a i n m m m ==+==+-∑∑ ．注：p m 表示人造天体质量，j m 表示第j （1,2,,j n = ）级火箭结构和燃料的总质量．给出下列三个结论：①121n a a a < ；②当1n =时，3ln10v <；③当2n =时，若12ln 2v =6．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12CA CB CC ===，D 为AB 中点．(1)求证：1//AC 平面1B CD ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角1B B C D --的余弦值．条件①：1BC AC ⊥；条件②：1B D =注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．17．已知函数()21cos sin 2f x x x x ωωω=-+(0ω>)．(1)若2ω=，求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求ω的值．18．某医学小组为了比较白鼠注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验．将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A ，第2组注射药物B ．试验结果如下表所示．疱疹面积（单位：2mm ）[)30,40[)40,50[)50,60[)60,70[)70,80第1组（只）34120第2组（只）13231(1)现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于260mm 的概率；(2)从两组皮肤疱疹面积在[)60,80区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数X 的分布列和数学期望()E X ；(3)用“0k ξ=”表示第k 组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在[)30,50区间内，“1k ξ=”表示第k 组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在[)50,80区间内（1,2k =），写出方差()1D ξ，()2D ξ的大小关系．（结论不要求证明）19．已知椭圆2222:1x y E a b+=(0a b >>)的焦距为，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形的周长为16．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点()0,1S 的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ．是否存在定点D ，使得12DM PQ =？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知函数()()e ln 1xf x x x =++-，曲线():C y f x =在点()()00,x f x 处的切线为():l yg x =，记()()()h x f x g x =-．(1)当00x =时，求切线l 的方程；(2)在（1）的条件下，求函数()h x 的零点并证明()0xh x ≥；(3)当00x ≠时，直接写出函数()h x 的零点个数．（结论不要求证明）21．已知集合{}*N 2n M x x n =∈≤（n ∈N ，4n ≥），若存在数阵1212n n a a a T b b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 满足：①{}{}1212,,,,,,n n n a a a b b b M = ；②()1,2,,k k a b k k n -== ．则称集合n M 为“好集合”，并称数阵T 为n M 的一个“好数阵”．(1)已知数阵6712x y z T w ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是4M 的一个“好数阵”，试写出x ，y ，z ，w 的值；(2)若集合n M 为“好集合”，证明：集合n M 的“好数阵”必有偶数个；(3)判断()5,6n M n =是否为“好集合”．若是，求出满足条件{}12,,,n n a a a ∈ 的所有“好数阵”；若不是，说明理由．1．A 【分析】解不等式化简结合，结合并集的概念即可求解.【详解】因为{}{}220|02A x x x x x =-≤=≤≤，{}{}101B x x x x =->=，所以{}0A B x x ⋃=≥.故选：A.2．C 【分析】根据等差数列通项公式直接求解即可.【详解】()5311124221a a a d a d a -=+-+=-= ，11a ∴=-，()21011d a a ∴=-=--=.故选：C.3．B 【分析】根据双曲线方程求出b 、c ，再由离心率公式计算可得.【详解】双曲线222:1x C y a-=（0a >）中1b =，所以c =则离心率ce a==22a =，所以a =.故选：B 4．A【分析】根据二项展开式的通项，可得10315(2)r r rr T C x -+=-，令3r =，即可求得x 的系数，得到答案.【详解】由题意，二项式252(x x -的展开式的通项为251031552()((2)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-，令3r =，可得3345(2)80T C x x =-=-，即展开式中x 的系数为80-，故选A.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．D【分析】用λ表示出向量a的坐标，再根据数量积的坐标运算即可求得答案．【详解】1a b ⋅= ，0a ∴≠，又),b a b λ==，31a λλ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，0λ≠，311a b λλ∴⋅=+= ，4λ∴=．故选：D ．6．C【分析】设一张0A 规格纸张的面积为x ，从而得到一张1A 、2A 、4A 纸的面积，再求出所需要的纸的总面积，即可判断.【详解】依题意1张0A 规格纸张可以裁剪出2张1A ，或4张2A 或16张4A ，设一张0A 规格纸张的面积为x ，则一张1A 规格纸张的面积为12x ，一张2A 规格纸张的面积为14x ，一张4A 规格纸张的面积为116x ，依题意总共需要的纸张的面积为111140105716422x x x x x ⨯+⨯+⨯=+，所以至少需要提供8张0A 规格纸张，其中将3张0A 裁出5张1A 和2张2A ；将2张0A 裁出8张2A ；将剩下的3张0A 裁出31648⨯=张4A ，即共可以裁出5张1A 、10张2A 、48张4A .故选：C 7．D 【分析】利用垂径定理直接求解即可.【详解】由题意知：坐标原点O 到直线l 的距离1d =；圆C 的圆心为()0,0O ，半径2r =，l ∴被圆C 截得的弦长为=故选：D.8．A【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A 9．B 【分析】注意到棱长总是一个等腰直角三角形的斜边，即可通过直角边的长度判断①正确；可以找到一对位于正方形相对的面上的两条垂直且异面的棱，得到②错误；根据该几何体每种面（正三角形和正方形）各自的数量和面积，可以计算出该几何体的表面积，从而判断出③正确；直接证明正方形的中心到该几何体每个顶点的距离都相等，并计算出距离，即可求出外接球的体积，得到④错误.这就得到全部正确的结论是①③，从而选B.【详解】如图所示：该几何体的每条棱都是的一个等腰直角三角形的斜边，且该等腰直角三角形的直角边长度为正方体边长的一半，故该等腰直角三角形的直角边长度为1若1122,A B A B 为该几何体位于正方体的一组相对的面上的两个平行的棱，2222,A B A D 为该几何体位于正方体的同一个面的两条棱，则2222A B A D ⊥，11A B 平行于22A B ，1122,A B A D 异面，所以1122,A B A D 异面，1122A B A D ⊥，这意味着存在一对异面的棱所成角是直角，②错误；该几何体一共有14个面，其中6个是正方形，8个是正三角形，故每个正方形的面积都是2，每个正三角形的面积都是2，故表面积为628122S =⋅+⋅=+设正方体的中心为O ，由于对该几何体的任意一个顶点都是正方体的某条边的中点，故O 到该几何体的任意一个顶点的距离都是正方体边长的2这意味着以O 34π3V =，④错误.从而全部正确的结论是①③.故选：B.10．D 【分析】直接构造反例即可说明A 和B 错误；然后证明引理：当101a <<时，对任意的正整数0N ，都存在0n N >，使得112100n a -≥.最后由该引理推出C 错误，D 正确.【详解】当112a =-时，121124a a +==，23211284a a a ==<=，所以此时{}n a 不是递增数列，A 错误；当132a =时，121524a a +==，23528a a ==，34311352168a a a +==>=，所以此时{}n a 不是递减数列，B 错误；我们证明以下引理：当101a <<时，对任意的正整数0N ，都存在0n N >，使得112100n a -≥.若该引理成立，则它有两个直接的推论：①存在101a <<，使得对任意的正整数0N ，都存在0n N >，使得112100n a -≥；②当101a <<时，对任意的正整数0N ，都存在0n N >，使得1121000n a ->.然后由①是C 的否定，故可以说明C 错误；而②可以直接说明D 正确.最后，我们来证明引理：当101a <<时，对任意确定的正整数0N ：如果011111,21002100N a +⎛⎫∉-+ ⎝⎭，则01112100N a +-≥；如果011111,21002100N a +⎛⎫∈-+ ⎝⎭，则00122N N a a ++=或001212N N a a +++=.此时若00122N N a a ++=，则001211111111*********2420024200242002100N N a a+++⎛⎫=<=+=-+=--<-⎪⎝⎭；若001212N N a a +++=，则001211113111111111210022420024200244002100N N a a++-++⎛⎫=>=-+-=+->+ ⎪⎝⎭.无论哪种情况，都有021111,21002100N a +⎛⎫∉-+ ⎪⎝⎭，从而02112100N a +-≥.这说明01112100N a +-≥或02112100N a +-≥，所以可以选取{}001,2n N N ∈++，使得112100n a -≥.这就说明存在0n N >，使得112100n a -≥.这就证明了引理，从而可以推出C 错误，D 正确.故选：D.【点睛】最关键的地方在于引理：当101a <<时，对任意的正整数0N ，都存在0n N >，使得112100n a -≥.这一引理可以帮助我们判断出较难判断的C 和D 选项.11．12i55-+【分析】利用复数的除法公式，即可计算结果.【详解】()()()()12i 34i 12i 510i 12i 34i 34i 34i 2555+++-+===-+--+.故答案为：12i55-+12．【分析】由cos 5A =求出sin A ，根据正弦定理求解即可.【详解】cos A =sin A ∴,由正弦定理可得：sin sin a bA B=,=解得：a =故答案为：【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系，正弦定理，属于容易题.13．3【分析】根据抛物线定义可得12x x +，结合中点坐标公式可求得结果.【详解】由抛物线方程知：()1,0F ；设()()1122,,,A x y B x y ，由抛物线定义知：12118AF BF x x +=+++=，126x x ∴+=，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为1232x x +=.故答案为：3.14．1-()||1f x x =-（答案不唯一）【分析】令120x x ==即可求出()0f ，再找到符合题意的函数解析式（一个），然后一一验证即可.【详解】因为当[)12,0,x x ∈+∞时，都有()()()12121f x x f x f x +=++，令120x x ==可得()()()0001f f f =++，解得()01f =-，不妨令()||1f x x =-，x ∈R ，则1,0()11,0x x f x x x x -≥⎧=-=⎨--<⎩，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，满足②；又()||1||1()f x x x f x -=--=-=，所以()f x 为偶函数，满足③；当[)12,0,x x ∈+∞时()12121211f x x x x x x +=+-=+-，()11111f x x x =-=-，()22211f x x x =-=-，所以()()()12121f x x f x f x +=++，满足①.故答案为：1-；()||1f x x =-（答案不唯一）【分析】只需证明每个i a 都大于1即可判断①错误；直接考虑1n =时v 的表达式即可判断②正确；2n =时，将条件12ln 2v =转化为关于12,a a6，推出③正确.【详解】首先，对1,2,,i n = ，有n j i j im m =≥∑，故0n p j i p j im m m m =≥+->∑，0np j p j im m m =+>>∑，这推出0i a >.由于()11,2,,j ij ip j p j nn i j ij ip j ip jn n m m m m a i n m m m m m ====+∑+∑=>==+∑-+∑ ，故每个i a 都大于1，从而121n a a a > ，①错误；由于当1n =时，有111110103ln 3ln 3ln109a a v a a =<=+，故②正确；由于当2n =时，()()12121003ln 99a a v a a =++，若12ln 2v =，则()()12121003ln 12ln 299a a a a =++.从而()()1212100ln4ln 2ln1699a a a a ==++，故()()12121001699a a a a =++.这意味着()()12121001699a a a a =++，即()()121225499a a a a =++，从而我们有()()121225499a a a a =++()()12124819a a a a =+++(()124819a a ≥++123244a a +=.等号成立当且仅当12a a =，故1212324254a a a a ≥+，即12023124a a -≥，即1210807a a --≥，分解因式可得)()6180+≥，再由180+>60≥6，③正确.故答案为：②③.【点睛】关键点点睛：判断第三问的关键是得到条件等式()()121225499a a a a =++，结合基本不等式即可顺利得解.16．(1)证明过程见解析(2)无论选条件①还是选条件②，二面角1B B C D --的余弦值都是3【分析】（1）连接1BC 交1B C 于点E ，连接DE ，由中位线定理得1//AC DE ，结合线面平行的判定定理即（2）首先证明无论选条件①还是选条件②，都有1,,CA CB CC 两两互相垂直，建立适当的空间直角坐标系，求出平面1CBB 、平面1CDB 的法向量，注意到二面角1B B C D --是锐角，结合向量夹角的坐标公式即可求解.【详解】（1）连接1BC 交1B C 于点E ，连接DE ，因为四边形11BCC B 为平行四边形，E 为它的对角线1BC 、1B C 交点，所以点E 是1BC 的中点，因为D 是AB 中点，所以DE 是1ABC 的中位线，所以1//AC DE ，因为DE ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，所以1//AC 平面1B CD ；（2）若选条件①：1BC AC ⊥，因为1CC ⊥底面ABC ，,CA CB ⊂底面ABC ，所以11,CC CA CC CB ⊥⊥，又因为1BC AC ⊥，且11111,,AC CC C AC CC ⋂=⊂面11ACC A ，所以BC ⊥面11ACC A ，而AC ⊂面11ACC A ，所以BC AC ⊥，即1,,CA CB CC 两两互相垂直，若选条件②：1B D 因为1B B ⊥面ABC ，BD ⊂面ABC ，所以1BB BD ⊥，因为1B D 112BB CC ==，所以BD ==因为点D 是AB 中点，所以2AB BD ==，因为2CA CB ==，所以222CA CB AB +=，即CA CB ⊥，由前面分析可知11,CC CA CC CB ⊥⊥，所以1,,CA CB CC 两两互相垂直，综上，无论选条件①还是选条件②，都有1,,CA CB CC 两两互相垂直，故以点C 为原点，1,,CA CB CC 所在直线分别为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系：由题意()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,1,1,0B B C D ，所以()()()10,2,0,0,2,2,1,1,0CB CB CD ===，设平面1CBB 、平面1CDB 的法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z ==，从而有11100CB n CB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，2120CD n CB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，也就是有11120220y y z =⎧⎨+=⎩，22220220x y y z +=⎧⎨+=⎩，令121x x ==，解得11220,1,1y z y z ===-=，所以可取平面1CBB 、平面1CDB 的法向量分别为()()121,0,0,1,1,1n n ==-，显然二面角1B B C D --是锐角，所以二面角1B B C D --的余弦值为121212cos ,3n n n n n n ⋅==⋅.17．(1)12；(2)1．【分析】(1)直接代入2ω=及6x π=计算即可；(2)化简f (x )解析式，根据()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可知该区间长度小于或等于f (x )的半个周期，再结合012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0ω>可得ω的值．【详解】（1）∵2ω=，∴211311cos sin 6333222422f ππππ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭．（2）()21cos sin 2f x x x x ωωω=-+1cos21sin2sin 22226x x x ωπωω-⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭∵()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴2263T πππ≥-=，即223T ππω=≥，∴03ω<≤．∵012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴sin 01266f πωππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ,Z 66k k ω-+=∈即()16k k ω=-∈Z ，所以当0k =时，1ω=.此时()f x =sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，732,62622x πππππ⎡⎤⎡⎤+∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故此时()f x 单调递减，符合题意.综上，1ω=.18．(1)1225(2)分布列见解析，()2E X =(3)()()12D D ξξ<【分析】（1）根据古典概型的概率公式及相互独立事件的概率公式计算可得；（2）依题意X 的可能取值为1、2、3，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；（3）分别求出()10P ξ=，()11P ξ=，()20P ξ=，()21P ξ=，从而求出1D ξ、2D ξ，即可比较.【详解】（1）记被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于260mm 为事件C ，其中从第1组中选出的1只白鼠皮肤疱疹面积小于260mm 的概率为810，从第2组中选出的1只白鼠皮肤疱疹面积小于260mm 的概率为610，所以()8612101025P C =⨯=.（2）依题意X 的可能取值为1、2、3，且()212436C C 11C 5P X ===，()122436C C 32C 5P X ===，()032436C C 13C 5P X ===，所以X 的分布列为：X123P153515所以()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=.（3）依题意可得()17010P ξ==，()13110P ξ==，所以()173301101010E ξ=⨯+⨯=，所以()221373321001101010101000D ξ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()24010P ξ==，()26110P ξ==，所以()246601101010E ξ=⨯+⨯=，所以()2226466240210011010101010001000D ξ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()12D D ξξ<.19．(1)221124x y +=；(2)存在，()0,2D -.【分析】(1)根据焦距可求c ，根据已知四边形周长及a 、b 、c 的关系可求出a 、b ，从而可求椭圆标准方程；(2)由题可知，若存在定点D ，使得12DM PQ =，等价于以PQ 为直径的圆恒过定点D ．从而只需从直线l 斜率不存着时入手求出该定点D ，斜率存在时验算0DP DQ ⋅=即可．【详解】（1）由题意得22216,2.c a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2212,4.a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆E 的方程为221124x y +=．（2）若存在定点D ，使得12DM PQ =，等价于以PQ 为直径的圆恒过定点D ．当直线l 的斜率不存在时，PQ 为直径的圆的方程为224x y +=①，当直线l 的斜率为0时，令1y =，得3x =±，因此PQ 为直径的圆的方程为22(1)9x y +-=②．联立①②，得0,2,x y =⎧⎨=-⎩猜测点D 的坐标为()0,2-．设直线l 的方程为1y kx =+，由221,1,124y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2231690k x kx ++-=．设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122269,.3131k x x x x k k +=-=-++∴()()1122,2,2DP DQ x y x y ⋅=+⋅+()()121222x x y y =+++()()121233x x kx kx =+++()()21212139k x x k x x =++++()222961393131k k k k k ⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭0.=综上，存在定点()0,2D -，使得12DM PQ =．20．(1)1y x =+(2)函数()h x 有唯一零点0x =，证明过程见解析(3)2【分析】（1）只需分别求出()()0,0f f '即可得解；（2）首先有()()e ln 121xh x x x =++--，()()1e 211x x x h x x +--'=+，令()()()1e 21,1xm x x x x =+-->-，我们可以通过构造导数来说明()0m x >，即()0h x '>，这表明了()h x 单调递增，注意到()00h =，由此即可进一步得证；（3）首先我们可以连续求导说明函数()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增.其次()()()()()000h x f x f x x x f x =---'，故()()()0h x f x f x ''-'=.进一步有()()000h x h x '==，然后分000,10x x >-<<两种情况分类讨论即可求解.【详解】（1）当00x =时，()()001f x f ==，而()1e 11xf x x =+-+'，所以()01f '=，从而切线方程为10y x -=-，也就是1y x =+.（2）由题意()()()()()()e ln 11e ln 121x xh x f x h x x x x x x =-=++--+=++--，所以()()1e 211e 211x xx x h x x x +--=+-='++，令()()1e 21x m x x x =+--，则()()2e 2xm x x =+-'，当10x -<<时，122x <+<，0e 1x <<，所以()2e 2e 212x xx +<<⨯=，即()0m x '<，所以当10x -<<时，()m x 单调递减，()()00m x m >=，当0x >时，22x +>，e 1x >，所以()2e 2e 212x xx +>>⨯=，即()0m x '>，所以当0x >时，()m x 单调递增，()()00m x m >=，综上，()0m x ≥恒成立，也就是()0h x '≥恒成立，所以()h x 在()1,∞-+上单调递增，又因为()00h =，故函数()h x 有唯一零点0x =，且当10x -<<时，()0h x <，当0x >时，()0h x >；因此当10x -<<时，()0xh x >，当0x >时，()0xh x >，故()0xh x ≥；（3）对n 个实数12,,...,n a a a ，定义()12max ,,...,n a a a 和()12min ,,...,n a a a 分别为12,,...,n a a a 中最大的一个和最小的一个.现在，()()e ln 1x f x x x =++-，故()1e 11xf x x =+-+'，令()()f x x ϕ'=，再对()x ϕ求导一次得到()()21e 1xx x ϕ=-+'.当10x -<<时，()()()02211e e 110101xx x ϕ=-<-='-=++，()x ϕ单调递减；当0x >时，()()()02211e e 110101xx x ϕ=->-='-=++，()x ϕ单调递增.故函数()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增.由于曲线()y f x =在()()00,x f x 处的切线斜率为()0001e 11x f x x =+-+'，故该切线的方程为()()()000y f x x x f x =-+'，从而()()()()000g x f x x x f x -'=+.现在我们有()()()()()000h x f x f x x x f x =---'，故()()()0h x f x f x ''-'=.首先我们有()()()()()()()000000000h x f x f x x x f x f x f x '=---=-=，()()()0000h x f x f x =-''='，故()()000h x h x '==.已证函数()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增，下面我们分情况讨论：当00x >时：由于()()()()()()()011200000011111e 111111121111222f x f f x f x f x f x f x f x -++'⎛⎫-+=+->-=-=+> ⎪ ⎪+⎝⎭-++-++++'''''''+，故()()()0001111022h f f x f x f x '''''⎛⎫⎛⎫-+=-+-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，同时由()f x '在[)0,∞+上递增，知()()()0000h f f x =-''<'，而()0111110222f x -+≤-+=-'<+，故()h x '在()011,02f x ⎛⎫-+ +⎝'⎪⎪⎭上必存在一个零点，记该零点为u ，则有()0h u '=，且()01102u f x -'+<<+，从而10u -<<.由于函数()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增，010u x -<<<，当1x u -<<时，()()()()()()000h x f x f x f u f x h u '''''-='=->=；当0u x <≤时，()()()()()()000h x f x f x f u f x h u '''''-='=-<=；当00x x <<时，()()()()()0000h x f x f x f x f x =-<-''''='；当0x x >时，()()()()()0000h x f x f x f x f x =->-''''='.这表明()h x 在()0,u x 上递减，在()1,u -和()0,x ∞+上各自递增.由于()h x 在()1,u -上递增，故()h x 在()1,u -上至多有一个零点，而()()()()0000h u h x f x f x >=-=.同时，当10x -<<时，有()()()()()000h x f x f x x x f x =---'()()()()()0000e ln 11xx f x x x f x f x ''=++-++-()()()()()00001ln 11x f x x f x f x <+++++-''()()()()()0000ln 111x f x x f x f x ≤++++-'+'故()()()()()()0000ln 111h x x f x x f x f x <+'++++-'，这表明当()()()()()000011min 1e ,f x x f x f x x u -+++-''⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭时，有()()()()()()0000ln 111h x x f x x f x f x <+'++++-'()()()()()()()()()0000110000ln e 11f x x f x f x f x x f x f x '++-'-+⎛⎫≤++++- ⎪⎝''⎭()()()()()()()()()000000001111f x x f x f x f x x f x f x =-+++-+''+'+-'+0=.故()h x 必有一个零点t ，且()()()()()000011min 1e ,f x x f x f x u t u ''-+++-⎛⎫-+<< ⎪⎝⎭.已证()h x 在()1,u -上至多有一个零点，这就说明()h x 在()1,u -上恰有一个零点.然后，当0,x u x x ≥≠时，由于()h x 在()0,u x 上递减，在()0,x ∞+上递增，故()()00h x h x >=.而()00h x =，这说明()h x 在[),u ∞+上恰有一个零点.根据以上的讨论，知()h x 恰有2个零点；当010x -<<时：由于()()()()()()()()()()()()00ln 2ln 2000001ln 2e1e 121ln 21f x f x f f x f x f x f x f x '+'++=+->'-=+->≥'+'''+'，故()()()()()()()000ln 2ln 20h f x f f x f x +=+-''''>'，同时由()f x '在(]1,0-上递减，知()()()0000h f f x =-''<'，而()()0ln 2ln 20f x +≥>'，故()h x '在()()()00,ln 2f x +'上必存在一个零点，记该零点为v ，则有()0h v '=，且()()00ln 2v f x <+'<，从而0v >.由于函数()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增，010x v -<<<，当01x x -<<时，()()()()()0000h x f x f x f x f x =->-''''='；当00x x <<时，()()()()()0000h x f x f x f x f x =-<-''''='；当0x v ≤<时，()()()()()()000h x f x f x f v f x h v '''''-='=-<=；当x v >时，()()()()()()000h x f x f x f v f x h v '''''-='=->=.这表明()h x 在()0,x v 上递减，在()01,x -和(),v ∞+上各自递增.由于()h x 在(),v ∞+上递增，故()h x 在(),v ∞+上至多有一个零点，而()()()()0000h v h x f x f x <=-=.同时，当0x >时，有：()()()()()000h x f x f x x x f x =---'()()()()()0000e ln 11xx f x x x f x f x ''=++-++-()()()()0000e 1x f x x x f x f x >-++-''()()()0000e 1x f x x x f x f x ≥-+--''故()()()()0000e 1xh x f x x x f x f x >-+-'-'，设()e t t t η=-，则当0t >时()e 10tt η='->，故()t η在()0,∞+上递增，所以当0t >时()()e 010tt t ηη-=>=>，即e t t >.所以当0x >时，有：()()()()0000e 1xh x f x x x f x f x >-+-'-'()()()0000e 212x xf x x f x f x ''=-+--()()()20000e 21e x x f x x f x f x ''≥-+--()()()220000e e 21x x f x x f x f x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝'⎭'这表明当()()()()()()0000max 2ln 1,2ln 211,x x f x f x f x v ≥-+++''时，有()()()()()000ln 12000e e 1xx f x f x x f x f x -+'-'≥=+，()()()0ln 21120e e 211xf x f x +'+≥=++'，从而()()()()220000e e 21x x h x f x x f x f x ⎛⎫>-+-- ⎪⎝''⎭()()()()()200000e 21121xf x f x x f x f x ≥++-+'--''()()2000e x x f x f x '=--()()()()0000001x f x f x x f x f x ''≥-+--10=>.故()h x 必有一个零点t '，且()()()()()()0000max 2ln 1,2ln 211,v t x f x f x f x v <<-+'+''+.已证()h x 在(),v ∞+上至多有一个零点，这就说明()h x 在(),v ∞+上恰有一个零点.然后，当0,x v x x ≤≠时，由于()h x 在()01,x -上递减，在()0,x v 上递增，故()()00h x h x >=.而()00h x =，这说明()h x 在(]1,v -上恰有一个零点.根据以上的讨论，知()h x 恰有2个零点.综上，无论哪种情况，()h x 都恰有2个零点，从而零点个数为2.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得出()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增，()()000h x h x '==，由此即可顺利得解.21．(1)8x =，5y =，4z =，3w =(2)证明见解析(3)5M 是“好集合”，满足{}5125,,...,a a a ∈的“好数阵”有38105926714⎡⎤⎢⎥⎣⎦，83510971264⎡⎤⎢⎥⎣⎦，41095738612⎡⎤⎢⎥⎣⎦，95410783162⎡⎤⎢⎥⎣⎦；6M 不是“好集合”，证明见解析【分析】（1）直接根据定义解出未知量的值；（2）可构造恰当的映射，以证明结论；（3）第三问可通过分类讨论求解问题.【详解】（1）由“好数阵”的定义，知71x -=，2y w -=，13z -=，{}{},,,3,4,5,8x y z w =，故8x =，4z =，2y w -=，{}{},3,5y z =，进一步得到5y =，3w =.从而8x =，5y =，4z =，3w =.（2）如果1212n n a a a b b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是一个“好数阵”，则{}{}1212,,,,,,n n n a a a b b b M ⋃= ，()1,2,,k k a b k k n -== .从而{}{}121221,21,,2121,21,,21n n n n b n b n b n a n a n a M +-+-+-⋃+-+-+-= ，()()()21211,2,,k k n b n a k k n +--+-== .故1212212121212121n n n b n b n b n a n a n a +-+-+-⎡⎤⎢⎥+-+-+-⎣⎦也是一个“好数阵”.由于22222a b b +=+是偶数，故2221a b n ++≠，从而2221a n b ≠+-.这就说明两数阵1212n n a a a b b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 和1212212121212121n n n b n b n b n a n a n a +-+-+-⎡⎤⎢⎥+-+-+-⎣⎦的第1行第2列的数不相等，从而是不同的数阵.设全体“好数阵”构成的集合为S ，并定义映射:F S S →如下：对1212n n a a a T b b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，规定()1212212121212121n n n b n b n b F T n a n a n a +-+-+-⎡⎤=⎢⎥+-+-+-⎣⎦ .因为由n M 中的元素构成的2n ⨯数阵只有不超过()22nn 种，故S 是有限集合.而()()()()()()()()1212212121212121212121212121n n n n a n n a n n a F F T n n b n n b n n b ⎡⎤+-+-+-+-+-+-=⎢⎥+-+-+-+-+-+-⎣⎦ 1212n n a a a T b b b ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ ，这就表明()()F F T T =，从而F 是满射，由S 是有限集，知F 也是单射，从而F 是一一对应.对“好数阵”1212n n a a a b b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，已证两数阵1212n n a a a b b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 和1212212121212121n n n b n b n b n a n a n a +-+-+-⎡⎤⎢⎥+-+-+-⎣⎦ 是不同的数阵，故()F T T ≠.同时，对两个“好数阵”1T ，2T ，如果()21T F T =，则()()()211F T F F T T ==；如果()12T F T =，则()()()122F T F F T T ==.所以()21T F T =当且仅当()12T F T =.最后，对T S ∈，由()F T T ≠，称2元集合(){},T F T 为一个“好对”.对0T S ∈，若0T 属于某个“好对”(){},T F T ，则0T T =或()0F T T =，即0T T =或()0T F T =.由于(){}()()(){}0000,,T F T F T F F T =，故无论是0T T =还是()0T F T =，都有(){}(){}00,,T F T T F T =.这表明，每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍，从而“好数阵”必有偶数个.（3）若1212n n a a a b b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 是“好数阵”，则有()()1212123...2......n n n a a a b b b ++++=+++++++()()()()()121212......n n b b b n b b b =++++++++++()()122...12...n b b b n =+++++++，所以()()()()()1212312...12...222n n n n n n b b b n n n ++++++=+++++==，这表明()312n n +一定是偶数.若5n =，设125125a a a b b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 是“好数阵”，则()()125312...402n n b b b ++++==，从而3124520b b b b b ++++=，故()()()1234512512512...5...12...5201535a a a a a b b b b b b ++++=++++++=+++++++=+=.由于()121,2,...,5k k a b k ≥+≥=，故{}1251,,...,b b b ∈，同理{}12510,,...,a a a ∈.若{}1252,,...,a a a ∈，设2k a =，则21k k a b k k ==+≥+，故1k =，从而12a =.进一步有11b =，而()23252,...,5k k a b k ≥+≥+==，故{}23453,4,,,b b b b ∈.假设{}23455,,,a a a a ∈，设5k a '=，则35k k b a k k ''''≤=-=-，故2k '=，则25a =，23b =.由于5555b a ≤-≤，{}{}1212,,,1,2,3,5a a b b =，故54b =，59a =.此时{}{}3434,,,6,7,8,10a a b b =，从而410a =，46b =，但此时33871a b -=-=，矛盾；所以{}23455,,,b b b b ∈，故{}23453,4,5,,,b b b b ∈，分别尝试所有24种可能的对应方式，知符合条件的“好数阵”有29681017345⎡⎤⎢⎥⎣⎦，26109814753⎡⎤⎢⎥⎣⎦；若{}1252,,...,b b b ∈，则{}1251,2,,...,b b b ∈，从而11b ≠.若{}1253,,...,a a a ∈，则13a =或23a =.若13a =，则12b =，{}3451,,b b b ∈，分别尝试3种可能，知符合条件的“好数阵”有31079628451⎡⎤⎢⎥⎣⎦，38105926714⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若23a =，则21b =，{}3452,,b b b ∈，若{}1256,,...,a a a ∈，则16a =，或42b =且46a =，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有93761081425⎡⎤⎢⎥⎣⎦；若{}1256,,...,b b b ∈，则{}13452,6,,,b b b b ∈，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有83510971264⎡⎤⎢⎥⎣⎦；若{}1253,,...,b b b ∈，则{}1251,2,3,,...,b b b ∈，假设{}1254,,...,b b b ∈，由于3124520b b b b b ++++=，{}12510,,...,a a a ∈，故23451201234919b b b b b =++++≤++++=，矛盾，所以{}1254,,...,a a a ∈.对{}1251,2,3,,...,b b b ∈尝试所有组合，知符合条件的“好数阵”有10487692531⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10746895123⎡⎤⎢⎥⎣⎦，41095738612⎡⎤⎢⎥⎣⎦，95410783162⎡⎤⎢⎥⎣⎦.综上，全部的“好数阵”有29681017345⎡⎤⎢⎥⎣⎦，26109814753⎡⎤⎢⎥⎣⎦，31079628451⎡⎤⎢⎥⎣⎦，38105926714⎡⎤⎢⎥⎣⎦，93761081425⎡⎤⎢⎥⎣⎦，83510971264⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10487692531⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10746895123⎡⎤⎢⎥⎣⎦，41095738612⎡⎤⎢⎥⎣⎦，95410783162⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中，满足{}1255,,...,a a a ∈的有38105926714⎡⎤⎢⎥⎣⎦，83510971264⎡⎤⎢⎥⎣⎦，41095738612⎡⎤⎢⎥⎣⎦，95410783162⎡⎤⎢⎥⎣⎦.综上，5M 是“好集合”，满足{}1255,,...,a a a ∈的“好数阵”有38105926714⎡⎤⎢⎥⎣⎦，83510971264⎡⎤⎢⎥⎣⎦，41095738612⎡⎤⎢⎥⎣⎦，95410783162⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若6n =，由于此时()31572n n +=不是偶数，所以不存在“好数阵”，从而6M 不是“好集合”.【点睛】关键点点睛：关键是第3小问需要较为繁琐的分类讨论，耐心尝试所有情况才可不重不漏.。
2017年北京市东城区高三一模数学(理)
2． 2
（Ⅱ）设 A, B 是椭圆 C 的左，右顶点， P 为椭圆上异于 A, B 的一点，以原点 O 为端点分别
作与直线 AP 和 BP 平行的射线，交椭圆 C 于 M , N 两点，求证：△ OMN 的面积为
定值．
（ 20）（本小题共 13 分）
已 知 集 合 A { a1, a2,L , an }, ai R ,i 1,2, L , n ， 并 且 n 2 ． 定 义
.
由题意知， E = A2B1 A3B1 A3 B2 .
因此 P( E) = P( A2B1) + P( A3B1) + P( A3B2 )
= 0.58 .
答：男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率为
0.58 .
,, 11 分
（Ⅲ）此结论不正确 .
,,,,,,,,,,,
13 分
（ 17）（共 14 分）
北京市东城区 2016-2017 学年度第二学期高三综合练习（一）
数学 （理科）
学校 _____________ 班级 _______________ 姓名 ______________ 考号 ___________
本试卷共 5 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
象在区间 [ , ] 上单调递减，则 m 的最小值为
12 12
（ A）
12
（ B）
6
（ C）
4
（ D）
3
（ 8）甲抛掷均匀硬币 2017 次，乙抛掷均匀硬币 2016 次，下列四个随机事件的概率是 0.5
的是
①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多 .
②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少 .
2022-2023学年北京市东城区高三下学期综合练习(一)数学试卷(PDF版)
北京市东城区2022-2023学年度第二学期高三综合练习（一）数 学 2023.3本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合22{|}0A x x -=<，且a A ∈，则a 可以为（A ）2- （B ）1-（C ）32（D （2）在复平面内，复数iz对应的点的坐标是(3,1)-，则z = （A ）13i + （B ）3i + （C ）3i -+ （D ）13i -- （3）抛物线24x y =的准线方程为（A ）1x = （B ）1x =- （C ）1y = （D ）1y =- （4）已知0x >，则44x x-+的最小值为 （A ）2- （B ）0（C ）1 （D ）（5）在△ABC 中，a =2b c =，1cos 4A =-，则ABC S =△（A ）（B ）4（C ） （D ）（6）设,m n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，且m α⊂，αβ ，则“m n ⊥”是“n β⊥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）过坐标原点作曲线2e1x y -=+的切线，则切线方程为（A ）y x = （B ）2y x = （C ）21e y x = （D ）e y x =（8）已知正方形ABCD 的边长为 2，P 为正方形ABCD 内部（不含边界）的动点，且满足0PA PB ⋅=，则CP D P ⋅的取值范围是（A ）(0,8] （B ）[0,8) （C ）(0,4] （D ）[0,4)（9）已知1a ，2a ，3a ，4a ，5a 成等比数列，且1和4为其中的两项，则5a 的最小值为（A ）64- （B ）8- （C ）164 （D ）18（10）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就．其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N 的70次方是一个83位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得N 的值为（A ）13 （B ）14 （C ）15 （D ）16第二部分（非选择题 共110分）二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分。
北京市东城区20172018学年度第二学期高三综合练习一
北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合{|31}A x x =-<<，{|1B x x =<-或2}x >，则AB =（A ）{|31}x x -<<- （B ）{|32}x x -<< （C ）{|11}x x -<< （D ）{|12}x x << （2）复数i1iz =-在复平面内对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限（3）若,x y 满足20,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则y x -的最大值为（A ）2-（B ）1-（C ）2（D ）4（4）执行如图所示的程序框图，如果输出的S 值为30，那么空白的判断框中应填入的条件是（A ）2n ≤ （B ）3n ≤（C ）4n ≤ （D ）5n ≤输出S结束是开始否0,0n S ==1n n =+2nS S =+（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为（A ）2（B ）22（C ）32（D ） 4（6）函数4()2x f x x=-的零点所在区间是 （A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）3(1,)2（D ）3(,2)2（7）已知平面向量,,a b c 均为非零向量，则“()()⋅=⋅a b c b c a ”是“向量,a c 同向”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览．高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，在甲、乙两个景点中有18人会选择甲，在乙、丙两个景点中有18人会选择乙．那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是 ①该班选择去甲景点游览； ②乙景点的得票数可能会超过9；③丙景点的得票数不会比甲景点高； ④三个景点的得票数可能会相等.（A ）①② （B ）①③ （C ）②④ （D ）③④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2014届高三下学期综合练习(一) 文科数学试卷(带解析)
北京市东城区2014届高三下学期综合练习（一）文科数学试卷（带解析）1（A）（xlx<-1，或x>2} （B）{xlx≤-1，或x≥2）（C）{x|-l<x<2} （D）{x|-l<x<2}【答案】C【解析】C正确。
考点：1一元二次不等式；2集合的运算。
2（A（B（C（D【答案】B【解析】C正确。
考点：复数的运算。
3．为了得到函数y=sin（y= sin2x的图象（A（B（C（D【答案】D【解析】试题分析：D正确。
考点：三角函数伸缩平移变换。
4m=（A（B）3 （C（D）【答案】B【解析】试题分析：B正确。
考点：双曲线的简单几何性质。
5．设等差数列的前n项和为S n，若a1=1，a2+a3=11，则S6一S3=（A）27 （B）39（C）45 （D）63【答案】B【解析】考点：1等差数列的通项公式；23等差中项。
6b=log42，c=log31．6，则（A）a>b>c （B）a>c>b（C）b>a>c （D）c>a>b【答案】A【解析】3A正确。
考点：1指数函数的单调性；2对数函数的单调性；3对数函数的运算法则。
7．若一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（A（B）4（C（D）8【答案】A【解析】为3，则底面边长为2故A正确。
考点：三视图8．已知a，b是正数，且满足2<a+2b<4（A（B（C（D【答案】A【解析】试题分析：内，分析可知A正确。
考点：线性规划问题。
9．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=2，则抛物线的方程为 .【解析】试题分析：由准线方程考点：抛物线的简单几何性质及方程。
10．= .【解析】考点：三角函数的诱导公式。
11．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学在期末考试中的数学成绩，则甲组数据的中位数是 ；乙组数据的平均数是 .【答案】76【解析】试题分析：将甲组数据按从小到大（或从大到小）排列中间的数为76，则甲组数据的中位数为76.乙组数据分别为65、82、87、85、95考点：茎叶图、中位数、平均数12．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，F 为AB 上的点，。
北京市丰台区2021-2022学年高三下学期综合练习(一) 数学试题
北京市丰台区2021—2022学年度第二学期综合练习（一）高三数学2022.03第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤，则A B ⋃=（）A.{|11}x x -<<B.{|11}x x -<≤ C.{|22}x x -<< D.{|22}x x -<≤【1题答案】【答案】D 【解析】【分析】利用并集的定义计算即可.【详解】∵集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤，∴{|22}A B x x ⋃=-<≤.故选：D.2.已知命题p ：1x ∃>，210x ->，那么p ⌝是（）A.1x ∀>，210x ->B.1x ∀>，210x -≤C.1x ∃>，210x -≤D.1x ∃≤，210x -≤【2题答案】【答案】B 【解析】【分析】由特称命题的否定，直接判断得出答案.【详解】解：已知命题p ：1x ∃>，210x ->，则p ⌝为：1x ∀>，210x -≤.故选：B.3.若复数i z a b =+（a ，b 为实数）则“0a =”是“复数z 为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【3题答案】【答案】B 【解析】【分析】根据当0a =且0b ≠时，复数i z a b =+z 为纯虚数判断即可.【详解】解：根据复数的概念，当0a =且0b ≠时，复数i z a b =+z 为纯虚数，反之，当复数i z a b =+z 为纯虚数时，0a =且0b ≠所以“0a =”是“复数z 为纯虚数”的必要不充分条件故选：B4.已知圆22:20C x x y -+=，则圆心C 到直线3x =的距离等于（）A.4B.3C.2D.1【4题答案】【答案】C 【解析】【分析】求出圆心的坐标，即可求得圆心C 到直线3x =的距离.【详解】圆C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0C ，故圆心C 到直线3x =的距离为132-=.故选：C.5.若数列{}n a 满足12n n a a +=，且41a =，则数列{}n a 的前4项和等于（）A.15 B.14C.158 D.78【5题答案】【答案】C 【解析】【分析】由等比数列定义和通项公式可得1a ，然后由前n 项和公式可得.【详解】因为12n n a a +=，且41a =，所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列，又3411a a q ==，得118a =，所以44141(12)(1)1581128a q S q --===--.故选：C6.在△ABC中，cos 23B a b ===,,，则A ∠=（）A.6π B.3π C.56π D.6π或56π【6题答案】【答案】A 【解析】【分析】先求出sin B ，再借助正弦定理求解即可.【详解】由7cos 4B =得3sin 4B ==，由正弦定理得sin sin a b A B =，233sin 4A =，解得1sin 2A =，又a c <，故A C ∠<∠，6A π∠=.故选：A.7.在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者．则这6位志愿者不同的分配方式共有（）A.19种 B.20种 C.30种D.60种【7题答案】【答案】A 【解析】【分析】利用对立事件，用总的分配方式减去“社区值守”岗位全是女性的情况可得.【详解】6位志愿者3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”的分配方式共有3620C =种，“社区值守”岗位全是女性的分配方式共1种，故“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者的分配方式共有20119-=种.故选：A8.已知F 是双曲线22:148x y C -=的一个焦点，点M 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若||||OM MF =，则△OMF 的面积为（）A.32B.322C. D.6【8题答案】【答案】C 【解析】【分析】由等腰三角形的性质结合渐近线方程得出点00(,)M x y 的坐标，再求面积.【详解】不妨设F 为双曲线C 的左焦点，点00(,)M x y 在渐近线y =上，因为2,a b c ===，||||OM MF =，所以0x =，0y =，即△OMF 的面积12⨯=.故选：C9.已知函数()32,,3,x x a f x x x x a-<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（）A.(,1]-∞-B.(,1)-∞- C.[1,)+∞ D.(1,)+∞【9题答案】【答案】D 【解析】【分析】利用导数研究函数的性质，作出函数函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，利用数形结合即得.【详解】对于函数33y x x =-，可得()()233311y x x x '=-=+-，由0y '>，得1x <-或1x >，由0y '<，得11x -<<，∴函数33y x x =-在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增，∴函数33y x x =-在1x =-时有极大值2，在1x =时有极小值2-，作出函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，由图可知，当1a ≤时，函数()f x 有最小值()12f =-，当1a >时，函数()f x 没有最小值.故选：D.10.对任意*m ∈N ，若递增数列{}n a 中不大于2m 的项的个数恰为m ，且12100n a a a +++= ，则n 的最小值为（）A.8B.9C.10D.11【10题答案】【答案】C 【解析】【分析】先由条件得出2n a n ≤，进而结合等差数列前n 项和列出不等式，解不等式即可.【详解】由递增数列{}n a 中不大于2m 的项的个数恰为m 可知2n a n ≤，又12100n a a a +++= ，故2462100n ++++≥ ，即()221002n n +≥，解得14012n -≤或14012n -≥，又*n ∈N ，故n 的最小值为10.故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()f x 2lg x x -+的定义域是_________.【11题答案】【答案】{|02}x x <≤【解析】【详解】∵函数()f x lg x∴要使函数有意义，则20{x x -≥>∴02x <≤∴函数()f x lg x 的定义域为{}02x x <≤故答案为{}02x x <≤12.已知向量(2,3)a =- ，(,6)b x =-．若a b∥，则=x ______．【12题答案】【答案】4【解析】【分析】利用两向量共线的条件即求.【详解】∵向量(2,3)a =-，(,6)b x =-，a b∥，∴()()2630x -⨯--=，解得4x =.故答案为：4.13.设函数()f x 的定义域为[]0,1，能说明“若函数()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，则函数()f x 在[]0,1上单调递增“为假命题的一个函数是__________.【13题答案】【答案】213()24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈，（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，可以构造在定义域为[]0,1上，先减后增的函数，满足最大值为1，即可得答案.【详解】根据题意，要求函数()f x 的定义域为[]0,1，在[]0,1上的最大值为()1f ，但()f x 在[]0,1上不是增函数，可以考虑定义域为[]0,1上，先减后增的函数的二次函数，函数213()24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈符合，故答案为：213()24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈，（答案不唯一）.14.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，则F 的坐标为______；设点M 在抛物线C 上，若以线段FM 为直径的圆过点(0,2)，则||FM =______．【14题答案】【答案】①.(1,0)②.5【解析】【分析】由题可得()1,0F ，设(),M x y ，结合条件可得240x y -+=，24y x =，进而可得4x =，即得.【详解】∵抛物线2:4C y x =，∴()1,0F ，设(),M x y ，则24y x =，又以线段FM 为直径的圆过点(0,2)，∴2201001y x --⋅=---，即240x y -+=，又24y x =，∴22404y y -+=，解得4y =，4x =，∴||415FM =+=.故答案为：(10),；5.15.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别是棱1111A B A D ，的中点，点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论：①平面CMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形是五边形；②直线11B D 到平面CMN 的距离是22；③存在点P ，使得11=90B PD ∠︒；④△1PDD 面积的最小值是6．其中所有正确结论的序号是______．【15题答案】【答案】①③【解析】【分析】作出截面图形判断①，利用等积法可判断②，利用坐标法可判断③④.【详解】对于①，如图直线MN 与11C B 、11C D 的延长线分别交于11,M N ，连接11,CM CN 分别交11,BB DD 于22,M N ，连接22,MM NN ，则五边形22MM CN N 即为所得的截面图形，故①正确；对于②，由题可知11//MN B D ，MN ⊂平面CMN ，11B D ⊄平面CMN ，∴11//B D 平面CMN ，故点1B 到平面CMN 的距离即为直线11B D 到平面CMN 的距离，设点1B 到平面CMN 的距离为h ，由正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2可得，3,CM CN MN ===，11722CMNS = ，∴11117173326B CMN CMN V S h h -=⋅=⨯= ，111111123323C B MN B MN V S CC -=⋅=⨯⨯= ，∴由1B CMN V -=1C B MN V -，可得h =所以直线11B D 到平面CMN 的距离是17，故②错误；对于③，如图建立空间直角坐标系，则()()()()112,0,2,0,2,2,2,2,0,1,0,2B D C M ，设,01PC MC λλ=≤≤，∴()1,2,2PC MC λλ==-，又()2,2,0C ，()()112,0,2,0,2,2,B D ∴()2,22,2P λλλ--，()()11,22,22,2,2,22PB PD λλλλλλ=--=--，假设存在点P ，使得11=90B PD ∠︒，∴()()()2112222220PB PD λλλλλ⋅=-+-+-= ，整理得291440λλ-+=，∴71319λ+=>（舍去）或7139λ=，故存在点P ，使得11=90B PD ∠︒，故③正确；对于④，由上知()2,22,2P λλλ--，所以点()2,22,2P λλλ--在1DD 的射影为()0,2,2λ，∴点()2,22,2P λλλ--到1DD 的距离为：d =，∴当25λ=时，min 455d =，∴故△1PDD 面积的最小值是145452255⨯⨯=，故④错误.故答案为：①③.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数()sin ()(0||)2f x x ωϕωϕπ=+><,，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()(6g x f x f x π=++，求()g x 在区间4[0]π,上的最大值．条件①：()f x 的最小正周期为π；条件②：()f x 为奇函数；条件③：()f x 图象的一条对称轴为4x π=．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．【16~17题答案】【答案】（1）()sin 2f x x =（2【解析】【分析】（1）可以选择条件①②或条件①③，先由周期计算ω，再计算ϕ即可；（2）先求出26x π+整体的范围，再结合单调性求最大值即可.【小问1详解】选择条件①②：由条件①及已知得2T ππω==，所以2=ω．由条件②得()()f x f x -=-，所以(0)0f =，即sin 0ϕ=．解得π()k k ϕ=∈Z ．因为||2ϕπ<，所以0ϕ=，所以()f x sin2x =．经检验0ϕ=符合题意．选择条件①③：由条件①及已知得2T ππω==，所以2=ω．由条件③得()ππ2π42k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π()k k ϕ=∈Z ．因为||2ϕπ<，所以0ϕ=．所以()f x sin2x =．【小问2详解】由题意得()sin2sin 23g x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，化简得3()sin 22)226g x x x x =+=+π．因为04x π≤≤，所以22663x πππ≤+≤，所以当262x ππ+=，即6x π=时，()g x 17.如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ，90DAB ∠=︒，12AD DC AB ==．以直线AB 为轴，将直角梯形ABCD 旋转得到直角梯形ABEF ，且AF AD ⊥．（1）求证：DF 平面BCE ；（2）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56？若存在，求出DPDF 的值；若不存在，说明理由．【17~18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）存在；13DP DF =【解析】【分析】（1）证明出四边形DCEF 为平行四边形，进而证明出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【小问1详解】证明：由题意得EF CD ‖，EF CD =，所以四边形DCEF 为平行四边形．所以DF CE ‖．因为DF ⊄平面BCE ，CE ⊂平面BCE ，所以DF ‖平面BCE ．【小问2详解】线段DF 上存在点P ，使得直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56，理由如下：由题意得AD ，AB ，AF 两两垂直．如图，建立空间直角坐标系A xyz -．设2AB =，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)D ，(0,1,1)E ，(0,0,1)F ．所以()0,1,1AE = ，()1,1,0BC =-，()1,2,0BD =- ，()1,0,1DF =- ．设()01DP DF λλ=≤≤ ，则()1,2,BP BD DP BD DF λλλ=+=+=--设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z =，所以00n BC n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即()0,120.x y x y z λλ-=⎧⎨--+=⎩令x λ=，则y λ=，1z λ=+．于是(),,1n λλλ=+设直线AE 和平面BCP 所成角为θ，由题意得：sin cos ,n AE n AE n AEθ⋅==⋅56=，整理得：232270λλ-+=，解得13λ=或7λ=．因为01λ≤≤，所以13λ=，即13DP DF =．所以线段DF 上存在点P ，当13DP DF =时，直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56．18.为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：毕业去向继续学习深造单位就业自主创业自由职业慢就业人数2005601412898假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．（1）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；（2）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X 为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a (098)a <<人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为2s ．当a 为何值时，2s 最小．（结论不要求证明）【18~20题答案】【答案】（1）1400（2）分布列见解析；期望为35（3）42a=【解析】【分析】(1)用样本中“单位就业”的频率乘以毕业生人数可得；(2)先由样本数据得选择“继续学习深造”的频率，然后由二项分布可得；(3)由方差的意义可得.【小问1详解】由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为5602500=14001000⨯．【小问2详解】由题意得，样本中1000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为200110005=．用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为15．随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．所以()030311640155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21311481155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()22311122155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3331113155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．所以X 的分布列为X0123P641254812512125112564481213()01231251251251255E x =⨯+⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】易知五种毕业去向的人数的平均数为200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以42a=．19.已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上不同于A ，B 的一点，直线PA ，PB 与直线4x =分别交于点M N ，．若||4MN ≤，求点P 横坐标的取值范围．【19~20题答案】【答案】（1）2214x y +=（2）8[05，【解析】【分析】（1）直接由条件计算,a b 即可；（2）设出点P 坐标，分别写出直线PA ，PB 的方程，表示出M N ，坐标，由||4MN ≤得到不等式，解不等式即可.【小问1详解】由题意得222243,2,a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，21b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=．【小问2详解】设(,)P m n （22m -<<），由已知得(2,0)A -，(2,0)B ，所以直线AP ，BP 的方程分别为(2)2n y x m =++，(2)2ny x m =--．令4x =，得点M 的纵坐标为62M n y m =+，点N 的纵坐标为22N ny m =-，所以62||22n nMN m m =-+-()2444n m m -=-．因为点P 在椭圆C 上，所以2214m n +=，所以2244m n -=-，即4||m MN n-=．因为4MN ||≤，所以44m n-≤，即22(4)16m n -≤．所以22(4)4(4)m m ---≤．整理得2580m m -≤，解得805m ≤≤．所以点P 横坐标的取值范围是8[0]5，．20.已知函数()f x =（1）当1a =时，求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（2）若函数2()()3ag x f x =-恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．【20~21题答案】【答案】（1）y x=（2）(3)+∞，【解析】【分析】（1）直接求导，由()1f x '=求出切点，写出切线方程即可；（2）求导后分类讨论确定函数的单调性，结合零点存在定理确定零点个数即可求出a 的取值范围.【小问1详解】当1a =时，()1)f x x =≤，所以()f x '=令()1f x '=，解得0x =．因为(0)0f =，所以切点坐标为(00),．故切线方程为y x =．【小问2详解】因为2()3ag x =-()x a ≤，所以()g x '=令()0g x '=，解得23a x =．当0a ≤时，由x a ≤，得230a x a --≥≥，所以()0g x '≥，则()g x 在定义域(,]a -∞上是增函数．故()g x 至多有一个零点，不合题意，舍去．当0a >时，随x 变化()g x '和()g x 的变化情况如下表：故()g x 在区间2()3a -∞,上单调递增，在区间2()3aa ,上单调递减，当23a x =时，()g x 取得最大值2(3a g =．若03a <≤时，2()03a g =，此时()g x 至多有一个零点；若3a >时，2(03a g >，又2(0)()03ag g a ==-<，由零点存在性定理可得()g x 在区间2(0)3a ,和区间2()3aa ,上各有一个零点，所以函数()g x 恰有两个不同的零点，符合题意．综上所述，a 的取值范围是(3)+∞，．21.已知集合{12}S n = ,,,(3n ≥且*n N ∈），12{}m A a a a = ,,,，且A S ⊆．若对任意i j a A a A ∈∈,（1i j m ≤≤≤），当i j a a n +≤时，存在k a A ∈(1k m ≤≤)，使得i j k a a a +=，则称A 是S 的m 元完美子集．（1）判断下列集合是否是{12345}S =,,,,的3元完美子集，并说明理由；①1{124}A =,,；②2{245}A =,,．（2）若123{}A a a a =,,是{127}S = ,,,的3元完美子集，求123a a a ++的最小值；（3）若12{}m A a a a = ,,,是{12}S n = ,,,（3n ≥且*n N ∈）的m 元完美子集，求证：12(+1)2m m n a a a +++ ≥，并指出等号成立的条件．【21~23题答案】【答案】（1）1A 不是S 的3元完美子集；2A 是S 的3元完美子集；理由见解析（2）12（3）证明见解析；等号成立的条件是11N 1n a m +=∈+*且(1)(2)1i n ia i m m +=+≤≤【解析】【分析】（1）根据m 元完美子集的定义判断可得结论；（2）不妨设123a a a <<．由11a =，12a =，13a ≥分别由定义可求得123a a a ++的最小值；（3）不妨设12m a a a <<< ，有121i i i i m i a a a a a a a n +-<+<+<<+ ≤．121i i i m i a a a a a a +-+++ ,,,是A 中1m i +-个不同的元素，且均属于集合12{}i i m a a a ++,,,L ，此时该集合恰有m i -个不同的元素，显然矛盾．因此对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥，由此可得证.【小问1详解】解：（1）①因为1235+=≤，又13A ∉，所以1A 不是S 的3元完美子集．②因为2245+=≤，且24A ∈，而55454425245+>+>+>+>+>，所以2A 是S 的3元完美子集．【小问2详解】解：不妨设123a a a <<．若11a =，则112a a A +=∈，123A +=∈，134A +=∈，与3元完美子集矛盾；若12a =，则114a a A +=∈，246A +=∈，而267+>，符合题意，此时12312a a a ++=．若13a ≥，则116a a +≥，于是24a ≥，36a ≥，所以123+13a a a +≥．综上，123a a a ++的最小值是12．【小问3详解】证明：不妨设12m a a a <<< ．对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥，否则，存在某个(1)i i m ≤≤，使得1i m i a a n +-+≤．由12m a a a <<< ，得121i i i i m i a a a a a a a n +-<+<+<<+ ≤．所以121i i i m i a a a a a a +-+++ ,,,是A 中1m i +-个不同的元素，且均属于集合12{}i i m a a a ++,,,L ，该集合恰有m i -个不同的元素，显然矛盾．所以对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥．于是1211211212()()()()()(1)m m m m m m a a a a a a a a a a a a m n ---++++=+++++++++≥L L ．即12(1)2m m n a a a ++++≥L ．等号成立的条件是11N 1n a m +=∈+*且(1)(2)1i n ia i m m +=+≤≤．。
2023届北京市门头沟区高三下学期4月综合练习(一)数学试题(PDF版)
门头沟区2023年高三年级综合练习（一）高 三 数学答案 2023．4第一部分（选择题 共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）（1）已知集合{4,3,2,1,0,1,2,3,4}A =----，{||2}B x x =>，则AB =（A ）{4,3,3,4}-- （B）(,2)(2,)-∞-+∞U（C ）{2,1,0,1,2}--（D ）[2,2]-（2）复数(1i)(2+i)z =-+，则||z =（A ） （B）（C ）2（D）3（3）双曲线22221(0,0)y x ab a b-=>>的离心率为2，则其渐近线方程为（A ） y = （B ）y =（C ） y x = （D ）2y x =± （4）中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布（A ）531尺 （B ）1031尺 （C ）1516尺 （D ）516尺（5）若点M 是圆22:40C x y x +-=上的任一点，直线:20l x y ++=与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，则MAB ∠的最小值为（A ）π12 （B ）π4（C ）π3（D ）π6（6）在平面直角坐标系中，角α与β的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边构成一条直线，且sin α=cos()αβ+= （A ）1 （B ）13（C ）13-（D ）1-（7）在声学中，音量被定义为：020lgp pL p =，其中p L 是音量（单位为dB ），0p 是基准声压为 a p ，p 是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240Hz 对应的听觉下限阈值为20dB ，1000Hz 对应的听觉下限阈值为0dB ，则下列结论正确的是（A ）音量同为20dB 的声音，30100Hz 的低频比100010000Hz 的高频更容易被人们听到. （B ）听觉下限阈值随声音频率的增大而减小. （C ） 240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa .（D ） 240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz 的听觉下限阈值实际声压的10倍. （8） 已知非零向量,a b ，则“a 与b 共线”是“||||||||a b a b --≤”的（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ） 充要条件（D ）即不充分也不必要条件（9）已知函数()e x f x =，若存在0[1,2]x ∈-使得00()()f t x f x t =+-恒成立，则0()b f x t =-的取值范围（A ） 1[0,1]e +（B ）21[1,e 2]e +-（C ） 1[1,1]e+（D ）2[1,e 2]-（10）已知数列{}n a 满足11a =，2112n n n a a a +=-.① 数列{}n a 每一项n a 都满足01()n a n *<∈N ≤ ② 数列{}n a 的前n 项和2n S <; ③ 数列{}n a 每一项n a 都满足21n a n +≤成立; ④ 数列{}n a 每一项n a 都满足11()()2n n a n -*∈N ≥.其中，所有正确结论的序号是（A ）①③ （B ） ② ④（C ）①③④ （D ） ①②④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．） （11）在26(21)x -的展开式中，2x 的系数为 ．（用数字作答）（12）在边长为4的正ABC △中，点P 是边BC 上的中点，则AB AP ⋅= ．（13）同一种产品由甲、乙、丙三个厂商供应．由长期的经验知，三家产品的正品率分别为 、 、 ，甲、乙、丙三家产品数占比例为 ，将三家产品混合在一起．从中任取一件，求此产品为正品的概率 .（14）设函数π()sin()(0)3f x x ωω=+>.①给出一个ω的值，使得()f x 的图像向右平移π6后得到的函数()g x 的图像关于原点对称，ω= ；②若()f x 在区间(0,π)上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是 ．（15）在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为1，已知点P ，Q 分别是线段1AD ，1AC 上的动点(不含端点).其中所有正确结论的序号是 . ①PQ 与1B C 垂直 ;②直线PQ 与直线CD 不可能平行; ③二面角P AC Q --不可能为定值; ④则PQ QC +的最小值是43.其中所有正确结论的序号是 .三、解答题（本大题共6小题，满分85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明．） （16）（本小题满分12分）已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos sin 0A a B -=.D 是AB 的中点，2AC =，CD =. （Ⅰ）求A ∠的大小； （Ⅱ）求a 的值 .（17）（本小题满分13分）周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立.根据李梦最近分别与父亲、母亲、弟弟比赛的情况，得到如下统计表：以上表中的频率作为概率，求解下列问题.（Ⅰ）如果按照第一场与与父亲比赛、第二场与母亲比赛、第三场与弟弟比赛的顺序进行比赛.（i）求李梦连胜三场的概率；（ii）如果李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X，求X的分布列与期望；（Ⅱ）记“与父亲、母亲、弟弟三场比赛中李梦连胜二场”的概率为p,此概率p与父亲、母亲、弟弟出场的顺序是否有关？如果有关，什么样的出场顺序此概率p最大（不必计算）? 如果无关，请给出简要说明 .（18）（本小题满分15分）如图，在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，2PA PB PC ===，O 为AC 的中点.（Ⅰ）证明：PB AC ⊥（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角B PC A --的余弦值及点A 到平面BPC 的距离．①AC =② PO BC ⊥AC（19）（本小题满分15分）已知21()ln(1)(R)2f x x x ax a =-++∈． （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 在(0,0)处的切线方程； （Ⅱ）求证:21ln(1)2x x x ++≥； （Ⅲ）若()0f x ≥在[0,)x ∈+∞恒成立, 求a 的取值范围．21.（本题满分15分）已知集合{1,2,3,,}(3)M n n =±±±±≥．若对于集合M 的任意k 元子集A ，A 中必有4个元素的和为1-，则称这样的正整数k 为“好数”，所有好数的最小值记作()g M ． （Ⅰ）当3n =，即集合{3,2,1,1,2,3}M =---．（i ）写出M 的一个子集B ，且B 中存在4个元素的和为1-； (ii) 写出M 的一个5元子集C ，使得C 中任意4个元素的和大于1-； （Ⅱ）证明：()2g M n >+； （Ⅲ）证明：()3g M n =+．门头沟区2023年高三年级综合练习（一）高 三 数学答案 2023．4第一部分（选择题 共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）（1）已知集合{4,3,2,1,0,1,2,3,4}A =----，{||2}B x x =>，则AB =（A ）{4,3,3,4}-- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞U（C ）{2,1,0,1,2}--（D ）[2,2]-（2）复数(1i)(2+i)z =-+，则||z =（A ） （B）（C ）2（D）3（3）双曲线22221(0,0)y xa b a b-=>>的离心率为2，则其渐近线方程为（A ） y = （B ）y =（C ） y x = （D ）2y x =± （4）中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布（A ）531尺 （B ）1031尺 （C ）1516尺 （D ）516尺（5）若点M 是圆22:40C x y x +-=上的任一点，直线:20l x y ++=与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，则MAB ∠的最小值为（A ）π12 （B ）π4（C ）π3（D ）π6（6）在平面直角坐标系中，角α与β的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边构成一条直线，且sin α=cos()αβ+= （A ）1 （B ）13（C ）13-（D ）1-（7）在声学中，音量被定义为：020lgp pL p =，其中p L 是音量（单位为dB ），0p 是基准声压为 a p ，p 是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240Hz 对应的听觉下限阈值为20dB ，1000Hz 对应的听觉下限阈值为0dB ，则下列结论正确的是（A ）音量同为20dB 的声音，30100Hz 的低频比100010000Hz 的高频更容易被人们听到. （B ）听觉下限阈值随声音频率的增大而减小. （C ） 240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa .（D ） 240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz 的听觉下限阈值实际声压的10倍. （8） 已知非零向量,a b ，则“a 与b 共线”是“||||||||a b a b --≤”的（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ） 充要条件（D ）即不充分也不必要条件（9）已知函数()e x f x =，若存在0[1,2]x ∈-使得00()()f t x f x t =+-恒成立，则0()b f x t =-的取值范围（A ） 1[0,1]e +（B ）21[1,e 2]e +-（C ） 1[1,1]e+（D ）2[1,e 2]-（10）已知数列{}n a 满足11a =，2112n n n a a a +=-.① 数列{}n a 每一项n a 都满足01()n a n *<∈N ≤ ② 数列{}n a 的前n 项和2n S <; ③ 数列{}n a 每一项n a 都满足21n a n +≤成立; ④ 数列{}n a 每一项n a 都满足11()()2n n a n -*∈N ≥.其中，所有正确结论的序号是（A ）①③ （B ） ② ④（C ）①③④ （D ） ①②④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．） （11）在26(21)x -的展开式中，2x 的系数为 ．（用数字作答）答案：12-；（12）在边长为4的正ABC △中，点P 是边BC 上的中点，则AB AP ⋅= ． 答案：3412AB AP ⋅=⨯=（13）同一种产品由甲、乙、丙三个厂商供应．由长期的经验知，三家产品的正品率分别为 、 、 ，甲、乙、丙三家产品数占比例为 ，将三家产品混合在一起．从中任取一件，求此产品为正品的概率 .答案：0.9520.930.85()0.8610n n nP A n ⨯+⨯+⨯==（15）设函数π()sin()(0)3f x x ωω=+>.①给出一个ω的值，使得()f x 的图像向右平移π6后得到的函数()g x 的图像关于原点对称，ω= ；②若()f x 在区间(0,π)上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是 ． 注：第一空为2分，第二空为3分答案：2ω=；πππ263k k ωω-+=⇒=-；58]33（，；58582333333ππωππω<+≤⇒<≤⇒（，]（15）在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为1，已知点P ，Q 分别是线段1AD ，1AC 上的动点(不含端点).其中所有正确结论的序号是 . ①PQ 与1B C 垂直 ;②直线PQ 与直线CD 不可能平行; ③二面角P AC Q --不可能为定值; ④则PQ QC +的最小值是43.其中所有正确结论的序号是 .答案：①④三、解答题（本大题共6小题，满分85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明．）（16）（本小题满分12分）已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos sin 0A a B -=.D 是AB 的中点，2AC =，CD =. （Ⅰ）求A ∠的大小； （Ⅱ）求a 的值 .解：（Ⅰ）由cos sin 0A a B -=得：cos sin sin 0sin 0B A A B A A +=-=πtan 3A A =⇒=（Ⅱ）由余弦定理得： 2212422cos2803AD AD AD AD π=+-⨯⇒--=解得：4AD =，则8AB =，由余弦定理得：2464228cos 523BC BC π=+-⨯⨯=⇒=（17）（本小题满分13分）周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立.根据李梦最近分别与父亲、母亲、弟弟比赛的情况，得到如下统计表：以上表中的频率作为概率，求解下列问题.（Ⅰ）如果按照第一场与与父亲比赛、第二场与母亲比赛、第三场与弟弟比赛的顺序进行比赛.（i ）求李梦连胜三场的概率；（ii ）如果李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X ，求X 的分布列与期望； （Ⅱ）记“与父亲、母亲、弟弟三场比赛中李梦连胜二场”的概率为p ,此概率p 与父亲、母亲、弟弟出场的顺序是否有关？如果有关，什么样的出场顺序此概率p 最大（不必计算）?AB如果无关，请给出简要说明 .解：（Ⅰ）设李梦连胜三场这一事件为A ，则()0.20.50.80.08P A =⨯⨯= （Ⅱ）X 可取0，1，2，3，则：(0)0.80.50.20.08P X ==⨯⨯=(1)(10.2)(10.5)0.8(10.2)0.5(10.8)0.2(10.5)(10.8)0.42P X ==-⨯-⨯+-⨯⨯-+⨯-⨯-= (2)(10.2)0.50.80.2(10.5)0.80.20.5(10.8)0.42P X ==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-= (3)0.20.50.80.08P X ==⨯⨯=期望：00.0810.4220.4230.08 1.5EX =⨯+⨯+⨯+⨯=（Ⅲ）有关；李梦第二场与弟弟比赛的概率p 最大 。
山西省晋中市榆社中学2024年高三第二学期综合练习(一)数学试题试卷
山西省晋中市榆社中学2024年高三第二学期综合练习（一）数学试题试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．21,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．210,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 4．已知函数2,0()4,0xx f x x -⎧⎪=+>，若()02f x <，则0x 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,0]-C ．(1,)-+∞D ．(,0)-∞5．已知函数2ln(2),1,()1,1,x x f x x x -⎧=⎨-+>⎩若()0f x ax a -+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．[0,2]6．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．37．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移512π后关于原点成中心对称8．当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）A ．914B ．514C ．37D ．9289．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N=≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．128011．在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（ ） A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)-D ．(2,1)-12．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年北京市东城区高考数学(一模)综合练习试卷(解析版)
2021年北京市东城区高考数学综合练习试卷（一）（一模）一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，那么A∪B＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，1）2．在复平面内，复数（1+2i）i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某中学高一、高二和高三各年级人数见表．采用分层抽样的方法调查学生的健康状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（）年级人数高一550高二500高三450合计1500A．18B．22C．40D．604．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为（）A．B．9C．D．275．已知圆x2+y2＝1截直线y＝k（x+1）（k＞0）所得弦的长度为1，那么k的值为（）A．B．C．1D．6．已知函数f（x）＝，那么不等式f（x）≥的解集为（）A．（0，1]B．（0，2]C．[1，4]D．[1，6]7．“|x|＜|y|”是“lnx＜lny”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．宽与长的比为≈0.618的矩形叫做黄金矩形．它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形ABCD中，BC＝﹣1，AB＞BC，那么的值为（）A．B．C．4D．9．已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点重合，P为椭圆C1与抛物线C2的公共点，且PF⊥x轴，那么椭圆C1的离心率为（）A．B．C．D．10．如图，将线段AB，CD用一条连续不间断的曲线y＝f（x）连接在一起，需满足要求：曲线y＝f（x）经过点B，C，并且在点B，C处的切线分别为直线AB，CD，那么下列说法正确的是（）A．存在曲线y＝ax3+bx2﹣2x+5（a，b∈R）满足要求B．存在曲线y＝+c（a，b，c∈R）满足要求C．若曲线y＝f1（x）和y＝f2（x）满足要求，则对任意满足要求的曲线y＝g（x），存在实数λ，μ，使得g（x）＝λf1（x）+μf2（x）D．若曲线y＝f1（x）和y＝f2（x）满足要求，则对任意实数λ，μ，当λ+μ＝1时，曲线y＝λf1（x）+μf2（x）满足要求二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市东城区2024届高三下学期综合练习(一)(一模)数学试题(含答案与解析)_4942
北京市东城区2023~2024学年度第二学期高三综合练习（一）数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 如图所示，U 是全集，,A B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A. A B ⋂B. A B ⋃C. ()U A B ⋂ðD. ()U A B ⋃ð2. 已知,R,0a b ab ∈≠，且a b <，则（ ） A.11a b> B. 2ab b < C. 33a b <D. lg lg a b <3. 已知双曲线221x my -=的离心率为2，则m =（ ） A 3B.13C. 3-D. 13-4. 设函数()11ln f x x=+，则（ ） A. ()12f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭ B. ()12f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭C. ()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. ()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.5. 已知函数()sin cos (0,0)f x t x x t ωωω=+>>的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A. 关于直线π4x =-对称B. 关于点π,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C. 关于直线π8x =对称 D. 关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称 6. 已知443243210()x m a x a x a x a x a +=++++，若0123481++++=a a a a a ，则m 的取值可以为（ ） A. 2B. 1C. 1-D. 2-7. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm ，高为20cm .首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm 的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：π 3.14≈）（ ）A 30.8mB. 31.4mC. 31.8mD. 32.2m8. 设等差数列{}n a 公差为d ，则“10a d <<”是“{}na n为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 如图1，正三角形ABD 与以BD 为直径的半圆拼在一起，C 是弧BD的中点，O 为ABD △的中心.现将ABD △沿BD 翻折为1A BD ，记1A BD 的中心为1O ，如图2.设直线1CO 与平面BCD所成的角为.的θ，则sin θ的最大值为（ ）A.13B.12C.D.10. 已知()f x 是定义在R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数()()()()a f x f a g x a x a-=∈-R ，下列说法正确的是（）A. 若()f x 在R 上单调递增，则存在实数a ，使得()a g x 在(),a ∞+上单调递增B. 对于任意实数a ，若()a g x 在(),a ∞+上单调递增，则()f x 在R 上单调递增C. 对于任意实数a ，若存在实数10M >，使得()1f x M <，则存在实数20M >，使得()2a g x M <D. 若函数()a g x 满足：当(),x a ∞∈+时，()0a g x ≥，当(),x a ∞∈-时，()0a g x ≤，则()f a 为()f x 的最小值第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数1i iz +=，则z =_________.12. 设向量()()1,,3,4a m b ==- ，且a b a b ⋅=，则m =______. 13. 已知角,αβ的终边关于直线y x =对称，且()1sin 2αβ-=，则,αβ的一组取值可以是α=______，β=______.14. 已知抛物线21:4C y x =的焦点为1F ，则1F 的坐标为______；抛物线22:8C y x =的焦点为2F ，若直线()0y m m =≠分别与12,C C 交于,P Q 两点；且121PF QF -=，则PQ =______.15. 已知数列{}n a 的各项均为正数，满足21n n n a ca a +=+，其中常数c ∈R .给出下列四个判断：①若11,0a c =<，则()121n a n n <≥+； ②若1c =-，则()121n a n n <≥+； ③若()1,2n c a n n =>≥，则11a >； ④11a =，存实数c ，使得()2n a n n >≥. 其中所有正确判断的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC中，cos cos cos a C c A B +=. （1）求B ∠；（2）若12,a D =为BC 边的中点，且3AD =，求b 的值.17. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：（1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；（2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ；（3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为Y ，试在判断数学期望()E Y 与（2）中的()E X 的大小.（结论不要求证明） 18. 如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，4,1AB EF ==.（1）求证：//AB EF ；（2）若H 为CD 的中点，M 为BH的中点，,EM BH EM ⊥=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线CF 与平面ADE 所成角的正弦值. 条件①：ED EA =； 条件②：5AE =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分 19. 已知函数()()ln 1f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； （2）设()()g x f x '=，求函数()g x 的最小值；（3）若()2f x x a>-，求实数a 的值. 20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>短轴长为e =（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，直线l 是圆221x y +=的一条切线，且直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，若平行四边形OMPN 的顶点P 恰好在椭圆C 上，求平行四边形OMPN 的面积.21. 有穷数列12,,,(2)n a a a n > 中，令()()*1,1,,p p q S p q a a a p q n p q +=+++≤≤≤∈N ，（1）已知数列3213,,,--，写出所有的有序数对(),p q ，且p q <，使得(),0S p q >；（2）已知整数列12,,,,n a a a n 为偶数，若(),11,2,,2n S i n i i ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，满足：当i 为奇数时，的(),10S i n i -+>；当i 为偶数时，(),10S i n i -+<.求12n a a a +++ 的最小值；（3）已知数列12,,,n a a a 满足()1,0S n >，定义集合(){}1,0,1,2,,1A i S i n i n =+>=- .若{}()*12,,,k A i i i k =∈N 且为非空集合，求证：()121,k i i i S n a a a >+++ .参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 如图所示，U 是全集，,A B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A. A B ⋂B. A B ⋃C. ()U A B ⋂ðD. ()U A B ⋃ð【答案】D 【解析】【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解.【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是()U A B ð. 故选：D.2. 已知,R,0a b ab ∈≠，且a b <，则（ ） A.11a b> B. 2ab b < C. 33a b <D. lg lg a b <【答案】C 【解析】【分析】举出反例即可判断ABD ，利用作差法即可判断C. 【详解】当2,1a b =-=时，11,lg >lg a b a b<，故AD 错误； 当2,1a b =-=-时，221ab b =>=，故B 错误；对于C ，因a b <，所以0a b -<，因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，为则()()()3322213024a b a b a ab ba b a b b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以33a b <，故C 正确. 故选：C.3. 已知双曲线221x my -=的离心率为2，则m =（ ） A. 3 B.13C. 3-D. 13-【答案】B 【解析】【详解】由双曲线221x my -=可得：2211,a b m==，2c e a ====，所以13m =，故选：B . 4. 设函数()11ln f x x=+，则（ ） A. ()12f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭ B. ()12f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭ C. ()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. ()12f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据函数解析式，分别计算即可得解.【详解】函数()11ln f x x=+的定义域为()()0,11,+∞ ， 对于A ，()1111111221ln ln ln lnf x f x x x x x⎛⎫+=+++=++= ⎪-⎝⎭，故A 正确； 对于B ，()111112111ln ln ln ln lnf x f x x x x x x⎛⎫-=+--=--=⎪-⎝⎭，故B 错误； 对于CD ，当e x =时，()11112,1011f x f x ⎛⎫=+==+= ⎪-⎝⎭，故CD 错误. 故选：A.5. 已知函数()sin cos (0,0)f x t x x t ωωω=+>>的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A. 关于直线π4x =-对称B. 关于点π,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C. 关于直线π8x =对称 D. 关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 【解析】【分析】先利用辅助角公式化一，再根据周期性求出ω，根据最值求出t ，再根据正弦函数的对称性逐一判断即可.【详解】()()sin cos f x t x x x ωωωϕ=+=+，其中1tan tϕ=，因为函数的最小正周期为π， 所以2ππω=，解得2ω=，，=1t =（1t =-舍去），所以()πsin 2cos 224x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为ππ144f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数图象不关于直线π4x =-对称，也不关于点π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故AB 错误；因为ππ82f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以函数图象关于直线π8x =对称，不关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确，D 错误.故选：C .6. 已知443243210()x m a x a x a x a x a +=++++，若0123481++++=a a a a a ，则m 取值可以为（ ） A. 2 B. 1 C. 1- D. 2-【答案】A 【解析】【分析】借助赋值法计算即可得.【详解】令1x =，有()443210118m a a a a a ++++==+， 即2m =或4m =-. 故选：A.7. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm ，高为20cm .首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm 的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：π 3.14≈）（ ）A. 30.8mB. 31.4mC. 31.8mD. 32.2m【答案】B 【解析】【分析】结合圆柱体积公式求出四片瓦体积，再求需准备的粘土量.【详解】由条件可得四片瓦的体积22π1220π1020880πV =⨯⨯-⨯⨯=（3cm ） 所以500名学生，每人制作4片瓦共需粘土的体积为500880π440000π⨯=（3cm ）， 又π 3.14≈，的的所以共需粘土的体积为约为31.3816m ， 故选：B.8. 设等差数列{}n a 的公差为d ，则“10a d <<”是“{}na n为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列通项公式求出na n，再利用单调数列的定义，结合充分条件、必要条件的意义判断即得.【详解】由等差数列{}n a 的公差为d ，得1n a a d nd =-+，则1n a a d d n n-=+， 当10a d <<时，10a d -<，而111n n >+，则111a d a d n n --<+，因此11n n a a n n +<+，{}n a n为递增数列；当{}n a n为递增数列时，则11n n a a n n +<+，即有111a d a dn n --<+，整理得1a d <，不能推出10a d <<，所以“10a d <<”是“{}n an为递增数列”的充分不必要条件.故选：A9. 如图1，正三角形ABD 与以BD 为直径的半圆拼在一起，C 是弧BD的中点，O 为ABD △的中心.现将ABD △沿BD 翻折为1A BD ，记1A BD 的中心为1O ，如图2.设直线1CO 与平面BCD 所成的角为θ，则sin θ的最大值为（ ）A.13B.12C.D.【答案】C 【解析】【分析】结合题意，可得1EO EC =1CO 在平面BCD 的投影为直线CE，借助正弦定理计算可得tan θ=tan θ的最大值即可得sin θ的最大值.【详解】取BD 中点E ，连接CE ，1A E ，由三角形ABD 为正三角形，故1O 在线段1A E 上，且1113EO A E BD ===，即1EO EC =， 由题意可得BD EC ⊥，1BD A E ⊥，1A E 、EC ⊂平面1ECO ，1A E EC E = ， 故BD ⊥平面1ECO ，又1CO ⊂平面1ECO ，故直线1CO 在平面BCD 的投影为直线CE ， 即1ECO θ=∠，则有()111sin sin sin sin πEO EC CO E O EC θθθ===∠--∠，整理可得tan θ=()10,πO EC ∠∈，令()()0,πf x x =∈，()f x =='，故当cos x ⎛∈- ⎝时，()0fx '<，当cos x ⎫∈⎪⎪⎭时，()0f x '>，令()00,πx ∈，且0cos x =，则0sin x ==， 则()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,πx 上单调递减，即()f x 有最大值()0f x ===即tan θ，则sin θ=故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助正弦定理表示出θ与1O EC ∠的关系，通过导数计算出tan θ的最大值从而得到sin θ的最大值.10. 已知()f x 是定义在R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数()()()()a f x f a g x a x a-=∈-R ，下列说法正确的是（）A. 若()f x 在R 上单调递增，则存在实数a ，使得()a g x 在(),a ∞+上单调递增B. 对于任意实数a ，若()a g x 在(),a ∞+上单调递增，则()f x 在R 上单调递增C. 对于任意实数a ，若存在实数10M >，使得()1f x M <，则存在实数20M >，使得()2a g x M <D. 若函数()a g x 满足：当(),x a ∞∈+时，()0a g x ≥，当(),x a ∞∈-时，()0a g x ≤，则()f a 为()f x 的最小值【答案】D 【解析】【分析】首先理解函数()a g x 表达的是函数()f x 图像上两点割线的斜率，当x a →时，表示的为切线斜率，然后举反例设()f x x =可判断A 错误；设()2f x x =可得B 错误；设()sin f x x =可得C 错误；由函数单调性的定义可以判断D 正确. 【详解】函数()()()()a f x f a g x a x a-=∈-R 表达的是函数()f x 图象上两点割线的斜率，当x a →时，表示的为切线斜率；所以对于A ：因为()f x 是定义在R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且()f x 在R 上单调递增， 所以设()f x x =，则()f a a =，此时()()()()1a f x f a x ag x a x ax a--===∈--R 为常数，即任意两点的割线的斜率为常数，故A 错误； 对于B ：设()2f x x =，由图象可知，当x ∈R 时，随x 增大，点()(),x f x 与点()(),a f a 连线的割线斜率越来越大，即单调递增，但()f x 在R 不是单调函数，故B 错误；对于C ：因为对于任意实数a 存在实数10M >，使得()1f x M <，说明()f x 为有界函数，所以设()sin f x x =，但割线的斜率不一定有界，如图当0x +→时，割线的斜率趋于正无穷，故C 错误；对于D ：因为函数()a g x 满足：当(),x a ∞∈+时，()0a g x ≥， 即()()()()()()()00,a f x f a g x f x f a x a x a x a-⎡⎤=≥⇒--≥≠⎣⎦-，因为x a >，0x a ->，所以()()f x f a ≥； 同理，当(),x a ∞∈-时，()0a g x ≤， 即()()()()()()()00,a f x f a g x f x f a x a x a x a-⎡⎤=≤⇒--≤≠⎣⎦-，因为x a <，0x a -<，所以()()f x f a ≥； 所以()f a 为()f x 的最小值，故D 正确；故选：D.【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数()a g x 表达的是函数()f x 图像上两点割线的斜率，当x a →时，表示的为切线斜率，然后通过熟悉的函数可逐项判断.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数1i iz +=，则z =_________.【解析】 【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z 的值.【详解】()()21111i i i z i i i i i++===-+=- ，因此，z ==..【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.12. 设向量()()1,,3,4a m b ==- ，且a b a b ⋅=，则m =______.【答案】43-##113- 【解析】【分析】根据数量积的定义，向量共线的坐标表示，结合已知条件，求解即可. 【详解】设,a b的夹角为θ，cos a b a b a b θ⋅== ，故cos 1θ=，又[]0,πθ∈，故0θ=，,a b方向相同， 又()()1,,3,4a m b ==- ，则43m -=，解得43m =-，满足题意.故答案为：43-.13. 已知角,αβ的终边关于直线y x =对称，且()1sin 2αβ-=，则,αβ的一组取值可以是α=______，β=______.【答案】 ①.π3（答案不唯一，符合题意即可） ②. π6（答案不唯一，符合题意即可） 【解析】【分析】由角,αβ的终边关于直线y x =对称，可得π2π2k αβ+=+，再由()1sin 2αβ-=可得ππ6k β=+或ππ6k β=-+，即可求出答案. 【详解】因为角,αβ的终边关于直线y x =对称， 则π2π2k αβ+=+，Z k ∈，则π2π2k αβ=-+， 因为()1sin 2αβ-=，所以ππ1sin 2πsin 22πcos 2222k k ββββ⎛⎫⎛⎫-+-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所有π22π3k β=+或π22π3k β=-+，Z k ∈， 解得：ππ6k β=+或ππ6k β=-+，Z k ∈，取0k =，β的一个值可以为π6，α的一个值可以为π3.故答案为：π3（答案不唯一，符合题意即可）；π6（答案不唯一，符合题意即可）.14. 已知抛物线21:4C y x =的焦点为1F ，则1F 的坐标为______；抛物线22:8C y x =的焦点为2F ，若直线()0y m m =≠分别与12,C C 交于,P Q 两点；且121PF QF -=，则PQ =______.【答案】 ①. ()1,0 ②. 2【解析】【分析】根据抛物线的方程即可得出焦点坐标，根据抛物线的定义求出12,PF QF ，进而可得出PQ . 【详解】由抛物线21:4C y x =，可得()11,0F ，设()()1122,,,P x y Q x y ， 则11221,2PF x QF x =+=+，故121211PF QF x x -=--=，所以122x x -=， 所以122PQ x x =-=.故答案为：()1,0；2.15. 已知数列{}n a 的各项均为正数，满足21n n n a ca a +=+，其中常数c ∈R .给出下列四个判断：①若11,0a c =<，则()121n a n n <≥+； ②若1c =-，则()121n a n n <≥+； ③若()1,2n c a n n =>≥，则11a >； ④11a =，存在实数c ，使得()2n a n n >≥. 其中所有正确判断的序号是______. 【答案】②③④ 【解析】【分析】①直接取13c =-找矛盾；②通过21111111n n nn n n a a a a a a ++⇒=--=>-+，利用累加法求n a 的范围；③假设11a ≤找矛盾；④取2c =，根据函数单调性来确定其成立.【详解】对于①：若11,0a c =<，则21211ca c a a =+=+，当13c =-时，223a =，与213a <矛盾，①错误；对于②：若1c =-，则210n n n a a a +=-+>，所以01n a <<，又2112a a a =-+，若12113a a <-+，该不等式恒成立，即2013a <<， 由()2111111*********n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a ++++⇒=⇒=+⇒-=--=--+由于01n a <<，所以111na >-， 所以1111n n a a +->，所以3n ≥时，11232111111111nn n n a a a a a a ---⎧->⎪⎪⎪->⎪⎨⎪⎪⎪->⎪⎩ ，累加得2112n n a a ->-， 所以2112231n n n n a a >-+>-+=+，所以()131n a n n <≥+， 综合得()121n a n n <≥+，②正确； 对于③：若()1,2n c a n n =>≥，21n n n a a a +=+，假设11a ≤，则21122a a a =+≤，与22a >矛盾，故11a >，③正确；对于④：当11a =时，若2c =，则212n n n a a a +=+，此时2121232a a a =+=>，根据二次函数22y x x =+可得其在()0,∞+上单调递增，并增加得越来越快，但是函数y x =在()0,∞+上单调递增，但增加速度恒定，故在22a >的情况下，n a n >必成立，即存在实数c ，使得()2n a n n >≥，④正确，故答案为：②③④.【点睛】方法点睛：对于数列判断题，我们可以通过赋值，举例的方法对选项进行确认和排除.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC中，cos cos cos a C c A B +=. （1）求B ∠；（2）若12,a D =为BC 边的中点，且3AD =，求b 的值. 【答案】（1）π6； （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可得sin()cos A C B B +=，结合三角和为π及诱导公式可得cos B =，即可得答案；（2）在ABD △中，由正弦定理可求得π2BAD ∠=，从而可得AB =ABC 中，利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】解：因为cos cos cos a C c A B +=，由正弦定理可得sin cos sin cos cos A C C A B B +=，即sin()cos A C B B +=，sin(π)sin cos B B B B -==， 又因为sin 0B ≠，所以1B =，解得cos B =，又因为(0,π)B ∈， 所以π6B =； 【小问2详解】解：因为D 为BC 边的中点，12a =， 所以6BD CD ==, 设BAD θ∠=,在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD ADBθ=， 即6361sin 2θ==，解得sin 1θ=， 又因为(0,π)θ∈，所以π2θ=，在Rt △ABD 中，AB ===在ABC 中，π12,6AB BC B ===，由余弦定理可得：2222cos 1442721263AC AB BC AB AC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯=，所以AC =即b =17. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：（1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；（2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ；（3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为Y ，试判断数学期望()E Y 与（2）中的()E X 的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1）600（2）分布列见解析，() 2.4E X =（3）()()E X E Y =【解析】【分析】（1）借助频率分布直方图计算即可得；（2）借助频率分布直方图可得阅读速度达到540字/分钟及以上的概率，得到X 的可能取值及其对应概率即可得，再计算期望即可； （3）借助期望计算公式计算即可得. 【小问1详解】()15000.003750.0010.0002580600⨯++⨯=，故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为600人； 【小问2详解】从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为：()0.0050.003750.0010.00025800.8+++⨯=，X 的可能取值为0、1、2、3，()0330C 0.20.008P X ==⨯=， ()1231C 0.80.20.096P X ==⨯⨯=， ()2232C 0.80.20.384P X ==⨯⨯=， ()0333C 0.80.512P X ==⨯=，则其分布列为：X12 3P0.008 0.0960.384 0.512其期望为：()30.8 2.4E X =⨯=； 【小问3详解】()()E X E Y =，理由如下：这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为8人，Y 的可能取值为1、2、3，()1282310C C 811C 12015P Y ====，()2182310C C 5672C 12015P X ====，()3082310C C 5673C 12015P X ====，则()177123 2.4151515E Y =⨯+⨯+⨯=， 故()()E X E Y =.18. 如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，4,1AB EF ==.（1）求证：//AB EF ；（2）若H 为CD 的中点，M 为BH的中点，,EM BH EM ⊥=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线CF 与平面ADE 所成角的正弦值. 条件①：ED EA =； 条件②：5AE =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先证明//AB 平面EFCD ，再利用线面平行的性质证明//AB EF ；（2）选①②：证明 EM ⊥平面ABCD ，建立以M 为原点的空间坐标系，求出平面ADE 的法向量，利用线面角公式求解 【小问1详解】证明：底面ABCD 为正方形,则//AB CD ，又AB ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ， 则//AB 平面EFCD ，又平面EFCD 平面EFBA EF =，AB ⊂平面EFBA ，故//AB EF . 【小问2详解】选①，取AD 中点G ,连接,EG MG ，因为ED EA =，所以EG AD ⊥， 易知GM 为梯形ABHD 的中位线，则MG AD ⊥，又,,MG EG G MG EG ⋂=⊂平面EGM ，故AD ⊥平面EGM ，EM ⊂平面EGM ，则,,AD EM EM BH ⊥⊥,AD BH ⊂平面ABCD ，且,AD BH 必相交，故EM ⊥平面ABCD ， 延长GM 交BC 于P ,则P 为中点，易得//,EF MP EF MP =，故EFPM 为矩形.以M 为原点，EM 所在直线为z 轴，MG 所在直线为x 轴，过M 作CB 平行线为y 轴，建立空间直角坐标系如图：则()()()((3,2,0,3,2,0,1,2,0,0,0,0,1,A D C E F ----，，则()0,4,0AD =-，(3,2,AE =--，(1,1,CF = ，设平面ADE 的法向量为(),,m x y z =，则00m AD m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即40320y x y -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令x =()m = ， 设直线CF 与平面ADE所成角为,sin cos ,m CF θθ===选②：取AD 中点G , 连接GM ，易知GM 为梯形ABHD 的中位线，3GM =，则AM =5AE =，EM =，则222AE EM AM =+，故,EM AM ⊥ 又,,,EM BH AM BH M AM BH ⊥⋂=⊂平面ABCD ，故EM ⊥平面ABCD ， 延长GM 交BC 于P ,则P 为中点，易得//,EF MP EF MP =，故EFPM 为矩形.以M 为原点，EM 所在直线为z 轴，MG 所在直线为x 轴，过M 作CB 平行线为y 轴，建立空间直角坐标系如图：则()()()((3,2,0,3,2,0,1,2,0,0,0,0,1,A D C E F ----，，则()0,4,0AD =-，(3,2,AE =--，(1,1,CF = ，设平面ADE 的法向量为(),,m x y z =，则00m AD m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即40320y x y -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令x =()m = ， 设直线CF 与平面ADE所成角为,sin cos ,m CF θθ===19. 已知函数()()ln 1f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； （2）设()()g x f x '=，求函数()g x 的最小值；（3）若()2f x x a>-，求实数a 的值. 【答案】（1）24y x =-（2）2（3）2a = 【解析】【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）利用导数求出函数()g x 的单调区间，进而可求出最小值；（3）分1a ≤和1a >两种情况讨论，在1a >时，再分x a >和1x a <<两种情况讨论，分离参数，构造函数并求出其最值，即可得解. 【小问1详解】()()()ln 111xf x x x x '=-+>-， 则()()22,20f f '==，所以曲线()y f x =在2x =处的切线方程为()22y x =-，即24y x =-； 【小问2详解】()()()()ln 111xg x f x x x x '==-+>-， ()()()22112111x x x g x x x x ---'=+=---， 当12x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，所以函数()g x ()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， 所以()()min 22g x g ==； 【小问3详解】函数()f x 的定义域为()1,+∞， 当1a ≤时，0x a ->， 则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-， 即()22a f x x -<-， 由（2）得()2f x '≥，令()()2h x f x x =-，则()()()201h x f x x ''=-≥>， 所以()h x 在()1,+∞上单调递增， 又当1x →时，()h x →-∞， 因为1a ≤，所以22a -≥-，此时()22a f x x -<-不恒成立，故1a ≤不符题意； 当1a >时，若x a >，则0x a ->， 则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-，即()22a f x x -<-， 由上可知函数()()2h x f x x =-在(),a +∞上单调递增， 所以()()()()ln 12h x h a a a a x a >=-->，在所以()2ln 12a a a a -≤--，解得2a ≥①，若1x a <<，则()2f x x a>-，即()()2f x x a <-，即()22a f x x ->-， 由上可知函数()()2h x f x x =-在()1,a 上单调递增， 所以()()()()ln 1211h x h a a a a a <=--<<， 所以()2ln 12a a a a -≥--，解得2a ≤②， 由①②可得2a =， 综上所述，2a =.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为e =（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，直线l 是圆221x y +=的一条切线，且直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，若平行四边形OMPN 的顶点P 恰好在椭圆C 上，求平行四边形OMPN 的面积.【答案】（1）22163x y +=（2 【解析】【分析】（1）根据题意求出,a b ，即可得解；（2）分切线斜率是否存在两种情况讨论，当切线的斜率存在时，设切线方程为y kx m =+，先求出,k m 的关系，设()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求出1212,x x x x +，进而可求得线段MN 的中点坐标，从而可求得点P 的坐标，再根据点P 在椭圆上，即可求得,k m ，再利用弦长公式求出MN ，即可得解.【小问1详解】由题意可得2222b ca ab c⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得222633a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为22163x y +=； 【小问2详解】当圆的切线斜率不存在时，切线方程为1x =±， 当切线方程为1x =时，由椭圆的对称性可得()2,0P ， 因为4021633+=<，所以点()2,0P 不在椭圆上，不符题意， 当切线方程为=1x -时，由椭圆的对称性可得()2,0P -， 因为4021633+=<，所以点()2,0P -不在椭圆上，不符题意， 所以切线的斜率存在，设切线方程为y kx m =+，1=，所以221m k =+①，联立22163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222214260k x kmx m +++-=，则()()()()()22222222Δ16421261614212160k m k m k kk k ⎡⎤=-+-=+-++->⎣⎦，解得R k ∈，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222426,2121km m x x x x k k -+=-=++， 故()()221212222221422212121m k k m m y y k x x m k k k ++=++=-+=+++，所以线段MN 的中点坐标为222,2121km m k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭， 因为四边形OMPN 为平行四边形，所以2242,2121km m P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 又因为点P 在椭圆C 上， 所以()()22222221641621321k m m k k +=++②，将①代入②得()()()()222222281411321321k k kk k+++=++，解得k =，所以m =所以MN =====，所以12212OMPN OMN S S ==⨯=. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解.21. 有穷数列12,,,(2)n a a a n > 中，令()()*1,1,,p p q S p q a a a p q n p q +=+++≤≤≤∈N ，（1）已知数列3213,,,--，写出所有的有序数对(),p q ，且p q <，使得(),0S p q >； （2）已知整数列12,,,,n a a a n 为偶数，若(),11,2,,2n S i n i i ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，满足：当i 为奇数时，(),10S i n i -+>；当i 为偶数时，(),10S i n i -+<.求12n a a a +++ 的最小值；（3）已知数列12,,,n a a a 满足()1,0S n >，定义集合(){}1,0,1,2,,1A i S i n i n =+>=- .若{}()*12,,,k A i i i k =∈N 且为非空集合，求证：()121,k i i i S n a a a >+++ .【答案】（1）()1,4、()2,3、()2,4、()3,4（2）n 1-（3）证明见解析 【解析】【分析】（1）结合题意，逐个计算即可得；（2）由题意可得()1,0S n >，()2,10S n -<，可得当2n i ≠时，有12i n i a a -++≥，当2ni =时，1221n na a ++≥，结合11i n i i n i a a a a -+-++≥+，即可得解；（3）将()()121,k i i i S n a a a -+++ 展开，从而得到证明m i a 与1m i a +之间的项之和，1121i a a a -+++ ，112k k i i n a a a -+++++ 都为正数，即可得证.【小问1详解】(),p q ()1,4时，()(),321310S p q =-++-+=>， (),p q 为()2,3时，()(),2110S p q =+-=>， (),p q 为()2,4时，()(),21340S p q =+-+=>， (),p q 为()3,4时，()(),1320S p q =-+=>，故p q <，且使得(),0S p q >的有序数对有()1,4、()2,3、()2,4、()3,4； 【小问2详解】由题意可得()1,0S n >，()2,10S n -<，为又n a 为整数，故()1,1S n ≥，()2,11S n -≤-， 则()()11,2,12n S n S n a a --=+≥，同理可得()()212,13,22n S n S n a a ----=+≤-， 即有212n a a -+≥， 同理可得，当2ni ≠时，有12i n i a a -++≥， 即当2ni ≠时，有112i n i i n i a a a a -+-++≥+≥， 当2n i =时，122,1122n n n n S a a +⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭，故()()12121122n n n n na a a a a a a a a -+⎛⎫+++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭()()121122n n n na a a a a a -+⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭≥ 22112n n -⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭；【小问3详解】{}()*12,,,k A i i i k =∈N 时，当11i ≠时，()()()()2112111211211,k i i i i i i i S n a a a a a a a a a -++--+++=+++++++()()()22111312112112k k k k k i i i i i i i i n a a a a a a a a a ---++-++-+++++++++++++++ ，令m i A ∈且1m i A -∉，则有()1,0m S i n +>，(),0m S i n ≤， 又()1,0S n >，故()()1211,,0m m i S n S i n a a a --=+++> ， 即有11210i a a a -+++> ，1120k k i i n a a a -+++++> ，令1m i A +∈且11m i A +-∉，则有()11,0m S i n ++>，()1,0m S i n +≤， 则()()111211,,0m m m i m m i i S i n S i n a a a ++++-+-=+++> ，即有()()()112212311211211210k k k i i i i i i i i i a a a a a a a a a --++-++-++-++++++++++++> ，故()()121,0k i i i S n a a a -+++> ，即()121,k i i i S n a a a >+++ ， 当11i =时，()()()121211211,k i i i i i i S n a a a a a a ++--+++=+++()()()322111*********k k k k k i i i i i i i i n a a a a a a a a a ---++-++-+++++++++++++++> ，即()121,k i i i S n a a a >+++ 亦成立，即得证.【点睛】关键点点睛：本题最后一小问关键点在于将()()121,k i i i S n a a a -+++ 展开，从而得到证明m i a 与1m i a +之间的项之和，1121i a a a -+++ ，112k k i i n a a a -+++++ 都为正数，即可得证.。
高三文科数学综合测试
高三数学综合练习第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）0000sin 45cos15cos225sin15⋅+⋅的值为（ ）（A ） -2 1（B ） -2 1（C ）2 （D ）2(2) 集合{x |||4,},{|},a A x x R B x x a =≤∈=<⊆则“A B （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（3）若PQ 是圆22x 9y +=的弦，PQ 的中点是（1,2）则直线PQ 的方程是（ ） （A ）230x y +-= （B ）250x y +-= （C ）240x y -+= （D ）20x y -=（4）已知函数y=f(x)与x y e =互为反函数，函数y=g(x)的图像与y=f(x)图像关于x 轴对称，若g(a)=1,则实数a 值为（ ）（A ）-e (B) 1e - (C) 1e(D) e(5)抛物线212y x =-的准线与双曲线等22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形面积等于（ ）(A) (6)将函数cos()3y x π=-的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移6π个单位，所得函数图象的一条对称轴为（ ）(A) 9x π= (B) 8x π= (c) 2x π= (D) x π=(7)已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）(A)若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β (B)若m∥n，m ⊂n,n ⊂β,则α∥β (C)若m∥n，m∥α，则n∥α (D)若n⊥α，n⊥α，则α∥β （8） 下列结论正确的是( )(A )当0x >且1x ≠时，1lglg x x +2≥ （B ）0x >当2≥ （C ）当2x ≥时，1x x +的最小值为2 (D )02x <≤时，1x x-无最大值 （9）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率是2，则21b a+的最小值为A. C. 2 D. 1（10）给出如下三个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若x ≥2且y ≥3，则x +y ≥5”的否命题为“若x ＜2且y ＜3，则x +y ＜5”；③四个实数a 、b 、c 、d 依次成等比数列的必要而不充分条件是ad=bc ；④在△ABC 中，“︒>45A ”是“22sin >A ”的充分不必要条件．其中不正确的命题的个数是 （ ）A ．4B ．3C ．2D ．1（11）如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，BC BD ，1AD =，则AC AD ⋅ =（A ）（B ）2 （C ）3（D （12）已知等差数列{}n a 中，有011011<+a a ，且它们的前n 项和n S 有最大值，则使得0n S >的 n 的最大值为 （ ） A ．11 B ．19 C ． 20D ．21第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题。
2024届铜仁市重点中学高三第二学期综合练习(一)数学试题
2024届铜仁市重点中学高三第二学期综合练习（一）数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．342．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C ．104D 5 3．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ） A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514y x -= D ．225514x y -= 4．定义在[]22-,上的函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，设O 为坐标原点，A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为12-、16-、1、43，则函数()xf x y e=的单调递减区间是（ ）A ．14,63⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．11,26--⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,25．设直线l 的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线l 被圆所截得的弦长为5实数m 的取值为 A ．9-或11 B ．7-或11C ．7-D ．9-6．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ） A ．3B ．123C ．3D ．1838．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%9．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．324B ．233C ．305D ．5211．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种. A ．408B ．120C ．156D ．24012．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.042y x a =+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市上海中学高三数学综合练习试卷(共九套)
上海市上海中学高三综合练习上海市上海中学高三综合练习（一）（数学）班级___________学号__________姓名_______________成绩_________________、编辑：苑娜娜一． 填空题1． 定义在R 上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1) =___________. 2． 如果复数11++bii（b R ∈）的实部和虚部互为相反数，则b 等于_____________. 3．(理) 若nx )21(+展开式中含3x 项的系数等于含x 项的系数的8倍，则n =______.(文) 若x y x y ≥≥+≤⎧⎨⎪⎩⎪126，则目标函数z x y =+2的最小值为_______________.4．已知0<a ，则关于x 的不等式1|3|>+ax a的解集为__________________.5．点P 是椭圆2212516x y +=上一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，且∆PF 1F 2的内切圆半径为1，当P 在第一象限内时，P 点的纵坐标为_____________.6．数列{a n }满足：a n =121 .3nn n n ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，为奇数，为偶数 ，它的前n 项和记为S n ，则∞→n lim S n =__________.7．某市为加强城市圈的建设，计划对周边如图所示的A 、B 、 C 、D 、E 、F 、G 、H 八个中小城市进行综合规划治理，第 一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没 有任何两个城市相邻，则城市A 被选中的概率为________.8．若方程kx 2x 42-=-仅有一个实数根，则k 的取值范围是______________.9． 在△ABC 中，已知|AB|=2，22||1||2BC CA =，则△ABC 面积的最大值为___________. 10．如图为一几何体的的展开图，其中ABCD 是边长为6的正方形，SD=PD ＝6，CR=SC ，AQ=AP ，点S,D,A,Q 及P ,D,C,R 共线，沿图中虚线将它们折叠，使P ，Q ，R ，S 四点重合，则需要________个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体.11．若函数y=a x (a>1)和它的反函数的图像与函数y=x1的图像分别交于点A 、B ，若|AB|=22，则a 约等于_____________(精确到0.1).12．老师告诉学生小明说，“若O 为△ABC 所在平面上的任意一点，且有等式cos cos ()||||AB C AC BOP OA AB AC λ=++，则P 点的轨迹必过△ABC 的垂心”，小明进一步思考何时P 点的轨迹会通过△ABC 的外心，得到的条件等式应为OP =_______________________________.（用O,A,B,C 四个点所构成的向量和角A,B,C 的三角函数以及λ表示）二．选择题13．若函数y ＝cos2x 与y ＝sin(x ＋φ)在[0，π2]上的单调性相同，则φ的一个值为( )A. π6B. π4C. π3D. π2 14．在∆ABC 中，A=3π，BC=3，则∆ABC 的周长为 ( ) A.43sin(B+3π)+3 B. 43sin(B+6π)+3C.6sin(B+3π)+3D. 6sin(B+6π)+315．若点M(a,1b )和N(b,1c )都在直线l ：x+y=1上，则点P(c,1a )，Q(1c,b)和l 的关系是( )A. P 和Q 都在l 上B. P 和Q 都不在l 上C. P 在l 上，Q 不在l 上D. P 不在l 上，Q 在l 上 16．数列{a n }满足：a 1=14，a 2=15，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n+1=na 1a n+1对任何的正整数n 都成立，则1297111a a a +++的值为 ( ) A. 5032 B. 5044 C. 5048 D. 5050 三．解答题 1．已知函数),(23cos cos sin 3)(2R x R x x x x f ∈∈+-⋅=ωωωω的最小正周期为π，且当x =6π时，函数有最小值. （1）求f (x )的解析式；（2）作出f (x )在[0，π]范围内的大致图象.2．设虚数z 满足|2z+15|=3|z +10|.(1)计算|z|的值；(2)是否存在实数a ，使z aa z+∈R ？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.3．如图所示，已知斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为3π，且侧面ABB 1A 1垂直于底面. (1)判断B 1C 与C 1A 是否垂直，并证明你的结论； (2)求四棱锥B-ACC 1A 1的体积.4．在新的劳动合同法出台后，某公司实行了年薪制工资结构改革。
丰台区2024届高三一模数学试题答案
北京市丰台区2023～2024学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案第一部分（选择题 共40分）题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案ACBADCDABD第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）12i55−+（12）42 （13）3（14）1−，()||1f x x =−（答案不唯一）（15）②③注：（15）题给出的结论中有多个符合题目要求．全部选对得5分，不选或错选得0分，其他得3分．三、解答题共6小题，共85分。
（16）（本小题14分）解：（Ⅰ）证明：连接1BC ，设11BC B C E =，连接DE ，在三角形1ABC 中，D 、E 分别为AB 、1BC 的中点，所以1AC ∥DE ． 因为1AC ⊄平面1B CD ，DE ⊂平面1B CD ，所以1AC ∥平面1B CD ．…………………4分（Ⅱ）选择条件①：1BC AC ⊥在直三棱柱111ABC A B C −中，1CC ⊥底面ABC ，zyxEDBACA 1C 1B 1所以1CC CA ⊥，1CC CB ⊥， 因为1BC AC ⊥，111CC AC C =，所以BC ⊥面11ACC A ，所以BC AC ⊥．如图建立空间直角坐标系C xyz −，因为12CA CB CC ===， 所以1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,2)C A B B ． 因为D 为AB 中点，所以(1,1,0)D ． 易知(1,0,0)=m 是平面1BCB 的法向量． 在平面1CDB 内，1(1,1,0),(0,2,2)CD CB ==． 设(,,)x y z =n 是平面1CDB 的法向量， 因为CD ⊥n ，1CB ⊥n ， 所以0CD ⋅=n ，10CB ⋅=n ，即0220x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得1,1y z =−=，所以(1,1,1)=−n ．因为cos ,⋅<>===m n m n m n ， 因为二面角1B B C D −−为锐二面角，所以二面角1B B C D −−．选择条件②：1B D =在直三棱柱111ABC A B C −中，1BB ⊥底面ABC ， 所以1BB AB ⊥．因为2221111,2,BB BD B D BB B D +===所以BD =因为D 为AB中点，所以AB = 所以222AC BC AB +=，所以BC AC ⊥．因为1CC ⊥底面ABC ，故可如图建立空间直角坐标系C xyz −． 以下同解法1．………………14分（17）（本小题14分） 解：（Ⅰ）因为2ω=，所以211()cos sin 633322f ππππ=−+=．………………4分（Ⅱ）21()cos sin 2f x x x x ωωω=−+1cos21222sin(2)6x x x ωωω−=−+π=+因为()f x 在区间[,]62ππ上单调递减，所以2263T πππ≥−=，即3T ω2π2π=≥， 所以03ω<≤．因为()012f π−=， 所以()sin()01266f ωπππ−=−+=，即16()k k ω=+∈Z ， 所以1ω=． ………………14分（18）（本小题13分）解：（Ⅰ）设事件C =“被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于60mm 2”，则8612()101025P C ． ………………4分（Ⅱ）X 的可能取值为1,2,3.2124361(1)5C C P X C ， 1224363(2)5C C P X C ， 34361(3)5C P X C ，X1311232555EX．………………11分 （Ⅲ）12DD ．………………13分（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意得22216,2.c a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2212,4.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆E 的方程为221124x y +=． ………………5分（Ⅱ）若存在定点D ，使得12DM PQ =，等价于以PQ 为直径的圆恒过定点D ． 当直线l 的斜率不存在时，PQ 为直径的圆的方程为224x y +=①， 当直线l 的斜率为0时，令1y =，得3x =±，因此PQ 为直径的圆的方程为()2219x y +−=②．联立①②得0,2,x y =⎧⎨=−⎩猜测点D 的坐标为()0,2−．设直线l 的方程为1y kx =+，由221,1,124y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2231690k x kx ++−=．设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122269,3131k x x x x k k +=−=−++． 所以()()1122,2,2DP DQ x y x y ⋅=+⋅+()()()()()()()121212122121222222331399613931310x x y y x x kx kx k x x k x x k k k k k =+++=+++=++++⎛⎫⎛⎫=+−+−+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=．综上，存在定点D ()0,2−，使得12DM PQ =． ………………14分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(1,)−+∞，当00x =时，0()(0)1f x f ==；1'()e 11x f x x =+−+，0'()'(0)1f x f ==； 故切线l 的方程为1y x =+．………………5分（Ⅱ）()()()e ln(1)(1)e ln(1)21xxh x f x g x x x x x x =−=++−−+=++−−，1(1)e 21'()e 211x xx x h x x x +−−=+−=++．解法1：令()(1)e 21x m x x x =+−−，则'()(2)e 2xm x x =+−．当(1,0)x ∈−时，2(1,2)x +∈，e (0,1)x ∈，故(2)e 212xx +<⨯=，'()0m x <， 因此，当(1,0)x ∈−时，()m x 单调递减，()(0)0m x m >=；当(0,)x ∈+∞时，22x +>，e 1x >，故(2)e 212xx +>⨯=，'()0m x >， 因此，当(0,)x ∈+∞时，()m x 单调递增，()(0)0m x m >=； 综上，()0m x ≥恒成立，也就是'()0h x ≥恒成立， 所以()h x 在(1,)−+∞上单调递增．又因为(0)0h =，故函数()h x 有唯一零点0x =．且当(1,0)x ∈−时，()0h x <；当(0,)x ∈+∞时，()0h x >； 因此当(1,0)x ∈−时，()0xh x >；当(0,)x ∈+∞时，()0xh x >； 故()0xh x ≥； 解法2：1'()e 21xh x x =+−+， 令1()e 21xg x x =+−+，则21'()e (1)x g x x =−+． 当(1,0)x ∈−时，1(0,1)x +∈，211(1)x >+，e 1x <，故'()0g x <， 因此，当(1,0)x ∈−时，()g x 单调递减，()(0)0g x g >=； 当(0,)x ∈+∞时，11x +>，211(1)x <+，e 1x>，故'()0g x >， 因此，当(0,)x ∈+∞时，()g x 单调递增，()(0)0g x g >=； 综上，()0g x ≥恒成立，也就是'()0h x ≥恒成立， 以下同解法1． ………………13分 （Ⅲ）2．………………15分（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）解：8,5,4,3x y z w ==== ．………………4分（Ⅱ）证明：当集合n M 为“好集合”时，设1212n n aa a Tb b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是n M 的一个“好数阵”，构造数阵：1212212121212121n n n b n b n b n a n a n a +−+−+−⎡⎤⎢⎥+−+−+−⎣⎦，记为T ．因为T 是“好数阵”，所以当1,2,,k n =时，(21),(21)k n k n n b M n a M +−∈+−∈，且{}{}121221,21,,2121,21,,21n n n n b n b n b n a n a n a M +−+−+−⋃+−+−+−=．因为(21)(21)(1,2,,)k k k k n b n a a b k k n +−−+−=−==，所以1212212121212121n n n b n b n b T n a n a n a +−+−+−⎡⎤=⎢⎥+−+−+−⎣⎦也是n M 的一个“好数阵”，一方面，因为(21)(21),(21)(21)(1,2,,)k k k k n n a a n n b b k n +−+−=+−+−==，所以T T =.另一方面，假设2221n b a +−=，因为222,a b −=所以22212n b b +−=+， 所以2212n b −=，与2n b M ∈矛盾，所以T T ≠， 故集合n M 的“好数阵”必有偶数个； ………………9分（Ⅲ）假设1212n n aa a Tb b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是集合n M 的一个“好数阵” 由题意得：2111nnni i i i i a b i ===+=∑∑∑，111nnni i i i i a b i ===−=∑∑∑，相加得：2111(12)2(1)(53)2222nnni i i i n n n n n n a i i ===+⨯+⨯+=+=+=∑∑∑， 即1(53)4ni i n n a =+=∑ 当6n =时，616339942i i a =⨯==∑，与61*i i a N =∈∑矛盾；所以6M 不是“好集合”. 当5n =时，51528354i i a =⨯==∑，若{}123455,,,,a a a a a ∈， 因为{}1234510,,,,a a a a a ∈，{}123451,,,,a a a a a ∉，所以{}12345,,,,a a a a a 只有以下两种可能：{}10,5,9,8,3和{}10,5,9,7,4（1）若{}{}12345,,,,10,5,9,8,3a a a a a =，则{}{}12345,,,,1,2,4,6,7b b b b b =，使5k k a b −=的只有94−，使4k k a b −=的有两种可能：514,1064−=−=或情形一：514−=时，只有1073,862,321−=−=−=，可得138105926714T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 情形二：1064−=时，只有523,312,871−=−=−=，可得283510971264T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）若{}{}12345,,,,10,5,9,7,4a a a a a =，则{}{}12345,,,,1,2,3,6,8b b b b b =，使5k k a b −=的只有72−，使4k k a b −=的有两种可能：514,1064−=−=或情形一：514−=时，只有963,1082,431−=−=−=，可得341095738612T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 情形二：1064−=时，只有413,532,981−=−=−=，可得495410783162T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦综上，6M 不是“好集合”；5M 是“好集合”，且满足{}123455,,,,a a a a a ∈的好数阵有四个：138105926714T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，283510971264T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，341095738612T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 495410783162T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.………………15分。
北京市东城区2023届高三综合练习数学试题(含解析)
A． a b
B． 2a 2b
C． a b
D． log2 a2 log2 b2
5．已知
(x3
2 x2
)n
的展开式中各项系数和为
243，则展开式中常数项为（
）
A．60
B．80
C．
D．
6．过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，若 F 是线段 AB 的中点，则
AB （ ）
C．1, 2
2．已知向量
a
1,
m，b
3,
2
，且
(a
b)
b
，则
m=
D． 2,
A．−8
B．−6
C．6
D．8
3．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）
A． f x sin x
B． f x 2 x
C． f x x3 x
D． f x 1 ex ex 2
4．若实数 a 、 b 满足 a2 b2 0 ，则下列不等式中成立的是（ ）
评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7
（1）求 a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评
分不小于 9 的概率； （2）从 5 名专家中随机选取 3 人，X 表示评分不小于 9 分的人数；从场外观众中随机 选取 3 人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于 9 分的人数；试求 E（X）与 E（Y）的 值； （3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分
六、填空题
15．在数列an 中，对任意的 n N*
都有 an
0
，且
an
2 1
an1
an
，给出下列四个结论：
①对于任意的 n 3 ，都有 an 2 ；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三数学综合练习（一）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1．“x ≠2，且y ≠3”是“x+y ≠5”的
（ ）
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充分且必要条件
D ．既不充分也不必要条件 2．函数)112
lg(
)(-+=x
x f 的图象关于
（ ）
A ．直线y=x 对称
B ．x 轴对称
C ．y 轴对称
D ．原点对称
3．下列不等式中成立的是
（ ）
A ．)6sin()5sin(ππ
->- B ．)6
cos()5cos(π
π->-
C ．)6
tan()5tan(π
π->-
D ．)6
cot()5cot(π
π
->-
4．设a 、b ∈R +，则下述不等式中不正确的是
（ ） A ．
2≥+a
b
b a B ．4)11)((≥++b
a b a
C ．
ab b
a ab
≥+2
D ．2
22
2b a b a +≥+
5．已知点A （2，—3），B （—3，—2），直线l 过点P （1，1）且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是
（ ）
A ．4
3
4≤
≤-k
B ．44
3
≤≤-
k C ．4-≤k 或4
3≥
k D ．4
3
-≤k 或4≥k
6．把函数32cos +=x y 的图象沿向量a 平移后得到函数)6
2sin(π
+
=x y 的图象，则向量
a 是
（ ）
A ．)3,3
(--
π
B ．)3,6
(π
-
C ．)3,12
(
π
D ．)3,6
(-π
7．在等差数列{a n }中，已知,33,1773==++m m a a 则10+m a 等于
（ ）
A ．45
B ．50
C ．55
D ．60
8．已知公差2=d 等差数列{a n }共有m 项，a m =19，前m 项的和S m =99，则项数m 为（ ） A ．7或9 B ．7或10 C ．8或10 D ．9或11
9．去年一辆自行车卖360元，自行车雨衣卖40元，假设今年这种自行车涨价5%，而雨衣降价20%，则今年买同样一辆自行车和一件雨衣要比去年 （ ） A ．多花费2.5% B ．多花费3.2% C ．少花费4.5% D ．少花费1.5%
10．已知函数1
32)(-+=x x x f ，函数)(x g y =的图象与)1(1
+=-x f
y 的图象关于直线y=x
对称，则g （11）等于
（ ）
A ．
2
3
B ．
2
5 C ．
27 D ．
8
21 11．椭圆的焦点在x 轴上，中心在原点，F 为左焦点，A 为左顶点，B 1、B 分别为上、下顶点， 若直线AB 1⊥BF ，则椭圆的离心率为 （ ）
A ．2
15-
B ．2
13-
C ．
2
3 D ．
2
1 12．从一楼到二楼的楼梯有15级台阶，某人从一楼到二楼每步跨1级或跨2级，他想10 步走完，则不同的走法总数为 （ ）
A ．252
B ．840
C ．1260
D ．30240 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．已知向量a =（3，4），b ⊥a 且b 的起点为（1，2），终点为（x ，3x ），则b =
14．设三个实数n
m 1,1,1等差数列，又m 2，1，n 2
成等比数列，则n m n m ++22等于 ．
15．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为,4
3
x y =焦点到渐近线的距离为6， 则该双曲线的方程为 ．
16．已知函数32)(2
+-=x x x f 在区间[0，a]（a ＞0）上的最大值是3，最小值是2，则实 数a 的取值范围是 ． 三、解答题（共6小题，共74分）
17．已知,0cos 3sin 6cos sin cos sin 222
=+-+-x x x x x x
求：x
x x tan 12sin sin 22++的值．
18．△ABC 中，已知三边a 、b 、c 成等差数列， 求)
cos(cos 2cos 1C A B B
y -+-=的最小值，并确定此时△ABC 的形状．
19．已知函数x
x x
x a a a a x f --+-=)( （0>a 且)1≠a ，
（Ⅰ）讨论f （x ）的奇偶性与单调性； （Ⅱ）求f （x ）的反函数);(1
x f -
（Ⅲ）求使0)(1
>-x f
成立的x 的取值范围．
20．已知椭圆C 的中点在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，直线l 过焦点F 1且倾角为
3
π
，l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，28||=AB ，点P 是椭圆上的动点，,21θ=∠PF F 且θ的最大值为︒90，求椭圆C 的方程．
21．某大型商厦的家电部计划2002年销售“海豹”牌冰箱2000台，经铁路分若干次等量进货，运输费用按每台50元计算，但每次进货必须另加1万元火车车箱调度费用。
冰箱进货后需租用商厦仓库存放，但仓库租用面积必须年前（2001年底）作出计划，租用面积确定以后必须租用一年（中途不能更改租用面积），仓库年租金按所租用面积能存放冰箱的最大数量乘以100元计算．问几次等量进货，才能使运输费用与仓库租金总和最小，最小总费用是多少？ 22． 已知数列{a n }的首项a 1=3，通项a n 与前n 项和S n 之间满足).2(21≥⋅=-n S S a n n n
（Ⅰ）求证：}1
{
n
S 是等差数列，并求公差； （Ⅱ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅲ）数列{a n }中是否存在正整数k ，使得不等式1+>k k a a 对任意不小于k 的正整数都成立？若存在，求出最小的k 值；若不存在，请说明理由．
高三数学综合练习一答案
一、1．D 2．D 3．D 4．C 5．C 6．D 7． A 8．D 9．A 10．A 11．A 12．A
二、13．),5
1
,154(- 14．—3或1， 15．
;1366422=-y x 16．[1，2] 三、17．由条件得⇒
=⇒=-+-2
1tan 0)3cos )(sin cos sin 2(x x x x x 原式=.54sin 42=x
18．,1)2
/(,2,sin sin sin )cos()cos(sin 22
2222=+≥∴=+==+--=c a b y b c a ac b C A B C A C A B y
等号成立时a=c ，∴2a=2b 得a=b=c ，故,1min =y 此时△ABC 为正三角形．
19．（I ）)()(x f x f -=-
为奇函数；,1
2
1)(2+-
=x
a x f 任取)()(,1212x f x f x x -∴> )
1)(1()
(22
1
122222++-=x x x x a a a a ，①当1>a 时f （x ）为增函数；②当10<<a 时f （x ）为减函数； （Ⅱ）;11log 21)(1
x x x f a -+=-（Ⅲ）①当a ＞1时;1011111<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-+<<-x x
x x ②当0＜a ＜1时，
;01111
11<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-+<<-⇒x x
x x
20．设)cos 1()2
(
24)cos 1(244,||,||2
21221222211θθ++-≥+-=∴==t t a t t a c t PF t PF 2
221cos a
c -≥⇒θ，等号成立时
021090cos ][cos ,22min 21=-⇒=︒==a c t t θ 222c a =⇒， ∴椭圆C 方程为122
2
22=+c y c x ①，而l 方程为)(3c x y +=②，联立①、②得,0412722=++c c x ,72872
8]4)[(4||212
21=⇒==-+=∴c c x x x x AB 故椭圆方程为22 1.9849
x y +
= 21．设分n
次等量进货，∴总费用200020005010010000100000W n n
=⨯+⨯+≥+
当52=n 时等号成立；而f （4）=f （5）=9；故分4次或5次（最好4次）进货才能使总费用最小，190000
min =W 元． 22．（I ）当2≥n
时，111111
22n n n n n n n n a S S a S S S S ---=-⎧⇒-=-⎨
=⋅⎩ （2≥n ），故⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧n S 1是公差为12-的等差数列；
（Ⅱ）,3
111
=S 得;356n
S n
-=当2≥
n 时，,)
83)(53(18
211--=
⋅=-n n S S a n n n 而a 1=3；
（Ⅲ）3
5320)83)(53)(23(1081<<⇒>---=-+k k k k a a k k 或.38
>k ∴当k ≥3时，恒有,1+>k k a a 故最
小k=3．。