2014年五年级暑假第12讲-复杂行程问题(教师版)
五年级奥数行程问题列方程解行程问题
五年级奥数行程问题列方程解行程问题xx年xx月xx日•行程问题概述•相遇问题•追及问题目录•环行跑道问题•过桥问题•复杂行程问题综合分析01行程问题概述行程问题是指在运动过程中，涉及速度、时间、距离之间相互关系的问题。
在行程问题中，通常会涉及到两个或多个物体或人在同一条路线上相对或同向运动。
1 2 3物体或人在同一直线上运动，涉及相遇、追及、超越等问题。
直线型行程问题物体或人在圆形、椭圆形等曲线上运动，涉及最短路径、周长等问题。
曲线型行程问题结合直线和曲线型行程问题，涉及更复杂的运动关系和条件。
综合型行程问题明确题目中涉及的物体或人，以及他们之间的运动关系。
确定研究对象根据题目描述，建立行程问题的方程或不等式模型。
建立数学模型通过数学计算，求解方程或不等式的解，得到所需的结果。
解方程或不等式行程问题的解题思路02相遇问题相遇问题是指两个或多个物体（通常为运动物体）从不同的地点同时出发，在某一点相遇的数学问题。
相遇问题的基本要素包括：物体的数量、出发的时间、地点、速度、相遇的地点等。
相遇问题的定义1相遇问题的解题思路23确定物体的数量和它们的运动性质（同时同向或同时反向）。
确定物体出发的时间和地点，以及相遇的地点。
运用速度、时间、距离之间的关系，列出方程并求解。
相遇问题的实例解析•问题：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过4小时后相遇。
甲的速度是10千米/小时，乙的速度是8千米/小时。
求A、B两地的距离。
•分析：甲和乙两人同时出发，相向而行，所以他们的相对速度是两者速度之和，即10千米/小时 + 8千米/小时 = 18千米/小时。
经过4小时后相遇，所以A、B两地的距离就是甲和乙两人相对速度乘以相遇时间。
•解法•设A、B两地的距离为x千米。
•根据题意，甲和乙两人相对速度为18千米/小时，相遇时间为4小时。
•则有方程：x = 18 × 4•解得：x = 72千米•答案：A、B两地的距离为72千米。
【竞赛题】人教版小学五年级下册数学第12讲《行程问题中的比例关系》竞赛试题(含详解)
第十二讲行程问题中的比例关系- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -本讲我们主要学习比例关系在行程问题中的应用．首先学习的是匀速过程中的比例关系，只要弄明白题中有哪些相同的量，就能找到相应的比例关系，比如：当两个过程的路程相同，速度就与时间成反比；当两个过程的时间相同，路程就与速度成正比；当两个过程的速度相同，路程就与时间成正比．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1．甲、乙两车的速度比是4:7，两车同时从两地相对出发，在距中点15千米处相遇，两地相距多少千米？分析：两车同时出发，到相遇的时候所用的时间是相同的．时间相同，速度和路程有什么样的关系？练习1．甲、乙两人的速度比是3:2．两人同时从A地出发前往B地，当甲到达时，乙还差200米．那么AB两地之间的距离是多少？例题2．姐妹两人骑车从相距10千米的甲地去乙地，妹妹比姐姐早出发10分钟，结果两人同时到达，姐妹两人骑车速度比是5:4，那么姐姐骑车的速度是多少？分析：姐妹两人都从甲地去乙地，所走的路程是一样的．路程相同，时间和速度有什么样的关系？练习2．小高和墨莫早上8:00同时从甲地出发去乙地，小高的速度是墨莫的两倍．小高比墨莫早到40分钟，那么小高几点到达乙地？在行程问题中，我们经常由“时间比结合时间差”求时间，由“速度比结合速度差”求速度，由“路程比结合路程差”求路程．但是往往，题目中除了告诉了一种量的差，还告诉了另外一种量的比．这时我们就要利用行程问题中的正反比关系，求出差所对应量的比，就可以解决问题了．例题3．大、小客车从甲、乙两地同时相向开出，大、小客车的速度比为4:5，两车开出后60分相遇，并继续前进．问：大客车比小客车晚多少分到达目的地？分析：相遇点与甲乙两地的距离之比是多少？练习3．甲、乙两人同时从A、B两地出发相向而行，甲的速度是乙的两倍．两人出发10分钟后相遇，并继续前进．那么甲比乙早多少分钟到达目的地？如果两个行程过程的路程、速度和时间都不相同，这时就没有正比和反比的关系了．这时我们还有一个很好的工具——复合比．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4．萱萱去姥姥家，途中要经过上坡、平路和下坡各一段，路程比为1:2:1．已知萱萱在三种路段上行走的速度比为6:4:3，且在平路上行走的时间是25分钟．那么萱萱去姥姥家路上一共花了多长时间？分析：题目告诉了我们路程比与速度比，那么时间比是多少？各段分别用了多长时间？练习4．小红帽去外婆家要翻过一座高山，上山与下山的路程比是2:3．小红帽上山的速度是1米/秒，下山的速度是2米/秒，且路上一共用了70分钟．那么小红帽从外婆家回来需要多少分钟？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题5．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发匀速行驶，相向而行．当甲车到达B地时，乙车距A地30千米；当乙车到达A地时，甲车超过B地40千米，AB两地相距多少千米？分析：行程问题中一定要注意“同时性”．在甲车超过B地40千米的同时，乙车走了多少千米？例题6．一辆轿车和一辆巴士都从A地到B地，巴士速度是轿车速度的45．巴士要在两地的中点停10分钟，轿车中途不停车．轿车比巴士在A地晚出发11分钟，早7分钟到达B地．如果巴士是10点出发的，那么轿车超过巴士时是10点多少分？分析：如果巴士不在中点停留，那么从A地到B地，轿车将比巴士少花多少分钟？两车所花的时间比是多少？马拉松马拉松赛是一项长跑比赛项目，其距离为42.195公里（也有说法为42.193公里）．这个比赛项目要从公元前490年9月12日发生的一场战役讲起．这场战役是波斯人和雅典人在离雅典不远的马拉松海边发生的，史称希波战争，雅典人最终获得了反侵略的胜利．为了让故乡人民尽快知道胜利的喜讯，统帅米勒狄派一个叫裴里庇第斯的士兵回去报信．裴里庇第斯是个有名的“飞毛腿”，为了让故乡人早知道好消息，他一个劲地快跑，当他跑到雅典时，已上气不接下气，激动的喊道“欢乐吧，雅典人，我们胜利了！”说完，就倒在地上死了．为了纪念这一事件，在1896年举行的现代第一届奥林匹克运动会上，设立了马拉松赛跑这个项目，把当年菲迪皮茨送信跑的里程——42.193公里作为赛跑的距离．马拉松原为希腊的一个地名．在雅典东北30公里．其名源出腓尼基语marathus，意即“多茴香的”，因古代此地生长众多茴香树而得名．体育运动中的马拉松赛跑就得名于此．1896年举行首届奥运会时，顾拜旦采纳了历史学家布莱尔(Michel Breal)以这一史事设立一个比赛项目的建议，并定名为“马拉松”．比赛沿用当年菲迪皮得斯所跑的路线，距离约为40公里200米．此后十几年，马拉松跑的距离一直保持在40公里左右．1908年第4届奥运会在伦敦举行时，为方便英国王室人员观看马拉松赛，特意将起点设在温莎宫的阳台下，终点设在奥林匹克运动场内，起点到终点的距离经丈量为26英里385码，折合成42.195公里．国际田联后来将该距离确定为马拉松跑的标准距离．女子马拉松开展较晚，1984年第23届奥运会才被正式列入比赛项目．由于马拉松比赛一般在室外进行，不确定因素较多，所以在2004年1月1日前马拉松一直使用世界最好成绩，没有世界记录．在2004年雅典奥运会上，首次将奥运会的最后一个比赛项目男子马拉松的颁奖典礼安排在闭幕式上举行．在东道主希腊人看来，马拉松比赛是奥运会的“灵魂”之一，在闭幕式上为马拉松运动员颁奖，是奥林匹克回家的一种象征．2008年北京奥运会，继承了这一做法．作业1.小东每天步行上下学，去的时候每秒走1.8米，回来的时候每秒走1.2米，上下学共用时25分钟，那么小东家与学校相距多少千米？作业2.小灰灰和喜羊羊同时从狼村和羊村相对出发，在距中点1千米处相遇，已知小灰灰和喜洋洋的速度比为3:2，那么狼村和羊村相距多少千米？作业3.话说段誉的“凌波微步”独步一方，乔峰的武功天下闻名，两人相遇，一见如故，决定在杏子林外比试下脚程，来个万米跑．只见尘土飞扬，两人同时出发，一路上不分先后，最后还是段誉略胜一筹．当段誉达到终点时，乔峰还差2米．已知段誉的速度为10米/秒，那么乔峰的速度是多少？作业4.阿呆和阿瓜去公园玩．阿呆因故先走了7分钟，阿瓜出发后21分钟追上了阿呆．如果阿瓜比阿呆每分钟多走20米，那么阿呆每分钟走多少米？2:5作业5.甲、乙两人从A、B 两地同时出发相向而行，两人的速度比为，经过18分钟相遇．如果甲的速度变为原来的2倍，那么经过多少分钟两人相遇？俗话说，兴趣是最好的老师。
五年级下数学教案-列方程解决稍复杂的行程问题-苏教版秋
五年级下数学教案-列方程解决稍复杂的行程问题-苏教版秋一、教学目标1. 知识与技能：学生能够理解并运用速度、时间、路程之间的关系，掌握利用方程解决行程问题的方法。
2. 过程与方法：通过观察、分析、讨论等活动，培养学生运用方程解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生探索问题、解决问题的欲望。
二、教学内容本节课主要讲解如何利用方程解决稍复杂的行程问题，包括相遇问题、追及问题等。
三、教学重点与难点1. 教学重点：理解速度、时间、路程之间的关系，掌握利用方程解决行程问题的方法。
2. 教学难点：如何引导学生从实际问题中抽象出数学模型，进而运用方程解决问题。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT、黑板、粉笔2. 学具：练习本、铅笔五、教学过程1. 导入：通过PPT展示一些行程问题的实例，引导学生回顾速度、时间、路程之间的关系。
2. 新课：讲解如何利用方程解决相遇问题、追及问题等稍复杂的行程问题，并通过实例进行演示。
3. 练习：让学生分组讨论，解决一些实际问题，巩固所学知识。
4. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
5. 作业布置：布置一些相关的练习题，让学生课后完成。
六、板书设计1. 速度、时间、路程之间的关系2. 相遇问题、追及问题的解决方法3. 方程的应用七、作业设计1. 基本题：解决一些简单的行程问题，巩固基础知识。
2. 提高题：解决一些稍复杂的行程问题，提高学生的运用能力。
3. 拓展题：引导学生探索一些新的行程问题，培养学生的创新能力。
八、课后反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，及时调整教学策略，以提高教学效果。
同时，关注学生的学习兴趣和动机，激发学生的学习积极性。
本节课通过讲解、演示、练习等方式，让学生掌握了利用方程解决稍复杂的行程问题的方法。
在教学过程中，注重学生的参与和互动，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
通过本节课的学习，学生能够更好地理解和运用行程问题的相关知识，为今后的学习打下坚实的基础。
五年级下册讲义 12讲 行程综合(二)教师(含答案、奥数板块)--北师大版
行程问题（二）【名师解析】在行程问题中，与环行有关的行程问题的解决方法与一般的行程问题的方法类似，但有两点值得注意：一是两人同地背向运动，从第一次相遇到下次相遇共行一个全程；二是同地、同向运动时，甲追上乙时，甲比乙多行了一个全程。
【例题精讲】例1、甲、乙、丙三人沿着湖边散步，同时从湖边一固定点出发。
甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走。
甲第一次遇到乙后114分钟遇到丙，再过334分钟第二次遇到乙。
已知乙的速度是甲的23，湖的周长为600米，求丙的速度。
练习、甲、乙、丙三人环湖跑步。
同时从湖边一固定点出发，乙、丙两人同向，甲与乙、丙两人反向。
在甲第一次遇到乙后114分钟第一次遇到丙；再过334分钟第二次遇到乙。
已知甲速与乙速的比为3：2，湖的周长为2000米，求三人的速度。
例题2：甲、乙两人在同一条椭圆形跑道上做特殊训练。
他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑。
每人跑完第一圈到达出发点后，立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的23 ，甲跑第二圈时的速度比第一圈提高了13 ，乙跑第二圈时速度提高了15 。
已知甲、乙两人第二次相遇点距第一次相遇点190米。
这条椭圆形跑道长多少米？练习、小明绕一个圆形长廊游玩。
顺时针走，从A 处到C 处要12分钟，从B 处到A 处要15分钟，从C 处到B 处要11分钟。
从A 处到B 处需要多少分钟（如图34-3所示）？图34——3B例题3、绕湖的一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行。
小王以每小时4千米速度走1小时后休息5分钟，小张以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟。
两人出发多少时间第一次相遇？练习、在400米环行跑道上，A ，B 两点相距100米。
甲、乙两人分别从A ，B 两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒行5米，乙每秒行4米，每人跑100米都要停留10秒钟。
那么甲追上乙需要多少秒？例4、一个游泳池长90米。
甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返回。
第12讲 行程问题
第12讲行程问题路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度1.（1）龟、兔进行1000米的赛跑。
小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：“我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟每分钟只能跑10米，哪是我的对手。
”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意的躺在旁边睡着了。
当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了，拔腿就跑。
请同学们解答两个问题：（1）它们谁胜利了？为什么？（2）胜者到终点时，另一个距终点还有几米？（2）上一次龟兔赛跑兔子输得很不服气，于是向乌龟再次下战书，进行1000米的赛跑。
为了表示他的大度，兔子让乌龟先跑10分钟，但是兔子不知道乌龟经过锻炼，速度已经提高到5倍，那么这一次谁将获得胜利呢？2.一辆汽车从甲地出发到300千米外的乙地去，已知前120千米的速度为40千米/时，要想使这辆汽车从甲地到乙地用5小时走完，那么剩下的路程应以什么速度行驶？3.陈叔叔从家到单位去上班，如果每分钟走45米，就要迟到2分钟，如果每分钟走60米，就可以早到3分钟；如果骑自行车每分钟行150米，从家到单位需要几分钟？4.两列火车从相距480千米的两城相向而行，甲列车每小时行40千米，乙列车每小时行20千米。
几小时后，甲、乙两车相遇？5.小紫和小玉约好在东方明珠见面，小紫每小时走200千米，小玉每小时走150千米，他们同时出发2小时后还相距500千米，则开始时两人的距离是多少千米？6.甲、乙两车分别从相距360千米的A、B两城同时出发，相对而行，已知甲车到达B城需4小时，乙车到达A城需12小时。
问：两车出发后多长时间相遇？7.甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。
两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇后又过了3小时，甲车到达B地。
求A、B两地的距离？8.灰太狼回家，距家门360米时，红太狼和小灰灰一起向他奔来，灰太狼和红太狼的速度分别是每分钟50米和每分钟40米，小灰灰的速度是每分钟100米，小灰灰用同样的速度不停往返于灰太狼与红太狼之间，当灰太狼和红太狼相遇时，小灰灰一共跑了多少米？9.一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距450千米的两地相向而行，公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行50千米，问：几小时后两车相距90千米？10.甲、乙两座城市相距530千米，货车和客车从两城同时出发，相向而行，货车每小时行50千米，客车每小时行70千米，客车在行驶中因故耽误1小时，然后继续向前行驶与货车相遇。
思维拓展第12讲《行程问题(二)》(教案)五年级上册数学人教版
思维拓展第12讲《行程问题（二）》教案一、教学目标1. 知识与技能目标：使学生掌握行程问题的基本概念和解题方法，能够运用速度、时间和路程的关系解决实际问题。
2. 过程与方法目标：通过引导学生观察、分析、归纳，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观目标：激发学生对数学的学习兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
二、教学内容1. 行程问题的基本概念：速度、时间和路程的关系。
2. 行程问题的解题方法：利用速度、时间和路程的关系式解决问题。
3. 行程问题的实际应用：解决生活中的行程问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：行程问题的基本概念和解题方法。
2. 教学难点：行程问题的实际应用。
四、教学过程1. 导入新课：通过提问的方式引导学生回顾已学的行程问题知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 新课讲解：a. 行程问题的基本概念：速度、时间和路程的关系。
b. 行程问题的解题方法：利用速度、时间和路程的关系式解决问题。
c. 行程问题的实际应用：解决生活中的行程问题。
3. 例题解析：通过讲解典型例题，使学生掌握行程问题的解题方法和技巧。
4. 课堂练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
5. 小组讨论：分组讨论行程问题的解题方法，培养学生的合作意识和创新精神。
6. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调重点和难点。
7. 课后作业：布置与行程问题相关的作业，巩固所学知识。
五、教学反思本节课通过讲解、练习、讨论等多种教学手段，使学生掌握了行程问题的基本概念和解题方法。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高教学效果。
同时，要注重培养学生的合作意识和创新精神，提高学生的综合素质。
六、板书设计思维拓展第12讲《行程问题（二）》1. 行程问题的基本概念：速度、时间和路程的关系。
2. 行程问题的解题方法：利用速度、时间和路程的关系式解决问题。
3. 行程问题的实际应用：解决生活中的行程问题。
五年级下册复杂行程问题
五年级下册复杂行程问题在我们五年级下册的数学学习中，行程问题可是一个相当重要的部分。
它不仅考验着我们对数学知识的掌握，还锻炼着我们的逻辑思维和解决实际问题的能力。
今天，就让我们一起来深入探讨一下那些复杂的行程问题。
首先，我们要明确行程问题中几个关键的概念。
速度，就是单位时间内所走的路程；时间，就是行走所花费的时长；路程，则是在一定速度下经过一定时间所走过的距离。
这三者之间有着紧密的联系，速度×时间＝路程。
比如说，有一辆汽车以每小时 60 千米的速度行驶了 3 小时，那么它行驶的路程就是 60×3 ＝ 180 千米。
理解了这些基本概念，我们才能更好地解决复杂的行程问题。
接下来，让我们看一些具体的复杂行程问题类型。
相遇问题是常见的一种。
假设甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，经过一段时间后相遇。
这时候，我们要知道，他们走过的路程之和等于 A、B 两地之间的距离。
比如，甲的速度是每小时 40 千米，乙的速度是每小时 50 千米，他们同时出发，经过 2 小时相遇。
那么 A、B 两地的距离就是（40 ＋ 50）×2 ＝ 180 千米。
追及问题也很有趣。
比如甲在乙前面一定距离，乙的速度比甲快，经过一段时间乙追上了甲。
这时候，乙走过的路程减去甲走过的路程就等于他们最初的距离差。
假设甲的速度是每小时 30 千米，乙的速度是每小时 45 千米，甲先走 1 小时，然后乙出发去追甲，经过 3 小时追上。
那么最初甲先走的路程是 30×1 ＝ 30 千米，在这 3 小时里，甲走的路程是 30×3 ＝ 90 千米，乙走的路程是 45×3 ＝ 135 千米，所以最初他们的距离差就是 135 90 ＝ 45 千米，正好等于甲先走的 30 千米。
还有环形跑道问题。
如果两人在环形跑道上同时同地同向出发，跑得快的人会不断追上跑得慢的人，每次追上就多跑一圈；如果是同时同地反向出发，两人相遇时走过的路程之和就是跑道的一圈。
小学奥数行程问题（相遇问题）（教师版）
1行程之相遇问题1、通过小组合作、自主探究，使学生知道速度的表示法；理解和掌握行程问题中速度、时间、路程三个数量的关系。
2、通过课堂上的合作学习、汇报展示、互动交流，提高学生分析处理信息的能力，培养学生解决实际问题的能力。
3、让学生通过提出问题、解决问题，感受数学来源于生活，在交流评价中培养学生的自信心，体验到成功的喜悦。
甲从A 地到B 地，地，乙从乙从B 地到A 地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B 之间这段路程，如果两人同时出发，那么之间这段路程，如果两人同时出发，那么相遇路程＝甲走的路程相遇路程＝甲走的路程++乙走的路程＝甲的速度×相遇时间乙走的路程＝甲的速度×相遇时间++乙的速度×相遇时间速度×相遇时间＝（甲的速度＝（甲的速度++乙的速度）×相遇时间乙的速度）×相遇时间＝速度和×相遇时间＝速度和×相遇时间. .一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间==路程和。
路程和。
解决行程问题，常常要借助于线段图。
解决行程问题，常常要借助于线段图。
1： 两列火车同时从相距480千米的两个城市出发，相向而行，甲车每小时行驶40千米，乙车每小时行驶42千米。
5小时后，两列火车相距多少千米?(适于五年级程度)解：此题的答案不能直接求出，先求出两车5小时共行多远后，从两地的距离480千米中，减去两车5小时共行的路程，所得就是两车的距离。
480-(40+42)×5=480-82×5=480-410=70(千米)答：5小时后两列火车相距70千米。
2：两个城市之间的路程是500千米，一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出，客车的平均速度是每小时55千米，货车的平均速度是每小时45千米。
两车开了几小时以后相遇?(适于五年级程度)解：已知两个城市之间的路程是500千米，又知客车和货车的速度，可求出两车的速度之和。
最新小学五年级奥数课件：解较复杂的行程问题
3，老师和小英为班级剪五角星，教师每分钟剪10个，剪 了几分钟后小英接着剪，小英每分钟剪6个，两人共用8分 钟，共剪了60个。小英剪了多少个五角星？
公路上，汽车就少行：
60－20=40千米， 60里面有1.5个40，因此，汽车在整修路面的
公路上行驶了1.5小时，路长： 20×1.5=30千米。
1，一辆汽车从甲城到乙城共行驶395千米，用了5小时。 途中一部分公路是高速公路，另一部分是普通公路。已知 汽车在高速公路上每小时行105千米，在普通公路上每小 时行55千米。汽车在高速公路上行驶了多少千米？
例2 、客、货两车同时从甲、
乙两站相对开出，客车每小时 行54千米，货车每小时行48千 米。两车相遇后又以原速前进，
到达对方站后立即返回，两车 再次相遇时客车比货车多行21.6 千米。甲、乙两站间的路程是 多少千米？
客货两车从出发到第二次相遇，一共行了三 个全程。而第二次相遇时客车比货车多行了 21.6千米，说明两车已行了：
3，乙、慢两车同时从甲、乙两地相向而行，4小 时相遇。已知快车每小时行65千米，慢车每小时 行25千米。求慢车行完全程共用了多少小时？
例5 、甲、乙两地相距48千米，
其中一部分是上坡路，其余是
下坡路。某人骑自行车从甲地 到乙地后沿路返回，去时用了4 小时12分，返回时用了3小时48
分。已知自行车上坡时每小时 行10千米，求自行车下坡时每 小时行多少千米？
例3 、两地相距460千米，甲列
小学奥数六年级上第12讲《复杂行程问题》教学课件
例题讲解
mathematics
例题2：自动扶梯由下向上匀速运动，甲从顶部向下走到底部，共走了150级；乙从底部向上 走到顶部，共走了75级，如果甲的速度是乙的速度的3倍，那么扶梯可见部分共有多少级? 分析：甲逆着扶梯走，他走过的台阶数比扶梯可见部分台阶数多还是少？乙顺着扶梯走，
他走过的台阶数比扶梯可见部分台阶数多还是少? 答案：120级
巩固提升
mathematics
作业3：一个边长为36千米的正方形环路，它的四个顶点处各有一辆汽车，最大时速分别为 32千米、36千米、40千米、50千米；允许调整四辆车的初始位置，但必须保证每个环路四 个顶点处各有一辆车，如果4辆车同时出发，开到环路上的某个地方集合，最少需要多少分 钟? 答案：72分钟
巩固提升
mathematics
作业1：自动扶梯由下向上匀速运动，每秒向上移动1级台阶，阿呆在扶梯顶部开始往下行 走，每秒走3级台阶，已知自动扶梯的可见部分共100级，那么阿呆从顶部走到底部的过程 中，自动扶梯移动了多少级台阶? 答案：50级
巩固提升
mathematics
作业2： 自动扶梯匀速向上行驶，男孩与女孩同时从自动扶梯底部向上走，男孩速度是女孩 的两倍，男孩走了27级到达顶部，女孩走了18级到达顶部，扶梯露在外面的有多少级? 答案：54级
极限挑战
mathematics
例题6：超人队和蝙蝠侠队从同一地点同时出发，到29千米远的体育馆参加比赛，但只有一 辆接送车，一次只能乘坐一个队的队员，超人队的步行速度是6千米/时，蝙蝠侠队的步行速 度是3千米/时，汽车速度是42千米/时；为了尽快到达体育馆，那么超人队步行的距离是多 少千米? 分析：同上一题目，注意这一次两队步行路程是不一样的. 答案：6.5千米
初中数学行程问题(教师版)
初中（行程问题）专题行程问题是指与路程、速度、时间这三个量有关的问题。
我们常用的基本公式是:路程＝速度×时间；速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度.行程问题是个非常庞大的类型,多年来在考试中屡用不爽,所占比例居高不下。
原因就是行程问题可以融入多种练习,熟悉了行程问题的学生,在多种类型的习题面前都会显得得心应手。
下面我们将行程问题归归类，由易到难，逐步剖析。
1. 单人单程：例1：甲，乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速度从h km /80提高到h km /100,运行时间缩短了h 3。
甲，乙两城市间的路程是多少?【分析】如果设甲，乙两城市间的路程为x km ,那么列车在两城市间提速前的运行时间为h x 80，提速后的运行时间为h x 100. 【等量关系式】提速前的运行时间—提速后的运行时间=缩短的时间. 【列出方程】310080=-x x .例2：某铁路桥长1000m ，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min ，整列火车完全在桥上的时间共s 40。
求火车的速度和长度。
【分析】如果设火车的速度为x s m /，火车的长度为y m ，用线段表示大桥和火车的长度，根据题意可画出如下示意图：【等量关系式】火车min 1行驶的路程=桥长+火车长；火车s 40行驶的路程=桥长-火车长 【列出方程组】⎩⎨⎧-=+=yx y x 100040100060举一反三：1．小明家和学校相距km 15。
小明从家出发到学校，小明先步行到公共汽车站，步行的速度为60min /m ，再乘公共汽车到学校，发现比步行的时间缩短了min 20，已知公共汽车的速度为h km /40，求小明从家到学校用了多长时间。
2．根据我省“十二五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项目建成后，连云港至徐州的最短客运时间由现在的2小时18分钟缩短为36分钟，其速度每小时将提高km 260.求提速后的火车速度。
数学 创新实验版教案 四升五-12 行程问题(二)
第12讲“智慧大王”在哪里——行程问题（二）【教学内容】《数学思维训练教程》暑期创新实验版，四升五第12讲““智慧大王”在哪里——行程问题（二）”。
【教学目标】知识技能通过自主探究，合作交流，正确理解火车过桥问题的基本思想方法。
数学思考对于稍复杂或特殊情况的行程问题，能够借助直观图分析数量关系。
问题解决动手操作演示几种特殊行程问题的过程（如：火车过桥、两车相遇等的过程），从而理清自己的思路，表达自己的想法。
情感态度通过学习活动，培养积极的学习态度，树立好学数学的信心。
【教学重难点】1．通过自主探究，合作交流，正确理解火车过桥问题的基本思想方法。
2．对于较复杂的行程问题，能够借助直观图分析一些数量关系。
【教学准备】动画多媒体语言课件。
第一课时教学过程：生：火车头上桥就开始了。
师：好，现在火车开始上桥了，火车的速度是每秒30米。
（教师把板擦从黑板的一边慢慢向另一边推进，直到板擦头接触到黑板的另一边时停下来。
）师：同学们，火车头已经到桥的尽头了，这时火车通过大桥了吗？生：没有，车身还在桥上呢！师：那火车什么情况下才完全通过大桥？生：火车尾离开大桥时火车才算完全通过桥。
（教师根据学生的回答慢慢推动黑板擦，直至板擦离开黑板）通过了吗？生：没有，快了……生：停，通过了。
师：通过刚才的情景再现，你发现火车完全通过大桥，所走的路程是哪一段？生：黑板的长度＋板擦的长度生：桥长＋车身长（教师可以根据学生的回答画出线段图）师：对，火车过桥时，因为本身有一定的长度，不能忽略，因而它的行程包含了它所需要通过的路程与它本身的长度。
这就是我们行程问题中的一种类型——火车过桥问题。
凡是需要考虑运动物体自身的长度（队列、物体等）的行程问题，都是属于这一类问题。
板书课题：火车过桥师：那么现在大家算一算，大头儿子和小头爸爸乘坐的火车需要多长时间才能通过南京长江大桥？教师可充分利用身边现成的东西，如橡皮、铅笔、粉笔文具盒、笔袋等，根据题意动手演示，使应用题的内容形象化，利用线段图来分析问题从而找到解题的线索解决较复杂的火车过桥问题。
五年级下册讲义 12讲 行程综合(二)教师(含答案、奥数板块)--北师大版【精品】
行程问题（二）【名师解析】在行程问题中，与环行有关的行程问题的解决方法与一般的行程问题的方法类似，但有两点值得注意：一是两人同地背向运动，从第一次相遇到下次相遇共行一个全程；二是同地、同向运动时，甲追上乙时，甲比乙多行了一个全程。
【例题精讲】例1、甲、乙、丙三人沿着湖边散步，同时从湖边一固定点出发。
甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走。
甲第一次遇到乙后114分钟遇到丙，再过334分钟第二次遇到乙。
已知乙的速度是甲的23，湖的周长为600米，求丙的速度。
练习、甲、乙、丙三人环湖跑步。
同时从湖边一固定点出发，乙、丙两人同向，甲与乙、丙两人反向。
在甲第一次遇到乙后114分钟第一次遇到丙；再过334分钟第二次遇到乙。
已知甲速与乙速的比为3：2，湖的周长为2000米，求三人的速度。
例题2：甲、乙两人在同一条椭圆形跑道上做特殊训练。
他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑。
每人跑完第一圈到达出发点后，立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的23 ，甲跑第二圈时的速度比第一圈提高了13 ，乙跑第二圈时速度提高了15。
已知甲、乙两人第二次相遇点距第一次相遇点190米。
这条椭圆形跑道长多少米？练习、小明绕一个圆形长廊游玩。
顺时针走，从A 处到C 处要12分钟，从B 处到A 处要15分钟，从C 处到B 处要11分钟。
从A 处到B 处需要多少分钟（如图34-3所示）？图34——3B例题3、绕湖的一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行。
小王以每小时4千米速度走1小时后休息5分钟，小张以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟。
两人出发多少时间第一次相遇？练习、在400米环行跑道上，A ，B 两点相距100米。
甲、乙两人分别从A ，B 两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒行5米，乙每秒行4米，每人跑100米都要停留10秒钟。
那么甲追上乙需要多少秒？例4、一个游泳池长90米。
甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返回。
五年级奥数-用方程问题解决路程问题(教师版)
方程法解行程一、方程方程：含有未知数的等式叫做方程。
如4x-3=21，6x-2(2x-3)=20方程的解：使方程成立的未知数的值叫做方程的解。
如上式解得x=6解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
解方程的步骤：1、去括号：（1）运用乘法分配律；（2）括号前边是“－”，去掉括号要变号；括号前边是“＋”，去掉括号不变号。
2、移项：法1——运用等式性质，两边同加或同减，同乘或同除；法2——符号过墙魔法，越过“=”时，加减号互变，乘除号互变。
注意两点：（1）总是移小的；（2）带未知数的放一边，常数值放另一边。
3、合并同类项：未知数的系数合并；常数加减计算。
4、系数化为1：利用同乘或同除，使未知数的系数化为1。
5、写出解：未知数放在“=”左边，数值（即解）放右边；如x=66、验算：将原方程中的未知数换成数，检查等号两边是否相等！注意：（1）做题开始要写“解：”（2）上下“=”要始终对齐二、列方程解应用题的基本步骤1.设未知数应认真审题，分析题中的数量关系，用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法，注意未知数的单位不要漏写。
2.寻找相等关系可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系，列出等式两边的代数式，注意它们的量要一致，使它们都表示一个相等或相同的量。
3.列方程列方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量。
4.解方程方程的变形应根据等式性质和运算法则。
5.写出答案检查方程的解是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位。
三、解行程问题的应用题要用到路程、速度、时间之间的关系。
如果用s、v、t分别表示路程、速度、时间，那么s、v、t三个量的关系为s= vt ，或v= s÷t ，或t= s÷v 。
四、相遇问题1.相向而行同时出发到相遇时甲、乙两人所用的时间相等。
2.基本公式：速度和×相遇时间＝相遇路程五、追击问题1.同向而行同时出发到相遇（即追击）时，甲、乙两人所用的时间相等。
五年级奥数教案-12行程问题(二)(第一课时)全国通用
教案教材版本：实验版学校:第一课时师：这道题和以前的行程问题有什么不一样的地方？如果把“履带车” 换成一个人，这道题怎么做？生：那么就是一个人走的路程是10米，速度是每秒钟走40厘米，求时间，利用时间=路程十速度即可求解，不过要注意单位统一，最后答案是1000-40=25 秒。
师：这里是“履带车”，答案还一样吗？生：车长和独木桥的长度比较接近，车长不可忽略不计。
师：你是如何理解问题中的“完全通过独木桥”？你能画图说明吗?生：从车头进入桥开始，到车尾离开桥结束。
可以画出图形3.学生尝试画图，老师巡视。
请一名学生在黑板上画图（适时播放解析）。
师：像这种车长与需通过的物体长较接近的问题，我们称为“火车过桥问题”。
通过的物体一般是桥，所以长度成为“桥长”。
（在黑板上画火车过桥的图，标注桥长，车长，路程长）完全通过:师：此时路程是多少?生：总路程=车长+桥长。
师：知道路程和速度，现在求时间，自己动手完成作答4.学生完成作答，老师巡视。
答案：总路程：10+4=14 （米）14米=1400厘米1400-40=35 （秒）答：贝贝它们完全通过独木桥需要35秒。
5.师生共同探究（2）。
师：第二问的“完全在桥上”这句话怎么理解，和第（1）问是一样的吗？生：不一样，“完全在桥上”是指整个火车都在桥上，应该是从车尾进 入桥开始，到车头离开桥结束。
（适时播放解析）师：你能画出线段图吗？并指出此时的路程及时间。
完全在桥上：=--------------------------------7•请一名学生板书，其他同学点评。
答案: 总路程：10-4=6 （米）6米=600厘米 600- 40=15 （秒）答：这组的“履带车”完全在桥上的时间是15秒8.老师总结。
师：火车过桥问题关键是确定火车过桥的路程，即确定起始位置 完全通过：总路程=车长+ 桥长； 完全在桥上：总路程=桥长-车长。
（二）呈现问题例2师：哎呀，太可惜了！好动的小猴子们看来不适合这轮比赛，在终点 前跌进了水里！ ”智多猩爷爷说道。
行程问题——环形路教师版
行程问题——环形路（教师版）一、【本讲知识点】在环行道路上的行程问题本质上讲是追及问题或相遇问题。
当二人（或物）同向运动就是追及问题，追及距离是二人初始距离及环形道路之长的倍数之和；当二人（或物）反向运动时就是相遇问题，相遇距离是二人从出发到相遇所行路程和。
二、【本讲经典例题】【铺垫】如下图，两名运动员在沿湖周长为2250米的环形跑道上练习长跑。
甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。
两人同时同地同向出发，多少分钟后甲第1次追上乙？若两人同时同地反向出发，多少分钟后甲、乙第1次相遇？分析与解答：2250÷（250-200）=2250÷50=45（分钟），即45分钟后甲第1次追上乙；2250÷（250+200）=2250÷450=5（分钟），即5分钟后甲、乙第1次相遇. 【例1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。
甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。
两人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙。
如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？（1）（2）分析与解答：根据图（1）用追及问题公式求出环形跑道的长，因从同一点出发，距离差=跑道长。
（250-200）×45=2250（米）。
同理，在环形跑道上，若反向而行，从同一点出发两人相遇所经过的路程和=跑道长。
如图（2），2250÷（250+200）=5（分钟）即经过5分钟两人相遇。
【随堂练习1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。
甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。
两人同时同地同向出发，54分钟后甲追上乙。
如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？分析与解答：具体分析见例题。
环形跑道周长：（250-200）×54=2700（米），两人相遇时间：2700÷（250+200）=2700÷450=6（分钟），即经过6分钟后两人相遇。
小学奥数行程问题(分类)(教师版)
知识点拨发车问题（1）、一般间隔发车问题。
用3个公式迅速作答；汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。
标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。
（3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡火车过桥火车过桥问题常用方法⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和.⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和.⑶火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行.接送问题根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）（2）车速不变-班速不变-班数多个（3）车速不变-班速变-班数2个（4）车速变-班速不变-班数2个标准解法：画图＋列3个式子1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。
多人多次相遇和追击问题1.多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。
所有行程问题都是围绕“”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式：；；多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．2、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差时钟问题：时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
小学奥数行程问题分类教师版
小学奥数行程问题( 分类 )( 教师版)行程问题知识点拨发车问题（1）、一般间隔发车问题。
用 3 个公式快速作答；汽车间距 =（汽车速度 +行人速度）×相遇事件时间间隔汽车间距 =（汽车速度 - 行人速度）×追及事件时间间隔汽车间距 =汽车速度×汽车发车时间间隔（2）、求抵达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。
标准方法是：绘图——尽可能多的列 3 个好使公式——联合 s 全程＝ v×t- 联合植树问题数数。
（3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡火车过桥火车过桥问题常用方法1⑴ 火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，所以火车的行程是桥长与车身长度之和 .⑵ 火车与人错身时，忽视人自己的长度，二者行程和为火车自己长度；火车与火车错身时，二者行程和则为两车身长度之和 .⑶ 火车与火车上的人错身时，只需以为人具备所在火车的速度，而忽视自己的长度，那么他所看到的错车的相应行程仍不过对面火车的长度 .关于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种种类的题目，在剖析题目的时候必定得联合着图来进行 .接送问题依据校车速度（来回不一样）、班级速度（不一样班不一样速）、班数能否变化分类为四种常有题型：（1）车速不变 - 班速不变 - 班数 2 个（最常有）（2）车速不变 - 班速不变 - 班数多个（3）车速不变 - 班速变 - 班数 2 个2（4）车速变 - 班速不变 - 班数 2个标准解法：绘图＋列 3 个式子1、总时间 =一个队伍坐车的时间 +这个队伍步行的时间；2、班车走的总行程；3、一个队伍步行的时间 =班车同时出发后回来接它的时间。
多人多次相遇和追击问题1.多人相遇追及问题，即在同向来线上， 3 个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。
全部行程问题都是环绕“ 行程速度时间”这一条基本关系式睁开的，比方我们碰到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的实质也是这三个量之间的关系转变．由此还能够获得以下两条关系式：行程和速度和相遇时间；行程差速度差追实时间；多人相遇与追及问题固然较复杂，但只需抓住这两条公式，逐渐表征题目中所波及的数目，3问题即可水到渠成．2、多人多次相遇追及的解题重点多次相遇追及的解题重点几个全程多人相遇追及的解题重点行程差时钟问题：时钟问题能够看做是一个特别的圆形轨道上 2 人追及问题，可是这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
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第十二讲复杂行程问题多人多次相遇追及二是多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。
所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式：路程和速度和相遇时间；=⨯=⨯路程差速度差追及时间；多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差火车过桥火车过桥常见题型及解题方法（一）、行程问题基本公式：路程=速度⨯时间总路程=平均速度⨯总时间；（二）、相遇、追及问题：速度和⨯相遇时间=相遇路程速度差⨯追及时间=追及路程；（三）、火车过桥问题1、火车过桥（隧道）：一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度，解法：火车车长＋桥(隧道)长度(总路程) ＝火车速度×通过的时间；2、火车＋树(电线杆)：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度，解法：火车车长(总路程)＝火车速度×通过时间；2、火车＋人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度，（1）、火车＋迎面行走的人：相当于相遇问题，解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度＋人的速度)×迎面错过的时间；（2）火车＋同向行走的人：相当于追及问题，解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度—人的速度) ×追及的时间；（3）火车＋坐在火车上的人：火车与人的相遇和追及问题解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度 人的速度) ×迎面错过的时间（追及的时间）；4、火车＋火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度，（1）错车问题：相当于相遇问题，解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝(快车速度＋慢车速度) ×错车时间；（2）超车问题：相当于追及问题，解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝(快车速度—慢车速度) ×错车时间；老师提醒学生注意：对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行。
流水行船一、参考系速度通常我们所接触的行程问题可以称作为“参考系速度为0”的行程问题，例如当我们研究甲乙两人在一段公路上行走相遇时，这里的参考系便是公路，而公路本身是没有速度的，所以我们只需要考虑人本身的速度即可。
二参考系速度——“水速”但是在流水行船问题中，我们的参考系将不再是速度为0的参考系，因为水本身也是在流动的，所以这里我们必须考虑水流速度对船只速度的影响，具体为：①水速度=船速+水速；②逆水速度=船速-水速。
（可理解为和差问题）由上述两个式子我们不难得出一个有用的结论：船速=(顺水速度+逆水速度)÷2；水速=(顺水速度-逆水速度)÷2此外，对于河流中的漂浮物，我们还会经常用到一个常识性性质，即：漂浮物速度=流水速度。
三、流水行船问题中的相遇与追及①两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速②同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关.甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系.例题1【提高】在公路上，汽车A 、B 、C 分别以80km /h ，70km /h ，50km /h 的速度匀速行驶，若汽车A 从甲站开往乙站的同时，汽车B 、C 从乙站开往甲站，并且在途中，汽车A 在与汽车B 相遇后的两小时又与汽车C 相遇，求甲、乙两站相距多少千米？【分析】汽车A 在与汽车B 相遇时，汽车A 与汽车C 的距离为：(8050)2260+⨯=千米，此时汽车B 与汽车C 的距离也是260千米，说明这三辆车已经出发了260(7050)13÷-=小时，那么甲、乙两站的距离为：(8070)131950+⨯=千米．【精英】小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？【分析】画一张示意图：张李王图中A 点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B 点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B 与A 之间这段距离：()54.810.8 1.360+⨯=（千米），这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是：1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分钟）.这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小李从A 到甲地需要：130÷2=65（分钟）.从乙地到甲地需要的时间是：130＋65=195（分钟）＝3小时15分.小李从乙地到甲地需要3小时15分.例题2【提高】甲、乙、丙三人沿湖边一固定点出发，甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向走．甲第一次遇到乙后又走了1分15秒遇到丙，再过3分45秒第二次遇到乙．已知甲、乙的速度比是3:2，湖的周长是600米，求丙的速度．【分析】甲第一次遇见乙后114分钟遇到丙，再过334分第二次遇到乙，所以甲、乙经过1313544+=分钟的时间合走了一圈，甲、乙的速度和为6005120÷=米/分，甲的速度为21201723⎛⎫÷+= ⎪⎝⎭米/分．甲、乙合走一圈需要5分钟，而甲第一次遇见乙后114分钟遇到丙，所以甲、丙合走一圈需要1151644+=分钟，甲、丙的速度和为16006964÷=米/分，从而丙的速度为967224-=米/分． 【精英】甲、乙两人从相距490米的A 、B 两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从A 出发，在甲、乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)．已知丙每分钟跑240米，甲每分钟走40米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距210米，那么乙每分钟走________米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距________米．【分析】如图所示：乙甲E D C B A假设乙、丙在C处相遇，然后丙返回，并在D处与甲相遇，此时乙则从走C处到E处．根据题意可知210DE=米．由于丙的速度是甲的速度的6倍，那么相同时间内丙跑的路程是甲走的路程的6倍，也就是从A到C再到D的长度是AD的6倍，那么(6)2 2.5CD AD AD AD=-÷=， 3.5AC AD=，可见57CD AC=．那么丙从C到D所用的时间是从A到C所用时间的57，那么这段时间内乙、丙所走的路程之和(CD加CE)是前一段时间内乙、丙所走的路程之和(AC加BC，即全程)的57，所以54903507CD CE+=⨯=，而210CD CE DE-==，可得280CD=，70CE=．相同时间内丙跑的路程是乙走的路程的280704÷=倍，所以丙的速度是乙的速度的4倍，那么乙的速度为240460÷=(米/分)，即乙每分钟走60米．当这一次丙与甲相遇后，三人的位置关系和运动方向都与最开始时相同，只是甲、乙之间的距离改变了，变为原来的21034907=，但三人的速度不变，可知运动过程中的比例关系都不改变，那么当下一次甲、丙相遇时，甲、乙之间的距离也是此时距离的37，为3210907⨯=米．例题3【提高】如图，C,D为AB的三等分点；8点整时甲从A出发匀速向B行走，8点12分乙从B出发匀速向A行走，再过几分钟后丙也从B出发匀速向A行走；甲,乙在C点相遇时丙恰好走到D点，甲,丙8:30相遇时乙恰好到A．那么，丙出发时是8点________分．【分析】方法一：根据题意，乙从8点12分到8点30分共18分钟B走到了A点，说明乙走13个全程用时6分钟，则当乙走到C点时为8时24分，此时甲从A点走到C点，用了24分钟。
即甲从13个全程用时24分钟，而丙在8点24分在D点，从8点24分到8点30分这6分钟内甲丙相遇，甲走了14CD，丙走了34CD，则丙走DB需要时间：6÷34=8分钟，所以丙出发是在8点16分。
方法二：（1）如图可以看出，乙从B到A共用了18分，每段6分，甲、乙相遇时刻为8:24，那么甲从A到C用24分，V甲:V乙=6:24=1:4；（2）甲、丙在C、D相向而行，共用6分钟，此时乙也走了相同的路程CA，所以V甲:V丙=1:3；（3）丙走BD用6÷3⨯4=8分，从B出发的时刻为8:16。
对于复杂的同一线段的问题，可以把相同的点，转化成相同的线分析，使得问题更加清晰。
方法三：（1）如图可以看出，乙从B到A共用了18分，每段6分，甲、乙相遇时刻为8:24，那么甲从A到C用24分，V甲:V乙=6:24=1:4；（2）甲、丙在C、D相向而行，共用6分钟，此时乙也走了相同的路程CA，所以V甲:V丙=1:3；（3）丙走BD用6÷3⨯4=8分，从B出发的时刻为8:16。
对于复杂的同一线段的问题，可以把相同的点，转化成相同的线分析，使得问题更加清晰。
【精英】甲、乙、丙、丁4人在河中先后从同一个地方同速同向游泳，现在甲距起点78米，乙距起点27米，丙距起点23米，丁距起点16米．那么当甲、乙、丙、丁各自继续游泳米时，甲距起点的距离刚好为乙、丙、丁3人距起点的距离之和．【分析】现在乙、丙、丁3人距起点的距离总和是27231666++=（米），甲目前比它们的距离之和要多27231666++=(米)．此后甲每向前游1米，乙、丙、丁3人也都同时向前游了1米，那么甲距起点的距离与那3人的距离总和之差就要减少2米．要使这个差为0，甲应向前游了 1226÷=(米)．例题4【提高】甲、乙两车同时从A 地出发，不停的往返行驶于A ，B 两地之间。