第三章 圆的复习

15
图1
3
3.6
做圆的直径与找90度的圆周 角也是圆里常用的辅助线
A
B
•
O C
D
例4、半径为５的圆中，有两条平行 弦AB 和CD，并且AB =６,CD=８， 求AB和CD间的距离
C
.E
D
O
A FB (1)
A FB
C
.E D
O
(2)
做这类问题是，思考问题一定要 全面，考虑到多种情况。
练习题
1、已知 ⊙ O中，弦AB垂直于直径CD，垂足为P， AB=6，CP=1，则 ⊙ O的半径为 ---------5----- 。
弦AB所对的圆周角为___5__0_0或___1_3_0_0.（05年上海）
3、见复习题5、6
4、如图，A、B、C三点在圆上，若∠ABC=400，
则∠AOC=
。（05年大连）
6.如图，AB是⊙O的直径,BD是 ⊙O的弦，延长BD到点C,使 DC=BD,连接AC交⊙O与点F. A
（1）AB与AC的大小有什么关 系?为什么?
2、已知 ⊙ O的直径为10cm,A是⊙ O内一点，且
OA=3cm,则 ⊙ O中过点A的最短弦长=------8------- cm 。
3、两圆相交于C、B，AC=100 ，延长AB，AC分别交 ⊙ O于D、E，则 E= -----5--0-------
A
D
B
C PO D
O A
B
A
C
E
2、如图， ∠ABC是圆O上的三点， AB=500， ∠OBC=400，则∠OAC的度 数是？
O
助线。
圆心到弦的距离、半径、
弦长构成直角三角形，
便将问题转化为直角三
角形的问题。
圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等。E B
A
C
O
F
D
圆心角定理：
AOB= COD
AB =CD AB=CD
OE=OF （OE AB于E
5.锐角三角形的外心在三角形__外__，直角三角
形的外心在三角形____，钝角三角形的外心在
三角形_内___。
DE
A
O
C
CE=DE
垂径定理：AB是直径
AB CD

AC=AD
CD=DB
B 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的弧
圆的轴对称性：
推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的 弦
1、如图,已知⊙O的半径OA长 为5,弦AB的长8,OCA⊥C=ABBC于C, 则OC的长为 ___3____.
A
O
半径 弦心距
C 半弦长 B
2、如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA ＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
关于弦的问题，常常需 B
MA
要过圆心作弦的垂线段，
P
这是一条非常重要的辅
二、过三点的圆及外接圆
1.过一点的圆有___无__数___个 2.过两点的圆有___无___数___个，这些圆的圆心
的都在_连__结__着__两_点__的__线__段_ 的垂直平分线 上.
3.过三点的圆有___0_或__1________个
4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三 角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村 庄距离相等）
C A.
O1
r O1
弦:连结圆上任意两点的线段 B 直径:经过圆心的弦
圆弧:圆上任意两点间的部分,有优弧 和劣弧之分
r 等圆：半径相等的两 O2 个圆。
同心圆：圆心相同，半径
.
不相等的圆。
O
一、点与圆的位置关系
1、见复习题1
r
C ●
●
O
●B d ●A
点与圆的 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内
点到圆心的距离d与圆的半 径r之间关系
d﹥r d=r d﹤r
定理：不在同一直线上的三个点 确定一个圆。
A.
B.
.C
2.在Rt△ ABC中，∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,D 为AB的中点，E为AC的中点，以B为圆心，BC为 半径作⊙B， 问：（1）A、C、D、E与⊙B的位置关系如何？
（2）AB、AC与⊙B的位置关系如何？
B A
C O四、圆心角、弦、来自、弦心距、圆周角前四组量中有一组量相等，其余各组量也相等； 注意：圆周角有两种情况
圆周角的推论应用广泛
1.如图，⊙O为△ABC的外接圆， AB为直径，AC=BC， 则∠A的 度数为（ ）（05泉州 ）
A.30° B.40° C.45° D.60° 2. 在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB=100°，则
r
ra r2
1、扇形的面积是它所在圆的面积的 2 ，这个扇 形的圆心角的度数是___2_4_0_°___°. 3
2、 圆锥的母线为5cm，底面半径为3cm，则 圆锥的表面积为_2_4_π_c_m__2
；
3、 扇形AOB的半径为12cm,∠AOB=120°,求 扇形的面积和周长.
4、 如图,当半径为30cm的转动轮转过120°时, 传送带上的物体A平移的距离为______.
OF CD于F）
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半。
也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆
周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数
的一半。
A
C
O
A
推论：
B
C
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90圆周角所对的弦是直径。
OB
同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧也相等。
（2）按角的大小分类, 请你判断 △ABC属于哪一类三角形， 并说明理由.(05宜昌)
B
O
B
C
A
F O
D
C
（第20－1题）
知识回顾
一、圆的周长公式 C=2πr
二、圆的面积公式 S=πr2
三、弧长的计算公式
l n 2r nr
360
180
四、扇形面积计算公式
s n r 2
360
B
·D
C
E·
A
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，
外接圆的圆心叫做三角形的外心，
CCC
三角形叫做圆的内接三角形。
A AA
问题1：如何作三角形的外接圆？ 如何找三角形的外心？
B
OOO C
B B
问在三题角2：形三内角吗形？的外心一定▲▲AABAB∠CC是C是＝钝锐9角角0三°三O角角形形
B
根据这个图形，你能找到圣火台所在的位置吗？ O
或s 1 lr 2
五 、大于半圆的弓形面积为 S弓形=S扇形+S△ 六 、小于半圆的弓形面积为 S弓形=S扇形-
圆锥的侧面积和全面积
圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长， 圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。
S侧=S扇形
1 la 1 2ra ra
ha
lS全=S2 侧+2S底