第三章：圆

第三章：圆

一、中考要求：

1．经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力．

2．认识圆的轴对称性和中心对称性．

3．探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间相等关系定理，探索并理解圆周角和圆心角关系定理．

4．探索并了解点与圆，直线与圆以及圆与圆的位置关系．

5．了解切线概念，探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．

6．进一步认识和理解研究图形性质的各种方法．

二、中考卷研究

(一)中考对知识点的考查：

(二)中考热点：

运用圆的有关性质及计算公式进行简单的几何证明和几何计算是热点题型。

三、中考命题趋势及复习对策

根据新课标要求，有关圆的证明题的难度有所降低，这部分的题型主要以填空题、选择题、计算题为主，题目较简单，在中考试卷中，所占的分值为6％左右，故在复习时应抓住基础知识进行复习，并且注意将圆的有关知识与其他各讲的知识进行联系，切忌太难的几何证明题．

★★★(I)考点突破★★★

考点1：圆的有关概念和性质

一、考点讲解：

1．圆的圆的有关概念：

（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半

径．

（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．

（3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．

（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．（5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．

2．圆的有关性质：

（1）圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．

3．三角形的内心和外心

（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．

（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心

二、经典考题剖析：

【考题1－1】（2004、深圳南山区，3

分）如图1－3－l，在⊙O中，已知

∠A CB＝∠CDB＝60○，AC＝3，

则△ABC的周长是____________.

解：9 点拨：由圆周角定理，得∠A=∠D=∠ACB=60○，所以△ABC为等边三角形．所以其周长=9．【考题1－2】（2004、贵阳，3分）如图1－3－2，在⊙O中，弦AB=1．8。m，圆周角∠ACB=30○，则⊙O的直径等于=_________cm．

解：3.6 点拨：连结OA、OB，如图l－3－2．则∠AOB=∠ACB＝60○．所以△OAB为

等边三角形．所以OA=AB=1．8cm．

则直径2OA=3．6cm．

点拨：主要考查圆周角与圆心角关系.

三、针对性训练：(50 分钟) (答案：272)

1．如图l－3－3，MN所在的直线垂直平分弦A B，利用这样的工具最少使用__________次，就可找到圆形工件的圆心．

2．如图1－3－4，A、B、C是⊙O上三个点，当BC

平分∠ABO时，能得出结论_______（任写一个）．

3．在△ABC中，∠A=62°，点I是外接圆圆心，则∠

B IC=___________

4．下列命题正确的是（）

A．相等的圆心角所对的弦相等

B．等弦所对的弧相等C．等弧所对的弦相等

D．垂直于弦的直线平分弦

5．“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“

今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一

寸，锯道长一尺，间径几何”．用数学语言可表述

为如图1－3－5，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD

于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长为

（）

A．12．5寸B．13寸C．25寸D．26寸

6．如图1－3－6，已知AB是半圆O的直径，弦AD

和BC相交于点P，那么

CD

AB

等于（）

A．sin∠BPD B．cos∠BPD

C．tan∠BPD D．cot∠BPD

7．⊙O的半径是5，AB、CD为⊙O的两条弦，且AB

∥CD，AB=6，CD=8，求AB与CD之间的距离．

8．在半径为1的圆中，弦AB、AC

，

则∠BAC的度数为多少？

考点2：与圆有关的角

一、考点讲解：

1．圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．

圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

2．圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫

圆周角．

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．

3．圆心角与圆周角的关系．

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所

对的国心角的一半．

4．弦切角：圆的切线与圆的弦组成的顶点在圆上的角．

弦切角的度数等于它所夹得弧的度数的一半．

弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角．

5．圆内接四边形

顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形．

圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻

内角的对角．

二、经典考题剖析：

【考题2－1】（2004、大连，3分）如图1－3－7，A、

B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°

则∠BOC的大小是（）

A．60○B．45○

C．30○D．15○

解：A 点拨：圆周角的度数等于同弧所对圆心角度

数一半，所以∠BAC=

1

2

∠BOC，所以∠BOC=60○

【考题2－2】（2004、北京，4分）如图1－3－8，P A、

PB是⊙O的切线，切点分别为A 、B，点C在⊙O

上．如果∠P＝50○，那

么∠ACB等于（）

A．40○B．50○

C．65○D．130○

解：点拨：连结OA、OB，

因为PA、PB是⊙O的切线，所以∠OBP=∠OAP=90

○，因为∠P=50○所以∠AOB=130○，所以∠ACB=65

○（同弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角的

度数的一半）