最新人教a版高中数学必修5【课时作业21】简单的线性规划问题(含答案)

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人教版高中数学必修5第三章不等式-3

在可行域内打出网格线，
y
B(3,9)
x y0
M(18 , 39) 55
C(4,8)
x
O
2x+y=15 x+2y=18 x+3y=27
直线 x y=12 经过整点B(3,9)和C(4,8)，
它们是最优解.
z最小值 =12.
答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板张数最小的方法有两种，第一种截法是第一种钢板3 张，第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4 张，第二种钢板8张；这两种截法都至少要两种钢板 12张.
或最后经过的点为最优解；（4）求出最优解并代入目标函数，从而求出目标函数的
最值.
简单线性规划问题的图解方法
例1 设 z＝2x＋y，式中变量x、 y满足下列条件：
x 4 y 3,
3x 5 y 25, 求z的最大值和最小值.
x 1,
分析：作可行域，画平行线，解方程组，求最值.
y x1
第2课时简单线性规划的应用
1.体会线性规划的基本思想，并能借助几何直观解决一些简单的实际问题； 2.利用线性规划解决具有限制条件的不等式； 3.培养学生搜集、整理和分析信息的能力，提高数学建模和解决实际问题的能力.
在实际问题中常遇到两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，
如何使用它们来完成最多的任务；
获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，
又当如何安排生产才能获得最大利润？
（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？
设生产甲产品x件乙产品y件时，工厂获得的利润为
z,则z=3x+2y.
把z 3x 2 y变形为y 3 x z ,这是斜率为 3 ,

人教版高中数学必修五课时作业21：3.3.2 简单的线性规划问题

3.3.2 简单的线性规划问题基础过关1．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y ＋5≤0，x ＋3≥0，y ≤2，则z ＝x ＋2y 的最大值是()A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析已知约束条件可行域如图，z ＝x ＋2y 经过B (－1，2)时有最大值，∴z max ＝－1＋2×2＝3，故选D.答案 D2.若满足条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( ) A.－3 B.－2 C.－1D.0解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a ＝0时，只有4个整点(1，1)，(0，0)，(1，0)，(2，0).当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点.故选C.答案 C3.已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( ) A.－3 B.3 C.－1D.1解析如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.答案 D4.若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋2y 的取值范围是________.解析如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2，0)时，有最小值2，过点B (2，2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2，6]. 答案 [2，6]5.设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0表示的平面区域如图所示．由z ＝3x －2y 得y ＝32x －z 2，求z 的最小值，即求直线y ＝32x －z2的纵截距的最大值，当直线y ＝32x －z2过图中点A 时，纵截距最大，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－1，x ＋2y ＝1解得A 点坐标为(－1，1)，此时z ＝3×(－1)－2×1＝－5.答案－56.设x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，求x ＋y 的取值范围.解如图，z ＝x ＋y 表示直线过可行域时，在y 轴上的截距，当目标函数平移至过可行域A 点时，z 有最小值.联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x －2y ＝2，解得A (2，0).z 最小值＝2，z 无最大值， ∴x ＋y ∈[2，＋∞).7.某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t 救援物资的任务.该公司有8辆载重6 t 的A 型卡车与4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数：A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元.请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？解设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆.列表分析数据.A 型车B 型车限量车辆数 x y 10 运物吨数 24x 30y 180 费用320x504yz由表可知x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，24x ＋30y ≥180，0≤x ≤8，0≤y ≤4，x ，y ∈N ，且目标函数z ＝320x ＋504y .作出线性区域，如图阴影部分(含边界)所示.可知当直线z ＝320x ＋504y 过A (7.5，0)时，z 最小，但A (7.5，0)不是整点，继续向上平移直线z ＝320x ＋504y ，可知点(8，0)是最优解.这时z min ＝320×8＋504×0＝2 560(元)，即用8辆A 型车，0辆B 型车，成本费最低.所以公司每天调出A 型卡车8辆时，花费成本最低.能力提升8.已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A.[－1，0]B.[0，1]C.[0，2]D.[－1，2]解析作出可行域，如图所示，因为OA→·OM →＝－x ＋y . 所以设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知过点P (1，1)时，z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点Q (0，2)时，z 有最大值， z max ＝0＋2＝2，所以OA →·OM →的取值范围是[0，2]. 答案 C9.设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则2y ＋2x ＋1的最大值是()A.5B.6C.8D.10解析画出可行域如图阴影部分(含边界)，z ＝2y ＋2x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义是点M (－1，－1)与可行域内的点P (x ，y )连线的斜率，当点P 移动到点N (0，4)时，斜率最大，最大值为4－（－1）0－（－1）＝5，∴z max ＝2×5＝10.故选D.答案 D10.某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品________吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大.解析设每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，总利润为S 万元，依题意约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤300，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥15，y ≥15.目标函数为S ＝7x ＋12y ，可行域如图阴影部分(含边界)所示，从图中可以看出，当直线S ＝7x ＋12y 经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，S 取最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y －200＝0，3x ＋10y －300＝0，得A (20，24)，故当x ＝20，y ＝24时，S max ＝7×20＋12×24＝428(万元). 答案 20 2411.已知⎩⎨⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________.解析令z ＝x 2＋y 2，画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示，令d＝x 2＋y 2，即可行域中的点到原点的距离，由图得d min ＝1＋4＝5，∴z min ＝d 2＝5. 答案 512.某工厂要制造A 种电子装置45台，B 种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积 2 m 2，可做A ，B 的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3 m 2，可做A ，B 的外壳分别为6个和6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小. 解设用甲种薄钢板x 张，乙种薄钢板y 张，则可做A 种产品外壳3x ＋6y 个，B 种产品外壳5x ＋6y 个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ∈N ，y ∈N ，所有的薄钢板的总面积是z ＝2x ＋3y . 可行域为如图所示的阴影部分(含边界)，其中l 1：3x ＋6y ＝45，l 2：5x ＋6y ＝55， l 1与l 2的交点为A (5，5)，目标函数z ＝2x ＋3y 在可行域上的最小值在区域边界的A (5，5)处取得，此时z 的最小值为2×5＋3×5＝25. 即甲、乙两种薄钢板各5张，能保证制造A ，B 的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小.创新突破13.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2.(1)求2x ＋y 的最大值和最小值； (2)求x 2＋y 2的最大值和最小值； (3)求yx 的最大值和最小值.解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2表示的平面区域如图阴影部分所示.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴A (1，2).由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴M (2，3). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，∴B (2，1) (1)∵z ＝2x ＋y ， ∴y ＝－2x ＋z .当直线y ＝－2x ＋z 经过可行域内的点M (2，3)时，直线在y 轴上的截距最大，z 也最大，此时z max ＝2×2＋3＝7.当直线y ＝－2x ＋z 经过可行域内的点A (1，2)时，直线在y 轴上的截距最小，z 也最小，此时z min ＝2×1＋2＝4. ∴2x ＋y 的最大值为7，最小值为4.(2)过原点(0，0)作直线l 垂直于直线x ＋y －3＝0，垂足为N ，则直线l 的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32在线段AB 上，也在可行域内，此时可行域内的点M 到原点的距离最大，点N 到原点的距离最小. 又|OM |＝13，|ON |＝92，即92≤x 2＋y 2≤13，∴x 2＋y 2的最小值为92，最大值为13.(3)∵yx 表示可行域内一点(x ，y )与定点O (0，0)连线的斜率，由图知k OB ≤y x ≤k OA ，即12≤yx ≤2，人教版高中数学必修五11 ∴y x 的最大值为2，最小值为12.。

高中数学必修5：简单的线性规划问题知识点及经典例题(含答案)

简单的线性规划问题【知识概述】线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题.解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题；2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节（1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）；（2）求目标函数的最值.（3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型：①0b>时，截距最大（小），z的值最大（小）；②0b>时，截距最大（小），z的值最小（大）；【学前诊断】1.[难度] 易满足线性约束条件23,23,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y=+的最大值是（）A.1B.32C.2D.32.[难度] 易设变量,x y满足约束条件0,0,220,xx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y=-的最大值为( )A.0B.2C.4D.63. [难度] 中设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞【经典例题】例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为( )A.5B.4C.1D.8例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A.4B.3C.2D.1例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小值为8，则a b +的最小值为____________.例4. 在约束条件下0,0,,24,x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )A.[]6,15B.[]7,15 C.[]6,8 D.[]7,8例5. 设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所表示平面区域是1,Ω平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等于（）A.285B.4C.125D.2例6．对于实数,x y ，若11,21,x y -≤-≤则21x y -+的最大值为_________.例7．在约束条件22240x y x y +++≤下，函数32z x y =+的最大值是___________.例8. 已知函数2()2(,)f x x ax b a b =++∈R ，且函数()y f x =在区间()0,1与()1,2内各有一个零点，则22(3)z a b =++的取值范围是（）.A.2⎫⎪⎪⎝⎭B.1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D.()1,4 例9. 奇函数()f x 在R 上是减函数，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，t s的取值范围是（）. A.1,14⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例10. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克 A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【本课总结】线性规划是不等式和直线与方程的综合应用，是数形结合的和谐载体，也是高考中的重要考点，近几年的高考题中考查的频率较高，一般以考查基本知识和方法为主，属于基础类题，难度一般不高.1. 解决线性规划问题有一定的程序性：第一步：确定由二元一次不等式表示的平面区域；第二步：令z=0画直线0:0l ax by +=；第三步：平移直线0l 寻找使直线a z y x b b=-+截距取最值（最大或最小）的位置（最优解）.第四步：将最优解坐标代入线性目标函数z ax by =+求出最值2. 解决线性规划问题要特别关注线性目标函数z ax by =+中b 的符号，若b ＞0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最大（小）值，若b <0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最小（大）值， b <0的情况是很多同学容易出现的盲点.3. 线性规划问题要重视数形结合思想的运用，善于将代数问题和几何问题相互转化，由线性规划问题引申的其它数形结合题目也要灵活掌握，如：将平面区域条件引申为：22240x y x y +++≤表示圆面等，将目标函数引申为：2224z x y x y =+++表示动点到定点的距离的最值问题；21y z x +=-表示动点与定点连线的斜率的最值问题等. 4. 线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则一般在区域顶点处取得最大或最小值5. 线性规划中易错点提示（1）忽视平面区域是否包括边界.一般最优解都处于平面区域的边界顶点处，若平面区域不包含边界，则可能不存在最值.（2）忽视对线性目标函数z ax by =+中b 的符号的区分.（3）代数问题向其几何意义的转化困难.【活学活用】1. [难度] 中若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（） A.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(]0,1 C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. [难度] 中设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（） A ．4B ．11C ．12D ．143. [难度] 中已知变量x 、y 满足约束条件 20,1,70,x y y x x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则的取值范围是（） A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．9,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[)6,+∞ C ．(],3-∞∪[)6,+∞ D ．[3，6]。

线性规划题及答案

线性规划题及答案引言概述：线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于寻觅最优解决方案。

在实际生活和工作中，线性规划问题时常浮现，通过对问题进行建模和求解，可以得到最优的决策方案。

本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出详细的答案解析。

一、生产规划问题1.1 生产规划问题描述：某工厂生产两种产品A和B，产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。

每天工厂有8小时的生产时间，产品A每单位需要2小时，产品B每单位需要3小时。

问工厂每天应该生产多少单位的产品A 和产品B，才干使利润最大化？1.2 生产规划问题答案：设产品A的生产单位为x，产品B的生产单位为y，则目标函数为Max Z=100x+150y，约束条件为2x+3y≤8，x≥0，y≥0。

通过线性规划方法求解，得出最优解为x=2，y=2，最大利润为400元。

二、资源分配问题2.1 资源分配问题描述：某公司有两个项目需要投资，项目A每万元投资可获得利润2万元，项目B每万元投资可获得利润3万元。

公司总共有100万元的投资额度，问如何分配投资额度才干使利润最大化？2.2 资源分配问题答案：设投资项目A的金额为x万元，投资项目B的金额为y万元，则目标函数为Max Z=2x+3y，约束条件为x+y≤100，x≥0，y≥0。

通过线性规划方法求解，得出最优解为x=40，y=60，最大利润为240万元。

三、运输问题3.1 运输问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每一个销售点的需求量分别为100、150、200，每一个仓库的库存量分别为80、120。

仓库到销售点的运输成本如下表所示，问如何安排运输方案使得总成本最小？3.2 运输问题答案：设从仓库i到销售点j的运输量为xij，则目标函数为Min Z=∑(i,j) cij*xij，约束条件为每一个销售点的需求量得到满足，每一个仓库的库存量不超出。

通过线性规划方法求解，得出最优的运输方案，使得总成本最小。

四、投资组合问题4.1 投资组合问题描述：某投资者有三种投资标的可选择，预期收益率和风险如下表所示。

高中数学新人教A版必修5 课时分层作业21简单的线性规划问题含解析

课时分层作业(二十一) 简单的线性规划问题(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、填空题1．满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0，并使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是________．(0，5) [首先作出可行域如图阴影所示，设直线l 0：6x ＋8y ＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点M (0，5)时截距最大，此时z 最大．]2．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x ＋2y的最小值是________．1 [不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．设t ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋t2，当x ＝0，y ＝0时，t 最小＝0.z ＝3x ＋2y 的最小值为1.]3．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．3 [画出可行域如图阴影所示，因为yx表示过点(x ，y )与原点(0，0)的直线的斜率，所以点(x ，y )在点A 处时yx最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. 所以A (1，3)，所以y x的最大值为3.] 二、选择题4．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0D ．2A [画出可行域，如图所示，解得A (－2，2)，设z ＝2x －y ，把z ＝2x －y 变形为y ＝2x －z ，则直线经过点A 时z 取得最小值；所以z min ＝2×(－2)－2＝－6，故选A .]5．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5C [不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，作直线2x ＋y ＝0并平移，当直线过点A 时，截距最大，即z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A 点坐标为(1，2)，可得2x ＋y 的最大值为2×1＋2＝4.] 6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋3y ≤4，x ≥－2，则z ＝|x －3y |的最大值为( )A ．10B ．8C ．6D ．4B [画出可行域，如图中阴影部分所示，令t ＝x －3y ，则当直线t ＝x －3y 经过点A (－2，2)时，t ＝x －3y 取得最小值－8，当直线t ＝x －3y 经过点B (－2，－2)时，t ＝x －3y 取得最大值4，又z ＝|x －3y |，所以z max ＝8，故选B.]7．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12C [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设P (x ，y )为平面区域内任意一点，则x 2＋y 2表示|OP |2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，故A (3，－1)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝9，x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3，故B (0，－3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，故C (0，2)．|OA |2＝10，|OB |2＝9，|OC |2＝4.显然，当点P 与点A 重合时，|OP |2即x 2＋y 2取得最大值．所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2＝10.]8．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x －y －2≤0x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8.5B [由已知可得x ，y 所满足的可行域如图阴影部分所示：令y ＝－23x ＋z －13.要使z 取得最大值，只须将直线l 0：y ＝－23x 平移至A 点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0x ＋2y －5＝0，得A (3，1)，∴z max ＝2×3＋3×1＋1＝10.] 三、解答题9．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．[解] z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l 0：2x －y ＝0平行的直线系l ，经上下平移，可得：当l 移动到l 1，即经过点A (5，2)时，z max ＝2×5－2＝8，当l 移动到l 2，即过点C (1，4.4)时，z min ＝2×1－4.4＝－2.4.10．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．[解] 先画出可行域，如图所示，y ＝a x必须过图中阴影部分或其边界．∵A (2，9)，∴9＝a 2，∴a ＝3. ∵a >1，∴1<a ≤3. ∴a 的取值范围是(1，3]．[能力提升练]1．设O 为坐标原点，A (1，1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，则OA →·OB →取得最小值时，点B 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个B [如图，阴影部分为点B (x ，y )所在的区域．∵OA →·OB →＝x ＋y ，令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z .由图可知，当点B 在C 点或D 点时，z 取最小值，故点B 的个数为2.]2．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3 B [二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A ⎝⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12.平移直线x ＋ay ＝0，可知在点A ⎝⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12处，z 取得最值．因此a －12＋a ×a ＋12＝7，化简得a 2＋2a －15＝0，解得a ＝3或a ＝－5，但a ＝－5时，z 取得最大值，故舍去，答案为a ＝3.]3．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________．－2 [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z .易知当直线y ＝－2x ＋z 过点A (k ，k )时，z ＝2x ＋y 取得最小值，即3k ＝－6，所以k ＝－2.]4．若目标函数z ＝x ＋y ＋1在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≤0，y ≤n ，x ≥－3下，取得最大值的最优解有无穷多个，则n 的取值范围是________．(2，＋∞) [先根据⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≤0，x ≥－3作出如图所示阴影部分的可行域，欲使目标函数z ＝x ＋y ＋1取得最大值的最优解有无穷多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线x ＋y －2＝0，且只有当n >2时，可行域才包含x ＋y －2＝0这条直线上的线段BC 或其部分．]5．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，求|PQ |的最小值．[解] 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0所表示的平面区域，x 2＋(y ＋2)2＝1所表示的曲线是以(0，－2)为圆心，1为半径的一个圆．如图所示，只有当点P 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，点Q 在点B (0，－1)时，|PQ |取最小值32.。

高二数学人教a必修5练习：3.3.2 简单的线性规划问题(二) word版含解析

3．3.2 简单的线性规划问题(二)课时目标1．准确利用线性规划知识求解目标函数的最值． 2．掌握线性规划实际问题中的两种常见类型．1．用图解法解线性规划问题的步骤： (1)分析并将已知数据列出表格； (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域；(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．一、选择题1．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、b 1千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2、b 2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元．月初一次性购进本月用的原料A 、B 各c 1、c 2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z ＝d 1x ＋d 2y 最大的数学模型中，约束条件为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋a 2y ≥c 1，b 1x ＋b 2y ≥c 2，x ≥0，y ≥0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋b 1y ≤c 1，a 2x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥0C.⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ≤c 1，b 1x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥0D.⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ＝c 1，b 1x ＋b 2y ＝c 2，x ≥0，y ≥0答案 C解析比较选项可知C 正确．2. 如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为()A.14B.35 C ．4 D.53答案 B解析由y ＝－ax ＋z 知当－a ＝k AC 时，最优解有无穷多个．∵k AC ＝－35，∴a ＝35.3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元答案 B解析设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，可获得利润为z 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5，z ＝0.4x ＋0.6y .由图象知，目标函数z ＝0.4x ＋0.6y 在A 点取得最大值． ∴y max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱答案B解析设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤70，10x ＋6y ≤480，x ≥0，y ≥0.甲、乙两车间每天总获利为z ＝280x ＋200y . 画出可行域如图所示．点M (15,55)为直线x ＋y ＝70和直线10x ＋6y ＝480的交点，由图象知在点M (15,55)处z 取得最大值．5．如图所示，目标函数z ＝kx －y 的可行域为四边形OABC ，点B (3,2)是目标函数的最优解，则k 的取值范围为()A.⎝⎛⎭⎫23，2B.⎝⎛⎭⎫1，53C.⎝⎛⎭⎫－2，－23D.⎝⎛⎭⎫－3，－43 答案 C解析 y ＝kx －z .若k >0，则目标函数的最优解是点A (4,0)或点C (0，4)，不符合题意． ∴k <0，∵点(3,2)是目标函数的最优解．∴k AB ≤k ≤k BC ，即－2≤k ≤－23.二、填空题6．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．答案 2 300解析设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N *，y ∈N *.目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300元． 7．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，则z ＝10x ＋10y 的最大值是________．答案 90 解析该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于x ，y ∈N *，计算区域内与点⎝⎛⎭⎫112，92最近的整点为(5,4)，当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.8．某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大．答案 20 24 解析设每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，总利润为S 万元，依题意约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤300，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥15，y ≥15，目标函数为S ＝7x ＋12y .从图中可以看出，当直线S ＝7x ＋12y 经过点A 时，直线的纵截距最大，所以S 也取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y －200＝0，3x ＋10y －300＝0，得A (20,24)，故当x ＝20，y ＝24时， S max ＝7×20＋12×24＝428(万元)．三、解答题9．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？解设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z ，那么⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时，截距z2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A (145，3)，∴z min ＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲种原料145×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省．10．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？解方木料(m 3) 五合板(m 2) 利润(元)书桌(个)0.1 2 80 书橱(个)0.2 1 120 (1)则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤902x ≤600z ＝80x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900x ≤300⇒x ≤300. 所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2)设只生产书橱y 个，可获利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤901·y ≤600z ＝120y⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450y ≤600⇒y ≤450. 所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．(3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤902x ＋y ≤600x ≥0y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600解得点M 的坐标为(100,400)．所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．能力提升11．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1 答案 A解析当a ＝0时，z ＝x .仅在直线x ＝z 过点A (1,1)时， z 有最小值1，与题意不符．当a >0时，y ＝－1a x ＋za .斜率k ＝－1a<0，仅在直线z ＝x ＋ay 过点A (1,1)时，直线在y 轴的截距最小，此时z 也最小，与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾．当a <0时，y ＝－1a x ＋z a ，斜率k ＝－1a>0，为使目标函数z 取得最小值的最优解有无数个，当且仅当斜率－1a ＝k AC .即－1a ＝13，∴a＝－3.12．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格规模类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板21 1第二种钢板12 3今需要A、B、C三种规格的成品分别至少为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张．⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥15x＋2y≥18x＋3y≥27x≥0，y≥0.作出可行域(如图)：(阴影部分)目标函数为z＝x＋y.作出一组平行直线x＋y＝t，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x＋3y＝27和直线2x＋y＝15的交点A⎝⎛⎭⎫185，395，直线方程为x＋y＝575.由于185和395都不是整数，而最优解(x，y)中，x，y必须都是整数，所以可行域内点⎝⎛⎭⎫185，395不是最优解．经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝12，经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们都是最优解．答要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．。

人教a版必修5学案：3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(含答案)

3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题材拓展1．二元一次不等式(组)表示平面区域(1)直角坐标平面内的一条直线Ax ＋By ＋C ＝0把整个坐标平面分成三部分，即直线两侧的点集和直线上的点集．(2)若点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的同侧(或异侧)，则Ax 1＋By 1＋C 与Ax 2＋By 2＋C 同号(或异号)．(3)二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，应把直线画成虚线；含有等号，把直线画成实线． (2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的区域就是包括这个点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点．当C ＝0时，常把点(1,0)或点(0,1)作为测试点．3．补充判定二元一次不等式表示的区域的一种方法先证一个结论已知点P (x 1，y 1)不在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 (B ≠0)上，证明： (1)P 在l 上方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )>0； (2)P 在l 下方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 证明 (1)∵B ≠0，∴直线方程化为y ＝－A B x －CB，∵P (x 1，y 1)在直线上方，∴对同一个横坐标x 1，直线上点的纵坐标小于y 1，即y 1>－A B x 1－CB.(*)∵B 2>0，∴两端乘以B 2，(*)等价于B 2y 1>(－Ax 1－C )B ，即B (Ax 1＋By 1＋C )>0.(2)同理，由点P 在l 下方，可得y 1<－A B x 1－CB，从而得B 2y 1<(－Ax 1－C )B ，移项整理为B (Ax 1＋By 1＋C )<0. ∵上述解答过程可逆，∴P 在l 上方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )>0， P 在l 下方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 从而得出下列结论：(1)B >0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)，而Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的平面区域(不包括直线)．(2)B <0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域(不包括直线)，而二元一次不等式Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)．(3)B ＝0且A >0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)．(4)B ＝0且A <0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)．法突破一、二元一次不等式组表示的平面区域方法链接：只要准确找出每个不等式所表示的平面区域，然后取出它们的重叠部分，就可以得到二元一次不等式组所表示的平面区域．例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.14 解析答案 B二、平面区域所表示的二元一次不等式(组)方法链接：由平面区域确定不等式时，我们可以选用特殊点进行判断，把特殊点代入直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，根据代数式Ax ＋By ＋C 的符号写出对应的不等式，根据是否包含边界来调整符号．例2 如图所示，四条直线x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，x ＋2y ＋2＝0,3x －y ＋3＝0围成一个四边形，则这个四边形的内部区域(不包括边界)可用不等式组____________表示．解析 (0,0)点在平面区域内，(0,0)点和平面区域在直线x ＋y －2＝0的同侧，把(0,0)代入到x ＋y －2，得0＋0－2<0，所以直线x ＋y －2＝0对应的不等式为x ＋y －2<0，同理可得到其他三个相应的不等式为x ＋2y ＋2>0,3x －y ＋3>0，x －y －1<0，则可得所求不等式组为三、和平面区域有关的非线性问题方法链接：若目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线的截距有关．若目标函数为形如z ＝y －bx －a，可考虑(a ，b )与(x ，y )两点连线的斜率．若目标函数为形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，可考虑(x ，y )与(a ，b )两点距离的平方．例3 (2009·山东济宁模拟)已知点P (x ，y )满足点Q (x ，y )在圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的最大值与最小值为( )A ．6,3B ．6,2C ．5,3D ．5,2解析可行域如图阴影部分，设|PQ |＝d ，则由图中圆心C (－2，－2)到直线4x ＋3y －1＝0的距离最小，则到点A 距离最大．由得(－2,3)． ∴d max ＝|CA |＋1＝5＋1＝6，d min ＝|－8－6－1|5－1＝2.答案 B四、简单的线性规划问题方法链接：线性规划问题最后都能转化为求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．例4 某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？解依题意设每星期生产x 把椅子，y 张书桌，那么利润p ＝15x ＋20y .其中x ，y 满足限制条件{ 4x ＋8y ≤x ＋y ≤x ≥0，x ∈N *y ≥0，y ∈N *. 即点(x ，y )的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x ＋8y ＝8 000(即AB )，2x ＋y ＝1 300(即BC )，x ＝0(即OA )和y ＝0(即OC )．对于某一个确定的p ＝p 0满足p 0＝15x ＋20y ，且点(x ，y )属于阴影部分的解x ，y 就是一个能获得p 0元利润的生产方案．对于不同的p ，p ＝15x ＋20y 表示一组斜率为－34的平行线，且p 越大，相应的直线位置越高；p 越小，相应的直线位置越低．按题意，要求p 的最大值，需把直线p ＝15x ＋20y 尽量地往上平移，又考虑到x ，y 的允许范围，当直线通过B 点时，处在这组平行线的最高位置，此时p 取最大值．由{ 4x ＋8y ＝8 00x ＋y ＝1 300，得B (200,900)，当x ＝200，y ＝900时，p 取最大值，即p max ＝15×200＋20×900＝21 000，即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元．区突破1．忽略截距与目标函数值的关系而致错例1 设E 为平面上以A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z ＝4x －3y 的最大值与最小值．[错解]把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .根据条件画出图形如图所示，当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最小值．∴z min ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z max ＝4×(－3)－3×2＝－18.[点拨] 直线y ＝43x －13z 的截距是－13z ，当截距－13z 最大即过点C 时，目标函数值z 最小；而当截距－13z 最小即过点B 时，目标函数值z 最大．此处容易出错．[正解] 把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最小值．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.2．最优整数解判断不准而致错例2 设变量x ，y 满足条件求S ＝5x ＋4y 的最大值．[错解] 依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x 、y 为整数的条件，则当直线5x ＋4y ＝S 过点A ⎝⎛⎭⎫95，2310时，S ＝5x ＋4y 取最大值，S max ＝18 15.因为x 、y 为整数，所以当直线5x ＋4y ＝t 平行移动时，从点A 起通过的可行域中的整点是C (1,2)，此时S max ＝13.[点拨] 上述错误是把C (1,2)作为可行域内唯一整点，其实还有一个整点B (2,1)，此时S ＝14才是最大值．[正解] 依据已知条件作出图形如图所示，因为B (2，1)也是可行域内的整点，由此得S B ＝2×5＋1×4＝14，由于14>13，故S max ＝14.温馨点评求最优整数解时，要结合可行域，对所有可能的整数解逐一检验，不要漏掉解.题多解例某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有() A．5种B．6种C．7种D．8种解析方法一由题意知，按买磁盘盒数多少可分三类：买4盒磁盘时，只有1种选购方式；买3盒磁盘时，有买3片或4片软件两种选购方式；买2盒磁盘时，可买3片、4片、5片或6片软件，有4种选购方式，故共有1＋2＋4＝7(种)不同的选购方式．方法二先买软件3片，磁盘2盒，共需320元，还有180元可用，按不再买磁盘，再买1盒磁盘、再买两盒磁盘三类，仿方法一可知选C.方法三设购买软件x片，磁盘y盒．则，画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示．落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点．答案 C题赏析1．(2011·浙江)设实数x，y满足不等式组{x＋2y－5>0，x＋y－7>0，x≥0，y≥0，且x，y为整数，则3x＋4y的最小值是()A．14 B．16C．17 D．19解析作出可行域，如图中阴影部分所示，点(3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1)符合条件，故3x＋4y的最小值是3×4＋4×1＝16.答案 B2．(2009·烟台调研)若x，y满足约束条件{x＋y≥x－y≥－x－y≤2，目标函数z ＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()A．(－1,2) B．(－4,2) C．(－4,0] D．(－2,4)解析作出可行域如图所示，直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，即－4<a <2. 答案 B赏析本题考查线性规划的基本知识，要利用好数形结合．。

最新-2021学年高中数学人教A版必修5课件：3321简单的线性规划问题精品

题型三
反思1.解决这类问题最常用、最重要的一种方法就是图解法,其
步骤为:
(1)画:画出可行域;
(2)变:把目标函数变形为斜截式方程;从纵截距的角度寻找最优
解;
(3)求:解方程组求出最优解;
(4)答:写出目标函数的最值.
2.一般地,设目标函数为z=ax+by+c,当b>0时,将直线l:ax+by=0向
则z是直线y=-x+z在y轴上的截距.
由可行域知,当直线y=-x+z经过点A(2,4)时,z取最大值,此时
x=2,y=4,则z的最大值为z=x+y=2+4=6.
答案:6
题型一
题型二
题型三
求参数的取值范围
≥ 1,
【例 2】 (1)已知实数 x,y 满足 ≤ 2-1, 如果目标函数 =
+ ≤ ,
− 的最小值为 − 1, 那么实数等于(
).
A.7
B.5
C.4
D.3
解析:由选项知m>0,作出可行域如图.目标函数z=x-y对应直线
y=x-z经过可行域内的点A时,-z取最大值1,从而z取最小值-1.
题型一
题型二
题型三
1 + 2-1
= 2-1,
由
得
,
.
+ = ,
3
3
≥ 1,
( > 0)取最大值对应的点有无数多个时的值.
解不等式组表示的平面区域如图,作直线l:ax+y=0,分析知当直线
l刚好平移到与直线AC重合时,z=ax+y会有无数多个点使函数
z=ax+y取得最大值.

人教版高中数学必修五课时作业22：3.3.2 简单的线性规划问题

3.3.2简单的线性规划问题1．设z ＝x －y ，式中变量x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，x －2y≥0.则z 的最小值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．233．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值4．某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、 B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费用为200元，设备乙每天的租赁费用为300元．现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．6．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为________.货物体积(m 3/箱)重量(50 kg/箱)利润(百元/箱)甲 5 2 20 乙 4 5 10 托运限制24137．某工厂制造A 种仪器45台，B 种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m 2，每张可作A 种仪器外壳3个和B 种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m 2，每张可作A 种仪器外壳6个和B 种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)8．某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t 支援物资的任务．该公司有8辆载重6 t 的A 型卡车与4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？9．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙的投资的23，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，问该公司正式投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为多少？参考答案1．【答案】A【解析】作出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x ＝2y ，得交点A (2,1)．当直线x －y ＝0平移过点A (2,1)时，z 有最小值1. 2．【答案】B【解析】不等式表示的平面区域如图所示．当z ＝2x ＋3y 过点A 时取得最小值，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3，取得A (2,1)．将点A 坐标代入z ＝2x ＋3y 中得z min ＝7. 3．【答案】B【解析】如图，z ＝x ＋y 表示直线过可行域时，在y 轴上的截距，当目标函数平移至过可行域A 点时，z 有最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x －2y ＝2，解得A (2,0)．z 最小值＝2，z 无最大值．4．【答案】D【解析】设该企业在一个生产周期内生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，获得利润z 万元，则依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝5x ＋3y ，画出不等式组表示的平面区域及直线l 0：5x ＋3y ＝0，易知当平移l 0经过点(3,4)时，z 取得最大值为5×3＋3×4＝27，故选D. 5．【答案】2300【解析】设租赁甲、乙两种设备x ，y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z .目标函数z ＝200x ＋300y ，画出可行域知目标函数在点(4,5)处取得最小值，故目标函数的最小值为2300.6．【答案】4和1【解析】设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x ，y ，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .目标函数z ＝20x ＋10y ，画出可行域如图．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝13，5x ＋4y ＝24，得A (4,1)．易知当直线2x ＋y ＝0平移经过点A 时，z 取得最大值． 7．解：设用甲种钢板x 张，乙种钢板y 张，依题意⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ∈N *，3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，钢板总面积z ＝2x ＋3y .作出可行域，如图所示．由图可知当直线z ＝2x ＋3y 过点P 时，z 最小．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋6y ＝45，5x ＋6y ＝55，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝5.所以甲、乙两种钢板各用5张用料最省．8．解：设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆．列表分析数据．A型车 B 型车限量车辆数 x y 10 运物吨数 24x 30y 180 费用320x504yz由表可知x ，y 满足的线性条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，24x ＋30y ≥180，0≤x ≤8，0≤y ≤4，x ，y ∈N ，且z ＝320x ＋504y .作出线性区域，如图所示．可知当直线z ＝320x ＋504y 过A (7.5,0)时，z 最小，但A (7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z ＝320x ＋504y ，可知点(5,2)是最优解．这时z min ＝320×5＋504×2＝2608(元)，即用5辆A 型车，2辆B 型车，成本费最低．若只用A 型车，成本费为8×320＝2560(元)，只用B 型车，成本费为18030×504＝3024(元)．9．解：设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，共可获利z 万元，则z ＝0.4x ＋0.6y .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5，y ≥5，x ≥23y ，x ＋y ≤60.作出可行域如图，由图可以看出，当直线经过可行域上的点A (24,36)时，z 取得最大值． z ＝0.4x ＋0.6y ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2.即该公司正式投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为31.2万元．。

人教新课标版数学高二A必修5学案简单的线性规划问题 (一)

3．3.2 简单的线性规划问题(一)明目标、知重点 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．1．线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量x ，y 的不等式(组) 线性约束条件关于x ，y 的一次不等式(组)目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x ，y 的函数解析式线性目标函数关于x ，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题2.线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是zb ，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值；当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值．[情境导学]已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围．解答时容易错误的利用不等式中的加法法则，由原不等式组得到x ，y 的范围，再分别求出2x 及－3y 的范围，然后相加得2x －3y 的取值范围．由于不等式中的加法法则不具有可逆性，从而使x ，y 的取值范围扩大，得出错误的2x －3y 的取值范围．如果把1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3看作变量x ，y 满足的条件，把求2x －3y 的取值范围看作在满足上述不等式的情况下，求z ＝2x －3y 的取值范围，就成了本节要研究的一个线性规划问题．探究点一线性规划中的基本概念问题某工厂用A、B两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1 h，每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2 h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产1件甲种产品获利2万元，生产1件乙种产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？思考1如何用不等式组表示问题中的限制条件？答设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y≤8，4x≤16，4y≤12，x≥0，y≥0.(1)思考2你能画出不等式组所表示的平面区域吗？答如图，区域内所有坐标为整数的点P(x，y)，安排生产任务x，y都是有意义的，就代表所有可能的日生产安排．思考3采用哪种生产安排利润最大问题应当转化成怎样的问题来解答？答设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y.这样，上述问题就转化为当x，y满足不等式组(1)并且为非负整数时，z的最大值是多少？思考4若把z＝2x＋3y变形为y＝－23x＋z3，这是斜率为定值－23，在y轴上的截距为z3的直线，当点P在可允许的取值范围变化时，如何求z的最大值？答如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，就能确定一条直线，因而确定出唯一截距z3，可以看到，直线y＝－23x＋z3与不等式组(1)表示的区域的交点坐标满足不等式组(1)，而且当截距z3最大时，z 取得最大值．因此，在区域内找一个点P ，使直线经过点P 时截距z 3最大．由图可以看出，当直线y ＝－23x＋z 3经过直线x ＝4与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4,2)时，截距z 3的值最大，最大值为143，这时2x ＋3y ＝14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元．小结 (1)线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．(2)线性目标函数：关于x 、y 的一次式z ＝2x ＋y 是欲达到最大值或最小值的关于变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．(3)线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．(4)可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解(x ，y )叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．探究点二生活中的线性规划问题例营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪，1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg?将已知数据列成下表：解设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z ，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 0.105x ＋0.105y ≥0.075，0.07x ＋0.14y ≥0.06，0.14x ＋0.07y ≥0.06，x ≥0，y ≥0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ≥5，7x ＋14y ≥6，14x ＋7y ≥6，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝28x ＋21y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域，把目标函数z ＝28x ＋21y 变形为y ＝－43x ＋z 21，它表示斜率为－43且随z 变化的一族平行直线.z21是直线在y 轴上的截距，当截距最小时，z 的值最小．如图可见，当直线z ＝28x ＋21y 经过可行域上的点M 时，截距最小，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ＝5，14x ＋7y ＝6得M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫17，47. 所以z min ＝28x ＋21y ＝16.答每天食用食物A 17 kg ，食物B 47 kg ，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元．反思与感悟图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移目标函数对应的直线ax ＋by ＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值．跟踪训练已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围．解作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3所表示的平面区域(如图)即为可行域．设z ＝2x －3y ，变形得y ＝23x －13z ，则得到斜率为23，且随z 变化的一族平行直线．－13z 是直线在y 轴上的截距，当直线截距最大时，z 的值最小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数z ＝2x －3y 取得最小值．由图可见，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝5得A 的坐标为(2,3)，∴z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点B 时，截距最小，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，x ＋y ＝1得B 的坐标为(2，－1)．∴z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7.∴－5≤2x －3y ≤7，即2x －3y 的取值范围是[－5,7]．1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0 C.53 D. 52答案 C解析画出可行域如图．设z ＝x ＋2y ，平行移动直线y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋z 2过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，z 取最大值53，所以(x ＋2y )max ＝53.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．23答案 B解析作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.3．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－1 D ．1答案 A解析－1a ＝2－14－1＝13，∴a ＝－3.4．已知实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝2x ＋4y 的最大值为________．答案 8解析由不等式组表示的可行域知，目标函数z 在点(0,2)处取得最大值8. [呈重点、现规律]1．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ；(3)平移——将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． 2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解． 3．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．一、基础过关1．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．2 答案 A解析如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点A (－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6. 2．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9B.157C ．1 D.715答案 A解析画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2 答案 A解析可行域如图阴影部分(含边界)令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 过D 点时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0得D (5,3)．∴z min ＝3－2×5＝－7，故选A.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( ) A ．3，－11 B ．－3，－11 C ．11，－3 D ．11,3答案 A解析作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.5．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．答案 [3,8] 解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值，z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值，z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]．6．在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋3y≥12，x＋y≤10，3x＋y≥12下，求z＝2x－y的最大值和最小值．解如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋3y≥12，x＋y≤10，3x＋y≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交于点A(3,3)，x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1)，x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9)，作一族与直线2x－y＝0平行的直线l：2x－y＝z.即y＝2x－z，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为－z，当l经过点B时，－z取最小值，此时z最大，即z max＝2×9－1＝17；当l经过点C时，－z取最大值，此时z最小，即z min＝2×1－9＝－7.所以z max＝17，z min＝－7.7．在3.3.1(二)此节跟踪训练3中，如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意，得z＝2.5x＋4y，且x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，12x＋8y≥64，6x＋6y≥42，6x＋10y≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，3x＋2y≥16，x＋y≥7，3x＋5y≥27.让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．二、能力提升8．已知a>0，x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x＋y≤3，y≥a(x－3)，若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于() A.14 B.12C．1 D．2答案B解析作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z＝2x＋y过交点B时，z取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝a(x－3)得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝－2a，∴z min＝2－2a＝1，解得a＝12，故选B.9．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组⎩⎨⎧0≤x≤2，y≤2，x≤2y给定．若M(x，y)为D 上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝OM→·OA→的最大值为()A．3 B．4 C．3 2 D．42答案B解析由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，y≤2，x≤2y，画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z＝OM→·OA→＝2x＋y，将其化为y＝－2x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z最大，将点(2，2)代入z＝2x＋y得z的最大值为4.10．在3.3.1(二)此节课后作业第6题中，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大．最大收益是多少万元？解设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤300，500x＋200y≤90 000，x≥0，y≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤300，5x＋2y≤900，x≥0，y≥0.目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .作出可行域如图所示：作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，由图可知当l 过点M 时，目标函数z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900.得M (100,200)． ∴z max ＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)．答该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．三、探究与拓展11．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，求|PQ |的最小值．解画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0所表示的平面区域，x 2＋(y ＋2)2＝1所表示的曲线为以(0，－2)为圆心，1为半径的一个圆．如图所示，只有当点P 在点A ⎝⎛⎭⎫0，12，点Q 在点B (0，－1)时，|PQ |取最小值32.。

2021-2022版老教材数学人教A版必修5学案：3.3.2.1简单的线性规划问题含答案

3.3.2 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题学习目标1.了解线性规划的意义,能根据线性约束条件画出可行域,能建立目标函数.(数学抽象、直观想象、数学建模)2.理解并初步运用线性规划的图解法解决简单的线性规划问题.(直观想象、逻辑推理、数学运算)3.理解目标函数的最大、小值与其对应直线的截距的关系.(直观想象、逻辑推理、数学运算)必备知识·自主学习导思1.什么是线性规划?线性规划的基本概念有哪些?2.如何求目标函数的最值?1.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x,y组成的不等式组线性约束条件由x,y的一次不等式组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x,y的函数解析式线性目标函数关于x,y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x,y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题(1)线性目标函数的最优解一定存在吗?提示:不一定.当可行域是开放区域,可行域的边界取不到时可能没有最优解.(2)可行域右上方的顶点一定是最优解吗?提示:不一定.要根据目标函数对应的直线特点,即在y轴上的截距的意义确定.(3)在线性约束条件下,最优解唯一吗?提示:不一定,可能只有一个,可能有多个,也可能有无数个.2.线性目标函数的最值线性目标函数z=ax+by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y=-x+,它表示斜率为-,在y轴上的截距是的一条直线,当z变化时,方程表示一组互相平行的直线.当b>0,截距最大时,z取得最大值,截距最小时,z取得最小值;当b<0,截距最大时,z取得最小值,截距最小时,z取得最大值.(1)若将目标函数z=x+y看成直线方程时,z具有怎样的几何意义?提示:把目标函数整理可得y=-x+z,z为直线在y轴上的截距.(2)z值的大小与直线2x-y-z=0的纵截距有何关系?提示:z随直线的纵截距的增大而变小.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)若线性规划问题存在最优解,它只能在可行域的某个顶点达到.( )(2)线性目标函数的最优解是唯一的.( )(3)若目标函数为z=x-y,则z的几何意义是直线z=x-y的截距. ( )提示:(1)×.存在最优解,但不一定只在顶点达到.(2)×.最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.最优解不一定唯一,有时唯一,有时有多个.(3)×.z的几何意义是直线z=x-y的截距的相反数.2.设x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值是( )A.-15B.-9C.1D.9【解析】选A.画出约束条件所表示的可行域如图所示,将z=2x+y化为y=-2x+z,得到斜率为-2,在y轴上的截距为z的一族平行直线.由图可知,当直线经过可行域上的点C时,截距z最小,由解得所以C(-6,-3),所以z min=2×(-6)-3=-15.3.(教材二次开发:习题改编)若则z=x-y的最大值为.【解析】根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示. 令z=0,作直线l:y-x=0.当直线l向下平移时,所对应的z=x-y的函数值随之增大,当直线l经过可行域的顶点M时,z=x-y取得最大值.顶点M是直线x+y=1与直线y=0的交点,解方程组得顶点M的坐标为(1,0),代入z=x-y,得z max=1.答案:1关键能力·合作学习类型一线性目标函数的最值问题(直观想象、逻辑推理、数学运算)1.(2019·浙江高考)若实数x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值是( )A.-1B.1C.10D.122.若x,y满足约束条件则z=4x+2y的最小值为( )A.-17B.-13C.D.203.(2020·全国Ⅲ卷)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为.【解析】1.选C.由线性约束条件可得可行域为图中阴影部分所示:由解得所以A(2,2),所以z max=3×2+2×2=10.2.选B.该可行域是一个以A,B(4,2),C为顶点的三角形区域(包括边界).当动直线y=-2x+过点C时,z取得最小值,此时z=4×+2×=-13.3.不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(含边界),因为z=3x+2y,所以y=-+,易知截距越大,则z越大,平移直线y=-,当y=-+经过A点时截距最大,此时z最大,由,得,A(1,2),所以z max=3×1+2×2=7.答案:7解线性规划问题的一般步骤(1)画:在直角坐标平面上画出可行域和直线ax+by=0(目标函数为z=ax+by);(2)移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点;(3)求:求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值;(4)答:给出正确答案.【补偿训练】1.若实数x,y满足约束条件则z=x+y的最大值是( )A.0B.1C.6D.7【解析】选C.作出实数x,y满足的约束条件对应的平面区域如图:(阴影部分).由z=x+y得y=-x+z,平移直线y=-x+z,由图象可知当直线y=-x+z经过点A时,直线y=-x+z的截距最大,此时z最大.由解得A.代入目标函数z=x+y得z=+=6.即目标函数z=x+y的最大值为6.2.已知(x0,y0)为线性区域内的一点,若2x0-y0-c<0恒成立,则c的取值范围是( )A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)【解析】选A.由已知得到可行域D如图,由图可知,对任意(x0,y0)∈D,不等式2x0-y0-c<0恒成立,即c>2x-y恒成立,即c>(2x-y)max,当直线z=2x-y经过图中B(1,0)时,z最大为2,所以c>2.3.(2018·北京高考)若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y-x的最小值是. 【解析】x+1≤y≤2x等价于不等式组画出可行域如图,令z=2y-x,化为斜截式得y=x+z,直线斜率为,在y轴上的截距为z, 直线越往下,z越小,z越小,由得最优解为(1,2),所以z=2y-x的最小值为3.答案:3类型二线性规划中的参数问题(数学抽象、逻辑推理、数学运算) 【典例】1.x,y满足约束条件,若z=kx+y取得最大值的最优解有无数个,则实数k的值为( )A.-1B.0C.1D.-1或02.若x,y满足且2x+y的最小值为1,则实数m的值为( )A.-5B.-1C.1D.5【思路导引】1.利用目标函数与可行域边界平行求解.2.作出可行域,用m表示最优解,利用最小值求m的值.【解析】1.选A.不等式组对应的平面区域如图:由z=kx+y得y=-kx+z,当k=0时,直线y=-kx+z=z,此时取得最大值的最优解只有一个,不满足条件;当-k>0时,直线y=-kx+z截距取得最大值时,z取得最大值,直线与x=y 重合时,最大值有无数个,则-k=1,解得k=-1;当-k<0时,目标函数的最优解只有一个,不满足题意.2.选B.画出满足条件的平面区域,如图所示:由,解得A(2m+3,m),设z=2x+y,则y=-2x+z,显然直线过A(2m+3,m)时,z最小,所以4m+6+m=1,解得:m=-1.数形结合求解参数问题首先要熟练线性规划问题的求解步骤和确定最优解的方法,其次要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界处取得,对边界直线的斜率与目标函数对应的直线的斜率要对照分析.1.已知x,y满足约束条件若目标函数z=mx+y的最大值为-2,则实数m的值为( )A.3B.-3C.3或-3D.0或3【解析】选B.不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示.由题意得m+1=-2,得m=-3.2.设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a=( )A.-5B.3C.-5或3D.5或-3【解析】选B.当a=-5时,作出不等式组表示的可行域,如图甲(阴影部分).由得交点A(-3,-2),则目标函数z=x-5y过A点时取得最大值.z max=-3-5×(-2)=7,不满足题意,排除A,C选项.当a=3时,作出不等式组表示的可行域,如图乙(阴影部分).由得交点B(1,2),则目标函数z=x+3y过B点时取得最小值.z min=1+3×2=7,满足题意.当a=5时,同理可求当过C(2,3)时,z最小为17,不符合题意故排除D.3.如图所示的平面区域,若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值为.【解析】因为z可看作是z=ax+y在y轴上的截距,由可行域可知,当z=ax+y与AC重合时,使z取得最大值的点有无穷多个,又k AC==-,所以-a=-,a=.答案:【拓展延伸】1.含参数的线性目标函数问题的求解策略(1)约束条件中含有参数:此时可行域是可变的,应分情况作出可行域,结合条件求出不同情况下的参数值.(2)目标函数中含有参数:此时目标函数对应的直线是可变的,如果斜率一定,则对直线作平移变换;如果斜率可变,则要利用斜率与倾斜角间的大小关系分情况确定最优解的位置,从而求出参数的值.2.直线的斜率k与倾斜角α的关系(1)0<k1<k2时,0<α1<α2<;(2)k1<k2<0时,<α1<α2.即当斜率同为正或同为负时,均满足斜率越大,倾斜角越大,可以通过斜率来比较目标函数与边界倾斜程度的大小,从而确定最优解的位置.【拓展训练】(1)设x,y满足不等式组若z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,则实数a的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】选C.由约束条件作出可行域如图所示,则A(1,1),B(2,4),由z=ax+y得y=-ax+z,直线y=-ax+z是斜率为-a,y轴上的截距为z 的直线,因为z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,所以直线z=ax+y过点B时,取得最大值为2a+4,经过点A时取得最小值为a+1,若a=0,则y=z,此时满足条件;若a>0,则目标函数斜率k=-a<0,要使目标函数在A处取得最小值,在B处取得最大值,则目标函数的斜率满足-a≥k AC=-2,即0<a≤2;若a<0,则目标函数斜率k=-a>0,要使目标函数在A处取得最小值,在B处取得最大值,则目标函数的斜率满足-a≤k BC=,即-≤a<0,综上-≤a≤2.(2)已知约束条件且目标函数z=a2x+(a-2-a2)y取得最小值的最优解唯一,为(2,2),则a的取值范围是.【解析】线性约束条件所表示的区域如图中阴影部分所示.由于目标函数y的系数a-2-a2=--<0,x的系数a2≥0,故平行直线系z=a2x+(a-2-a2)y的斜率>0.由于是最小值问题且最优解唯一,为图中的点A(2,2),从而只需<,解得<a<.答案:【补偿训练】(1)若x,y满足约束条件且z=ax+y的最大值为2a+6,则a的取值范围是( )A.[-1,+∞)B.(-∞,-1]C.(-1,+∞)D.(-∞,-1)【解析】选A.作出不等式组对应的平面区域如图,(阴影部分).由z=ax+y,得y=-ax+z,平移直线y=-ax+z,要使z=ax+y的最大值为2a+6,即直线y=-ax+z经过点A(2,6)时,截距最大,则目标函数的斜率-a满足-a≤1,解得a≥-1.(2)设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k=.【解析】作出可行域如图阴影部分所示:由图可知当0≤-k<时,直线y=-kx+z经过点M(4,4)时,z最大,所以4k+4=12,解得k=2(舍去);当-k≥时,直线y=-kx+z经过点(0,2)时,z最大,此时z的最大值为2,不合题意;当-k<0时,直线y=-kx+z经过点M(4,4)时,z最大,所以4k+4=12,解得k=2,符合题意.综上可知,k=2.答案:2类型三非线性目标函数的最优解问题(逻辑推理、数学运算、数学建模)角度1 转化为距离问题【典例】设x,y满足约束条件,则z=(x+1)2+y2的最大值为( )A.41B.5C.25D.1【思路导引】z=(x+1)2+y2=,转化为求(x,y),(-1,0)两点之间的距离的平方.【解析】选A.根据x,y满足约束条件,画出可行域:z=(x+1)2+y2=表示D(-1,0)到可行域内某点的距离的平方,由解得A(3,5),当点D与点A(3,5)连线时,AD距离最大,则z=(x+1)2+y2的最大值是A(3,5)到D(-1,0)的距离的平方为41.本例的条件不变,试求z=(x+1)2+y2的最小值.【解析】由本例中的可行域可知,z=(x+1)2+y2的最小值为点(-1,0)到直线x+y=0距离的平方,故所求的最小值为=.角度2 转化为斜率问题【典例】已知实数x,y满足不等式组则z=的最大值为( )A.B.C.D.【思路导引】作出不等式组对应的平面区域,把所求问题转化为(x,y),(-3,0)两点之间的斜率即可得到结论.【解析】选C.如图,阴影部分为可行域,目标函数z=表示可行域中点(x,y)与(-3,0)连线的斜率,由图可知点P(1,3)与(-3,0)连线的斜率最大,故z的最大值为.已知实数x,y满足,则的最大值为( )A.B.C.D.1【解析】选D.作出实数x,y满足对应的平面区域如图: 的几何意义是区域内的点到定点D(-3,0)的斜率,由图象知DA的斜率最大,由得A(-2,1),则DA的斜率k==1,则的最大值为1.角度3 转化为点到直线的距离问题【典例】已知求z=|x+2y-4|的最大值.【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.方法一:z=|x+2y-4|=×,其几何意义为阴影区域内的点到直线x+2y-4=0的距离的倍.由得点C的坐标为(7,9),显然点C到直线x+2y-4=0的距离最大,此时z max=21.方法二:由图可知,阴影区域(可行域)内的点都在直线x+2y-4=0的上方,显然此时有x+2y-4>0,于是目标函数等价于z=x+2y-4,显然当直线经过点C时,z取得最大值,由得点C的坐标为(7,9),此时z max=21.非线性目标函数的最值的求解策略(1)z=(x-a)2+(y-b)2型的目标函数可转化为点(x,y)与点(a,b)距离的平方;特别地,z=x2+y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方.(2)z=型的目标函数可转化为点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.(3)z=|Ax+By+C|可转化为点(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离的倍.易错警示:目标函数z=x2+y2的几何意义易错误理解为可行域内的点到原点的距离.1.已知实数x,y满足约束条件,则目标函数z=的最小值为( )A.-B.-C.-D.-【解题指南】变形:=,转化为两点连线的斜率求最小值. 【解析】选B.作出不等式组对应的平面区域如图:目标函数z=的几何意义为可行域内的动点M(x,y)和定点D(-1,2)连线的斜率,当M位于A时,DA的斜率最小,此时z min==-.2.实数x,y满足不等式组则W=的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选D.画出题中不等式组所表示的可行域如图所示,目标函数W=表示阴影部分的点与定点A(-1,1)的连线的斜率, 由图可知点(-1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值,最大值趋近于1,但永远达不到1,故-≤W<1.3.已知实数x,y满足约束条件则z=|3x-4y-12|的最小值等于.【解析】实数x,y满足约束条件其可行域为如图所示的阴影部分.由z=|3x-4y-12|的几何意义是可行域内的点到直线3x-4y-12=0的距离的5倍,由可行域可知,B到直线3x-4y-12=0的距离最小,且B(2,0),则z=|3x-4y-12|的最小值为:|3×2-4×0-12|=6.答案:6课堂检测·素养达标1.(教材二次:开发练习改编)若x,y满足则z=x+3y的最小值为( )A.-6B.-1C.3D.4【解析】选B.作出不等式组表示的平面区域:得到如图的阴影部分,其中A(2,-1),设z=F(x,y)=x+3y,将直线l:z=x+3y进行平移,观察直线在y轴上的截距的变化,可得当l 经过点A时,目标函数z达到最小值.所以z最小值=F(2,-1)=-1.2.已知实数x,y满足则z=x+2y的最大值为( )A.2B.3C.4D.5【解析】选C.作出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示,由目标函数z=x+2y的几何意义,得平移直线x+2y=0经过点(0,2)时,z=x+2y取得最大值,所以z max=4.3.已知实数x,y满足,则z=x2+y2的最大值等于( )A.2B.2C.4D.8【解析】选D.根据实数x,y满足,画出可行域:z=x2+y2表示O(0,0)到可行域内的点的距离的平方,由解得B(2,2),则z=x2+y2的最大值是B(2,2)到O(0,0)的距离的平方为8.4.已知点(x,y)满足不等式组,若z=2x-y的最大值为5,则a=.【解析】当a<1时,不等式组,表示的区域不存在;当a≥1时,不等式组,表示的区域如图所示,目标函数化为y=2x-z,z取最大值时,截距-z最小.对比斜率,可得z取最大值时的最优解为(a,a),代入,得2a-a=5,可得a=5.答案:55.设z=2y-2x+5,其中x,y满足约束条件求z的最大值和最小值.【解析】作出满足约束条件的可行域,如图中阴影部分所示,平移直线2y-2x=0,当其经过点A(-1,-1)时,z取得最大值,z max=2×(-1)-2×(-1)+5=5,当其经过点C(0,-2)时,z取得最小值,z min=2×(-2)-2×0+5=1.【新情境·新思维】设点Q为所表示的平面区域内的动点,若在上述区域内满足x2+y2最小时所对应的点为P,则与(O为坐标原点)的夹角的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】选A.作出不等式组所对应的可行域(如图阴影),过原点作直线x+y-1=0的垂线,垂足即为点P,由图可得,与(O为坐标原点)的夹角的最大值为∠AOP=或者∠BOP=,最小值为0,所以与(O为坐标原点)的夹角的取值范围为.。

人教A版高中数学必修五课时作业第一课时简单的线性规划问题

3.3.2 简单的线性规划问题第一课时简单的线性规划问题[选题明细表]知识点、方法题号线性目标函数的最值1,3,6非线性目标函数的最值2,5,7,8含参数的线性规划问题4,9,10,11,12基础巩固1.若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值和最小值分别为( B )(A)4和3 (B)4和2 (C)3和2 (D)2和0解析: 作出可行域,通过目标函数线的平移寻求最优解.作出可行域如图阴影部分,作直线2x+y=0,并向右上平移,过点A时z取最小值,过点B时z取最大值,可求得A(1,0),B(2,0),所以z min=2,z max=4.故选B.2.(2019·杭州高二检测)已知x,y满足约束条件则(x+3)2+y2的最小值为( D )(A) (B)2 (C)8 (D)10解析: 画出可行域(如图所示).(x+3)2+y2即点A(-3,0)与可行域上点(x,y)间距离的平方.显然|AC|长度最小,所以|AC|2=(0+3)2+(1-0)2=10.故选D.3.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-y的取值范围是( A )(A)[-,6] (B)[-,-1](C)[-1,6] (D)[-6,]解析:作出可行域如图所示.目标函数z=3x-y可转化为y=3x-z,作l0:3x-y=0,在可行域内平移l0,可知在A点处z取最小值为-,在B点处z取最大值为6.故选A.4.(2019·太原高二检测)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a等于( B )(A)(B)(C)1 (D)2解析: 作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).易知直线z=2x+y过交点A时,z取最小值,由得所以z min=2-2a=1,解得a=,故选B.5.已知实数x,y满足则z=|3x+4y-5|的最大值为( D )(A)1 (B)2 (C)8 (D)9解析:如图阴影部分为不等式组表示的可行域,z=|3x+4y-5|=×5,其几何意义为可行域内的点到直线3x+4y-5=0的距离的5倍,显然点(0,-1)到直线3x+4y-5=0的距离最大,此时z max=9.故选D.6.(2019·微山高二检测)设x,y满足约束条件则z=3x+y的最大值为.解析: 不等式组表示的平面区域如图所示.把z=3x+y变形为y=-3x+z得到斜率为-3,在y轴截距为z的一族平行直线,由图得当直线l:y=-3x+z过可行域内一点M时,在y轴截距最大,z 也最大.由得即M(3,-2).所以当x=3,y=-2时,z max=3×3+(-2)=7.答案:77.若实数x,y满足则z=3x+2y的最小值是.解析: 由不等式组,得可行域是如图阴影部分以A(0,0),B(0,1), C(-0.5,0.5)为顶点的三角形,易知当x=0,y=0时,z′=x+2y取得最小值0,所以z=3x+2y的最小值为1.答案:18.已知求:(1)z=x2+y2-10y+25的最小值;(2)z=的范围.解: 作出可行域如图,并求出顶点的坐标A(1,3),B(3,1),C(7,9).(1)z=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x,y)到定点 M(0,5)的距离的平方,过M作直线AC的垂线,易知垂足N在线段AC上,故z的最小值是|MN|2=.(2)z=2·表示可行域内任一点(x,y)与定点Q (-1,-)连线的斜率的两倍,因为k QA=,k QB=,故z的范围为[,].能力提升9.(2019·山东临沭期中)已知实数x,y满足如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m等于( B )(A)7 (B)5 (C)4 (D)3解析: 作出不等式组对应的平面区域如图,由目标函数z=x-y的最小值是-1,得y=x-z,即当z=-1时,函数为y=x+1,此时对应的平面区域在直线y=x+1的下方, 由解得即A(2,3),同时点A也在直线x+y=m上,即m=2+3=5.故选B.10.已知x,y满足约束条件如果(2,)是z=ax-y取得最大值时的最优解,则实数a的取值范围是.解析: 画出可行域如图,将目标函数化为直线的斜截式方程y=ax-z,当目标函数的斜率大于等于3y-x=2的斜率时,直线y=ax-z在点(2,)处截距最小,即a≥时,(2,)是目标函数z=ax-y取得最大值时的最优解.答案:[,+∞)11.(2019·绵阳高二检测)若x,y满足约束条件(1)求目标函数z=x-y+的最值;(2)若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,求a的取值范围. 解: (1)作出可行域如图,可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0),平移初始直线y=x,当过A(3,4)时z取得最小值-2,当过C(1,0)时,z取得最大值1.所以z的最大值为1,最小值为-2.(2)由ax+2y=z,得y=-x+,因为直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1<-<2,解得-4<a<2.故所求a的取值范围为(-4,2).探究创新12.(2019·聊城高二检测)设m>1,在约束条件下,目标函数z=x+my的最大值小于2,求m的取值范围.解: 根据约束条件画出可行域如图所示,将目标函数化为斜截式y=-x+,结合图形可以看出当目标函数过y=mx 与x+y=1的交点时取到最大值.联立得交点坐标为(,).将其代入目标函数得z max=.由题意可得<2,又m>1,所以1<m<1+.故m的取值范围为(1,1+).。

2020年高中数学人教A版必修5 同步作业本《简单线性规划的应用》(含答案解析)

2020年高中数学人教A 版必修5 同步作业本《简单线性规划的应用》一、选择题1.有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( )A ．z=6x ＋4yB ．z=5x ＋4yC ．z=x ＋yD ．z=4x ＋5y2.某服装制造商有10 m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料和6 m 2的丝绸料，做一条裤子需要1 m 2的棉布料，2 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裙子需要1 m 2的棉布料，1 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x 条，裙子y 条，利润为z ，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤10，2x ＋y≤10，x ＋y≤6，x ，y ∈N z=20x ＋40yB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥10，2x ＋y≥10，x ＋y≤6，x ，y ∈Nz=20x ＋40yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤10，2x ＋y≤10，x ＋y≤6，z=20x ＋40y D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤10，2x ＋y≤10，x ＋y≤6，x ，y ∈Nz=40x ＋20y3.实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y≥0，则z=y －1x的取值范围是( )A ．[－1，0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1，1)4.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )A ．50，0B ．30，20C ．20，30D ．0，505.某学校用800元购买A 、B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少， A 、B 两种用品应各买的件数为( ) A ．2，4 B ．3，3 C ．4，2 D ．不确定6.某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如表所示：但国家每天分配给该厂的煤、电有限，每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，则该厂最大日产值为( )A ．120万元B ．124万元C ．130万元D ．135万元二、填空题7.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y≤0，x ＋2y －2≤0，则z=x ＋y 的最大值为________．8.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．9.满足|x|＋|y|≤2的点(x ，y)中整点(横纵坐标都是整数)有________个．三、解答题10.某研究所计划利用“神十一”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A ，B ，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？11.某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：问：该商场怎样确定空调或冰箱的月供应量，才能使总利润最大？最大利润是多少？12.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5 min，生产一个骑兵需7 min，生产一个伞兵需4 min，已知总生产时间不超过10 h．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？答案解析1.答案为：A ；解析：设需x 辆6吨汽车，y 辆4吨汽车．则运输货物的吨数为z=6x ＋4y ，即目标函数z=6x ＋4y.2.答案为：A ；解析：由题意可知选A.3.答案为：D ；解析：作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y)与点(0，1)连线l 的斜率，当直线l 过B(1，0)时k 1最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y=0平行，所以k l <1. 综上，k ∈[－1，1)．4.答案为：B ；解析：设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x ，y 亩，则总利润z=4×0.55x ＋6×0.3y－1.2x －0.9y=x ＋0.9y. 此时x ，y 满足条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤50，1.2x ＋0.9y≤54，画出可行域如图，得最优解为A(30，20)，故选B.5.答案为：B ；解析：设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧100x ＋160y≤800，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N *.求z=800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y)，用图解法求得整数解为(3，3)．6.答案为：B ；解析：设该厂每天安排生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，则日产值z=8x ＋12y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋3y≤56，20x ＋50y≤450，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图所示，把z=8x ＋12y 变形为一簇平行直线系l ：y=－812x ＋z12，由图可知，当直线l 经过可行域上的点M 时，截距z12最大，即z 取最大值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋3y ＝56，20x ＋50y ＝450，得M(5，7)，z max =8×5＋12×7=124，所以，该厂每天安排生产甲产品5吨，乙产品7吨时该厂日产值最大，最大日产值为124万元．7.答案为：32；解析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数z=x ＋y 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时取得最大值，即z max =1＋12=32.8.答案为：216 000；解析：设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件，利润之和为z 元，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y≤150，x ＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，x ≥0，y ≥0① 目标函数z=2 100x ＋900y.二元一次不等式组①等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y≤30010x＋3y≤900，5x ＋3y≤600，x ≥0，y ≥0.②作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如图)，即可行域．将z=2 100x ＋900y 变形，得y=－73x ＋z 900，平行直线y=－73x ，当直线y=－73x ＋z900经过点M 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600得M 的坐标(60，100)．所以当x=60，y=100时，z max =2 100×60＋900×100=216 000. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216 000元．9.答案为：13；解析：|x|＋|y|≤2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2（x≥0，y ≥0），x －y≤2（x≥，y<0），－x ＋y≤2（x<0，y ≥0），－x －y≤2（x<0，y<0），作出可行域，为如图所示的正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个．10.解：设“神十一”宇宙飞船搭载产品A ，B 的件数分别为x ，y ，最大收益为z ，则目标函数为z=80x ＋60y ，根据题意可知，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y≤300，10x ＋5y≤110，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y≤30，2x ＋y≤22，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域如图阴影部分所示，作出直线l ：80x ＋60y=0，并平移直线l ，由图可知，当直线过点M 时，z 取得最大值，解⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝30，2x ＋y ＝22，得M(9，4)，所以z max =80×9＋60×4=960，即搭载A 产品9件，B 产品4件，可使得总预计收益最大，为960万元．11.解：设空调和冰箱的月供应量分别为x ，y 台，月总利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧3 000x ＋2 000y≤30 000，500x ＋1 000y≤11 000，x ，y ∈N *，z=600x ＋800y ，作出可行域(如图所示)．因为y=－34x ＋z 800，表示纵截距为z 800，斜率为k=－ 34的直线，当z 最大时z 800最大，此时，直线y=－34x ＋z800必过四边形区域的顶点．由⎩⎪⎨⎪⎧3 000x ＋2 000y ＝30 000，500x ＋1 000y ＝11 000，得交点(4，9)，所以x ，y 分别为4，9时，z=600x ＋800y=9 600(元)．所以空调和冰箱的月供应量分别为 4台、9台时，月总利润最大，最大值为9 600元．12.解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润W=5x ＋6y ＋3(100－x －y)=2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4（100－x －y ）≤600，100－x －y≥0，x ∈N ，y ∈N ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y≤200，x ＋y≤100，x ∈N ，y ∈N.目标函数为W=2x ＋3y ＋300，如图所示，作出可行域，初始直线l 0：2x ＋3y=0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50. 最优解为A(50，50)，所以W max =550(元)．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．。

人教版A版高中数学高二版必修5习题 .1 简单的线性规划问题

[A 基础达标]1.目标函数z ＝－3x ＋5y ，将其看成直线方程时，z 的意义是( ) A ．该直线在y 轴上的截距 B ．该直线在y 轴上的截距的5倍 C ．该直线在x 轴上的截距 D ．该直线在x 轴上的截距的5倍解析：选B 将目标函数z ＝－3x ＋5y 变形得y ＝35x ＋z5，所以z 的意义是该直线在y 轴上的截距的5倍，故选B.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0x ≥1，，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43D ．4解析：选D. 由⎩⎨⎧x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，x ≥1作出可行域如图：当直线y ＝3x －z 过点A (2，2)点时，截距－z 最小，此时z 有最大值．z 最大值＝3×2－2＝4.3．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则目标函数z ＝x ＋2y 取最大值时的最优解是( )A.⎝⎛⎭⎫53，0 B.⎝⎛⎭⎫－12，－1 C.⎝⎛⎭⎫13，23D ．(2，－1)解析：选C. 作出满足约束条件的可行域(如图中阴影部分所示)．平移直线x ＋2y ＝0，当其经过点C ⎝⎛⎭⎫13，23时，目标函数z ＝x ＋2y 取得最大值，故最优解是⎝⎛⎭⎫13，23，故选C.4．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域(包括边界)，则2x －y 的最小值为( )A ．－6B ．－2C ．0D ．2解析：选A. 画出可行域，如图所示，解得A (－2，2)，设z ＝2x －y ，把z ＝2x －y 变形为y ＝2x －z ，则直线经过点A 时z 取得最小值．所以z min ＝2×(－2)－2＝－6，故选A.5．给出平面区域如图，其中A (1，1)，B (2，5)，C (4，3)，若使目标函数z ＝ax －y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是( )A .23 B ．1 C ．4D.32解析：选A. 目标函数z ＝ax －y (a >0)，可变形为y ＝ax －z ，这是斜率为a (a >0)，在y 轴上截距为－z 的一组平行直线，由图象知，当直线y ＝ax －z (a >0)一部分与边界AC 重合时，线段AC 上的点都使－z 取得最小值，即z 取得最大值，此时最优解有无数个，所以a ＝k AC ＝3－14－1＝23，故选A. 6．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤3，－1≤x －y ≤0，则z ＝2x －y 的最大值为________．解析：作出可行域如图阴影部分所示．作直线2x －y ＝0，并向右平移，当平移至直线过点B 时，z ＝2x －y 取最大值．而由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＝0，可得B (3，3)．所以z max ＝2×3－3＝3.答案：37．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，3x ＋2y ≤12，0≤x ≤3，0≤y ≤4，则使得目标函数z ＝6x ＋5y 的值最大的点(x ，y )是________．解析：画可行域，如图所示．由z ＝6x ＋5y 得y ＝－65x ＋z5.因为－32<－65<－1，所以当直线6x ＋5y －z ＝0过点 A (2，3)时，z 最大为27. 答案：(2，3)8．(2015·高考全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y x的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影所示，因为 yx 表示过点(x ，y )与原点(0，0)的直线的斜率，所以点(x ，y )在点A 处时yx最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.所以A (1，3)．所以yx 的最大值为3.答案：39．设z ＝2y －2x ＋5，其中x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤0，－2≤y ≤0，x －2y ≥1，求z 的最大值和最小值．解：作出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示，平移直线2y －2x ＝0，当其经过点A (－1，－1)时，z 取得最大值，z max ＝2×(－1)－2×(－1)＋5＝5，当其经过点C(0，－2)时，z 取得最小值， z min ＝2×(－2)－2×0＋5＝1.10.已知f (x )＝(3a －1)x ＋b －a ，x ∈[0，1]，若f (x )≤1恒成立，求a ＋b 的最大值．解：因为f (x )≤1在[0，1]上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （0）≤1，f （1）≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧b －a －1≤0，2a ＋b －2≤0，将a ，b 对应为平面aOb 上的点(a ，b )，则其表示的平面区域如图所示，其中A ⎝⎛⎭⎫13，43，求a ＋b 的最大值转化为在约束条件下，目标函数z ＝a ＋b 的最值的线性规划问题，作直线a ＋b ＝0，并且平移使它通过可行域内的A 点，此时z ＝a ＋b 取得的最大值为53.[B 能力提升]1．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A.14 B.12 C ．1D ．2解析：选B. 先根据约束条件画出可行域，若z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，将最大值转化为y 轴上的截距，当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，所以B (1，－1)．将B 点坐标代入直线y ＝a (x －3)得，a ＝12，故选B.2．设点P (x ，y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －2y ＋1≥0，x ＋y ≤3所表示的平面区域内的任意一点，向量m ＝(1，1)，n ＝(2，1)，点O 是坐标原点，若向量OP →＝λm ＋μn (λ，μ∈R )，则λ－μ的取值范围是________．解析：画出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示．由题意，可得(x ，y )＝λ(1，1)＋μ(2，1)＝(λ＋2μ，λ＋μ)，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋2μ，y ＝λ＋μ，令z ＝λ－μ＝－2(λ＋2μ)＋3(λ＋μ)＝－2x ＋3y ，变形得y ＝23x ＋z 3.当直线y ＝23x ＋z3过点A (－1，0)时，z 取得最大值，且z max ＝2；当直线y ＝23x ＋z3过点B (3，0)时，z 取得最小值，且z min＝－6.故λ－μ的取值范围是[－6，2]．答案：[－6，2]3．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，求目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4，交点为B (4－s ，2s －4)，其他各交点分别为A (2，0)，C (0，s )，C ′(0，4)． (1)当3≤s ＜4时，可行域是四边形OABC ，此时7≤z max ＜8； (2)当4≤s ≤5时，可行域是△OAC ′，此时z max ＝8.由(1)，(2)可知目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是[7，8]．4．(选做题)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －3y ≤－4，3x ＋5y ≤30.(1)求目标函数z ＝2x ＋y 的最大值和最小值．(2)若目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，求a 的值．解：作出可行域如图所示．(1)作直线l ：2x ＋y ＝0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A 点时，z 取最小值；当平移直线过可行域内的B 点时，z 取得最大值．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －3y ＝－4，得A ⎝⎛⎭⎫1，53.解⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝－4，3x ＋5y ＝30，得B (5，3)．所以z max ＝2×5＋3＝13，z min ＝2×1＋53＝113.(2)易知a >0.一般情况下，当z 取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线z ＝ax ＋y 与直线3x ＋5y ＝30重合时，线段BC 上的任意一点均使z 取得最大值，此时满足条件的点即最优解有无数个．又k BC ＝－35，所以－a ＝－35，所以a ＝35.。

人教版A版高中数学必修5：简单的线性规划问题(1)

欲求最大值或求最小值的函数。若目标函数是关于变量x、y的一次解析式，则称为线性目标函数.
最优解：
使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
模型
x y

y

2
2x y 12
y y=x
心安 B
C
A
y=2
向远 O
x
y=-2x+12
变式一
变式二
若目标函数为 z 3x y ，
代数
二元一次不等式组目标函数 z= x+y
z的最值
几何
平面区域
数形
结
直线 y= -x+z
合
y轴截距的最值
谢谢观看
问题 1.列出有序实数对 (x, y) 满足的二元一次不等式组.
问题 2.画出二元一次不等式组所代表的平面区域？
x y
2yx2y 12

x

0
y 0
y y=x
B
C
A
y=2
O
x
y=-2x+12
x y
2yx2y 12

x

0
y 0
若目标函数为 z 2x+y ，
求 z 的最大值、最小值和取值范围.
求 z 的最大值.
y y=x
B
C
A
y=2
O
x
y=-2x+12
变式三
若目标函数为 z ax y(2 a 4) ，
并且 z 的最大值为 17，求 a 的值;
y y=x
B C
A 2020 y=2
O
x
y=-2x+12

2020年高中数学人教A版必修5 课后作业本《简单的线性规划问题》(含答案解析)

2020年高中数学人教A 版必修5 课后作业本《简单的线性规划问题》一、选择题1.在△ABC 中，三顶点分别为A(2,4)，B(-1,2)，C(1,0)，点P(x ，y)在△ABC 内部及其边界上运动，则m=y-x 的取值范围为( )A ．[1,3]B ．[-3,1]C ．[-1,3]D ．[-3，-1]2.若变量x 、y 满足约束条件Error!，则z=2x-y 的最小值为( )A ．-1B ．0C ．1D ．23.已知x ，y 满足Error!且z=2x ＋4y 的最小值为-6，则常数k=( )A ．2B ．9C ．3D ．0104.已知变量x ，y 满足Error!则x 2＋y 2的取值范围是( )A ． [13,40]B ．[13,40)C ．(13,40)D ．(13,40]5.已知▱ABCD 的三个顶点为A(-1,2)，B(3,4)，C(4，-2)，点(x ，y)在▱ABCD 的内部，则z=2x-5y 的取值范围是( )A ．(-14,16)B ．(-14,20)C ．(-12,18)D ．(-12,20)6.设O 为坐标原点，A(1,1)，若点B(x ，y)满足Error!则·取得最小值时，点B 的个数是OA → OB → ( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个7.已知a ，b 是正数，且满足2<a ＋2b<4.那么a 2＋b 2的取值范围是( )A ．(，) B ．(，16) C ．(1,16) D ．(，4)4516545165二、填空题8.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．9.若x，y满足约束条件Error!，则z=3x＋y的最大值为________．10.已知x，y满足约束条件Error!则x2＋y2的最小值是________．11.已知实数x，y满足不等式组Error!目标函数z=y-ax(a∈R)．若取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是________．12.给定区域D：Error!令点集T={(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z=x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．三、解答题13.已知实数x，y满足Error!(1)求不等式组表示的平面区域的面积；(2)若目标函数为z=x-2y，求z的最小值．14.某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m2，每张可作A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m2，每张可作A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)15.已知Error!(1)z=x 2＋y 2-10y ＋25的最小值；(2)z=的范围．y ＋1x ＋1答案解析1.答案为：C ；解析：直线m=y-x 的斜率k 1=1≥k AB =，且k 1=1＜k AC =4，23∴直线经过点C(1,0)时m 最小，为-1，经过点B(-1,2)时m 最大，为3.2.答案为：A ；解析：由约束条件作出可行域如图所示，由图可知，目标函数在点A 处取得最小值．联立Error!，解得Error!，∴A(0,1)，所以z=2x-y 在点A 处取得最小值为2×0-1=-1.3.答案为：D ；解析：由题意知，当直线z=2x ＋4y 经过直线x=3与x ＋y ＋k=0的交点(3，-3-k)时，z 最小，所以-6=2×3＋4×(-3-k)，解得k=0.4.答案为：A ；解析：作出可行域如图阴影部分所示．x 2＋y 2可以看成点(0,0)与点(x ，y)距离的平方，结合图形可知，点(0,0)与可行域内的点A(2,3)连线的距离最小，即x 2＋y 2最小，最小值为13；点(0,0)与可行域内的点B(2,6)连线的距离最大，即x 2＋y 2最大，最大值为40.所以x 2＋y 2的取值范围为[13,40]．5.答案为：B ；解析：如图，由▱ABCD 的三个顶点A(-1,2)，B(3,4)，C(4，-2)可知D 点坐标为(0，-4)，由z=2x-5y 知y=x-，∴当直线y=x-过点B(3,4)时，z min =-14.25z 525z 5当直线y=x-过点D(0，-4)时，z max =20.25z 5∵点(x ，y)在▱ABCD 的内部不包括边界，∴z 的取值范围为(-14,20)．6.答案为：B ；解析：如图，阴影部分为点B(x ，y)所在的区域．∵·=x ＋y ，令z=x ＋y ，则y=-x ＋z.OA → OB → 由图可知，当点B 在C 点或D 点时，z 取最小值，故点B 的个数为2.7.答案为：B ；解析：原不等式组等价为Error!，做出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，a 2＋b 2表示区域内的动点P(a ，b)到原点距离的平方，由图象可知当P 在D 点时，a 2＋b 2最大，此时a 2＋b 2=42=16，原点到直线a ＋2b-2=0的距离最小，即d==，|－2|1＋2225所以a 2＋b 2=d 2=，即a 2＋b 2的取值范围是<a 2＋b 2<16，选B.45458.答案为：27；解析：设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，则获得的利润为z=5x ＋3y.由题意得Error!可行域如图阴影所示．由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x=3，y=4，z=5×3＋3×4=27(万元)．9.答案为：4；解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：3x＋y=0，平移直线l0，当直线l：z=3x＋y过点A时，z取最大值，由Error!解得A(1,1)，∴z=3x＋y的最大值为4.10.答案为：5；解析：画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示，x2＋y2根据表示可行域内一点到原点的距离，可知x2＋y2的最小值是|AO|2.由Error!得A(1,2)，所以|AO|2=5.11.答案为：(1，＋∞)；解析：如图所示，依题意直线x＋y-4=0与x-y＋2=0交于A(1,3)，此时取最大值，故a＞1.12.答案为：6；解析：画出平面区域D，如图中阴影部分所示．作出z=x ＋y 的基本直线l 0：x ＋y=0.经平移可知目标函数z=x ＋y 在点A(0,1)处取得最小值，在线段BC 处取得最大值．而集合T 表示z=x ＋y 取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段BC 上共有5个整点，分别为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故T 中的点共确定6条不同的直线．13.解：画出满足不等式组的可行域如图所示：(1)易求点A 、B 的坐标为：A(3,6)，B(3，-6)，所以三角形OAB 的面积为：S △OAB =×12×3=18.12(2)目标函数化为：y=x-z ，作图知直线过A 时z 最小，可得A(3,6)，1212∴z min =-9.14.解：设用甲种钢板x 张，乙种钢板y 张，依题意Error!钢板总面积z=2x ＋3y.作出可行域如图所示．由图可知当直线z=2x ＋3y 过点P 时，最小．由方程组Error!得Error!.所以，甲、乙两种钢板各用5张．15.解：作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．(1)z=x 2＋(y-5)2表示可行域内任一点(x ，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M 作直线AC的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z 的最小值是|MN|2=.92(2)z=表示可行域内任一点(x ，y)与定点Q(-1，-1)连线的斜率，y －－1 x －－1因为k QA =2，k QB =，故z 的范围为.12[12，2]。

人教版高中数学高二人教A版必修5练习 .1简单的线性规划问题

第三章不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.2 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题A级基础巩固一、选择题1．若变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，x＋y≤1，y≥－1，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝()A．5 B．6 C．7 D．8解析：画出可行域，如图阴影部分所示．由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z.由⎩⎨⎧y＝x，y＝－1，得⎩⎨⎧x＝－1，y＝－1，所以A(－1，－1)．由⎩⎨⎧x＋y＝1，y＝－1，得⎩⎨⎧x＝2，y＝－1，所以B(2，－1)．当直线y＝－2x＋z经过点A时，z min＝2×(－1)－1＝－3＝n，当直线y＝－2x＋z经过点B时，z max＝2×2－1＝3＝m，故m－n＝6.答案：B2．设变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y≥2，2x＋y≤4，4x－y≥－1，则目标函数z＝3x －y的取值范围是()A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1C.[]－1，6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32解析：作出可行域如图所示．l o：3x－y＝0，在可行域内平移l0，可知在A点处z取最小值为－32，在B点处z取最大值为6.答案：A3．已知实数x，y满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≤1，2x－2y＋1≤0，若目标函数z＝mx －y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为()A．1 B.12C．－12D．－1解析：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个．答案：A4．若实数x，y满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－2≤0，y－1≤0，x＋2y－a≥0，目标函数t＝x－2y 的最大值为2，则实数a的值是()A．0 B．1 C．2 D．3解析：作出满足条件的可行域(如图)，由目标函数t＝x－2y，得直线y＝12x－12t在点(2，a－22)处取得最大值，即t max＝2－2·a－22＝4－a＝2，得a＝2.答案：C5．设关于x，y的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x－y＋1＞0，x＋m＜0，y－m＞0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2.求得m的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53 解析：由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域，要使区域内存在点P (x 0，y 0)，使x 0－2y 0＝2成立，只需点A (－m ，m )在直线x －2y －2＝0的下方即可，即－m －2m －2＞0，解得m ＜－23，故选C.答案：C 二、填空题6．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最小值是________．解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，设t ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋t2，当x ＝0，y ＝0时，t min ＝0，z ＝3x ＋2y 的最小值为1.答案：17．已知x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x－y＋1≤0，2x－y－2≤0.则x2＋y2的最小值是________．解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据x2＋y2表示可行域内一点到原点的距离，可知x2＋y2的最小值是|AO|2.由⎩⎨⎧x＝1，x－y＋1＝0，得A(1，2)，所以|AO|2＝5.答案：58．若点P(m，n)在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－7≤0，x－2y＋5≤0，2x－y＋1≥0所确定的区域内，则n－m的最大值为________．解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为(1，3)，(2，5)，(3，4)，设目标函数为z＝y－x.则y＝x＋z，其纵截距为z，由图易知点P的坐标为(2，5)时，n－m的最大值为3.答案：3 三、解答题9．已知f (x )＝(3a －1)x ＋b －a ，x ∈[0，1]，若f (x )≤1恒成立，求a ＋b 的最大值．解：因为f (x )≤1在[0，1]上恒成立，所以⎩⎨⎧f （0）≤1，f （1）≤1，即⎩⎨⎧b －a －1≤0，2a ＋b －2≤0，将a ，b 对应为平面aOb 上的点(a ，b )，则其表示的平面区域如图所示，其中A ⎝⎛⎭⎪⎫13，43，求a ＋b 的最大值转化为在约束条件下，目标函数z ＝a ＋b 的最值的线性的规划问题，作直线a ＋b ＝0，并且平移使它通过可行域内的A 点，此时z ＝a ＋b 取得的最大值为53.10．某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产量不少于15吨．已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个．甲产品每1吨利润7万元，乙产品每1吨利润12万元，但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天各生产甲、乙两种产品多少，能使利润总额达到最大？解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，那么⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧9x＋4y≤300，4x＋5y≤200，3x＋10y≤300，x≥15，y≥15.z＝7x＋12y.作出以上不等式组的可行域，如下图所示．目标函数为z＝7x＋12y，变为y＝－712x＋z12，得到斜率为－712，在y轴上截距为z12，且随z变化的一簇平行直线．由图可以得到，当直线经过可行域上点A时，截距z12最大，z最大．解方程组⎩⎨⎧4x＋5y＝200，3x＋10y＝300得点A坐标为(20，24)．所以z max ＝7×20＋12×24＝428(万元)．即生产甲、乙两种产品分别为20吨，24吨时，利润最大，最大值为428万元．B 级能力提升1．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．2解析：法一：线性约束条件所表示的可行域如图所示．由⎩⎨⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2，1)处取得最小值，故2a ＋b＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4.法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2，1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0，0)到点(a ，b )的距离的平方，故当a 2＋b 2为原点到直线2a＋b－25＝0的距离时最小，所以a2＋b2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a2＋b2的最小值是4，故选B.答案：B2．当实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是____________．解析：画可行域如图所示，设目标函数z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，则a＞0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a＋1≤4，1≤a≤4即可，解得1≤a≤32.所以a的取值范围是1≤a≤32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，323．若x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≥1，x－y≥－1，2x－y≤2.(1)求目标函数z＝12x－y＋12的最值；(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围．解：(1)作出可行域如图所示，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)，平移初始直线y ＝12x ，过A (3，4)时z 取得最小值－2，过C (1，0)时，z 取得最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)由ax ＋2y ＝z ，得y ＝－a 2x ＋z2，因为直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2.故所求a的取值范围为(－4，2)．。

高中数学人教A版必修5精题精练：简单的线性规划问题

简单的线性规划问题【知识梳理】线性规划的有关概念题型一、求线性目标函数的最值【例1】设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C ．[－1,6]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32[解析]约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1所表示的平面区域如图阴影部分，直线y ＝3x－z 斜率为3.由图象知当直线y ＝3x －z 经过A (2,0)时，z 取最大值6，当直线y ＝3x －z 经过B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，z 取最小值－32，∴z ＝3x －y 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6，故选A.[答案] A 【类题通法】解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z 的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．【对点训练】1．设z ＝2x ＋y ，变量x 、y 满足条件⎩⎨⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z 的最大值和最小值．[解] 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，则得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，且随z 变化的一组平行直线．由图可以看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎨⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎨⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1,1)，∴z 最大值＝2×5＋2＝12，z 最小值＝2×1＋1＝3.题型二、求非线性目标函数的最值【例2】设x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值；(2)求v ＝yx －5的最大值与最小值．[解] 画出满足条件的可行域如图所示，(1)x 2＋y 2＝u 表示一组同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点x 2＋y 2的值都相等，由图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过(0,0)时，u 最小．又C (3,8)，所以u 最大值＝73，u 最小值＝0.(2)v ＝yx －5表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5,0)的斜率，由图可知，k BD 最大，k CD 最小，又C (3,8)，B (3，－3)，所以v 最大值＝－33－5＝32，v 最小值＝83－5＝－4. 【类题通法】非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．(2)常见代数式的几何意义主要有： ①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离；(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离．②yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率；y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．【对点训练】2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0.则yx 的最大值是________，最小值是________．[解析] 由约束条件作出可行域(如图所示)，目标函数z ＝yx 表示坐标(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点C 与O 连线斜率最大；B 与O 连线斜率最小，又B 点坐标为(52，92)，C 点坐标为(1,6)，所以k OB ＝95，k OC ＝6.故y x 的最大值为6，最小值为95. [答案] 6 95题型三、已知目标函数的最值求参数【例3】若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －a ≥0，目标函数t ＝x －2y 的最大值为2，则实数a 的值是________． [解析] 如右图，由⎩⎨⎧x ＝2，x ＋2y －a ＝0. 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝a －22，代入x －2y ＝2中，解得a ＝2.[答案] 2 【类题通法】求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想、方法求解．同时要搞清目标函数的几何意义．【对点训练】3．已知x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ＋k ≥0.且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k ＝( )A ．2B ．9C ．310D ．0[解析] 选D 由题意知，当直线z ＝2x ＋4y 经过直线x ＝3与x ＋y ＋k ＝0的交点(3，－3－k )时，z 最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k )，解得k ＝0.题型四、简单的线性规划问题的实际应用【例4】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？[解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎨⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .二元一次不等式组等价于⎩⎨⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图．作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立⎩⎨⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得x ＝100，y ＝200.∴点M 的坐标为(100,200)．∴z 最大值＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)．因此，该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．【类题通法】利用线性规划解决实际问题的步骤是：①设出未知数(当数据较多时，可以列表格来分析数据)；②列出约束条件，确立目标函数；③作出可行域；④利用图解法求出最优解；⑤得出结论．【对点训练】4．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．解析：可设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，目标函数为z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为：z 最小值＝3×1＋6×2＝15.答案：15 【练习反馈】1．z ＝x －y 在⎩⎨⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0,1)B ．(－1，－1)C ．(1,0)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12解析：选C 可以验证这四个点均是可行解，当x ＝0，y ＝1时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝－1时，z ＝0；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝12，y ＝12时，z ＝0.排除选项A ，B ，D ，故选C.2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－6解析：选C 由约束条件作出可行域如图：由z ＝x ＋2y 得y ＝－12x ＋z 2，z2的几何意义为直线在y 轴上的截距，当直线y ＝－12x ＋z2过直线x ＝－1和x －y ＝1的交点A (－1，－2)时，z 最小，最小值为－5，故选C.3.已知实数x 、y 满足⎩⎨⎧y ≤2x ，y ≥－2x ，x ≤3，则目标函数z ＝x －2y的最小值是________．解析：不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示．目标函数可化为y ＝12x －12z ，作直线y ＝12x 及其平行线，知当此直线经过点A 时，－12z 的值最大，即z 的值最小．又A 点坐标为(3,6)，所以z 的最小值为3－2×6＝－9.答案：－94．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于________，最大值等于________．解析：点P (x ，y )满足的可行域为△ABC 区域，A (1,1)，C (1,3)．由图可得，|PO |最小值＝|AO |＝2；|PO |最大值＝|CO |＝10.答案：2105．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥32x －3y ≤3，求z ＝x ＋2y 的最小值．解：作出不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥32x －3y ≤3的可行域，如图所示．画出直线l 0：x ＋2y ＝0，平移直线l 0到直线l 的位置，使l 过可行域内某点，且可行域内其他点都在l 的不包含直线l 0的另外一侧，该点到直线l 0的距离最小，则这一点使z ＝x ＋2y 取最小值．显然，点A 满足上述条件，解⎩⎨⎧x ＋y ＝32x －3y ＝3得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫125，35，∴z 最小值＝125＋2×35＝185.。