第2章 数字图像基础

u0 ≥ 2um ，v0 ≥ 2vm ， （取样点的水平间隔、垂直间隔满足△x≤1/(2 um)，△y≤1/(2 vm) ）
则图像可被精确地恢复。
二维取样定理－－由抽样图像恢复原图像的必要条件。
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取样图像的频谱示例
采样后的频谱是原频谱Fi(u,v)在u,v平面内按△u=1/ △x, △v=1/ △y周期无限重复
h ( x, y )
(2.14)
15
i j

fi (i x, j y ) Sa[
( x i x)] Sa[ ( y j y )] x y
用理想低通滤波器H(u,v)提取取样图像的基本频谱F(u,v)的示意
Fp(u,v)
v
H(u,v)


i j
( x ix, y jy)
(2.6)
13

i j
f i (ix, jy) ( x ix, y jy)
冲激阵列的频谱
取样过程的频域分析
1 i j S (u, v) ( u , v ) (2.8) xy i j x y
(2.4)
表明了空间频率成分与二维图像信号之间的相互关系 实际二维图像频谱在频率域上有界，即其有用成分总是落在 一定的频率域范围之内 景物的复杂性有限，“雪花”点似的图像无实际意义 人眼、显示器对空间复杂性（频率）的分辨率有限度
9
2.1.2
取样和二维取样定理
f(x,y) f(i,j)
(2.19)
20
f(x,y)
y=0的截面
Fi(u,v) FT
v=0的截面
0
x s(x,y) FT
-um 0
um
u
实际取样脉冲
τ
S(u,v) Sa(uπ/2)
的不理想对重
建图像的影响
1
0
Δx
x
fp (x,y)
FT
-2us
-us
0
us
Fp(u,v)
2us u
Sa(uπ/2)
0
图2.3
x
-2us
-us -um 0 um us
图像信号的数字化：连续模拟函数表示的图像无法用计算机进行 处理，也无法在各种数字系统中传输或存储，必须将代表图像的 连续（模拟）信号转变为离散（数字）信号。
3
2.1 图像信号的数字化
图像信号的数字化:-- “三部曲”
连续（模拟）图像离散（数字）图像
取样－－图像在空间上的离散化的过程，得到取样点（像素：pixel）
量化－－取样点灰度值的离散化的过程 标量量化：将每个样值独立进行量化的方法
均匀量化：将校点灰度值等间隔分档 非均匀量化：将校点灰度值不等间隔分档
矢量量化：将若干样值联合起来作为一个矢量来量化的方法 编码－－用二进制数来表示量化后样值的过程
4
取样和量化示例
一个像素 数字化
模拟图像
1 2

一维信号f ( x )的傅氏变换F ( f ) ：
正变换
F ( x)


f ( x)e j 2 ux dx
(2.1)
反变换
f ( x)
1 2



F (u )e j 2 ux du
(2.2)
F(u)称为f(x)的频谱 物理意义：f(x)可由空域上的各谐波分量叠加得到
u Δv Δu
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3.亚取样和混叠效应
亚取样 减少数字图像的数据量； 亚取样 取样定理的条件不满足 混叠 取样图像频谱的各次谐波发生混叠 滤波器不可能将原图像的频谱分量滤取出来 图像的恢复中将会引入混叠失真
v
亚取样要尽量减少频谱混叠失真
u
LPF
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实例：菱形亚取样
50 49 47 45 43 41 39 37
一个数字图像的实例
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例如： 图像的某一样本幅度（灰度）为127.2， 则量化为127， 可用二进制长码 01111111（8比特）表示。
量化区间 量化步长 判决电平 量化电平 量化误差 量化噪声
e0
e1
量化电平
ei
e k－1
d0
d1
d2
判决电平
di
di+1
数字图像
5
512×512
256×256
128×128 64×64 16×16
图像的空间分辨率示例
若采样的空间或时间分辨率过低，则 重建时会丢失（细节）信息
6
图像的灰度分辨率示例
量化等级越多，则细节表现越丰富 64灰度
32灰度
16灰度
8灰度
4灰度
2灰度（黑白） 7
2.1.1
图像信号的频谱
取样后的图像
f p ( x, y) fi ( x, y) s( x, y)
DFT
i I j J

I
J
fi (i x, j y) p( x i x, y j y) (2.18)
Fp (u, v) Fi (u, v) [D(u, v) P(u, v)]
《数字图像处理与图像通信》
朱秀昌 刘 峰 胡 栋
北京邮电大学出版社
1
第2章
2.1 图像信号的数字化 2.2 数字图像的表示
数字图像基础
2.3 图像设备和器件
2
2.1 图像信号的数字化
人眼所感知的景物一般是连续的，我们称之为模拟图像。 模拟图像的连续性：
空间位置延续的连续性 每一位置上光强度变化的连续性
y 2Δy x
Vm
v Fi(u,v)
Um
v
1/(2Δy)
u
u
fi(x,y) 2Δx (a) (b) (c)
1/(2Δx)
图2.2 菱形亚取样及其频谱分布 物理解释：在自然场景图像中，水平、垂直的物体、线条、运动比其他方向 多，反映在频谱中，即水平和垂直的频率分量比其他方向多
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4.实际取样脉冲效应
存储RGB三原色数据而不使用调色板；
GIF格式：常用于网络传输，如网页中的GIF动画； JPEG格式：有损压缩，图像标准； PNG格式：
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2.2.1 数字图像文件格式
视频文件格式（Video）
AVI格式：音视频交织，占用存储大； DV-AVI格式：常用于数码摄像机（DC）； MOV格式：Apple公司推出，可由Quicktime播放； RM（VB）格式：流式视频文件格式，Real Player； MPEG格式：运动图像专家组，MPEG-2/4，mp4，DVD； DivX格式： ASF格式： WMV格式：
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2.2 数字图像的表示
2.2.1 数字图像文件格式
矢量图文件格式
不直接存储图像数据的每一点，而是用一组命令来描述包含对象的大 小、形状、位置、颜色等属性。如Office中的剪切画图像。
位图文件格式（Bitmap）
直接存储图像中每一个像素的亮度或颜色值。对灰度图像，1个字节 （Byte）存储一个像素的值；对彩色图像，3个字节存储一个像素的 RGB颜色值。常见的位图格式如下： BMP格式：直接存储灰度值或颜色索引值，占用空间大； TIFF格式：可存放多幅图像，存储真彩色图像时与BMP类似，直接
2us u
21
实际取样脉冲的频谱
2.1.3 量化和编码
1、数字化“三部曲”：
取样：空间上被离散成为像素，像素值还是连续变化量；
量化：将像素的连续值转化为有限个离散值（均匀、非均匀量化）； 编码：赋予量化后的像素值以不同码字，形成数字图像。
2、量化误差（失真）：
以有限个离散值来近似表示无限个连续量，就一定会产生误差，称为量化误差； 由此产生的失真，称为量化失真或量化噪声。
1 F p (u, v) Fi (u iu, v jv) xy i j


取样后的频谱
(2.10)
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2. 从取样图像恢复原图像
满足取样定理条件(各频谱区域互不交叠) 用理想二维低通滤波器H(u,v)可完整地取出原图像频谱Fr(u,v) (2.12)
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二维图像f(x,y)的傅氏变换Ｆ(u,v) ：
1 F (u, v) 2 1 f ( x, y ) 2





f ( x, y )e j 2 ( ux vy) dxdy F (u , v)e j 2 ( ux vy) dudv
(2.3)


(2.7)
Fp (u, v) Fi (u, v) S (u, v)
1 i j F p (u , v) Fi (u , v) ( u , v ) xy i j x y
(2.9)
1 Fi (u iu, v jv) xy i j
dk－1 dk
量化示意图
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3.均匀量化误差、量化噪声、量化信噪比
（1）量化误Βιβλιοθήκη Baidu：e=真值－量化值。 e 相当于“噪声”，“量化噪声”。 （2）量化误差的均方值 设：n比特PCM编码，量化步长为1/2n ，取样值是均匀分布, 则可以证明：量化误差的均方值 （3）量化信噪比
Nq (
实际取样点阵列：
取样点阵列不是理想δ函数，有一定的宽度τ ； 取样点阵列不是无限伸展的。
产生的影响：
取样脉冲有τ宽度，重建图像误差产生高频失真，频谱按sinc函数衰减；
点阵非无限，图像重建时就会产生边界误差和模糊现象。
结果： 用理想低通滤波器不能无失真地恢复原来的模拟信号；
图2.1
取样图像的频谱
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取样过程的空域分析
用于取样的冲激阵列
s( x, y)
取样后图像＝连续图像＊取样阵列
i j
( x ix, y jy)


(2.5)
f p ( x, y) f i ( x, y) s( x, y)
取样后的图像
f p ( x, y ) f i ( x, y ) s ( x , y ) f i ( x , y )
98 97 95 93 91 89 87 85
92 91 89 87 85 83 88 79
95 94 92 90 88 86 84 82
80 79 77 75 73 71 69 67
75 74 72 70 68 66 64 62
82 81 79 77 75 73 71 69
68 67 65 63 61 59 57 55
iI jJ
(2.17)
(2.16)
s( x, y) d ( x, y) p( x, y)
i I j J
( x i x, y j y)
有限取样阵列 取样后图像＝连续图像＊取样阵列
f p ( x, y) f i ( x, y) s( x, y)
f ( x1 , y 1 )
0
f ( i1 , j1 ) y i1 i (b)数字图像离散空间（像素）
0
y1
j1
j
x1
x (a) 原图像连续空间
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1.二维取样定理
回忆一维取样定理。……
模拟图像信号f(x,y)的频谱F(u,v)在水平方向、垂直方向的截止频率分别为
um、vm ，只要水平方向、垂直方向的空间取样频率
Fr Fp H (u, v)
IDFT
f r ( x, y ) f p ( x , y ) h ( x , y )
1 H (u, v) 0
| u | um 和 | v | vm else
(2.11)
恢复的图像


i j




fi (i x, j y ) ( x i x, y j y )
但只要满足取样定理，可用近似恢复出原模拟信号。
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实际取样脉冲效应的分析 实际取样脉冲阵列s(x,y)是截短δ函 数阵列d(x,y)通过冲激响应为p(x,y) 的线性滤波器产生的：
有限取样δ 阵列
d ( x, y)
i I j J
( x ix, y jy)
I J
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2、量化失真：尤其在亮度值变化缓慢的（平坦）区域产生 “伪轮廓”失真
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经过取样、量化和编码以后，形成数字图像 均匀量化：
量化层数K取为用2的n次幂，即K=2n ；
像素值用n比特自然二进制码表示，形成PCM编码；
通常图像采用8比特（bit）量化，28=256，即 灰度图像有256个灰度等级。 像素值的范围[0, 255]，步长为1，表示从黑色 到白色
1 1 2 )( n ) 12 2
(2.19)
SPP (12 2n )2 10lg 10.8 6n Nq 1
(dB) (2.20)
可见：每抽样的编码比特数 n 直接关系到数字化的图像质量，每增减1比特，
就使量化信噪比增减约6分贝。 一般应用：电视广播、视频通信等，8 bit量化，已能满足。 特殊应用：高质量静止图像、遥感图像等，10比特以上精度，如12比特。