第2章数字图像基础

矢量量化:将图像的每n个像素看成一个n
维矢量，将每个n维矢量取值空间划分为 若干个子空间，每个子空间用一个代表矢 量来表示该子空间所有的矢量值。
◆图像量化的基本要求是在量化噪声对图 像质量影响可以忽略的前提下的最小量 化层进行量化。
均匀量化：对量化区间的值进行均匀划分， 并以量化区间的中点作为量化器的输出值。
数字图像处理
Digital Image Processing
数字图像处理
第2章 数字图像基础
主要介绍图像信号的数 字化以及数字图像的表 示方式。
第2章 数字图像基础
2.1 图像信号的数字化 2.2 数字图像表示
上节知识回顾
一、什么是图像？
“图”是物体透射或反射光的分布，是 客观存在的。“像”是人的视觉系统对 图的接收在大脑中形成的印象或认识， 是人的感觉。“图像”是两者的结合。
else


f
x,
y hx,
y





f
, hx
,
y
dd
积分性质：

f (,)(x , y )dd f (x, y)
数学知识回顾
筛选性质：



f x, y x x0, y y0 dxdy
例：如何从取样图像的频域信息中恢复原来 图像？
当频谱互不交叠，采用理想的二维方形滤波器， 其特性为：
1 H (u, v) 0
u 1/ 2x, v 1/ 2y else
该方形低通滤波器的冲激响应h(x,y)是H(u,v)的 傅立叶反变换
h(x, y) H (u, v)e j2 (uxvy)dudv
实的际 包的 络采 按S样a信(u号)频函谱数在衰u减=0，和在2采 样/ 脉之冲内
宽度的角频率2点 2 / 衰减为零。
二. 量化
量化是将各个像素所含的明暗信息离散
化后，用数字来表示。一般的量化值为 整数。 充分考虑到人眼的识别能力之后，目前 非特殊用途的图像均为8bit量化，即采用 0 ~ 255的整数来描述“从黑到白”。 在3bit以下的量化，会出现伪轮廓现象。
fi (x, y) p(x ix, y jy)
iI jJ
根据卷积定理可得取样图像的频谱：
Fp(u,v)=Fi(u,v)*[D(u,v)·P(u,v)]
f(x,y) y=0的截面
0
τ
1 s(x,y)
FT x
FT
Fi(u,v) v=0的截面
-um 0 um
u
S(u,v)
0 Δx
fp (x,y)
g0
g1
g2 g3
g6 … gL-1
g4
g5
f
zf0min
z1
z2
z7 … zL
z3 z4
z5
z6
fmax
标量量化线段表示
设一连续变化的变量f，其动态变化范围[fmin, fmax]分成L个间隔，分割点为zi (i=0,1,2,…,L)， zi通常称为判决电平。任何f∈ [zi ,zi+1 ]都用量化 电平gi来代替，即量化器可以表示成:
恢复图像为:
fr (x, y) f p (x, y) h(x, y)

fi (ix, jy) (x ix, y jy) h(x, y) i j




i j
fi
(ix,
jy) sin
c[ x
(x
ix)]sin
0 Δ
t
-1/Δ 0 uc1/Δ u
(f) 采样后信号频谱Fs(u) (e) 采样后信号fs(t)
过大的采样间隔导致采样信号频谱出现混叠效应
亚采样导致混叠失真，通过菱形亚取样 来减少混叠失真效果
统计表明，自然图像频谱主要分布在以原点 为中心、4个顶点在u/v轴上的一个菱形区域。
• 菱形亚采样
取样后的频谱Fp(u,v)是原频谱Fi(u,v)在 u,v平面上按照△u、△v周期无限重复。
原始模拟图像fi(x,y),其频率域上的有限傅立叶频谱为 Fi(u,v)。
图像 fi(x,y)
Fi(u,v)
Fp(u,v) v
y
um vmm
x Δy
v
um u
vm
u
Δv
Δx
(a)
(b)
取样图像的频谱
Δu
(c)
y
v2
Δy
v1
x
u2
u2 u1
1/Δy u1
2Δx
1/2Δx
(a)菱形采样网格点
(b)菱形采样频谱
方形网格和菱形网格采样
菱形网格与间隔为Δx、Δy的正交取样相 比，它在水平方向的间隔减少了一倍， 是一种亚取样
适当的滤波器(菱形低通滤波器)将其基本 频谱部分滤出，以无失真（或失真较小） 地恢复原图像。
(四)：实际采样
设取样脉冲阵列是由(2I+1)×(2J+1)有限个相 同脉冲p(x,y)组成即取样脉冲阵列，即：
IJ
S(x, y) p(x ix, y jy) iI jJ
把S(x,y)理解成是由有限的δ函数阵列d(x,y) 通过冲激响应为p(x,y)的线性滤波器产生的， 可表示为：
f x0, y0




expj2ux

vydxdy

u,
v
一. 采样
一幅图像应取多少点才能完全由这些取样 点来重建原图像？
样点过多，增加了用于表示这些样点的信息 量；样点过少，则可能会丢失原图像所包含 的信息。因此最少采样点数应满足一定的约 束条件，即奈奎斯特采样定理。
二. 量化
量化在图像领域通常有用途：一是A/D 数字化，另一个起到压缩数据的功能。 量化有两种方式：标量量化和矢量量 化 标量量化有两种方法：均匀量化和非 均匀量化。
标量量化:将图像中每一个样点的取值范
围划分成若干区间，并仅用一个数值代表 每个区间中所有的可能取值，每个样点的 取值是一个标量，且独立于其他的样点取 值。
x
-2us -us
FT
0 us Fp(u,v)
2us u
0
x
-2us -us -um 0 um us 2us u
实际取样脉冲的频谱
用脉宽为τ的周期序列采样，只要满足采 样定理，便可用低通滤波器从采样输出信 号频谱中恢复出模拟信号；
在理想二维δ函数序列采样的情况下，采 样信号频谱的各次谐波是等幅的；
x
Δx
(a)
二维采样网格 (b)

s(x, y) (x ix, y jy) i j =
取样后图像在空域和频域的表示
令fi(x,y)为一连续函数，频域上占有限带宽，空间 上无限大。理想空间取样函数对连续的图像进行采
样后的图像为：

f p (x, y) fi (x, y) s(x, y) fi (x, y)
2.1 图像信号的数字化
采样:在空间上用有限的采样点代替连续无限的 坐标值。
量化:对每个取样点灰度值的离散化过程
采样要满足奈奎斯特采样定理。
数学知识回顾
δ函数定义：

(x,
y)


0
卷积定义：
x y 0


(x, y)dxdy (x, y)dxdy 1
(u

i x
,v

j y
)

1
xy
i


j

Fi

(u
iu,v
jv)

uv Fi (u iu,v jv) i j
取样后频谱为：

Fp (u, v) uv Fi (u iu, v jv) i j
二、图像质量含义
图像逼真度：被评价图像与原标准图像 的偏离程度 。 图像可懂度：指图像能向人或机器提供 信息的能力。
三、主客观评价方法
安徽建筑工业学院
2.1 图像信号的数字化
数字图像的描述是指如何用一个数 值方式来表示一幅图像。
数字图像是图像的数字表示，像素 是其最小的单位。
2.1 图像信号的数字化
(一)、图像信号的频谱
F (u, v) 1 f (x, y)e j2 (uxvy)dxd空y 间频率成分
2
和二维图像的
相互关系
f (x, y) 1 F (u, v)e j2 (uxvy)dudv
2
实际二维的图像信号的傅立叶变换在频域上是有 界的，即信号的频谱的有用成分总落在一定的频 域范围内。
iI jJ
S(x, y)＝d(x, y) p(x, y) p(x ix, y jy) iI jJ
其中
iI jJ
d(x, y) (x ix, y jy) iI jJ
已取样的图像fp(x,y)可表示为
IJ
f p (x, y) fi (x, y) S(x, y)
0
x
f (x,y)
y
2.1 图像信号的数字化
所谓的图像数字化，是指将模拟图像经
过离散化之后，得到用数字表示的图像。 图像的数字化包括空间离散化（即采样）
和明来自百度文库表示数据的离散化（即量化）。
2.1 图像信号的数字化
一、采样和量化 人眼感知的景物一般是连续的模拟
图像。即空间位置的延续性和光强度 变化的连续性。
Q(f)=gi i=0,1,2,…,L－1, f∈[zi，zi+1]
L个量化值需要用R=log2L个比特二进 制来表示，为了使量化比特数R取整数， 量化层数一般取L=2R。
对于均匀量化，量化间距相等，其值为
q=zi－zi-1=gi－gi-1=B/L， q又常称为量化步 长，量化范围B=fmax－fmin。此时判决电平 和量化电平分别为：
FSx, y 1 (u i ,v j )
xy i j
x y
空域上δ函数无穷阵列的傅立叶变换是频域中δ函数的无 穷阵列
取样后的频谱为：
Fp
(u, v)

F{
f
p
(x,
y)}

Fi
(u, v)

1 xy
i


j
（二）二维采样定理
图像的频谱Fi(u,v)在水平方向的截止频率为 um，在垂直方向的截止频率为vm，则只要水 平方向的空间采样频率u0≧2um，垂直方向的 空间采样频率v0≧2vm，即采样点的水平间隔 为⊿x≦1/2 um,垂直间隔为⊿y≦1/2vm，图像 可被精确地恢复。
二维采样网格
y
1 1
Δy
• 亚采样和混叠效应
f(t)
F(u)
0
t
(a) 时域连续信号f(t)
1 s(t)
uc
0
u
(b) 连续信号f(t)频谱F(u)
Ss(u)
…
…
…
…
0
t
Δ
(c) 间隔为Δ的采样函数s(t)
fs(t)
-1/Δ 0 1/Δ
u
(d) 采样函数s(t)频谱Ss(u)
Fs(u)
用任何滤波器都 无法提取信号
…
…
…
…
一. 采样
采样 是指将在空间上连续的图像转换成 离散的采样点（即像素）集的操作。
图像是二维分布的信息，采样是在 x轴和 y轴两个方向上进行的。
一般情况下， x轴方向与y轴方向的采样 间隔相同。
一. 采样
s(x)
1
…
…
0
x
Δx
图1 一维采样信号

s(x) (x nx)
n =
zi=i×q+fmin，gi=i×q+q/2+fmin 如果量化变量f是均匀分布，即概率密度函 数p(f)为常数 ：
p(
f
)

1/ B

0
f fmin , fmax
其它
则当量化层数足够多或量化间隔足够 小时，均匀量化器的均方误差为 ：
c[ y
(y

jy)]
重建图像fr(x,y)是原始图像fi(x,y)通过其取样 权值为sinc函数的线性组合。
(三)、频谱混叠和亚采样
满足采样定理正确恢复
fs(t)
N
…
…
0Δ
t
(a) Nyquist采样间隔
…
-1/Δ
Fs(u)
N …
0 uc 1/Δ u
(b) 采样后信号频谱Fs(u)
满足采样定理的采样信号频谱
(x ix, y jy)
i j

fi (ix, jy) (x ix, y jy) i j
在频域，它的频谱为
F {fp(x,y)}= F {fi(x,y)}* F {(S(x,y)} 式中“*”表示卷积，“F”表示傅立叶变换。
1
1
x y 2x e j2uxdu 2y e j2vydv sin c( x ) sin c( y )
1
1
x
y
2x
2y
恢复图像的频谱 Fr(u,v)= Fp(u,v) H(u,v)
从频域上恢复图像即对取样频谱经方形理想滤 波器后求傅立叶反变换得到恢复图像。