数学建模基础 12.4估计水塔的水流量
案例6 估计水塔水流量
f ( t )dt 335329 （加仑） f ( t )dt 336480 （加仑）
25.5 1.5
相差只约1%
[0，24]区间内检验
第一次充水 前总用水量 第一次充水后， 第二次充水前 总用水量 第一次充水 期间用水量 第二次充水 期间用水量
V1= 606125-514872=91253(加仑）
充水时间约为2.1189小时
3. 由Vi—ti关系产生水流量 fi—ti的关系
注：亦可以由Vi—ti关系拟合 V(t)，再求微商得到 f(t)
关于水流量 fi
Vi 1 Vi f i f (t i ) t i 1 t i V i V i 1 与 f i f (t i ) t i t i 1
水体积的误差为0.5% 用样条逼近的用水量其误差可用抽样计算得5.1%
一天 总量 误差
2 2 2 2 SV [ SV0 SV8.9678 SV p SV10.9542 SV20.8392
1
2 2 2 2 SV p SV 22.9581 SV23.88 SV[ 23.88 , 24 ] ]1 2
水泵工作的时间为32284秒（8.9678 小时）； 水泵结束时间为39435秒（10.9542小时）； 充水时间约为1.9864小时
水泵工作的时间为75021秒（20.8392 小时），水 位26.97英尺 第 二 次 充 水 水泵结束时间为82649秒（22.9581小时）, 补充水位35.50英尺
水流量值（表3）
时
（小时）
间
水 流 量
（加仑/小时）
时
（小时）
间
水流量
（加仑/小时）
时
历年美国数学建模(AMCM)问题
AMCM85问题-A 动物群体的管理在一个资源有限，即有限的食物、空间、水等等的环境里发现天然存在的动物群体。
试选择一种鱼类或哺乳动物(例如北美矮种马、鹿、免、鲑鱼、带条纹的欧洲鲈鱼)以及一个你能获得适当数据的环境，并形成一个对该动物群体的捕获量的最佳方针。
AMCM85问题-B 战购物资储备的管理钴对许多工业是必不可少的(1979年仅国防需要就占了全世界钴生产量的17％)，但是钴不产生在美国。
大部分钴来自政治上不稳定的构F地区。
见图85B-1，85B-2，85B-3。
1946年制订的战略和稀有作战物资存贮法令要求钴的储存量应保证美国能渡过三年战争时期。
50年代政府按要求存贮了，并在70年代卖掉了大部分贮量，而在70年代后期决定重新贮存，贮存的指标是8540万磅，到1982年获得了贮量的一半。
试建立一个战略金属钴的储存管理数学模型。
你需要考虑诸如以下的问题；贮量应多大?应以多大的比率来获得贮量?买这些金属的合理价格应该是多少?还要求你考虑诸如以下的问题，贮量达到多大时应开始减少贮存量?应以多大的比率来减少？卖出这些金属的合理价格应该是多少?应该怎样分配(附页中有关于钴的资源、价格、需求及再循环等方面的信息)关于钴有用信息：1985年政府计划需要2500万磅钴。
进行周而复始的生产经营，从而每年可生产600万磅钴。
1980年占总消耗量70银的120万磅钴再循环了，得到了重新处理。
AMCM86问题-A 水道测量数据表86A-1给出了在以码为单位的直角坐标为X，Y的水面一点处以英尺计的水Z．水深数据是在低潮时测得的。
船的吃水深度为5英尺。
在矩形区域(75，200)×(-50，150)里的哪些地方船要避免进入。
本题是由加州海军研究生院数学系的Richard Franke提供的，可阅他的论文Scattered Data Interpolation，Math，Comput.，38(1982)，18l-200。
水塔流量估计的数学建模
水塔流量估计的数学建模1. 引言水塔是现代城市供水系统中至关重要的组成部分，其作用是通过储存水源来保障城市居民日常用水，并且在有紧急情况时提供应急用水。
为了更好地保障全社会的用水需求，并降低供水系统建设和运营成本，对水塔的流量进行准确的估计和预测具有重要意义。
本文将探讨如何利用数学建模的方法对水塔流量进行估计和预测。
2. 水塔流量的影响因素水塔流量的大小受到多种因素的影响，主要包括以下几个方面：2.1 水塔容积水塔的容积越大，其流量也就越大。
因此，在进行水塔流量估计时，首先需要考虑其容积。
2.2 外部水压水塔的流量受到外部水压的影响。
如果外部水压较大，则水塔的流量也将较大。
2.3 水泵功率水泵功率的大小直接影响到水塔的流量大小。
水泵功率越大，水塔的流量也就越大。
2.4 关阀状态水塔流量还受到管道关阀状态的影响。
如果关阀状态较大，则水塔流量也将减小。
3. 水塔流量的数学建模方法水塔流量的数学建模方法主要包括以下几个步骤：3.1 收集数据收集水塔流量的相关数据，并对其进行初步的整理和分析。
3.2 设计建模方程根据已收集到的数据，设计合适的建模方程。
建模方程需要考虑到水塔容积、外部水压、水泵功率、关阀状态等多种因素。
3.3 参数估计利用已有的数据对建模方程中的参数进行估计。
参数估计是非常重要的一步，其准确性直接影响到模型的准确性和可靠性。
3.4 模型检验和优化使用已有的数据来对所建立的模型进行检验和优化。
检验过程中需要对模型的精度、准确性、鲁棒性等进行评估，如果出现问题，需要进行适当的调整。
4. 案例分析为了说明水塔流量估计的数学建模方法，我们以某市几座水塔为例进行分析。
4.1 收集数据在该市的几座水塔中，我们选取了其中一座水塔进行了数据的收集，主要包括该水塔的容积、水泵功率、外部水压等基本信息。
4.2 设计建模方程根据收集到的数据，我们设计了一个基础的建模方程，其中各项参数分别为：Q为流量，V为水塔容积，P为外部水压，H为水泵的扬程，K为关阀系数。
估计水塔的水流量
估计水塔的水流量摘要：数学建模方法是处理科学理论的一种经典方法，也是解决各类实际问题的常用方法。
文章采用曲线拟合的方法，并利用数学软件MATLAB对水塔流量进行计算，计算结果与实际记录基本吻合。
关键字：建模MATLAB 拟合求导积分1.实验问题美国某州的各用水管理机构要求各社区提供用水率（以每小时多少加仑计，英制单位下，1加仑=4.54596dm3，美制单位下，1加仑=3.78533dm3）以及每天所用的总用水量，但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，而只能以每小时测量水塔的水位代替，其精度在0.5%以内。
更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L时，水泵就启动向水塔重新充水直至某一最高水位H，但也无法得到水泵的供水量的测量数据。
因此，在水泵正在工作时，不容易建立水塔中水位与水泵工作时用水量之间的关系。
水泵每天向水塔充水一次或两次，每次大约2小时。
试估计在任何时候，甚至包括水泵正在工作的时间内从水塔流出的流量()f t，并估计一天的总用水量。
水塔是一个垂直圆柱体，高为40英尺，直径为57英尺。
下表给出了某个小镇某一天的真实数据。
2.实验分析2.1 计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度乘以水塔横截面积。
2.2 把时间分成5段：第1未供水段、水泵开启第1段、第2未供水段、水泵开启第2段、第3未供水段。
2.3 先直接对第1、2、3未供水段进行5次曲线拟合。
2.4 再对得到的曲线分别求导，取得流速（即单位时间内流出的水的高度）。
2.5 水泵开启第1、2段，分别在两端各取两个点，用时刻流速进行拟合得到这两段的流速。
2.6 流速乘以水塔横截面积就得到任何时刻的水流量。
2.7 对其进行分段积分，求和得到一天的总水流量。
3.程序设计与求解方法3.1 对表中数据进行处理数据的单位转换：x=[0,3316,6635,10619,13937,17921,21240,25223,28543,32284,39435,43318,46636, 49953,53936,57254,60574,64554,68535,71854,75021,85968,89953,93270];y=[31.75,31.10,30.54,29.94,29.55,28.92,28.50,27.87,27.52,26.97,35.50,34.45, 33.50,32.67,31.56,30.81,30.12,29.27,28.42,27.67,26.97,34.75,33.89,33.40]; t=x/3600; %时间单位为小时h=y/3.281; %水位高度单位为米水塔横截面积为a=pi*(57/2)^2;3.2 对第1段未供水段进行5次拟合x1=t(1:10);y1=h(1:10);f1=polyfit(x1,y1,5);t1=0:0.01:t(10);h1=polyval(f1,t1);plot(x1,y1,'o',t1,h1,'k');xlabel('时间(h)');ylabel('水位(m)');title('第一未供水时段的时间水位图')3.3 对第2段未供水段进行5次拟合x2=t(11:21);y2=h(11:21);f2=polyfit(x2,y2,5);t2=t(11):0.01:t(21);h2=polyval(f2,t2);plot(x2,y2,'o',t2,h2,'r');xlabel('时间(h)');ylabel('水位(m)');title('第二未供水时段的时间水位图')3.4 对第3段未供水段进行5次拟合x3=t(22:24);y3=h(22:24);f3=polyfit(x3,y3,5);t3=t(22):0.01:t(24);h3=polyval(f3,t3);plot(x3,y3,'o',t3,h3,'r');xlabel('时间(h)');ylabel('水位(m)');title('第三未供水时段的时间水位图')3.5 对1、2、3未供水段进行求导，得到流速，再乘以水塔横截面积得流量b1=polyder(f1);%求导b2=polyder(f2);%求导b3=polyder(f3);%求导g1=-polyval(b1,t1)*a;%流速值再乘以水塔横截面积得流量g11=-polyval(b1,x1)*a;g2=-polyval(b2,t2)*a;%流速值再乘以水塔横截面积得流量g22=-polyval(b2,x2)*a;g3=-polyval(b3,t3)*a;%流速值再乘以水塔横截面积得流量g33=-polyval(b3,x3)*a;plot(x1,g11,'*',t1,g1,'c') %第一未供水段时间流量图plot(t2,g2) %第二未供水段时间流量图plot(t3,g3) %第三未供水段时间流量图3.6 求水泵开启第一段的时间流量图，取那段的前后两端各两个点的流速进行拟合，再乘以水塔横截面积得流量。
4 插值、拟合与数值微积分建模案例详解
d t1v kv2 0.75v 0.0255v2
车速 (英里/小时)
10 20
250
30
200
40
150
100
50
0
0
20
40
60
80
100
120
英 尺 /秒
“2秒准则”应修正为 “t 秒准
则车”速（英里/小时） 0~10 10~30
50 60 70 80
30~60
t（秒）
2
3
5
刹车时间 （秒） 1.5 2.25 3 3.75 4.5 5.25 6 6.7
表1给出的是某一天的测量数据，测量了28个时刻的 数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到 水位（表中用—表示），试建立数学模型，来估计居民 的用水速度和日用水量。
表1 水塔中水位原始数据
分析
日用水量
用水速度
数值微分
思考
每个时刻水塔中水的体积
每个时刻水塔中水的体积？ 居民的用水速的？ 日用水量？
离
动 最大制动力与车质量成正比，
距
常数
离 使汽车作匀减速运动。
假设与建模
1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和
d d1 d2
2. 反应距离 d1与车速 v成正比 t1为反应时间
d1 t1v
3. 刹车时使用最大制动力F， F d2= m v2/2 F m F作功等于汽车动能的改变;
返回
汽车刹车距离
美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：
背 • 正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时，
景
后面与前车的距离应增一个车身的长度。
MATLAB数学建模估计水塔的水流量问题Word版
估计水塔的水流量自动化12K2 许杨旸摘要：在估计某地区的用水速度和日总用水量的时候，在已知某时间t下的水位h，以及水塔直径，求出t时刻的水体积，由于没有具体函数，故用差商方法近似求出水体积对时间t的导数即用水速度，再利用三样条插值方法求出不同时刻的用水速度。
最终，通过数值积分方法求出日用水总量I。
符号及含义：t：时刻；h：水位高度；D：水塔直径；V：水体积；dV：水流速度；I：日用水总量。
一、提出问题某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单位时间的用水量）和日总用水量进行估计。
现有一居民区，其自来水是由一个圆柱形水塔提供，水塔高12.2m，塔的直径为17.4m。
水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水，一般水泵每天工作两次，按照设计，当水塔中的水位降至最低水位，约8.2m时，水泵自动启动加水；当水位升高到最高水位，约10.8m时，水泵停止工作。
表2给出的是某一天的测量数据，测量了28个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到水位（表中用—表示），试建立数学模型，来估计居民的用水速度和日用水量。
表2 水塔中水位原始数据二、求解问题1、水塔中的水体积计算求解的问题的关键是求解出用水的速度，即单位时间内的用水体积，由于水塔可以近似成圆柱体，所以水塔的体积V可近似成：V=π4D2ℎ式中D为水塔直径D=17.4m，h为水位高度。
其中，在三个无法得到水位的时刻，其水位高度用一个负数表示，即该时刻水位为负值，显然现实当中无法出现这样的情况，现在我们用-1表示其水位。
现在开始计算水塔的体积:输入t=[0 0.921 1.843 2.949 3.871 4.978 5.900 ...7.006 7.928 8.967 9.981 10.925 10.954 12.032 ...12.954 13.875 14.982 15.903 16.826 17.931 19.037 ...19.959 20.839 22.015 22.958 23.880 24.986 25.908];h=[9.677 9.479 9.308 9.125 8.982 8.814 8.686 ...8.525 8.388 8.220 -1 -1 10.820 10.500 ...10.210 9.936 9.653 9.409 9.180 8.921 8.662 ...8.433 8.220 -1 10.820 10.591 10.354 10.180];D=17.4；V=pi/4*D^2*h;最终求得V= [2.3011 2.2540 2.2133 2.16982.1358 2.0959 2.0654 2.0271 1.9946 1.9546-0.2378 -0.2378 2.5729 2.4968 2.42782.3627 2.2954 2.2373 2.1829 2.1213 2.0597 2.0053 1.9546 -0.2378 2.5729 2.5184 2.4620 2.4207]。
MCM-1991年A题估计水塔的水流量
MCM-1991年A题：估计水塔的水流量逼近观察数据的一维样条模型在实际工作中，我们常会碰到这样一种情况：我们需要或希望了解某一性质或特征的运动规律，但是由于测量仪器设备的落后或缺乏等原因无法直接得到它，而只能代之以观察到较易得到的在特定时刻或距离上的一些数据，一般来说，虽然这些观察数据不可避免地会带有观察误差，它们还是反映了该性质或特征的主要规律，剩下的问题就是如何建立一个合理的模型，对这些观察数据进行拟合逼近，恢复出原有的规律。
这类问题是一类很典型的对已知数据进行数值拟合来建模的模型问题。
对这类问题，建模的关键在于提出合理的假设，设计出较好的拟合方法，尽量减少因方法不当带来的误差。
在这一讲里，我们就AMCM-91A题进行讨论，详细讲解解这类问题的样条模型。
内容是这样安排的。
在第1节，我们提出问题并作出合理的假设，在第2节，我们介绍建模必备的数学理论，即三次样条函数的概念与基本性质，最后，在第3节，我们给出问题的详细解答，并比较该题当年获优秀论文奖的三种解答的优点。
一、问题与假设在这一节里，我们先叙述AMCM-91A题，然后根据解题需要给出合理的假设。
AMCM-91A题：估计水塔的水流量[1]美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天所用的总水量。
但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，他们只能代之以每小时测量水塔中的水位，其精度在0.5%以内．更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L时，水泵就启动向水塔重新充水直至某一最高水位H，但也无法得到水泵的供水量的测量数据。
因此，在水泵正在工作时，人们不容易建立水塔的水位与水泵工作时的用水量之间的关系。
水泵每天向水塔充水一次或两次，每次约二小时。
试估计在任何时刻，甚至包括水泵正在工作的时间内，水从水塔流出的流量f(t) ，并估计一天的总用水量．表８－１给出了某个真实小镇某一天的真实数据．表8－1给出了从第一次测量开始的以秒为单位的时刻，以及该时刻的高度单位为百分之一英尺的水塔中水位的测量值，例如，3316秒后，水塔中的水位达到31.10英尺．水塔是一个垂直圆形柱体，高为40英尺，直径为57英尺．通常当水塔的水位降至约27.00英尺时水泵开始向水塔充水，而当水塔的水位升至约35.5０英尺时水泵停止工作．我们很容易想到应通过对所给数据进行数值拟合来建模．在讨论具体的建模方法以前，我们先给出一些合理的假设． （１）影响水从水塔流出的流率的唯一因素是公众对水的传统要求．因为附表只给出了某一天（实际是近26小时）水塔的水位数据，并没有对这些数据的产生有影响的因素作出具体说明，我们只能假定所给数据反映了有代表性的一天，而不包括任何特殊情况，如自然灾害、火灾、水塔溢水、水塔漏水等对水的特殊要求．（２）水塔中水的水位不影响水流量的大小．据物理学的Torricelli 定律，水塔最大水流量是与水位的高度的平方根成正比的．针对表8－1所给的数据，最大高度是35.50英尺,最小高度是27.00英尺,所以两个高度的最大水流量之比是15.100.27/50.35 ,接近于1,所以我们假定水位不影响水流量,类似地,我们假定气候条件、条件变化等也不直接影响水流量.(3)水泵工作起止时间由水塔的水位决定.我们总是假定水位大约27.00英尺时,水泵就开始工作,直到水位升至大约35.50英尺时停止工作,每次充水时间约为两小时.水泵工作性能、效率总是一定的,不因使用次数多少而变化,水泵工作时不需要维修,也不中途停止工作.当然,水泵充水的水流量远大于水塔的水流量,以保证人们对水的需求. (4)表8-1中水位数据取得的时间准确在1秒以内.(5)水塔的水流量与水泵状态独立,并不因水泵工作而增加或减少水流量的大小.(6)水塔的水流量曲线可以用一条光滑的曲线来逼近.这时,在每一个数据点,水流量的两阶导数是连续的,因为水的消耗是基于社区公众一天的活动,如洗澡、做饭、洗衣服等,每一个使用者的要求与整个社会的要求相比是微不足道的,而整个社会的需求是不可能同时增加或减少的,由于水的消耗的自然性,可以设想水流量曲线是一条连续光滑的曲线. 二 三次样条函数的基本理论在这一节里,我们介绍对观察数据进行数值拟合逼近的一种有效的数学理论——三次样条函数的基本理论[2].熟悉这部分数学理论后,我们就能对何以说样条插值逼近比高次多项式拟合要优越有一个清楚的认识.如果读者已具备这方面的知识,可以跳过这一节直接进入第三节问题的解答部分.1.三次样条函数的力学背景在工程和数学应用中常有这第一类数据处理问题:在平面上给定了一组有序的离散点列,要求一条光滑的曲线把这些点按次序连接起来,这叫做插值(拟合是一种更广泛意义上的逼近方法).在过去很长的一段时间内,工程技术人员为了得到这条光滑的曲线,常常是用一条富有弹性的均匀细木条(或是有机玻璃条),让它们依次经过这些点,并用“压铁”在若干点处压住，然后沿这条细木条画出一条光滑的曲线，形象地称之为“样条曲线”. 在力学上，如果把细木条看成为弹性细梁，压铁看成是作用在梁上的集中载荷，“样条曲线”就可模拟为弹性细梁在外加集中载荷作用下的弯曲变形曲线.如果用A 表示细梁的刚度系数，M 表示弯矩，在建立坐标系后，由于“样条”是均匀细木条，在两个相邻压铁之间无任何外力，所以M 是x 的线性函数，A 为常数，由力学知识可得 Ak(x)=M(x) (1) 其中k(x)为“样条曲线”y=y(x)的曲率．由数学知识，对一条光滑曲线，k(x)=y"/(1+y ′2)3/2．一般来说，上述样条曲线所适合的微分方程（１）是非线性的，它的解是无法用初等函数表示的，但在通常称为“小挠度”的情况下，即细梁弯曲不大，|y ′|<<1时，可以忽略y ′的影响，从而得到近似的方程Ay"(x)=M(x),由M 的线性，就有y (4)(x)≡0,即“样条曲线”是分段三次多项式，且曲线的函数值、一阶导数、二阶导数都是连续的，而三阶导数是间断的．这就是三次样条函数的力学背景． ２．三次插值样条函数定义 设在区间［a,b ］上给定一个分割∏：a=x 0<x 1<…<x n-1<x n =b,定义在［a,b ］上的一个函数S(x)如果满足下列条件：①在每个小区间［x i-1,x i ］(ｉ=1,2, …，n)内S(x)是三次多项式； ②在整个区间［a,b ］上，S(x)为二阶连续可导函数，也就是说，在每个节点x i (i=1,2,…,n-1)处， S (k)(x i -0)=S (k)(x i +0),k=0,1,2 (2)则称S(x)为三次样条函数．对定义在区间［a,b ］上的函数f(x),如果存在三次样条函数S(x)，使得在节点处还满足S(x i )=f(x i )(i=0,1, …，n),就称S(x)为插值于f(x)的三次样条函数． 对给定的一组有序数组y i (i=0,1, …，n),如果三次样条函数S(x)满足S(x i )=y i (i=0,1, …，n),就称S(x)为插值于｛y i ｝的三次样条函数．现在，如果对函数f(x)，我们并不知道其解析表达式，而只知道其在节点处的值f i =f(x i ) (i=0,1, …，n),如何估计f(x)?一个很自然的方法就是求插值于｛f i ｝的三次样条函数S(x),以S(x)作为对f(x)的逼近．那么，如何求出S(x)?我们将利用f i 及一阶、二阶导数来建立求S(x)的表示式及连续性方程． (１)Ｍ连续性方程与S(x)的表示式记S(x)在节点x i 处的函数值、一阶导数和二阶导数分别为 S(x i )=f i ,S ′(x i )=m i ,,S"(x i )=M i , (i=0,1, …，n) (3)由于S(x)是分片三次多项式，在每个小区间[x i-1,x i ]上，S(x)的二阶导数是线性函数，记h i =x i -x i-1表示小区间长度，有S 〃(x)=M i-1i 1i ii i h x x M h x x --+-, (x i-1≤x ≤x i ) (4) 将（4）式积分一次，得S ＇(x)=-M i-1i 1i21i i 2i C h )x x (Mi h 2)x x (+-+-- , (x i-1≤x ≤x i ) (5)再将（5）式积分一次，有 S(x)=M i-1,C x C h 63)x x (Mi h 63)x x (i 2i 1i 1i i i ++-+-- (x i-1≤x ≤x i )(6)由插值条件（3），S （x i ）=f i ,S(x i-1)=f i-1,代入（6）式，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=---=-----1i i i i i i 1i i i 1i i 21i i i 1i f i 1x )6M h h f (x )6M h h f (C 6)M M (h hi f C i 而由（5）式，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----=++---=-+++++--2h M 6)M M (h h f f )0x ('S 2h M 6)M M (h hi f f )0x ('S 1i ii 1i 1i 1i i 1i i i i 1i i i 1i i i (7)但由一阶导数连续，S ＇(x i -0)=S’(x i +0)(i=1,…,n-1),由（7）式就得到n-1个等式 μi M i-1+2M i +λi M i+1=d i , (i=1,…,n-1) (8) 其中λi=1i i 1i h h h +++,μi =i1i ih h h ++di=)h f f h f f (h h 6i1i i 1i i 1i 1i i -+++---+ (i=1,…,n-1)。
数学建模估计水塔的流量用数学软件求解拟合问题
算法设计与编程
1. 拟合第1、2时段的水位，并导出流量
2. 拟合供水时段的流量
3. 估计一天总用水量
4. 流量及总用水量的检验
1. 拟合第1时段的水位，并导出流量 设t，h为已输入的时刻和水位测量记录（水泵启动的4个时刻不输入），第1时段各 时刻的流量可如下得： 1） c1=polyfit（t（1：10），h（1：10），3）； %用3次多项式拟合第1时段水位，c1输出3次多项式的系数 2）a1=polyder（c1）； % a1输出多项式（系数为c1）导数的系数
m 3 103 L
MATLAB(llgjz)
4. 流量及总用水量的检验
计算出的各时刻的流量可用水位记录的数值微分来检验．用水量y1可用第1时段水位测 量记录中下降高度968-822=146来检验，类似地，y2用1082-822=260检验． 供水时段流量的一种检验方法如下：供水时段的用水量加上水位上升值 260是该时段泵入 的水量，除以时段长度得到水泵的功率（单位时间泵入的水量），而两个供水时段水泵的 功率应大致相等．第1、2时段水泵的功率可计算如下： p1=(y12+260)/2； %第1供水时段水泵的功率 （水量仍以高度计） tp4=20.8：0.1：23； xp2=polyval（c3，tp4）； % xp2输出第2供水时段 各时刻的流量 p2=(0.1*trapz(xp2)+260)/2.2； %第2供水时段水泵的功率 （水量仍以高度计） 计算结果：p1=154.5 ，p2=140.1
用非线性最小二乘拟合c(t)-用lsqcurvefit
1. 用M文件curvefun3.m定义函数
function f=curvefun3(x,tdata) d=300 f=(x(1)\d)*exp(-x(2)*tdata) % x(1)=v; x(2)=k
水塔流量估计的数学建模
水塔流量估计的数学建模水塔是城市供水系统中的重要组成部分，它们储存着大量的水资源，为城市居民提供生活用水。
在城市供水系统中，水塔的流量是一个非常重要的参数，它直接影响着供水系统的运行效率和水资源的利用率。
因此，如何准确地估计水塔的流量是一个非常重要的问题。
水塔的流量估计可以通过数学建模来实现。
首先，我们需要了解水塔的基本结构和工作原理。
水塔通常由水箱、进水管、出水管、溢流管等组成。
当水箱内的水位下降时，进水管会自动打开，将外部的水源引入水箱中，同时出水管会自动关闭，防止水箱内的水流失。
当水箱内的水位上升到一定高度时，溢流管会自动打开，将多余的水流出水箱，以保持水箱内的水位稳定。
在水塔的运行过程中，我们可以通过测量进水管和出水管的水流速度来估计水塔的流量。
根据流量的定义，流量等于单位时间内通过某一截面的液体体积。
因此，我们可以通过测量进水管和出水管的截面积和水流速度来计算水塔的流量。
具体地，假设进水管的截面积为A1，出水管的截面积为A2，进水管的水流速度为v1，出水管的水流速度为v2，则水塔的流量Q可以表示为：Q = A1v1 - A2v2其中，A1v1表示进水管的流量，A2v2表示出水管的流量。
由于进水管和出水管的截面积和水流速度可能会随着时间的变化而发生变化，因此我们需要不断地对它们进行测量和调整，以保证水塔的流量估计的准确性。
除了测量进水管和出水管的水流速度外，我们还可以通过其他的方法来估计水塔的流量。
例如，我们可以通过测量水塔内部的水位变化来估计水塔的流量。
具体地，我们可以安装水位传感器在水塔内部，通过测量水位的变化来计算水塔的流量。
这种方法的优点是不需要对进水管和出水管进行测量，但是需要安装水位传感器，成本较高。
水塔流量估计的数学建模是一个非常重要的问题。
通过测量进水管和出水管的水流速度或者测量水塔内部的水位变化，我们可以准确地估计水塔的流量，从而保证城市供水系统的正常运行。
MATLAB数学建模估计水塔的水流量问题
估计水塔的水流量自动化12K2 许杨旸摘要:在估计某地区的用水速度与日总用水量的时候,在已知某时间t下的水位h,以及水塔直径,求出t时刻的水体积,由于没有具体函数,故用差商方法近似求出水体积对时间t的导数即用水速度,再利用三样条插值方法求出不同时刻的用水速度。
最终,通过数值积分方法求出日用水总量I。
符号及含义:t:时刻;h:水位高度;D:水塔直径;V:水体积;dV:水流速度;I:日用水总量。
一、提出问题某地区用水管理机构需要对居民的用水速度(单位时间的用水量) 与日总用水量进行估计。
现有一居民区,其自来水就是由一个圆柱形水塔提供,水塔高12、2m,塔的直径为17、4m。
水塔就是由水泵根据水塔中的水位自动加水,一般水泵每天工作两次,按照设计,当水塔中的水位降至最低水位,约8、2m时,水泵自动启动加水;当水位升高到最高水位,约10、8m时,水泵停止工作。
表2给出的就是某一天的测量数据,测量了28个时刻的数据,但由于水泵正向水塔供水,有三个时刻无法测到水位(表中用—表示),试建立数学模型,来估计居民的用水速度与日用水量。
时刻19、959 20、839 22、015 22、958 23、880 24、986 25、908(t)/h水位8、433 8、220 ——10、820 10、591 10、354 10、180(t)/m二、求解问题1、水塔中的水体积计算求解的问题的关键就是求解出用水的速度,即单位时间内的用水体积,由于水塔可以近似成圆柱体,所以水塔的体积V可近似成:式中D为水塔直径D=17、4m,h为水位高度。
其中,在三个无法得到水位的时刻,其水位高度用一个负数表示,即该时刻水位为负值,显然现实当中无法出现这样的情况,现在我们用-1表示其水位。
现在开始计算水塔的体积:输入t=[0 0、921 1、843 2、949 3、871 4、978 5、900 、、、7、006 7、928 8、967 9、981 10、925 10、954 12、032 、、、12、954 13、875 14、982 15、903 16、826 17、931 19、037 、、、19、959 20、839 22、015 22、958 23、880 24、986 25、908];h=[9、677 9、479 9、308 9、125 8、982 8、814 8、686 、、、8、525 8、388 8、220 -1 -1 10、820 10、500 、、、10、210 9、936 9、653 9、409 9、180 8、921 8、662 、、、8、433 8、220 -1 10、820 10、591 10、354 10、180];D=17、4;V=pi/4*D^2*h;最终求得V= [2、3011 2、2540 2、2133 2、1698 2、1358 2、0959 2、0654 2、0271 1、9946 1、9546 -0、2378 -0、2378 2、5729 2、4968 2、4278 2、3627 2、2954 2、2373 2、1829 2、1213 2、0597 2、0053 1、9546 -0、2378 2、5729 2、5184 2、4620 2、4207]。
估计水塔的水流量
估计水塔的水流量美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天所用的总水量.许多社区没有测量流入或流出当地水塔的水量的装置,他们只能代之以每小时测量水塔中的水位,其精度不超过5%,更重要的是,当水塔中的水位下降最低水位L 时水泵就启动向水塔输水直到最高水位H,但也不能测量水泵的供水量.因此,当水泵正在输水时不容易建立水塔中水位和水泵工作时用水量之间的关系.水泵每两天输水一次或两次,每次约二小时.试估计任何时刻(包括水泵正在输水的017921 时间内)从水塔流出的流量f(t),并估计一天的总用水量.附表给出了某各小镇一天中真实的数据.附表给出了从第一次测量开始的以秒为单位的时刻.以及该时刻的高度单位为百分之一英尺的水位测量值.例如,3316 秒后,水塔中水位达到31.10 英尺.水塔是一个高为40 英尺,直径为57 英尺的正圆柱.通常当水塔水位降至约27.00 英尺的水泵开始工作,当水位升到35.50 英尺时水泵停止工作.问题分析与数据处理由问题的要求,关键在于确定用水率函数,即单位时间内用水体积,记为f(t),又称水流速度.如果能够通过测量数据,产生若干个时刻的用水率,也就是f(t)在若干个点的函数值,则f(t)的计算问题就可以转化为插值或拟合问题一,问题假设1)水塔中水流量是时间的连续光滑函数,与水泵工作与否无关,并忽略水位高度对水流速度的影响.2)水泵工作与否完全取决于水塔内水位的高度,且每次加水的工作时间为2小时.3)水塔为标准圆柱体.4)水泵第一次供水时间为[32284, 39435],第二次供水时间段为[75021,85948].5)为了方便计算我们把表格中的秒转化成小时.6）我们规定以下符号：h:水塔中水位的高度，是时间的函数，单位为英尺；v:水塔中水的体积，是时间的函数，单位为加仑； t:时间，单位为小时；f:模型估计的水塔水流量，是时间的函数，单位为加仑/小时p:水泵工作时的充水水流量，也是时间的函数，单位为加仑/小时。
水塔流量问题(专业教学)
本科生课程设计报告
实习课程数值分析
学院名称管理科学学院
专业名称
学生姓名
学生学号
指导教师
实验地点
实验成绩
二〇一六年六月二〇一六年六月
估计水塔的水流量
摘要
水塔流量的估计是一个较为经典的数学建模问题，本问题最大的困难在于不知泵启动时水位的变化和向外水流的速度.解决该问题，先确定近似流速，利用中点数值求导公式计算出每个时间点出的流速，再利用插值与拟合计算出流速与时间的函数，对0到24小时积分可得总用水量，这是第一种方法.第二种方法，水泵没有开动时利用高度差计算用水量，水泵开动时利用积分，这样计算出的结果较为准确，2种方法比较，可得出误差.
关键词：中点数值求导；插值与拟合；积分
目录
第1章前言 (1)
1.1 内容及要求 (1)
1.2 研究思路及结构安排 (2)
第2章模型建立与求解 (3)
2.1模型假设 (3)
2.2确定近似流速 (3)
2.3 确定水泵启动时的流量及总流量曲线 (4)
2.4确定总用水量 (4)
第3章算法步骤 (6)
3.1 中点数值求导函数步骤及流程图 (6)
3.2 三次样条插值函数步骤及流程图 (7)
第4章算法实现 (7)
4.1 程序总体结构 (7)
4.2 源程序清单 (8)
4.3 程序运行 (12)
第5章误差分析 (15)
第6章模型的评价和改进 (16)
6.1 优点 (16)
6.2 缺点 (16)
6.3 模型的改进方向 (16)
参考文献 (16)。
估计水塔水流量的求解模型要点
估计水塔水流量的求解模型摘要由所给的题目可知，本问题是一个关于如何计算居民用水的问题，由题目给出的表格，可知不同时刻的水位，根据所要求的不同时刻水位的不同入手，此计算问题就可以转化为插值或拟合问题。
这里主要考虑采用插值的方法，可以利用MATLAB软件进行插值和曲线拟合计算并解决一些具体的实际问题。
根据题目建立模型并采用插值的方法进行求解，推算出任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。
关键词：用水规律与水泵的工作功率原始数据用水规律与水泵的工作功率一、问题重述1.1基本情况某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。
面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位的时候停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。
通常水泵每天供水一两次，每次约3h. 已知水塔是一个高为12.2m，直径为17.4m的正圆柱。
1.2 所要解决的问题现在需要了解该居民区用水规律与水泵的工作功率。
按照设计，当水塔的水位降至最低水位，约8.2米时，水泵自动启动加水；当水位升高到一个最高水位，约10.8米时，水泵停止工作。
可以考虑采用用水率(单位时间的用水量)来反映用水规律，并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率。
表1是某一天的测量记录数据，测量了28个时刻，但是由于其中有4个时刻遇到水泵正在向水塔供水，而无水位记录(表中用符号//表示)。
所要解决的问题就是，要估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。
表1水位测量记录（符号//表示水泵启动）二、问题背景1991年的美国大学生数学建模竞赛A题(AMCM1991A),由于它是水库调度、自来水管理、公共场所的人流量估计等问题的代表,因此有许多文献对其进行了研究,但一般都是采用差分与拟合的方法。
而由于居民何时用水是无法准确的预报的,可能引起的水位的变化是随机事件,因此,可以以水容量作为随机变量,建立一个随机数学模型,不仅可以给出了水塔流量函数,同时还可以讨论水容量函数的数学期望。
水流问题(数学建模)
估计水塔的水流量1问题提出某居民区的民用自来水是由一个圆柱形的水塔提供．水塔高12.2米，直径17．4米．水塔是由水泵根据水塔内水位高低自动加水，一般每大水泵工作两次．现在需要了解该居民区用水规律与水泵的工作功率．按照设计，当水塔的水位降至最低水位，约8．2米时，水泵自动启动加水；当水位升；高到一个最高水位，约10．8米时，水泵停止工作．可以考虑采用用水率（单位时间的用水量）来反映用水规律，并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率．表4．2是某一天的测量记录数据，测量了28个时刻，但是由于其中有3个时刻遇到水泵正在向水塔供水，而无水位作功率．2问题分析与数据处理由问题的要求，关键在于确定用水率函数，即单位时间内用水体积，记为f(t)，又称水流速度．如果能够通过测量数据，产生若干个时刻的用水率，也就是f(t)在若干个点的函数值，则f(t)的计算问题就可以转化为插值问题．1．假设1）水塔中水流量是时间的连续光滑函数，与水泵工作与否无关，并忽略水位高度对水流速度的影响．2）水泵工作与否完全取决于水塔内水位的高度，且每次加水的工作时间为2小时3）水塔为标准圆柱体．考虑到假设2）结合表4．2中具体数据，推断得出4）水泵第一次供水时间段为［8．967，10．954］，第二次供水时间段为「20．839，22．958］．2．体积计算水塔是一个圆柱体，体积为h D V 24π=．其中D 为底面直径，h 为水位高度。
水流速度应该是水塔中水的体积对时间的导数（微商）由于没有水的体积关于时间的函数表达式，而只有一个离散的函数值表4．3，因此考虑用差商代替微商，这也是离散反映连续的常用思想．为提高精度，采用二阶差商，即i i v t f 2)(-∇=具体地，因为所有数据被水泵两次工作分割成三组数据，对每组数据的中间数据采用中心差商，前后两个数据不能够采用中心差商，改用向前或向后差商．中心差商公式模型及计算结果问题已经转变为根据流速f(t)的一个函数值表，产生函数f(t)在整个区间（二十四小时）上的函数或函数值，插值和拟合是两种最常用的方法．如果建立拟合模型，需要根据散点图的趋势，选择适当的拟合函数形式．如果采用插值模型，可以考虑分段线性插值。
(完整word版)计算水塔水流量(word文档良心出品)
一、课程设计目的：1．训练学生灵活应用所学数值分析知识，独立完成问题分析，结合数值分析理论知识，编写程序求解指定问题。
2．初步掌握解决实际问题过程中的对问题的分析、系统设计、程序编码、测试等基本方法和技能；3．提高综合运用所学的理论知识和方法独立分析和解决问题的能力；4.训练用数值分析的思想方法和编程应用技能模拟解决实际问题，巩固、深化学生的理论知识，提高学生对数值分析的认知水平和编程水平，并在此过程中培养他们严谨的科学态度和良好的工作作风二、课程设计任务与要求：课程设计题目：计算水塔的水流量【问题描述】某居民区的民用自来水是由一个圆柱形的水塔提供，水塔高12.2米，直径17.4米。
水塔是由水泵根据水塔内水位高低自动加水，一般每天水泵工作两次，现在需要了解该居民区用水规律与水泵的工作功率。
按照设计，当水塔的水位降至最低水位，约8.2米时，水泵自动启动加水；当水位升高到一个最高水位，约10.8米时，水泵停止工作。
可以考虑采用用水率（单位时间的用水量）来反映用水规律，并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率，原始数据表是某一天的测量记录数据，测量了28个时刻，但是由于其中有3个时刻遇到水泵正在向水塔供水，而无水位记录。
试建立合适的数学模型，推算任意时刻的用水率、一天的总用水量。
进一步：可自己增加一些新的计算功能。
【问题假设】1.水塔中水流量是时间的连续光滑函数，与水泵工作与否无关，并忽略水位高度对水流速度的影响。
2.水泵工作与否完全取决于水塔内水位的高度。
3.水塔为标准的圆柱体。
体积V=PI*D*D*h/4 其中D为底面直径，h为水位高。
4.水泵第一次供水时间段为[8.967,10.954]，第二次供水时间段为[20.839,22.958]。
【实验数据】原始数据（单位：时刻（小时），水塔中水位（米））【实现提示】由问题的要求，关键在于确定用水率函数，即单位时间内用水体积，记为f(t)，又称水流速度。
数学建模基础 12.4估计水塔的水流量
(**)
2
对于第一型插值问题，取 λ 0=1，μ n=1,
6 y1 y0 d0 ( y0 ' ), h1 h1
yn yn1 6 dn ( yn ' ) hn hn
对于第二型插值问题，取λ 0=0，μ n=0
d0 2 y0 ' ' ,
dn 2 yn ' '
对于第三型插值问题，利用周期性，可导出
10619
13937 17921
2994
2947 2892
43318
46636 49953
3445
3350 3260
79154
82649 85968
水泵工作
水泵工作 3475
21240
25223 28543
2850
2797 2752
53936
57254 60574
3167
3087 3012
89953
三次样条插值问题加上第i型边界条件称为第i型插值问题（ i＝１，２，３）．可以证明第 i 型插值问题的解是存在且唯 一的。他们对应如下的三对角方程组： 2 λ 0 μ1 2 λ 1 . . . . . . . . . μ n-1 2 λ μ
n
n-1
M0 M1 . . = . Mn-1 Mn
d0 d1 . . . dn-1 dn
, M i+1
三次样条函数的构造
S”(x) M i
构造三次样条插值函数的方法有很多，这里介绍一个常用 的方法：三弯矩插值法 记Mi = S″(xi), f(xi)= fi= yi ,考虑它在任一区间[xi,xi+1]上的 形式.根据三次样条的定义可知 ,S(x)的二阶导数S″(x)在每一个 子区间[xi,xi+1] ( i=0,1,2,,n-1)上都是线性函数. 于是在[xi,xi+1] 上S(x)=Si(x)的二阶导数表示成
水塔水流量估计
答卷编号（参赛学校填写）：答卷编号（竞赛组委会填写）：论文题目： 98年A组别：本科参赛队员信息(必填)：参赛学校：承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：估计水塔的流量一、问题重述某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量，但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量．通常水泵每天供水一两次，每次约两小时.水塔是一个高12.2米，直径17.4米的正圆柱．按照设计，水塔水位降至约8.2米时，水泵自动启动，水位升到约10.8米时水泵停止工作．表1 是某一天的水位测量记录，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量．二、模型假设1、假设该水塔为标准的圆柱形。
2、水塔的流量只取决水塔内水位的差值，与其水位的高低无关且该流量应看做连续光滑的变量。
水流问题(数学建模)
估计水塔的水流量1问题提出某居民区的民用自来水是由一个圆柱形的水塔提供．水塔高12.2米，直径17．4米．水塔是由水泵根据水塔内水位高低自动加水，一般每大水泵工作两次．现在需要了解该居民区用水规律与水泵的工作功率．按照设计，当水塔的水位降至最低水位，约8．2米时，水泵自动启动加水；当水位升；高到一个最高水位，约10．8米时，水泵停止工作．可以考虑采用用水率（单位时间的用水量）来反映用水规律，并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率．表4．2是某一天的测量记录数据，测量了28个时刻，但是由于其中有3个时刻遇到水泵正在向水塔供水，而无水位作功率．2问题分析与数据处理由问题的要求，关键在于确定用水率函数，即单位时间内用水体积，记为f(t)，又称水流速度．如果能够通过测量数据，产生若干个时刻的用水率，也就是f(t)在若干个点的函数值，则f(t)的计算问题就可以转化为插值问题．1．假设1）水塔中水流量是时间的连续光滑函数，与水泵工作与否无关，并忽略水位高度对水流速度的影响．2）水泵工作与否完全取决于水塔内水位的高度，且每次加水的工作时间为2小时3）水塔为标准圆柱体．考虑到假设2）结合表4．2中具体数据，推断得出4）水泵第一次供水时间段为［8．967，10．954］，第二次供水时间段为「20．839，22．958］．2．体积计算水塔是一个圆柱体，体积为h D V 24π=．其中D 为底面直径，h 为水位高度。
水流速度应该是水塔中水的体积对时间的导数（微商）由于没有水的体积关于时间的函数表达式，而只有一个离散的函数值表4．3，因此考虑用差商代替微商，这也是离散反映连续的常用思想．为提高精度，采用二阶差商，即i i v t f 2)(-∇=具体地，因为所有数据被水泵两次工作分割成三组数据，对每组数据的中间数据采用中心差商，前后两个数据不能够采用中心差商，改用向前或向后差商．中心差商公式模型及计算结果问题已经转变为根据流速f(t)的一个函数值表，产生函数f(t)在整个区间（二十四小时）上的函数或函数值，插值和拟合是两种最常用的方法．如果建立拟合模型，需要根据散点图的趋势，选择适当的拟合函数形式．如果采用插值模型，可以考虑分段线性插值。
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677715
663397 648506
7.0064
7.9286 8.9678
533963
525372 514872
15.9039
16.8261
589325
575008
25.9083
637625
17.9317 558781
表2
用数学软件绘图如下
水流量
dV (t ) f (t ) dt
3、由数据（ti,Vi)产生水流量f(t)的方法有： 1.由对水体积的微商数据点直接获得水流量f(t)的近似函数值 2.先获得水体积V(t)的近似函数，再对其求导
39435 （秒） 35.5（英尺） 由 39435-32284=7048 1.958（小时）满足每次约两小时的条件 可推断在32284（秒） 为充水的开始时间, 在39435（秒） 为充水的截 止时间.
第二次充水期的一些数据为
75021（秒） 79154 82649 26.97 27 （英尺）推断在75021(秒) 为充水的开始时间
估计水塔的水流量
三、符号约定及说明
h：水塔中水位的高度，是时间的函数，单位为英尺 V ：水塔中水的体积，是时间的函数，单位为加仑
t：时间，单位为小时
f ：水塔水流量，是时间的函数，单位为加仑小时 p：水泵工作时充水的水流量，是时间的函数，单位为加仑小时
四、问题分析与建模
采用三次样条插值来做曲线逼近，为 形象化，将表中数据描点画图
10619
13937 17921
2994
2947 2892
43318
46636 49953
3445
3350 3260
79154
82649 85968
水泵工作
水泵工作 3475
21240
25223 28543
2850
2797 2752
53936
57254 60574
3167
3087 3012
89953
下面介绍样条插值理论
样条插值
分段插值存在着一个缺点,就是会导致插值函数在子区间的端 点(衔接处)不光滑,即导数不连续,对于一些实际问题,不但要求 一阶导数连续,而且要求二阶导数连续。为了满足这些要求,人 们引入了样条插值的概念。 所谓“样条”(SPLINE)是工程绘图中的一种工具,它是有 弹性的细长木条,绘图时,用细木条连接相近的几个结点,然后 再进行拼接,连接全部结点,使之成为一条光滑曲线,且在结点 处具有连续的曲率。样条函数就是对这样的曲线进行数学模 拟得到的。它除了要求给出各个结点处的函数值外,只需提供 两个边界点处导数信息,便可满足对光滑性的不同要求。
1、样条函数的定义
设f(x)是区间[a,b]上的一个连续可微函数,在区间[a,b]上给 定一组基点: a=x0<x1<x2<<xn=b 设函数s(x)满足条件 (1) s(x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是次数不 超过m的多项式; (2) s(x)在区间[a , b]上有m-1阶连续导数; 则称s(x)是定义在[a ,b]上的m次样条函数。x0，x1，x2, 称为样条结点,其中x1,,xn-1称为内结点, x0 , xn 称为边界结 点。当m=3时,便成为最常用的三次样条函数。
水泵工作 水泵工作（补充数据35.5英尺）
85968 （秒） 34.75（英尺）（与35.5英尺相差太多） 但 85968-75021=3.041（小时） 而 82649-75021=7628 2.11889（小时）满足每次约两小时的条件
推断在82649（秒） 为充水的截止时间, 获得一个额外数据.
下面考虑Mi的求法
则由连续性 S'(xi-)= S'(xi+) ,(i=1,2,……,n-1) 得
μ iMi-1+2Mi+λ iMi+1= di
其中
hi ui h h , i i 1 d 6( yi 1 yi yi yi 1 ( h h ) 1 i i i 1 h h i 1 i
Mn M0 n M1 n M n1 2 M n d n
其中
hn u , n n n hn h1 d 6( y1 y0 yn yn1 )(h h ) 1 n 1 n h h 1 n
以上各组条件与方程组(**)联立，可以解出未知参数M0，M1 ,……,Mn，然后代入S(x) 表达式，即可求得样条函数 。 上面构造方法中Mi相应于力学中细梁在xi处截面的弯矩，每 一个方程中又至多出现相邻的三个Mi，通常称为三弯矩法。 总结以上论述，可得求三次样条的步骤为： （1）确定边界条件，判定是第几型插值问题； （2）根据所确定的条件计算各值，形成方程组(**)； （3）解三对角方程组(**)，求得M0， M1 ， M2, Mn ； （4）将求得的Mi值代回S(x)的表达式中， 从而可求得函数y=f(x)在任一点的近似值S(x)。
93270
3397
3340
32284
2697
64554
2927
表1给出了某个真实小镇的真实数据,水塔是一个 圆形柱体，高40英尺，直径57英尺，通常水塔的 水位降至约27英尺时水泵开始向水塔充水，而当 通常水塔的水位升至约35.5英尺时水泵停止向水 塔充水。
一、问题的重述（略）
二、基本假设
1、影响水从水塔流出的流率的唯一因素是公众对水的传统要求。
水位
时间
1、补充充水的开始和截止数据
由假设知水塔的水位降至约27英尺时水泵开始向水塔充水， 水塔的水位升至约35.5英尺时水泵停止向水塔充水， 水泵每天向水塔充水一次或两次，每次约两小时 由表1 ，有第一次充水期的一些数据为
32284（秒）
35932 39332
26.97 27 （英尺）
水泵工作 水泵工作
2 2 ( x x ) ( x x ) i 1 i S' ( x ) M i M i 1 2 hi 2 hi
yi 1 yi M i 1 M i hi hi 6 x [ x i , x i 1 ]
因此，只要能求出所有的{M i}， 就能求出样条插值函数S(x).
, M i+1
三次样条函数的构造
S”(x) M i
构造三次样条插值函数的方法有很多，这里介绍一个常用 的方法：三弯矩插值法 记Mi = S″(xi), f(xi)= fi= yi ,考虑它在任一区间[xi,xi+1]上的 形式.根据三次样条的定义可知 ,S(x)的二阶导数S″(x)在每一个 子区间[xi,xi+1] ( i=0,1,2,,n-1)上都是线性函数. 于是在[xi,xi+1] 上S(x)=Si(x)的二阶导数表示成
4、表中的时间数据准确在一秒以内。 5、水塔水流量与水泵状态独立，不因水泵工作而增加 或减少水流量的大小。 6、水塔水流量曲线可以用一条光滑的曲线来逼近。 对离散数据的处理，可以用数据逼近的方法来解决，本问 题要想到用数值逼近来建模，数值逼近的方法有很多，如 Lagrange插值、分段插值、样条插值、曲线拟合等. 本问题分三步： 1、先决定所给数据点处的水流量。（数据转换即可） 2、找一个水从水塔流出的水流量光滑逼近函数 3、处理水泵工作时的充水水流量及一天该镇的总用水量
2、数据转换
时间 水体积 （小时） （加仑） 0 606125
(V=r2 h )
时间 水体积 时间 水体积 （小时） （加仑） 9.9811 水泵工作 （小时） （加仑） 19.0375 542554
0.9211
1.8431 2.9497
593716
583026 571571
10.9256
10.9542 12.0328
三次样条插值问题加上第i型边界条件称为第i型插值问题（ i＝１，２，３）．可以证明第 i 型插值问题的解是存在且唯 一的。他们对应如下的三对角方程组： 2 λ 0 μ1 2 λ 1 . . . . . . . . . μ n-1 2 λ μ
n
n-1
M0 M1 . . = . Mn-1 Mn
d0 d1 . . . dn-1 dn
2、水塔中水的水位不影响水流量的大小。 （因为物理学的定律指 出：水塔的最大水流量与水位高度的平方 根成正比，由表中数据有 35.5 1
27
说明最高水位和最底水位的两个流量几乎相等） 3、水泵工作的起止时间由水塔的水位决定，水泵工作性能效率总 是一定的，没有工作时需维修、使用次数多影响使用效率问题， 水泵充水量远大于水塔水流量。
表1、某小镇某天的水塔水位
时间 水位 时间 水位 时间 水位
（秒） （0.01英尺） （秒） （0.01英尺） （秒） （0.01英尺）
0
3316 6635
3137
3110 3054
35932
39332 39435
水泵工作
水泵工作 3550
68535
71854 75021
2842
2767 2697
xi 1 x x xi S ( x) Mi M i 1 hi hi
''
x [ xi , xi 1 ]
(1.2)
其中 hi= xi+1–xi . 对S″(x)连续积分两次,并利用插值条件S(xi)= yi ,得到
( x i 1 x ) 3 ( x xi ) 3 S( x ) M i M i 1 6hi 6hi ( yi Mi y M i 1 hi )( x i 1 x ) ( i 1 hi )( x x i ) hi 6 hi 6
(**)
2
对于第一型插值问题，取 λ 0=1，μ n=1,