水塔流量估计
估计水塔的水流new
估计水塔的水流量New表1 水塔中水位原始数据>> t=[0 0.921 1.843 2.949 3.871 4.978 5.900...7.006 7.928 8.967 9.981 10.925 10.954 12.032...12.954 13.875 14.982 15.903 16.826 17.931 19.037...19.959 20.839 22.015 22.958 23.880 24.986 25.908];>> h=[9.677 9.479 9.308 9.125 8.982 8.814 8.686...8.525 8.388 8.220 0 0 10.820 10.500...10.210 9.936 9.653 9.409 9.180 8.921 8.662...8.433 8.220 0 10.820 10.591 10.354 10.180];>> D=17.4;>> V=pi/4*D^2*hV =1.0e+003 *Columns 1 through 92.3011 2.2540 2.2133 2.1698 2.1358 2.0959 2.0654 2.0271 1.9946Columns 10 through 181.9546 0 02.5729 2.4968 2.4278 2.36272.2954 2.2373Columns 19 through 272.1829 2.1213 2.0597 2.0053 1.9546 0 2.5729 2.5184 2.4620Column 282.4207表2 水塔中水的体积>> t1=t(1:10);>> t2=t(13:23);>> t3=t(25:28);>> V1=V(1:10);>> V2=V(13:23);>> V3=V(25:28);>> v=-[gradient(V1,t1),gradient(V2,t2),gradient(V3,t3)]v =Columns 1 through 951.1204 47.6090 41.5072 38.2242 36.4474 34.6895 33.8858 34.9411 36.9837Columns 10 through 1838.4487 70.5862 72.5251 72.7683 65.3094 61.7918 60.9942 57.2190 55.7095Columns 19 through 2557.2190 58.3251 57.5553 59.0599 54.6395 48.1906 44.8752表3 水塔中水流速度（近似为用水速度）>> t=[t1 t2 t3];>> ti=0:0.01:25.908;>> vi=interp1(t,v,ti,'spline');>> plot(t,v,'+',ti,vi,'g')0510********>> ti=0:0.01:24;>> vi=interp1(t,v,ti,'spline');>> I=trapz(ti,vi)I =1.2560e+003稳定性分析：>> ti=0.2:0.01:24.2;>> vi=interp1(t,v,ti,'spline');>> I=trapz(ti,vi)I =1.2565e+003>> ti=0.4:0.01:24.4;>> vi=interp1(t,v,ti,'spline');>> I=trapz(ti,vi)I =1.2567e+003>> ti=1:0.01:25;>> vi=interp1(t,v,ti,'spline'); >> I=trapz(ti,vi)I =1.2572e+003检验：第一段用水量>> ti=0:0.01:8.967;>> vi=interp1(t,v,ti,'spline'); >> I1=trapz(ti,vi)I1 =345.2792第二段用水量>> ti=10.954:0.01:20.839; >> vi=interp1(t,v,ti,'spline'); >> T2=trapz(ti,vi)T2 =618.3992第三段用水量>> ti=22.958:0.01:25.908; >> vi=interp1(t,v,ti,'spline'); >> I3=trapz(ti,vi)I3 =152.0959水泵第一次充水时用水量>> ti=8.967:0.01:10.954; >> vi=interp1(t,v,ti,'spline'); >> I=trapz(ti,vi)I =107.6730水泵第二次充水时用水量>> ti=20.839:0.01:22.958; >> vi=interp1(t,v,ti,'spline'); >> I=trapz(ti,vi)I =123.9158。
案例6 估计水塔水流量
f ( t )dt 335329 （加仑） f ( t )dt 336480 （加仑）
25.5 1.5
相差只约1%
[0，24]区间内检验
第一次充水 前总用水量 第一次充水后， 第二次充水前 总用水量 第一次充水 期间用水量 第二次充水 期间用水量
V1= 606125-514872=91253(加仑）
充水时间约为2.1189小时
3. 由Vi—ti关系产生水流量 fi—ti的关系
注：亦可以由Vi—ti关系拟合 V(t)，再求微商得到 f(t)
关于水流量 fi
Vi 1 Vi f i f (t i ) t i 1 t i V i V i 1 与 f i f (t i ) t i t i 1
水体积的误差为0.5% 用样条逼近的用水量其误差可用抽样计算得5.1%
一天 总量 误差
2 2 2 2 SV [ SV0 SV8.9678 SV p SV10.9542 SV20.8392
1
2 2 2 2 SV p SV 22.9581 SV23.88 SV[ 23.88 , 24 ] ]1 2
水泵工作的时间为32284秒（8.9678 小时）； 水泵结束时间为39435秒（10.9542小时）； 充水时间约为1.9864小时
水泵工作的时间为75021秒（20.8392 小时），水 位26.97英尺 第 二 次 充 水 水泵结束时间为82649秒（22.9581小时）, 补充水位35.50英尺
水流量值（表3）
时
（小时）
间
水 流 量
（加仑/小时）
时
（小时）
间
水流量
（加仑/小时）
时
水塔流量估计的数学建模
水塔流量估计的数学建模1. 引言水塔是现代城市供水系统中至关重要的组成部分，其作用是通过储存水源来保障城市居民日常用水，并且在有紧急情况时提供应急用水。
为了更好地保障全社会的用水需求，并降低供水系统建设和运营成本，对水塔的流量进行准确的估计和预测具有重要意义。
本文将探讨如何利用数学建模的方法对水塔流量进行估计和预测。
2. 水塔流量的影响因素水塔流量的大小受到多种因素的影响，主要包括以下几个方面：2.1 水塔容积水塔的容积越大，其流量也就越大。
因此，在进行水塔流量估计时，首先需要考虑其容积。
2.2 外部水压水塔的流量受到外部水压的影响。
如果外部水压较大，则水塔的流量也将较大。
2.3 水泵功率水泵功率的大小直接影响到水塔的流量大小。
水泵功率越大，水塔的流量也就越大。
2.4 关阀状态水塔流量还受到管道关阀状态的影响。
如果关阀状态较大，则水塔流量也将减小。
3. 水塔流量的数学建模方法水塔流量的数学建模方法主要包括以下几个步骤：3.1 收集数据收集水塔流量的相关数据，并对其进行初步的整理和分析。
3.2 设计建模方程根据已收集到的数据，设计合适的建模方程。
建模方程需要考虑到水塔容积、外部水压、水泵功率、关阀状态等多种因素。
3.3 参数估计利用已有的数据对建模方程中的参数进行估计。
参数估计是非常重要的一步，其准确性直接影响到模型的准确性和可靠性。
3.4 模型检验和优化使用已有的数据来对所建立的模型进行检验和优化。
检验过程中需要对模型的精度、准确性、鲁棒性等进行评估，如果出现问题，需要进行适当的调整。
4. 案例分析为了说明水塔流量估计的数学建模方法，我们以某市几座水塔为例进行分析。
4.1 收集数据在该市的几座水塔中，我们选取了其中一座水塔进行了数据的收集，主要包括该水塔的容积、水泵功率、外部水压等基本信息。
4.2 设计建模方程根据收集到的数据，我们设计了一个基础的建模方程，其中各项参数分别为：Q为流量，V为水塔容积，P为外部水压，H为水泵的扬程，K为关阀系数。
水塔水流量的估计
水塔水流量的估计一．实验问题某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。
但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。
通常水泵每天供水一次，每次约2h。
水塔是一个高为12.2m，直径为17.4m的正圆柱。
按照设计，水塔水位降至约8.2m时，水泵自动启动，水位升到约10.8m时水泵停止工作。
表1是某一天的水位测量纪录（符号“//”表示水泵启动），试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。
表1 水位测量纪录二．问题分析根据以上数据的形式和以往经验，适合采用线性拟合的方式进行数据处理。
对第1、2、3未供水时段可直接进行用五次多项式进行拟合。
对第1、2供水时段分别在两端各取两个点用前后时刻的流速拟合得到。
结果可以用分段函数表示分为5段，分别是第一未供水时段，第一供水时段，第二未供水时段，第二供水时段，第三未供水时段。
得出流速之后再乘以水塔横截面积即得任何时刻与水塔流出水流量的关系，即流速与时间的关系。
对流速进行分段积分并求和，即得一天的总水流量。
三．程序的设计与求解方法1.数据的单位转换水塔的横截面积为A=（17.4）^2*pi/4=237.0661(平方米)。
2.拟合水位——时间函数（1）对第1未供水时段的数据进行拟合。
t=[0 0.92 1.84 2.90 3.87 4.98 5.90 7.00 7.93 8.97 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 23.88 24.99 25.91]h=[ 9.68 9.48 9.31 9.13 8.98 8.81 8.69 8.52 8.39 8.22 10.82 10.50 10.21 9.94 9.65 9.41 9.18 8.92 8.66 8.43 8.22 10.59 10.35 10.18] f1=polyfit(t(1:10),h(1:10),5); tm1=0:0.1:9.0; y1=polyval(f1,tm1); plot(tm1,y1)01234567898.28.48.68.899.29.49.69.8（2）对第2未供水时段的数据进行拟合。
第5章_水塔用水量的估计
x
插值要求在每一个观测点处满足yi=f(xi)
2013-6-27 河北大学
Hebei University
5.1 引例
机床加工
X=0 3
5
7 9
11 12 13 14 15 1.8 1.2 1 1.6
4 Y=0 1.2 1.7 2 2.1 2 2 0 0
2013-6-27
5
河北大学
10
15
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被插值节点 插值节点
xi处的插 值结果
2013-6-27
河北大学
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5.2 插值基本原理
例：在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度， 测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31， 30，22，25，27，24。试估计1/10小时的温度值 hours=1:12 temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24]; h=1:.1:12; t=interp1(hours,temps,h); plot(hours,temps,’+’,h,t); title(‘线性插值下的温度曲线’) xlabel(‘Hour’), ylabel(‘Degrees Celsius’)
x=-5:10/2:5; y=1./(1+x.^2); x1=-5:0.1:5; y1=Langrage(x,y,x1); plot(x1,y1,'b--','linewidth',2) hold on x=-5:10/4:5; y=1./(1+x.^2); y2=Langrage(x,y,x1); plot(x1,y2,'r-','linewidth',2) x=-5:10/6:5; y=1./(1+x.^2); y3=Langrage(x,y,x1); plot(x1,y3,'k:','linewidth',2)
MCM-1991年A题估计水塔的水流量
MCM-1991年A题：估计水塔的水流量逼近观察数据的一维样条模型在实际工作中，我们常会碰到这样一种情况：我们需要或希望了解某一性质或特征的运动规律，但是由于测量仪器设备的落后或缺乏等原因无法直接得到它，而只能代之以观察到较易得到的在特定时刻或距离上的一些数据，一般来说，虽然这些观察数据不可避免地会带有观察误差，它们还是反映了该性质或特征的主要规律，剩下的问题就是如何建立一个合理的模型，对这些观察数据进行拟合逼近，恢复出原有的规律。
这类问题是一类很典型的对已知数据进行数值拟合来建模的模型问题。
对这类问题，建模的关键在于提出合理的假设，设计出较好的拟合方法，尽量减少因方法不当带来的误差。
在这一讲里，我们就AMCM-91A题进行讨论，详细讲解解这类问题的样条模型。
内容是这样安排的。
在第1节，我们提出问题并作出合理的假设，在第2节，我们介绍建模必备的数学理论，即三次样条函数的概念与基本性质，最后，在第3节，我们给出问题的详细解答，并比较该题当年获优秀论文奖的三种解答的优点。
一、问题与假设在这一节里，我们先叙述AMCM-91A题，然后根据解题需要给出合理的假设。
AMCM-91A题：估计水塔的水流量[1]美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天所用的总水量。
但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，他们只能代之以每小时测量水塔中的水位，其精度在0.5%以内．更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L时，水泵就启动向水塔重新充水直至某一最高水位H，但也无法得到水泵的供水量的测量数据。
因此，在水泵正在工作时，人们不容易建立水塔的水位与水泵工作时的用水量之间的关系。
水泵每天向水塔充水一次或两次，每次约二小时。
试估计在任何时刻，甚至包括水泵正在工作的时间内，水从水塔流出的流量f(t) ，并估计一天的总用水量．表８－１给出了某个真实小镇某一天的真实数据．表8－1给出了从第一次测量开始的以秒为单位的时刻，以及该时刻的高度单位为百分之一英尺的水塔中水位的测量值，例如，3316秒后，水塔中的水位达到31.10英尺．水塔是一个垂直圆形柱体，高为40英尺，直径为57英尺．通常当水塔的水位降至约27.00英尺时水泵开始向水塔充水，而当水塔的水位升至约35.5０英尺时水泵停止工作．我们很容易想到应通过对所给数据进行数值拟合来建模．在讨论具体的建模方法以前，我们先给出一些合理的假设． （１）影响水从水塔流出的流率的唯一因素是公众对水的传统要求．因为附表只给出了某一天（实际是近26小时）水塔的水位数据，并没有对这些数据的产生有影响的因素作出具体说明，我们只能假定所给数据反映了有代表性的一天，而不包括任何特殊情况，如自然灾害、火灾、水塔溢水、水塔漏水等对水的特殊要求．（２）水塔中水的水位不影响水流量的大小．据物理学的Torricelli 定律，水塔最大水流量是与水位的高度的平方根成正比的．针对表8－1所给的数据，最大高度是35.50英尺,最小高度是27.00英尺,所以两个高度的最大水流量之比是15.100.27/50.35 ,接近于1,所以我们假定水位不影响水流量,类似地,我们假定气候条件、条件变化等也不直接影响水流量.(3)水泵工作起止时间由水塔的水位决定.我们总是假定水位大约27.00英尺时,水泵就开始工作,直到水位升至大约35.50英尺时停止工作,每次充水时间约为两小时.水泵工作性能、效率总是一定的,不因使用次数多少而变化,水泵工作时不需要维修,也不中途停止工作.当然,水泵充水的水流量远大于水塔的水流量,以保证人们对水的需求. (4)表8-1中水位数据取得的时间准确在1秒以内.(5)水塔的水流量与水泵状态独立,并不因水泵工作而增加或减少水流量的大小.(6)水塔的水流量曲线可以用一条光滑的曲线来逼近.这时,在每一个数据点,水流量的两阶导数是连续的,因为水的消耗是基于社区公众一天的活动,如洗澡、做饭、洗衣服等,每一个使用者的要求与整个社会的要求相比是微不足道的,而整个社会的需求是不可能同时增加或减少的,由于水的消耗的自然性,可以设想水流量曲线是一条连续光滑的曲线. 二 三次样条函数的基本理论在这一节里,我们介绍对观察数据进行数值拟合逼近的一种有效的数学理论——三次样条函数的基本理论[2].熟悉这部分数学理论后,我们就能对何以说样条插值逼近比高次多项式拟合要优越有一个清楚的认识.如果读者已具备这方面的知识,可以跳过这一节直接进入第三节问题的解答部分.1.三次样条函数的力学背景在工程和数学应用中常有这第一类数据处理问题:在平面上给定了一组有序的离散点列,要求一条光滑的曲线把这些点按次序连接起来,这叫做插值(拟合是一种更广泛意义上的逼近方法).在过去很长的一段时间内,工程技术人员为了得到这条光滑的曲线,常常是用一条富有弹性的均匀细木条(或是有机玻璃条),让它们依次经过这些点,并用“压铁”在若干点处压住，然后沿这条细木条画出一条光滑的曲线，形象地称之为“样条曲线”. 在力学上，如果把细木条看成为弹性细梁，压铁看成是作用在梁上的集中载荷，“样条曲线”就可模拟为弹性细梁在外加集中载荷作用下的弯曲变形曲线.如果用A 表示细梁的刚度系数，M 表示弯矩，在建立坐标系后，由于“样条”是均匀细木条，在两个相邻压铁之间无任何外力，所以M 是x 的线性函数，A 为常数，由力学知识可得 Ak(x)=M(x) (1) 其中k(x)为“样条曲线”y=y(x)的曲率．由数学知识，对一条光滑曲线，k(x)=y"/(1+y ′2)3/2．一般来说，上述样条曲线所适合的微分方程（１）是非线性的，它的解是无法用初等函数表示的，但在通常称为“小挠度”的情况下，即细梁弯曲不大，|y ′|<<1时，可以忽略y ′的影响，从而得到近似的方程Ay"(x)=M(x),由M 的线性，就有y (4)(x)≡0,即“样条曲线”是分段三次多项式，且曲线的函数值、一阶导数、二阶导数都是连续的，而三阶导数是间断的．这就是三次样条函数的力学背景． ２．三次插值样条函数定义 设在区间［a,b ］上给定一个分割∏：a=x 0<x 1<…<x n-1<x n =b,定义在［a,b ］上的一个函数S(x)如果满足下列条件：①在每个小区间［x i-1,x i ］(ｉ=1,2, …，n)内S(x)是三次多项式； ②在整个区间［a,b ］上，S(x)为二阶连续可导函数，也就是说，在每个节点x i (i=1,2,…,n-1)处， S (k)(x i -0)=S (k)(x i +0),k=0,1,2 (2)则称S(x)为三次样条函数．对定义在区间［a,b ］上的函数f(x),如果存在三次样条函数S(x)，使得在节点处还满足S(x i )=f(x i )(i=0,1, …，n),就称S(x)为插值于f(x)的三次样条函数． 对给定的一组有序数组y i (i=0,1, …，n),如果三次样条函数S(x)满足S(x i )=y i (i=0,1, …，n),就称S(x)为插值于｛y i ｝的三次样条函数．现在，如果对函数f(x)，我们并不知道其解析表达式，而只知道其在节点处的值f i =f(x i ) (i=0,1, …，n),如何估计f(x)?一个很自然的方法就是求插值于｛f i ｝的三次样条函数S(x),以S(x)作为对f(x)的逼近．那么，如何求出S(x)?我们将利用f i 及一阶、二阶导数来建立求S(x)的表示式及连续性方程． (１)Ｍ连续性方程与S(x)的表示式记S(x)在节点x i 处的函数值、一阶导数和二阶导数分别为 S(x i )=f i ,S ′(x i )=m i ,,S"(x i )=M i , (i=0,1, …，n) (3)由于S(x)是分片三次多项式，在每个小区间[x i-1,x i ]上，S(x)的二阶导数是线性函数，记h i =x i -x i-1表示小区间长度，有S 〃(x)=M i-1i 1i ii i h x x M h x x --+-, (x i-1≤x ≤x i ) (4) 将（4）式积分一次，得S ＇(x)=-M i-1i 1i21i i 2i C h )x x (Mi h 2)x x (+-+-- , (x i-1≤x ≤x i ) (5)再将（5）式积分一次，有 S(x)=M i-1,C x C h 63)x x (Mi h 63)x x (i 2i 1i 1i i i ++-+-- (x i-1≤x ≤x i )(6)由插值条件（3），S （x i ）=f i ,S(x i-1)=f i-1,代入（6）式，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=---=-----1i i i i i i 1i i i 1i i 21i i i 1i f i 1x )6M h h f (x )6M h h f (C 6)M M (h hi f C i 而由（5）式，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----=++---=-+++++--2h M 6)M M (h h f f )0x ('S 2h M 6)M M (h hi f f )0x ('S 1i ii 1i 1i 1i i 1i i i i 1i i i 1i i i (7)但由一阶导数连续，S ＇(x i -0)=S’(x i +0)(i=1,…,n-1),由（7）式就得到n-1个等式 μi M i-1+2M i +λi M i+1=d i , (i=1,…,n-1) (8) 其中λi=1i i 1i h h h +++,μi =i1i ih h h ++di=)h f f h f f (h h 6i1i i 1i i 1i 1i i -+++---+ (i=1,…,n-1)。
数学建模估计水塔的流量用数学软件求解拟合问题
算法设计与编程
1. 拟合第1、2时段的水位，并导出流量
2. 拟合供水时段的流量
3. 估计一天总用水量
4. 流量及总用水量的检验
1. 拟合第1时段的水位，并导出流量 设t，h为已输入的时刻和水位测量记录（水泵启动的4个时刻不输入），第1时段各 时刻的流量可如下得： 1） c1=polyfit（t（1：10），h（1：10），3）； %用3次多项式拟合第1时段水位，c1输出3次多项式的系数 2）a1=polyder（c1）； % a1输出多项式（系数为c1）导数的系数
m 3 103 L
MATLAB(llgjz)
4. 流量及总用水量的检验
计算出的各时刻的流量可用水位记录的数值微分来检验．用水量y1可用第1时段水位测 量记录中下降高度968-822=146来检验，类似地，y2用1082-822=260检验． 供水时段流量的一种检验方法如下：供水时段的用水量加上水位上升值 260是该时段泵入 的水量，除以时段长度得到水泵的功率（单位时间泵入的水量），而两个供水时段水泵的 功率应大致相等．第1、2时段水泵的功率可计算如下： p1=(y12+260)/2； %第1供水时段水泵的功率 （水量仍以高度计） tp4=20.8：0.1：23； xp2=polyval（c3，tp4）； % xp2输出第2供水时段 各时刻的流量 p2=(0.1*trapz(xp2)+260)/2.2； %第2供水时段水泵的功率 （水量仍以高度计） 计算结果：p1=154.5 ，p2=140.1
用非线性最小二乘拟合c(t)-用lsqcurvefit
1. 用M文件curvefun3.m定义函数
function f=curvefun3(x,tdata) d=300 f=(x(1)\d)*exp(-x(2)*tdata) % x(1)=v; x(2)=k
水塔流量估计的数学建模
水塔流量估计的数学建模水塔是城市供水系统中的重要组成部分，它们储存着大量的水资源，为城市居民提供生活用水。
在城市供水系统中，水塔的流量是一个非常重要的参数，它直接影响着供水系统的运行效率和水资源的利用率。
因此，如何准确地估计水塔的流量是一个非常重要的问题。
水塔的流量估计可以通过数学建模来实现。
首先，我们需要了解水塔的基本结构和工作原理。
水塔通常由水箱、进水管、出水管、溢流管等组成。
当水箱内的水位下降时，进水管会自动打开，将外部的水源引入水箱中，同时出水管会自动关闭，防止水箱内的水流失。
当水箱内的水位上升到一定高度时，溢流管会自动打开，将多余的水流出水箱，以保持水箱内的水位稳定。
在水塔的运行过程中，我们可以通过测量进水管和出水管的水流速度来估计水塔的流量。
根据流量的定义，流量等于单位时间内通过某一截面的液体体积。
因此，我们可以通过测量进水管和出水管的截面积和水流速度来计算水塔的流量。
具体地，假设进水管的截面积为A1，出水管的截面积为A2，进水管的水流速度为v1，出水管的水流速度为v2，则水塔的流量Q可以表示为：Q = A1v1 - A2v2其中，A1v1表示进水管的流量，A2v2表示出水管的流量。
由于进水管和出水管的截面积和水流速度可能会随着时间的变化而发生变化，因此我们需要不断地对它们进行测量和调整，以保证水塔的流量估计的准确性。
除了测量进水管和出水管的水流速度外，我们还可以通过其他的方法来估计水塔的流量。
例如，我们可以通过测量水塔内部的水位变化来估计水塔的流量。
具体地，我们可以安装水位传感器在水塔内部，通过测量水位的变化来计算水塔的流量。
这种方法的优点是不需要对进水管和出水管进行测量，但是需要安装水位传感器，成本较高。
水塔流量估计的数学建模是一个非常重要的问题。
通过测量进水管和出水管的水流速度或者测量水塔内部的水位变化，我们可以准确地估计水塔的流量，从而保证城市供水系统的正常运行。
估计水塔的水流量
估计水塔的水流量美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天所用的总水量.许多社区没有测量流入或流出当地水塔的水量的装置,他们只能代之以每小时测量水塔中的水位,其精度不超过5%,更重要的是,当水塔中的水位下降最低水位L 时水泵就启动向水塔输水直到最高水位H,但也不能测量水泵的供水量.因此,当水泵正在输水时不容易建立水塔中水位和水泵工作时用水量之间的关系.水泵每两天输水一次或两次,每次约二小时.试估计任何时刻(包括水泵正在输水的017921 时间内)从水塔流出的流量f(t),并估计一天的总用水量.附表给出了某各小镇一天中真实的数据.附表给出了从第一次测量开始的以秒为单位的时刻.以及该时刻的高度单位为百分之一英尺的水位测量值.例如,3316 秒后,水塔中水位达到31.10 英尺.水塔是一个高为40 英尺,直径为57 英尺的正圆柱.通常当水塔水位降至约27.00 英尺的水泵开始工作,当水位升到35.50 英尺时水泵停止工作.问题分析与数据处理由问题的要求,关键在于确定用水率函数,即单位时间内用水体积,记为f(t),又称水流速度.如果能够通过测量数据,产生若干个时刻的用水率,也就是f(t)在若干个点的函数值,则f(t)的计算问题就可以转化为插值或拟合问题一,问题假设1)水塔中水流量是时间的连续光滑函数,与水泵工作与否无关,并忽略水位高度对水流速度的影响.2)水泵工作与否完全取决于水塔内水位的高度,且每次加水的工作时间为2小时.3)水塔为标准圆柱体.4)水泵第一次供水时间为[32284, 39435],第二次供水时间段为[75021,85948].5)为了方便计算我们把表格中的秒转化成小时.6）我们规定以下符号：h:水塔中水位的高度，是时间的函数，单位为英尺；v:水塔中水的体积，是时间的函数，单位为加仑； t:时间，单位为小时；f:模型估计的水塔水流量，是时间的函数，单位为加仑/小时p:水泵工作时的充水水流量，也是时间的函数，单位为加仑/小时。
估计水塔的水流量
估计水塔的水流量1、问题提出：某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单位时间的用水量）和日总用水量进行估计。
现有一居民区，其自来水是由一个圆柱形水塔提供，水塔高12.2m，塔的直径为17.4m。
水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水，一般水泵每天工作两次，按照设计，当水塔中的水位降至最低水位，约8.2m时，水泵自动启动加水；当水位升高到最高水位，约10.8m时，水泵停止工作。
表1给出的是某一天的测量数据，测量了28个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到水位（表中用—表示），试建立数学模型，来估计居民的用水速度和日用水量。
表1 水塔中水位原始数据2、问题分析：日用水量用水速度每个时刻水塔中水的体积3、模型假设：影响水从水塔中流出的流量的唯一因素是公众对水的传统要求；水塔中的水位、气候条件、温度变化等不影响水流量的大小；水泵充水速度水塔的水流量与水泵状态独立；恒定，且远大于水塔的水流速度；水流量曲线是一条连续光滑的曲线；表1数据是准确的；4、模型的建立与求解：（1）、水塔中水的体积其中， ，（r 为底面半径,d 为水面高度）（2）在Matlab 命令窗口直接运行(不包括未知三点)>>t=[0,0.921,1.843,2.949,3.871,4.978,5.900,7.006,7.928,8.967,10.954,12.032,12.954,13.875,14.982,15.903,16.826,17.931,19.037,19.959,20.839,22.958,23.880,24.986,25.908];>>v=[2301.1,2254,2213.3,2169.8,2135.8,2095.9,2065.4,2027.1,1994.6,1954.6,2572.9,2496.8,2427.8,2362.7,2295.4,2237.3,2182.9,2121.3,2059.7,2005.3,1954.6,2572.9,2518.4,2462.0,2420.7]; >> scatter(t,v)得到水塔中水体积的散点图 0510********19002000210022002300240025002600（3）在Matlab 中编写脚本文件（不包括未知三点）采用数值微分的一阶微商的两点公式（末位处近似为sd(n)=sd(n-1))t=[0,0.921,1.843,2.949,3.871,4.978,5.900,7.006,7.928,8.967,10.954,12.032,12.954,13.875,14.982,15.903,16.826,17.931,19.037,19.959,20.839,22.958,23.880,24.986,25.908];v=[2301.1,2254,2213.3,2169.8,2135.8,2095.9,2065.4,2027.1,1994.6,1954.6,2572.9,2496.8,2427.8,2362.7,2295.4,2237.3,2182.9,2121.3,2059.7,2005d r V 2π=.3,1954.6,2572.9,2518.4,2462.0,2420.7];for i=1:9sd(i)=abs((v(i+1)-v(i))/(t(i+1)-t(i)));endsd(10)=sd(9);for i=11:20sd(i)=abs((v(i+1)-v(i))/(t(i+1)-t(i)));endsd(21)=sd(20);for i=22:24sd(i)=abs((v(i+1)-v(i))/(t(i+1)-t(i)));endsd(25)=sd(24);scatter(t,sd)hold onplot(t,sd)得到水塔中水流速度的散点图及光滑图0510********（4）预测水塔中的未知流速[1]在Matlab中运行脚本文件（不包括未知三点）：采用数值微分的一阶微商的两点公式（末位处近似为sd(n)=sd(n-1))t=[0,0.921,1.843,2.949,3.871,4.978,5.900,7.006,7.928,8.967,10.954,12. 032,12.954,13.875,14.982,15.903,16.826,17.931,19.037,19.959,20.839,22 .958,23.880,24.986,25.908];v=[2301.1,2254,2213.3,2169.8,2135.8,2095.9,2065.4,2027.1,1994.6,1954. 6,2572.9,2496.8,2427.8,2362.7,2295.4,2237.3,2182.9,2121.3,2059.7,2005 .3,1954.6,2572.9,2518.4,2462.0,2420.7];for i=1:9sd(i)=abs((v(i+1)-v(i))/(t(i+1)-t(i)));endsd(10)=sd(9);for i=11:20sd(i)=abs((v(i+1)-v(i))/(t(i+1)-t(i)));endsd(21)=sd(20);for i=22:24sd(i)=abs((v(i+1)-v(i))/(t(i+1)-t(i)));endsd(25)=sd(24);sd得到速度（不包括未知三点）sd =Columns 1 through 951.1401 44.1432 39.3309 36.8764 36.0434 33.0803 34.6293 35.2495 38.4986Columns 10 through 1838.4986 70.5937 74.8373 70.6840 60.7949 63.0836 58.9382 55.7466 55.6962Columns 19 through 2559.0022 57.6136 57.6136 59.1106 50.9946 44.7939 44.7939 [2]采用拉格朗日插值法估计未知三点的速度:在Matlab命令窗口直接运行>> x0=[7.928,8.967];>> y0=[38.4968,38.4968];>> lglr3(x0,y0,9.981)ans =38.4968>> x0=[8.967,9.981];>> y0=[38.4968,38.4968];>> lglr3(x0,y0,10.925)ans =38.4968>> x0=[19.959,20.839];>> y0=[57.6136,57.6136];>> lglr3(x0,y0,22.015)ans =57.6136[3]在Matalb中运行脚本文件t=[0,0.921,1.843,2.949,3.871,4.978,5.900,7.006,7.928,8.967,9.981,10.9 25,10.954,12.032,12.954,13.875,14.982,15.903,16.826,17.931,19.037,19.959,20.839,22.015,22.958,23.880,24.986,25.908];sd=[51.1401,44.1432,39.3309,36.8764,36.0434,33.0803,34.6293,35.2495,3 8.4986,38.4968,38.4968,38.4986,70.5937,74.8373,70.6840,60.7949,63.083 6,58.9382,55.7466,55.6962,59.0022,57.6136,57.6136,57.6136,59.1106,50. 9946,44.7939,44.7939];scatter(t,sd)hold onplot(t,sd)得到水塔中水流速度的散点图及光滑图（new）757065605550454035300510********(4)a、通过曲线拟合，拟合出上述函数（f1）b、通过数值积分（梯形，辛普森）求出用水量(f2)5、模型检验：应该另外测试一批数据检验模型(f1,f2)6、模型分析：（1） 4.（3）中末位处近似为sd(n)=sd(n-1)可以改进，比如先采用数值微分求1----(n-1)的速度，再采用拉格朗日插值法求末位n的速度；（2）拉格朗日插值可以改用其他更为精确的插值法（3）数值微分法可以采用其他的更为精确的方法（而不是一阶微商的两点公式）（4） 4.（4）中的两部暂时不会（5）模型假设处可能有一些瑕疵7、附录：。
估计水塔的水流量(AMCM91
估计水塔的水流量(AMCM911.实验问题某地的用水管理机构要求各社区提供用水率（以每小时多少加仑计，英制单位下，1加仑=4.54596dm3，美制单位下，1加仑=3.78533dm3）以及每天所用的总用水量，但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，而只能以每小时测量水塔的水位代替，其精度在0.5%以内。
更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L时，水泵就启动向水塔重新充水直至某一最高水位H，但也无法得到水泵的供水量的测量数据。
因此，在水泵正在工作时，不容易建立水塔中水位与水泵工作时用水量之间的关系。
水泵每天向水塔充水一次或两次，每次大约2小时。
试估计在任何时候，甚至包括水泵正在工作的时间内从水塔流出的流量，并估计一天的总用水量。
水塔是一个垂直圆柱体，高为40英尺，直径为57英尺。
下表给出了某个小镇某一天的真实数据。
表：某小镇某天的水塔水位（1m=3.281英尺）2.实验分析2.1 计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度乘以水塔横截面积。
2.2 把时间分成5段：第1未供水段、水泵开启第1段、第2未供水段、水泵开启第2段、第3未供水段。
2.3 先直接对第1、2、3未供水段进行5次曲线拟合。
2.4 再对得到的曲线分别求导，取得流速（即单位时间内流出的水的高度）。
2.5 水泵开启第1、2段，分别在两端各取两个点，用时刻流速进行拟合得到这两段的流速。
2.6 流速乘以水塔横截面积就得到任何时刻的水流量。
2.7 对其进行分段积分，求和得到一天的总水流量。
3.程序设计与求解方法3.1 对表中数据进行处理数据的单位转换：46636,49953,53936,57254,60574,64554,68535,71854,75021,85968,89953,932 70];y=[31.75,31.10,30.54,29.94,29.55,28.92,28.50,27.87,27.52,26.97,35.50, 34.45,33.50,32.67,31.56,30.81,30.12,29.27,28.42,27.67,26.97,34.75,33. 89,33.40];t=x/3600; %时间单位为小时h=y/3.281; %水位高度单位为米水塔横截面积为a=pi*(57/2)^2;3.2 对第1段未供水段进行5次拟合x1=t(1:10);y1=h(1:10);f1=polyfit(x1,y1,5);t1=0:0.01:t(10);h1=polyval(f1,t1);plot(x1,y1,'o',t1,h1,'k');xlabel('时间（h）');ylabel('水位(m)');title('第一未供水时段的时间水位图')3.3 对第2段未供水段进行5次拟合x2=t(11:21);y2=h(11:21);f2=polyfit(x2,y2,5);t2=t(11):0.01:t(21);h2=polyval(f2,t2);plot(x2,y2,'o',t2,h2,'r');xlabel('时间(h)');ylabel('水位(m)');title('第二未供水时段的时间水位图 ')3.4 对第3段未供水段进行5次拟合x3=t(22:24);y3=h(22:24);f3=polyfit(x3,y3,5);t3=t(22):0.01:t(24);h3=polyval(f3,t3);plot(x3,y3,'o',t3,h3,'r');xlabel('时间(h)');ylabel('水位(m)');title('第三未供水时段的时间水位图 '3.5 对1、2、3未供水段进行求导，得到流速，再乘以水塔横截面积得流量b1=polyder(f1);%求导b2=polyder(f2);%求导b3=polyder(f3);%求导g1=-polyval(b1,t1)*a;%流速值再乘以水塔横截面积得流量g11=-polyval(b1,x1)*a;g2=-polyval(b2,t2)*a;%流速值再乘以水塔横截面积得流量g22=-polyval(b2,x2)*a;g3=-polyval(b3,t3)*a;%流速值再乘以水塔横截面积得流量g33=-polyval(b3,x3)*a;plot(x1,g11,'*',t1,g1,'c') %第一未供水段时间流量图plot(t2,g2) %第二未供水段时间流量图plot(t3,g3) %第三未供水段时间流量图3.6 求水泵开启第一段的时间流量图，取那段的前后两端各两个点的流速进行拟合，再乘以水塔横截面积得流量。
水塔流量估计
水塔流量的估计一.问题的提出某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计其流量。
但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。
通常水泵每天供水一两次，每次约2h(小时)。
水塔是一个高为12.2m,直径为17.4m 是正圆 柱。
按照设计,水塔水位降至约8.2m 时,水泵自动 启动,水位升到约为10.8m 时水泵停止工作。
表1是某一天的水位测量记录(符号“//”表示水泵启动)，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量及一天的总用水量。
表1：水位测量记录（时刻：h ，水位：cm ）时刻 0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 水位 968 948 931 913 898 881 896 852 839 822 时刻 9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 水位 // // 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 时刻 19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91水位866843822////105910351011二、问题分析流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数，在水泵不工作的时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。
水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到，作为用于拟合的原始数据，我们希望水泵不工作的时段流量越准确越好。
这些流量大体可由两种方法计算: 一是直接对表1中的水位用数值微分算出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连续时间的流量。
二是先用表中数据拟合水位~时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。
11-水塔水流量估计模型与数据插值
解为X A1Y .
可以证明，对于n+1个不同结点，必存在唯一的次 数不超过n的满足条件的多项式，这个多项式称为 插值多项式，这种方法称为n次多项式插值（或代 数插值。
为了以后使用方便，先编制一个Lagrange插值函数程序： function p=lagrange(x,y) L=length(x); A=ones(L); for j=2:L A(:,j)=A(:,j-1).*x'; end X=inv(A)*y'; for i=1:L p(i)=X(L-i+1); end
结果分析
分段线性插值有效地回避了插值问题中的 “龙格现象”，结果连线也大致描述了已知数 据点的变化规律。但很明显，由分段直线连接 的插值曲线在节点处不光滑，不可导。
(3)3次样条插值
x=[0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1]; y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.3 11.2]; plot(x,y,'b.','markersize',30) axis([0 1 -1 16]) grid hold on pause(1) t=0:0.01:1; u=spline(x,y,t); plot(t,u,'r-','linewidth',3)
差商具有如下性质：
（1）m阶差商是零阶差商的线性组合； （2）差商与插值结点的次序无关； （3）若f(x)是m次多项式，则 f[x0,x1,…,xm]=0
由差商公式， f ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x ]( x x0 ),
数值计算插值与拟合给药方案估计水塔水流量
Ra=y
r11 r12 r1m
a1
y1
其中 R
,
a
,
y
rn1 rn2 rnm
am
yn
定理：当RTR可逆时，超定方程组
Ra=y
存在最小二乘解，且其解可表示为下列形式：
a=(RTR)-1RTy
a=R\y
线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中函数 {r1(x), …rm(x)}的选取
c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
求血药浓度随时间的变化规律c(t).
作半对数坐标系(semilogy)下的图形
102
MATLAB(aa1)
c(t) c0ekt
101
c, k为待定系数
100
解答
0
2
4
6
8
曲线拟合问题的提法
三次样条函数的定义
设[a,b] 的一个划分：a=x0<x1, x2 , ..., xn= b，
函数f ( x )各节点的值分别为：
f ( xi )=yi (i=1,2,...,n) 如果三次样条函数：
3
满足： S ( xi )=yi (i=1,2,...,n)
数据的拟合
1.拟合问题引例 2.拟合的基本原理 3.用MATLAB求解拟合问题 4.应用举例 5.插值与拟合的比较
6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)- cdata
2）输入命令: x0=[0.2,0.05,0.05];
水塔水流量估计模型与数据插值总结
一
数据插值
给定n个数据点 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),, ( xn , yn ),
试求一个较为简单的函 数P ( x )，使得P ( x )满足 yi P ( xi ), i 1,2,, n
称P(x)为插值函数。也即求解一条严格通过各数 据点的曲线，用它来进行分析研究和预测，这种 方法常称为数据插值法。
称为牛顿插值公式，最后一项称为牛顿插值余项， 记为Rn(x)，余项前的多式称为插值多项式，记 为Pn(x)。
牛顿插值多项式具有以下特点：
（1）在插值结点处与拉格朗日插值一样，误差 为零； （2）多项式k次项的系数是f(x)的k阶差商； （3）增加插值节点时，只增加最后一项，不必 像拉格朗日插值公式那样需要重新计算系数。 在做牛顿插值时，一般先做出差商表，然后套 用公式。
n 1 1
解为X A1Y .
可以证明，对于n+1个不同结点，必存在唯一的次 数不超过n的满足条件的多项式，这个多项式称为 插值多项式，这种方法称为n次多项式插值（或代 数插值。
为了以后使用方便，先编制一个Lagrange插值函数程序： function p=lagrange(x,y) L=length(x); A=ones(L); for j=2:L A(:,j)=A(:,j-1).*x'; end X=inv(A)*y'; for i=1:L p(i)=X(L-i+1); end
5
4
3
2
1
0
-1
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
从结果可以看到，所插值的4次多项式曲线较好地连接了5个 数据点，从而可以用此多项式曲线作为这5个数据的一个近 似变化。
MATLAB__水塔流量的估计
水塔水流量的估计摘要:数学建模方法是处理科学理论的一种经典方法，也是解决各类实际问题的常用方法。
本文采用曲线拟合的方法，并利用数学软件MATLAB对水塔流量进行计算，计算结果与实际记录基本吻合。
关键词:建模，流量，拟合，MATLAB1.问题重述美国某州的各用水管理机构要求各社区提供用水率（以每小时多少加仑计，英制单位下，1加仑=4.54596dm3，美制单位下，1加仑=3.78533dm3）以及每天所用的总用水量，但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，而只能以每小时测量水塔的水位代替，其精度在0.5%以内。
更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L时，水泵就启动向水塔重新充水直至某一最高水位H，但也无法得到水泵的供水量的测量数据。
因此，在水泵正在工作时，不容易建立水塔中水位与水泵工作时用水量之间的关系。
水泵每天向水塔充水一次或两次，每次大约2小时。
试估计在任何时候，甚至包括水泵正在工作的时间f t，并估计一天的总用水量。
水塔是一个垂直圆柱体，高为内从水塔流出的流量()40英尺，直径为57英尺。
下表给出了某个小镇某一天的真实数据：表1某小镇某天的水塔水位（1m=3.281英尺）2.问题分析数据的单位转换：表2流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数，在水泵不工作的时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。
水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到，作为用于拟合的原始数据，我们希望水泵不工作的时段流量越准确越好。
这些流量大体可由两种方法计算: 一是直接对表2中的水位用数值微分算出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连续时间的流量。
二是先用表中数据拟合水位-时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。
一般说来数值微分的精度不高，何况测量记录还是不等距的，数值微分的计算尤其麻烦。
下面我们用第二种方法处理。
有了任何时刻的流量，就不难计算一天的总用水量。
水塔水流量估计
答卷编号（参赛学校填写）：答卷编号（竞赛组委会填写）：论文题目： 98年A组别：本科参赛队员信息(必填)：参赛学校：承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：估计水塔的流量一、问题重述某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量，但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量．通常水泵每天供水一两次，每次约两小时.水塔是一个高12.2米，直径17.4米的正圆柱．按照设计，水塔水位降至约8.2米时，水泵自动启动，水位升到约10.8米时水泵停止工作．表1 是某一天的水位测量记录，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量．二、模型假设1、假设该水塔为标准的圆柱形。
2、水塔的流量只取决水塔内水位的差值，与其水位的高低无关且该流量应看做连续光滑的变量。
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水塔流量的估计一.问题的提出某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计其流量。
但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。
通常水泵每天供水一两次，每次约Array 2h(小时)。
水塔是一个高为12.2m,直径为17.4m是正圆10.8m 柱。
按照设计,水塔水位降至约8.2m时,水泵自动启动,水位升到约为10.8m时水泵停止工作。
表1是某一天的水位测量记录(符号“//”表示水泵启动)，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量及一天的总用水量。
表1：水位测量记录（时刻：h，水位：cm）二、问题分析流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数，在水泵不工作的时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。
水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到，作为用于拟合的原始数据，我们希望水泵不工作的时段流量越准确越好。
这些流量大体可由两种方法计算: 一是直接对表1中的水位用数值微分算出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连续时间的流量。
二是先用表中数据拟合水位~时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。
一般说来数值微分的精度不高，何况测量记录还是不等距的，数值微分的计算尤其麻烦。
下面我们用第二种方法处理。
有了任何时刻的流量，就不难计算一天的总用水量。
其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，如表1可知从t=0到t=8.97(h)水位下降了968 –822=146(cm)，乘以水塔的截面积就是这一时段的用水量。
这个数值可以用来检查拟合的结果。
三、模型假设1. 流量只取决于水位差，与水位本身无关。
按照Torricelli (托里切利, 1608-1647, 意大利数学家、物理学家、气压计原理发现者)定律从小孔流出的流体的流速正比于水面高度的平方根，题目给出水塔的最低和最高水位分别是8.2m 和10.8m(设出口的水位为零), 1.151=≈,所以可忽略水位对速度的影响。
2. 根据最低和最高水位分别是8.2m 和10.8m 及表1的水位测量记录,假设水泵第1次供水时段为9t =到11t =,第2次供水时段为20.8t =到23t =。
其中前3个时刻取自实测数据（精确到0.1h ）,最后1个时刻来自每次供水约两小时的已知条件（从记录看，每2次供水时段应在有记录的22.96h 之后不久结束）。
3. 水泵工作时单位时间的供水量大致是常数，此常数大于单位时间的平均流量。
4. 流量是对时间的连续函数。
5. 流量与水泵是否工作无关。
6. 由于水塔截面积是常数, ()22217.4/2237.787S r m ππ==⨯≈,为简单起见，计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度，即水位对时间变化率的绝对值（水位是下降的），最后给出结果时再乘以S 即可。
即：水位是时间的连续函数 ()h h t =水位对时间的变化率(流量) ()dh t h dt'= 任何时刻的流量： ()()V t h t S '=四、模型建立1.拟合水位~时间函数从表1 测量记录看，一天有两个供水时段（以下称第1供水时段和第2供水时段）和3个水泵不工作时段(以下称第1用水时段0t =到8.97t =，第2用水时段10.95t =到20.48t =第3用水时段23t =以后)。
对第1、2用水时段的测量数据分别作多项式拟合，得到水位函数 11()h h t = 和22()h h t =。
为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般用3~6次。
由于第3时段只有3个测量记录，无法对这一时段的水位作出比较好的拟合，可采用外推的办法解决。
2. 确定流量~时间函数对于第1、2用水时段，只需将水位函数(),1,2i i h h t i == 求导数即可，对于两个供水时段的流量，则用供水时段前后（水泵不工作时段）的流量拟合得到，并且将拟合得到的第2供水时段流量外推，将第3用水时段流量包含在第2供水时段内，需要拟合四个流量函数。
3. 一天总用水量的估计总用水量等于两个水泵不工作时段和两个供水时段用水量之和，它们都可以由流量对时间的积分得到。
t tt t V V dt S h dt ''==-⎰⎰五、模型求解根据表一，可以对各时段的数据进行拟合。
建立时间和水位向量1212[,,],[,,]t t t h h h ==的函数关系。
为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般用3~6次。
先用3次函数进行拟合第一时段[0,9]的水位、流量。
设t 、h 为已输入的时刻和水位测量记录(水泵启动的4个时刻不输入):>> h=[968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 0 0 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 866 843 822 0 0 1059 1035 1018];>> t=[0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91]; >> x1=t(1:10);x2=x1.^2;x3=x1.^3; >> n=10;m=3;>> x=[ones(n,1),x1',x2',x3'];>> [b,bint,r,rint,stats]=regress(h(1:10)',x,0.05) b =967.7356-22.10791.3586-0.0785bint =966.5367 968.9345-23.3536 -20.86221.0241 1.6932-0.1030 -0.0541r =0.2644-0.4851-0.16760.67540.0260-0.63280.5374-0.46760.3089-0.0590rint =-0.3216 0.8505-1.5934 0.6232-1.3634 1.0282-0.2883 1.6392-1.2427 1.2947-1.7032 0.4376-0.5339 1.6088-1.5560 0.6207-0.8696 1.4874-0.6534 0.5353stats =1.0e+004 *0.0001 2.3222 0.0000 0.0000>> rcoplot(r,rint)残差分析可以看到，拟合比较符合，拟合效果较好。
经过实验，选取3次较合适。
故以下选用三次函数进行拟合。
1、拟合第1用水时段各时刻的流量，可由如下程序代码得到：c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3); %用3次多项式拟合第1用水时段水位h1=h1(t)，c1输出3次多项式的系数a1=polyder(c1); %a1输出多项式（系数为c1）导数的系数，h1=-polyval(a1,t(1:10)); %给出水位变化率h1=h1(t)在t(1)-t(10)上的离散值，即流量t1 = 0:0.1:9; %将第一用水时段[0 , 9]细分h11= -polyval(a1,tp1); %h11输出多项式a1在t11点的函数值(取负后边为正值)，即t11时刻的流量(水位下降的速率)。
用程序进行计算，求得在[0，9]内各时刻的流量值(水位变化率)如下表：t0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97ih 22.11 19.81 17.91 16.14 15.12 14.42 14.28 14.64 15.38 16.69i第一用水段流量（水位变化率）曲线图2.拟合第2用水时段[11,20.8]的水位、流量c2=polyfit(t(13:23),h(13:23),3); %用3次多项式拟合第2用水时段水位水位h2=h2(t) ，c2输出3次多项式的系数a2 = polyder(c2); %a2输出多项式（系数为c2）导数的系数,h2=-polyval(a2,t(13:23)); %给出水位变化率h2’=h’2(t)t2 = 11:0.1:20.8; %将第二用水时段[11 , 20.8]细分h22 = -polyval(a2,t2); %x2输出多项式（a2）在tp2点的函数值(取负后边为正值)，即tp2时刻的流量(水位下降的速率)。
进行计算，求得在[11,20.8]内各时刻的流量值(水位变化率)如下表：i t 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 i h22.1119.8117.9116.1415.1214.4214.2814.6415.3816.6967.81第二用水段流量（水位变化率）曲线图3. 拟合第1供水时段[9，11]的流量在第1供水时段（t = 9~11）之前（即第1用水时段）和之后（第2用水时段）各取几点，其流量已经得到，用它们拟合第1供水时段的流量。
为使流量函数在t =9 和t =11连续我们简单地只取4个点，拟合3次多项式（即曲线必过这4个点），实现如下：x1 = -polyval(a1,[8 9]) %取第1时段在t=8,9的流量 x2=-polyval(a2,[11 12]) %取第2时段在t=11,12的流量 x12 = [x1 x2]; %将四个点合并 c12 = polyfit([8 9 11 12], x12, 3); %拟合3次多项式t12 =9:0.1:11; %将第一供水时段[11 , 20.8]细分xx12 = polyval(c12,t12); %xx12输出第一供水时段各时刻的流量进行计算，求得在[9,11]内各时刻的流量值(水位变化率)如下表：t9.98 10.92ih 25.39 32.45i第一供水段流量（水位变化率）曲线图4.拟合第2供水时段[20.8,24]的流量在第2供水时段之前取t =20,20.8两点的水流量，在该时刻之后（第3用水段）仅有3个水位记录，我们用差分得到流量，然后用这4个数值拟合第2供水时段的流量如下：dt3 = diff(t(26:28)); %最后3个时刻之后的两两之差dh3 = diff(h (26:28)); %最后3个水位的两两之差dht3 = -dh3./dt3; % t(22)和t(23)的流量（差商代替微商）t3 = [20 20.8 t(26) t(27)]；%取第二供水时段前后各两点x3=[-polyval(a2,t3(1:2)),dht3]; %求得t3各时刻的流量 c3 = polyfit(t3,x3,3); % 拟合3次多项式t3 = 20.8:0.1:24； %将第二供水时段和第三用水时段细分xx3=polyval(c3,t3); % xx3输出第2供水时段及第三用水时刻的流量用程序进行计算，求得在[20.8,24]内各时刻的流量值(水位变化率)如下表：i t22.01 22.96 23.88 24.99 25.91i h ' 25.547 23.937 21.622 18.478 16.08第二供水段流量（水位变化率）曲线图4. 一天总用水量的估计第1、2用水时段和第1、2供水时段流量的积分之和，就是一天总用水量。