2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第4讲直线平面平行的判定及其性质课件理
2018版高考数学一轮复习第八章立体几何第4讲直线平面平行的判定及其性质理
第4讲直线、平面平行的判定及其性质一、选择题1．若直线m⊂平面α，则条件甲：“直线l∥α”是条件乙：“l∥m”的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 D2．若直线a∥直线b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是( )A．一定平行 B．不平行C．平行或相交 D．平行或在平面内解析直线在平面内的情况不能遗漏，所以正确选项为D.答案D3．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是( )．A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α解析l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．答案 D4．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )．A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2解析对于选项A，不合题意；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B；对于选项C，由于m，n不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项D，由n∥l2可转化为n∥β，同选项C，故不符合题意，综上选B.答案 B5．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2.直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P3”是d2”的( )．“dA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析如图所示，由于α2∥α3，同时被第三个平面P1P3N所截，故有P2M∥P3N.再根据平行线截线段成比例易知选C.答案 C6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )．A．①③B．②③C．①④D．②④解析对于图形①：平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP，对于图形④：AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP，图形②、③都不可以，故选C.答案C 二、填空题7．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．答案 68．α、β、γ是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上)．解析①中，a∥γ，a⊂β，b⊂β，β∩γ＝b⇒a∥b(线面平行的性质)．③中，b∥β，b⊂γ，a⊂γ，β∩γ＝a⇒a∥b(线面平行的性质)．答案①③9．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．。
2018版高考数学复习第八章立体几何8.4直线平面平行的判定与性质教师用书文新人教版
2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何 8.4 直线、平面平行的判定与性质教师用书文新人教版1．线面平行的判定定理和性质定理2.面面平行的判定定理和性质定理【知识拓展】重要结论：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( ×)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( ×)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( ×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √)(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( ×)(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( ×)1．(教材改编)下列命题中正确的是( )A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α答案 D解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确．2．设l，m为直线，α，β为平面，且l⊂α，m⊂β，则“l∩m＝∅”是“α∥β”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“l∩m＝∅”是“α∥β”的必要条件；当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，∴l∩m＝∅是α∥β的必要不充分条件．3．(2016·烟台模拟)若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线答案 A解析当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.4．(教材改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．答案平行解析连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE.5．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．答案 6解析各中点连线如图，只有面EFGH与面ABB1A1平行，在四边形EFGH中有6条符合题意．题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1 直线与平面平行的判定例1 如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面PAD . 证明 (1)连接EC ，∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，∴BC 綊AE ，∴四边形ABCE 是平行四边形， ∴O 为AC 的中点．又∵F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ，FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，∴AP ∥平面BEF . (2)连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点， ∴FH ∥PD ，∴FH ∥平面PAD .又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点， ∴OH ∥AD ，∴OH ∥平面PAD . 又FH ∩OH ＝H ， ∴平面OHF ∥平面PAD . 又∵GH ⊂平面OHF ， ∴GH ∥平面PAD .命题点2 直线与平面平行的性质例2 (2017·长沙调研)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积． (1)证明 因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ， 且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ， 所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)解 如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ， 同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内， 所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ， 且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ， 从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF2·GK＝4＋82×3＝18. 思维升华 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．如图所示，CD ，AB 均与平面EFGH 平行，E ，F ，G ，H 分别在BD ，BC ，AC ，AD 上，且CD ⊥AB .求证：四边形EFGH 是矩形．证明 ∵CD ∥平面EFGH ， 而平面EFGH ∩平面BCD ＝EF ， ∴CD ∥EF .同理HG ∥CD ，∴EF ∥HG . 同理HE ∥GF ，∴四边形EFGH 为平行四边形． ∴CD ∥EF ，HE ∥AB ，∴∠HEF 为异面直线CD 和AB 所成的角(或补角)． 又∵CD ⊥AB ，∴HE ⊥EF . ∴平行四边形EFGH 为矩形．题型二 平面与平面平行的判定与性质例3 如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.引申探究1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明如图所示，连接HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.思维升华证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．(2016·西安模拟)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．(1)证明 由题设知，BB 1綊DD 1，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1. 又BD ⊄平面CD 1B 1，B 1D 1⊂平面CD 1B 1， ∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C .又A 1B ⊄平面CD 1B 1，D 1C ⊂平面CD 1B 1， ∴A 1B ∥平面CD 1B 1.又BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)解 ∵A 1O ⊥平面ABCD ， ∴A 1O 是三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高． 又AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1. 又S △ABD ＝12×2×2＝1，∴111ABD A B D V 三棱柱＝S △ABD ·A 1O ＝1.题型三 平行关系的综合应用例4 如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由． 解 方法一 存在点E ，且E 为AB 的中点时，DE ∥平面AB 1C 1.下面给出证明：如图，取BB 1的中点F ，连接DF ， 则DF ∥B 1C 1，∵AB的中点为E，连接EF，ED，则EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.方法二假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB1C1，如图，取BB1的中点F，连接DF，EF，ED，则DF∥B1C1，又DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1，又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，∴平面DEF∥平面AB1C1，∵EF⊂平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，又∵EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，∴EF∥AB1，∵点F是BB1的中点，∴点E是AB的中点．即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？解∵AB∥平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG，EH.∴AB∥FG，AB∥EH，∴FG ∥EH ，同理可证EF ∥GH ， ∴截面EFGH 是平行四边形．设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α (α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角)． 又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CGBC， y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝ba(a －x )， ∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α ＝x ·ba ·(a －x )·sin α＝b sin αax (a －x )． ∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值， ∴b sin αa x (a －x )≤ab sin α4，当且仅当x ＝a －x 时等号成立． 此时x ＝a2，y ＝b2. 即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 分别为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大．5．立体几何中的探索性问题典例 (12分)如图，在四棱锥S －ABCD 中，已知底面ABCD 为直角梯形，其中AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，tan∠SDA ＝23.(1)求四棱锥S －ABCD 的体积；(2)在棱SD 上找一点E ，使CE ∥平面SAB ，并证明． 规范解答解 (1)∵SA ⊥底面ABCD ，tan∠SDA ＝23，SA ＝2，∴AD ＝3.[2分]由题意知四棱锥S －ABCD 的底面为直角梯形，且SA ＝AB ＝BC ＝2，V S －ABCD ＝13·SA ·12·(BC ＋AD )·AB＝13×2×12×(2＋3)×2＝103.[6分] (2)当点E 位于棱SD 上靠近D 的三等分点处时，可使CE ∥平面SAB .[8分]证明如下：取SD 上靠近D 的三等分点为E ，取SA 上靠近A 的三等分点为F ，连接CE ，EF ，BF ， 则EF 綊23AD ，BC 綊23AD ，∴BC 綊EF ，∴CE ∥BF .[10分] 又∵BF ⊂平面SAB ，CE ⊄平面SAB ， ∴CE ∥平面SAB .[12分]解决立体几何中的探索性问题的步骤： 第一步：写出探求的最后结论； 第二步：证明探求结论的正确性； 第三步：给出明确答案；第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．1．(2017·保定月考)有下列命题：①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； ②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若直线a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；④若直线a ∥b ，b ∥α，则a 平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 命题①：l 可以在平面α内，不正确；命题②：直线a 与平面α可以是相交关系，不正确；命题③：a 可以在平面α内，不正确；命题④正确．故选A.2．(2016·滨州模拟)已知m ，n ，l 1，l 2表示直线，α，β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是( ) A ．m ∥β且l 1∥α B ．m ∥β且n ∥β C ．m ∥β且n ∥l 2 D ．m ∥l 1且n ∥l 2答案 D解析 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.故选D.3．设l 为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( ) A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β C ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥β D ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β 答案 B解析 l ∥α，l ∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故A 项错；由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知B 项正确；由l ⊥α，l ∥β可知α⊥β，故C 项错；由α⊥β，l ∥α可知l 与β可能平行，也可能l ⊂β，也可能相交，故D 项错．故选B.4．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C 两点，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D 两点，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( ) A ．16 B ．24或245C ．14D ．20答案 B解析 由α∥β得AB ∥CD . 分两种情况：若点P 在α，β的同侧，则PA PC ＝PB PD， ∴PB ＝165，∴BD ＝245；若点P 在α，β之间，则PA PC ＝PBPD，∴PB ＝16，∴BD ＝24.5．(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β； ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)答案②③④解析当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.6．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________．答案①或③解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．7.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱)中，E、F、G、H 分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.答案M∈线段FH解析因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)8．将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是________．(填命题的序号)答案①③解析由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”．9．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．答案平面ABD与平面ABC解析如图，取CD的中点E，连接AE，BE.则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.*10.在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．答案45 2解析如图，取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，则SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形． 又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ， 所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝(12AC )·(12SB )＝452.11.如图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明 (1)取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ， 易证四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥EG ， 由线面平行的判定定理即可证EG ∥平面BB 1D 1D .(2)由题意可知BD ∥B 1D 1. 如图，连接HB 、D 1F ，易证四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF . 又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .12．(2016·贵州兴义八中月考)在如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为a 的菱形，且∠DAB ＝60°，DF ＝2BE ＝2a ，DF ∥BE ，DF ⊥平面ABCD .(1)在AF 上是否存在点G ，使得EG ∥平面ABCD ，请证明你的结论； (2)求该多面体的体积．解 (1)当点G 位于AF 中点时，有EG ∥平面ABCD .证明如下：取AF 的中点G ，AD 的中点H ，连接GH ，GE ，BH . 在△ADF 中，HG 为中位线， 故HG ∥DF 且HG ＝12DF .因为BE ∥DF 且BE ＝12DF ，所以BE 綊GH ，即四边形BEGH 为平行四边形， 所以EG ∥BH .因为BH ⊂平面ABCD ，EG ⊄平面ABCD ， 所以EG ∥平面ABCD . (2)连接AC ，BD .因为DF ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形， 所以AC ⊥平面BDFE .所以该多面体可分割成两个以平面BDFE 为底面的等体积的四棱锥． 即V ABCDEF ＝V A －BDFE ＋V C －BDFE ＝2V A －BDFE＝2×13×a ＋2a 2×a ×32a ＝32a 3.*13.如图所示，斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点．(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC的值． 解 (1)如图所示，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1. 连接A 1B ，交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质知，四边形A 1ABB 1为平行四边形， ∴点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， ∴OD 1∥BC 1.又∵OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1. ∴当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1. (2)由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1， 且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1， 平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ， 得BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1， ∴A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DC AD，又∵A 1O OB ＝1，∴DC AD ＝1，即ADDC＝1.。
2019-2020年高考数学大一轮复习第八章立体几何第4讲直线平面平行的判定与性质课件文
与线、面平行相关命题的判定(师生共研)
设 m，n 表示不同直线，α，β 表示不同平面，则下列结 论中正确的是( ) A．若 m∥α，m∥n，则 n∥α B．若 m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则 α∥β C．若 α∥β，m∥α，m∥n，则 n∥β D．若 α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则 n∥β
又由三棱柱的性质知，D1C1═∥═BD， 所以四边形 BDC1D1 为平行四边形， 所以 DC1∥BD1. 又 DC1⊄平面 A1BD1，BD1⊂平面 A1BD1， 所以 DC1∥平面 A1BD1， 又因为 DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面 AC1D， 所以平面 A1BD1∥平面 AC1D.
解析：选 C.在选项 A 中，α 内有无数条直线都与 β 平行，α 与 β 有可能相交，故选项 A 错误；在选项 B 中，直线 a∥α，a∥β， 且直线 a 不在 α 内，也不在 β 内，则 α 与 β 相交或平行，故选 项 B 错误；在选项 C 中，α 内的任何直线都与 β 平行，由面面 平行的判定定理得 α∥β，故选项 C 正确；在选项 D 中，直线 a 在 α 内，直线 b 在 β 内，且 a∥β，b∥α，则 α 与 β 相交或平行， 故选项 D 错误．选 C.
第八章 立体几何
第 4 讲 直线、平面平行的判定与性质
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
平面外一条直线与
__这_个__平_面__内_____的一条 判定
直线平行，则该直线与 定理
此平面平行(简记为“线
线平行⇒线面平行”)
符号语言
因为 l∥a， a⊂α，l⊄α，
所以 l∥α
文字语言 一条直线与一个平面平 行，则过这条直线的任一 性质 平面与此平面的_交__线__与 定理 该直线平行(简记为“线 面平行⇒线线平行”)
2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何8.4直线、平面平行的判定与性质课件文新人教A版
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审题答题指导——如何作答平行关系证明题
典例(12分)
如图,几何体E-ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD. (1)求证:BE=DE; (2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.
1 中,AD=DC= AB=1, 2
∴AC=√2,BC=√2,AB=2,∴BC⊥AC.
又 PA⊥平面 ABCD,BC⊂平面 ABCD, ∴BC⊥PA. 又 PA∩AC=A, ∴BC⊥平面 PAC,∴BC⊥PC. 在 Rt△PAB 中,M 为 PB 的中点, 则 AM= PB. 在 Rt△PBC 中,M 为 PB 的中点, 则 CM=2PB,∴AM=CM.
-18考点1 考点2 考点3
对点训练2如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯 形,AB∥CD,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC= AB=1, M是PB的中点.
1 2
(1)求证:AM=CM; (2)若N是PC的中点,求证:DN∥平面AMC.
-19考点1 考点2 考点3
证明 (1)∵在直角梯形 ABCD
-21考点1 考点2 考点3
考点 3
平面与平面平行的判定与性质
例3一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.
(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由); (2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论. 思考证明面面平行的常用方法有哪些?
-22考点1 考点2 考点3
(1)求证:VB∥平面MOC; (2)求证:平面MOC⊥平面VAB; (3)求三棱锥V-ABC的体积.
-25考点1 考点2 考点3
(1)证明 因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OM∥VB. 又因为VB⊄平面MOC,所以VB∥平面MOC. (2)证明 因为AC=BC,O为AB的中点, 所以OC⊥AB. 又因为平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,且OC⊂平面ABC, 所以OC⊥平面VAB, 所以平面MOC⊥平面VAB.
【K12教育学习资料】2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何8.4直线平面平行的判定与性质教师用
2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何 8.4 直线、平面平行的判定与性质教师用书文新人教版1．线面平行的判定定理和性质定理2.面面平行的判定定理和性质定理【知识拓展】重要结论：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( ×)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( ×)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( ×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √)(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( ×)(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( ×)1．(教材改编)下列命题中正确的是( )A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α答案 D解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确．2．设l，m为直线，α，β为平面，且l⊂α，m⊂β，则“l∩m＝∅”是“α∥β”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“l∩m＝∅”是“α∥β”的必要条件；当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，∴l∩m＝∅是α∥β的必要不充分条件．3．(2016·烟台模拟)若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线答案 A解析当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.4．(教材改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．答案平行解析连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE.5．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．答案 6解析各中点连线如图，只有面EFGH与面ABB1A1平行，在四边形EFGH中有6条符合题意．题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1 直线与平面平行的判定例1 如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面PAD . 证明 (1)连接EC ，∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，∴BC 綊AE ，∴四边形ABCE 是平行四边形， ∴O 为AC 的中点．又∵F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ，FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，∴AP ∥平面BEF . (2)连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点， ∴FH ∥PD ，∴FH ∥平面PAD .又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点， ∴OH ∥AD ，∴OH ∥平面PAD . 又FH ∩OH ＝H ， ∴平面OHF ∥平面PAD . 又∵GH ⊂平面OHF ， ∴GH ∥平面PAD .命题点2 直线与平面平行的性质例2 (2017·长沙调研)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积． (1)证明 因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ， 且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ， 所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)解 如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ， 同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内， 所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ， 且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ， 从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF2·GK＝4＋82×3＝18. 思维升华 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．如图所示，CD ，AB 均与平面EFGH 平行，E ，F ，G ，H 分别在BD ，BC ，AC ，AD 上，且CD ⊥AB .求证：四边形EFGH 是矩形．证明 ∵CD ∥平面EFGH ， 而平面EFGH ∩平面BCD ＝EF ， ∴CD ∥EF .同理HG ∥CD ，∴EF ∥HG . 同理HE ∥GF ，∴四边形EFGH 为平行四边形． ∴CD ∥EF ，HE ∥AB ，∴∠HEF 为异面直线CD 和AB 所成的角(或补角)． 又∵CD ⊥AB ，∴HE ⊥EF . ∴平行四边形EFGH 为矩形．题型二 平面与平面平行的判定与性质例3 如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.引申探究1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.证明如图所示，连接HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.思维升华证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．(2016·西安模拟)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．(1)证明 由题设知，BB 1綊DD 1，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1. 又BD ⊄平面CD 1B 1，B 1D 1⊂平面CD 1B 1， ∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C .又A 1B ⊄平面CD 1B 1，D 1C ⊂平面CD 1B 1， ∴A 1B ∥平面CD 1B 1.又BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)解 ∵A 1O ⊥平面ABCD ， ∴A 1O 是三棱柱ABD －A 1B 1D 1的高． 又AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1. 又S △ABD ＝12×2×2＝1，∴111ABD A B D V 三棱柱＝S △ABD ·A 1O ＝1.题型三 平行关系的综合应用例4 如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由． 解 方法一 存在点E ，且E 为AB 的中点时，DE ∥平面AB 1C 1.下面给出证明：如图，取BB 1的中点F ，连接DF ， 则DF ∥B 1C 1，∵AB的中点为E，连接EF，ED，则EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.方法二假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB1C1，如图，取BB1的中点F，连接DF，EF，ED，则DF∥B1C1，又DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1，又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，∴平面DEF∥平面AB1C1，∵EF⊂平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，又∵EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，∴EF∥AB1，∵点F是BB1的中点，∴点E是AB的中点．即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？解∵AB∥平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG，EH.∴AB∥FG，AB∥EH，∴FG ∥EH ，同理可证EF ∥GH ， ∴截面EFGH 是平行四边形．设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α (α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角)． 又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CGBC， y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝ba(a －x )， ∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α ＝x ·ba ·(a －x )·sin α＝b sin αax (a －x )． ∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值， ∴b sin αa x (a －x )≤ab sin α4，当且仅当x ＝a －x 时等号成立． 此时x ＝a2，y ＝b2. 即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 分别为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大．5．立体几何中的探索性问题典例 (12分)如图，在四棱锥S －ABCD 中，已知底面ABCD 为直角梯形，其中AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，tan∠SDA ＝23.(1)求四棱锥S －ABCD 的体积；(2)在棱SD 上找一点E ，使CE ∥平面SAB ，并证明． 规范解答解 (1)∵SA ⊥底面ABCD ，tan∠SDA ＝23，SA ＝2，∴AD ＝3.[2分]由题意知四棱锥S －ABCD 的底面为直角梯形，且SA ＝AB ＝BC ＝2，V S －ABCD ＝13·SA ·12·(BC ＋AD )·AB＝13×2×12×(2＋3)×2＝103.[6分] (2)当点E 位于棱SD 上靠近D 的三等分点处时，可使CE ∥平面SAB .[8分]证明如下：取SD 上靠近D 的三等分点为E ，取SA 上靠近A 的三等分点为F ，连接CE ，EF ，BF ， 则EF 綊23AD ，BC 綊23AD ，∴BC 綊EF ，∴CE ∥BF .[10分] 又∵BF ⊂平面SAB ，CE ⊄平面SAB ， ∴CE ∥平面SAB .[12分]解决立体几何中的探索性问题的步骤： 第一步：写出探求的最后结论； 第二步：证明探求结论的正确性； 第三步：给出明确答案；第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．1．(2017·保定月考)有下列命题：①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； ②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若直线a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；④若直线a ∥b ，b ∥α，则a 平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 命题①：l 可以在平面α内，不正确；命题②：直线a 与平面α可以是相交关系，不正确；命题③：a 可以在平面α内，不正确；命题④正确．故选A.2．(2016·滨州模拟)已知m ，n ，l 1，l 2表示直线，α，β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是( ) A ．m ∥β且l 1∥α B ．m ∥β且n ∥β C ．m ∥β且n ∥l 2 D ．m ∥l 1且n ∥l 2答案 D解析 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.故选D.3．设l 为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( ) A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β C ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥β D ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β 答案 B解析 l ∥α，l ∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故A 项错；由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知B 项正确；由l ⊥α，l ∥β可知α⊥β，故C 项错；由α⊥β，l ∥α可知l 与β可能平行，也可能l ⊂β，也可能相交，故D 项错．故选B.4．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C 两点，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D 两点，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( ) A ．16 B ．24或245C ．14D ．20答案 B解析 由α∥β得AB ∥CD . 分两种情况：若点P 在α，β的同侧，则PA PC ＝PB PD， ∴PB ＝165，∴BD ＝245；若点P 在α，β之间，则PA PC ＝PBPD，∴PB ＝16，∴BD ＝24.5．(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β； ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)答案②③④解析当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.6．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________．答案①或③解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．7.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱)中，E、F、G、H 分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.答案M∈线段FH解析因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)8．将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是________．(填命题的序号)答案①③解析由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”．9．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．答案平面ABD与平面ABC解析如图，取CD的中点E，连接AE，BE.则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.*10.在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．答案45 2解析如图，取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，则SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形． 又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ， 所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝(12AC )·(12SB )＝452.11.如图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明 (1)取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ， 易证四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥EG ， 由线面平行的判定定理即可证EG ∥平面BB 1D 1D .(2)由题意可知BD ∥B 1D 1. 如图，连接HB 、D 1F ，易证四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF . 又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .12．(2016·贵州兴义八中月考)在如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为a 的菱形，且∠DAB ＝60°，DF ＝2BE ＝2a ，DF ∥BE ，DF ⊥平面ABCD .(1)在AF 上是否存在点G ，使得EG ∥平面ABCD ，请证明你的结论； (2)求该多面体的体积．解 (1)当点G 位于AF 中点时，有EG ∥平面ABCD .证明如下：取AF 的中点G ，AD 的中点H ，连接GH ，GE ，BH . 在△ADF 中，HG 为中位线， 故HG ∥DF 且HG ＝12DF .因为BE ∥DF 且BE ＝12DF ，所以BE 綊GH ，即四边形BEGH 为平行四边形， 所以EG ∥BH .因为BH ⊂平面ABCD ，EG ⊄平面ABCD ， 所以EG ∥平面ABCD . (2)连接AC ，BD .因为DF ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形， 所以AC ⊥平面BDFE .所以该多面体可分割成两个以平面BDFE 为底面的等体积的四棱锥． 即V ABCDEF ＝V A －BDFE ＋V C －BDFE ＝2V A －BDFE＝2×13×a ＋2a 2×a ×32a ＝32a 3.*13.如图所示，斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点．(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC的值． 解 (1)如图所示，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1. 连接A 1B ，交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质知，四边形A 1ABB 1为平行四边形， ∴点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， ∴OD 1∥BC 1.又∵OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1. ∴当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1. (2)由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1， 且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1， 平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ， 得BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1， ∴A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DC AD，又∵A 1O OB ＝1，∴DC AD ＝1，即ADDC＝1.。
高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 第4讲 直线、平面平行的判定及其性质试题 理 新人教
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平面平行的判定及其性质试题理新人教版基础巩固题组(建议用时:40分钟）一、选择题1。
(2017·保定模拟)有下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b,b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线。
其中真命题的个数是（)A.1B.2 C。
3 D.4解析命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③a可以在平面α内，不正确；命题④正确。
答案A2。
设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β"的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C。
充要条件 D.既不充分也不必要条件解析若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β"是“m∥β且n∥β"的充分不必要条件。
答案A3.（2017·长郡中学质检)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是（)A.异面B.平行C.相交D。
高考数学一轮复习统考 第8章 立体几何 第4讲 直线、平面平行的判定及性质课件
答案
解析 因为矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，所以 O 为 BD 的 中点．在△PBD 中，因为 M 为 PB 的中点，所以 OM 为△PBD 的中位线， OM∥PD，所以 PD∥平面 AMC，OM∥平面 PCD，且 OM∥平面 PDA.因为 M∈PB，所以 OM 与平面 PBA，平面 PBC 相交．
第二十五页，共八十六页。
解析
2．(2019·湖南联考)已知 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同 的平面，下列命题中正确的是( )
A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m∥α，m∥β，则 α∥β C．若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β D．若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n
解析 A 中，两直线可能平行、相交或异面；B 中，两平面可能平行 或相交；C 中，两平面可能平行或相交；D 中，由线面垂直的性质定理可 知结论正确，故选 D.
第三十一页，共八十六页。
解析
例 3 如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形 PC 的中点，在 DM 上取一点
G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.
求证：AP∥GH.
证明 如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
第二十六页，共八十六页。
解析 答案
精准设计考向，多角度探究突破 考向二 直线与平面平行(píngxíng)的判定与性质 角度 1 用线线平行证明线面平行 例 2 (1)(2019·豫东名校联考)如图，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为线段 AD 上的任意一点(不包 括 A，D 两点)，平面 CEC1 与平面 BB1D 交于 FG. 证明：FG∥平面 AA1B1B.
浙江省高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第4节直线平面平行的判定及其性质课件
图形表示
符号表示 a⊄α，b⊂α， a∥b⇒a∥α
a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b
2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面. (2)判定定理与性质定理
文字语言
一个平面内的两条相交直线与 判定
另一个平面平行，则这两个平 定理
面平行
∴BC 綉 AE，
∴四边形ABCE是平行四边形， ∴O为AC的中点， 又∵F是PC的中点，∴FO∥AP， 又FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点， ∴FH∥PD，又PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD， ∴FH∥平面PAD. 又∵O是BE的中点，H是CD的中点， ∴OH∥AD，又∵AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD， ∴OH∥平面PAD. 又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD. 又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.
[常用结论与易错提醒] 1.平行关系的转化
2.平面与平面平行的六个性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等. (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. (5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行. (6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这 两个平面平行.
规律方法 (1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个 定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最 容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项. (2)①结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断. ②特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结 论或用反证法推断命题是否正确.
2018高考数学文全国大一轮复习课件：第七篇 立体几何
③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
④若直线a与平面α 内无数条直线平行,则a∥α . ⑤空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,则EF∥平面BCD.
⑥若α ∥β ,直线a∥α ,则a∥β .
答案:⑤
考点专项突破
考点一 与平行相关命题的判断
在讲练中理解知识
【例1】 已知m,n是两条不同直线,α ,β ,γ 是三个不同平面,下列命题 中正确的是( ) (A)若m∥α ,n∥α ,则m∥n (B)若m∥n,n⊂α ,则m∥α (C)若m∥α ,m∥β ,则α ∥β (D)若α ∥β ,α ∥γ ,则β ∥γ 解析: m,n平行于α,m,n可以相交也可以异面,如图中正方体的棱A1B1, B1C1 都与底面 ABCD 平行 , 但这两条棱相交 , 故选项 A 不正确 ; 在正方体 中,AB∥A1B1,A1B1⊂平面A1B1BA,而AB不平行于平面 A1B1BA, 故选项B错;正 方体的棱 B1C1既平行于平面ADD1A1,又平行于平面 ABCD,但这两个平面是 相交平面 ,故选项 C 不正确 ; 由平面与平面平行的传递性 ,得选项 D 正确 . 故选D.
第 4节
直线、平面平行的判定与性质
最新考纲 1.理解直线与平面平行、平面与
2.能运用公理、定理和已获得的 结论证明一些与平行相关的命题.
平面平行的判定定理及性质定理.
知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实
知识链条完善
【教材导读】
把散落的知识连起来
1.若直线a与平面α 内无数条直线平行是否有a∥α ? 提示:不一定,有可能a⊂α.
α ∥β
(2)性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果两个平行平面同时和第三个平面 相交,那么它们的交线 平行 (简记为 “面面平行⇒ 线线平行”)
48第八章 立体几何与空间向量 8.4 直线、平面平行的判定与性质
§8.4直线、平面平行的判定与性质最新考纲考情考向分析1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题. 直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)⎭⎪⎬⎪⎫⇒l∥b2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎪⎬⎪⎫⇒a∥b概念方法微思考1．一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？2．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．()(2)平行于同一条直线的两个平面平行．()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．()(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.()(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.()题组二教材改编2．[P58练习T3]平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α3．[P62A组T3]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC 的位置关系为________．题组三易错自纠4．(2019·荆州模拟)对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是() A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m∥α，n⊥α，则m∥nD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n5．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中() A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线6．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的条件是______．(填上所有正确的序号)题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定例1 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．求证：GF∥平面ADE.命题点2 直线与平面平行的性质例2 (2019·东三省四市教研联合体模拟)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，P A ＝AB ＝1.(1)证明：EF ∥平面PDC ； (2)求点F 到平面PDC 的距离．思维升华 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)． (3)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)． (4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．跟踪训练1 (2019·崇左联考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AC ⊥平面ABCD ，且P A ⊥AC ，P A ＝AD ＝2，四边形ABCD 满足BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1.点E ，F 分别为侧棱PB ，PC 上的点，且PE PB ＝PFPC＝λ(λ≠0)．(1)求证：EF ∥平面P AD ；(2)当λ＝12时，求点D 到平面AFB 的距离．题型二平面与平面平行的判定与性质例3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.引申探究1．在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D 分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.2．在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求ADDC的值．跟踪训练2 (2018·合肥质检)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．(1)求证：平面BDM∥平面EFC；(2)若AB＝1，BF＝2，求三棱锥A－CEF的体积．题型三平行关系的综合应用例4 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．跟踪训练3 如图，E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，过A，C，E三点作平面α与正方体的面相交．(1)画出平面α与正方体ABCD－A1B1C1D1各面的交线；(2)求证：BD1∥平面α.1．下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α2．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面3．(2019·济南模拟)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能4．(2018·大同模拟)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有()A．0条B．1条C．2条D．0条或2条5．(2017·全国Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()6．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的序号)7．(2018·贵阳模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中是真命题的是________．(填序号)8．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．9.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度为________．10.如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件______时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)11．(2019·南昌模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD ＝60°，P A⊥平面ABCD，P A＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．(1)求证：平面CMN∥平面P AB；(2)求三棱锥P－ABM的体积．12.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明：B1D1∥l.13.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF＝2 2，则下列结论中错误的是()A．AC⊥BFB．三棱锥A－BEF的体积为定值C．EF∥平面ABCDD．异面直线AE，BF所成的角为定值14．如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是()15.如图，在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝10，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H ，且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为( )A.452B.4532 C ．15 D ．45 316.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AC 与BD 相交于点O ，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝BC ＝AP ＝3，三棱锥P －ACD 的体积为9.(1)求AD 的值；(2)过点O 的平面α平行于平面P AB ，平面α与棱BC ，AD ，PD ，PC 分别相交于点E ，F ，G ，H ，求截面EFGH 的周长．。
高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 第4讲 直线、平面平行的判定及其性质课件
12/11/2021
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又因为 G，E 分别为 A1B1，AB 的中点， 所以 A1G═ ∥EB，所以四边形 A1EBG 是平行四边形， 所以 A1E∥GB. 因为 A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG， 所以 A1E∥平面 BCHG. 又因为 A1E∩EF＝E， 所以平面 EFA1∥平面 BCHG.
如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为线段 AD 上 的任意一点(不包括 A，D 两点)，平面 CEC1 与平面 BB1D 交于 FG.证明：FG∥平面 AA1B1B.
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【证明】 在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，BB1∥CC1，BB1⊂ 平面 BB1D，CC1⊄平面 BB1D， 所以 CC1∥平面 BB1D， 又 CC1⊂平面 CEC1，平面 CEC1 与平面 BB1D 交于 FG， 所以 CC1∥FG，因为 BB1∥CC1， 所以 BB1∥FG，而 BB1⊂平面 AA1B1B，FG⊄平面 AA1B1B，所 以 FG∥平面 AA1B1B.
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1．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B 为 正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个 正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )
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解析：选 A.对于选项 B，如图所示，连接 CD，因为 AB∥CD， M，Q 分别是所在棱的中点，所以 MQ∥CD，所以 AB∥MQ， 又 AB⊄平面 MNQ，MQ⊂平面 MNQ，所以 AB∥平面 MNQ. 同理可证选项 C，D 中均有 AB∥平面 MNQ.故选 A.
高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第4节 直线与平面平行的判定及其性质课件 理
‖基础自测‖ 一、疑误辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( ) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( ) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( ) (5)若直线 a 与平面 α 内无数条直线平行，则 a∥α.( ) (6)若 α∥β，直线 a∥α，则 a∥β.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)×
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●命题角度二 线线平行的判定 【例 2】 如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作 平面交平面 BDM 于 GH.求证：AP∥GH._________
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[证明] 如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴O 是 AC 的中点，又 M 是 PC 的中点， ∴在△APC 中，AP∥OM. 又 MO⊂平面 BMD，PA⊄平面 BMD，
►常用结论 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． (6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两 个平面平行．
(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.4 直线_平面垂直的判
第八章 立体几何与空间向量 8.4 直线、平面垂直的判定与性质教师用书 理 苏教版1.直线与平面垂直 (1)定义如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直. (2)判定定理与性质定理2.直线和平面所成的角 (1)定义平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角. (2)范围：[0，π2].3.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念①二面角：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理【知识拓展】 重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( × ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( × ) (3)直线a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b .( √ ) (4)若α⊥β，a ⊥β⇒a ∥α.( × )(5)若直线a ⊥平面α，直线b ∥α，则直线a 与b 垂直.( √ )1.(教材改编)下列命题中正确的是________.①如果平面α⊥平面β，且直线l ∥平面α，则直线l ⊥平面β； ②如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；③如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；④如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ.答案②③④解析根据面面垂直的性质，知①不正确，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内，②③④正确.2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的____________条件.答案充分不必要解析若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.3.(2016·宿迁质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.其中为真命题的是________.答案①④解析①如图，取BC的中点M，连结AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的射影为O，连结BO，CO，DO，由AB⊥CD ⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.4.(2016·徐州模拟)α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及平面β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_______________________________. 答案可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个5.(教材改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心.答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连结OA，OB，OC，OP，在Rt△POA 、Rt△POB 和Rt△POC 中，PA ＝PC ＝PB ， 所以OA ＝OB ＝OC ，即O 为△ABC 的外心.(2)如图2，延长AO ，BO ，CO ，分别交BC ，AC ，AB 于H ，D ，G . ∵PC ⊥PA ，PB ⊥PC ，PA ∩PB ＝P ，∴PC ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴PC ⊥AB ， 又AB ⊥PO ，PO ∩PC ＝P ， ∴AB ⊥平面PGC ， 又CG ⊂平面PGC ，∴AB ⊥CG ，即CG 为△ABC 边AB 的高. 同理可证BD ，AH 为△ABC 底边上的高， 即O 为△ABC 的垂心.题型一 直线与平面垂直的判定与性质例1 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置.OD ′＝10.证明：D ′H ⊥平面ABCD . 证明 由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD，故AC ∥EF . 因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H .由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4.由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，且OH ，EF ⊂平面ABCD ， 所以D ′H ⊥平面ABCD .思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.(2015·江苏)如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.证明 (1)由题意知，E 为B 1C 的中点， 又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC . 又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ， 所以DE ∥平面AA 1C 1C .(2)因为棱柱ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC . 因为AC ⊂平面ABC ， 所以AC ⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1. 又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1， 所以BC 1⊥AC .因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，因此BC 1⊥B 1C .因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ， 所以BC 1⊥平面B 1AC . 又因为AB 1⊂平面B 1AC ， 所以BC 1⊥AB 1.题型二 平面与平面垂直的判定与性质例2 如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点.(1)求证：CE ∥平面PAD ； (2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .证明 (1)方法一 取PA 的中点H ，连结EH ，DH .又E 为PB 的中点， 所以EH 綊12AB .又CD 綊12AB ，所以EH 綊CD .所以四边形DCEH 是平行四边形，所以CE ∥DH . 又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD . 所以CE ∥平面PAD . 方法二 连结CF .因为F 为AB 的中点， 所以AF ＝12AB .又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD .又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形. 因此CF ∥AD ，又CF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以CF ∥平面PAD .因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥PA . 又EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD .因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面PAD . 又CE ⊂平面CEF ，所以CE ∥平面PAD .(2)因为E 、F 分别为PB 、AB 的中点，所以EF ∥PA . 又因为AB ⊥PA ，所以EF ⊥AB ，同理可证AB ⊥FG .又因为EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG . 所以AB ⊥平面EFG .又因为M ，N 分别为PD ，PC 的中点， 所以MN ∥CD ，又AB ∥CD ，所以MN ∥AB ， 所以MN ⊥平面EFG .又因为MN ⊂平面EMN ，所以平面EFG ⊥平面EMN . 引申探究1.在本例条件下，证明：平面EMN ⊥平面PAC . 证明 因为AB ⊥PA ，AB ⊥AC ，且PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所以AB ⊥平面PAC .又MN ∥CD ，CD ∥AB ，所以MN ∥AB ， 所以MN ⊥平面PAC . 又MN ⊂平面EMN ， 所以平面EMN ⊥平面PAC .2.在本例条件下，证明：平面EFG ∥平面PAC . 证明 因为E ，F ，G 分别为PB ，AB ，BC 的中点， 所以EF ∥PA ，FG ∥AC ，又EF⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以EF∥平面PAC.同理，FG∥平面PAC.又EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面PAC.思维升华(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.(2016·江苏)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)由已知，DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，又∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，A1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D⊂平面B1DE，∴平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .题型三 垂直关系中的探索性问题例3 如图，在三棱台ABC －DEF 中，CF ⊥平面DEF ，AB ⊥BC .(1)设平面ACE ∩平面DEF ＝a ，求证：DF ∥a ；(2)若EF ＝CF ＝2BC ，试问在线段BE 上是否存在点G ，使得平面DFG ⊥平面CDE ？若存在，请确定G 点的位置；若不存在，请说明理由.(1)证明 在三棱台ABC －DEF 中，AC ∥DF ，AC ⊂平面ACE ，DF ⊄平面ACE ，∴DF ∥平面ACE . 又∵DF ⊂平面DEF ，平面ACE ∩平面DEF ＝a ， ∴DF ∥a .(2)解 线段BE 上存在点G ，且BG ＝13BE ，使得平面DFG ⊥平面CDE .证明如下：取CE 的中点O ，连结FO 并延长交BE 于点G ， 连结GD ，GF ∵CF ＝EF ，∴GF ⊥CE . 在三棱台ABC －DEF 中，AB ⊥BC ⇒DE ⊥EF . 由CF ⊥平面DEF ⇒CF ⊥DE .又CF ∩EF ＝F ，∴DE ⊥平面CBEF ，∴DE ⊥GF .⎭⎪⎬⎪⎫GF ⊥CEGF ⊥DE CE ∩DE ＝E ⇒GF ⊥平面CDE .又GF ⊂平面DFG ， ∴平面DFG ⊥平面CDE .此时，如平面图所示，延长CB ，FG 交于点H ， ∵O 为CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ， 由平面几何知识易证△HOC ≌△FOE ， ∴HB ＝BC ＝12EF .由△HGB ∽△FGE 可知BG GE ＝12，即BG ＝13BE .思维升华 同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明.(2016·北京东城区模拟)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，M 为棱AC 的中点.AB ＝BC ，AC ＝2，AA 1＝ 2.(1)求证：B 1C ∥平面A 1BM ； (2)求证：AC 1⊥平面A 1BM ；(3)在棱BB 1上是否存在点N ，使得平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C ？如果存在，求此时BNBB 1的值；如果不存在，请说明理由.(1)证明 连结AB 1与A 1B ，两线交于O 点，连结OM ，在△B 1AC 中，∵M ，O 分别为AC ，AB 1中点，∴OM ∥B 1C ，又∵OM ⊂平面A 1BM ，B 1C ⊄平面A 1BM ， ∴B 1C ∥平面A 1BM .(2)证明 ∵侧棱AA 1⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ， ∴AA 1⊥BM ，又∵M 为棱AC 中点，AB ＝BC ，∴BM ⊥AC . ∵AA 1∩AC ＝A ，∴BM ⊥平面ACC 1A 1， ∴BM ⊥AC 1. ∵AC ＝2，∴AM ＝1.又∵AA 1＝2，∴在Rt△ACC 1和Rt△A 1AM 中， tan∠AC 1C ＝tan∠A 1MA ＝ 2. ∴∠AC 1C ＝∠A 1MA ，即∠AC 1C ＋∠C 1AC ＝∠A 1MA ＋∠C 1AC ＝90°， ∴A 1M ⊥AC 1.∵BM ∩A 1M ＝M ，∴AC 1⊥平面A 1BM . (3)解 当点N 为BB 1中点，即BN BB 1＝12时， 平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C . 证明如下：设AC 1中点为D ，连结DM ，DN .∵D ，M 分别为AC 1，AC 中点， ∴DM ∥CC 1，且DM ＝12CC 1.又∵N 为BB 1中点，∴DM ∥BN ，且DM ＝BN ， ∴MBND 为平行四边形，∴BM ∥DN ， ∵BM ⊥平面ACC 1A 1，∴DN ⊥平面ACC 1A 1. 又∵DN ⊂平面AC 1N ，∴平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C .17.立体几何证明问题中的转化思想典例(14分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点.求证：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.思想方法指导(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.规范解答证明(1)如图所示，连结NK.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD. [2分]∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形，[3分]∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，∴四边形AA1KN为平行四边形，∴AN∥A1K. [4分]∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，∴AN∥平面A1MK. [6分](2)如图所示，连结BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K，∴四边形BC1KM为平行四边形，∴MK∥BC1. [8分]在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.∴MK⊥B1C. [12分]∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK⊂平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK. [14分]1.若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则下列命题正确的有________.①垂直于平面β的平面一定平行于平面α；②垂直于直线l的直线一定垂直于平面α；③垂直于平面β的平面一定平行于直线l；④垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直.答案④解析对于①，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故①错误；对于②，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故②错误；对于③，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故③错误；易知④正确.2.(2016·常州模拟)设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是________.①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.答案③解析①中，由m⊥n, n∥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；②中，由m∥β，β⊥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；③中，由m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α，则m⊥α，正确；④中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α，可得m与α相交或m⊂α或m∥α，错误.3.(2016·无锡模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线________上.答案AB解析由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上.4.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E 是BC中点，则下列叙述正确的是________.①CC1与B1E是异面直线；②AC⊥平面ABB1A1；③AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；④A1C1∥平面AB1E.答案③解析①不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；②不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；③正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；④不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确.5.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是________.答案①②③解析由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错.6.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M 为线段PB的中点.现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是________.答案①②③解析对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确.7.(2016·镇江模拟)已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.其中正确命题的序号是________.答案②③解析在三棱柱中，三条侧棱互相平行，但三个侧面所在平面两两相交，故①错误；因为a、b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α，同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确；由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确；当且仅当a、b相交时结论正确，④错误.8.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________.答案 12解析 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ， 所以AB 1⊥DF .由已知可得A 1B 1＝2，设Rt△AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ， 则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋22，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt△DB 1E 中，B 1E ＝222－332＝66. 由面积相等得66× x 2＋222＝22x ， 得x ＝12.9.如图，PA ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC . 其中正确结论的序号是________. 答案 ①②③解析 由题意知PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC . 又AC ⊥BC ，且PA ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，且BC ∩PC ＝C ， ∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB ，又AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ， ∴PB ⊥平面AEF ，∴PB ⊥EF . 故①②③正确.10.如图，在直二面角α－MN －β中，等腰直角三角形ABC 的斜边BC ⊂α，一直角边AC ⊂β，BC 与β所成角的正弦值为64，则AB 与β所成的角是________.答案π3解析 如图所示，作BH ⊥MN 于点H，连结AH ，则BH ⊥β，∠BCH 为BC 与β所成的角. ∵sin∠BCH ＝64＝BH BC， 设BC ＝1，则BH ＝64. ∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AC ＝AB ＝22， ∴AB 与β所成的角为∠BAH .∴sin∠BAH ＝BH AB＝6422＝32， ∴∠BAH ＝π3.11.(2016·四川)如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； (2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .(1)解 取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点，理由如下：连结BM ，CM .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM ，所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB . 又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB . 所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明 由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD . 因为AD ∥BC ，BC ＝CD ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交， 所以PA ⊥平面ABCD ， 从而PA ⊥BD .又BC ∥MD ，且BC ＝MD .所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB . 又BD ⊂平面PBD ， 所以平面PAB ⊥平面PBD .12.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，AB ＝2，BC ＝EF ＝1，AE ＝6，DE ＝3，∠BAD ＝60°，G 为BC 的中点.(1)求证：FG ∥平面BED ； (2)求证：平面BED ⊥平面AED ；(3)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值. (1)证明 如图，取BD 的中点O ，连结OE ，OG .在△BCD 中，因为G 是BC 的中点， 所以OG ∥DC 且OG ＝12DC ＝1.又因为EF ∥AB ，AB ∥DC ， 所以EF ∥OG 且EF ＝OG ，所以四边形OGFE 是平行四边形，所以FG ∥OE . 又FG ⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ， 所以FG ∥平面BED .(2)证明 在△ABD 中，AD ＝1，AB ＝2，∠BAD ＝60°， 由余弦定理可得BD ＝3，进而∠ADB ＝90°， 即BD ⊥AD .又因为平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 平面AED ∩平面ABCD ＝AD ， 所以BD ⊥平面AED . 又因为BD ⊂平面BED ， 所以平面BED ⊥平面AED .(3)解 因为EF ∥AB ，所以直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所成的角.过点A 作AH ⊥DE 于点H ，连结BH . 又平面BED ∩平面AED ＝ED ， 由(2)知AH ⊥平面BED ，所以直线AB 与平面BED 所成的角即为∠ABH . 在△ADE 中，AD ＝1，DE ＝3，AE ＝6，由余弦定理得cos∠ADE ＝23，所以sin∠ADE ＝53，因此，AH ＝AD ·sin∠ADE ＝53. 在Rt△AHB 中，sin∠ABH ＝AH AB ＝56. 所以直线EF 与平面BED 所成角的正弦值为56. 13.在直角梯形SBCD 中，∠D ＝∠C ＝π2，BC ＝CD ＝2，SD ＝4，A 为SD 的中点，如图(1)所示，将△SAB 沿AB 折起，使SA ⊥AD ，点E 在SD 上，且SE ＝13SD ，如图(2)所示.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ； (2)求二面角E －AC －D 的正切值. (1)证明 由题意，知SA ⊥AB ， 又SA ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ， 所以SA ⊥平面ABCD .(2)解 在AD 上取一点O ，使AO ＝13AD ，连结EO ，如图所示.又SE ＝13SD ，所以EO ∥SA . 所以EO ⊥平面ABCD .过O 作OH ⊥AC 交AC 于H ，连结EH ，则AC ⊥平面EOH ， 所以AC ⊥EH ，所以∠EHO 为二面角E －AC －D 的平面角.已知EO ＝23SA ＝43. 在Rt△AHO 中，∠HAO ＝45°，OH ＝AO ·sin 45°＝23×22＝23. tan∠EHO ＝EO OH ＝22，即二面角E －AC －D 的正切值为2 2.。
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(1)证明
因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，
且平面PBC∩平面GEFH＝GH，
所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.
(2)解 如图，连接AC，BD交于点 O，BD交EF于点K，连接
OP，GK.因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，
同理可得PO⊥BD. 又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面ABCD内，所以PO⊥底 面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD， 且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.
AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC ＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD， N为PC的中点. (1)证明：MN∥平面PAB； (2)求四面体N－BCM的体积.
(1)证明
2 由已知得 AM＝3AD＝2.如图，取 BP 的中点 T，
1 连接 AT，TN，由 N 为 PC 中点知 TN∥BC，TN＝2BC＝2. 又 AD∥BC， 故 TN 綉 AM， 所以四边形 AMNT 为平行四边形，
1 再由 PO∥GK 得 GK＝ PO，即 G 是 PB 的中点， 2 1 且 GH＝2BC＝4.由已知可得 OB＝4 2， PO＝ PB2－OB2＝ 68－32＝6，所以 GK＝3. GH＋EF 故四边形 GEFH 的面积 S＝ · 2 4＋8 GK＝ 2 ×3＝18.
规律方法 (1)判断或证明线面平行的常用方法有： ①利用反证法(线面平行的定义)； ②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；
解析
①m∥n 或 m ， n 异面，故①错误；易知②正确；③m∥β
或m⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误. 答案 ②
考点二 直线与平面平行的判定与性质(多维探究) 命题角度一 直线与平面平行的判定 【例2－1】 (2016· 全国Ⅲ卷)如图，四棱
锥 P － ABCD 中 ， PA⊥ 底 面 ABCD ，
第4讲
直线、平面平行的判定及其性质
最新考纲
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认
识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用
公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关 系的简单命题.
知识梳理 1.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行. (2)判定定理与性质定理
答案 ②④
考点一 线面、面面平行的相关命题的真假判断
【例1】 (2015· 安徽卷)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个 不同平面，则下列命题正确的是( D ) A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 解析 A 项， α ， β 可能相交，故错误； B 项，直线 m ， n 的位 置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误； C 项，若 m⊂α，α∩ β＝n，m∥n，则 m∥β ，故错误；D项，假设m，n
定理 平行 于另一个平面 面内的直线_____ 如果两个平行平面同时和第三 个平面相交，那么它们的交线 ____ 平行
α∥β，
a⊂α⇒a∥β α∥β，α∩γ ＝a，β∩γ＝
b⇒a∥b
3.与垂直相关的平行的判定 a∥b . (1)a⊥α，b⊥α⇒_______
α∥β . (2)a⊥α，a⊥β⇒_______
证明
1 (1)连接 EC，∵AD∥BC，BC＝ AD， 2
E 为 AD 的中点，∴BC 綉 AE， ∴四边形 ABCE 是平行四边形， ∴O 为 AC 的中点，又∵F 是 PC 的中点， ∴FO∥AP，又 FO⊂平面 BEF， AP⊄平面 BEF，∴AP∥平面 BEF.
(2)连接 FH，OH，∵F，H 分别是 PC，CD 的中点， ∴FH∥PD，又 PD⊂平面 PAD，FH⊄平面 PAD， ∴FH∥平面 PAD. 又∵O 是 BE 的中点，H 是 CD 的中点， ∴OH∥AD，又∵AD⊂平面 PAD，OH⊄平面 PAD， ∴OH∥平面 PAD. 又 FH∩OH＝H，∴平面 OHF∥平面 PAD. 又∵GH⊂平面 OHF，∴GH∥平面 PAD.
③利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；
④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β). (2) 利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直 线平行的直线 .常利用三角形的中位线、平行四边形的对边 或过已知直线作一平面找其交线.
【训练 2】在四棱锥 P－ABCD 中， AD∥BC， 1 AB ＝ BC ＝ 2 AD， E， F ， H 分别为线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点. (1)求证：AP∥平面 BEF； (2)求证：GH∥平面 PAD.
4.(必修2P56练习2改编)如图，正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面
AEC的位置关系为________.
解析 连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1
中 ， O 为 BD 的 中 点 ， E 为 DD1 的 中 点 ， 所 以 EO 为 △BDD1的中位线，则BD1∥EO.
命题角度二 直线与平面平行性质定理的应用
【例 2－2】 如图，四棱锥 P－ABCD 的底面 是边长为 8 的正方形， 四条侧棱长均为 2 17. 点 G，E，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH⊥平面 ABCD， BC∥平面 GEFH.
(1)证明：GH∥EF； (2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积.
解 连接 A1B 交 AB1 于 O，连接 OD1.由平面
②特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊
情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.
【训练1】 (2017· 郑州调研)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是 三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊂α，n∥α，则m∥⊥γ； ③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β； ④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β. 其中是真命题的是________(填上正确命题的序号).
因为平面 PBD∩平面 GEFH＝GK， PO⊂平面 PBD.所以 PO∥GK，且 GK⊥底面 ABCD， 又 EF⊂平面 ABCD，从而 GK⊥EF. 所以 GK 是梯形 GEFH 的高. 由 AB＝8，EB＝2 得 EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4， 1 1 从而 KB＝4DB＝2OB，即 K 为 OB 的中点.
又 BD1 ⊄ 平 面 ACE ， EO⊂ 平 面 ACE ， 所 以 BD1 ∥ 平 面
ACE. 答案 平行
5.设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件： ①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；
④a⊥α，b⊥β，a∥b.
其中能推出α∥β的条件是________(填上所有正确的序号). 解析 在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交. 由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足. 在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，④满足.
2.下列命题中，正确的是(
)
A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C.若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α 解析 根据线面平行的判定与性质定理知，选D.
于是 MN∥AT.因为 AT⊂平面 PAB， MN⊄平面 PAB，所以 MN∥平面 PAB.
(2)解
因为 PA⊥平面 ABCD，N 为 PC 的中点，所以 N 到平面
1 ABCD 的距离为 PA.如图， 取 BC 的中点 E， 连接 AE.由 AB＝AC 2 ＝3 得 AE⊥BC，AE＝ AB2－BE2＝ 5.由 AM∥BC 得 M 到 BC 1 的距离为 5，故 S△BCM＝ ×4× 5＝2 5.所以四面体 N－BCM 2 1 PA 4 5 的体积 VN－BCM＝3×S△BCM× 2 ＝ 3 .
解析
(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条
直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误. (2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故 (2)错误.
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两
个平面平行或相交，故(3)错误. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC， ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB， ∴A1G綉EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E， ∴平面EFA1∥平面BCHG.
考点三 面面平行的判定与性质(典例迁移)
【例 3 】 ( 经典母题 ) 如图所示，在三
棱柱 ABC －A1B1C1 中， E ， F ， G ， H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中 点，求证： (1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明 (1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点， ∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.
垂直于同一平面，则必有m∥n与已知m，n不平行矛盾，所以
原命题正确，故D项正确.
规律方法
(1) 判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉
线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是 含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断 的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项. (2)①结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.