2015届中考数学总复习十二不等式与不等式组精练精析1 华东师大版

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2015届中考数学总复习六分式精练精析1 华东师大版

数与式——分式1一．选择题（共9小题）1．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（）A．2x% B．1+2x% C．（1+x%）•x%D．（2+x%）•x%2．下列三个分式、、的最简公分母是（）A．4（m﹣n）x B．2（m﹣n）x2C．D．4（m﹣n）x23．化简÷的结果是（）A．m B．C．m﹣1 D．4．化简的结果是（）A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x5．化简：﹣=（）A．0 B．1 C．x D．6．若（+）•w=1，则w=（）A．a+2（a≠﹣2）B．﹣a+2（a≠2）C．a﹣2（a≠2） D．﹣a﹣2（a≠﹣2）7．已知：a2﹣3a+1=0，则a+﹣2的值为（）A．+1 B．1 C．﹣1 D．﹣58．当a=2时，÷（﹣1）的结果是（）A．B．﹣C．D．﹣9．一个代数式的值不能等于零，那么它是（）A．a2B．a0C．D．|a|二．填空题（共7小题）10．若分式有意义，则实数x的取值X围是_________ ．11．代数式有意义时，x应满足的条件为_________ ．12．若分式的值是0，则x的值为_________ ．13．化简：=．_________ ．14．计算：÷= _________ ．15．计算：= _________ ．16．化简：= _________ ．三．解答题（共8小题）17．先化简，再求值：•，其中x=2+，y=2﹣．18．计算：•．19．计算：•．20．计算（﹣）÷．21．计算：（﹣）÷．22．化简：（x2﹣2x）÷．23．已知非零实数a满足a2+1=3a，求的值．24．先化简，再求值：÷（2+），其中x=﹣1．数与式——分式1参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（）A．2x% B．1+2x% C．（1+x%）•x%D．（2+x%）•x%考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：根据题意列出正确的算式即可．解答：解：根据题意得：第三季度的产值比第一季度增长了（2+x%）•x%，故选D点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．下列三个分式、、的最简公分母是（）A．4（m﹣n）x B．2（m﹣n）x2C D．4（m﹣n）x2考点：最简公分母．分析：确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．解答：解：分式、、的分母分别是2x2、4（m﹣n）、x，故最简公分母是4（m﹣n）x2．故选：D．点评：本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．3．化简÷的结果是（）A．m B．C．m﹣1 D．考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：原式=•=m．故选：A．点评：此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．化简的结果是（）A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分．解答：解：=﹣===x，故选：D．点评：本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．5．化简：﹣=（）A．0 B1 C．x D．考点：分式的加减法．分析：原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．解答：解：原式==x．故选：C点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．若（+）•w=1，则w=（）A．a+2（a≠﹣2）B．﹣a+2（a≠2） C．a﹣2（a≠2）D．﹣a﹣2（a≠﹣2）考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：原式变形后，计算即可确定出w．解答：解：根据题意得：w===﹣（a+2）=﹣a﹣2．故选：D．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．已知：a2﹣3a+1=0，则a+﹣2的值为（）A．+1 B．1 C．﹣1 D．﹣5考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：已知等式变形求出a+的值，代入原式计算即可得到结果．解答：解：∵a2﹣3a+1=0，且a≠0，∴同除以a，得a+=3，则原式=3﹣2=1，故选：B．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．当a=2时，÷（﹣1）的结果是（）A．B．﹣ C D．﹣考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：通分、因式分解后将除法转化为乘法约分即可．解答：解：原式=÷=•=，当a=2时，原式==﹣．故选：D．点评：本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解和分式除法是解题的关键．9．一个代数式的值不能等于零，那么它是（）A．a2B．a0C D．|a|考点：零指数幂；绝对值；有理数的乘方；算术平方根．分析：根据非0的0次幂等于1，可得答案．解答：解：A、当a=0时，a2=0，故A错误；B、a0=1（且a≠0），故B正确；C、当a=0时，=0，故C错误；D、当a=0时，|a|=0，故D错误．故选：B．点评：本题考查了零指数幂，非0的0次幂等于1是解题关键．二．填空题（共7小题）10．若分式有意义，则实数x的取值X围是x≠5．考点：分式有意义的条件．专题：计算题．分析：由于分式的分母不能为0，x﹣5为分母，因此x﹣5≠0，解得x．解答：解：∵分式有意义，∴x﹣5≠0，即x≠5．故答案为：x≠5．点评：本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0．11．代数式有意义时，x应满足的条件为x≠±1．考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义，分母等于0列出方程求解即可．解答：解：由题意得，|x|﹣1≠0，解得x≠±1．故答案为：x≠±1．点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．12．若分式的值是0，则x的值为 2 ．考点：分式的值为零的条件．分析：根据分式的值为零的条件得到x﹣2=0且x≠0，易得x=2．解答：解：∵分式的值是0，∴x﹣2=0且x≠0，∴x=2．故答案为：2．点评：本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．13．化简：=．a+b ．考点：约分．分析：先将分式的分子因式分解，再约分，即可求解．解答：解：==．故答案为：a+b．点评：本题考查了约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．14．计算：÷=．考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：原式=•=．故答案为：．点评：此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．计算：= a﹣2 ．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：根据同分母分式加减运算法则，分母不变只把分子相加减即可求解．解答：解：==a﹣2．故答案为：a﹣2．点评：本题主要考查同分母分式加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．化简：= x+2 ．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：先转化为同分母（x﹣2）的分式相加减，然后约分即可得解．解答：解：+=﹣==x+2．故答案为：x+2．点评：本题考查了分式的加减法，把互为相反数的分母化为同分母是解题的关键．三．解答题（共8小题）17．先化简，再求值：•，其中x=2+，y=2﹣．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：将原式第一个因式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，第二个因式通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子提取﹣1并利用平方差公式分解因式，约分得到最简结果，然后将x与y的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．解答：解：原式=•=•（﹣）=4xy•=，则当x=2+，y=2﹣时，原式==﹣=﹣4．点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找出最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分，此外化简求值题要先化简再代值．18．计算：•．考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：原式约分即可得到结果．解答：解：原式=•=．点评：此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．计算：•．考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：把式子中的代数式进行因式分解，再约分求解．解答：解：•=•=x点评：本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是进行因式分解再约分．20．计算（﹣）÷．考点：分式的混合运算．分析：首先把除法运算转化成乘法运算，然后找出最简公分母，进行通分，化简．解答：解：原式=（﹣）•=（﹣）•（﹣），=﹣•，=﹣．点评：此题主要考查了分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．21．计算：（﹣）÷．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：原式括号中两项利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：原式=•=x﹣1．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．化简：（x2﹣2x）÷．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：原式=x（x﹣2）•=x．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．已知非零实数a满足a2+1=3a，求的值．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：已知等式两边除以a变形后求出a+的值，两边平方，利用完全平方公式展开即可求出所求式子的值．解答：解：∵a2+1=3a，即a+=3，∴两边平方得：（a+）2=a2++2=9，则a2+=7．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．先化简，再求值：÷（2+），其中x=﹣1．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解，约分后得到原式=，再把x的值代入计算．解答：解：原式=÷=÷=•=，当x=﹣1时，原式==．点评：本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．。

初三数学方程(组)与不等式(组)知识精讲华东师大版-推荐下载

观察图象得交点为（-1，-4）。
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力通根保1据护过生高管产中线工资0不艺料仅高试可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时各卷，类调需管控要路试在习验最题；大到对限位设度。备内在进来管行确路调保敷整机设使组过其高程在中1正资中常料，工试要况卷加下安强与全看过，25度并52工且22作尽护下可1关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，卷.编工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术5写、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高调、动敷中试电作设资高气，技料中课并术3试资件且、中卷料中拒管包试试调绝路含验卷试动敷线方技作设槽案术，技、以来术管及避架系免等统不多启必项动要方方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

华东师大初中数学中考总复习：方程与不等式综合复习--知识讲解(提高)

中考总复习：方程与不等式综合复习—知识讲解（提高）【考纲要求】1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式. 4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项. 5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释：列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间时间距离速度= 速度距离时间=； (2)工程问题：工作量=工效×工时工时工作量工效= 工效工作量工时=； (3)比率问题：部分=全体×比率全体部分比率=比率部分全体=； (4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题：售价=定价·折·101，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率；(6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abh ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.考点二、一元二次方程 1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项. 3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：21,240)2b x b ac a-±=-≥ （4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆. 5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，a cx x =21.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解. （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.考点三、分式方程 1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是： ①去分母，方程两边都乘以最简公分母； ②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”. 3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a ≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号. （2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ⇔a ＞b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c .【典型例题】类型一、方程的综合运用1．如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象1l 、2l ，设111y kx b =+，222y k x b =+，则方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是( )A ．2,2x y =-⎧⎨=⎩ B ．2,3x y =-⎧⎨=⎩ C ．3,3x y =-⎧⎨=⎩ D ．3,4x y =-⎧⎨=⎩【思路点拨】图象1l 、2l 的交点的坐标就是方程组的解. 【答案】B ；【解析】由图可知图象1l 、2l 的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为2,3.x y =-⎧⎨=⎩【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．2．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程. 【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x 元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得15015018.751.8x x -=-，整理，得21.814.40x x --=．解这个方程，得x 1＝4.8，x 2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x 2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．类型二、解不等式（组）3．已知A ＝a+2，B ＝a 2-a+5，C ＝a 2+5a-19，其中a ＞2． (1)求证：B-A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； (2)指出A 与C 哪个大?说明理由．【思路点拨】计算B-A 结果和0比大小，从而判断A 与B 的大小；同理计算C-A ，根据结果来比较A 与C 的大小．【答案与解析】(1)证明：B-A ＝a 2-2a+3＝(a-1)2+2．∵ a ＞2，∴ (a-1)2＞0，∴ (a-1)2+2＞0．∴ a 2-2a+3＞0，即B-A ＞0．由此可得B ＞A ．(2)解：C-A ＝a 2+4a-21＝(a+7)(a-3)． ∵ a ＞2，∴ a+7＞0．当2＜a ＜3时，a-3＜0， ∴ (a+7)(a-3)＜0．∴ 当2＜a ＜3时，A 比C 大；当a ＝3时，a-3＝0， ∴ (a+7)(a-3)＝0．∴ 当a ＝3时，A 与C 一样大；当a ＞3时，a-3＞0， ∴ (a+7)(a-3)＞0．∴ 当a ＞3时，C 比A 大．【总结升华】比较大小通常用作差法，结果和0比大小，此时常常用到因式分解或配方法. 本题考查了整式的减法、十字相乘法分解因式，渗透了求差比较大小的思路及分类讨论的思想．举一反三：【变式1】已知：A=222+-a a ，B=2, C=422+-a a ,其中1>a .(1)求证：A-B>0； (2)试比较A 、B 、C 的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）A-B=222222(21)a a a a a a -+-=-=- ∵1>a ，∴0,210a a >-> ∴A-B>0(2) ∵C-B=22224222(1)10a a a a a -+-=-+=-+> ∴C>B∵A-C=22222242(2)(1)a a a a a a a a -+-+-=+-=+- ∵1>a ，∴20,10a a +>->∴A>C>B【高清课程名称：方程与不等式综合复习高清ID 号： 405277 关联的位置名称（播放点名称）：例3】【变式2】如图，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是______．【答案】解：设n 为正整数，由题意得 ⎩⎨⎧>+⨯>-.1001342,100)12(5n n 解得⋅>887n 则n 可取的最小正整数为11．若x 为奇数，即x ＝21时，y ＝105；若x 为偶数，即x ＝22时，y ＝101． ∴满足条件的最小正整数x 是21．类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用4．宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中有面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班的学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20%，“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名?【思路点拨】根据招生人数列等式，根据今年招生最多比去年增加100人列不等式. 【答案与解析】设去年招收“宏志班”学生x 名，普通班学生y 名，由条件得550,10%20%100.x y x y +=⎧⎨+≤⎩将y ＝550-x 代入不等式，可解得x ≥100，于是(1+10%)x ≥110．故今年最少可招收“宏志班”学生110名．【总结升华】本题属于列方程与不等式组综合题. 举一反三：【变式】为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序，若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人?共有多少个交通路口安排值勤? 【答案】设这个学校选派值勤学生x 人，共到y 个交通路口值勤．根据题意得 478,48(1)8.x y x y -=⎧⎨≤--<⎩①②由①可得x ＝4y+78，代入②，得4≤78+4y-8(y-1)＜8，解得19.5＜y ≤20.5．根据题意y 取20，这时x 为158，即学校派出的是158名学生，分到了20个交通路口安排值勤．5．已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ， ① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 【思路点拨】（1）由于k 为此方程的一个实数根，故把k 代入原方程，即可得到关于k 的一元二次方程，①把k=m 代入关于k 的方程，即可求出m 的值；②由于k 为原方程的非零实数根，故把方程两边同时除以k ，便可得到关于y 与m 的关系式；（2）先求出根的判别式，再根据m 的取值范围讨论△的取值即可．【答案与解析】（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =.∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程，∴ m ≠ 2. ∴ m= 1.② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=. 整理，得 1()21m k k m k +-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0. ∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象， ∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交， ∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图）当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4；当1＜m ＜2时，1＜∆＜4. ∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.【总结升华】. 举一反三：【变式1】（2014秋•天河区期末）已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，k 为正整数．（1）求k 的值（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k ﹣1的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，求平移后的图象的解析式．【答案】解：（1）∵方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根， ∴△=42﹣4×2×（k ﹣1）≥0， ∴k≤3．又∵k 为正整数， ∴k=1或2或3．（2）当此方程有两个非零的整数根时，当k=1时，方程为2x 2+4x=0，解得x 1=0，x 2=﹣2；不合题意，舍去．当k=2时，方程为2x 2+4x+1=0，解得x 1=﹣1+，x 2=﹣1﹣；不合题意，舍去．当k=3时，方程为2x 2+4x+2=0，解得x 1=x 2=﹣1；符合题意．因此y=2x 2+4x+2的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，得出y=2x 2﹣2．【高清课程名称：方程与不等式综合复习高清ID 号： 405277关联的位置名称（播放点名称）：例5】【变式2】已知：关于x 的方程()0322=-+-+k x k x （1）求证：方程()0322=-+-+k x k x 总有实数根；（2）若方程()0322=-+-+k x k x 有一根大于5且小于7，求k 的整数值； (3)在⑵的条件下，对于一次函数b x y +=1和二次函数2y =()322-+-+k x k x ，当71<<-x 时，有21y y >，求b 的取值范围．【答案】⑴证明：∵△=(k －2)2－4(k －3)=k 2－4k +4－4k +12= k 2－8k +16=(k －4)2≥0∴此方程总有实根。

中考数学总复习十二不等式与不等式组精练精析2华东师大版

方程与不等式——不等式与不等式组2一．选择题（共9小题）1．不等式组的解集是（）A．﹣1≤x＜2B．x≥﹣1C．x＜2D．﹣1＜x≤22．不等式组的解集是（）A．＜x≤2B．﹣＜x＜2C．﹣＜x≤2D．﹣≤x≤23．若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣36B．a≤﹣36C．a＞﹣36D．a≥﹣364．一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（）A．4B．5C．6D．75．不等式组的最小整数解是（）A．1B．2C．3D．46．不等式组的整数解共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．若不等式组的解是x＞2，则（）A．a＞2B．a＜2C．a≥2D．a≤28．不等式组的解集在数轴上可表示为（）A．B．C．D．9．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）10．不等式4x﹣3＜2x+5的解集是_________．11．已知关于x的不等式（3﹣a）x＞a﹣3的解集为x＜﹣1，则a的取值范围是_________．12．不等式组的解集是_________．13．不等式x﹣4≤的解集是_________．14．如图，若开始输入的x的值为正整数，最后输出的结果为144，则满足条件的x的值为_________．15．某次知识竞赛共有20道选择题，对于每一道题，答对得10分，打错或不答扣3分．若小刚希望总得分不少于70分，则他至少需答对_________道题．16．某种商品的进价为320元，为了吸引顾客，按标价的八折出售，这时仍可盈利至少25%，则这种商品的标价最少是_________元．三．解答题（共8小题）17．解不等式组：．18．求不等式组的解集．19．解不等式组：，并把解集在如图数轴上表示出来．20．某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少元．。

2015届中考数学总复习九二元一次方程组精练精析2 华东师大版

若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则下列所列方程组正确的是（）
A． B． C． D．
8．成巴高速公路全长308km，一辆货车和一辆轿车同时从某某、某某两地相向开出，经1小时45分钟到达同一地点，相遇时，轿车比货车多行30km．设轿车、货车的速度分别是x km/h，y km/h，则下列方程组正确的是（）
根据x+y＞3得： ﹣ ＞3，
去分母得：2m﹣3﹣1＞6，
解得：m＞5．
故选D
点评：此题考查了二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．已知是方程组的解，则a+b的值为（）
A．﹣1B．0C．1D．2
考点：二元一次方程组的解．
分析：先把x=0，y=﹣ ，代入原方程组，再解关于a、b的二元一次方程组，代入要求的代数式即可得出答案．
16．解方程组：．
17．方程组的解是_________．
三．解答题（共9小题）
18．某地要在规定的时间内安置一批居民，若每个月安置12户居民，则在规定时间内只能安置90%的居民户；若每个月安置16户居民，则可提前一个月完成安置任务，问要安置多少户居民？规定时间为多少个月？（列方程（组）求解）
19．某服装店用6000元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润=售价﹣进价），这两种服装的进价、标价如下表所示：
（2）若要使这批树苗的成活率不低于88%，则至多可购买甲种树苗多少棵？
24．已知方程组的解满足x＞0，y＞0，求整数a 的值．
25．若m是整数，且关于x、y的方程组的解满足x≥0，y＜0，试确定m的值．
26．（2014•南开区二模）解方程组：
方程与不等式——二元一次方程组2

最新华东师大初中数学中考总复习：方程与不等式综合复习--知识讲解(基础)

中考总复习：方程与不等式综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式. 4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项. 5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程. (2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释：列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间时间距离速度= 速度距离时间=； (2)工程问题：工作量=工效×工时工时工作量工效=工效工作量工时=； (3)比率问题：部分=全体×比率全体部分比率= 比率部分全体=；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题：售价=定价·折·101，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率；(6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abh ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.考点二、一元二次方程 1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项.3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥ （4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，a c x x =21.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.考点三、分式方程 1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是： ①去分母，方程两边都乘以最简公分母； ②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x 项的系数化为1. 4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集. 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集. （2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集. 要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.【典型例题】类型一、方程的综合运用1．如图所示，已知函数y ＝ax+b 和y ＝kx 的图象交于点P ，则根据图象可得，关于,y ax b y kx=+⎧⎨=⎩的二元一次方程组的解是________．【思路点拨】两图象的交点就是方程组的解. 【答案】4,2x y =-⎧⎨=-⎩【解析】由图象可知y ＝ax+b 与y ＝kx 的交点P 的坐标为(-4，-2)，所以二元一次方程组,y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的解为4,2.x y =-⎧⎨=-⎩【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透，平时应加强这方面的练习与思考．举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程()0312=-+--m x m x ．（1）求证：不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若直线()31+-=x m y 与函数m x y +=2的图象的一个交点的横坐标为2，求关于x 的一元二次方程()0312=-+--m x m x 的解．【答案】（1）证明：()[]()3412----=∆m m124122+-+-=m m m 1362+-=m m ()432+-=m∵不论m 取何值时，()032≥-m ∴()0432>+-m ，即0>∆∴不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根.. （2）将2=x 代入方程()0312=-+--m x m x ，得3=m再将3=m 代入，原方程化为022=-x x ，解得2,021==x x ．2．已知: 关于x 的一元一次方程kx =x +2 ①的根为正实数，二次函数y =ax 2-bx +kc （c ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1.（1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值；（2）求代数式akcab b kc +-22)(的值；（3）求证: 关于x 的一元二次方程ax 2-bx +c =0 ②必有两个不相等的实数根. 【思路点拨】（1）根据一元一次方程及根的条件，求k 的值；（2）把交点坐标代入二次函数的解析式求出值；（3）根据根的判别式和一元一次方程的根为正实数得出x 有两不相等的实数根．【答案与解析】（1）解：由 kx =x +2，得(k -1) x =2.依题意 k -1≠0.∴ 12-=k x .∵ 方程的根为正整数，k 为整数, ∴ k -1=1或k -1=2. ∴ k 1= 2, k 2=3.（2）解：依题意，二次函数y=ax 2-bx+kc 的图象经过点（1，0）， ∴ 0 =a-b+kc, kc = b-a .∴222222222a ab ab b a ab b a b a ab b a b akc ab b kc -+-+-=-+--=+-)()()(=.122-=--a ab aba（3）证明：方程②的判别式为 Δ=(-b)2-4ac= b 2-4ac.由a ≠0, c ≠0, 得ac ≠0.( i ) 若ac<0, 则-4ac>0. 故Δ=b 2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.( ii ) 证法一: 若ac>0, 由(2)知a-b+kc =0, 故 b=a+kc.Δ=b 2-4ac= (a+kc)2-4ac=a 2+2kac+(kc)2-4ac = a 2-2kac+(kc)2+4kac-4ac=(a-kc)2+4ac(k-1).∵ 方程kx=x+2的根为正实数， ∴ 方程(k-1) x=2的根为正实数.由 x>0, 2>0, 得 k-1>0. ∴ 4ac(k-1)>0.∵ (a-kc)2≥0,∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 证法二: 若ac>0,∵ 抛物线y=ax 2-bx+kc 与x 轴有交点,∴ Δ1=(-b)2-4akc =b 2-4akc ≥0. (b 2-4ac)-( b 2-4akc)=4ac(k-1).由证法一知 k-1>0,∴ b 2-4ac> b 2-4akc ≥0.∴ Δ= b 2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上, 方程②有两个不相等的实数根. 【总结升华】方程与函数综合题. 中考所考知识点的综合与相互渗透. 举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程0)2()1(22=+---m m x m x .（1）若x=－2是这个方程的一个根，求m 的值和方程的另一个根；（2）求证：对于任意实数m ，这个方程都有两个不相等的实数根. 【答案】（1）解：把x =－2代入方程，得0)2()2()1(24=+--⋅--m m m ，即022=-m m .解得01=m ，22=m .当0=m 时，原方程为022=+x x ，则方程的另一个根为0=x .当2=m 时，原方程为0822=+-x x ，则方程的另一个根为4=x . （2）证明：[][])2(4)1(22+-⨯---m m m 482+=m ，∵对于任意实数m ，02≥m ， ∴0482>+m .∴对于任意实数m ，这个方程都有两个不相等的实数根.类型二、解不等式（组）3．（2015•江西样卷）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【思路点拨】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【答案与解析】解：，∵解不等式①得：x ≤1，解不等式②得：x ＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x ≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：【总结升华】注意解不等式组的解题步骤，在数轴上表示不等式组时，能根据不等式的解集找出不等式组的解集．举一反三：【变式】（2014•泗县校级模拟）求不等式组的整数解，并在数轴上表示出来．【答案】解：，由①得：x ＞﹣2，由②得：x≤6，∴不等式组的解集是：﹣2＜x≤6．∴整数解是：﹣1，0，1，2，3，4，5，6．在数轴上表示出来为：．类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用4．如果关于x 的方程22124x m x x +=--的解也是不等式组12,22(3)8xx x x -⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩的一个解，求m 的取值范围．【思路点拨】解方程求出x 的值（是用含有m 的式子表示的），再解不等式组求出x 的取值范围，最后方程的解与不等式组的解结合起来求m 的取值范围. 【答案与解析】解方程22124x mx x +=--，得x ＝-m-2．因为24(4)x m m -=+，所以m ≠-4且m ≠0时，有240x -≠．所以方程22124x mx x +=--的解为x ＝-m-2．其中m ≠-4且m ≠0．解不等式组12,22(3)8,xx x x -⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩得x ≤-2．由题意，得-m-2≤-2，解得m ≥0．所以m 的取值范围是m ＞0．【总结升华】方程与不等式的综合题，是中考考查的重点之一．举一反三：【高清课程名称：方程与不等式综合复习高清ID 号： 405277 关联的位置名称（播放点名称）：例1】【变式】如果不等式组2223xa xb ⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥的解集是01x <≤，那么a b +的值为．【答案】解不等式组得：34-22b a x +≤＜，因为不等式组2223x a x b ⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥的解集是01x <≤，所以4-20312a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得21a b =⎧⎨=-⎩所以1a b +=.5．某采摘农场计划种植B A 、两种草莓共6亩，根据表格信息，解答下列问题：(1)若该农场每年草莓全部被采摘的总收入为46000O 元，那么B A 、两种草莓各种多少亩? (2)若要求种植A 种草莓的亩数不少于种植B 种草莓的一半，那么种植A 种草莓多少亩时，可使该农场每年草莓全部被采摘的总收入最多? 【思路点拨】（1）根据等量关系：总收入=A 地的亩数×年亩产量×采摘价格+B 地的亩数×年亩产量×采摘价格，列方程求解；项目品种 A B 年亩产（单位：千克）1200 2000 采摘价格（单位：元/千克）6040（2）这是一道只有一个函数关系式的求最值问题，根据题意确定自变量的取值范围，由函数y 随x 的变化求出最大利润．【答案与解析】设该农场种植A 种草莓x 亩，B 种草莓)6(x -亩依题意，得：460000)6(200040120060=-⨯+⨯x x 解得：5.2=x , 5.36=-x (2)由)6(21x x -≥，解得2≥x 设农场每年草莓全部被采摘的收入为y 元，则：4800008000)6(200040120060+-=-⨯+⨯=x x x y ∴当2=x 时，y 有最大值为464000答：(l)A 种草莓种植2.5亩, B 种草莓种植3.5亩．(2)若种植A 种草莓的亩数不少于种植B 种草莓的一半，那么种植A 种草莓2亩时，可使农场每年草莓全部被采摘的总收入最多.【总结升华】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y 随x 的变化，结合自变量的取值范围确定最值．举一反三：【变式】某运输公司用10辆相同的汽车将一批苹果运到外地，每辆汽车能装8吨甲种苹果，或10吨乙种苹果，或11吨丙种苹果．公司规定每辆车只能装同一种苹果，而且必须满载．已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共100吨，且每种苹果不少于一车．（1）设用x 辆车装甲种苹果，y 辆车装乙种苹果，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示：苹果品种甲乙丙每吨苹果所获利润（万元）0.220.210.2设此次运输的利润为W （万元），问：如何安排车辆分配方案才能使运输利润W 最大，并求出最大利润．【答案】（1）∵ 81011(10)100x y x y ++--=，∴ y 与x 之间的函数关系式为 310y x =-+． ∵ y ≥1，解得x ≤3．∵ x ≥1，10x y --≥1，且x 是正整数，∴ 自变量x 的取值范围是x =1或x =2或x =3．（2）80.22100.2111(10)0.20.1421W x y x y x =⨯+⨯+--⨯=-+．因为W 随x 的增大而减小，所以x 取1时，可获得最大利润，此时20.86W =（万元）．获得最大运输利润的方案为：用1辆车装甲种苹果，用7辆车装乙种苹果，2辆车装丙种苹果．类型四、用不等式（组）解决决策性问题6．为了美化家园，创建文明城市，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需花卉的情况如下表所示；造型甲乙 A90盆 30盆 B 40盆 100盆综合上述信息，解答下列问题：(1)符合题意的搭配方案有哪儿种?(2)若搭配一个A 种造型的成本为1000元，搭配一个B 种选型的成本为1200元，试说明选用(1)中哪种方案成本最低?【思路点拨】本题首先需要从文字和表格中获取信息，建立不等式(组)，然后求出其解集，根据实际问题的意义，再求出正整数解，从而确定搭配方案．【答案与解析】解：(1)设搭配x 个A 种造型，则需要搭配(50-x)个B 种造型，由题意，得9040(50)3600,30100(50)2900,x x x x +-≤⎧⎨+-≤⎩解得30≤x ≤32．所以x 的正整数解为30，31，32．所以符合题意的方案有3种，分别为：A 种造型30个，B 种造型20个；A 种造型31个，B 种造型19个；A 种造型32个，B 种造型18个．(2)由题意易知，三种方案的成本分别为：第一种方案：30×1000+20×1200＝54000；第二种办案：31×1000+19×1200＝53800；第三种方案：32×1000+18×1200＝53600.所以第三种方案成本最低．【总结升华】实际问题的“最值问题”一般是指“成本最低”、“利润最高”、“支出最少”等问题．举一反三：【高清课程名称：方程与不等式综合复习高清ID 号： 405277关联的位置名称（播放点名称）：例4】【变式】某商场“家电下乡”指定型号冰箱，彩电的进价和售价如下表所示：（1）按国家政策，购买“家电下乡”产品享受售价13％的政府补贴.若到该商场购买了冰箱，彩电各一台，可以享受多少元的补贴？(2)为满足需求，商场决定用不超过85000元采购冰箱，彩电共40台，且冰箱的数量不少于彩电数量的56. ①请你帮助该商场设计相应的进货方案；②用哪种方案商场获得利润最大？（利润=售价-进价），最大利润是多少？【答案】（1）（2420+1980）×13％=572（元）（2）①设冰箱采购x 台，则彩电采购（40-x ）台，解不等式组得231821117x ≤≤，因为x 为整数，所以x =19、20、21，方案一：冰箱购买19台，彩电购买21台，方案二：冰箱购买20台，彩电购买20台，方案一：冰箱购买21台，彩电购买19台.②设商场获得总利润为y 元，则y =(2420-2320)x +(1980-1900)(40-x )=20x +3200 ∵20＞0，∴y 随x 的增大而增大，∴当x =21时，y 最大=20×21+3200=3620（元）.。

中考数学专卷2020届中考数学总复习(12)不等式与不等式组-精练精析(1)及答案解析

方程与不等式——不等式与不等式组1 一．选择题（共9小题）1．a，b都是实数，且a＜b，则下列不等式的变形正确的是（）A．a+x＞b+x B．﹣a+1＜﹣b+1 C．3a＜3b D．＞2．不等式组的解集是（）A．x＞2 B．x＞1 C．1＜x＜2 D．无解3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．4．不等式组的解集在数轴上可表示为（）A．B．C．D．5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．一元一次不等式x﹣1≥0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．8．不等式组﹣2≤x+1＜1的解集，在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．9．一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（）A．x＞1 B．x≥1 C．x＞3 D．x≥3二．填空题（共7小题）10．如图，身高为x cm的1号同学与身高为y cm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x _________ y（用“＞”或“＜”填空）．11．写出一个解为x≥1的一元一次不等式_________ ．12．不等式x+3＜﹣1的解集是_________ ．13．已知实数x、y满足2x﹣3y=4，并且x≥﹣1，y＜2，现有k=x﹣y，则k的取值范围是_________ ．14．铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为3：2，则该行李箱的长的最大值为_________ cm．15．不等式组的解集是_________ ．16．不等式组的解集是_________ ．三．解答题（共9小题）17．解不等式2x﹣3＜，并把解集在数轴上表示出来．18．解不等式≥，并把它的解集在数轴上表示出来．19．解不等式2（x﹣1）+5＜3x，并把解集在数轴上表示出来．20．某生态农业园种植的青椒除了运往市区销售外，还可以让市民亲自去生态农业园购买．已知今年5月份该青椒在市区、园区的销售价格分别为6元/千克、4元/千克，今年5月份一共销售了3000千克，总销售额为16000元．（1）今年5月份该青椒在市区、园区各销售了多少千克？（2）6月份是青椒产出旺季．为了促销，生态农业园决定6月份将该青椒在市区、园区的销售价格均在今年5月份的基础上降低a%，预计这种青椒在市区、园区的销售额将在今年5月份的基础上分别增长30%、20%，要使6月份该青椒的总销售额不低于18360元，则a的最大值是多少？21．近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注，某学校计划在教室内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备，已知：购买1台A种设备和2台B 种设备需要3.5万元；购买2台A种设备和1台B种设备需要2.5万元．（1）求每台A种、B种设备各多少万元？（2）根据学校实际，需购进A种和B种设备共30台，总费用不超过30万元，请你通过计算，求至少购买A种设备多少台？22．为培养学生养成良好的“爱读书，读好书，好读书”的习惯，我市某中学举办了“汉字听写大赛”，准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，一个书包和一本词典会花去48元，用124元恰好可以购买3个书包和2本词典．（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元？（2）学校计划用总费用不超过900元的钱数，为获胜的40名同学颁发奖品（每人一个书包或一本词典），求最多可以购买多少个书包？23．甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元，每张椅子80元．甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三张椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价8折优惠．现某公司要购买3张办公桌和若干张椅子，若购买的椅子数为x张（x≥9）．（1）分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额；（2）购买的椅子至少多少张时，到乙厂家购买更划算？24．晨光文具店用进货款1620元购进A品牌的文具盒40个，B品牌的文具盒60个，其中A 品牌文具盒的进货单价比B品牌文具盒的进货单价多3元．（1）求A、B两种文具盒的进货单价？（2）已知A品牌文具盒的售价为23元/个，若使这批文具盒全部售完后利润不低于500元，B品牌文具盒的销售单价最少是多少元？25．为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？方程与不等式——不等式与不等式组1参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．a，b都是实数，且a＜b，则下列不等式的变形正确的是（）A．a+x＞b+x B．﹣a+1＜﹣b+1 C．3a＜3b D．＞考点：不等式的性质．分析：根据不等式的性质1，可判断A，根据不等式的性质3、1可判断B，根据不等式的性质2，可判断C、D．解答：解：A、不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，故A错误；B、不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，故B错误；C、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故C正确；D、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故D错误；故选：C．点评：本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．2．不等式组的解集是（）A．x＞2 B．x＞1 C．1＜x＜2 D．无解考点：不等式的解集．分析：根据不等式组解集的四种情况，进行选择即可．解答：解：根据同大取较大的原则，不等式组的解集为x＞2，故选：A．点评：本题考查了不等式的解集，是基础题比较简单．解答此题要根据不等式组解集的求法解答．求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．分析：解不等式组得到解集为﹣2＜x≤3，将﹣2＜x≤3表示成数轴形式即可．解答：解：解不等式得：x≤3．解不等式x﹣3＜3x+1得：x＞﹣2所以不等式组的解集为﹣2＜x≤3．故选：D．点评：考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．4．不等式组的解集在数轴上可表示为（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．解答：解：，解得，故选：D．点评：本题考查了在数轴表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．解答：解：，解得，故选：B．点评：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．6．一元一次不等式x﹣1≥0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．专题：数形结合．分析：先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．解答：解：移项得，x≥1，故此不等式组的解集为：x≥1．在数轴上表示为：．故选：A．点评：本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可解答：解：解得﹣3＜x≤4，故选：D．点评：本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．8．不等式组﹣2≤x+1＜1的解集，在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．分析：先求出不等式组的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．解答：解：∵由题意可得，由①得，x≥﹣3，由②得，x＜0，∴﹣3≤x＜0，在数轴上表示为：．故选：B．点评：本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知““小于向左，大于向右”是解答此题的关键．9．一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（）A．x＞1 B．x≥1C．x＞3 D．x≥3考点：在数轴上表示不等式的解集．分析：根据不等式组的解集是大于大的，可得答案．解答：解：一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是x＞3．故选：C．点评：本题考查了不等式组的解集，不等式组的解集是大于大的．二．填空题（共7小题）10．如图，身高为x cm的1号同学与身高为y cm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x ＜y（用“＞”或“＜”填空）．考点：不等式的定义．分析：由图知1号同学比2号同学矮，据此可解答．解答：解：如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x＜y，故答案为：＜．点评：本题主要考查了不等式的定义，仔细看图是解题的关键．11．写出一个解为x≥1的一元一次不等式x+1≥2．考点：不等式的解集．专题：开放型．分析：根据不等式的解集，可得不等式．解答：解：解为x≥1的一元一次不等式有：x+1≥2，x﹣1≥0等．故答案为：x+1≥2．点评：本题考查了不等式的解集，注意符合条件的不等式有无数个，写一个即可．12．不等式x+3＜﹣1的解集是x＜﹣4 ．考点：解一元一次不等式．分析：移项、合并同类项即可求解．解答：解：移项，得：x＜﹣1﹣3，合并同类项，得：x＜﹣4．故答案是：x＜﹣4．点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．13．已知实数x、y满足2x﹣3y=4，并且x≥﹣1，y＜2，现有k=x﹣y，则k的取值范围是1≤k＜3 ．考点：解一元一次不等式．专题：计算题．分析：先把2x﹣3y=4变形得到y=（2x﹣4），由y＜2得到（2x﹣4）＜2，解得x ＜5，所以x的取值范围为﹣1≤x＜5，再用x变形k得到k=x+，然后利用一次函数的性质确定k的范围．解答：解：∵2x﹣3y=4，∴y=（2x﹣4），∵y＜2，∴（2x﹣4）＜2，解得x＜5，又∵x≥﹣1，∴﹣1≤x＜5，∵k=x﹣（2x﹣4）=x+，当x=﹣1时，k=×（﹣1）+=1；当x=5时，k=×5+=3，∴1≤k＜3．故答案为：1≤k＜3．点评：本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．也考查了代数式的变形和一次函数的性质．14．铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为3：2，则该行李箱的长的最大值为78 cm．考点：一元一次不等式的应用．专题：应用题．分析：设长为3x，宽为2x，再由行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，可得出不等式，解出即可．解答：解：设长为3x，宽为2x，由题意，得：5x+30≤160，解得：x≤26，故行李箱的长的最大值为78．故答案为：78cm．点评：本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的额关键是仔细审题，找到不等关系，建立不等式．15．不等式组的解集是1＜x＜2 ．考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：先求出两个不等式的解集，再求其公共解．解答：解：，解不等式①得，x＞1，解不等式②得，x＜2，所以，不等式组的解集是1＜x＜2．故答案为：1＜x＜2．点评：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．16．不等式组的解集是x＞．考点：解一元一次不等式组．分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：，由①得，x＞，由②得，x＞﹣2，故此不等式组的解集为：x＞．故答案为：x＞．点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．三．解答题（共9小题）17．解不等式2x﹣3＜，并把解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．专题：计算题．分析：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．解答：解：先去分母，得3（2x﹣3）＜x+1去括号，得6x﹣9＜x+1移项，得5x＜10系数化为1，得x＜2∴原不等式的解集为：x＜2，在数轴上表示为：点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．18．解不等式≥，并把它的解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．专题：计算题．分析：先去分母和去括号得到6﹣3x≥4﹣4x，然后移项后合并得到x≥﹣2，再利用数轴表示解集．解答：解：去分母得3（2﹣x）≥4（1﹣x），去括号得6﹣3x≥4﹣4x，移项得4x﹣3x≥4﹣6，合并得x≥﹣2，在数轴上表示为：．点评：本题考查了解一元一次不等式：解一元一次不等式的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．也考查了在数轴上表示不等式的解集．19．解不等式2（x﹣1）+5＜3x，并把解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．分析：去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．解答：解：2（x﹣1）+5＜3x，2x﹣2+5﹣3x＜0，﹣x＜﹣3，x＞3，在数轴上表示为：．点评：本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1．20．某生态农业园种植的青椒除了运往市区销售外，还可以让市民亲自去生态农业园购买．已知今年5月份该青椒在市区、园区的销售价格分别为6元/千克、4元/千克，今年5月份一共销售了3000千克，总销售额为16000元．（1）今年5月份该青椒在市区、园区各销售了多少千克？（2）6月份是青椒产出旺季．为了促销，生态农业园决定6月份将该青椒在市区、园区的销售价格均在今年5月份的基础上降低a%，预计这种青椒在市区、园区的销售额将在今年5月份的基础上分别增长30%、20%，要使6月份该青椒的总销售额不低于18360元，则a的最大值是多少？考点：一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．专题：几何图形问题．分析：（1）设在市区销售了x千克，则在园区销售了（3000﹣x）千克，根据等量关系：总销售额为16000元列出方程求解即可；（2）题目中的不等关系是：6月份该青椒的总销售额不低于18360元列出不等式求解即可．解答：解：（1）设在市区销售了x千克，则在园区销售了（3000﹣x）千克，则6x+4（3000﹣x）=16000，解得x=2000，3000﹣x=1000．故今年5月份该青椒在市区销售了2000千克，在园区销售了1000千克．（2）依题意有6（1﹣a%）×2000（1+30%）+4（1﹣a%）×1000（1+20%）≥18360，20400（1﹣a%）≥18360，1﹣a%≥0.9，a≤10．故a的最大值是10．点评：考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．21．近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注，某学校计划在教室内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备，已知：购买1台A种设备和2台B 种设备需要3.5万元；购买2台A种设备和1台B种设备需要2.5万元．（1）求每台A种、B种设备各多少万元？（2）根据学校实际，需购进A种和B种设备共30台，总费用不超过30万元，请你通过计算，求至少购买A种设备多少台？考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．专题：应用题．分析：（1）根据题意结合“购买1台A种设备和2台B种设备需要3.5万元；购买2台A种设备和1台B种设备需要2.5万元”，得出等量关系求出即可；（2）利用（1）中所求得出不等关系求出即可．解答：解：（1）设每台A种、B种设备各x万元、y万元，根据题意得出：，解得：，答：每台A种、B种设备各0.5万元、1.5万元；（2）设购买A种设备z台，根据题意得出：0.5z+1.5（30﹣z）≤30，解得：z≥15，答：至少购买A种设备15台．点评：此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的关键语句，列出方程和不等式．22．为培养学生养成良好的“爱读书，读好书，好读书”的习惯，我市某中学举办了“汉字听写大赛”，准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，一个书包和一本词典会花去48元，用124元恰好可以购买3个书包和2本词典．（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元？（2）学校计划用总费用不超过900元的钱数，为获胜的40名同学颁发奖品（每人一个书包或一本词典），求最多可以购买多少个书包？考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．分析：（1）利用一个书包和一本词典会花去48元，用124元恰好可以购买3个书包和2本词典，得出等式求出即可；（2）利用总费用不超过900元的钱数，进而得出不等关系求出即可．解答：解：（1）设每个书包和每本词典的价格各是x元，y元，根据题意得出：，解得：．答：每个书包的价格是28元，每本词典的价格是20元；（2）设购买z个书包，则购买词典（40﹣z）本，根据题意得出：28z+20（40﹣z）≤900，解得：z≤12.5．故最多可以购买12个书包．点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．23．甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元，每张椅子80元．甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三张椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价8折优惠．现某公司要购买3张办公桌和若干张椅子，若购买的椅子数为x张（x≥9）．（1）分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额；（2）购买的椅子至少多少张时，到乙厂家购买更划算？考点：一元一次不等式的应用．专题：优选方案问题．分析：（1）根据甲乙两厂家的优惠方式，可表示出购买桌椅所需的金额；（2）令甲厂家的花费大于乙厂家的花费，解出不等式，求解即可确定答案．解答：解：（1）根据甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案：甲厂家所需金额为：3×800+80（x﹣9）=1680+80x；乙厂家所需金额为：（3×800+80x）×0.8=1920+64x；（2）由题意，得：1680+80x＞1920+64x，解得：x＞15．答：购买的椅子至少16张时，到乙厂家购买更划算．点评：本题考查了一元一次不等式的知识，注意将实际问题转化为数学模型，利用不等式的知识求解．24．晨光文具店用进货款1620元购进A品牌的文具盒40个，B品牌的文具盒60个，其中A 品牌文具盒的进货单价比B品牌文具盒的进货单价多3元．（1）求A、B两种文具盒的进货单价？（2）已知A品牌文具盒的售价为23元/个，若使这批文具盒全部售完后利润不低于500元，B品牌文具盒的销售单价最少是多少元？考点：一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．专题：销售问题．分析：（1）设A品牌文具盒的进价为x元/个，根据晨光文具店用进货款1620元，可得出方程，解出即可；（2）设B品牌文具盒的销售单价为y元，根据全部售完后利润不低于500元，可得出不等式，解出即可．解答：解：（1）设A品牌文具盒的进价为x元/个，依题意得：40x+60（x﹣3）=1620，解得：x=18，x﹣3=15．答：A品牌文具盒的进价为18元/个，B品牌文具盒的进价为15元/个．（2）设B品牌文具盒的销售单价为y元，依题意得：（23﹣18）×40+60（y﹣15）≥500，解得：y≥20．答：B品牌文具盒的销售单价最少为20元．点评：本题考查了一元一次方程及一元一次不等式的知识，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系及等量关系，难度一般．25．为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．专题：应用题．分析：（1）设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗（400﹣x）棵，根据购买两种树苗的总金额为90000元建立方程求出其解即可；（2）设应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（400﹣a）棵，根据购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额建立不等式求出其解即可．解答：解：（1）设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗（400﹣x）棵，由题意，得200x+300（400﹣x）=90000，解得：x=300，∴购买乙种树苗400﹣300=100棵，答：购买甲种树苗300棵，则购买乙种树苗100棵；（2）设应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（400﹣a）棵，由题意，得200a≥300（400﹣a），解得：a≥240．答：至少应购买甲种树苗240棵．点评：本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次不等式的解法的运用，解答时建立方程和不等式是关键．。

华东师大初中数学初三中考总复习：方程与不等式综合复习--巩固练习(提高)

中考总复习：方程与不等式综合复习—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．0.52．如果关于x 的方程 kx 2 -2x -1=0有两个不相等实数根，那么k 的取值范围是（）A ．1k ≥B ．1k > C.10k k ≥-≠且 D ．10k k >-≠且3．已知相切两圆的半径是一元二次方程x 2-7x+12＝0的两个根，则这两个圆的圆心距是( )A ．7B ．1或7C ．1D ．64．若,αβ是方程2220070x x +-=的两个实数根，则23ααβ++的值（） A ．2007 B ．2005 C ．－2007 D ．40105．（2015•永州）定义[x]为不超过x 的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x ，下列式子中错误的是（）A ．[x]=x （x 为整数）B ．0≤x﹣[x]＜1C ．[x+y]≤[x ]+[y]D ．[n+x]=n+[x]（n 为整数）6．已知x 是实数，且 -(x 2+3x)=2，那么x 2+3x 的值为（）A.1B.-3或1C.3D.-1或3二、填空题7．（2015春•萧山区月考）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+2k ﹣4=0有两个不相等的实数根，则：（1）字母k 的取值范围为；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，那么k 的值为，此时方程的根为．8．若不等式组112x x a-≤≤⎧⎨<⎩有解，那么a 必须满足________．9．关于x 的方程k(x+1)=1+2x 有非负数解，则k 的取值范围是_____ ___．10．当a=________时，方程会产生增根.11．当m ____________时，关于x 的一元二次方程0152=+-+-m x x 的两个实根一个大于3，另一个小于3.12．已知关于x 的方程322=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为____ __．三、解答题13．用换元法解方程：22322x x x x +-=+．14. 已知：△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程22(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，第三边BC 的长为5，试问：k 取何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？15．已知关于x 的一元二次方程022=++c bx ax （0>a ）①.（1）若方程①有一个正实根c ，且02<+b ac .求b 的取值范围；（2）当a =1 时，方程①与关于x 的方程0442=++c bx x ②有一个相同的非零实根，求 c b cb +-2288 的值.16.（2014春•西城区校级期中）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A 、B 两种产品共50件．已知生产一件A 种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B 种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元．设生产A 种产品的生产件数为x ，A 、B 两种产品所获总利润为y （元）．（1）试写出y 与x 之间的函数关系式；（2）求出自变量x 的取值范围；（3）利用函数的性质说明哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B ；【解析】方程的解必满足方程，因此将0x =代入，即可得到210a -=，注意到一元二次方程二次项系数不为0，故应选B.2.【答案】D ；【解析】方程有两个实数根，说明方程是一元二次方程，因此有0k ≠，其次方程有两个不等实根，故有240b ac ->.故应选D.3.【答案】B ；【解析】解一元二次方程x 2-7x+12＝0，得x 1＝3，x 2＝4，两圆相切包括两圆内切和两圆外切．当两圆内切时，d ＝x 2-x 1＝1；当两圆外切时，d ＝x 1+x 2＝7．4.【答案】B ；【解析】因为,αβ是方程2220070x x +-=的两个实数根，则220072αα=-，把它代入原式得2007232007ααβαβ-++=++，再利用根与系数的关系得2αβ+=-，所以原式=2005.5.【答案】C ；【解析】A 、∵[x]为不超过x 的最大整数，∴当x 是整数时，[x]=x ，成立；B 、∵[x]为不超过x 的最大整数，∴0≤x﹣[x]＜1，成立；C 、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，∵﹣9＞﹣10，∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，D、[n+x]=n+[x]（n为整数），成立；故选：C．6.【答案】A；【解析】设x2+3x=y, 则原方程可变为-y=2, 即y2+2y-3=0.∴y1=-3, y2=1.经检验都是原方程的解. ∴ x2+3x=-3或1.因为x为实数，所以要求x2+3x=-3和x2+3x=1有实数解.当x2+3x=-3时，即是x2+3x+3=0，此时Δ=32-4×1×3<0，方程无实数解，即 x不是实数，与题设不符，应舍去；当x2+3x=1时，即是x2+3x-1=0，此时Δ=32-4×1×(-1)>0，方程有实数解，即x是实数，符合题设，故x2+3x=1.正确答案：选A.二、填空题7．【答案】(1)k＜；(2) 2，0，2．【解析】（1）根据题意得：△=4﹣4（2k﹣4）=20﹣8k＞0，解得：k＜；故答案为：k＜；（2）由k为正整数，得到k=1或2，利用求根公式表示出方程的解为x=﹣1±，∵方程的解为整数，∴5﹣2k为完全平方数，则k的值为2，∴方程为：x2﹣2x=0，解得：x1=0，x2=2. 故答案为：2，0，2．8．【答案】a＞-2；【解析】画出草图，两个不等式有公共部分.9．【答案】1≤k＜2；10．【答案】3；【解析】先去分母，再把x=3代入去分母后的式子得a=3.m>-；11．【答案】5【解析】设方程的两个实根分别为x1、x2,因为两个实根一个大于3，另一个小于3，所以（x 1-3）（x 2-3）＜0，化简为x 1x 2-3（x 1+x 2）+9＜0，由根与系数关系解得5m >-.12．【答案】 64m m >-≠-且；【解析】去分母解得x=m+6,解为正数得m ＞-6，由x ≠2得m ≠-4.故64m m >-≠-且.三、解答题13.【答案与解析】解：22322x x x x +-=+，222322x x x x +-=+．设22x y x+=，则32y y -=，整理，得2230y y --=．解得y 1＝3，y 2＝-1．当y ＝3时，223x x+=，2320x x -+=，解得x 1＝2，x 2＝1；当y ＝-1时，221x x+=-，220x x ++=， △＝1-8＝-7＜0，此方程没有实数根．经检验：x 1＝2，x 2＝1是原方程的根．∴ 原方程的根是x 1＝2，x 2＝1．14.【答案与解析】解：设边AB ＝a ，AC ＝b ．∵ a 、b 是22(23)320x k k k -++++=的两根，∴ a+b ＝2k+3，a ·b ＝k 2+3k+2．又∵ △ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，且BC ＝5，∴ 2225a b +=，即2()225a b ab +-=． ∴ 23100k k +-=，∴ 15k =-或22k =．当k ＝-5时，方程为27120x x ++=．解得13x =-，24x =-．（舍去）当k ＝2时，方程为x 2-7x+12＝0．解得x 1＝3，x 2＝4．∴ 当k ＝2时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形．15.【答案与解析】解：（1）∵ c 为方程的一个正实根（0>c ），∴ 022=++c bc ac∵0>c ,∴ 012=++b ac ，即12--=b ac .∵ 02<+b ac ，∴ 0)12(2<+--b b .解得 32->b ．又0>ac （由0>a ，0>c ）．∴ 012>--b ．解得 21-<b ． ∴ 2132-<<-b ．（2）当1=a 时，此时方程①为 022=++c bx x .设方程①与方程②的相同实根为m ，∴ 022=++c bm m ③0442=++c bm m ④④－③得 0232=+bm m .整理，得 0)23(=+b m m .∵m ≠0，∴023=+b m .解得 32b m -=. 把32b m -=代入方程③得 0)32(2)32(2=+-+-c b b b . ∴0982=+-c b ，即c b 982=. 当c b 982=时，548822=+-c b cb .16.【答案与解析】解：（1）设生产A 种产品x 件，则生产B 种产品（50﹣x ）件，由题意得：y=700x+1200（50﹣x ）=﹣500x+60000，即y 与x 之间的函数关系式为y=﹣500x+60000；（2）由题意得，解得30≤x≤32．∵x 为整数，∴整数x=30，31或32；（3）∵y=﹣500x+60000，﹣500＜0，∴y 随x 的增大而减小，∵x=30，31或32，∴当x=30时，y有最大值为﹣500×30+60000=45000．即生产A种产品30件，B种产品20件时，总利润最大，最大利润是45000元．。

数学华东师大版七年级下册初三复习课不等式(组)

第三讲不等式（组）基础盘点1. 不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”）表示大小关系的式子.2. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．3. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．4. 不等式的基本性质：性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数（或式子），不等号的方向不变.性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.5. 一元一次不等式：左、右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式．6. 解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.7.列一元一次不等式解决实际问题与列方程解决实际问题的步骤类似：（1）审：审清题意，弄清已知数、未知数，找出题中的相等关系、不等关系；（2）设：设出未知数；（3）列：根据不等关系列不等式；（4）解：解一元一次不等式，求出未知数的取值范围；（5）验：先检验所得的解集是不是所列不等式的解集；再检验所得解集是否符合实际意义，注意根据实际意义的要求，确定实际问题的解；（6）答：写出答案. 注意答案中必须写清单位名称.考点呈现考点1 不等式的基本性质例1（2015·怀化）下列不等式变形正确的是（）A.由a＞b得ac＞bcB.由a＞b得－2a＞－2bC.由a＞b得－a＜－bD.由a＞b得a－2＜b－2点评：本题考查利用不等式的性质进行不等式变形．解题的关键是理解并能灵活运用不等式的基本性质，也可通过举反例帮助判断.考点2 在数轴上表示不等式的解集例2（2015·崇左）不等式5x≤－10的解集在数轴上表示为（）考点3 一元一次不等式的解法例3（2015·巴中）解不等式：2132134x x-+-≤，并把解集表示在数轴上．A B C D点评：本题考查一元一次不等式的解法及其解集在数轴上的表示.解一元一次不等式的步骤与方程相同，共有5步.要特别注意的是最后一步系数化为1时，当未知数的系数是负数时，不等号的方向要改变.考点4 不等式与方程（组）综合问题例4（2015·呼和浩特）若关于x 、y 的二元一次方程组232,24x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩的解满足x + y >－32，求出满足条件的m 的所有正整数值.点评：本题综合考查方程组、不等式的解法. 此类题以“解”为“媒”联系起方程（组）与不等式（组），解题关键是分清相关字母与未知数，能用相关字母表示未知数，并能对照解的情况，列方程（组）或不等式（组），从而求出相关字母的取值或取值范围.考点5 不等式组的有解、无解问题例5 (2015·绥化)关于x 的不等式组1x a x >⎧⎨>⎩，的解集为x ＞1，则a 的取值范围是（）A. a ＞1B. a ＜1C. a ≥1D. a ≤1考点6 不等式组的整数解问题例6（2015·永州）若不等式组1,1x x m <⎧⎨>-⎩恰有两个整数解，则m 的取值范围是（）A ．－1≤m＜0B ．－1＜m≤0 C．－1≤m≤0 D．－1＜m ＜0点评：本题考查由不等式组解的情况求字母的取值范围，解此类题可借助数轴直观地解决，注意虚心圆圈与实心圆点的区别，还要考虑是否需要分情况讨论. 考点7 考虑不周，忽略分类讨论例7 当a 时，不等式组3,31x a x a >+⎧⎨<-⎩无解.考点8 一元一次不等式的应用例8（2015·株洲）为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品.已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？点评：本题考查列不等式解决实际问题. 列不等式解应用题的关键是找到不等关系. 在审题时，要注意表示不等关系的关键词：超过、大于、小于、不足、至少、不高于、不超过、不小于等.考点9 一元一次不等式与方程（组）的综合应用例9（2015·潍坊）为提高饮水质量，越来越多的居民开始选购家用净水器. 一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36 000元.（1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台；（2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11 000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元. （注：毛利润=售价－进价）点评：本题综合考查方程（组）及一元一次不等式的实际应用. 理解题意并从中找到所有的相等与不等关系是解答此类题的关键.考点10 方案问题(精讲部分)例1 某办公用品销售商店推出两种优惠方案：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠.书包每个定价20元，水性笔每支定价5元.小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）．（1）设购买水性笔x支，试对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方案购买比较便宜；（2）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．。

华东师大初中数学中考总复习：方程与不等式综合复习--知识讲解(提高) (精选)

中考总复习：方程与不等式综合复习—知识讲解（提高）【考纲要求】1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式. 4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项. 5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释：列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间时间距离速度= 速度距离时间=； (2)工程问题：工作量=工效×工时工时工作量工效=工效工作量工时=； (3)比率问题：部分=全体×比率全体部分比率= 比率部分全体=；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题：售价=定价·折·101，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率；(6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abh ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.考点二、一元二次方程 1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项. 3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：21,240)2b x b ac a-±=-≥ （4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆. 5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，a cx x =21.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解. （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.考点三、分式方程 1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号. （2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ⇔a ＞b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c .【典型例题】类型一、方程的综合运用1．如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象1l 、2l ，设111y kx b =+，222y k x b =+，则方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是( )A ．2,2x y =-⎧⎨=⎩ B ．2,3x y =-⎧⎨=⎩ C ．3,3x y =-⎧⎨=⎩ D ．3,4x y =-⎧⎨=⎩【思路点拨】图象1l 、2l 的交点的坐标就是方程组的解. 【答案】B ；【解析】由图可知图象1l 、2l 的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为2,3.x y =-⎧⎨=⎩【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．2．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程. 【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x 元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得15015018.751.8x x-=-，整理，得21.814.40x x --=．解这个方程，得x 1＝4.8，x 2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x 2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．类型二、解不等式（组）3．已知A ＝a+2，B ＝a 2-a+5，C ＝a 2+5a-19，其中a ＞2． (1)求证：B-A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； (2)指出A 与C 哪个大?说明理由．【思路点拨】计算B-A 结果和0比大小，从而判断A 与B 的大小；同理计算C-A ，根据结果来比较A 与C 的大小．【答案与解析】(1)证明：B-A ＝a 2-2a+3＝(a-1)2+2．∵ a ＞2，∴ (a-1)2＞0，∴ (a-1)2+2＞0．∴ a 2-2a+3＞0，即B-A ＞0．由此可得B ＞A ．(2)解：C-A ＝a 2+4a-21＝(a+7)(a-3)． ∵ a ＞2，∴ a+7＞0．当2＜a ＜3时，a-3＜0， ∴ (a+7)(a-3)＜0．∴ 当2＜a ＜3时，A 比C 大；当a ＝3时，a-3＝0， ∴ (a+7)(a-3)＝0．∴ 当a ＝3时，A 与C 一样大；当a ＞3时，a-3＞0， ∴ (a+7)(a-3)＞0．∴ 当a ＞3时，C 比A 大．【总结升华】比较大小通常用作差法，结果和0比大小，此时常常用到因式分解或配方法. 本题考查了整式的减法、十字相乘法分解因式，渗透了求差比较大小的思路及分类讨论的思想．举一反三：【变式1】已知：A=222+-a a ，B=2, C=422+-a a ,其中1>a .(1)求证：A-B>0； (2)试比较A 、B 、C 的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）A-B=222222(21)a a a a a a -+-=-=- ∵1>a ，∴0,210a a >-> ∴A-B>0(2) ∵C-B=22224222(1)10a a a a a -+-=-+=-+> ∴C>B∵A-C=22222242(2)(1)a a a a a a a a -+-+-=+-=+- ∵1>a ，∴20,10a a +>->∴A>C>B【高清课程名称：方程与不等式综合复习高清ID 号： 405277 关联的位置名称（播放点名称）：例3】【变式2】如图，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是______．【答案】解：设n 为正整数，由题意得 ⎩⎨⎧>+⨯>-.1001342,100)12(5n n 解得⋅>887n 则n 可取的最小正整数为11．若x 为奇数，即x ＝21时，y ＝105；若x 为偶数，即x ＝22时，y ＝101． ∴满足条件的最小正整数x 是21．类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用4．宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中有面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班的学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20%，“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名? 【思路点拨】根据招生人数列等式，根据今年招生最多比去年增加100人列不等式. 【答案与解析】设去年招收“宏志班”学生x 名，普通班学生y 名，由条件得550,10%20%100.x y x y +=⎧⎨+≤⎩将y ＝550-x 代入不等式，可解得x ≥100，于是(1+10%)x ≥110．故今年最少可招收“宏志班”学生110名．【总结升华】本题属于列方程与不等式组综合题. 举一反三：【变式】为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序，若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人?共有多少个交通路口安排值勤?【答案】设这个学校选派值勤学生x 人，共到y 个交通路口值勤．根据题意得478,48(1)8.x y x y -=⎧⎨≤--<⎩①②由①可得x ＝4y+78，代入②，得4≤78+4y-8(y-1)＜8，解得19.5＜y ≤20.5．根据题意y 取20，这时x 为158，即学校派出的是158名学生，分到了20个交通路口安排值勤．5．已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ， ① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 【思路点拨】（1）由于k 为此方程的一个实数根，故把k 代入原方程，即可得到关于k 的一元二次方程，①把k=m 代入关于k 的方程，即可求出m 的值；②由于k 为原方程的非零实数根，故把方程两边同时除以k ，便可得到关于y 与m 的关系式；（2）先求出根的判别式，再根据m 的取值范围讨论△的取值即可．【答案与解析】（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =.∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程， ∴ m ≠ 2. ∴ m= 1.② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=. 整理，得 1()21m k k m k +-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. 解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图）当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4；当1＜m ＜2时，1＜∆＜4.∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. 【总结升华】和一元二次方程的根有关的问题往往可以借助于二次函数图象解决，数形结合使问题简化. 举一反三：【变式1】（2014秋•天河区期末）已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，k 为正整数．（1）求k 的值（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k ﹣1的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，求平移后的图象的解析式．【答案】解：（1）∵方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，∴△=42﹣4×2×（k ﹣1）≥0，∴k≤3．又∵k 为正整数，∴k=1或2或3．（2）当此方程有两个非零的整数根时，当k=1时，方程为2x 2+4x=0，解得x 1=0，x 2=﹣2；不合题意，舍去．当k=2时，方程为2x 2+4x+1=0，解得x 1=﹣1+，x 2=﹣1﹣；不合题意，舍去．当k=3时，方程为2x 2+4x+2=0，解得x 1=x 2=﹣1；符合题意．因此y=2x 2+4x+2的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，得出y=2x 2﹣2．【高清课程名称：方程与不等式综合复习高清ID 号： 405277关联的位置名称（播放点名称）：例5】【变式2】已知：关于x 的方程()0322=-+-+k x k x（1）求证：方程()0322=-+-+k x k x 总有实数根；（2）若方程()0322=-+-+k x k x 有一根大于5且小于7，求k 的整数值； (3)在⑵的条件下，对于一次函数b x y +=1和二次函数2y =()322-+-+k x k x ，当71<<-x 时，有21y y >，求b 的取值范围．【答案】⑴证明：∵△=(k －2)2－4(k －3)=k 2－4k +4－4k +12= k 2－8k +16=(k －4)2≥0∴此方程总有实根。

2015届中考数学总复习十一元二次方程精练精析1华东师大版

方程与不等式元二次方程 1•选择题（共8小题）7.若关于x 的一元二次方程的两个根为 X 1=1, X 2=2,则这个方程是（）2 2 2 2A. x +3x — 2=0B. x — 3x+2=0C. x — 2x+3=0D. x +3x+2=0&已知m n 是方程x 2— x — 1=0的两实数根，则丄+—的值为（）ir nA. — 1B.— _C. -D. 12 2二.填空题（共8小题）9.为了美化环境，某市加大对绿化的投资，2007年用于绿化的投资 20万元，2009年用于绿化的投资是 25万元,求这两年绿化投资的平均增长率，设这两年绿化投资的平均增长率为x ，根据题意所列的方程为 ________________ .10 . 一元二次方程（a+1） X 2— ax+a 2 — 1=0 的一个根为 0，贝U a= __________ . 11.已知关于x 的一元二次方程 2x 2— 3kx+4=0的一个根是1,贝U k= ________________ . 12关于x 的一元二次方程 X 2— 5x+k=0有两个不相等的实数根，则 k 可取的最大整数为 ________________ .13 .方程X 2— 3x=0的根为 ______________ . 14 .如图，某小区规划在一个长30m 宽20m 的长方形ABCDk 修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另 2一条与AD 平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为 78m ，那么通道的宽应设计成多少m ?设通道的宽为xm,由题意列得方程 _______________ .15 .现有一块长80cm 宽60cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm 的小正方形，做成一个底面积为21500cm 的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得 __________________ .16某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划2015年绿化面积要达到 2880平方米.如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 ________________ . 三.解答题（共8小题）2117 .已知关于x 的方程（k — 1） x —（ k — 1） x+ =0有两个相等的实数根，求 k 的值.418 .如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为 400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB, BC 各为多少米？19 .电动自动车已成为市民日常出行的首选工具.据某市某品牌电动自行车经销商 1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆. （1）求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；（2）若该品牌电动自行车的进价为 2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？ 20天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准（如图所示）：某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次 1. A. 2. A.3. 是A. 若X = — 2是关于X 的一元二次方程 x 2-上ax+a 2=0的一个根，则 a 2 B .— 1 或-4 C.- 1 或 4 D. 1 或-4 一二次方程 x 2— 2mx+4=0的一个解，则 m 的值为（ 2 D. 0 或-22+k=0 （ m , h , k 均为常数，m^ 0）的解是的值为（4. A. 5A. 6.A. 1或4已知x=2是一元二次方程 x i = —3,X 2=2，则方程 m (x+h — 3) 2+k=0 的解X 1=0, X 2=5C. X 1 = — 3, X 2=5D. X 1= — ) =1+ X =1 — V2 B. 2x — 2x — 1=0的解是(X 1=1+ .：, X 2=— 1 — : C . X 1 X 2— x — 2=0 的解是()B.X 1=1, X 2= — 2 C. X 1= — 1 , X 2 = — 2D. X 1= — x 2— 2x+m=0总有实数根，则 m 应满足的条件是( 6, D. X 2=21, )X i =— 1+ =, X 2= — 1--X 2=2共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游?21 •某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为X.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为_ _ 万元.(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率X.22. 某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2,施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程.(1 )该项绿化工程原计划每天完成多少米2?(2)该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示) ，问人行通道的宽度是多少米？23. 某商店准备进一批季节性小家电，单价40元.经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个.因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180 个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？24某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件.假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同.(1) 求2013年到2015年这种产品产量的年增长率;(2) 2014年这种产品的产量应达到多少万件？方程与不等式一兀二次方程1参考答案与试题解析一.选择题(共8小题)1 .若x= - 2是关于x的一元二次方程x2- —ax+a2=0的一个根，则a的值为( )2A. 1 或4B.- 1 或-4C.- 1 或4D. 1 或-4考点：一兀二次方程的解.专题：计算题.分析：将x= 2代入关于x的一兀二次方程x ax+a =0，再解关于a的一兀二次方程即可.2解答：解：.x= 2是关于x的一兀二次方程x — ax+a =0的一个根，2••• 4+5a+a2=0,/•( a+1) (a+4) =0, 解得a1=- 1, a2= - 4, 故选：B.点评：2.已知A. 2考点：本题主要考查了一兀二次方程的解的定义，解题关键是把x的值代入，再解关于a的方程即可. x=2是一兀二次方程x - 2mx+4=0的一个解，则m的值为( )B. 0 C0或2 D. 0 或-2一元二次方程的解.分析：直接把x=2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可.解答：解：.x=2是一兀二次方程x - 2mx+4=0的一个解，• 4 - 4m+4=Q• m=2故选：A.点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.把求未知系数的问题转化为方程求解的问题.3.关于x的方程m(x+h) 2+k=0 ( m h, k均为常数，m^0)的解是X1 = - 3, X2=2,则方程m(x+h - 3) 2+k=0的解是( )A. X1=- 6, X2 = — 1B. X1=0, X2=5C. X1 = - 3, X2=5D. X1=- 6, X2=2考点：解一兀二次方程-直接开平方法.专题：计算题.分析：禾U 用直接开平方法得方程 m(x+h ) 2+k=0的解x= - h ± _L ，则-h - _ !=- 3,再解方程 m(x+h - 3) 2+k=0 得 x=3 - h ± J - ',所以 x i =0, X 2=5.所以 x i =3 — 3=0, X 2=3+2=5.故选：B. 点评：本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如采用直接开平方的方法解一元二次方程.如果方程化成 2=p （p >0）的形式，那么 nx+m=± ■,.A.m > 1考点： B . m=1C. m< 1D. m<1根的判别式.分析：根据根的判别式，令0,建立关于 m 的不等式，解答即可. 解答：解：•方程x - 2x+m=0总有实数根，4. 「兀二次方程 x - 2x - 1=0的解是（）A. X 1=X 2=1 B . X 1=1+^^, X 2= - 1 - ^^ C. X 1=1^2, X 2=1 -逅考点 : 解一兀二次方程-配方法.专题 : 计算题.分析方程变形后，配方得到结果，开方即可求出值.解答解：方程 x 2- 2x - 1=0，变形得：x 2- 2x=1,配方得：x 2- 2x+1=2，即(x - 1) 2=2,开方得：x - 1 = ±逅，解得X 1=1+、/^ , X 2=1-^^.故选 C.点评此题考查了解一兀二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 5. 「兀二次方程 x - x - 2=0的解是（）A. X 1=1, X 2=2B . X 1=1, X 2= - 2 C. X 1= - 1 , X 2=- 2 D . X 1= - 1 , X 2=2 考点 :解一兀二次方程-因式分解法. 专题 : 因式分解. 分析直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根解答 2解：x - x - 2=0(x - 2) (x+1) =0,解得 X 1 = - 1,X 2=2.故选D.D. x 1= - 1+ :, X 2=- 1 -解答:解：解方程 m(x+h ) 2+k=0 ( m , h , k 均为常数，m^0)得 x= - h ±而关于x 的方程 m(x+h ) +k=0 (m, h , -Z =2, k 均为常数，m^0）的解是 x i = - 3, X 2=2, 所以-h -「=- 3, - h+2方程m (x+h - 3) +k=0的解为 2=p （p >0）的一元二次方程可 x=±；,;如果方程能化成（nx+m ）x 2=p 或（ nx+m ）2x=p 的形式，那么可得x=3 - h ±/•△> 0, 即4 - 4m>0, /•- 4m>- 4,/• m< 1.故选：D. 点评：本题考查了根的判别式，一兀二次方程根的情况与判别式△的关系:解答：解：两个根为X 1=1, X 2=2则两根的和是 3，积是2.A 、两根之和等于 - 3,两根之积等于- 2,所以此选项不止确；B 、两根之和等于3,两根之积等于 2，所以此选项正确；C 两根之和等于 2,两根之积等于 3，所以此选项不正确；D 两根之和等于故选：B. -3,两根之积等于 2，所以此选项不正确，点评：验算时要注意方程中各项系数的正负.&已知m n 是方程x 2- x - 1=0的两实数根，则丄+丄的值为()IT nA.- 1B -—C. —D. 12 2考点：根与系数的关系.专题：计算题.分析：先根据根与系数的关系得到m+n=1, mn 一- 1，再利用通分把丄+2变形为 …1 然后利用整体代入的ir rj m方法计算. 解答：解：根据题意得 m+n=1 mn 一- 1,所以•+ •一二厂匚_ ■ 1 =- 1D 1上人' n n mn1 • -1故选：A.点评：本题考查了一兀二次方程 ax +bx+c=0 (0)的根与系数的关系：右方程两个为 X 1 , X 2,贝 9X 1+X 2--丄，X1?X2一 .a a二.填空题(共 8小题)9.为了美化环境，某市加大对绿化的投资， 2007年用于绿化的投资 20万兀，2009年用于绿化的投资是 25万兀，求这两年绿化投资的平均增长率，设这两年绿化投资的平均增长率为 x ,根据题意所列的方程为 2 20X (1+x ) =25 考点：由实际问题抽象出一兀二次方程.专题：增长率问题.分析： 2009年绿化投资-2007年的绿化投资X( 1+两年绿化投资的平均增长率)2,把相关数值代入即可求解.解答：解：••• 2007年用于绿化的投资 20万兀，这两年绿化投资的平均增长率为x ,••• 2008年的绿化投资为 20X( 1+x ),• 2009 年的绿化投资为 20X( 1+x )X( 1+x ) =20X( 1+x ), •可列方程为 20X( 1+x ) 2=25, 故答案为：20X( 1+x ) 2=25. 点评：本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a ,变化后的量为b ,次变化后的数量关系为 a (1± x ) 2=b ,得到2009年绿化投资的等量关系是解决本题的关键. 10 一元二次方程(a+1) x 2 - ax+a 2 - 1=0 的一个根为 0，贝U a= 1 . 考点：一元二次方程的定义. 专题：计算题；待定系数法.("△> 0?方程有两个不相等的实数根; (2) ^ =0?方程有两个相等的实数根； (3) ^< 0?方程没有实数根.7.若关于x 的一元二次方程的两个根为 2 2A.x +3x - 2=0 B . x - 3x+2=0考点：分析： h 是否为ax i =1, X 2=2,则这个方程是(2C. x - 2x+3=0)2D. x +3x+2=0根与系数的关系. 解决此题可用验算法，因为两实数根的和是3及两根之积是否为2即可. 31+2=3,两实数根的积是 1 X 2=2.解题时检验两根之和平均变化率为x ，则经过两分析：根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1^0且a2- 1=0,然后解不等式和方程即可得到a的值.解答：解：•一元二次方程(a+1) x2- ax+a2-仁0的一个根为0,••• a+住0且a2- 1=0,a=1.故答案为：1.点评：本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二2次方程，其一般式为ax +bx+c=0 (0).也考查了一元二次方程的解的定义.11.已知关于x的一元二次方程2x2- 3kx+4=0的一个根是1,贝U k= 2 . 考点：一元二次方程的解.专题：待定系数法.分析：把x=1代入已知方程列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的值.解答：解：依题意，得22X1 - 3k X 1+4=0,即卩2- 3k+4=0，解得，k=2.故答案是：2.点评：本题考查了一元二次方程的解的定义.此题是通过代入法列出关于k的新方程，通过解新方程可以求得k的值.12关于x的一元二次方程X2-5x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为 6 .考点：根的判别式.专题：计算题.分析：根据判别式的意义得到厶=(-5) 2- 4k > 0，解不等式得k v二，然后在此范围内找出最大整数即4可.2解答：解：根据题意得厶=(-5) - 4k>0,解得k V二4所以k可取的最大整数为6.故答案为6.点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 (0)的根的判别式△ =b2- 4ac:当△> 0,方程有两个不相等的实数根；当厶=0,方程有两个相等的实数根；当△<0,方程没有实数根.213 .方程x - 3x=0 的根为X1=0, X2=3 .考点：解一元二次方程-因式分解法.分析：根据所给方程的系数特点，可以对左边的多项式提取公因式，进行因式分解，然后解得原方程的解.解答：解：因式分解得，x (x - 3) =0,解得，X1=0, X2=3.故答案为：X1=0, X2=3.点评：本题考查了解一元二次方程的方法，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根.因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用.14.如图，某小区规划在一个长30m宽20m的长方形ABCDh修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78卅，那么通道的宽应设计成多少m?设通道的宽为xm,由题意列得方程(30 - 2x) (20 -x) =6X 78 .考点：由实际问题抽象出一元二次方程.专题：几何图形问题.分析：设道路的宽为xm,将6块草地平移为一个长方形，长为( 30 - 2x) m宽为(20 - x) m.根据长方形面积公式即可列方程(30 - 2x) (20 - x) =6X 78.解答：解：设道路的宽为xm,由题意得：(30 - 2x) (20 - x) =6X 78,故答案为：(30 - 2x) (20 - x) =6X 78.点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键.15 .现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得x2- 70x+825=0 .考点：由实际问题抽象出一元二次方程.专题：方程思想.分析：本题设小正方形边长为xcm,则长方体盒子底面的长宽均可用含x的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（80 - 2x）cm,宽是（60 - 2x）cm,根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，方程可列出. 解答：解：由题意得：（80 - 2x）（60 - 2x）=1500整理得：x2- 70x+825=0, 故答案为：x2- 70x+825=0.点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式.另外，要学会通过图形求出面积.16 .某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划2015年绿化面积要达到2880平方米.如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是20% .考点：一元二次方程的应用.专题：增长率问题.分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案.解答：解：设这个增长率是x,根据题意得：22000X（1+x）=2880解得：X1=20% X2=- 220% （舍去）故答案为：20%点评：本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键.三.解答题（共8小题）17. 已知关于x的方程（k - 1）x2-（k- 1）x+「=0有两个相等的实数根，求k的值.4考点：根的判别式；一元二次方程的定义.分析：根据根的判别式令△ =0,建立关于k的方程，解方程即可.解答：解：•••关于x的方程（k- 1）x2-（k - 1）x+ =0有两个相等的实数根，4/•△ =0,2 1•••[ -（k - 1）] - 4 （k- 1）=0,4整理得，k - 3k+2=0,即（k- 1）（k- 2）=0,解得：k=1 （不符合一元二次方程定义，舍去）或k=2.• k=2.点评：本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（"△> 0?方程有两个不相等的实数根；（2）^ =0?方程有两个相等的实数根；（3）^< 0?方程没有实数根.18. 如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB, BC各为多少米？考点：一元二次方程的应用.专题：应用题.分析：设AB的长度为x，则BC的长度为（100-4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程解答：解：设AB的长度为x，贝U BC的长度为(100- 4x)米.根据题意得(100 - 4x) x=400,解得x i=20, X2=5.则100 - 4x=20 或100 - 4x=80.•/ 80> 25,•'•X 2=5 舍去.即AB=20, BC=20.答：羊圈的边长AB BC分别是20米、20米.点评：本题考查了一元二次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.19. 电动自动车已成为市民日常出行的首选工具.据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆.(1)求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；(2)若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？考点：一元二次方程的应用.专题：增长率问题.分析：(1 )设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x .等量关系为：1月份的销售量X( 1+增长率)22=3月份的销售量，把相关数值代入求解即可.(2)根据(1)求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案. 解答：解：(1)设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x,根据题意列方程：150 (1+x) 2=216, 解得X1=- 220% (不合题意，舍去)，X2=20% 答：求该品牌电动自行车销售量的月均增长率20%(2) 二月份的销量是：150X( 1+20% =180 (辆).所以该经销商 1 至 3 月共盈利：(2800 - 2300)X( 150+180+216) =500X 546=273000 (元).点评：本题考主要查了一元二次方程的应用.判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.20天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准(如图所示) ：某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？考点：一元二次方程的应用.专题：应用题.分析：首先根据共支付给旅行社旅游费用27000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用X人数=总费用，设该单位这次共有x名员工去黄果树风景区旅游.即可由对话框，超过25人的人数为(x- 25)人,每人降低20元，共降低了20 (x - 25)元.实际每人收了[1000 - 20 (x- 25)]元，列出方程求解.解答：解：设该单位去具有喀斯特地貌特征的黄果树旅游人数为x人，则人均费用为1000 - 20 (x - 25)元由题意得x[1000 - 20 (x - 25) ]=27000整理得x - 75x+1350=0,解得X1=45, X2=30.当x=45时，人均旅游费用为1000 - 20 (X- 25) =600V 700,不符合题意，应舍去.当x=30时，人均旅游费用为1000 - 20 (X- 25) =900>700,符合题意.答：该单位这次共有30名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游.点评：考查了一元二次方程的应用. 此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解21某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x.X.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为 2.6 (1+x) 2万元.(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率考点：一兀二次方程的应用.专题：增长率问题.分析：(1)根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万兀就可以表示出第二年的可变成本为 2.6 (1+x),则第三年的可变成本为 2.6 (1+x) 2,故得出答案；(2)根据养殖成本=固定成本+可变成本建立方程求出其解即可.解答：解：(1)由题意，得第3年的可变成本为：2.6 (1+x),2故答案为：2.6 (1+x);(2)由题意，得24+2.6 (1+x) =7.146 ,解得：X1=0.1 , X2=- 2.1 (不合题意，舍去) 答：可变成本平均每年增长的百分率为10%点评：本题考查了增长率的问题关系的运用，列一兀二次方程解实际问题的运用，一兀二次方程的解法的运用，解答时根据增长率问题的数量关系建立方程是关键.2 222.某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米，施工队在绿化了22000米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程.(1 )该项绿化工程原计划每天完成多少米2?(2)该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示) ，问人行通道的宽度是多少米？考点：一兀二次方程的应用；分式方程的应用.专题：行程问题.分析：(1 )利用原工作时间-现工作时间=4这一等量关系列出分式方程求解即可;(2)根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可.解答：解：(1)设该项绿化工程原计划每天完成x米2,根据题意得：--------- 一-一 ' '=4K 1.解得：x=2000,经检验，x=2000是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；(2)设人行道的宽度为x米，根据题意得，(20- 3x) (8 - 2x) =56解得：x=2或」’(不合题意，舍去)答：人行道的宽为2米.点评：本题考查了分式方程及一兀二次方程的应用，解分式方程时一定要检验.23•某商店准备进一批季节性小家电，单价40元•经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个.因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180 个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？考点：一兀二次方程的应用.专题：销售问题.分析：利用销售利润=售价-进价，根据题中条件可以列出利润与x的关系式，求出即可.解答：解：设每个商品的定价是x元，由题意，得( x - 40) [180 - 10 (x - 52) ]=2000 ,2整理，得x - 110x+3000=0 ,解得X1=50, X2=60.当x=50时，进货180 - 10 (50 - 52) =200个〉180个，不符合题意，舍去;当x=60时，进货180 - 10 (60 - 52) =100个V 180个，符合题意.答：当该商品每个定价为60元时，进货100个.点评：此题主要考查了一元二次方程的应用；找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．24．某工厂一种产品2013 年的产量是100 万件，计划2015 年产量达到121 万件．假设2013 年到2015 年这种产品产量的年增长率相同．（1）求2013 年到2015 年这种产品产量的年增长率；（2）2014 年这种产品的产量应达到多少万件？考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：（1）根据提高后的产量=提高前的产量（1+增长率），设年平均增长率为X,则第一年的常量是100（1+x），第二年的产量是100（1+x）2,即可列方程求得增长率，然后再求第4年该工厂的年产量.（2）2014 年的产量是100（1+X）．解答：解：（1）2013年到2015年这种产品产量的年增长率x,则2100（1+x）2=121 ,解得x 1=0.仁10%, X2=- 2.1 （舍去），答：2013年到201 5年这种产品产量的年增长率10%.（2）2014 年这种产品的产量为：100（1+0.1 ）=110（万件）.答：2014年这种产品的产量应达到110万件.点评：考查了一元二次方程的应用,本题运用增长率（下降率）的模型解题.读懂题意,找到等量关系准确的列出方程是解题的关键.。

华东师大初中数学初三中考总复习：方程与不等式综合复习--知识讲解(提高)

中考总复习：方程与不等式综合复习—知识讲解（提高）：【考纲要求】1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式. 4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项. 5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释：列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间时间距离速度= 速度距离时间=； (2)工程问题：工作量=工效×工时工时工作量工效=工效工作量工时=； (3)比率问题：部分=全体×比率全体部分比率= 比率部分全体=；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题：售价=定价·折·101，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率；(6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abh ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.考点二、一元二次方程 1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项.3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：21,240)x b ac =-≥ （4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆. 5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，a cx x =21.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.考点三、分式方程 1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号. （2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ⇔a ＞b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c .【典型例题】类型一、方程的综合运用1．如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象1l 、2l ，设111y kx b =+，222y k x b =+，则方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是( )A ．2,2x y =-⎧⎨=⎩ B ．2,3x y =-⎧⎨=⎩ C ．3,3x y =-⎧⎨=⎩ D ．3,4x y =-⎧⎨=⎩【思路点拨】图象1l 、2l 的交点的坐标就是方程组的解. 【答案】B ；【解析】由图可知图象1l 、2l 的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为2,3.x y =-⎧⎨=⎩【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．2．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程. 【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x 元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得15015018.751.8x x-=-，整理，得21.814.40x x --=．解这个方程，得x 1＝4.8，x 2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x 2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．类型二、解不等式（组）3．已知A ＝a+2，B ＝a 2-a+5，C ＝a 2+5a-19，其中a ＞2． (1)求证：B-A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； (2)指出A 与C 哪个大?说明理由．【思路点拨】计算B-A 结果和0比大小，从而判断A 与B 的大小；同理计算C-A ，根据结果来比较A 与C 的大小．【答案与解析】(1)证明：B-A ＝a 2-2a+3＝(a-1)2+2．∵ a ＞2，∴ (a-1)2＞0，∴ (a-1)2+2＞0．∴ a 2-2a+3＞0，即B-A ＞0．由此可得B ＞A ．(2)解：C-A ＝a 2+4a-21＝(a+7)(a-3)． ∵ a ＞2，∴ a+7＞0．当2＜a ＜3时，a-3＜0， ∴ (a+7)(a-3)＜0．∴ 当2＜a ＜3时，A 比C 大；当a ＝3时，a-3＝0， ∴ (a+7)(a-3)＝0．∴ 当a ＝3时，A 与C 一样大；当a ＞3时，a-3＞0， ∴ (a+7)(a-3)＞0．∴ 当a ＞3时，C 比A 大．【总结升华】比较大小通常用作差法，结果和0比大小，此时常常用到因式分解或配方法. 本题考查了整式的减法、十字相乘法分解因式，渗透了求差比较大小的思路及分类讨论的思想．举一反三：【变式1】已知：A=222+-a a ，B=2, C=422+-a a ,其中1>a .(1)求证：A-B>0； (2)试比较A 、B 、C 的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）A-B=222222(21)a a a a a a -+-=-=- ∵1>a ，∴0,210a a >-> ∴A-B>0(2) ∵C-B=22224222(1)10a a a a a -+-=-+=-+> ∴C>B∵A-C=22222242(2)(1)a a a a a a a a -+-+-=+-=+- ∵1>a ，∴20,10a a +>->∴A>C>B【课程名称：方程与不等式综合复习 405277 例3】【变式2】如图，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是______．【答案】解：设n 为正整数，由题意得 ⎩⎨⎧>+⨯>-.1001342,100)12(5n n 解得⋅>887n 则n 可取的最小正整数为11．若x 为奇数，即x ＝21时，y ＝105；若x 为偶数，即x ＝22时，y ＝101． ∴满足条件的最小正整数x 是21．类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用4．宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中有面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班的学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20%，“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名? 【思路点拨】根据招生人数列等式，根据今年招生最多比去年增加100人列不等式. 【答案与解析】设去年招收“宏志班”学生x 名，普通班学生y 名，由条件得550,10%20%100.x y x y +=⎧⎨+≤⎩将y ＝550-x 代入不等式，可解得x ≥100，于是(1+10%)x ≥110．故今年最少可招收“宏志班”学生110名．【总结升华】本题属于列方程与不等式组综合题. 举一反三：【变式】为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序，若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人?共有多少个交通路口安排值勤?【答案】设这个学校选派值勤学生x 人，共到y 个交通路口值勤．根据题意得478,48(1)8.x y x y -=⎧⎨≤--<⎩①②由①可得x ＝4y+78，代入②，得4≤78+4y-8(y-1)＜8，解得19.5＜y ≤20.5．根据题意y 取20，这时x 为158，即学校派出的是158名学生，分到了20个交通路口安排值勤．5．已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ， ① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 【思路点拨】（1）由于k 为此方程的一个实数根，故把k 代入原方程，即可得到关于k 的一元二次方程，①把k=m 代入关于k 的方程，即可求出m 的值；②由于k 为原方程的非零实数根，故把方程两边同时除以k ，便可得到关于y 与m 的关系式；（2）先求出根的判别式，再根据m 的取值范围讨论△的取值即可．【答案与解析】（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =.∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程， ∴ m ≠ 2. ∴ m= 1.② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=. 整理，得 1()21m k k m k +-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. 解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图）当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4；当1＜m ＜2时，1＜∆＜4.∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. 【总结升华】和一元二次方程的根有关的问题往往可以借助于二次函数图象解决，数形结合使问题简化. 举一反三：【变式1】（2014秋•天河区期末）已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，k 为正整数．（1）求k 的值（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k ﹣1的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，求平移后的图象的解析式．【答案】解：（1）∵方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，∴△=42﹣4×2×（k ﹣1）≥0，∴k≤3．又∵k 为正整数，∴k=1或2或3．（2）当此方程有两个非零的整数根时，当k=1时，方程为2x 2+4x=0，解得x 1=0，x 2=﹣2；不合题意，舍去．当k=2时，方程为2x 2+4x+1=0，解得x 1=﹣1+，x 2=﹣1﹣；不合题意，舍去．当k=3时，方程为2x 2+4x+2=0，解得x 1=x 2=﹣1；符合题意．因此y=2x 2+4x+2的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，得出y=2x 2﹣2．【课程名称：方程与不等式综合复习 405277例5】【变式2】已知：关于x 的方程()0322=-+-+k x k x（1）求证：方程()0322=-+-+k x k x 总有实数根；（2）若方程()0322=-+-+k x k x 有一根大于5且小于7，求k 的整数值； (3)在⑵的条件下，对于一次函数b x y +=1和二次函数2y =()322-+-+k x k x ，当71<<-x 时，有21y y >，求b 的取值范围．【答案】⑴证明：∵△=(k －2)2－4(k －3)=k 2－4k +4－4k +12= k 2－8k +16=(k －4)2≥0∴此方程总有实根。

中考数学复习专题方程(组)与不等式(组)华东师大版

中考数学复习专题方程(组)与不等式(组)一. 本周教学内容：中考复习专题——方程（组）与不等式（组）［知识要点］一. 方程（组）方程整式方程一次方程一元一次方程二元一次方程（组）一元二次方程分式方程⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （一）整式方程1. 方程：含有未知数的等式2. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值3. 一元一次方程（1）定义：形如()ax b a +=≠00（2）解法步骤：去分母去括号移项合并同类项系数化14. 二元一次方程（组）二元一次方程组代入消元加减消元一元一次方程解方程−→−−−−−−→− （二）分式方程1. 定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程。

2. 分式方程的解法——去分母用去分母法解分式方程的一般步骤是：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去。

二. 不等式（组）1. 一元一次不等式、一元一次不等式组的概念2. 不等式的基本性质（1）a b a c b c >⇒±>±，此性质是不等式移项的依据（2）c >0时，a b ac bc c >⇒><；0时，a b ac bc >⇒<3. 一元一次不等式（组）解法（1）一元一次不等式解法一般步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→两边同除以未知数的系数（2）一元一次不等式组解法一般步骤：先求出每一个不等式的解，再画数轴求出公共解例1. 方程的解法（1）整式方程的解法（一元一次方程、二元一次方程（组）、一元二次方程的解法）用配方法解方程2322x x +=解：23202x x +-= x x x x x 222321034916103425163454+-=+⎛⎝ ⎫⎭⎪--=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+=± x x 12122==-，解方程组231213252x y x y +=<>-=<>⎧⎨⎩解：<>⨯+=<>1369363：x y <>⨯-=<><>-<>=2264104341326：：x y yy =2将y =2代入<1>，得x =3∴x y ==⎧⎨⎩32（2）可化为一元一次方程的分式方程的解法解方程2111x x x x -=++ 解：去分母，()()()21112x x x x x +=-+- x =-13经检验x =-13是方程的解。