25.2.1锐角三角函数

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25.2.1锐角三角函数(特殊值)

则 cos A 等于（
3 Ａ． 2
）Ｃ． 3
3 Ｄ． 3
1 Ｂ． 2
2．在△ ABC 中， A ， B 都是锐角，
2 sin A (tan B 1)2 0 且， 2
2
则△ ABC 是
．
3．（易错题）如图，在菱形 ABCD 中，
BAD 120 ，设 ABD ，则下列
义务教育课程标准实验教科书华东师大版
复习
锐角三角函数：
B
A的对边 a sin A c 斜边 A的邻边 b cos A c 斜边
c A
b
a C
a A的对边 tan A b A的邻边
b A的邻边 cot A A的对边 a
复习
1、如图，求∠A、 ∠B的正弦值、余弦值、正切值、余切值。 B
．

(3) sin 45 cos 60 sin 45
2

(4) sin 45 tan 60 cos 30

小结
特殊角的三角函数值
30o
1 2
3 2 3 3
锐角α 三角函数
45o
2 2
60o
3 2
sinα cosα tanα
2 2
1 2
1 1
3
3 3
cot a
3
课后练习
ABC 中， C 90 ， B 2A ， 1．在△
6
A
2
C
复习
2、如图，在四边形ABCD中，∠BAD = ∠BDC=90°，且AD=3，sin∠ABD
12 3 = ，sin∠DBC= ，求AB、BC、 13 5
CD的长。 A

最全锐角三角函数概念超经典讲义完整版.doc

锐角三角函数知识点一：锐角三角函数1、锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。

2、锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin 。

3、锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos 。

4、锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan 。

sin α，cos α，tan α都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中α前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。

考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosB=54，则AC ：BC ：AB=（）A 、3：4：5B 、5：3：4C 、4：3：5D 、3：5：42、已知锐角α，cosα=35，sinα=_______，tanα=_______。

3、在△ABC 中，∠C=90°，若4a=3c ，则cosB=______.tanA = ______。

4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC 等于_______。

5、在△ABC 中，∠C=90°，若把AB 、BC 都扩大n 倍，则cosB 的值为（）A 、ncosBB 、1n cosB C 、cos nBD 、不变考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形例1、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。

（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。

6、如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC 面积（结果可保留根号）。

7、如图（1），∠α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一个点P （3，4），则sin α=______ 8、如图（2）所示，在正方形网格中，sin ∠AOB 等于（） A 5B 25C 、12D 、2注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。

锐角三角函数(公式、定理、结论图表) --中考数学知识必备

锐角三角函数（公式、定理、结论图表）--中考数学知识必备考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 所对的边BC 记为a，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA，即cos A bA c∠==的邻边斜边；BCa c锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA a AA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．典例1：（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为．．【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式两边同时除以ac得：＝+1，令＝x，则有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），当x＝时，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sin A＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了锐角三角函数，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解答本题的关键．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．典例2：（2022•天津）tan45°的值等于（）A．2B．1C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．【解答】解：tan45°的值等于1，故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.典例3：（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．【分析】（1）结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．证明四边形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再利用勾股定理构建方程求解．【解答】解：（1）结论：CD是⊙O的切线．理由：连接OC．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠CBE，∴∠OCB＝∠CBE，∴OC∥BD，∵CD⊥BD，∴CD⊥OC，∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵OC⊥DC，CD⊥DB，∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，∴四边形CDEJ是矩形，∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，∴OC⊥AE，∴AJ＝EJ，∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，∴DE＝3，CD＝4，∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，∴r＝，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.典例4：（2022•黑龙江）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（）米A．600﹣250B．600﹣250C．350+350D．500【分析】设EF＝5x米，根据坡度的概念用x表示出BF，根据勾股定理求出x，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设EF＝5x米，∵斜坡BE的坡度为5：12，∴BF＝12x米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，解得：x＝100，则EF＝500米，BF＝1200米，由题意可知，四边形DCFE为矩形，∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，在Rt△ADE中，tan∠AED＝，则DE＝＝AD，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，∴＝，解得：AD＝600﹣750，∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米，故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高典例5：（2022•湖北）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C 点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为16m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB ＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，进而可得出答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图．则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，∴BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，∴AB＝16m．故答案为：16．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键典例6：（2022•资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）（1）求点D与点A的距离；（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）【分析】（1）根据方位角图，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．【解答】解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△ADC中，∴（米），答：点D与点A的距离为300米．（2）过点D作DE⊥AB于点E，∵AB是东西走向，∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，在Rt△ADE中，∴（米），在Rt△BDE中，∴（米），∴（米），答：隧道AB的长为米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，(1)三边之间的关系：222a b c +=；(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B＝90°；(3)边与角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos cos a A B c ==，cos sin b A B c ==，1tan tan a A b B==．(4)如图，若直角三角形ABC 中，CD⊥AB 于点D，设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则由△CBD∽△ABC，得a 2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b 2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h 2＝pq；由△ACD∽△ABC 或由△ABC 面积，得ab＝ch．(5)如图所示，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则①CD＝AD＝BD＝12AB；②点D 是Rt△ABC 的外心，外接圆半径R＝12AB．(6)如图所示，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则2a b c ab r a b c +-==++．直角三角形的面积：①如图所示，111sin 222ABC S ab ch ac B === △．（h 为斜边上的高）②如图所示，1()2ABCS r a b c=++△．典例7：（2022•黄石）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6＝6R，则π≈＝3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（）A．12sin15°B．12cos15°C．12sin30°D．12cos30°【分析】利用圆内接正十二边形的性质求出A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”，即可解决问题．【解答】解：在正十二边形中，∠A6OM＝360°÷24＝15°，∴A6M＝sin15°×OA6＝R×sin15°，∵OA6＝OA7，OM⊥A6A7，∴A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，∴π≈＝12sin15°，故选：A．【点评】本题主要考查了圆内接多边形的性质，解直角三角形等知识，读懂题意，计算出正十二边形的周长是解题的关键．。

第25讲锐角三角函数.doc

里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置. 解析:过 M 作东西方向的垂线,设垂足为 N. 易知∠MAN=90°-60°=30°. 在 Rt△AMN 中, ∵∠ANM=90°,∠MAN=30°,AM=100 海里, ∴AN=AM·cos∠MAN=100× 3 =50 3 海里.
2 故该船继续航行 50 3 海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置.
(2)坡度(坡比)和坡角:如图所示,通常把坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 之比叫坡度(坡比),用字母 i 表示,即 i= h ;坡面与水平面的夹角叫做坡角 ,
l 记作α,所以 i= h =tan α.
l
数学
(3)方位角:指北或指南的方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方位角,如图所示:OA的方位角为北偏东60°角;OC的方位角为南偏西15°角.
2 ∴BE= 168 .
13 168
∴sin∠BAC= BE = 13 = 56 . AB 15 65
数学
特殊角的三角函数值
【例 2】 (2015 乐陵市模拟)计算: 2 sin 60°-4cos230°+sin 45°· tan 60°. 思路分析:直接将特殊角的三角函数值代入,计算即可.
解:原式= 2 × 3 -4×( 3 )2+ 2 × 3
3 ∴AB= AD =3,∴BD= AB2 AD2 =2 2 ,
sin B ∴BC=BD+DC=2 2 +1.
数学
(2)求tan∠DAE的值.
解: (2)∵AE 是 BC 边上的中线,
∴CE= 1 BC= 2 + 1 ,
2
2
∴DE=CE-CD= 2 - 1 , 2
∴tan∠DAE= DE = 2 - 1 .

锐角三角形函数公式表

锐角三角形函数公式表锐角三角形是指其中的一个角小于90度的三角形。

在解决与锐角三角形相关的问题时，我们常常需要使用各种函数公式来求解。

本文将为您介绍一些与锐角三角形相关的函数公式，帮助您更好地理解和应用它们。

1. 正弦函数公式在锐角三角形中，正弦函数可以用来描述任意一个角的正弦值与其对边与斜边的比值。

正弦函数公式如下：sin A = a / c其中，A为锐角三角形的一个角，a为该角的对边长度，c为斜边的长度。

2. 余弦函数公式余弦函数可以用来描述锐角三角形中任意一个角的余弦值与其邻边与斜边的比值。

余弦函数公式如下：cos A = b / c其中，A为锐角三角形的一个角，b为该角的邻边长度，c为斜边的长度。

3. 正切函数公式正切函数可以用来描述锐角三角形中任意一个角的正切值与其对边与邻边的比值。

正切函数公式如下：tan A = a / b其中，A为锐角三角形的一个角，a为该角的对边长度，b为该角的邻边长度。

4. 余切函数公式余切函数可以用来描述锐角三角形中任意一个角的余切值与其邻边与对边的比值。

余切函数公式如下：cot A = b / a其中，A为锐角三角形的一个角，b为该角的邻边长度，a为该角的对边长度。

5. 正割函数公式正割函数可以用来描述锐角三角形中任意一个角的正割值与其斜边与邻边的比值。

正割函数公式如下：sec A = c / b其中，A为锐角三角形的一个角，c为斜边的长度，b为该角的邻边长度。

6. 余割函数公式余割函数可以用来描述锐角三角形中任意一个角的余割值与其斜边与对边的比值。

余割函数公式如下：csc A = c / a其中，A为锐角三角形的一个角，c为斜边的长度，a为该角的对边长度。

通过使用上述的函数公式，我们可以在解决与锐角三角形相关的问题时进行计算和推导。

这些函数公式在物理、工程、天文等领域具有广泛的应用，能够帮助我们求解各种实际问题。

需要注意的是，在使用这些函数公式时，我们需要确保所使用的角度单位与函数公式中的角度单位一致。

锐角三角函数

锐角三角函数【知识精讲】（一）本节课知识点锐角三角函数、锐角三角函数值的变化规律、特殊角三角函数值、互为余角的三角函数间的关系、同角三角函数间的关系（平方关系）1. 锐角三角函数的概念：在Rt △ABC 中，∠C=90°．sin A ＝c a A =∠斜边的对边；cos A ＝c b A =∠斜边的邻边；tan A ＝ba A A =∠∠的邻边的对边；锐角三角函数的概念应通过画图帮助分析，通过画图找出直角三角形中边、角的关系，加深对概念的理解．2. 锐角三角函数的性质（1）平方关系：22sin A cos A 1+=；（同角三角函数间的关系）（2）商数关系：sin tan cos =A A A；（同角三角函数间的关系）（3）当0<A <90°时，0<sin A <1， 0<cos A <1，tan A >0．（4）∠A+∠B=90° ，则sin A =cos B ．（互余两角三角函数间的关系）3. 特殊角的三角函数值s i n A、t a n A 随着∠A 的增大而增大；cos A 随着∠A 的增大而减小．注意：对于特殊角的三角函数值，必须熟练准确地记住，记忆时可借助三角板上的直角三角形．4. 常联系的知识点锐角三角函数常和三角形、四边形、相似形、圆、坐标系、一元二次方程结合命题．5. 求锐角三角函数值的基本思路：（1）直接用定义；（2）设参；（3）等角代换或利用互余两角三角函数间关系；（4）构造法．（二）本节课的重、难点在直角三角形中运用锐角三角函数定义及性质解题：（1）直接运用定义求锐角三角函数值；（2）已知锐角的一个三角函数值，求其它的三角函数值；（3）利用三角函数关系式，求边长．（三）本节课的易错点在复杂图形中运用锐角三角函数解决问题．【典例剖析】例1已知Rt △ABC 中，∠C =90°，tanA =43，BC =8，则AC 等于（）A ．6B ．323C ．10D ．12例2在网格中，∠ABC 如图放置，则sinB 的值为__________.例3如图，A 、B 、C 、三点在正方形网格线的交点处.若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转到如图位置，得到△AC ′B ′，使A 、C 、B ′三点共线。

(课件1)25.2锐角三角函数

股定理求出，试一试吧，用心做一做，我相信，你一定能又准又快的做好的 ---
特殊角的三角函数值
sin 30 , sin 45 , sin 60 的函数值分别是多少啊？有哪些规律啊？（可以从它们的分子分母上去观察） cos 30 , cos 45 , cos 60 呢？与正弦有什么联系呢？ tan 30 , tan 45 , tan 60 的大小规律是什么啊？ cot 30 , cot 45 , cot 60 的大小规律与锐角的正弦类似，还是与余弦类似啊？
定义的应用(一）

取值范围：
AC AB
在以后的计算过程中，如果出现了一个锐角的正弦值或是余弦值大于1—你啊，快点回头检查，一定在哪一步出现了错误！
sin B
中 , A C 为直角边， AB为斜边， AC AB
sin B 1
想一想：为什么 “ sin B 0” 呢？你能不能根据以上推理，得出 “ 0 sinB 1 这个结论吗？

, 斜边 A B是直角边 AC的
答案（1-----3题）
1 . 1 .原式 3 3 3 3

2 .原式

3 2 2
1
2。答：这个三角形是钝角三角形。原因： A=45 , B 30

C 180 45 30 105 90
解直角三角形 -锐角三角函数
• 华东师大版第25章第二节 • 九年级上册
锐角三角函数的内容

锐角三角函数公式大全

锐角三角函数公式　sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A））三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos³a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)²] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2　tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 两角和差 cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 和差化积　sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]　sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]　cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差 sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2 诱导公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (—a)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanα tan（π＋α）＝tanα 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式 sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］ cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］ tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］。

沪教版九年级上册数学25.1-25.2 锐角的三角比

25.1-25.2锐角三角比的意义及求值【学习目标】1、通过实验、观察、探究、交流、猜测等数学活动，探索锐角三角比的意义。

2、理解锐角三角比的意义，记住三角比的符号，会进行三角比的文字语言与符号语言的转化。

3、会求直角三角形中指定锐角的三角比。

4、应用锐角三角比的意义及运用特殊锐角三角比值进行计算。

【主要概念】【一】锐角的三角函数的意义【1】正切的概念在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比，叫做∠A的正切，记作tanA．【2】正弦和余弦的概念如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即【3】三角函数的概念：在直角三角形中，锐角A 的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA)，都叫做∠A 的三角函数．【二】同角的三角函数之间的关系【1】平方关系：sin 2α＋cos 2α=1【2】商数关系：【三】互余的两角的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A+B=90°，则sinA=cosB ，cosA=sinB ，tanA·tanB=1．【四】特殊锐角的三角函数值0° 30°45°60°90° sinA1cosA 1tanA1—典型例题：例1、在Rt ⊿ABC 中，∠C=900，AC=3,BC=2,求tanA 和tanB 的值. 解：在Rt ⊿ABC 中，∵AC=3,BC=2∴tanA=32=AC BCtanB=23=BC AC .分析：(1)要求sinα与cosα的关系的值，而已知tanα的值，故可通过来求值．A B C(2)已知tanα的值，也可通过，把要求的式子的分子，分母同时除以cos 2α转化成关于tanα的关系，这样便可求出结论．点评：在进行三角函数有关计算时，常利用有关公式进行变换．例3、在Rt ⊿ABC 中，∠C=900，BC=4，AB=5，求cotA 和cotB 的值. 解：在Rt ⊿ABC 中，由勾股定理得 AB 2=AC 2+BC 2 ∵BC=4,AB=5, ∴AC=3452222=-=-BC AB .∴cotA=43=BC AC cotB=34=AC BC . 例4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，若，求cosB ，tanB 的值．分析：本题主要考查锐角三角函数的定义，结合图形求解可化繁为简，迅速得解．解：如图，设BC=3m ，则AB=5m ，AB C例5、如图所示，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是（）分析：因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°．因为BC=6，AC=8，所以AB=10．因为∠ABD=∠ACD=∠ABC，所以在Rt△ACB中，故正确答案为D．答案：D例6、计算分析：这是一组有关特殊角三角函数值的计算题，计算中最关键是将它们先化成具体的数值，同时还要应用其它一些知识帮助求值，如(1)注意分母有理化，(2)应掌握整数指数幂的意义．解：点评：学过锐角三角函数后，特殊角的三角函数的计算是常考不衰的内容，做这类题主要分两步：(一)代入；(二)计算．因此，特殊角的三角函数值必须牢记．例7、若α为锐角且sinα＞sinβ，那么（）A．tanα＞tanβB．tanα＜tanβC．tanα=tanβ D．tanα、tanβ大小关系不确定例8、求适合下列各式的锐角α．点拨：所有锐角三角函数值都是正数，而且正弦和余弦值都不大于1，不符合条件的三角函数值应舍去．例9、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求BC的长．分析：题中有30°，45°特殊角，想把它们放到直角三角形中，利用三角函数来解题．点评：（1）在作高线构造直角三角形时，一般不过特殊角的顶点作垂线，这样便于利用特殊角解题．（2）有些简单的几何图形可分解为几个直角三角形的组合，从而利用三角函数的定义求解．例10、如图所示．在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠D=∠B=90°，求此四边形ABCD的面积．分析：由已知∠B=90°，∠A=60°这两个条件想到延长BC，AD，使它们相交，构成直角三角形．例11、在矩形ABCD中DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且，AB=4，求AD．分析：在矩形中AB=DC=4，可证∠α=∠1，于是条件转移到△DCE中来了，求出DE．解：在矩形中AB=DC=4，∠2＋∠α=90°又DE⊥AC，∠1＋∠2=90°∴∠1=∠α点评：注意把条件集中到一起．例12 、如图Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4.求：sin A ，cos A ，tanB ，cotB 的值。

25.2.1锐角三角函数ppt课件

又∵ sin
2
2
cos
2
2
=1
5k 12k 1
5 sin 5k 13
1 解得k 13
12 cos 12k 13
知识点4：直角三角形的性质
直角三角形中， 30 的锐角所对的直角边是斜边的一半 B
如图所示，当B 30 时， 1 AC AB 2 D
3、∠A的对边与邻边的比值叫做∠A的正切，记作tanA,即 tan A A的对边 = a A的邻边 b 4、∠A的邻边与对边的比值叫做 ∠A的余切，记作cotA, A的邻边 b 即
cot A A的对边 a
锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切叫做锐角∠A三角函数
简记：
正弦
A
c
a ┌ C
b
例3
1 已知sinA= 3 ，求∠A的其他三
个三角函数值
2 2
2 2 1 解：cosA= 1 sin A 1 3 3
sin A 1 2 2 1 2 tanA= cos A 3 3 2 2 4
1 2 4 1 2 2 tan A 4 2
余弦
正切余切
重要提示：三角函数
只与角度的大小有关，与边的长短无关。
对边斜边邻边斜边对边邻边邻边对边
回顾与思考 1
锐角三角函数定义
正弦,余弦,正切,余切:
a sin A , c b cos A , c a tan A , b b cot A . a b sin B , c a cos B , c b tan B , a a cot B . b
邻边余切对边
作业

锐角的三角函数

•锐角三角函数的概念•锐角三角函数的性质•锐角三角函数的公式•锐角三角函数的应用•锐角三角函数的扩展目录01010203定义正切函数在区间(0, π/2)和区间(π/2, π)上都是增函数，且当α=0时，tan(α)=0；当α=π/4时，tan(α)=1。

性质应用01总结词详细描述周期性总结词在锐角三角形中，边长与角度之间存在直接的关系。

详细描述对于锐角三角形，边长与角度之间的关系可以通过正弦、余弦和正切函数来描述。

这些函数将边长和角度联系在一起，为解决几何问题提供了重要的工具。

角度与边的关系角度与面积的关系总结词详细描述01两角和与差的公式倍角公式余弦正切正弦03正切半角公式01正弦02余弦01已知两边及夹角解三角形已知三边及夹角解三角形已知三边长度解三角形解三角形方向角的计算极坐标系方向问题高度和深度问题高度测量在几何学中，高度是一个重要的概念。

利用三角函数可以方便地计算出任意两点之间的高度差。

深度测量在海洋学和地球物理学中，深度是一个重要的参数。

利用三角函数可以方便地计算出任意一点到海底的距离（深度）。

01范围任意角的三角函数值都有正、负之分，其取值范围为实数集。

定义任意角的三角函数定义为直角三角形中一个锐角对应边的长度与斜边长度的比值。

周期性任意角的三角函数值都具有周期性，即随着角度的变化，函数值呈现出周期性变化。

任意角的三角函数反三角函数定义反三角函数是指那些需要用已知三角函数值求解角度的函数。

种类反三角函数包括反正弦、反余弦和反正切等。

应用反三角函数在几何学、工程技术和科学计算等领域有广泛应用。

双曲函数与三角函数的联系联系公式应用感谢您的观看THANKS。

25.2.1《锐角三角函数》教学案(1)

1 图25.2.2 图25.2.125.2.1《锐角三角函数》教学案(1)学习目标1、正弦、余弦、正切、余切的定义。

2、会根据条件求一个锐角的四个三角函数值重、难点：重点：正弦、余弦、正切、余切。

难点：会根据条件求一个锐角的四个三角函数值课前复习导入1、勾股定理的内容是什么？2、如何测量某一大楼的高度？说说你的办法。

课堂学习研讨（一）、在§25．1中，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都出现了两个相似的直角三角形，即△ABC ∽△A ′B ′C ′．按5001的比例，就一定有 5001=''=''AC C A BC C B ， 5001就是它们的相似比．当然也有ACBC C A C B =''''．我们已经知道，直角三角形ABC 可以简记为Rt △ABC ，直角∠C 所对的边AB 称为斜边，用c 表示，另两条直角边分别为∠A 的对边与邻边，用a 、b 表示（如图25．2．1）．前面的结论告诉我们，在Rt △ABC 中，只要一个锐角的大小不变（如∠A ＝34°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个的值．（二）思考一般情况下，在Rt △ABC 中，当锐角A 取其他固定值时，∠A 的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？1、请同学们快速算一下等腰直角三角形的一个锐角的对边与邻边的比值是，然后再利用有一个锐角是30°的直角三角形计算出锐角30°的对边与邻边的比值是。

想一想：这两个值也是固定值吗？2、观察图25．2．2中的Rt △11C AB 、Rt △22C AB 和Rt △33C AB ，易知 Rt △11C AB ∽Rt △______∽Rt △ ，所以111AC C B ＝_______＝________．2 图25.2.3图25.2.1（第2题）可见，在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的．我们同样可以发现，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是的．因此这几个比值都是锐角A 的函数，记作sinA 、cosA 、tanA 、cotA ，即sinA ＝斜边的对边A ∠，cosA ＝斜边的邻边A ∠，tanA ＝的邻边的对边A A ∠∠，cotA ＝的对边的邻边A A ∠∠．分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数．(三) 师生探究，合作交流：1. 锐角三角函数值都是正实数，并且＜sinA ＜，＜cosA ＜．2.根据三角函数的定义，你会证明以下两个结论吗？(1)A A 22cos sin +＝1，(2)tanA ·cotA ＝1．3.例1求出图25．2．3所示的Rt △ABC 中∠A 的四个三角函数值．课堂达标练习1.求出如图所示的Rt △DEC （∠E ＝90°）中∠D 的四个三角函数值．2.设Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，根据下列所给条件求∠B 的四个三角函数值：（1） a ＝3，b ＝4；（2） a ＝5，c ＝13．3、.已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，直角边AC 是直角边BC 的2倍，求∠B 的四个三角函数值．课堂小结：教学反思：。

25.2.1《锐角三角函数》教学案(2)

图25.2.425.2.1《锐角三角函数》教学案(2)学习目标1．学生通过复习锐角三角函数的定义，探究锐角三角函数的特殊性质； 2．能够熟练应用锐角三角函数的定义，求出并记住特殊角的三角函数值； 3．利用特殊角的三角函数值进行有关计算。

学习重点难点重点: 特殊角的三角函数值。

难点: 特殊角的三角函数值的熟练应用。

课前预习导学 1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知AC ＝21，AB ＝29，分别求∠A 、∠B 的四个三角函数值．2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ∶AB ＝1∶2，求∠A 、∠B 的四个三角函数值．3. 在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC,求∠A 的四个三角函数值．课堂学习研讨探索：根据三角函数的定义，sin30°是一个常数。

用刻度尺量出你所用的含30°角的三角尺中，30°角所对的直角边与斜边的长，与同伴交流，看看常数sin30°是多少。

结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的．你会证明这个结论吗？1、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°,求证:AB=2BC 证明:如图,取AB 中点D,连接CD2、分别求出上图中∠A 和∠B 的四个三角函数值sin30°＝____________， sin60°＝____________. cos30°＝____________， cos60°＝____________. tan30°＝____________， tan60°＝____________. cot30°＝____________， cot60°＝____________.BC它的正切值、余弦值、余切值随着∠A 的增大会发生什么变化呢？ 4、同学互测:(例:已知sinA ＝21,则∠A ＝_____°;或tan45°＝______)5.例题学习: 求下列各式的值．（1）2sin30°－tan60°＋cot45°；（2）sin30°＋︒45sin2－2tan3160°课堂达标检测1．计算:(1)2cos30°＋sin30°－3tan30° (2) ︒+--︒+321sin3042. 已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是（）．（A ）2厘米（B ）4厘米（C ）6厘米（D ）8厘米 3．已知cos A ＝21,则∠A ＝___________°; 已知sin B ＝23,则∠B ＝___________°3．设Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，根据下列所给条件求∠B 的四个三角函数值：(注意画图) （1） a ＝3，c ＝4；（2） a ＝5，b ＝12．2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB=4 求∠B 的度数和AC 、BC 的长．课堂小结教学反思。

锐角三角函数公式大全表格

锐角三角函数公式大全表格
锐角三角函数公式大全表格是一种用于计算三角函数的表格，它可以帮助我们快速计算出三角函数的值。

锐角三角函数公式大
全表格包括正弦函数、余弦函数和正切函数的公式，它们可以帮
助我们计算出三角函数的值。

此外，锐角三角函数公式大全表格
还包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的公式，它们可以
帮助我们计算出三角函数的反函数值。

锐角三角函数公式大全表格的使用非常简单，只需要在表格
中找到对应的函数，然后输入相应的角度值，就可以得到函数的值。

此外，锐角三角函数公式大全表格还可以帮助我们计算出三
角函数的反函数值，只需要在表格中找到对应的反函数，然后输
入相应的函数值，就可以得到反函数的值。

总之，锐角三角函数公式大全表格是一种非常有用的工具，
它可以帮助我们快速计算出三角函数的值，也可以帮助我们计算
出三角函数的反函数值，是一种非常实用的工具。

锐角三角函数锐角三角函数

03
证明方法
利用正弦定理和余弦定理，将边的关系转化为角的关系，再利用三角函数的性质推导得出。
05
锐角三角函数的作图及演示
利用计算器或计算机软件绘制锐角三角函数图像
总结词
通过使用计算器或计算机软件，我们可以轻松地绘制出锐角三角函数的图像。
详细描述
首先，我们需要输入锐角的角度值，然后在计算器或计算机软件中选择对应的三角函数（正弦、余弦或正切）。这样，我们就可以得到一个关于角度的函数值。将这些值在坐标系中表示，就可以形成锐角三角函数的图像。
证明方法
通过正弦定理将角的关系转化为边的关系，再利用勾股定理推导得出。
正切定理的公式及证明
01
02
总结词
详细描述
正切定理是指在一个三角形中，任意两边长度的比值等于这两边所夹角的正切值与第三边所对应角的正切值的比值。
正切定理的公式为 tan(A)/tan(B) = c/b。其中，A、B、C 分别代表与三边相对应的角度，a、b、c 分别代表三角形的三边长。
求边长
已知直角三角形的一个锐角和对应的边长，可以应用锐角三角函数来求解另一条边长。例如，在直角三角形ABC中，已知角A为30度，对应边a为10单位长度，那么对应边b的长度可以通过应用三角函数求解。
在实际问题中求解角度或边长
地球定位
在地球上定位一个点，需要知道该点与北极的夹角和该点到北极的距离。这些信息可以通过应用锐角三角函数来求解。
余弦定理
对于任意三角形ABC，有cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)，其中a、b、c分别是三角形的三边长度。这表明一个角的余弦值等于由该角两边长度和它们夹角所确定的三角形的另一边的平方与两邻边平方和的差与两邻边的积之比。

锐角三角函数知识点

锐角三角函数知识点锐角三角函数是九年级学生在学习了函数概念以及反比例函数、一次函数、二次函数之后学习的又一种形式的函数，本文是店铺整理锐角三角函数知识点的资料，仅供参考。

锐角三角函数的定义锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。

正弦等于对边比斜边余弦等于邻边比斜边正切等于对边比邻边余切等于邻边比对边正割等于斜边比邻边余割等于斜边比对边正切与余切互为倒数它的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。

现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

它有六种基本函数(初等基本表示)：函数名正弦余弦正切余切正割余割在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x，y)有正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y(斜边为r，对边为y，邻边为x。

)以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数versinθ =1-cosθ余矢函数coversθ =1-sinθ锐角三角函数的性质1、锐角三角函数定义锐角角A的正弦,余弦和正切都叫做角A的锐角三角函数2、互余角的三角函数间的关系。

sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.3、同角三角函数间的关系平方关系：sin2α+cos2α=1倒数关系：cotα=(或tanα·cotα=1)商的关系：tanα= , cotα=.(这三个关系的证明均可由定义得出)4、三角函数值(1)特殊角三角函数值(2)0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。