「精品」高中数学2.1向量的线性运算2.1.3向量的减法优化训练新人教B版必修4

合集下载

高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.3向量的减法示范教案新人教B新人教B高一数学教案

2.1.3 向量的减法示范教案整体设计教学分析向量减法运算是加法的逆运算．学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．因此，类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数)，首先引进相反向量的概念，然后引入向量的减法(减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量)，通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则，结合一定数量的例题，深刻理解向量的减法运算．通过阐述向量的减法运算，可以转化为向量加法运算，渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辩证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．三维目标1．通过探究活动，使学生掌握向量减法概念；理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量．2．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量．3．能熟练地通过作图，求作两个向量的差．重点难点教学重点：向量的减法运算及其几何意义．教学难点：对向量减法定义的理解．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比联想导入)上节课，我们学习了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢？引导学生进一步探究，由此展开新课．思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们进一步学习向量加法的逆运算——减法．引导学生去探究、发现．推进新课新知探究提出问题 1向量是否有减法？ 2怎样定义向量的减法运算？ 3如何理解向量的减法？ 4向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则，那么，向量的减法是否也有类似的法则？活动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义？引导学生思考，相反向量有哪些性质？由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a 和－a 互为相反向量．于是－(－a )＝a .我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．任一向量与其相反向量的和是零向量，即a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.所以，如果a 、b 是互为相反的向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0.(1)平行四边形法则如图1，设向量AB →＝b ，AC →＝a ，则AD →＝－b ，由向量减法的定义，知AE →＝a ＋(－b )＝a －b .图1又b ＋BC →＝a ，所以BC →＝a －b .由此，我们得到a －b 的作图方法．(2)三角形法则如图2，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．图2讨论结果：(1)向量也有减法运算．(2)定义向量减法运算之前，应先引进相反向量．与数x 的相反数是－x 类似，我们规定，与a 长度相等，方向相反的量，叫作a 的相反向量，记作－a .(3)向量减法的定义．我们定义a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．规定：零向量的相反向量是零向量．(4)向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．应用示例思路1例1如图3，ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示向量AC →、DB →吗？图3活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC →＝a ＋b ，同样，由向量的减法，知DB →＝AB →－AD →＝a －b .变式训练1．已知一点O 到ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，则向量OD →等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．a －b －c解析：如图4，点O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，结合图形有OD→＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a －b ＋c .图4答案：B2．若AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .①当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直？②当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b|＝|a －b|?③当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 平分a 与b 所夹的角？④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？解：如图5，用向量构建平行四边形，其中向量AC →、DB →恰为平行四边形的对角线．图5由平行四边形法则，得AC →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b .由此问题就可转换为：①当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|＝|b|)②当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线相等？(a 、b 互相垂直)③当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线平分内角？(|a |＝|b |)④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)例2如图6，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b ＋c .活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础；点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．解：在平面上任取一点O ，作O A →＝a ，O B →＝b ，则B A →＝a －b .再作B C →＝c ，并以BA 、BC 为邻边作BADC ，则B D →＝B A →＋B C →＝a －b ＋c (如图7)．图6 图7变式训练1．在ABCD 中，下列结论中错误的是( )A.AB →＝DC →B.AD →＋AB →＝AC →C.AB →－AD →＝BD →D.AD →＋BC →＝0解析：A 显然正确，由平行四边形法则，可知B 正确，C 中，AB →－AD →＝BD →错误，D 中，AD →＋BC→＝AD →＋DA →＝0正确．答案：C2．已知向量a ，b ，c 与d ，求a －b ，c －d (图8)．图8解：作OA →＝a ，OB ＝b ，作BA →，则a －b ＝OA →－OB →＝BA →；作OC →＝c ，OD →＝d ，作DC →，则 c －d ＝OC →－OD →＝DC →.思路2例1判断题：(1)若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同．(2)△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0.(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 三点是一个三角形的三顶点．(4)|a ＋b|≥|a －b |.解：(1)若a 与b 方向相同，则a ＋b 的方向与a 和b 方向都相同；若a 与b 方向相反，则有可能a 与b 互为相反向量，此时a ＋b ＝0的方向不确定，说与a 、b 之一方向相同不妥．(2)由向量加法法则AB →＋BC →＝AC →，AC →与CA →是互为相反向量，所以有上述结论．(3)因为当A 、B 、C 三点共线时也有AB →＋BC →＋AC →＝0，而此时构不成三角形．(4)当a 与b 不共线时，|a ＋b|与|a －b|分别表示以a 和b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，其大小不定；当a 、b 为非零向量共线时，同向则有|a ＋b|>|a －b|，异向则有|a ＋b|<|a －b |；当a 、b 中有零向量时，|a ＋b|＝|a －b |.综上所述，只有(2)正确．例2若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( )A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)解析：BC →＝AC →－AB →.(1)当AB →、AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；(2)当AB →、AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13；(3)当AB →、AC →不共线时，3<|BC →|<13.综上，可知3≤|BC →|≤13.答案：C点评：此题可直接应用重要性质||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b |求解.三角形的充要条件为a ＋b ＋c ＝0.证明：已知a ≠0，b ≠0，c ≠0，且a ∥\\ b ，b ∥\\ c ，c ∥\\ a ，(1)必要性：作AB →＝a ，BC →＝b ，则由假设CA →＝c ，另一方面a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.由于CA →与AC →是一对相反向量， ∴有AC →＋CA →＝0，故有a ＋b ＋c ＝0.(2)充分性：作AB →＝a ，BC →＝b ，则AC →＝a ＋b ，又由条件a ＋b ＋c ＝0，∴AC →＋c ＝0.等式两边同加CA →，得CA →＋AC →＋c ＝CA →＋0.∴c ＝CA →，故顺次将向量a 、b 、c 的终点和始点相连接成一三角形.3已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.解：如图9，设AB →＝a ， AD →＝b ，以AB 、AD 为邻边作ABCD ，则AC →＝a ＋b ， DB →＝a －b .图9因为|a ＋b |＝|a －b |，所以| AC →|＝|DB →|.又四边形ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD 为矩形．故AD⊥AB.在Rt△DAB 中，|AB →|＝6，|AD →|＝8，由勾股定理，得|DB →|＝|AB →|2＋|AD →|2 ＝62＋82＝10.所以|a ＋b |＝|a －b |＝10. 课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：相反向量，向量减法的定义，向量减法的几何意义，向量差的作图．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，类比，数形结合，几何作图，分类讨论．作业课本本节练习A 组 1,2.设计感想1．向量减法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的，两种作图方法各有千秋．第一种作法结合向量减法的定义，第二种作法结合向量的平行四边形法则，直接作出从同一点出发的两个向量a 、b 的差，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，第二种作图方法比较简捷．2．鉴于上述情况，教学中引导学生结合向量减法的几何意义，注意差向量的方向，也就是箭头的方向不要搞错了，a －b 的箭头方向要指向a ，如果指向b 则表示b －a ，在几何证明题目中，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．3．关于向量减法，在向量代数中常有两种定义方法，第一种方法是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，也就是说，如果b ＋x ＝a ，则x 叫作a 与b 的差，记作a －b .这样作a －b 时，可先在平面内任取一点O ，再作OA →＝a ， OB →＝b ，则BA →就是a －b .这种定义向量减法，学生较难理解定义本身，但很容易作a －b .第二种方法是在相反向量的基础上，通过向量加法定义，即定义a －b ＝a ＋(－b )．用这种方法定义，通过类比数的减法，学生容易接受a －b ＝a ＋(－b )，但作图较繁．实际上这两种定义方法没有本质的区别．备课资料一、向量减法法则的理解向量减法的三角形法则的式子内容是：若两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点的向量．只要学生理解法则内容，那么解决起向量加减法的题来就会更加得心应手，尤其遇到向量的式子运算题时，一般不用画图就可迅速求解，如下面例题：例1化简：AB →－AC →＋BD →－CD →.解：原式＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0.例2化简：OA →＋OC →＋BO →＋CO →.解：原式＝(OA →＋BO →)＋(OC →＋CO →)＝(OA →－OB →)＋0＝BA →.二、备用习题1．下列等式中，正确的个数是( )①a ＋b ＝b ＋a ②a －b ＝b －a ③0－a ＝－a ④－(－a )＝a ⑤a ＋(－a )＝0A ．5B ．4C ．3D ．22．如图10，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则AF →－DB →等于( )图10A.FD →B.FC →C.FE →D.BE →3．下列式子中不能化简为AD →的是( )A ．(AB →＋CD →)＋BC → B ．(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)C.MB →＋AD →－BM →D.OC →－OA →＋CD →4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内一点，若OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的( )A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心5．若非零向量AB →与AC →满足|AB →＋AC →|＝|BC →|，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6．已知两向量a 和b ，求证：|a ＋b|＝|a －b |的充要条件是a 的方向与b 的方向垂直．参考答案：1．B 2.D 3.C 4.A 5.C6．证明：(1)充分性：设OA →＝a ，OB →＝b ，使OA →⊥OB →，以OA 、OB 为邻边作矩形OBCA ，则|a ＋b |＝|OC →|，|a －b |＝|BA →|.∵四边形OBCA 为矩形，∴|OC →|＝|BA →|，故|a ＋b|＝|a －b |.(2)必要性：设OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形，则|a ＋b |＝|OC →|，|a －b |＝|BA →|.∵|a ＋b|＝|a －b |，∴|OC →|＝|BA →|. ∴OBCA 为矩形．∴a 的方向与b 的方向垂直．。

高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.3向量的减法课件新人教B版必修4

题型一
题型二
题型三
题型一
向量的减法运算
【例 1】化简:(�� − ��)-(�� − ��).
分析本题主要有三种思路:一是把向量的减法转化为向量的加法进行化简;二是利用向量的减法法则进行化简;三是设一个辅助点O, 利用 �� = �� − �� 的关系进行化简.事实上,平面内任一向量都可以写成两个向量的和;同样,任一向量都可以写成两个向量的差. 要学会通过这种转化来简化运算.
2.以非零向量��=a 与��=b 为邻边作▱ABCD,则两条对角线对应的向量为��=a+b,��=b-a,��=a-b,这一结论在以后的应用中非常重要.
2.教材中的“探索与研究” 在坐标纸上或用作图软件画两个向量,然后作它们的和,研究当两个向量的方向变化时,它们的和向量变化的情况.你从中能得到哪些结论?写出小论文谈谈你对向量和的认识,并与老师和同学交流. 剖析设向量a和b,当向量a和b的方向发生变化时,其和向量a+b会发生变化,当a与b共线且同向时,a+b的模最大,|a+b|=|a|+|b|;当a与 b共线且方向相反时,不妨设|a|>|b|,此时a+b的模最小,|a+b|=|a|-|b|. 类比向量的加法,对于向量的减法,有如下结论: ||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|. 当a,b同向时,|a-b|=||a|-|b||; 当a,b反向时,|a-b|=|a|+|b|.

2021年高中数学第二章平面向量 .1 向量的线性运算 .1.3 向量的减法示范教案新人教B版

2021年高中数学第二章平面向量 2.1 向量的线性运算 2.1.3 向量的减法示范教案新人教B版必修4教学分析向量减法运算是加法的逆运算．学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．因此，类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数)，首先引进相反向量的概念，然后引入向量的减法(减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量)，通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则，结合一定数量的例题，深刻理解向量的减法运算．通过阐述向量的减法运算，可以转化为向量加法运算，渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辩证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．三维目标1．通过探究活动，使学生掌握向量减法概念；理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量．2．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量．3．能熟练地通过作图，求作两个向量的差．重点难点教学重点：向量的减法运算及其几何意义．教学难点：对向量减法定义的理解．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比联想导入)上节课，我们学习了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢？引导学生进一步探究，由此展开新课．思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们进一步学习向量加法的逆运算——减法．引导学生去探究、发现．推进新课新知探究提出问题 1向量是否有减法？ 2怎样定义向量的减法运算？ 3如何理解向量的减法？ 4向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则，那么，向量的减法是否也有类似的法则？活动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义？引导学生思考，相反向量有哪些性质？由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a 和－a 互为相反向量．于是－(－a )＝a .我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．任一向量与其相反向量的和是零向量，即a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.所以，如果a 、b 是互为相反的向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0.(1)平行四边形法则如图1，设向量AB →＝b ，AC →＝a ，则AD →＝－b ，由向量减法的定义，知AE →＝a ＋(－b )＝a －b .图1又b ＋BC →＝a ，所以BC →＝a －b .由此，我们得到a －b 的作图方法．(2)三角形法则如图2，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．图2讨论结果：(1)向量也有减法运算．(2)定义向量减法运算之前，应先引进相反向量．与数x 的相反数是－x 类似，我们规定，与a 长度相等，方向相反的量，叫作a 的相反向量，记作－a .(3)向量减法的定义．我们定义a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．规定：零向量的相反向量是零向量．(4)向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．应用示例思路1例1如图3，ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示向量AC →、DB →吗？图3活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC →＝a ＋b ，同样，由向量的减法，知DB →＝AB →－AD →＝a －b .图4图5例2如图6，已知向量a，b，c，求作向量a－b＋c.活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础；点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．解：在平面上任取一点O ，作O A →＝a ，O B →＝b ，则B A →＝a －b .再作B C →＝c ，并以BA 、BC 为邻边作BADC ，则B D →＝B A →＋B C →＝a －b ＋c (如图7)．图6 图7 变式训练1．在ABCD 中，下列结论中错误的是( )A.AB →＝DC →B.AD →＋AB →＝AC →C.AB →－AD →＝BD →D.AD →＋BC →＝0 解析：A 显然正确，由平行四边形法则，可知B 正确，C 中，AB →－AD →＝BD →错误，D 中，AD →＋BC→＝AD →＋DA →＝0正确．答案：C2．已知向量a ，b ，c 与d ，求a －b ，c －d (图8)．图8解：作OA →＝a ，OB ＝b ，作BA →，则a －b ＝OA →－OB →＝BA →；作OC →＝c ，OD →＝d ，作DC →，则 c －d ＝OC →－OD →＝DC →.例1判断题：(1)若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同．(2)△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0.(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 三点是一个三角形的三顶点．(4)|a ＋b|≥|a －b |.解：(1)若a 与b 方向相同，则a ＋b 的方向与a 和b 方向都相同；若a 与b 方向相反，则有可能a 与b 互为相反向量，此时a ＋b ＝0的方向不确定，说与a 、b 之一方向相同不妥．(2)由向量加法法则AB →＋BC →＝AC →，AC →与CA →是互为相反向量，所以有上述结论．(3)因为当A 、B 、C 三点共线时也有AB →＋BC →＋AC →＝0，而此时构不成三角形．(4)当a 与b 不共线时，|a ＋b|与|a －b|分别表示以a 和b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，其大小不定；当a 、b 为非零向量共线时，同向则有|a ＋b|>|a －b|，异向则有|a ＋b|<|a －b |；当a 、b 中有零向量时，|a ＋b|＝|a －b |.综上所述，只有(2)正确．例2若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( )A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)解析：BC →＝AC →－AB →.(1)当AB →、AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；(2)当AB →、AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13；(3)当AB →、AC →不共线时，3<|BC →|<13.综上，可知3≤|BC →|≤13.答案：C点评：此题可直接应用重要性质||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b |求解.3已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.解：如图9，设AB →＝a ， AD →＝b ，以AB 、AD 为邻边作ABCD ，则AC →＝a ＋b ， DB →＝a －b .图9因为|a ＋b |＝|a －b |，所以| AC →|＝|DB →|.又四边形ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD 为矩形．故AD⊥AB.在Rt△DAB 中，|AB →|＝6，|AD →|＝8，由勾股定理，得|DB →|＝|AB →|2＋|AD →|2 ＝62＋82＝10.所以|a ＋b |＝|a －b |＝10.课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：相反向量，向量减法的定义，向量减法的几何意义，向量差的作图．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，类比，数形结合，几何作图，分类讨论．作业课本本节练习A 组 1,2.设计感想1．向量减法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的，两种作图方法各有千秋．第一种作法结合向量减法的定义，第二种作法结合向量的平行四边形法则，直接作出从同一点出发的两个向量a 、b 的差，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，第二种作图方法比较简捷．2．鉴于上述情况，教学中引导学生结合向量减法的几何意义，注意差向量的方向，也就是箭头的方向不要搞错了，a －b 的箭头方向要指向a ，如果指向b 则表示b －a ，在几何证明题目中，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．3．关于向量减法，在向量代数中常有两种定义方法，第一种方法是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，也就是说，如果b ＋x ＝a ，则x 叫作a 与b 的差，记作a －b .这样作a －b 时，可先在平面内任取一点O ，再作OA →＝a ， OB →＝b ，则BA →就是a －b .这种定义向量减法，学生较难理解定义本身，但很容易作a －b .第二种方法是在相反向量的基础上，通过向量加法定义，即定义a －b ＝a ＋(－b )．用这种方法定义，通过类比数的减法，学生容易接受a －b ＝a ＋(－b )，但作图较繁．实际上这两种定义方法没有本质的区别．备课资料一、向量减法法则的理解向量减法的三角形法则的式子内容是：若两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点的向量．只要学生理解法则内容，那么解决起向量加减法的题来就会更加得心应手，尤其遇到向量的式子运算题时，一般不用画图就可迅速求解，如下面例题：例1化简：AB →－AC →＋BD →－CD →.解：原式＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0.例2化简：OA →＋OC →＋BO →＋CO →.解：原式＝(OA →＋BO →)＋(OC →＋CO →)＝(OA →－OB →)＋0＝BA →.二、备用习题1．下列等式中，正确的个数是( )①a ＋b ＝b ＋a ②a －b ＝b －a ③0－a ＝－a ④－(－a )＝a ⑤a ＋(－a )＝0A ．5B ．4C ．3D ．22．如图10，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则AF →－DB →等于( )图10A.FD →B.FC →C.FE →D.BE →3．下列式子中不能化简为AD →的是( )A ．(AB →＋CD →)＋BC → B ．(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)C.MB →＋AD →－BM →D.OC →－OA →＋CD →4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内一点，若OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的( )A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心5．若非零向量AB →与AC →满足|AB →＋AC →|＝|BC →|，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6．已知两向量a 和b ，求证：|a ＋b|＝|a －b |的充要条件是a 的方向与b 的方向垂直．参考答案：1．B 2.D 3.C 4.A 5.C6．证明：(1)充分性：设OA →＝a ，OB →＝b ，使OA →⊥OB →，以OA 、OB 为邻边作矩形OBCA ，则|a ＋b |＝|OC →|，|a －b |＝|BA →|.∵四边形OBCA 为矩形，∴|OC →|＝|BA →|，故|a ＋b|＝|a －b |.(2)必要性：设OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形，则|a ＋b |＝|OC →|，|a －b |＝|BA →|.∵|a ＋b|＝|a －b |，∴|OC →|＝|BA →|.∴OBCA 为矩形．∴a 的方向与b 的方向垂直．。

人教B版高中数学必修四《2.1 向量的线性运算 2.1.3 向量的减法》_0

第五章平面向量
5.2.2 向量的减法
【教学目标】
1. 理解并掌握向量的减法运算并理解其几何意义，理解相反向量．
2. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的思想方法．
【教学重点】
向量减法的三角形法则．
【教学难点】
理解向量减法的定义．
【教学方法】
这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．由实例引入，创设问题情境，教师引导学生由向量加法得到向量减法．并在教学过程中始终注重数形结合，对比教学，使问题处于学生思维的最近发展区，较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．
56
第五章平面向量
58。

高中数学2.1向量的线性运算2.1.4向量数乘优化训练新人教B版必修4(2021学年)

高中数学 2.１向量的线性运算 2.1.4 向量数乘优化训练新人教Ｂ版必修4编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(高中数学２.1 向量的线性运算２.1.4 向量数乘优化训练新人教B版必修４）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学２.1 向量的线性运算 2.1.４向量数乘优化训练新人教B版必修4的全部内容。

2.１。

4 向量数乘５分钟训练（预习类训练，可用于课前）１.已知a =ｅ1＋e 2,b =3e 1-２e 2,则3a －2b 等于（ )Ａ.９ｅ１+4e ２Ｂ.0 C 。

7e 2-2e １ D.-３e １+7ｅ2解析:3a -2b =3（e １+e 2)－2(３e 1－２e 2)＝-３ｅ1+７e 2。

答案:D2．已知OA =ａ，OB ＝b ，AB ＝43AP ,用a ，b 表示OP ,则OP 等于( ) A.a b 4143- B 。

a b 3134- C.b a 4331+ D 。

a -b 解析:∵AB =43AP ，∴OB -OA ＝43（OP -OA ).∴ｂ—ａ=43OP —43ａ。

∴OP =a b 3134-.答案:B3。

化简(—２)·3m —4（n —2m )的结果为（ )Ａ。

—14m -4ｎＢ。

—6m —4n C.２m —4n Ｄ。

4n +2m解析:原式=－6m —4ｎ+8ｍ=2ｍ—４n 。

高中数学2-1向量的线性运算2-1-3向量的减法课后导练新人教B版必修4

教学资料范本高中数学2-1向量的线性运算2-1-3向量的减法课后导练新人教B版必修4编辑：__________________时间：__________________2.1.3 向量的减法课后导练基础达标1.AC可以写成①；②；③；④.其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.①④解析:由三角形法则知①④正确.而.答案:D2.化简下列各式,结果为零向量的个数是( )①②-+-③④A.1B.2C.3D.4解析:①==0.②-+-=(+)-(+)=-=0.③==0.④=0.答案:D3.若||=8,||=5,则||的取值范围是( )A.［3,8］B.(3,8)C.［3,13］D.(3,13)解析:∵=-,当、同向时,||=8-5=3；当,反向时,||=8+5=13；当,不共线或有零向量时3＜||＜13.综上,知3≤||≤13.答案:C4.△ABC中,D、E、F分别为AB、BC、CA的中点,等于( )A. B. C. D.解析:.答案:D5.下列四式中,不能化简为的是( )A.()+B.(+)+(+)C.+-D.解析:(+)+(+)=++=+.答案:B6.已知=a,=b,若||=12,||=5,且∠AOB=90°,则|a-b|=__________. 解析:|a-b|=|-|=||=.答案:137.在边长为1的正方形ABCD中,设=a,=b,=c,则|a+b+c|=________,|a+c-b|=________,|c-a-b|=______.解析:|a+b+c|=2|c|=,|a+c-b|=|(c-b)+a|=2|a|=2,|c-a-b|=0. 答案: 2 08.在平行四边形ABCD中,若|+|=|-|,则ABCD是__________(填正方形或矩形或菱形).解析:由|+|=|-|,即||=||,可得ABCD的对角线相等且为平行四边形,因此可得ABCD为矩形.答案:矩形综合运用9.(20xx全国高考,文5) 已知向量a,b满足:|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|等于( )A.1B.C.D.解析:由|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2),知|a+b|2+4=2(1+4),故|a+b|=.答案:D10.平面上有三点A,B,C,设m=+,n=-,若m,n的长度恰好相等,则有( )A.A,B,C三点必在同一直线上B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C.△ABC必为直角三角形且∠B=90°D.△ABC必为等腰直角三角形解析:如图,作ABCD,则+=,-=-=,∵|m|=|n|,∴||=||.∴ABCD为矩形.∴△ABC为直角三角形,∠B=90°.答案:C11.已知等腰直角△ABC,∠C=90°,M为斜边的中点,设=a,=b,试用向量a,b表示、,,.解:=-=a-b,==a-b,=+=++=b+a-b+a-b=2a-b,==-(+)=-2(a-b)=2(b-a).拓展探究12.一艘船以 km/h的速度向垂直于岸的方向行驶,而船的实际速度是10 km/h,求水流的速度和船行驶的方向(用与水流方向间的夹角表示).解:如图所示,设表示船垂直于对岸行驶的速度,表示水流的速度,以,为边作ABCD,则表示的就是船实际航行的速度.在Rt△ABC中,||=10 km/h,||=||= km/h,∴||= (km/h).∵tan∠CAB=,∴∠CAB=60°.答:水流速度为5 km/h,船行驶方向与水流方向夹角为60°.。

高中数学第二章平面向量 2.1 向量的线性运算 2.1.3

2.1.3 向量的减法1．向量减法的定义(1)已知向量a ，b (如图)，作OA →＝a ，OB →＝b ，则b ＋BA →＝a ，向量BA →叫做向量a 与b 的差，并记作a －b ，即BA →＝a －b ＝OA→－OB →.(2)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．(3)一个向量BA →等于它的终点相对于点O 的位置向量OA →减去它的始点相对于点O 的位置向量OB →，或简记“终点向量减始点向量”．【自主测试1】如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则用a ，b 表示向量BD →是( )A ．a －bB ．b －aC ．b ＋2aD ．b ＋a 答案：B2．相反向量的定义和性质及向量减法的再理解 (1)定义．与向量a 方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作－a (如图所示)．(2)性质．①a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0； ②－(－a )＝a ；③零向量的相反向量仍是0，即0＝－0. (3)向量减法的再理解．从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．因此关于向量减法的作图，一是利用向量减法的定义直接作图，二是利用相反向量作图．相反向量和相反数一样吗？答：相反向量与相反数是不一样的，相反数是两个数的符号相反，大小相等；相反向量则是两个向量的方向相反，大小相等．【自主测试2】若平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量BC →为( )A ．a ＋bB ．－a －bC ．－a ＋bD ．a －b解析：由平行四边形的对角线互相平分的性质，知OA →＝－OC →，即OC →＝－a ，所以BC →＝OC →－OB →＝－a －b .答案：B1．向量减法的三角形法则与平行四边形法则的比较剖析：a －b 的作法从“相反向量”这个角度有两种：三角形法则和平行四边形法则． (1)减法的三角形法则．∵(a －b )＋b ＝a ＋(－b )＋b ＝a ＋0＝a ，∴在平面内取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．具体作法如图(1)(a ，b 不共线 )及图(2)(a ，b 共线 )．(1)(2)(2)减法的平行四边形法则．当a ，b 不共线时，如图(3)，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB ′→＝－b ，则由向量加法的平行四边形法则，可得OC →＝a ＋(－b )＝a －b ，这是向量减法的平行四边形法则．若a ，b 同向共线，如图(4)；若a ，b 反向共线，如图(5)．(3)知识归纳(1)向量的减法是向量加法的逆运算．求两个向量的差，必须把两个向量的始点放在一起，它们的差是以减向量的终点为始点，以被减向量的终点为终点的向量．(2)以向量AB →＝a 与AD →＝b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后的应用中非常重要．2．教材中的“探索与研究”在坐标纸上或用作图软件画两个向量，然后作它们的和，研究当两个向量的方向发生变化时，它们的和向量变化的情况．你从中能得到哪些结论？写出小论文谈谈你对向量和的认识，并与老师和同学交流．剖析：设向量a 和b ，当向量a 和b 的方向发生变化时，其和向量a ＋b 会发生变化，当a 与b 共线且同向时，a ＋b 的模最大，|a ＋b |＝|a |＋|b |；当a 与b 共线且方向相反时，不妨设|a|＞|b|，此时a ＋b 的模最小，|a ＋b|＝|a|－|b|.题型一向量的减法运算【例题1】化简：(1)AB →－DC →－AD →；(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．解：(1)AB →－DC →－AD →＝AB →－AD →－DC →＝DB →－DC →＝CB →.(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝(AB →－AC →)－(CD →＋DB →)＝CB →－CB →＝0.反思(1)在运用交换律与结合律进行向量的减法运算时，要连同符号一起交换再结合． (2)根据向量的加法与减法运算的关系知，减法运算可以转化为加法运算，即减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量．题型二向量加减法的几何作图【例题2】如图所示，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .分析：首先在平面内选一始点，然后利用向量加法和向量减法的作图法则作图(平移向量时要注意向量箭头的方向)．解：解法一：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c ，如图所示．解法二：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，以B 点为始点作BC →＝－c ，则OC →＝a ＋b －c ，如图所示．反思求作向量的和与差要注意三角形法则和平行四边形法则的应用，求作两个向量的差可以转化为两个向量的和来进行，如a －b ，可以作出－b ，然后再用加法a ＋(－b )即可，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的始点重合，则两个向量的差向量是连接两个向量的终点，且指向被减向量的终点．〖互动探究〗已知向量a ，b ，c ，如图，求作a －b －c .解：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，BC →＝c ，如图，则由向量减法的三角形法则，得BA →＝a －b ，CA →＝a －b －c .题型三向量加减法的应用【例题3】如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，求证：b ＋c －a ＝OA →.分析：要证明b ＋c －a ＝OA →，可转化为证明b ＋c ＝OA →＋a ，从而利用向量加法证明；也可以从c －a 入手，利用向量减法证明．证明：证法一：∵b ＋c ＝DA →＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →，OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →，∴b ＋c ＝OA →＋a ，即b ＋c －a ＝OA →.证法二：∵c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OD →， OD →＝OA →＋AD →＝OA →－b ，∴c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →.1．下列等式中，正确的个数为( )①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ；③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ；⑤a －b ＝a ＋(－b )；⑥a －(－a )＝0.A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：C2．AC u u u r 可以写成①AO u u u r ＋OC u u u r ；②AO u u u r －OC u u u r ；③OA →－OC u u u r ；④OC →－OA →.其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：由三角形法则，知①④正确，而AO u u u r －OC u u u r ＝AO u u u r ＋OC u u u r －2OC u u u r ＝AC u u u r－2OC u u u r ，OA u u u r －OC u u u r ＝CA u u u r.答案：D3．如图所示，已知正六边形ABCDEF 的中心为O ，其中OA u u u r ＝a ，OB uuu r＝b ，OC u u u r ＝c ，则EF u u u r等于( )A ．a ＋bB ．b －aC ．c －bD ．b －c解析：EF u u u r ＝CB u u ur ＝OB →－OC →＝b －c . 答案：D4．已知OA u u u r ＝a ，OB →＝b ，若|OA u u u r |＝12，|OB →|＝5，且∠AOB ＝90°，则|a －b |＝__________.解析：|a －b |＝|OA u u u r －OB →|＝|BA u u u r |＝122＋52＝13. 答案：135．若|AB u u u r|＝8，|AC u u u r |＝5，则|BC uuu r |的取值范围是__________．答案：[3,13]6．O 是四边形ABCD 所在平面内任一点，AB u u u r ∥CD uuur ，且|OA u u u r －OB uuu r |＝|OC u u u r －OD u u u r |，则四边形ABCD 的形状为__________．解析：由|OA u u u r －OB uuu r |＝|OC u u u r －OD u u u r |，知|BA u u u r |＝|DC u u u r |，又AB u u u r ∥CD uuur ，所以，四边形ABCD 为平行四边形．答案：平行四边形7．化简：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．解：解法一：(AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD → ＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →) ＝AD →＋DA →＝0.解法二：(AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝(AB →－AC →)＋(BD →－CD →) ＝CB →＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.解法三：在平面上取一点O ，则AB →＝OB →－OA →，CD →＝OD →－OC →，AC →＝OC →－OA →，BD →＝OD →－OB →，故(AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝(OB →－OA →)－(OD →－OC →)－(OC →－OA →)＋(OD →－OB →) ＝OB →－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB →＝0.8．如图所示，已知不共线的两个非零向量a ，b ，求作向量a －b ，b －a ，－a －b .解：根据向量减法的三角形法则或相反向量作图．(1)作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，AB →＝b －a (如图(1))．对于－a －b ，可有下列两种作法：解法一：作OA →＝－a ，OB →＝b ，则BA →＝－a －b (如图(2))．解法二：作OA →＝a ，OB →＝b ，再以OA →，OB →为邻边作平行四边形OAC B ．则CO →＝－a －b (如图(3))．。

高中数学2.1向量的线性运算2.1.3向量的减法同步训练新人教B版必修63

2．1.3 向量的减法知识点一：向量的加法1．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于 A.BC → B.AB → C.AC → D.AM →2．已知平行四边形ABCD ，设(A B →＋C D →)＋(B C →＋D A →)＝a ，而b 是一非零向量，则下列结论正确的有①a ∥b ②a ＋b ＝a ③a ＋b ＝b ④|a ＋b |＜|a |＋|b | A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．①②3．在菱形ABCD 中，∠DAB＝60°，向量|A B →|＝1，则|B C →＋C D →|＝__________. 4．如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，则OA →＋AB →＋BC →＋CD →＝________.知识点二：向量的减法5．在下列各式中，化简结果恒为零向量的是 A.AB →－AC →＋BD →－CD → B.AB →＋MB →＋BO →＋OM → C.MB →＋AC →＋BM →＋CD → D.OA →＋OC →＋BO →＋CO →6．下列命题中正确命题的个数为①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同；②△ABC 中，必有A B →＋B C →＋C A →＝0；③若A B →＋B C →＋C A →＝0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点；④若a 、b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．A ．0B ．1C ．2D ．37．已知向量a 的终点与向量b 的起点重合，向量c 的起点与向量b 的终点重合，则下列各结论中，正确的个数为①以a 的起点为终点，以c 的起点为起点的向量等于－(a ＋b )； ②以a 的起点为终点，以c 的终点为起点的向量为－a －b －c ； ③以b 的起点为终点，以c 的终点为起点的向量为－b －c . A ．1 B ．2 C ．3 D ．08．在△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，则AB →＝________.能力点一：向量加减法的运算9．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝010．在平行四边形ABCD 中，AB →＋CA →－DB →等于 A.AB → B.DA → C.BC → D.CD →11．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－OA →－OA →|，则△ABC 的形状是A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形12．如图所示，在矩形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，若AB →＝a ，BC →＝b ，OB →＝c ，则a －(b ＋c )＝________.13．如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＝________.14．如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OE →＝e ，OD →＝d ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示AC →，AD →，AD →－AB →，AB →＋CF →，BF →－BD →，DF →＋FE →＋ED →.15．如图，在正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6中，已知A 1A 2→＝p ，A 1A 6→＝q ，试用p 、q 表示向量A 2A 3→、A 3A 4→、A 1A 4→、A 2A 5→.能力点二：向量加减法的综合应用16．若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，则下列式子正确的有________个． ①AB →＋CD →＝BC →＋DA → ②AC →＋BD →＝BC →＋AD → ③AC →－BD →＝DC →＋AB →A ．0B ．1C ．2D ．317．已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，则|a ＋b |等于________． 18．已知OA →＝a ，OB →＝b ，且|a |＝|b |＝4，∠AOB＝60°.求a －b 与a 所在直线的夹角．19．如图，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作向量并分别求模．(1)a ＋b ＋c ；(2)a －b ＋c.20．已知任意四边形ABCD ，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，求证：AB →－EF →＝EF →－DC →.21．如图所示，中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)用a 、b 表示AC →、DB →.(2)当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直？ (3)当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |? (4)a ＋b 与a －b 有可能为相等向量吗？为什么？答案与解析1．C 原式＝(AB →＋BC →)＋(BO →＋OM →)＋MB →＝AC →＋BM →＋MB →＝AC →.2．A3．1 BC →＋CD →＝BD →，在△ABD 中，AD ＝AB ＝1，∠DAB＝60°，∴BD＝1.∴|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1.4.OD →5．A 6.B 7.C8．－a －b AB →＝AC →＋CB →＝－CA →－BC →＝－a －b . 能力提升9．A 由条件知AD →＝DB →，DE →＝FC →，∴AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋CF →＝DE →＋CF →＝FC →＋CF →＝0. 10．D AB →＋CA →－DB →＝(AB →＋BD →)－AC →＝AD →－AC →＝CD →.11．B 由已知得|BC →|＝|(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)|＝|AB →＋AC →|，∴以|AB →|与|AC →|为邻边的平行四边形为矩形，即AB⊥AC.故△ABC 为直角三角形． 12．c a －(b －c )＝AB →－(BC →＋OB →)＝(OB →－OA →)－(OC →－OB →＋OB →)＝OB →－OA →－OC →＝OB →－OA →＋OA →＝OB →＝c .13.CD →14．解：AC →＝OC →－OA →＝c －a ， AD →＝OD →－OA →＝d －a ， AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b ，AB →＋CF →＝OB →－OA →＋OF →－OC →＝b －a －c ＋f ， BF →－BD →＝DF →＝OF →－OD →＝f －d ， DF →＋FE →＋ED →＝0. 15．解：∵由已知得：A 1A 2→＝OA 3→＝p ，A 1A 6→＝A 2O →＝A 3A 4→＝OA 5→＝q ， ∴A 2A 3→＝A 2O →＋OA 3→＝A 1A 6→＋A 1A 2→＝q ＋p ＝p ＋q ；A 3A 4→＝A 1A 6→＝q ；A 1A 4→＝A 1O →＋OA 4→＝2A 2A 3→＝2(p ＋q )； A 2A 5→＝A 2O →＋OA 5→＝2A 2O →＝2A 1A 6→＝2q . 16．C ∵AB →＋BC →＝AC →和BC →＝AC →－AB →， ①式可变形为AB →－BC →＝DA →－CD →，即AB →＋CB →＝DA →＋DC →，不恒成立；②式可变形为AC →－AD →＝BC →－BD →，即DC →＝DC →，故正确； ③式可变形为AC →－DC →＝AB →＋BD →，即AD →＝AD →，正确．17. 6 利用|a ＋b |2＋|a －b |2＝2(|a |2＋|b |2)求得|a ＋b |＝ 6. 18．解：如图所示，，|a |＝|b |＝4，∠AOB＝60°，∴此平行四边形为菱形，BA →＝a －b ，△ABO 为等边三角形． ∴|BA →|＝4，即|a －b |＝4.∵a －b 与a 所在直线分别为BA 与OA ，∴所求夹角为60°. 19．解：(1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，又AC →＝c ， ∴延长AC 到E ，使|CE →|＝|AC →|. 则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2. (2)作BF →＝AC →，则DB →＋BF →＝DF →，而DB →＝AB →－AD →＝a －BC →＝a －b ， ∴a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2.拓展探究20．证明：如图，在四边形CDEF 中，EF →＋FC →＋CD →＋DE →＝0，∴EF →＝－FC →－CD →－DE →＝CF →＋DC →＋ED →.① 在四边形ABFE 中，EF →＋FB →＋BA →＋AE →＝0， ∴EF →＝BF →＋AB →＋EA →.②①＋②，得EF →＋EF →＝CF →＋DC →＋ED →＋BF →＋AB →＋EA →＝(CF →＋BF →)＋(ED →＋EA →)＋(AB →＋DC →)． ∵E、F 分别是AD 、BC 的中点， ∴ED →＋EA →＝0，CF →＋BF →＝0. ∴EF →＋EF →＝AB →＋DC →，即AB →－EF →＝EF →－DC →.21．解：(1)AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b . (2)由(1)知a ＋b ＝AC →，a －b ＝DB →.a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直，即AC⊥BD.又∵ABCD 为平行四边形，∴四边形ABCD 为菱形，即a 、b 应满足|a |＝|b |. (3)|a ＋b |＝|a －b |，即|AC →|＝|BD →|.∵矩形的对角线相等，∴当a 与b 所在直线互相垂直时，满足|a ＋b |＝|a －b |. (4)不可能，因为的两对角线不可能平行，因此a ＋b 与a －b 不可能为共线向量，那么就不可能为相等向量了．。

高中数学 2.1 向量的线性运算 2.1.3 向量的减法优化训练新人教B版必修4

2.1.3 向量的减法5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下面给出了四个式子，其中值为0的有( )①AB+BC+CA②OA+OC+BO+CO③AB-AC+BD-CD④NQ+QP+MN-MPA.①②B.①③C.①③④D.①②③解析：①中，AB+BC+CA=AC+CA=0；②中,OA+OC+BO+CO=(BO+OA)+ (OC+CO)=BA+0=BA；③中，(AB-AC)+(BD-CD)= CB+BC=0；④中，(NQ+QP)+ (MN-MP)=NP+PN=0.答案：C2.如图2-1-12,已知ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中OA=a，OB=b，OC=c，则EF等于( )图2-1-12A.a+bB.b-aC.c-bD.b-c解析：==b-c.答案：D3.若=a，则=_______________.答案：-a4.化简：AB-AD-DC=_______________.解析：--=-=.答案：10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列命题中，正确命题的个数为( )①|a|+|b|=|a+b|⇔a与b方向相同②|a|+|b|=|a-b|⇔a与b方向相反③|a+b|=|a-b|⇔a与b有相等的模④|a|-|b|=|a-b|⇔a与b方向相同A.0B.1C.2D.3解析：当向量共线时，向量加法的平行四边形法则不适用，可考虑应用向量加法的三角形法则，其中①②是正确的；③由向量加减法的几何意义知|a +b |=|a -b |等价于以a 、b 为邻边的平行四边形的对角线相等，即为矩形，此时a 与b 垂直，但a 与b 的模不一定相等;④错在|a |-|b |不知符号正负，而|a -b |一定大于等于0，故不一定成立.答案：C2.下列等式中，正确的个数为( )①0-a =-a ②-(-a )=a ③a +(-a )=0 ④a +0=a ⑤a -b =a +(-b ) ⑥a -(-a )=0A.3B.4C.5D.6解析：①②③④⑤正确，⑥错误.答案：C3.如图2-1-13所示，D 、E 是△ABC 中AB 、AC 边中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，已知BC =a ，BD =b ，试用a 、b 分别表示DE 、CE 和MN .图2-1-13解：由三角形中位线定理知DE 21BC ，故DE =21BC ，即DE =21a . CE =CB +BD +DE =-a +b +21a =21-a +b . MN =MD +DB +BN =21ED +DB +21BC =41-a -b +21a =41a -b . 4.如图2-1-14所示，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则AF -DB 等于( )图2-1-14A. B. C. D.解析：由图可知=，则-=-=.又由三角形中位线定理知=.答案：D5.若||=8，||=5，则||的取值范围是_______________.解析：由题中所给向量之间的关系BC=AC-AB，再根据向量不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a+b|，问题迎刃而解.即||AC|-|AB||≤|BC|=|AC-AB|≤|AC|+|AB|.∴3≤|BC|≤13.答案：［3，13］6.已知两个向量a和b，求证：若|a+b|=|a-b|，则a的方向与b的方向垂直；反之也成立. 证明：①如图所示.若a与b方向垂直，设OA=a，OB=b，∵a与b方向垂直，∴OA⊥OB.以OA、OB为邻边作矩形OACB，则|a+b|=||，|a-b|=||，∵AOBC为矩形，∴||=||.∴|a+b|=|a-b|.②反之，若|a+b|=|a-b|，设=a，=b，以、为邻边作平行四边形OACB，则|a+b|=||，|a-b|=||，又|a+b|=|a-b|，∴|OC|=||，即平行四边形OACB对角线相等.∴平行四边形OACB为矩形.∴a的方向与b的方向垂直.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA=a，OB=b，用a、b表示向量BC 为( )A.a+bB.-a-bC.-a+bD.a-b解析：由平行四边形对角线互相平分的性质知=-，即=-a，=-=-a-b.答案：B2.对于任意向量a，b，恒有( )A.|a+b|=|a|+|b|B.|a-b|=|a|-|b|C.|a-b|≤|a|+|b|D.|a-b|≤|a|-|b|解析：利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.答案：C3.在平行四边形ABCD中，BC-BA与AB-DA分别等于( )A.AC，CAB.CA，ACC.AC，ACD.AC，AD解析：BC-BA=AC；AB-DA=AB+AD=AC.答案：C4.△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，DE=a,则DE-BC等于( )A.aB.-aC.0D.EC解析：DE=a，BC=2a,∴DE-2a=-a.答案：B5.已知平行四边形ABCD，O是Y ABCD所在平面外任意一点，OA=a，OB=b，OC=c，则向量OD等于( )A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c解析：如图，有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a+c-b.答案：B6.O是四边形ABCD所在平面上任一点，∥CD，且|OA-OB|=|OC-OD|，则四边形ABCD一定为( )A.菱形B.任意四边形C.矩形D.平行四边形解析：由|OA-OB|=|OC-OD|知||=|DC|，且∥CD，∴四边形ABCD一定为平行四边形.答案：D7.(2006高考全国卷Ⅰ，理9)设平面向量a1，a2，a3的和a1+a2+a3=0.如果平面向量b1，b2，b3满足|b i|=2|a i|，且a i顺时针旋转30°后与b i同向，其中i=1,2,3,则( )A.-b1+b2+b3=0B.b1-b2+b3=0C.b1+b2-b3=0D.b1+b2+b3=0解析：如图.在平行四边形OACB中，令OA=a1，OB=a2，OC=-a3，则OA+OB+CO=0，a1，a2，a3满足a1+a2+a3=0.将向量OA，OB，CO绕点O顺时针旋转30°且模扩大2倍后，得到的是与原四边形相似的平行四边形，这时仍有OA+OB+CO=0，同时OA=b1，OB=b2，CO=b3，故有b1+b2+b3=0.答案：D8.计算：（1）a+b-(a-c)+(-b)=_______________；（2）(p+q-r)+(q+r-p)+(r+p-q)=________________；（3）(i-j)+(j-h)+(h-i)=__________________.解析：（1）原式=a+b-a+c-b=c；（2）原式=p+q-r+q+r-p+r+p-q=p+q+r；（3）原式=i-j+j-h+h-i=0.答案：（1）c（2）p+q+r（3）09.|a|=8，|b|=6，则|a+b|的最小值为______________,此时，a与b的方向______________;|a-b|的最大值为______________；此时a与b的方向______________. 解析：|a+b|≥||a|-|b||,∴|a+b|的最小值为2，此时a、b反向，同理|a-b|的最大值为8+6=14，此时a、b也反向. 答案：2 反向 14 反向10.化简：(AB-CD)-(AC-BD)=_______________.解析：(AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD=AB+DC+CA+BD=(AB+BD)+(DC+CA)=AD+DA=0(此法是将向量减法转化为加法进行化简的).答案：011.如图2-1-15的五边形ABCDE中，若AB=m，BC=n，CD=p，DE=q，EA=r，求作向量m-p+n-q-r.图2-1-15解：∵m-p+n-q-r=(m+n)-(p+q+r)=AC-CA=AC+AC，所以延长AC至F点，使|CF|=|AC|，则CF=AC，∴=AC+AC，即向量为所求.。

高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.3向量的减法预习导航学案新人教B版必修61

2.1.3 向量的减法预习导航(1)已知向量a ，b(如图)，作OA u u u r =a ，OB uuu r =b ，则b+BA u u u r =a ，向量叫做向量a 与b 的差，记作a －b ，即BA u u u r ＝a －b ＝OA u u u r －OB uuu r ．(2)向量的减法是向量加法的逆运算，如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．(3)一个向量AB u u u r 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA u u u r 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB uuu r ，或简记为“终点向量减始点向量”．名师点拨 (1)向量的减法是向量加法的逆运算．求两个向量的差，必须把两个向量的始点放在一起，它们的差是以减向量的终点为始点，以被减向量的终点为终点的向量．(2)以向量AB u u u r ＝a 与AD u u u r ＝b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为AC u u u r ＝a ＋b ，BD u u u r ＝b －a ，DB u u u r ＝a －b ，这一结论在以后的应用中非常重要．自主思考1试证明：对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |．提示：若a ，b 至少有一个是0，则不等式显然成立．若a ，b 都不是0时，作OA u u u r ＝a ，OB uuu r ＝b ，则BA u u u r ＝OA u u u r －OB uuu r ＝a －b ．①当a ，b 不共线时，如图(1)所示，则||OA u u u r |－|OB uuu r ||<|BA u u u r |<|OA u u u r |＋|OB uuu r |，即||a |－|b ||<|a －b |<|a |＋|b |．②当a ，b 共线时，若a ，b 同向，如图(2)所示，|BA u u u r |＝||OA u u u r |－|OB uuu r ||，即||a |－|b ||＝|a －b |；若a ，b 反向，如图(3)所示，|BA u u u r |＝|OA u u u r |＋|OB uuu r |，即|a －b |＝|a |＋|b |．综上可得||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |．图(1) 图(2) 图(3)2．相反向量的定义和性质及向量减法的再理解(1)定义．与向量a 方向相反且等长的向量叫做a 的相反向量，记作－a (如图所示)．(2)性质．①a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0；②－(－a )＝a ；③零向量的相反向量仍是0，即0＝－0．(3)向量减法的再理解．从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量，因此关于向量减法的作图一是利用向量减法的定义直接作图，二是利用相反向量作图．名师点拨 (1)相反向量从两个方面进行定义，即“模长”与“方向”，这是考虑向量问题的基本出发点．(2)相反向量必是平行向量．。

高中数学2.1向量的线性运算2.1.2向量的加法优化训练新人教B版必修4(2021学年)

高中数学 2.1 向量的线性运算２.1.2 向量的加法优化训练新人教Ｂ版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(高中数学２.1 向量的线性运算２.1.2 向量的加法优化训练新人教B版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为高中数学 2.1 向量的线性运算 2.1.2 向量的加法优化训练新人教Ｂ版必修4的全部内容。

2.1。

2 向量的加法５分钟训练(预习类训练，可用于课前）1。

下列命题中正确命题的个数为( ）①如果非零向量a与ｂ的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a、b之一的方向相同②△ABC 中，必有AB+BC＋CA=0 ③若AB+BC＋CA＝０,则A、B、C为一个三角形的三个顶点④若a、b均为非零向量，则｜ａ+ｂ|与｜a|＋｜b|一定相等A.0 B．1 C。

2 D．3解析:①假命题,当a＋b=０时，命题不成立；②真命题；③假命题，当A、B、C三点共线时，也可以有AB+BC+CA=0;④假命题，只有当ａ与b同向时才相等.答案：B２.向量（AB+MB）+（BO+BC）＋OM化简后等于（ )A。

BCＢ.ABＣ.AC D。

AM解析：原式=（AB＋BO)+（OM+MB)+BC=AO＋OB+BC＝AC。

答案:C3．如图2-1-7，在平行四边形ABCD中，BC＋DC+BA等于( )图２-1－7A.AD B。

DAＣ．AC Ｄ．CB解析：BC+DC+BA=BC＋（DC+BA)＝BC=AD.答案：Ａ4.如图2—1-8，四边形ABCD 与A ＢD Ｅ都是平行四边形.图2—１-8(1）若AE ＝a ，则DB =_＿＿___＿_＿__＿＿__; （２）若CE =ｂ,则AB =____＿_＿_____＿_;（３）和AB 相等的所有向量为____＿__＿_＿＿＿__;(4）和AB 共线的所有向量为______＿______＿。

人教B版高中数学必修四《2.1 向量的线性运算 2.1.3 向量的减法》_1

《向量的减法运算及几何意义》教学设计一、教材分析1、教材所处的地位和作用本节课是平面向量线性运算的一种。

在学完向量的加法运算及几何意义后，本节课是对上节课内容的一个转化，通过本节课的学习不但能帮助学生加深对向量加法运算及几何意义的理解，也为后面学习向量的数乘运算及几何意义做了铺垫。

它具有承上启下的作用。

2、教学目标知识与技能：（1）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量；（2）通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.过程与方法：通过向量减法的学习，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. 使学生充分体会转化、类比、数形结合的数学思想的运用。

进一步培养和提高学生的数学核心素养。

情感态度价值观：在本节内容的学习过程中，通过师生互动，生生互动的教学活动，形成学生的体验性认识。

体会成功的愉悦，提高学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.3、教学重点和难点教学重点：向量减法的概念和差向量的作图法教学难点：向量减法的几何意义二、教法与学法1教学方法及教学手段教学方法：引导，探究，小组合作教学手段：采用多媒体与学案导学相结合，提高课堂的利用率。

四、教学过程（一）回顾旧知通过学案设置的问题，复习上节课所学内容（三角形法则：首尾相接连端点。

四边形法则：起点相同连对角及向量加法法则）引出疑问——加与减是对立统一的两个方面，既然向量可以相加，那么，两个向量可以相减呢设计意图：通过对上节课所学知识的复习，为本节课的学习打下基础。

并自然引出本节课所研究的内容。

（二）引入新课问题:你每天上学从家到学校，从学校到家，你的位移是多少?怎样用向量来表示呢?引出相反向量的定义：（这个概念的理解以及相应性质在学案上有所体现）由学生自行完成。

设计意图：与实际生活相联系，让学生体会数学在实际生活中的重要地位。

也能使学生更容易理解相反向量的定义及相关性质。

（1）新课讲解通过学案上给出的问题串，如何定义向量的减法、用怎样的符号表示、如何理解向量的减法及几何意义。

人教B版高中数学必修四《2.1向量的线性运算2.1.3向量的减法》2

向量的减法运算及其几何意义教课目的：认识相反向量的观点；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；经过论述向量的减法运算能够转变成向量的加法运算，使学生理解事物间能够相互转变的辩证思想.教课要点：向量减法的观点和向量减法的作图法.教课难点：减法运算时方向确实定.教课思路：一、复习：向量加法的法例：三角形法例与平行四边形法例，向量加法的运算定律：例：在四边形中，CBBAAD.解：CBBAADCAADCD二、提出课题：向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法（1）“相反向量”的定义：与a（2）规定：零向量的相反向量还是零向量.(a)=a.任一直量与它的相反向量的和是零向量.a+ (a)=0假如a、b互为相反向量，则a=b，b=a，a+b=0（3）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b+x=a，则x叫做a与b的差，记作a b3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量a b∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0=aa O a 作法：在平面内取一点O，b作OA=a，AB=b则BA=ab bab B即ab能够表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.注意：1AB表示a b.重申：差向量“箭头”指向被减数2用“相反向量”定义法作差向量，ab=a+(b)B’a b a+(b)O abAb bB4．研究：１）假如从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b a.２）若a∥b，怎样作出 a b？a ab abbO B A B’O BAa ab a bb O A b B B O A三、例题：例一、（P86例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.解：在平面上取一点O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，作BA，DC，则BA=ab，DC=cdA BD D CdbacA BCO例二、平行四边形ABCD中，AB a，AD b，用a、b表示向量AC、DB.解：由平行四边形法例得：AC=a+b，DB=AB AD=ab变式一：当a，b知足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a|=|b|）变式二：当a，b知足什么条件时，|a+b|=|a b|？（a，b相互垂直）变式三：a+b与ab可能是相等向量吗？（不行能，∵对角线方向不一样）例3.如图，已知一点O到平行四边形ABCD的三个极点A、B、C的向量分别为a、b、c，试用向量a、b、c表示OD.练习：1。