大学医科实用数学练习题1.1温医高数试卷老师给的

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大学医用高等数学习题

解的存在唯一性定理
在一定条件下，微分方程存在唯一解的定理。
一阶常微分方程
1 2
线性一阶微分方程
形如y'=f(x,y)的一阶微分方程，其中f是x和y的已知函数。
一阶常系数线性微分方程
形如y'=f(x)的一阶微分方程，其中f是x的已知函数。
3
一阶微分方程的通解和特解
满足给定初始条件和边界条件的微分方程的解。
生物信息学
基因组学、蛋白质组学等生物信息学领域，通过高等数学方法对大规模数据进行处理和分析，挖掘疾病与基因、蛋白质之间的关系。
药物研发
药物动力学模型、药效学模型等高等数学模型在药物研发过程中用于预测药物在体内的分布、代谢和排泄情况。
医学中常用的高等数学概念
微积分
微积分是医学中应用最广泛的高等数学概念，包括极限、连续性、导数和积分等，用于描述生物体内物质分布、生理过程和
药物作用等的动态变化。
线性代数
线性代数在医学数据处理和统计分析中发挥重要作用，如矩阵运算、特征值和特征向量等，用于表示和处理医学图像、基因
表达数据等。
概率论与数理统计
概率论与数理统计是医学研究中不可或缺的数学工具，用于描述随机现象、进行假设检验和预测疾病发生风险等。
02
函数与极限
函数定义与性质
复合函数的导数
对于复合函数，需要先对内层函数求导，再将结果与外层函数的导数相乘，得到复合函数的导数。
隐函数的导数
对于由方程确定的隐函数，可以通过对方程两边求导的方法来求得其导数。
微分及其应用
微分的定义
微分是函数在某一点的变化率的线性近似，用符号“d”表示。
微分的几何意义
微分可以理解为函数图像在某一点处的切线的斜率。

医科实用数学课后练习题含答案

医科实用数学课后练习题含答案前言医学是一门实践科学，但是难免离不开一些基础数学知识。

为了让医学生更好地掌握这些数学知识，我们准备了一些实用数学练习题，希望对大家有所帮助。

练习题1. 基础运算1.求解 5.3+3.82.求解8.7−2.43.求解 $2.5 \\times 7.2$4.求解 $15 \\div 3$2. 公式应用1.某药品的当量浓度为3mg/mL，瓶装容量为50mL，计算该瓶药品总质量（答案保留两位小数）。

2.患者身高为168cm，体重为58kg，计算该患者的体指数（BMI）（答案保留两位小数）。

3.计算方程4x2−50x+45=0的两个根（保留两位小数）。

3. 概率应用1.轮廓较清晰的女性乳腺钼靶照片的假阳性率约为 $10\\%$，假阴性率约为 $17\\%$。

某女性进行乳腺钼靶检查，照片显示检查结果为阳性，计算其实际患癌症的概率（答案保留两位小数）。

2.假设某药品的有效率为 $82\\%$，某次随机选取了100名患者进行治疗，计算有多少患者可以治愈（答案为整数）。

3.某种感染病发病率为 $3\\%$，一群人在同一地区生活，该地区人口为2,500。

计算该地区感染该病的人数期望值（答案为整数）。

答案1. 基础运算1.9.12.6.33.184.52. 公式应用1.150.002.20.563.2.50和7.123. 概率应用1.$42.4\\%$2.823.75结语以上就是本次医科实用数学课后练习题，希望对大家掌握医学数学知识有所帮助。

如有疑问或错误欢迎指出。

医用高数精选习题含答案

医用高数精选习题含答案医学生需要学习数学，尤其是高数。

然而，高数知识对于许多医学生来说是非常困难的。

因此，许多医学生需要精选的高数练习题目来加强他们的高数技能。

这里，我们提供一些医用高数精选习题和答案，这些习题涵盖了各种高数问题：导数、极值、曲率、微积分和微分方程。

1. 给出函数f(x) = 3x^2 + 2x的导函数答案：f’(x) = 6x + 2解析：对f(x)求导即可得到f’(x)。

2. 给出函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 45的极值点答案：f(x)在x=-3和x=5处达到极小值和极大值解析：对f(x)求导，令f’(x)=0，解得x=-3和x=5，分别代入f(x)求得f(-3)和f(5)，即得到极值。

3. 给出函数f(x) = sin(x)，在x = 0处的曲率答案：f”(x) = -sin(x)，因此，f”(0) = 0，所以曲率为0。

解析：对f(x)求两次导即可得到曲率公式f”(x) = -sin(x)，将x=0代入公式即可得到曲率为0。

4. 求以下函数的不定积分：f(x) = 6x^2 - 8x + 9答案：∫f(x)dx = 2x^3 - 4x^2 + 9x + C（其中C为常数）解析：对f(x)进行积分，即可得到不定积分。

5. 给出微分方程dy/dx = 9x^2 - 12x，求其通解答案：y = 3x^3 - 6x^2 + C（其中C为常数）解析：对微分方程求解，得到y的一般解，再带入初始条件求得一个特定解。

练习以上高数习题能够帮助医学生们掌握高数知识并加强自己的技能。

如果你感到这些习题有些困难，可以不断的练习，直到完全理解并掌握。

只要你通过努力，这些数学技能就会变得相对容易了。

医学高等数学测试题

医学高等数学测试题（第一二章）学号班级姓名成绩一、判断题（每小题2分，共16分）（正确选A ，错误选B ，并将其填进第2页的表格） 1.函数的图像可以是一条封闭曲线2.函数 ln x y = 在（0,1）上是单调递增有上界的函数3.若 A x f xx =→)(lim 0，则A x f =)(0 一定成立4.若函数)(x f 在点0x 处间断，则)(lim 0x f xx →一定不存在5.连续函数在连续点都有切线6.函数的最大值一定大于最小值，函数的极大值也一定大于极小值7.函数)(y x f =在点0x 处可导，则该函数在点0x 的微分一定存在8.若函数)(y x f =在点a 处不可导，则函数)(y x f =在点))(x f a ，（处没有切线二、选择题（每小题2分，共10分）（将选项填进第2页的表格） 1. 连续的在是00)()()(lim 0x x x f x f x f x x ==→ 。

(A) 必要条件而非充分条件； (B) 充分条件而非必要条件； (C) 充分必要条件； (D) 无关条件。

2. 函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的。

(A) 必要但非充分条件； (B) 充分但非必要条件； (C) 充分必要条件； (D) 既非充分又非必要条件。

3. 若)(x f 在0x x =处可导，则)(x f 在0x x =处。

(A) 可导； (B) 不可导； (C) 连续但未必可导； (D) 不连续 4. 曲线x x y 33-=上切线平行于x 轴的点是。

(A)（0，0）； (B)（-2，-2）； (C)（-1，2）； (D)（2，2） 5. xx x f x 1sinsin )(0⋅==是的。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 振荡间断点 (D) 无穷间断点三、计算题1.求下列极值（每小题3分，共33分）=∞→x xx 3sin lim=∞→x x x 1sin lim=-→xx x 1)1(lim37lim22-+→x x x =)3191311(lim n n ++++∞→ =))1(1321211(lim +++⋅+⋅∞→n n n =xx xx sin 2cos 1lim0-→=x x x3)11(lim -∞→=)1cos 1(lim 2xx x -∞→==→10)sin (lim x x x x =-→xx x 3)21(lim2.求下列函数的导数（每小题3分，共12分） 322-+⋅=x x e yx x 10 · y = )][ln(ln ln y x =3.求下列隐函数的导数（每小题5分，共10分）x x y 22cos sin =0332=-+axy y x y x e xy +=4.用拉格朗日中值定理证明下列不等式（8分）)0(,)1ln(1><+<+x x x x x5.讨论下列函数的单调性、极值、凹凸性、拐点和渐近线（11分）x x y -+=11ln。

医用高等数学试卷9

一、填空题（每空2分，共20分）得分评阅人答案请写此处：1. 2. 3. 4. 5.6. 7. 8. 9. 10.1、函数的定义域是。

2、。

（利用微分公式计算，保留小数点后3位）3、设可导，则______ ________。

4、若在处可导，则______ ________。

5、函数的n阶导数为。

6、。

7、函数的复合过程是。

8、设函数在点的某领域内可导，。

9、= 。

10、设，则______________。

二、是非题（“√”表示正确，“×”表示错误，每题2分，共20分）得分评阅人（）1、0是无穷小量。

（）2、分段函数一定有间断点。

（）3、初等函数在其定义区间内必可导。

（）4、初等函数在其定义域内都是连续的。

（）5、若为函数的极值点，则。

（）6、函数在点处可导，而函数在点处不可导，则在点处不可导。

（）7、函数在处可微，则函数在处一定连续。

（）8、设函数在有定义，在内连续，且，则方程在内必有根。

（）9、为内单调增函数，若在内可导，则在区间处处有。

（）10、。

三、单项选择题（每题2分，共10分）得分评阅人答案请写此处：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 1、下列哪组中的函数为相同的函数（）。

A. B.C. D.2、函数是在点处连续，是函数在点处可导的什么条件（）。

A.必要非充分B.充分非必要C.充分必要D.既非充分，也非必要3、若，则k=( ) 。

(A) (B) 3 (C) (D) 04、当时，是无穷大量吗？它有界吗？（）。

A.是，有B.不是，没有C.是，没有D.不是，有5、在处( ) 。

(A) 不连续； (B) 连续但不可导；(C) 可导，但导数在该点不连续； (D) 导函数在该点连续四、计算题（每题5分，共30分）得分评阅人1、 2、3、 4、5、 6、五、解答题（第1、2每题6分，第3题8分，共20分）得分评阅人1、证明：2、试确定的值，使在点处可导。

3、描绘函数的图像。

参考答案一、填空题1、 2、 3、 4、 5、6、 7、 8、 9、0 10、二、是非题1、√2、×3、×4、√5、×6、√7、√8、×9、× 10、×三、单项选择题1、D2、A3、C4、B5、B四、计算题五、解答题3、的定义域为:。

医用高等数学完整答案

医用高等数学完整答案第一部分：导数及其应用导数是高等数学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

在医用高等数学中，导数的应用非常广泛，例如在药物动力学、生物力学等领域。

1. 导数的定义：导数可以理解为函数在某一点的变化率。

对于一个函数 f(x)，它在点 x=a 处的导数定义为：f'(a) = lim (h→0) [f(a+h) f(a)] / h其中，h 表示自变量 x 的微小变化量。

2. 导数的几何意义：导数还可以理解为函数图像在某一点的切线斜率。

切线是函数图像在该点附近最接近的直线，斜率则表示切线与x 轴的夹角。

3. 导数的计算：导数的计算方法有很多种，包括求导法则、微分法则、链式法则等。

下面列举一些常用的求导法则：常数函数的导数为 0。

幂函数的导数为幂指数乘以幂函数的导数。

指数函数的导数为指数函数乘以底数的对数。

对数函数的导数为底数的对数除以对数函数。

三角函数的导数可以根据三角函数的和差公式进行计算。

4. 导数的应用：导数在医用高等数学中的应用非常广泛，例如：药物动力学：通过求导可以计算药物在体内的浓度变化率，从而预测药物的疗效和副作用。

生物力学：通过求导可以计算生物体的运动速度和加速度，从而分析生物体的运动状态。

生理学：通过求导可以计算生理参数的变化率，从而分析生理过程的变化规律。

导数是医用高等数学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率，并在药物动力学、生物力学等领域有着广泛的应用。

第二部分：微积分的应用微积分是高等数学的另一个重要分支，它包括微分和积分两部分。

在医用高等数学中，微积分的应用同样非常重要，它可以帮助我们理解和分析医学问题。

1. 微分的应用：微分是微积分的基础，它描述了函数在某一点的变化情况。

在医学中，微分可以用来研究药物在体内的浓度变化、生物体的生长速度等。

例如，我们可以通过微分方程来描述药物在体内的代谢过程，从而预测药物的疗效和副作用。

2. 积分的应用：积分是微积分的另一个重要部分，它描述了函数在某个区间上的累积效果。

大学医用高等数学习题

举例
求解复杂函数的极限、导数、积分等，以及解决一些实际问题。
解析方法
通过分析题目要求，引导学生逐步推导和证明，让学生掌握解题思路和方法。
答案与解析
答案与解析
提供习题的答案和解析，帮助学生自我检测和巩固所学知识。
内容
包括每道习题的答案和详细的解析过程，让学生能够对照答案进行自我评估和纠正错误。
05 总结与展望
01
随着大数据和人工智能的兴起，医学高等数学将更多地应用于
数据分析和机器学习等领域。
跨学科融合
02
医学高等数学将与生物学、物理学、化学等其他学科进一步融
合，促进多学科交叉研究。
数学建模在医学研究中的应用
03
数学建模在医学研究中具有重要地位，未来将有更多复杂模型
应用于医学领域。
对未来学习的建议
01
02
流行病学模型是利用数学方法描述疾病在人群中传播规律的模型，通过对疾病流行趋势的预测和分析，为防控措施的制定提供依据。流行病学模型在传染病防控、慢性病管理等领域有广泛应用。
医学影像处理中的数学方法
总结词
利用数学方法对医学影像进行分析和处理的手段。
详细描述
医学影像处理中的数学方法包括图像增强、图像分割、特征提取和模式识别等技术。这些技术可以帮助医生更准确地解读和分析医学影像，提高诊断的准确性和可靠性。在放射学、病理学和医学成像等领域，医学影像
不定积分与定积分
不定积分概念
不定积分是求函数原函数的运算，不定积分的结果是一组原函数，它们之间相差一个常数。不定积分的基本公式和运算法则是学习定积分的基础。
VS
定积分概念
定积分是求函数在某个区间上的积分和的运算。定积分的值与被积函数和积分的区间有关，可以用来计算面积、体积等实际问题。

医用高等数学试题

5. 无限个无穷小的和仍然是无穷小（ B ） A 、正确 B 、错误6. 0,sin5~ln(15)x x x →+当时 ( A ) A 、正确 B 、错误()217.ln(1)ln(1)t dt t '+=+⎰ （ B ）A 、正确B 、错误 8.01ln 0xdx ≥⎰( A )A 、正确B 、错误 9. arctan lim0x xx→∞= （ A ）A 、正确B 、错误10.11≤ ( A )A 、正确B 、错误二．单项选择题 (本大题共20题，每题3分，共60分)11. ()f x 在0x 处可微是()f x 在0x 可积的 ( A ).A. 充分条件B. 充要条件C. 必要条件D. 前三者都不是12. 已知函数 1cos 0,()10,xx f x x x x -⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩ ，则0lim ()x f x →= ( D ). A. 1 B. 0 C. 2 D. 不存在13．设2221()31x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()f x 在1x =处（ B ）A ．左、右导数都存在B ．左导数存在但右导数不存在C ．右导数存在但左导数不存在D ．左、右导数都不存在13011333314.lim(1)().....xx x D A e B e C eD e→---=15. 当x →+∞时，下列函数为无穷小量的是（ D ）. A. 1xe-B.()3100ln x x -C.D.2311001x x x -++.16. 以下各式中能使用洛必达法则计算的是（ A ）. A. 20sin limln(1)x x x x x →-+ B. 2arctan lim tan 3x xx π→C. sin lim x x x x →∞+D. cos lim x x x →∞ ()()317.()3,()1,3A. B. C. D.f x x x f x A =--设则函数在区间上是　先增后减　先减后增　增函数减函数18. 2cos ()3x f x -=，则()df x = ( C ).A. 2cos sin 23ln 3xx dx -- B. 2cos1sin 23ln 3xx dx -- C. 2cos sin 23ln 3x x dx - D. 2cos 1sin 23ln 3x x dx -19.已知)(x f 在0=x 的某个邻域内连续，且0)0(=f ，2cos 1)(lim 0=-→xx f x ，则在点0=x 处)(x f （ D ）A.不可导；B.可导，且0)0('≠f ；C.取得极大值；D.取得极小值。

医用高等数学答案

12kπ(k=±1,±2,…)为第Ⅱ类间断点.1.4　习题解答本节给出了由张选群教授主编,人民卫生出版社出版的统编教材《医用高等数学》习题的解题思路及参考解题过程.1.求下列函数的定义域(1)y=(x+2)(x-1).解　由(x+2)(x-1)≥0定义域为(-∞,-2]∪[1,+∞).(2)y=arccos(x-3).解　由-1≤(x-3)≤1定义域为[2,4].(3)y=lg x-1 x+2.解　由x-1x+2>0定义域为(-∞,-2)∪(1,+∞).(4)y=ln(2+x) x(x-4).解　由ln(2+x)≥0(2+x)≥1x≥-1;又x≠0,x≠4从而定义域为[-1,0)∪(0,4)∪(4,+∞).(5)y=12-x2+arcsin12x-1.解　由(2-x2)>0-2<x<2; 又由-1≤12x-1≤10≤x≤2;故定义域为[0,2).(6)y=x sin x.解　由sin x≠0定义域为(kπ,(k+1)π)(k=0,±1,±2,…).2.设f(x)=1+x2,x<0,12,x=0,-x,x>0.求f(0),f12,f lg12.解　f(0)=12,f12=-12,f lg12=f(-lg2)=1+(-lg2)2=1+(lg2)2.3.设函数y=f(x)的定义域为[0,1],求下列函数的定义域(1)y=f x+13+f x-13.解　由0≤x+13≤10≤x-13≤1-13≤x≤2313≤x≤43定义域为13,23.(2)y=f(sin x).解　由0≤sin x≤1定义域为[2kπ,(2k+1)π](k=0,±1,±2,…).(3)y=f(ln x+1).解　由0≤ln x+1≤11e≤x≤1定义域为1e,1.(4)y=f(x2).解　由0≤x2≤1-1≤x≤1定义域为[-1,1].4.写出y关于x的复合函数(1)y=lg u,　u=t an(x+1).解　y=lg[tan(x+1)].(2)y=u3,　u=x2+1.解　y=(x2+1)32.(3)y=u+sin u,　u=1-v,　v=x3.解　y=1-x3+sin(1-x3).(4)y=e u,　u=v2,　v=sin w,　w=1 x.解　y=exp sin21x.5.指出下列各函数是由哪些基本初等函数或简单函数复合而成(1)y=e arc tan(2x+1).解　y=e u,　u=arct an v,　v=2x+1.(2)y=sin3(x+2).解　y=u32,　u=sin v,　v=x+2.(3)y=tan 1+x 1-x.解　y=tan u,　u=v,　v=1+x 1-x.(4)y=cosln3x2+1.解　y=cos u,　u=v3,　v=12ln w,　w=x2+1.6.已知f(e x+1)=e2x+e x+1,求f(x)的表达式.解　f(e x+1)=e2x+e x+1=(e x+1)2-(e x+1)+1f(x)= x2-x+1.7.已知f tan x+1tan x=tan2x+1t an2x+3,x≠kπ2(k=0,±1,±2,…),求f(x)的表达式.解　f t an x+1tan x=tan2x+1tan2x+3=tan x+1tan x2+1f(x)=x2+1.8.求下列函数的极限(1)limn→∞(n+1-n)=limn→∞1n+1+n=0;(2)limn→∞n sin nn+1=limn→∞1n+1/nsin n;因为对于任意的自然数n,有0≤1n+1/nsin n≤1n+1/n,注意到lim n→∞0=limn→∞1n+1/n=0,由夹逼法则得lim n→∞1n+1/nsin n=0,即lim n→∞1n+1/nsin n=0,故lim n→∞n sin nn+1=0. (3)limn→∞1n2+2n2+…+n-1n2=limn→∞1n2·12(n-1)n=limn→∞121-1n=12. 9.求下列函数的极限(1)limx→-1x3-1x-1=limx→-1(x2+x+1)=1;(2)limx→1x2-12x2-x-1=limx→1(x+1)(x-1)(2x+1)(x-1)=limx→1x+12x+1=23;(3)limx→∞x2-13x2-x-1=limx→∞1-1x23-1x-1x2=13;(4)因为limx→1x2-5x+42x-1=0,所以limx→12x-1x2-5x+4=∞;(5)limx→3x+13-2x+1x2-9=limx→33(3-x)(x2-9)(x+13+2x+1)=limx→3-3(x+3)(x+13+2x+1)=-116;(6)limx→+∞x2+1-1x=limx→+∞xx2+1+1=limx→+∞11+1x2+1x=1;(7)limx→111-x-21-x2=limx→1x-11-x2=limx→1-11+x=-12;(8)limx→01-cos xx sin x=limx→02sin2x2x·2sinx2cosx2=limx→0sinx2x cosx2=limx→0sinx22·x2·cosx2=12;(9)limx→1(1-x)tanπ2x=limt→0t tanπ2(1-t)=limt→0t cotπ2t=limt→02π·π2tsinπ2tcosπ2t=2π;(10)limx→0tan x-sin xx3=limx→0sin xx·1cos x·1-cos xx2=limx→0sin xx·12cos x·sinx2x22=12;(11)limx→1x21-x=limt→0(1-t)2t=limt→0(1-t)1-t2=limt→0(1-t)1-t2=e2;(12)limx→0(1-3x)1x=limx→0(1-3x)1-3x-3=limx→0(1-3x)1-3x-3=e-3;(13)limx→∞x-11+xx-1=limx→∞1-21+xx-1=limx→∞1-21+xx+11-21+x-2=limx→∞1-21+xx+1-2-21-21+x-2=limx→∞1-21+xx+1-2-2limx→∞1-21+x-2=e-2;(14)limx→0x+ln(1+x)3x-ln(1+x)=limx→01+1xln(1+x)3-1xln(1+x)=limx→01+ln(1+x)1x3-ln(1+x)1x=1+13-1=1;(15)limx→-1ln(2+x)31+2x+1=limx→-1[(1+2x)23-(1+2x)13+1]ln(2+x)1+2x+1=32limx→-1ln(2+x)1+x=32limt→0ln(1+t)t=32limt→0ln(1+t)1t =32ln limt→0(1+t)1t=32;(16)limx→∞2x+32x+1x+1=limx→∞1+22x+1x+1=limx→∞1+1x+12x+1=limx→∞1+1x+12x+121+1x+1212=limx→∞1+1x+12x+12limx→∞1+1x+1212=e.10.已知limx→1x2+bx+61-x=5,试确定b的值.解　由于分母极限为0,故只有分子的极限也为0时整个分式才可能有极限0型极限,其结果是个非0有限数值时,说明分子分母为同阶无穷小量,即limx→1(x2+bx+6)=0b=-7. 11.已知limx→+∞(2x-ax2-x+1)存在,试确定a的值,并求出极限值.解　limx→+∞(2x-a x2-x+1)=limx→+∞4x2-a x2+x-12x+ax2-x+1=limx→+∞(4-a)x2+x-12x+ax2-x+1存在.所以分子分母为同次式(分母本质上是一次式),即4-a= 0a=4.lim x→+∞(2x-4x2-x+1)=limx→+∞x-12x+4x2-x+1=limx→+∞1-1x2+4-1x+1x2=14. 12.当x→0时,将下列函数与x进行比较,哪些是高阶无穷小?哪些是低阶无穷小?哪些是同阶无穷小?哪些是等价无穷小?(1)tan3x.解　limx→0t an3xx=limx→0sin xx·tan2xcos x=limx→0sin xx·limx→0tan2xcos x=0当x→0时,tan3x是x的高阶无穷小;(2)1+x2-1.解　limx→01+x2-1x=limx→0x1+x2+1=0当x→0时,1+x2-1是x的高阶无穷小;(3)csc x-cot x.解　limx→0csc x-cot xx=limx→01-cos xx sin x=limx→0sin2x2x sinx2cosx2=limx→012sinx2x2cosx2=12当x→0时,csc x-cot x是x的同阶无穷小;(4)x+x2sin 1 x.解　limx→0x+x2sin1xx=limx→01+x sin1x=1当x→0时,x+x3sin 1x是x的等价无穷小;(5)cos π2(1-x).解　limx→0cosπ2(1-x)x=limx→0sinπ2xx=π2limx→0sinπ2xπ2x=π2当x→0时,cos π2(1-x)是x的同阶无穷小;(6)1+tan x -1-sin x .解lim x →01+tan x -1-sin x x=lim x →0tan x +sin x x (1+tan x +1-sin x)=limx →0sin xx 1+1cos x(1+tan x +1-sin x)=1当x →0时,1+t an x -1-sin x 是x 的等价无穷小.13．已知当x →0时,(1+ax 2-1)与sin 2x 是等价无穷小,求a 的值.解　limx →01+ax 2-1sin 2x =lim x →0ax 2(1+ax 2+1)sin 2x=a2=1a =2.14．设　f (x)=e x ,x <0,a +ln (1+x),x ≥0.　在(-∞,+∞)内连续,求a 的值.解　lim x →0-f (x)=lim x →0-e x=1,lim x →0+f (x)=lim x →0+[a +ln (1+x)]=a a =1.15．讨论函数f (x)=e 1x,x <0,0,x =0,x sin1x,x >0.　在点x =0处的连续性.解　因为lim x →0-f (x)=lim x →0-e 1x=0,lim x →0+f (x)=lim x →0+x sin 1x =lim x →0f (x)=0=f (0),所以f (x)在点x =0处连续.16．讨论函数f (x)=1,x =0,x sin 1x,x ≠0.　在点x =0处的连续性.解　因为lim x →0f (x)=lim x →0x sin1x=0≠f (0)=1,所以f (x)在点x =0处不连续.17．设f (x)=2,x =0,ln (1+a x)x,x ≠0.　在点x =0处连续,求a 的值.解　因为lim x →0f (x)=lim x →0ln (1+a x)x=a lim x →0ln (1+ax)1a x=a =f (0)=2,所以a =2.18．确定下列函数的间断点与连续区间:(1)y =x ln x．解　间断点为x =1;连续区间为(0,1)∪(1,+∞).(2)y =x -2x 2-5x +6.解　y =x -2(x -2)(x -3),间断点为x =2,x =3;连续区间为(-∞,2)∪(2,3)∪(3,+∞).(3)f (x)=1-x 2,x ≥0,sin |x |x ,x <0.解　lim x →0-f (x)=limx →0-sin |x |x =-1,lim x →0+f (x)=lim x →0+(1-x 2)=1lim x →0-f (x)≠lim x →0+f (x).因此,间断点为x =0;连续区间为(-∞,0)∪(0,+∞).(4)f (x)=limn →+∞11+xn (x ≥0).解　f(x)=1,0≤x<1,12,x=1,0,x>1,间断点为x=1;连续区间为[0,1)∪(1,+∞).1．5　自测题1．选择题(以下各题均有4个答案,其中只有1个正确答案)(1)对1～6个月的婴儿,由月龄估计体重的经验公式为y= f(t)=3+0．6t(t表示月龄,y表示体重),则在这个实际问题中f(t)的定义域是.A.(-∞,+∞);B.(0,+∞);C.[1,6];D.以上都不是.(2)函数f(x)=3-x+arccos x-23+1的定义域是.A.(-1,3);B.[-1,3);C.(-1,3];D.[-1,3].(3)设f(x)=x+1x,则下式成立的是.A.f(x)=f 1x;B.f(x)=1f(x);C.f(x)=f1f(x);D.f(x)=1f1x.(4)函数y=a x8+8是由复合而成.A.y=a u,u=v12,v=x8+8;B.y=a u,u=x8+8;C.y=au12,u=x8+8;D.y=a12u,u=x8+8.列表讨论如下:t (0,t 1)t 1(t 1,t 2)t 2(t 2,+∞)C ′(t)+0--C ″(t)--0+C(t)↗凸极大值↘凸拐点↘凹 C(t)的最大值:C max=C(t 1)=A σ1σ2σ1σ2σ1-σ2;C(t)的拐点值:C(t 2)=A(σ1+σ2)σ21σ2σ12σ2σ1-σ2.请读者描绘出函数图像.2.4　习题解答本节给出了由张选群教授主编,人民卫生出版社出版的统编教材《医用高等数学》习题的解题思路及参考解题过程.1.若一质点作直线运动,已知路程s 与时间t 的关系是s =3t 2+2t +1.试计算从t =2到t =2+Δt 之间的平均速度,并计算当Δt =0．1,Δt =0．01时的平均速度,再计算t =2时的瞬时速度.解　平均速度　珔v =Δs Δt =s(2+Δt)-s(2)Δt=3Δt +14.当Δt =0．1时,珔v =14．3;当Δt =0．01时,珔v =14．03;因此,t =2时的瞬时速度v ′(2)=lim Δt →0珔v =lim Δt →0(3Δt +14)=14. 2.按导数定义计算下列函数在指定点的导数.(1)f (x)=sin2x,x =0.解　f ′(0)=lim Δx →0f (0+Δx)-f (0)Δx =lim Δx →0sin2ΔxΔx=2.(2)f (x)=11+x,在x(x ≠-1)点.解　f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx=limΔx→011+(x+Δx)-11+xΔx=limΔx→0-1(1+x+Δx)(1+x)=-1(1+x)2.(3)f(x)=x+1,在x=0点.解　f′(0)=limΔx→0f(0+Δx)-f(0)Δx=limΔx→0Δx+1-1Δx=limΔx→0　1Δx+1+1=2.(4)f(x)=2x-x2,在x点.解　f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx=limΔx→0(2-2x-Δx)=2-2x.3.设f(x)在x=x0点处可导,试计算下列极限(1)limx→x0f(x)-f(x0)x-x0.解　设x=x0+Δx,则原式=limx→x0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=f′(x0).(2)limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)Δx.解　原式=12limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)2Δx=12f′(x0).(3)limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)Δx.解　原式=lim-Δx→0f(x0-Δx)-f(x0)-Δx=f′(x0).(4)limn→∞n f x0+1n-f(x0).解　原式=lim1 n →0f x0+1n-f(x0)1n=f′(x0).(5)limh→0f(x0+h)-f(x0-h)h.解　原式=limh→0f(x0+h)-f(x0)-[f(x0-h)-f(x0)]h=2f′(x0).(6)limt→0f(x0+αt)-f(x0+βt)t.解　原式=limt→0α·f(x0+αt)αt-β·f(x0+βt)βt=(α-β)f′(x0).4.讨论下列函数在x=0点是否可导.(1)f(x)=x32sin1x,x>0 0,x≤0.解　f′(0)=limΔx→0f(0+Δx)-f(0)Δx=limΔx→0f(Δx)Δx,而f′-(0)=limΔx→0-f(Δx)Δx=limx→0-0=0,f′+(0)=limΔx→0+f(Δx)Δx=limx→0+(Δx)32sin1ΔxΔx=0.所以,f(x)在x=0点可导且f′(0)=0.(2)f(x)=x1+e1x,x≠0, 0,x=0.解　f′(0)=limΔx→0f(0+Δx)-f(0)Δx=limΔx→0f(Δx)Δx=limΔx→011+e1Δx.而f′-(0)=limΔx→0-11+e1Δx=1,　f′+(0)=limΔx→0+11+e1Δx=0.所以f(x)在x=0点不可导.5.确定a,b的值,使f(x)=x2,x≤1,ax+b,x>1在x=1点处可导.解　要使f(x)在x=1处连续,必须有limx→1+f(x)=limx→1-f(x)=f(1).而lim x→1-f(x)=limx→1-x2=1,　lim x→1+f(x)=limx→1+(ax+b)=a+b,f(1)=1,从而a+b=1.f′(1)=limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=limΔx→0f(1+Δx)-1Δx,f′-(1)=limΔx→0-f(1+Δx)-1Δx=limΔx→0-(1+Δx)2-1Δx=2,f′+(1)=limΔx→0+f(1+Δx)-1Δx=limΔx→0+a(1+Δx)+b-1Δx=a.要使f(x)在x=1处可导,应有f′-(1)=f′+(1),即a=2,又a+b= 1,从而得b=-1.＊6.若函数f(x)在x0点可导,且f(x0)≠0,试计算极限lim n→∞f x0+1nf(x0)n.解　limn→∞f x0+1nf(x0)n=limn→∞exp n lnf x0+1nf(x0)=limn→∞expln f x0+1n-ln f(x0)1n=exp limn→∞ln f x0+1n-ln f(x0)1n=expdln f(x)d x x=x0=exp1f(x)·f(x)′x=x=exp1f(x0)·f′(x0)7.设曲线y=2x-x3.(1)求(1,1)点处曲线的切线方程及法线方程;(2)在(x0,y0)点处,曲线的切线通过点(0,-2),求(x0,y0)点及该点处曲线的切线方程和法线方程.解　y′=2-3x2.(1)在(1,1)点处曲线的切线斜率为k切=y′(1)=-1,因此切线方程:y-1=-1·(x-1),　即y=-x+2.法线方程:y-1=1·(x-1), 即y=x.(2)在(x0,y0)点处曲线的切线斜率为k切=y′(x0)=2-3(x0)2,切线方程为y-y0=[2-3(x0)2](x-x0),由于曲线过点(0,-2),有x0=-1,y0=-1.在(-1,-1)点, k切=-1,因此切线方程:y+1=-1·(x+1),　即y=-x-2.法线方程:y+1=1·(x+1), 即y=x.8.求下列函数的导数.(1)y=2x2+x22.解　y′=(2x-2)′+12x2′=-4x-3+x.(2)y=3x+3x+1 x.解　y′=3·x12′+x13′+(x-1)′=32x-12+13x-23-x-2.(3)y=x(2x-1)(3x+2).解　y′=(x)′(2x-1)(3x+2)+x(2x-1)′(3x+2)　+x(2x-1)(3x+2)′=(2x-1)(3x+2)　+2x(3x+2)+3x(2x-1).(4)y=x sin x+cos x.解　y′=(x)′sin x+x(sin x)′=sin x+x cos x.(5)y=x3+1x2-x-2.解　y′=(x3+1)′(x2-x-2)-(x3+1)(x2-x-2)′(x2-x-2)2=3x2(x2-x-2)-(x3+1)(2x-1)(x2-x-2)2.(6)y=1-ln x 1+ln x.解　y′=(1-ln x)′(1+ln x)-(1-ln x)(1+ln x)′(1+ln x)2=-2x(1+ln x)2.(7)y=x arctan x+sin x x.解　y′=(x)′arctan x+x(arctan x)′+sin xx′=12xarctan x+x1+x2+x cos x-sin xx2.(8)y=x tan x+x4x+xcos x.解　y′=tan x+x sec2x+4x-x4x ln442x+cos x+x sin xcos2x.(9)y=(2x2+3)3.解　y′=3(2x2+3)2·(2x2+3)′=12x(2x2+3)2.(10)y=ln(cot x).解　y′=1cot x·(cot x)′=1cot x·(-csc2x)=-1sin x cos x.(11)y=e sin x+arccos1-x2.解　y′=(e sin x)′+(arccos1-x2)′=e sin x cos x-11-(1-x2)2·-2x21-x2=e sin x cos x+x|x|1-x2.(12)y=x a2-x2+a2arcsin x a.解　y′=(x a2-x2)′+a2arcsin x a=a2-x2+x-2x2a2-x2+a211-xa2·1a=2a2-x2.(13)y=　x+x+x.解　y′=12x+x+x(x+x+x)′=12x+x+x 1+12x+x(x+x)′=12x+x+x 1+12x+x1+12x.(14)y=sin(ln x)+ln(cos x).解　y′=cos(ln x)·1x+1cos x(-sin x)=1xcos(ln x)-tan x.(15)y=log2(x2-sin x).解　y′=1(x2-sin x)ln2(x2-sin x)′=2x-cos x(x2-sin x)ln2.(16)y=14ln1+x1-x+12arctan x+sinπ5.解　y′=14ln1+x1-x′+12(arctan x)′+sinπ5′=14·1-x1+x·1+x1-x′+12·11+x2=14·1-x1+x·2(1-x)2+12·11+x2=11-x4.(17)y=x ln x.解　利用对数求导法,有ln y=ln x·ln x1 y ·y′=2ln x·1x,故　y′=2x l n x-1ln x.(18)y=x sin x.解　利用对数求导法,有ln y=sin x·ln x,1 y ·y′=cos x·ln x+sin x·1x,故　y′=x sin x cos x ln x+sin xx.(19)y=(sin x)co s x.解　利用对数求导法,有ln y=cos x·lnsin x,1 y ·y′=-sin x·lnsin x+cos x·cos xsin x,y′=(sin x)co s x(cos x cot x-sin x lnsin x). (20)y=(2x)x.解　利用对数求导法,有ln y=x·ln2x,1 y ·y′=12xln x+x·22x,故y′=(2x)x ln(2x)+22x.(21)y=x2x+(2x)x.解　y=e2x l n x+e x ln(2x).利用对数求导法,有ln y=ln x·ln x,y′=e2x ln x·(2x ln x)′+e x ln(2x)(x ln2x)′=2x2x(ln x+1)+(2x)x(ln2x+1). (22)y=3x(x3+1)(x-1)2.解　利用对数求导法,有ln y=13[ln x+ln(x3+1)-2ln(x-1)],1 y ·y′=131x+3x2x3+1-2x-1,y′=133x(x3+1)(x-1)21x+3x2x3+1-2x-1. (23)y=(x-2)3x-55x+1.解　利用对数求导法,有ln y=3ln(x-2)+12ln(x-5)-15ln(x+1),1 y ·y′=31x-2+121x-5-151x+1,y′=(x-2)3x-53x+13x-2+12(x-5)-13(x+1). (24)y=　(x sin x)1-e x.解　利用对数求导法,有ln y=12ln x+lnsin x+12ln(1-e x),1 y ·y′=121x+cos xsin x+12·-e x1-e x,y′=14(x sin x)1-e x2x+2cot x-ex1-e x. 9.求由下列方程确定的隐函数y=f(x)的导数(1)y=1+x e y.解　等式两边关于x求导,有y′=e y+x e y y′y′=e y1-x e y. (2)y=tan(x+y).解　等式两边关于x求导,有y′=sec2(x+y)·(1+y′),y′=sec2(x+y)1-sec2(x+y)=sec2(x+y)-tan2x=-csc2(x+y). (3)x y=y x.解　等式两边取对数,有y ln x=x ln y 等式两边关于x求导,有y′ln x+y·1x =ln y+x·1y·y′,y′=y(x ln y-y) x(y ln x-x). (4)x y=e x+y.解　等式两边关于x求导,有y+xy′=e x+y(1+y′),y′=e x+y-yx-e x+y=xy-yx-x y=y(x-1)x(1-y). 10.试证明曲线x+y=a上任一点处的切线,截两个坐标的截距之和为a.解　对曲线方程两边关于x求导,得1 2x +12y·y′=0, y′=-yx. 曲线上任一点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=-　y0x0·(x-x0).令x=0,得曲线在y轴上的截距:y0+x0y0;令y=0,得曲线在x轴上的截距:x0+x0y0;曲线在两坐标轴上的截距之和为:y0+x0+2x0y0=(x0+y0)2=a. 11.求下列函数的二阶导数(1)y=x x.解　等式两边取对数,有ln y=x ln x,等式两边关于x求导,有1yy′=ln x+1,　y′=x x(1+ln x),对此式关于x再求导,有y″=(x x)′(1+ln x)+x x(1+ln x)′=x x(1+ln x)2+x x-1. (2)ln x2+y2=arctan y x.解　等式两边关于x求导,有1x2+y2·12x2+y2(2x+2yy′)=11+(y/x)2y′x-yx2, x+yy′=x y′-y,　y′=x+yx-y,对此式关于x再求导,得y″=(x+y)′(x-y)-(x+y)(x-y)′(x-y)2=(1+y′)(x-y)-(x+y)(1-y′)(x-y)2. 代入y′=x+yx-y,　有y″=2x2+y2(x-y)3.12.设f″(x)存在,求下列函数的二阶导数(1)y=f(x2).解　y′=f′(x2)·2x,y″=[f′(x2)]′·2x+f′(x2)·2=4x2f″(x2)+2f′(x2).(2)y=ln[f(x)].解　y′=1f(x)·f′(x),y″=1f(x)′·f′(x)+1f(x)·f″(x)　=-[f′(x)]2f2(x)+f″(x)f(x).13.求下列函数的n阶导数(1)y=sin x.解　y′=cos x=sin π2+x,y″=cos π2+x=sinπ2+π2+x=sin2·π2+x,y=cos2·π2+x=sinπ2+2·π2+x=sin3·π2+x,　⁝y(n)=sin n·π2+x.(2)y=sin2x.解　y′=2sin x cos x=sin2x,y″=2cos2x=2sin π2+2x,y=22cos π2+2x=22sinπ2+π2+2x=22sin2·π2+2x,　⁝y(n)=2n-1sin(n-1)·π2+2x.14.一质点作直线运动,其运动规律为s=t,其中路程s的单位为米,时间t的单位为秒,求质点在第4秒末的速度与加速度?解　质点在时刻t的速度　v(t)=d sd t=12t,加速度a(t)=d v(t)d t=-14t3.在第4秒末的速度v(4)=12t t=4=14,在第4秒末的加速度a(4)=-14t3t=4=-132. 15.许多肿瘤的生长规律为v=v0e A a(1-e-a t).其中,v表示t时刻的肿瘤的大小(体积或重量),v0为开始(t=0)或观察时肿瘤的大小,a和A为正常数,问肿瘤t时刻的增长速度是多少?解　肿瘤的t时刻的增长速度d vd t=v0e A a(1-e-at)′=v0A e A a(1-e-a t)-a t.16.病人服药后,药物通过肾脏排泄的血药浓度c和时间t的关系为c(t)=c0(1-e-k t),c0为血药初始浓度,k为常数,求药物的排泄速率.解　药物排泄速率　v(t)=d(c(t))d t=c0k e-k t.17.设某种细菌繁殖的数量为N=1000+52t+t2,其中时间t 以小时(h)计,求t=2h,t=5h时细菌的繁殖速度.解　在t时刻细菌的繁殖速度:v(t)=d Nd t=52+2t,在t=2h的繁殖速度:v(2)=(52+2t)t=2=56个/h,在t=5h的繁殖速度:v(5)=(52+2t)t=5=62个/h.18.求下列函数的微分(1)y=x2+1-31+x2.解　d y=(x2+1-31+x)′d x=2x-2x33(1+x2)2d x.(2)y=x(1+sin2x).解　d y=[x(1+sin2x)]′d x=1+sin2x2x+x·2sin2x d x(3)y=arctane x+arctan 1 x.解　d y=arctane x+arctan 1x′d x=e x1+e2x+11+1/x2·-1x2d x=e x1+e x-11+x2d x.(4)y=sin(x e x).解　d y=[sin(x e x)]′d x=(1+x)e x cos(x e x)d x.(5)y=x2-x,在x=1处.解　d y=(x2-x)′d x=(2x-1)d x.在x=1处,d y=(2x-1)x=1d x=d x.(6)y=x+1,在x=0,Δx=0．01时.解　d y=(x+1)′d x=12x+1d x.在x=0,Δx=0．01处,d y=12x+1Δxx=0Δx=0．01=0．005.19.在下列各划线处,填入适当的函数(1)d(x)=12xd x; (2)d-1x=1x2d x;(3)d(ax+b)=a d x;(4)d 1ae a x=e a x d x;(5)d 12arctanx2=14+x2d x;(6)d(lnφ(x))=φ′(x)φ(x)d x.20.若函数f(x)可导,且f(0)=0,|f′(x)|<1,试证明x≠0时,|f(x)|<|x|.证明　由拉格朗日中值定理,有f(x)-f(0)=f′(ξ)(x-0),ξ介于x,0之间,从而f(x)=f′(ξ)x,|f(x)|=|f′(ξ)||x|<1·|x|=|x|. ＊21.试证明,若对于任意x∈R,有f′(x)=a,则f(x)=ax+b.证明　设F(x)=f (x)-ax,则有F ′(x)=f ′(x)-(ax)′=0,F(x)=b (常数),故　f (x)=a x +b .22.利用洛必达法则求下列函数极限(1)lim x →0e x-e -x-2x x -sin x =lim x →0e x+e -x-21-cos x =limx →0e x-e-xsin x=lim x →0e x +e -x cos x=2.(2)lim x →π2lnsin x (π-2x)2=lim x →π2cot x -4(π-2x)=lim x →π2-csc 2x8=limx →π2-18sin 2x =-18.(3)lim x →+∞x e x 2x +e x =lim x →+∞e x 2+12x e x 21+e x =lim x →+∞e x 2+14x ex 2ex=lim x →+∞4+x 4e x 2=lim x →+∞=12ex 2=0.(4)lim x →π2tan x tan3x =lim x →π2sec 2x 3sec 23x =13lim x →π2cos 23x cos 2x =lim x →π2sin6xsin2x =3.(5)lim x →0x 2ln x =limx →0ln x 1x 2=lim x →01x-2·1x3=-2lim x →0x 2=0.(6)lim x →01x -1e x -1=lim x →0e x -x -1x(e x -1)=lim x →0e x -1e x -1+x ex=lim x →0e x 2e x +x e x=12.(7)lim x →π2(tan x)2cos x=lim x →π2e2co s x lnt an x=el im x →π22co s x lnt an x .因为lim x →π22cos x lntan x =lim x →π22lntan x sec x =lim x →π22·1tan x·sec 2xsec x tan x=lim x →π22cos x sin 2x =0,所以原式=e 0=1. (8)lim x →0(e x+x)1x=lim x →0eln (e x +x)x=e lim x →0ln (e x+x)x.因为　lim x →0ln (e x +x)x=lim x →0e x +1e x+x =2,所以　原式=e 2.＊(9)设函数f (x)存在二阶导数,f (0)=0,f ′(0)=1,f ″(0)=2,试求lim x →0f (x)-xx2.解　lim x →0f (x)-x x2=lim x →0f ′(x)-12x =12lim x →0f ′(x)-f ′(0)x -0=12f ″(0)=1.＊(10)设函数f (x)具有二阶连续导数,且lim x →0f(x)x=0,f ″(0)=4,求lim x →01+f (x)x1x.解　lim x →01+f (x)x1x=lim x →0exp ln 1+f (x)x x =exp limx →0ln 1+f (x)xx, limx →0ln 1+f (x)xx=lim x →01+f (x)x-1·f (x)x′1=lim x →0f ′(x)x -f (x)x 2=lim x →012f ″(x)=12×4=2,所以　limx→01+f(x)x1x=e2.23.试确定下列函数的单调区间(1)f(x)=x e-x.解　定义域为(-∞,+∞):　f′(x)=e-x(1-x).令f′(x)=0,得驻点x=1．x∈(-∞,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)的单调递增区间为(-∞,1);单调递减区间为(1,+∞).(2)f(x)=x1+x.解　定义域为[0,+∞);　f′(x)=1-x2x(1+x)2.令f′(x)=0,得驻点x=1．x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)的单调递增区间为(0,1);单调递减区间为(1,+∞).24.求下列函数极值(1)f(x)=3x-x3.解　定义域为(-∞,+∞);f′(x)=3-3x2=3(1-x)(1+ x).令f′(x)=0,得驻点x=-1,x=1．x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(-1,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以x=-1为f(x)的极小值,极小值f(-1)=-2;x=1为f(x)的极大值,极大值f(1)=2. (2)f(x)=xln x.解　定义域为x>0,x≠1;　f′(x)=ln x-1ln2x.令f′(x)=0,得驻点x=e．x∈(1,e)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以,x=e为f(x)的极小值,极小值f(e)=e.(3)f(x)=6xx2+1.解　定义域为(-∞,+∞);f′(x)=6-6x2(x2+1)2=6(1-x)(1+x)(x2+1)2.令f′(x)=0,得驻点x=-1,x=1．x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(-1,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以x=-1为f(x)的极小值,极小值f(-1)=-3;x=1为f(x)的极大值,极大值f(1)=3. (4)f(x)=(2x-1)3(x-3)2.解　定义域为(-∞,+∞);f′(x)=23(x-3)2+(2x-1)·23·(x-3)-13=10(x-2)3(x-3)13. 令f′(x)=0,得驻点x=2,不可导点x=3.x<2时,f′(x)>0,　x>2时,f′(x)<0;2<x<3时,f′(x)>0,　3<x时,f′(x)>0.所以,x=2为f(x)的极大值,极大值f(2)=3.25.试问a为何值时,函数f(x)=a sin x+13sin3x,在x=π3处具有极值?它是极大值,还是极小值?并求此极值.解　f′(x)=a cos x+cos3x．因为x=π3为极值点,所以有f′π3=a cosπ3+cos3·π3=a2-1=0,即a=2,f(x)=2sin x+13sin3x,　f′(x)=2cos x+cos3x,f″(x)=-2sin x-3sin3x,而f″π3=-3<0,所以x=π3为f(x)的极大值,极大值为f π3=3.26.测量某个量,由于仪器的精度和测量的技术等原因,对量A进行n次测量,其测量的数据分别为x1,x2,x3,…,x n,取数x 为量A的近似值.问x取何值时,才能使其与x i(i=1,2,…,n)之差的平方和最小?解　设x与x i(i=1,2,…,n)之差的平方和为y,则y=(x-x1)2+(x-x2)2+(x-x3)2+…+(x-x n)2, y′=2[nx-(x1+x2+x3+…+x n)]. 令y′=0,得x=x1+x2+x3+…+x nn　(惟一驻点)．因此,当x=x1+x2+x3+…+x nn时,才能使其与x i(i=1,2,…,n)之差的平方和最小.27.1～9个月婴儿体重W(g)的增长与月龄t的关系有经验公式ln W-ln(341．5-W)=k(t-1.66).问t为何值时,婴儿的体重增长率v最快?解　对经验公式两边关于t求导,得1 W ·d Wd t+1341．5-W·d Wd t=k,婴儿的体重增长率v=d Wd t=k345．1W(345．1-W).而v′=d vd t=k345．1(345．1-2W),　令v′=0,则有W=345．12,从而t=1．66时,婴儿的体重增长率v最快.28.口服一定剂量的某种药物后,其血药浓度c与时间t的关系可表示为c=40(e-0．2t-e-2．3t),问t为何值时,血药浓度最高,并求其最高浓度.解　c=40(e-0．2t-e-2．3t),　c′=d cd t=40(-0．2e-0．2t+2．3e-2．3t).令c′=0,则有t=ln2322．1=1．1630(惟一驻点),所以t=1．1630时,血药浓度最高,此最高血药浓度c(1．1630)=28．9423.29.已知半径为R的圆内接矩形,问它的长和宽为多少时矩形的面积最大?解　设圆内接矩形的面积为s,其长为x,宽为y= (2R)2-x2,则有s=xy=x4R2-x2,s′=d sd x=4R2-x2-x24R2-x2=4R2-2x24R2-x2,令s′=0,则有x=2R(惟一驻点),此时y=(2R)2-x2=2R.故,长x=2R,宽y=2R时矩形面积最大.30.已知某细胞繁殖的生长率为r=36t-t2,问时间t为何值时,细胞的生长率最大?最大生长率为多少?解　r=36t-t2,r′=d rd t=36-2t.令r′=0,则有t=18(惟一驻点),所以t=18时,细胞的生长率最大,此最大生长率为r(18)=324.31.在研究阈值水平时电容放电对神经的刺激关系中,Hoor－weg发现引起最小的反应(肌肉的收缩)时,电压U与电容器的电容量c有关,其经验公式为U=aR-bc,其中R是电阻(假设为定值),a,b为正常数.若电容的单位为微法(μF),电容器的电压为伏特(V),由物理知识可知,与负荷相对应的电能为E=5cU2(erg),从而有E=5c aR+bc2.试问,当电容为多少微法时,电能最小,其最小电能为多少?解　E=5c aR+bc2=5a2R2c+10aRb+5b2c,E′=d Ed c=5a2R2-5b2c2.令E′=0,则有c=ba R(惟一驻点),所以c=baR(μF)时,电能最小,此最小电能为EbaR=20abR(erg).32.判别下列曲线的凹凸性(1)y=x arctan x.解　函数定义域为(-∞,+∞).y′=arctan x+x1+x2,　y″=2(1+x2)2>0,所以函数在(-∞,+∞)上为凹的.(2)y=4x-x2.解　函数定义域为(-∞,+∞),y′=4-2x,　y″=-2<0.所以函数在(-∞,+∞)上为凸的.33.求下列曲线的凹凸区间与拐点(1)y=3x4-4x3+1.解　函数定义域为(-∞,+∞),y′=12x3-12x2,　y″=36x2-24x=12x(3x-2).令f″(x)=0,得x=0,x=2/3.当x∈(-∞,0)时,f″(x)>0,函数为凹的;当x∈0,23时,f″(x)<0,函数为凸的;当x∈23,+∞时,f″(x)>0,函数为凹的.所以函数在(-∞,0),23,+∞上为凹的,在0,23上为凸的,拐点为(0,f(0))=(0,1),23,f23=23,1127.(2)y=ln(1+x2).解　函数定义域为(-∞,+∞),y′=2x1+x2,　y″=2(1-x)(1+x)(1+x2)2. 令f″(x)=0,得x=-1,x=1.当x∈(-∞,-1)时,f″(x)<0,函数为凸的;当x∈(-1,1)时,f″(x)>0,函数为凹的;当x∈(1,+∞)时,f″(x)<0,函数为凸的.所以函数在(-∞,-1),(1,+∞)上为凸的,在(-1,1)上为凹的,拐点为(-1,f(-1))=(-1,ln2),(1,f(1))=(1,ln2).(3)y=2x ln x.解　函数定义域为(0,+∞),y′=2ln x-2ln2x,　y″=4-2ln xx ln3x.令f″(x)=0,得x=e2,f″(x)的不可导点为x=1.当x∈(0,1)时,f″(x)<0,函数为凸的;当x∈(1,e2)时,f″(x)>0,函数为凹的;当x∈(e2,+∞)时,f″(x)<0,函数为凸的.所以函数在(0,1),(e2,+∞)上为凸的,在(1,e2)上为凹的,拐点为(e2,f(e2))=(e2,e2).(4)y=(x-5)53+2.解　函数定义域为(-∞,+∞)．y′=53(x-5)23,　y″=109·13x-5,f″(x)的不可导点为x=5.当x∈(-∞,5)时,f″(x)<0,函数为凸的;当x∈(5,+∞)时,f″(x)>0,函数为凹的.所以函数在(-∞,5)上为凸的,在(5,+∞)上为凹的,拐点为(5, f(5))=(5,2).34.已知曲线y=ax3+bx2+c x+d在(1,2)点处有水平切线,且原点为该曲线上的拐点,求a,b,c,d之值,并写出此曲线的方程.解　y′=3ax2+2bx+c,y″=6a x+2b,根据题意有y(1)=a+b+c+d=2,y(0)=d=0,y′(1)=3a+2b+c=0,y″(0)=2b=0,从而解得　a=-1,b=0,c=3,d=0.35.求下列曲线渐近线(1)y=x2x2-1.解　因为limx→±1x2x2-1=∞,所以曲线有垂直渐近线x=±1;又因为　limx→∞x2x2-1=1,所以曲线有水平渐近线y=1.(2)y=x e 1x2.解　因为limx→0x e1x2=limx→0e1x21x=limx→02e1x2x=∞,所以曲线有垂直渐近线x=0;又因为　limx→∞x e1x2x=1,且limx→∞(x e1x2-x)=0,所以曲线有斜渐近线y=x.2.5　自测题1．选择题(以下各题均有4个答案,其中只有1个正确答案)(1)设f(x)=|x-8|,则f(x)在x=8处的导数是.A.8;B.不存在;C.0;D.-8.(2)设f(x-1)=x2-1,则f′(x)=.A.2x+2;B.2x+1;C.2x-1;D.2x.(3)设f(x)是可导函数,且limt→0f(x0+2t)-f(x0)t=1,则f′(x0)为.A.1;B.2;C.0;D.0．5.(4)设f(x)=x,当x0>0时,limt→0tf(x0-2t)-f(x0)=.。

医用高等数学试题

医用高等数学试题1. 建模与微分方程某医院整理了一组病人的实验数据，发现他们在被注射某种药物后，体内药物浓度的变化可以用以下微分方程描述：\[ \frac{{dC}}{{dt}} = -kC \]其中，$ C $ 表示病人体内的药物浓度，$ t $ 表示时间，$ k $ 为常数。

请回答以下问题：a) 请解释该微分方程中各个参数的物理含义，并说明其单位。

b) 利用该微分方程及已知条件，求解出药物浓度 $ C $ 与时间 $ t $ 的关系式。

c) 若某位病人的初始药物浓度为 100 mg/L，且经过 2 小时后浓度下降至 50 mg/L，请计算该药物的半衰期。

2. 曲线拟合与概率某药物在人体内的分布情况可以用以下方程描述：\[ C(t) = \frac{{A \cdot e^{-k_1 \cdot t}}}{{1 + k_2 \cdot t}} \]其中，$ C(t) $ 为药物浓度，$ t $ 为时间，而 $ A $，$ k_1 $，$ k_2 $ 均为常数。

某研究小组通过实验得到了一组药物浓度的数据，并希望通过曲线拟合来估计未知的参数值。

请回答以下问题：a) 解释方程中各个参数的物理含义，并说明其单位。

b) 利用已有的实验数据，通过最小二乘法拟合曲线，求解未知参数的数值，并给出拟合的曲线方程。

c) 对于拟合得到的曲线方程，若药物浓度 $ C(t) $ 达到峰值后开始下降，在什么条件下浓度可以收敛到接近零的稳定值？3. 概率与统计某医院对一种特定疾病的诊断准确率进行了研究。

根据数据统计，一个人真正患有该疾病的概率为 0.05，而经过医院的诊断，诊断结果显示该人患有该疾病的概率为 0.98。

进一步，研究还发现该医院通过这种诊断方法错误地将一些没有该疾病的人诊断为患有该疾病，错误率为 0.03。

请回答以下问题：a) 若一个人在该医院被诊断患有该疾病，那么他真正患有该疾病的概率是多少？b) 若一个人在该医院被诊断不患有该疾病，那么他实际上可能患有该疾病的概率是多少？c) 利用统计学相关知识，你认为在这种情况下，该医院的诊断方法的可靠性如何评价？有何改进的建议？4. 误差分析与可行性研究某医疗设备用于测量患者体内某种物质的浓度，设备测得的浓度值与实际浓度存在误差。

医用高数精选习题(含答案)

医用高数精选习题(含答案)高等数学第1-3章一、求下列各极限1.求极限$\lim\limits_{2x\to1}\tan\dfrac{3(x-1)}{x}$；2.求极限$\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{x+1}{x^2-1}$；3.求极限$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\ln\sin x$；4.求极限$\lim\limits_{2x\to(\pi-2x)}\dfrac{\cosx}{\ln(1+x^2)}$；5.当$x\to0$时，$\ln(1+x)-(ax^2+bx)$是$x^2$的高阶无穷小，求$a$，$b$的值；6.求极限$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1+\tan x-\sqrt{\cos2x}}{x^3}$；7.求极限$\lim\limits_{x\to0}(\sin x+\cos x)$；8.求极限$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}$。

二、求下列各函数的导数或微分1、求函数$y=\cos x\cdot\ln\tan x$的导数；2、设$y=x\arcsin\dfrac{1}{\tan^2x}$，求$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$；3、求$y=f(2(1-x)e^x)$的导数，其中$f(u)$可导；4、设$y=\ln\dfrac{\sqrt{a^2+2x}-a}{2x-a-\ln(x+x^2-a^2)}$，求$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$；5、设$y=\dfrac{2}{x^2+2}$，求$\mathrm{d}y$；6、设方程$xy-e^x+e=0$确定了$y$是$x$的隐函数，求$y''$；7、设$y=\ln(1+e^x)+\dfrac{x}{\sin x}$，求$\mathrm{d}y$；8、设$\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x+2\Delta x)-f(x)}{\Delta x^2}=\dfrac{1}{2}$，$(x\neq0)$，求$\mathrm{d}f(2x)$。

大学医用高等数学习题

习题二
第二章：一元函数微分学
1
3. 设 f(x) 在 x=x0 点处可导, 试计算下列极限.
(1) lim x0
f
(x0
2x) x
f
( x0 )
lim 2
2x0
f
(x0
2x) 2x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
( x0 )
2f
( x0 )
(2) lim x0
f
(x0) f (x0 x
x)
lim
2x0
f
(x0
x) x
-2-2x0+x03 =-2x03 +3x03 x03 =-1, x0=-1, y0=-1
切线方程: y+1=-x-1 即 x+y+2=0 法线方程: y+1=x+1 即 y=x
9
12.(5)求导数 y x x x
1 1 (x x ) y (x x x ) 2 x x
2 x x x
y
1
ey xe
y
y´=sec2(x+y)(1+y´)
[1-sec2(x+y)]·y´=sec2(x+y)
y sec2 (x y) sec2 (x y) csc2 (x y)
sec2 (x y) 1 tan2 (x y)
12
14. (3) x y=y x
两边取对数：y ln x=x ln y
lim n[ln
n
f
( x0
1 )ln n
f
( x0
)]
[ln
f
(
x0
1 n
)ln
f
( x0 )]

医药高等数学试题及答案

医药高等数学试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $ 的零点是：A. 1B. 2C. 3D. 42. 曲线 $ y = e^x $ 在 $ x = 0 $ 处的切线斜率是：A. 0B. 1C. $ e $D. $ e^2 $3. 以下哪个函数是奇函数：A. $ f(x) = x^2 $B. $ f(x) = x^3 $C. $ f(x) = x^4 $D. $ f(x) = \sin(x) $4. 以下哪个积分是发散的：A. $ \int_0^1 \frac{1}{x} dx $B. $ \int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx $C. $ \int_0^\infty e^{-x} dx $D. $ \int_0^\infty \frac{1}{x} dx $5. 矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $ 的行列式是：A. 5B. -2C. 7D. -5二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数 $ f(x) = \ln(x) $ 的导数是 ________。

2. 极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} $ 的值是________。

3. 函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 $ 的极值点是 ________。

4. 函数 $ y = \ln(x) $ 的反函数是 ________。

5. 矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $ 的逆矩阵是 ________。

三、解答题（每题10分，共30分）1. 求函数 $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 $ 的极值点和极值。

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