2-3内力计算
第二章内力与内力图详解
例：如左图，求n-n面的内力。 左半部分
Fx 0
FN FP
右半部分：
Fx 0 FN FP
左右两部分的力方向相反，但是同一内力， 因此规定内力由变形确定正负号，是标量。
§2-1 横截面上内力与内力分量
P2
P1
m
P4
P1
P2
m
P3 P2
P3
m P5
(a)
P1
y FR
m
M
C x
zm
(c)
P3
m
(b)
第二章 内力与内力图
§2-1 横截面上内力与内力分量 §2-2 轴向拉压杆的内力与内力图 §2-3 扭转圆轴的内力与内力图 §2-4 平面弯曲梁的内力与内力图 §2-5 平面刚架和曲杆的内力图
横截面上内力计算--截面法
截面法求内力步骤
❖ 将杆件在欲求内力的截面处假想的截断，取其中任一部分； ❖ 画出其受力图。所有外力，并在断面上画出相应内力； ❖ 由静平衡条件确定内力大小。
传动轴的扭矩图。
解：1)计算外力偶
MA
9549
PA n
9549 36 300
1146N.m
M B MC 350N.m；M D 446N.m
2)由外力偶分段，用截面法分别求每段
轴的扭矩即为1-，由
Mx 0
M B M x1 0 M x1 350N.m
B
C
A
350
700
446 x
D
扭矩图例2
10kN 30kN.m 20kN.m
A
2m B
10kN.m
D C
M x (kN.m)
10
A
B
20
C
支挡结构内力及变形分析
M max
E(h
u
xm
a)
1 2
ppx xm
xm 3
u
129.35 (6.57 1.97 4.05)
t xm
1 (65.081.97 3.12) 1.97 1.97
2
3
580.78 80.9
499.88kN m / m
唯实惟新 至诚致志
基坑工程 距地面x 6 1.97 0.57=8.54m
pa1 0
pa2 hKa
188 0.49 70.56kPa
② u的计算
uK p (h u)Ka
u hKa 8 0.49 2.53 (K p Ka )) (2.04 0.49)
唯实惟新 至诚致志
基坑工程
③ Ra、Q0的计算
Ea1
1 2
h2
K
a
1 2
18 82
0.49
282.2kN
Ep 2 (65.08t 3.12) t
u
M
O
0, Ep
t 3
Ea
(h
u
t
a)
0
Ep
t
1 (65.08t 3.12) t t 129.35 (6 0.57 t 4.05) 0
2
3
10.85t3 0.52t2 129.35t 352.96 0
t3 0.05t2 11.92t 32.53 0
唯实惟新 至诚致志
h h0
基坑工程
Ra
A
ΣE B
tc ⊿t t u
O
C
(K P-K a)t
Ep'
Ra A ΣE
h+u-h0 ha
t
Q0
框架结构的内力和位移计算(精)
假定： （1）平面结构假定； （2）忽略柱的轴向变形； （3）D值法考虑了结点转角， 假定同层结点转角相等
2019/3/19
27
D 值法
计算方法 1、D值——修正抗侧刚度的计算 水平荷载作用下，框架不仅有侧移， 且各结点有转角，设杆端有相对位 移 ，转角 、 ，转角 1 2 位移方程为：
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22
反弯点法
2、剪力的计算 根据假定1：
V1 j d1 j j
Vij d ij j
Vij , d ij
——第j层第I根柱的剪力及其抗侧刚度
第j层总剪力
V pj
Vpj V1 j V2 j Vmj
2019/3/19 23
反弯点法
V1 j
第j层各柱剪力为
M ( z) N B
M(z)——上部水平荷载对坐标Z力矩总和 B——两边柱轴线间的距离
N
2019/3/19 44
柱轴向变形产生的侧移
N j
任意水平荷载下柱轴向变形产生的第j层处侧移 把框架连续化，根据单位荷载法：
2 ( NN / EA)dz
N j 0
Hj
N ( H j z) / B
框架结构的内力和位移计算荷载和设计要求51计算简图计算简图计算简图计算简图计算简图52竖向荷载作用下的近似计算方法分层法分层法分层法分层法力学知识回顾分层法计算过程构件弯矩图53水平荷载作用下内力近似计算方法反弯点法反弯点法弯点法反弯点法反弯点法反弯点法反弯点法反弯点法54水平荷载作用下内力近似计算方法d55水平荷载作用下侧移的近似计算梁柱刚度比k中柱
2019/3/19
9
计算简图
二、结构构件的截面抗弯刚度 考虑楼板的影响，框架梁的截面抗弯刚度应适当提高 现浇钢筋混凝土楼盖： 中框架：I＝2I0 边框架：I＝1.5I0 装配整体式钢筋混凝土楼盖： 截面形式选取： 框架梁跨中截面： 中框架：I＝1.5 I0 T型截面 边框架：I＝1.2 I0 框架梁支座截面： 装配式钢筋混凝土楼盖： 矩形截面 中框架：I＝I0 边框架：I＝I0 注：I0为矩形截面框架梁的截面惯性矩
内力的求解方法
内力的求解方法
内力的求解在力学中是一个复杂的过程，它涉及到物体的运动、变形和应力分析等方面。
根据不同的学科和应用场景，有不同的内力求解方法。
以下是一些常见的内力求解方法:
1. 荷载法：该方法常用于计算结构的自重和外部荷载引起的内力。
其中包括单元荷载法、均布荷载法等。
2. 截面法：该方法通常用于求解静定结构和超静定结构中的内力。
其中包括截断法、代换法、平衡法等。
3. 力法：该方法适用于求解多自由度体系内的内力，包括结构自重和其他外部荷载引起的内力。
4. 位移法：该方法适用于求解两自由度体系内的内力，包括结构自重和其他外部荷载引起的内力。
5. 矩阵位移法：该方法适用于求解多自由度体系内的内力，包括结构自重和其他外部荷载引起的内力。
在实际应用中，内力的求解需要根据具体的学科和应用场景选择合适的方法。
同时，内力求解的准确性也取决于建模、计算和校验等多个环节。
结构力学 第三章 静定结构的内力计算(典型例题练习题)
作简支梁的剪力图与弯矩图。
解：求支座反力荷载叠加法平衡方程*［例题3-2-2］作外伸梁的剪力图与弯矩图。
解：求支座反力<荷载叠加法平衡方程*作外伸梁的剪力图与弯矩图。
解：求支座反力荷载叠加法平衡方程、［例题3-3-1］作多跨静定梁的内力图。
解：求支座反力荷载叠加法&［例题3-3-2］作三跨静定梁的内力图。
解：求支座反力[［例题3-3-3］作多跨静定梁的内力图。
解：求支座反力［例题3-4-1］作静定刚架的内力图解：求支座反力)［例题3-4-2］作静定刚架的内力图解：求支座反力［例题3-4-3］（作静定刚架的内力图解：求支座反力［例题3-4-4］作静定刚架的内力图解：求支座反力—［例题3-4-5］作三铰刚架的内力图解：求支座反力|［例题3-4-6］作三铰刚架的内力图解：求支座反力）［例题3-4-7］作静定刚架的内力图解：求支座反力…［例题3-4-8］作静定刚架的图解：［例题3-4-9］作静定刚架的图解：。
［例题3-4-10］作静定刚架的图解：［例题3-4-11］作静定刚架的图解："［例题3-4-12］作静定刚架的图解：［例题3-4-13］ 作静定刚架的图解：*［例题3-4-14］ 作静定刚架的图解：求支座反力［例题3-4-15］）作静定刚架的图解：［例题3-5-1］试绘制三铰拱的内力图。
拱轴方程为解：相应简支梁的反力和内力求支座反力.拱轴方程当时》00001050145105233315105233315533,75546403305055315-25693255-5507-45135-8581200-1150［例3-5-2］试求对称三铰拱在竖向均布荷载作用下的合理轴线。
解：相应简支梁的弯矩方程为水平推力合理轴线方程为合理轴线为一抛物线。
［例3-6-1］用结点法求桁架各杆的内力。
解：求支座反力解题路径：以结点为对象以结点为对象以结点为对象以结点为对象［例3-6-2］用结点法求桁架各杆的内力。
结构力学二3-静定结构的内力计算
以例说明如下
例 绘制刚架的弯矩图。 解：
E 5kN
由刚架整体平衡条件 ∑X=0 得 HB=5kN← 此时不需再求竖向反力便可 绘出弯矩图。 有：
30
20 20 75 45
40
0
MA=0 , MEC=0 MCE=20kN· m（外） MCD=20kN· m（外） MB=0 MDB=30kN· m（外） MDC=40kN· m（外）
有突变
铰或 作用处 自由端 (无m）
m
Q图
M图
水平线
⊕
⊖㊀
Q=0 处 突变值为P 如变号 无变化
有极值 尖角指向同P 有极值 有突变 M=0 有尖角
斜直线
→
↑
利用上述关系可迅速正确地绘制梁的内力图（简易法）
简易法绘制内力图的一般步骤：
（1）求支反力。 （2）分段：凡外力不连续处均应作为分段点， 如集中力和集中力偶作用处，均布荷载两端点等。 （3）定点：据各梁段的内力图形状，选定控制 截面。如集中力和集中力偶作用点两侧的截面、均 布荷载起迄点等。用截面法求出这些截面的内力值， 按比例绘出相应的内力竖标，便定出了内力图的各 控制点。
说明：
（a）M图画在杆件受拉的一侧。 （b）Q、N的正负号规定同梁。Q、N图可画在杆的 任意一侧，但必须注明正负号。 （c）汇交于一点的各杆端截 面的内力用两个下标表示，例如： MAB表示AB杆A端的弯矩。 MAB
例 作图示刚架的内力图
RB↑
←HA
VA→
CB杆：
由∑ X=0 可得： M = CD RB=42kN↑ HA=48kN←， H （左） A=6×8=48kN← 由∑M144 VA=22kN↓ 48 A=0 可得： MEB=MEC=42×3 ↑ （2）逐杆绘M图 R=126kN = 126 · m （下） B 192 MDC=0 CD杆： M =42 × 6-20 × 3 由 ∑Y=0 可得： CB MCD=48kN·m（左） =192kN· m（下） VA=42-20=22kN↓
结构力学 第三章 静定梁和静定平面钢架
２、截面法 若要求某一横截面上的内力，假想用一平面沿杆轴垂直方向将该 截面截开，使结构成两部分；在截开后暴露的截面上用力（内力）代 替原相互的约束。
对于截开后结构的两部分上，截面上的内力已成为外力，因此，
由任一部分的静力平衡条件，均可列出含有截面内力的静力平衡方程。 解该方程即将内力求出。
３、截面内力 截开一根梁式杆件的截面上有三个内力（分量），即：轴力ＦN 、 剪力ＦQ和弯矩Μ 。
dFN/dx=-qx
dFQ/dx=-qy dM/dx=Q
d2M/dx2=-qy
增量关系： DFN=-FPx
DFQ=-FPy
DM=m
１）微分关系及几何意义： dFN/dx=-qx dFQ/dx=-qy dM/dx=Q d2M/dx2=-qy （１）在无荷载区段，ＦQ图为水平直线；
当ＦQ≠０时，Μ图为斜直线;
右右为正。
ＦQ＝截面一侧所有外力在杆轴垂直方向上投影的代数和。左上为正， 右下为正。
Μ ＝截面一侧所有外力对截面形心力矩代数和。弯矩的竖标画在杆
件受拉一侧。
例3-1-1 求图（a）所示简支梁在图示荷载下截面的内力。
解：1）支座反力 ∑ΜA=0 FBy×4﹣10×4×2﹣100× (4/5)×2=0 Fby=60kN (↑) ∑ΜB=0 FAy=60kN (↑) ∑Fx= 0 FAx+100×(3/5)=0 FAx=－60kN (← ) 由 ∑Ｆy= 0 校核，满 足。
(下侧受拉)
区段叠加法求Ｅ、Ｄ截面弯矩； ΜE＝20×42/8＋120/2＝100kNm ΜＤ＝40×4/4＋120/2＝100kNm
(下侧受拉) (下侧受拉)
内力应考虑
说明：集中力或集中力偶作用点，注意对有突变的 分两侧截面分别计算。
第三章 静定结构的内力计算(组合结构)
A A A A 0 0 0 0
0 0 0 0
8 8 8 8
HC
3、求梁式杆内力 处理结点A处力
结构力学
第3章静定结构的内力计算
静定结构特性
结构力学
第3章静定结构的内力计算
静定结构特性 静定结构特性 一、结构基本部分和附属部分受力影响
A
F1
B
C
F2
D
E
F3
F
如只有 F1 作用。则Ⅱ、Ⅲ无内力和反力； Ⅰ Ⅱ Ⅲ 如只有 F1 作用。则Ⅱ、Ⅲ无内力和反力； 如只有 F1 作用。则Ⅱ、Ⅲ无内力和反力； 如只有 F3 作用。则Ⅰ、Ⅱ均有内力和反力； 如只有 F3 作用。则Ⅰ、Ⅱ均有内力和反力； 如只有 F3 作用。则Ⅰ、Ⅱ均有内力和反力； 如只有 F2 作用。则Ⅲ无内力和反力，但Ⅰ有内力和反力。 如只有 F2 作用。则Ⅲ无内力和反力，但Ⅰ有内力和反力。 特性一、静定结构基本部分承受荷载作用，只在基本部分上产 如只有 F2 作用。则Ⅲ无内力和反力，但Ⅰ有内力和反力。 生反力和内力；附属部分上承受荷载作用，在附属部分和基本 部分上均产生反力和内力。
第3章静定结构的内力计算
q = 1 kN/m A FR Ax FR Ay FNDA F C FNFD VC
8 8 8 8
M M图 图 （ m M图 （kN· kN· m） ） M 图 （kN· m） （kN· m） F 图 FQ 图 Q （ ） FkN 图 （ kN Q ） FkN 图 （ Q ） （kN） F 图 FN N图 （ ） FkN （ kN ） N图 FkN N图 （ ） （kN）
结构力学
第3章静定结构的内力计算
二、平衡荷载的影响
F C B D
A B q C
建筑力学与结构第三章
V=12KN/m 2 2 3m
1.5m
B RA =15KN RB =29KN RB
P=8KN
V1 M1
根据1-1截面左侧的外力计算V1 、 M1
V1=+RA-P =15-8 =+7KN
根据1-1截面右侧的外力计算V1 、 M1
RA
M1 =+RA· (2-1.5) =15· 0.5 =+26 KN· 2-P· 2-8· m
求图示简支梁1-1、2-2截面的剪力和弯矩. P=8KN V=12KN/m
2 1
A
2m 1.5m
1
2 3m
B
1.5m
RA
1.5m
解：由 M B 0得 由 M A 0得
RB
RA =15KN RB =29KN
请思考： RB还可如何简便算出？
P=8KN
A RA
2m 1.5m
1 1 1.5m
M
各种形式荷载作用下的剪力、弯矩图
载荷情况
无载荷（q=0）
剪力图
V﹥0 V﹤0
弯矩图
V﹥0 V﹤0 尖角 突变m V﹤0 V﹥ 0
均布载荷（q=c）
V﹤0 V﹥0
P m
C
突变P C 无变化
C
简易法绘制内力图的一般步骤：
（1）求支反力。 （2）分段：凡外力不连续处均应作为分段点， 如集中力和集中力偶作用处，均布荷载两端点等。 （3）定点：据各梁段的内力图形状，选定控 制截面。如 集中力和 集中力偶作用点两侧的截面、 均布荷载起迄点等。用截面法求出这些截面的内力 值，按比例绘出相应的内力竖标，便定出了内力图 的各控制点。 （4）联线：据各梁段的内力图形状，分别用 直线和曲线将各控制点依次相联，即得内力图。
三角形荷载双向板肋的梁内力计算2(当0.50≤b除a≤1.25时)
AB肋梁内力计算：参照《水池结构设计指南》
内力公式 标准值 单位 14.73 kN/m 14.73 kN -20.03 kN.m 12.96 kN.mq 来自 0.045b q a
2
qb3 RA RB 0.0075 a
qb4 M A M B 0.0017 a
qb4 M max 0.0011 a
设计值（分项系数1.27见《水池结构设计指南》） 62.35 86.59 77.99
194.01 -238.76 3.00 135.23
设计值（分项系数1.27见《水池结构设计指南》） 62.35
86.59
98.16
154.44
-144.74
-166.92
92.97
BC肋梁内力计算：
内力公式 标准值 单位 49.09 kN/m 68.18 kN/m 61.41 kN
q1' 0.15
b q a
2
1 b ' q2 ( )qb 2 4a
RB 1qa2
RC 2qa2
M C 3qa3
y 4a
152.76 kN -188.00 kN.m 2.36 m 106.48 kN.m
77.29 kN
121.61 kN
-113.97 kN.m
-131.44 kN.m
M 0 10 qa3
73.21 kN.m
池壁高度方向尺寸 池壁宽度方向尺寸 当0.50≤b/a≤1.25时，采用设计手册表3.2.2-3
三角形荷载标准值 第二版）表3.2.2-3
构设计指南》
设计值（分项系数1.27见《水池结构设计指南》） 18.70 18.70 -25.44 16.46
有限元分析梁单元内力计算
1.385 0 3.462 1.385 0 3.462 0 0 0
0 252 0 0 252 0 0 0 0
3.462 0 11.541 3.462 0 5.711 0 0 0
K
103
1.385 0
0 252
3.462 0
253.385 0 0 253.385
3.462 3.462
py3 m3
px3
6.25
5.208
py3 m3
6. 引入约束条件, 构成总体方程
2 px1 p y1
2.5 m1 3
4.25
1.385
0
3.462
103
1.385 0
0 252 0 0 252
3.462 0
11.541 3.462
0
1.385 0
0
0 1.385 3.462 0 1.385 3.462
[
K112
]
[
K
2 23
]
103
0 252
3.462 0
11.542 0
0 252
3.462 0
5.771 0
0 1.385 3.462 0 1.385 3.462
0 3.462 5.771 0 3.462 11.542
3. 单元刚度矩阵的座标变换
求：每根梁的内力。
P2 1kN P1 4kN
2.5m
解：
1.建座标系，对梁单元各节点编号 如图所示。
2.5m
2单元，三节点系统(即自然划分。也可以在集中 力作用处设一节点)。由于每一节点有3个自由度 ，故系统有9个自由度。总刚度矩阵[K]为9×9阶
y 2
5m
②3
单层单跨厂房排架结构设计
单层单跨厂房排架结构设计 一设计内容和条件 某厂装配车间，该车间为单跨厂房，柱距距为6米,厂房纵向长度为96米,跨度为27米，15/3t 中级工作制吊车二台，牛腿面标高9.00米，柱顶标高为13米。
设计条件1屋面活荷载：2/5.0M KN q =,不考虑积灰荷载，雪荷载2/25.0M KN q = 2基本风压: 20/40.0M KN W = 3屋面做法三毡四油：2/35.0M KN20mm 水泥砂浆找平层2/4.0M KN 合计21/75.0M KN g g k ==∑屋面活荷载：2/5.0M KN q =屋面板采用G410标准图集6.15.1⨯m 预应力混泥土屋面板（卷材防水） 允许外荷载:2/5.2M KN（板自重：22/40.1M KN g k = 灌缝重：23/1.0M KN g k =）大型屋面板(包括填缝2/50.1M KN屋架:屋架自重24/133M KN g k = 则KN g g g G k k k k k 75.2485.0g 2)(43211=⨯+⨯⨯++=厂房跨度柱距 4采用370mm 厚烧结粘土空心砖(重度2/8M KN ）吊车梁以上设高侧窗,洞口尺寸为8.12.4⨯m,吊车梁以下设低侧窗，洞口尺寸42.4⨯⨯高宽m ，圈梁设在柱顶处。
5排架柱:混泥土C30 钢筋：纵向受力钢筋HRB400级 箍筋：HPB235级 柱下独立基础：混泥土：C20，钢筋：HRB335级 6吊车：Q15/3t 桥式吊车 中级工作制吊车梁：先张法预应力混泥土吊车梁，自重根/5.47KN 轨道及联结重量M KN /5.1 桥跨：m L k 5.25= 桥宽:m B 6400= 轮距:mm K 5250=小车重：KN g 74= 最大轮压：KN P 195max = 最小轮压：KN P 60min =7柱高：柱顶H=13m 檐口=15.1m 屋顶=17。
35m 二荷载及内力计算 1柱截面尺寸的确定Q 在15～20t 之间:m H m k 1210<<，由于是单跨结构,结构形式对称，因此A 、B 柱截面尺寸相同。
材料力学第二章+拉压
FN4
20kN
第二章 轴向拉伸和压缩
§2.2 内力计算
40kN A B 300 50
55kN 25kN C 500 D 400
20kN E
FN
(kN) 10
FN1=10kN （拉力） FN2=50kN （拉力） FN3= - 5kN （压力） FN4=20kN （拉力）
+
20
+
5
FNmax 50( kN ) 发生在BC段内任一横截面上
寸。）
第二章 轴向拉伸和压缩 圣维南原理：
§2.3 拉压杆的应力
在静力等效条件下，不同的加载方式只对加载处附近区 域的应力分布有影响，离开加载处较远的部分，其应力分布 并没有显著的差别。
第二章 轴向拉伸和压缩
§2.3 拉压杆的应力
例题2-3 试求此正方 形砖柱由于荷载引起的横 截面上的最大工作应力。 已知F = 50 kN。
FN
O
x
第二章 轴向拉伸和压缩
§2.2 内力计算
例题1
一等直杆其受力情况如图所示， 作杆的轴力图.
40kN A 600 B 300
55kN 25kN C 500 D 400
20kN E
第二章 轴向拉伸和压缩
40kN
§2.2 内力计算
55kN 25kN
300
20kN D 400
E
A
600
B
C
500
§2.2 内力计算
1、截面法
截开 在求内力的截面m-m 处， 假想地将杆截为两部分. 代替 取左部分为研究对象。弃去 右部分。弃去部分对研究对 象的作用，以截开面上的内 m F m FN m
F
m
内力计算方式
内力计算为简化计算，考虑下面5种受荷情况：①恒载作用②恒载满跨布置③与地震作用相组合的重力荷载代表值计算④风荷载作用（从左到右，或从右到左）⑤横向水平地震作用（从左到右，或从右到左）。
对于①②③三种情况，采用迭代法计算，④⑤两种情况，采用D 值法计算。
6.1 恒荷载标准值作用下的内力计算（1）恒载引起的屋面梁的固端弯矩和不平衡弯矩g ww B A M ，=（-3×62/92×177.3-3×62/92×177.3-（1/12）×1.39×92）kN ·m=-482.2kN ·m=g w w A B M ，g w w B C M ，=g w w C B M ，=482.2kN ·m（2）标准层楼面的固端弯矩：gAb M =（-3×62 /92×140.1-3×62 /92×140.1-（1/12）×7.27×92）kN · m=-422.7kN · m g w w B C M ，=g w w C B M ，=422.7kN ·m（3）恒载引起的节点不平衡弯矩gAbM =-482.2kN ·m Bw M =0Cw M =482.2kN ·mb A M =-422.7kN ·m b B M =0b C M =422.7kN ·m叠加过程与内力结构图略。
6.2活荷载标准值作用下的内力计算活荷载与恒载的比值小于1，故可采取满跨布置，求得的内力在支座处与按最不利荷载位移法求得的内力很相近。
可直接进行内力组合，梁的跨中弯矩应乘以1.2的系数予以增大。
（1）屋面梁处gw w B A M ，=-（3×62/92）×60-（32×6/92）×60 =-120kN ·m=gw w A B M ，g w w C B M ，=g w w B C M ，=120kN ·m标准层楼面梁处；gAbM =-120kN ·m g w w C B M ，=gw w B C M ，=120kN ·m活荷载引起的固端不平衡弯矩w A M =-120kN ·mw B M =0b A M =-120kN ·m Bb M =0 Cb M =120kN ·m叠加过程与内力结构图略。
内力与内力图
常见载荷作用下剪力图和弯矩图的特点
若一段梁上无载荷（即q=0），则剪力图为水平直线，弯 矩图为倾斜直线。剪力为正时，弯矩图为向右上方倾斜的 直线，剪力为负时则弯矩图向右下方倾斜，剪力为零时弯 矩图成为水平直线。 若一段梁上作用着均布载荷，则剪力图为斜直线，弯矩图 为二次抛物线。若均布力方向向下，则剪力图为向右下方 倾斜的直线，弯矩图为开口向下的抛物线，抛物线的顶点 的剪力等于零的截面。 在集中力作用的截面上，剪力图有突变，变化值等于该集 中力的大小，弯矩图上由出现折角。 在集中力偶作用的截面上，剪力图无变化，弯矩图上有突 变，变化值等于该集中力偶的力偶矩的大小。
2
ql
五 弯矩、剪力与载荷集度间的关系
在例3中，将弯矩方程对x求一阶导数，得
dM qx F Q dx
将剪力方程对x求一阶导数，得
dF Q dx
q
也就是说，弯矩方程对x的一阶导数等于剪力方程；剪力方程对x的一阶导数 等于载荷集度。这一关系并非只存在于该问题中，而是普遍成立的一个规律。 根据导数的几何意义，以上关系表明：弯矩图上某点的切线的斜率，等于对 应截面上的剪力；剪力图上某点切线的斜率等于对应截面上的载荷集度。根 据这一规律，还可得到常见载荷下剪力图和弯矩图的特点。
例4
例4 外伸梁受力如图所示，试画出其剪力图和弯矩图。
解：（1）根据梁的平衡条件求出梁的支座反力。
FA
qa 4
FB
3qa 4
例1 杆件受力如图所示,求指定截面上的轴力并画出轴力图。
• • • • • • • • • • • • • • 解：（1）用截面法求内力。 沿截面1-1截开，由左侧一段的平衡，有 FN1+10=0 所以 FN1=-10（kN） 沿截面2-2截开，由左侧一段的平衡，有 FN2-40+10=0 所以 FN2=40-10=30（kN） 沿截面3-3截开，由右侧一段的平衡，有 -FN3+20=0 所以 FN3=20（ kN ） （2）根据计算结果作出轴力图。 （3）讨论：由以上计算过程可以看出，将 平衡方程中的外力都移至等号右端，则有 FN=ΣFie 也就是说，横截面上的轴力，等于其左侧 （或右侧）一段杆上所有外力的代数和。掌 握这一关系，有利于快速计算轴力并画出轴 力图。
内力计算的基本方法
内力计算的基本方法
内力是武术中非常重要的概念，它是指通过锻炼身体和呼吸调节，使身体内部的能量得到积累和释放的能力。
内力的运用可以使武者的攻击力、防御力和身体素质得到提升，因此在武术训练中，内力的培养是非常重要的。
内力的计算方法主要有以下几种：
1. 呼吸法：呼吸是内力的重要来源，通过深呼吸和缓慢呼气，可以使身体内部的氧气得到充分的供应，从而提高身体的能量水平。
在武术训练中，常常会有专门的呼吸练习，如深呼吸、腹式呼吸等，这些练习可以帮助武者提高内力水平。
2. 动作练习：内力的积累和释放需要通过身体的动作来实现，因此在武术训练中，动作练习是非常重要的。
通过反复练习各种动作，可以使身体的各个部位得到锻炼，从而提高内力水平。
3. 内功练习：内功是内力的重要组成部分，它包括了身体的各种能量，如气、血、精等。
在武术训练中，常常会有专门的内功练习，如太极拳、气功等，这些练习可以帮助武者提高内力水平。
4. 精神调节：精神状态对内力的积累和释放也有很大的影响。
在武术训练中，常常会有专门的精神调节练习，如冥想、放松等，这些练习可以帮助武者保持良好的精神状态，从而提高内力水平。
内力的计算方法是多种多样的，但无论采用哪种方法，都需要武者付出大量的努力和时间。
只有通过不断的练习和锻炼，才能够提高内力水平，从而在武术比赛中取得好成绩。
第二章 杆件的内力与内力图
第二章 杆件的内力与内力图§2-1 杆件内力的概念与杆件变形的基本形式一、杆件的内力与内力分量内力是工程力学中一个非常重要的概念。
内力从广义上讲，是指杆件内部各粒子之间的相互作用力。
显然，无荷载作用时，这种相互作用力也是存在的。
在荷载作用下，杆件内部粒子的排列发生了改变，这时粒子间相互的作用力也发生了改变。
这种由于荷载作用而产生的粒子间相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。
需要指出的是：受力杆件某横截面上的内力实际上是分布在截面上的各点的分布力系，而工程力学分析杆件某截面上的内力时，一般将分布内力先表示成分布内力向截面的形心简化所得的主矢分量和主矩分量进行求解，而内力的具体分布规律放在下一步（属于本书第二篇中的内容）考虑。
受力杆件横截面上可能存在的内力分量最多有四类六个：轴力N F 、剪力y Q F )(和z Q F )(、扭矩x M 、弯矩y M 和z M 。
轴力N F 是沿杆件轴线方向（与横截面垂直）的内力分量。
剪力y Q F )(和z Q F )(是垂直于杆件轴线方向（与横截面相切）的内力分量。
扭矩xM 是力矩矢量沿杆件轴线方向的内力矩分量。
弯矩y M 和z M 是力矩矢量与杆件轴线方向垂直的内力矩分量。
二、杆件变形的基本形式实际的构件受力后将发生形状、尺寸的改变，构件这种形状、尺寸的改变称为变形。
杆件受力变形的基本形式有四种：轴向拉伸和压缩、扭转、剪切、弯曲。
1、轴向拉伸和压缩变形轴向拉伸和压缩简称为轴向拉压。
其受力特点是：外力沿杆件的轴线方向。
其变形特点是：拉伸——沿轴线方向伸长而横向尺寸缩小，压缩——沿轴线方向缩短而横向尺寸增大，如图4-1所示。
轴向受拉的杆件称为拉杆，轴向受压的杆件压杆。
图2-1 图2-2 土木工程结构中的桁架，由大量的拉压杆组成，如图2-2所示。
内燃机中的连杆、压缩机中的活塞杆等均属此类。
它们都可以简化成图2-1所示的计算简图。
2、剪切变形工程中的拉压杆件有时是由几部分联接而成的。
材料力学第二章内力计算(3课时合并)
物
理
FR
关 系
静
M
力
关
系
观察变形 提出假设
变形的分布规律
应力的分布规律
建立公式
Mechanics of Material
Chapter02 Calculation of internal force
教学要求 了解杆件内力的普遍情况 掌握拉压、扭转、弯曲的内力计算方法，熟悉截 面法的应用，绘制内力图
x
Mb /l
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算
y
q
A xC
FAy
l
FS q l / 2
B 例5 简支梁受均布载荷作用
x
FBy 解： FAy＝ FBy＝ ql/2
F S x ＝ q l / 2 q x 0 x l
x M x ＝ q lx / 2 q x 2 / 2
变形后的轴线
变形后轴线为对称面内的平面曲线
用梁轴线代替梁
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算
梁的力学模型的简化 梁的简化 取梁的轴线代替梁 载荷类型 支座的类型
静定梁的基本形式 简支梁(simply supported beam) 外伸梁(overhanging beam) 悬臂梁(cantilever beam)
Mechanics of Material
Chapter02 Calculation of internal force
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算
Mechanics of Material
弯曲变形的内力计算 关于对称弯曲
纵向对称面
具有纵向对称面
2-5-3主梁内力计算
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5.5.1 横隔梁的内力影响线
如图所示，当桥梁在跨中有单位荷载P=1作用时，各 主梁承受的荷载为Ri（i=1，2，…，n）。由力的平衡条 件，可求出横隔梁任意截面r的计算公式。
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a ( m0r − mcr ) 人群荷载： S r = qr m Ω + y ∑ i cr 2
式中：Sq、Sr——分别为汽车和人群荷载作用下的作用效应标 准值（弯矩或剪力）； (1+μ)——汽车荷载的冲击系数； ξ——多车道汽车荷载横向折减系数； m0、mc——分别为支点、跨中截面的横向分布系数； Pk、qk——分别为车道荷载的集中荷载、均布荷载的标 准值； qr——人群荷载的标准值； Ω——车道均布荷载、人群荷载对应的内力影响线面 积； mpk——与车道荷载的集中荷载对应的横向分布系数； ypk——与车道荷载的集中荷载对应的影响线竖标，一般 取相应影响线区域的峰值。
a ( m0q − mcq ) Sq = (1 + µ ) ξ PK ( mpk ypk )max + (1 + µ ) ξ qK mcq Ω + yi ∑ 2
n
人群荷载：
a ( m0r − mcr ) Sr = qr mc r Ω + yi ∑ 2
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简支梁内力包络图
0 l /4 l /2 l
弯矩包络图
3l/4
l
Qmax
M max
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3）塑性铰与理想铰的区别：前者能承受弯矩，并只 能沿弯矩作用发生一定限度的转动，而后者则不能 承受弯矩，但可自由转动。
4）塑性内力重分布的概念：塑性铰的出现将引起构 件各截面间的内力分布发生变化的现象，称为塑性内 力重分布。
5）塑性内力重分布的经济效应：按一般力学方法计 算出来的内力，其跨中与支座截面的弯矩比值为M1： MB＝1：1.2，经过塑性内力重分布后，使其跨中与 支座截面的弯矩比值改变为M1：MB＝1：1，从而 利用了跨中截面潜在的承载能力而取得经济效益。
项目二：肋梁楼盖设计 任务1 结构平面布置方案 任务2 计算简图及荷载计算 任务3 内力计算
任务4 正截面配筋计算
任务5 斜截面配筋计算 任务6 楼盖设计与构造要求 任务7 楼梯 单向板楼盖设计实例
双向板楼盖设计实例
任务3 单向板楼盖的内力计算
1.内力计算两种方法
钢筋混凝土连续板、梁的内力计算方法有两种： 即弹性计算法和塑性计算法。
剪力计算 : V ( g q )l n
0.4
0.5
0.5
0.5
0.6
－0.6
－0.5
－0.5
－0.5
－0.4
连 续 梁 的 剪 力 系 数
5、内力值的确定
1）单向板中内力值的确定
⑴支承在次梁或砖墙上的连续板，一般可按考虑塑性内 力重分布的方法计算。 ⑵板一般均能满足斜截面抗剪要求，设计时可不进行受 剪承载力计算。 ⑶一般规定，对四周与梁整体连接时，其中间跨板带的 跨中截面及中间支座截面的计算弯矩可折减20％，其他 截面则不予减少。
1）按弹性理论方法计算是假定结构构件为理想弹性材料，选 取计算简图后，其内力按结构力学的原理分析计算，一般 常用力矩分配法来求连续板、梁的内力。为计算方便，对 于常用荷载作用下的等跨连续梁板，均已编制成计算表格 可直接查用。 其计算结果比实际情况偏大，可靠度大。但其求得的支 座弯矩远大于跨中弯矩，这使得支座配筋拥挤，构造复杂， 施工不便。
4、塑性计算法
塑性铰与塑性内力重分布
1）塑性铰的概念：在跨中弯矩较大 的截面形成一个塑性变形集中的区域， 使截面两侧产生较大的相对转角，这 个集中区域在构件中的作用，犹如一 个能够转动的“铰”，称为塑性铰。 它是塑性变形集中发展的结果。 2）塑性铰的特点：多跨连续梁是超静定结构，由于存在多余 约束，构件某一截面出现塑性铰交不会导致结构立即破坏，还 可以继续承受增加的荷载，直到不断增加的塑性铰使结构成为 几何可变体系，才丧失其承载能力。
学 而 不 思 则 罔 ， 思 而 不 学 则 殆 — 孔 子
2、适用范围
一般工业与民用建筑现浇肋梁楼盖中的板和次梁， 通常采用塑性计算法。（因其设计方法简单，节约 钢材，方便施工）。 下列情况下应按弹性理论计算方法进行设计： 1、直接承受动力荷载和重复荷载的结构 2、在使用阶段不允许出现裂缝或对裂缝开展有较 严格限制的结构。 3、处于重要部位，要求有较大承载力储备的结构， 如肋梁楼盖中的主梁。 4、处于侵蚀性环境中的结构。 （因为塑性内力重分布理论以形成塑性铰为前提， 在使用阶段构件的裂缝和变形均较大）。
学 而 不 思 则 罔 ， 思 而 不 学 则 殆 — 孔 子
2）塑性计算法是从结构的实际受力情况出发，考虑材料塑 性变形引起的结构内力重分布来计算连续梁内力的方法， 这样不仅可消除内力计算与截面承载力计算之间的矛盾 （弹性计算时，内力按匀质弹性材料分析，而截面承载 力计算则采用的是塑性理论），而且还可以获得节省材 料、方便施工的技术经济效果。 采用塑性理论方法进行内力计算，其设计方法简单， 可以节约钢材，克服支座处钢筋拥挤的现象，更方便施 工。
2、次梁内力值的确定 次梁的内力计算一般按塑性理论计算方法，计算其弯矩与 剪力。 3、主梁内力值的确定 ⑴因主梁是楼盖中的重要构件，需要有较大的承载力储备， 并且在使用阶段挠度及裂缝开展不宜过大，故主梁的内力计 算一般按弹性理论计算方法。 ⑵按弹性理论方法计算主梁内力时，其计算跨度取支座中 心线间的距离，求得的支座弯矩是在支座中心（柱中心）的 弯矩值，但此处因主梁与柱节点整体连接，主梁的截面高度 显著增大，故并不是危险截面，最危险的支座截面应在支座 边缘处，故主梁支座弯矩值应取支座边缘的计算弯矩Mb： Mb'=Mb-V0×b/2 式中Mb——支座中心处的弯矩 V0——该跨按简支梁计算 的支座剪力 b——支座的宽度
3、弹性法计算法——活荷载的最不利组合
一、活荷载最不利的布置原则：
1）求某跨跨中最大正弯矩时，应在该跨布置活荷载，然后隔跨 布置活荷载； 2）求某跨跨中最小弯矩（最大负弯矩）时，应在该跨不布置活 荷载，而在相邻两跨布置活荷载，然后向其左右每隔一跨布 置活荷载； 3）求某支座最大负弯矩时，应在该支座左右两跨布置活荷载， 然后隔跨布置活荷载。 4）求某支座边最大剪力时，应在该支座左右两跨布置活荷载， 然后隔跨布置活荷载，与支座最大负弯矩的布置相同。
非 学 无 以 广 才 ， 非 志 无 以 成 学 | 诸 葛 亮
弯矩调幅法
1、弯矩调幅法的概念：考虑塑性内力重分布，设计时， 将支座截面弯矩MB高速降低为MB’（满足平衡条件）， 经过综合分析计算再得到各连续梁各截面的内力值， 这种做法称为弯矩调幅法。 2、弯矩调幅法应遵循的原则 ①要求材料具有良好的塑性性能。 ②为保证在调幅截面能够形成塑性铰，且具有足够的 转动能力，故调幅截面的相对受压区高度系数就在 0.1～0.35之间。 ③为避免塑性铰出现过早，转动幅度过大，致使梁的 裂缝宽度及变形过大，应控制支座截面的弯矩调幅系 数，以不超过20％为宜。 ④为确保结构安全可靠，要求连续梁（板）各跨高速 后的两个支座弯矩的平均值加上跨中弯矩的绝对值之 和不得小于相应的简支梁跨中弯矩，任何控制截面的 弯矩值不宜小于简支弯矩的1/3。
二、荷载的最不利组合 满布的恒荷载+最不利的活荷载布置。
Байду номын сангаас
五跨连续梁求最不利内力时荷载布置图
弹性法计算法——内力包络图
1、内力包络图的概念
将各种内力组合情况下的内力图，画在同一张图上，形 成内力叠合图，其外包线称为“内力包络图”。
2、内力包络图的目的
合理确定纵向受力钢筋弯起和截断的位置，也可检查构 件截面承载力是否可靠，材料乃是是否节省。
塑性计算法是指采取弯矩调幅法将支座弯矩调低后进行配筋的 一种经济配筋法。适用于板和次梁，但不适用于主梁。
弯矩计算 : M ( g q )l0
梁
板
2
1 11 1
14
梁
1 16
1 11 1
14
1 16
板
1 11
1 16
1 16
1 16
1 11
连 续 板 、 梁 的 弯 矩 系 数