理论力学7-5-碰撞

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第 7章
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第 7章
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质点系动力学
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质点系动力学
1. 完全弹性碰撞 e = 1，T = 0，碰撞过程中没有动能损失。 2. 碰撞过程中，有一物体始终不动
2 mm T 1 1 2 (1 e 2 )v12 1 e T 2 m1 m2 1 m1 / m2 0
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第 7章
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第 7章
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质点系动力学 质点系动力学 质点系动力学
质点系动力学
由质心运动定理得：
S n m(u Cn v Cn ) mv h(2r h) / r S m(u C v C ) m vh 3r
A
C
B
I
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例 7-5-5
用质心运动定理 2m(vC 0) I vC
v1
m2
v2
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e
u2 n u1n ur v1n v2 n vr
恢复系数等于碰撞后相对分 离的速度和碰撞前相对接近的 速度之比
例 7-5-1
联立求解可得：
u1 v1 , u2 v2 u1n [(m1 em2 )v1n m2 (1 e)v2 n ] /(m1 m2 ) u2 n [m1 (1 e)v1n (m2 em1 )v2 n ] /(m1 m2 )
第 7章
质点系动力学

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碰撞冲量
第 7章 F(t) 压缩阶段 恢复阶段
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质点系动力学
I1 I2 t1 碰撞冲量： I 压缩冲量： I1 恢复冲量：I 2 t0 t2 t

t2
t1
t0
F (t )dt
F (t )dt F (t )dt
返回
t1 t2
t0
6
I mvD 0 I P 1 1 ml 2 ωAC 0 l ( I P ) 12 2
P
结果分析 v A
再以BC杆为研究对象 mvE 0 P
1 1 ml 2BC 0 lP 12 2
C
vE
BC B
E
vD
vO (质心速度)
vC
P
vB
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vE
小结


基本概念 碰撞问题的基本假设 恢复系数 撞击中心 基本理论 动量、动量矩定理的积分形式 基本方法 求解碰撞问题需使用定理的积分形式， 并忽略常规力 如何补充恢复系数方程
n dLA ρi Fi ( e ) Βιβλιοθήκη Baidut i 1
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质点系动力学
LA2 LA1 i Fi ( e ) dt
t2 i 1 t1
n
对碰撞问题
LA 2 LA1 i I i( e ) M A ( I ( e ) )
i 1 n
质系在碰撞前后对定点的动量矩的改变量 等于作用在质系上的所有外碰撞冲量对该 点的主矩。
碰撞实例
第 7章
锻压与打桩 体 育 运 动 中 的 碰 撞
质点系动力学
7.5 碰撞
2013年11月28日
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汽车碰撞 试验
碰撞实例
第 7章 第 7章
碰撞的基本特征
碰撞：在极短的时间内，以极大的碰撞力使物 体发生有限量的动量传递和能量转化

速度发生很大的变化
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第 7章
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质点系动力学 质点系动力学
v Cn v sin v C v cos
u Cn 0
解
第 7章
例 7-5-5
杆AC = BC = l，质量均为m，C为光滑铰， 静止放在水平面上，A端受冲量I，求此后C 铰的速度。
u C r
sin h(2r h) / r cos (r h) / r
质点系动力学
2005年7月4日， 撞击坦普尔1号彗星， 号彗星 370kg撞击器， 10 km/s
碰撞力在极短的时间内急剧变化——使用 碰撞冲量

高速碰撞
机械能之间以及机械能和其它形式的能量 之间急剧转化，一般伴有能量损失，机械能 不守恒
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碰撞问题的模型与基本假设

积分形式的动量和动量矩定理
7 ml 9 u2 S , 7m
7 ml 2 S 7
S Ax
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例 7-5-4
突加约束
第 7章
例 7-5-4
解
沿水平面作纯滚动的均质圆盘的质量为m，半 径为r，其中心C以匀速v前进。圆盘突然与一 高度为h(h < r)的凸台碰撞。设碰撞为完全非弹 性，求圆盘碰撞后的角速度及碰撞冲量。
碰撞时圆盘的运动发生突变。碰撞前后圆盘对 A轴的动量矩守恒： 碰撞前 LA LC + mvC rCA 碰撞后
m2
v2
需补充一个方程后求解。
u1
m1

u2
n
I1 m1 (u v1n ) I1 m2 (u v2 n )
I 2 m1 (u1n u ) I 2 m2 (u2 n u )
v1n v2 n I1 ( 1 1 ) m1 m2
u1n u2 n I 2 ( 1 1 ) m1 m2
第 7章
d(mvC ) R( e ) dt
muC mvC R ( e ) dt I ( e )
t1 t2
局部变形刚体模型 只研究碰撞前后运动状态的变化，使用定理 的积分形式 碰撞过程中碰撞力很大，常规力可忽略 碰撞过程时间极短，物体位移忽略不计
质系在碰撞前后动量的改变量等于作用 在质系上的所有外碰撞冲量的主矢量。
质点系动力学
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质点系动力学
例 7-5-2
解
第 7章
例 7-5-2
Sox S cos ( mal 1) J Soy S sin

讨论
刚体在碰撞冲量作用下作定轴转动，作受力图 由对O轴的动量矩定理的积分形式得
Sl cos
J
质点系动力学
质点系动力学
质心C的速度
ucx Sal cos , ucy 0 J
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第 7章
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第 7章
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质点系动力学 质点系动力学 质点系动力学
质点系动力学

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例 7-5-3
(1) 求碰撞后两杆的速度 OA杆作定轴转动，AB杆作平面运动。
ml 21 S Ax l 对OA杆：1 3
mu2 S S Ax 对AB杆： S 0 Ay 1 ml 2 ( S S ) 1 l Ax 2 12 2
1
积分形式的动量和动量矩定理
第 7章 对质心的动量矩定理
LC 2 LC1 M C ( I ( e ) )
例 7-5-1 小球的斜碰撞
第 7章 质量为m1、速度为v1的光滑小球与质量为m2、 速度为v2的光滑小球相撞。求碰撞后两小球的 速度u1和u2。

u1 m1 v1 u2
n
定轴转动的刚体在碰撞冲量作用下的动力 学方程为
u1n ev1n , u2 0
两球法向 速度交换
C
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按弹性筛选钢球
第 7章 第 7章
碰撞前后动能的变化
2 T1 1 m1v12 1 m2 v2 2 2 2 T2 1 m1u12 1 m2 u2 2 2
考虑正碰撞
在碰撞过程中，动能的损失为
mm T T1 T2 1 1 2 (1 e 2 )(v1 v2 ) 2 2 m1 m2
J z ( 2 1 ) M z ( I ( e ) )
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第 7章
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第 7章
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质点系动力学 质点系动力学 质点系动力学
质点系动力学
平面运动的刚体在碰撞冲量作用下的动力 学方程为
muCx mvCx I muCy mvCy I
(e) x (e) y
m2
v2
J C (2 1 ) M C ( I ( e ) )
解
第 7章
思考题
如何测量恢复系数 ？
n A B
h1 h2 v1 u1
质点系动力学
– 塑性碰撞(完全非弹性碰撞) e = 0 u1n u2 n ( m1v1n m2v2 n ) /(m1 m2 ) – 完全弹性碰撞 e = 1 当 m1 = m2 时: u1n = v2n , u2n = v1n – 球与固定面碰撞 m2 = , v2 = 0
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例 7-5-1
解
第 7章
恢复系数

碰撞前后质系在法向上的动量守恒，两小球各 自在切向上动量守恒：
m1v1n m2 v2 n m1u1n m2 u2 n
恢复冲量与压缩冲量的大小 之比值称为恢复系数：
e I2 I1
v1
u1 m1
u2 n
质点系动力学
m1v1 m1u1
m2 v2 m2 u2
当 = 0且l = J/ma时，轴承 O处的约束碰撞力为零。此 时A点称为撞击中心。 点称为撞击中心
由质心运动定理的积分形式可得
mucx 0 Sox S cos mucy 0 Soy S sin
Sox S cos ( mal 1) J Soy S sin
L A1 J C v mv ( r h ) mv ( 3 r h ) r 2 L A2 J A 3 mr 2 2 (1 2h ) v L A1 = L A2 3r r
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质点系动力学
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例 7-5-4
第 7章 碰撞前后质心速度沿Sn和S方向的分量：
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碰撞问题的求解步骤
第 7章

例 7-5-3
第 7章 两个长为l、质量为m的均质杆在A 点铰接后悬挂在 O 轴上， B 端受到 冲量 S的作用。求碰撞后两杆的角 速度和轴承O处的约束冲量。
明确研究对象，进行运动分析 受力分析，画碰撞冲量，忽略常规力 应用动量与动量矩定理的积分形式 列写补充方程。对刚体碰撞问题，恢复系 数等于碰撞点的碰撞后法向相对分离速度 和碰撞前法向相对接近速度之比。 求解动力学方程，分析、验证结果
I 2m
解
第 7章
例 7-5-5
补充方程
1 1 vC vD l AC vE lBC 2 2
解
这是系统质心的速度，而不是铰C的速度!
质点系动力学
以AC杆为研究对象
A
vD
D
AC
C
联立求解，得
vD 5I 9I I I 3I , AC , vE , BC , vC 4m 2ml l 4m 2ml l m
解
第 7章
例 7-5-3
(2). 求轴承O的约束冲量
解
取杆OA为研究对象，由质心运动定理得：
0 Soy mu1 Sox S Ax
Sox 1 S 7 Soy 0
质点系动力学
运动学关系 u2 l1 1 l 2 2 联立求解得：
1 6 S , 2 30 S
碰撞前后动能的变化
T 1 e T 1 m1 / m2 0
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例 7-5-2 气功表演？
第 7章 定轴转动刚体（复摆） 受碰撞冲量S的作用。 已知：刚体质量m，对定 轴O的转动惯量J。质心C 与轴 O 距离 a ，点 A 与轴 O 距离l。 求：碰撞后质心C 的速度 uC和轴承O处的约束碰撞 冲量SO。