理论力学7-5-碰撞
《理论力学 动力学》第六讲 碰撞理论 碰撞的分类·碰撞问题的简化
碰撞理论
曾凡林
哈尔滨工业大学理论力学教研组
本讲主要内容
1、碰撞的分类·碰撞问题的简化
2、用于碰撞过程的基本定理
3、质点对固定面的碰撞·恢复因数
1、碰撞的分类·碰撞问题
的简化
两个或两个以上相对运动的物体在瞬间接触，速度发生突然改变的力学现象。
碰撞是工程与日常生活中一种常见而又非常复杂的力学现象。
锤锻、打桩、各种球类活动中球的弹射与反跳、汽车撞击事故、火车车厢挂钩的连接等都是碰撞的实例。
飞机着陆、飞船对接中也涉及碰撞问题。
（1）碰撞的分类
C 1v 1
B
碰撞时两物体的相互作用力——碰撞力碰撞力的作用线通过两物体的质心
——对心碰撞
碰撞力的作用线不通过两物体的质心——偏心碰撞
碰撞时两物体各自质心的速度均沿着公法线方向——正碰撞碰撞时两物体质心的速度不沿着公法线方向——斜碰撞
碰撞时两物体接触处光滑无摩擦——光滑碰撞
碰撞时两物体接触处粗糙有摩擦——非光滑碰撞
此外，按物体碰撞后变形的恢复程度或动能的损失情况，碰撞又可以分为完全弹性碰撞、弹性碰撞和塑性碰撞等类型。
碰撞现象的特点
碰撞时间极短（一般为）s 4310~10--速度变化为有限值加速度变化相当巨大碰撞力极大碰撞问题的简化
普通力的冲量忽略不计（仅考虑碰撞力）在碰撞过程中,物体的位移忽略不计。
理论力学碰撞实验报告
一、实验目的1. 了解碰撞现象的特点及研究方法；2. 掌握碰撞实验的基本原理和实验步骤；3. 通过实验验证动量守恒定律和动能守恒定律；4. 提高动手操作能力和实验数据处理能力。
二、实验原理1. 动量守恒定律：如果一个系统所受的合外力为零，那么该系统总动量保持不变。
2. 动能守恒定律：在一个孤立系统中，如果只有重力或弹力做功，系统的总动能保持不变。
3. 碰撞过程中，系统的总动量和总动能满足以下关系：（1）完全弹性碰撞：动量守恒，动能守恒；（2）非完全弹性碰撞：动量守恒，动能不守恒；（3）完全非弹性碰撞：动量守恒，动能全部转化为其他形式的能量。
三、实验仪器与设备1. 气垫导轨：用于实现无摩擦滑动，保证实验结果的准确性；2. 滑块：用于实现碰撞实验；3. 数显计时器：用于测量碰撞时间；4. 量角器：用于测量碰撞前后的角度；5. 计算器：用于数据处理和计算。
四、实验步骤1. 将气垫导轨放置在实验桌上，确保导轨水平；2. 将滑块放置在导轨的一端，调整滑块与导轨的接触面，使其能够正常滑动；3. 使用数显计时器测量滑块在导轨上自由滑动的距离和时间，记录数据；4. 将滑块放置在导轨的另一端，调整滑块与导轨的接触面，使其能够正常滑动；5. 观察滑块在碰撞过程中的运动状态，记录碰撞前后的角度；6. 重复步骤3-5，进行多次实验，记录数据；7. 根据实验数据，计算碰撞前后的动量和动能，验证动量守恒定律和动能守恒定律。
五、实验结果与分析1. 实验数据：（1）自由滑动距离：L1 = 1.2m，L2 = 1.3m，L3 = 1.1m；（2）自由滑动时间：t1 = 0.5s，t2 = 0.6s，t3 = 0.4s；（3）碰撞前角度：θ1 = 30°，θ2 = 40°，θ3 =25°；（4）碰撞后角度：φ1 = 35°，φ2 = 45°，φ3 = 30°。
2. 实验结果分析：（1）动量守恒定律验证：通过计算碰撞前后的动量，发现实验数据基本满足动量守恒定律；（2）动能守恒定律验证：通过计算碰撞前后的动能，发现实验数据基本满足动能守恒定律。
理论力学课件第12章
对球B，应用动能定理，则有
得
1
0 mu22 mgl (1 cos )
2
（d）
u2 2 gl (1 cos )
将式（d）、（e）代入式（c）中，解得
k 2
1 cos
1 cos30
1 2
1 0.353
1 cos
1 cos 45
（e）
小为
v v 3 0.2
a
0
0.002
m/s2 1 400 m/s2
设在敲击时，钉给手锤的力为F，手锤重为G，可写出手锤的
动力学基本方程为
ma F G
由方程解得
F m( g a) 1 409.8 N
可见，碰撞力F远远大于手锤的重量G。如果碰撞时间再短一
些或碰撞前后的速度变化更大一些，则碰撞力将更大。碰撞力
（12-14）
将式（12-13）和（12-14）代入式（12-12），得
mm
1
T T1 T2 (1 k ) 1 2 (v1 v2 )[(v1 u1 ) (v2 u2 )]
2
m1 m2
由式（12-6），得
u1 u2 k (v1 v2 )
于是
T T1 T2
（12-6）化为
u
k
v
若球自由下落，则可通过球距离固定面的高度H和回跳
的高度h来表示k。由自由落体公式可知
| v | 2 gH
于是得
| u | 2 gh
u
k
v
h
H
图12-3
（12-10）
测出球的降落高度H和回跳高度h，即可计算出球和固定面两种材料
理论力学第二章：碰撞
m A v A mB v B m A mB
0.146 i 0.022 j 0.015 k
m/s
28
2.对接不成功时，两飞船的速度 不考虑对接处的摩擦，二飞船在 y、z 方向上的 速度分量保持不变；在 x 方向上二飞船动量守恒：
m A v Ax mB vBx m A vAx mB vBx
mA »mB
例题 3
mB mA A vB
vA
B
mA 18 103 kg ，mB 6.6 103 kg ；
在惯性参考系中 v A＝00.2i 0.03 j 0.02k m/s ，v B 0 求：1.对接成功后，联合体的质心速度； 2.对接不成功，恢复系数 e=0.95 , 碰撞后二者的速度。 (以上分析中均可略去飞船的转动) 27
1. 用于碰撞过程的动量定理——冲量定理 质点： mv mv
常力的冲量
t
0
Fdt I I — 碰撞冲量
I Ft
(e) (i ) 质点系： mi vi mi vi I i I i
变力的元冲量
mi vi mi vi I i(e) I i(i )
m A mB 2 2 T＝ 1 k v A vB 2m A mB 两种特殊情形下，碰撞前、后系统动能的变化
完全弹性碰撞 —— k=1, T=T2－T1=0。 碰撞过程中没有能量损失。
23
塑性碰撞 —— k=0, 动能损失为
m A mB v A v B 2 T＝ 2m A mB
§15-3 恢复系数（因数）
考察两个球的正碰撞的变形阶段与恢复阶段 I I 1 1 mB mA F 变形阶段 I1 I2 t1 tm t2
理论力学1-7章答案
习题7-1图Oυ(a)υυ(b)习题7-3图第7章 点的复合运动7-1 图示车A 沿半径R 的圆弧轨道运动，其速度为v A 。
车B 沿直线轨道行驶，其速度为v B 。
试问坐在车A 中的观察者所看到车B 的相对速度v B /A ，与坐在车B 中的观察者看到车A 的相对速度v A /B ，是否有B A A B //v v -=？（试用矢量三角形加以分析。
）答：B A A B //v v -≠1．以A 为动系，B 为动点，此时绝对运动：直线；相对运动：平面曲线；牵连运动：定轴转动。
为了定量举例，设R OB 3=，v v v B A ==，则v v 3e =∴ ⎩⎨⎧︒==6021/θv v A B2．以B 为动系，A 为动点。
牵连运动为：平移；绝对运动：圆周运动；相对运动：平面曲线。
此时⎪⎩⎪⎨⎧︒==4522/θv v B A ∴ B A A B //v v -≠7-3 图示记录装置中的鼓轮以等角速度0ω转动，鼓轮的半径为r 。
自动记录笔连接在沿铅垂方向并按)sin(1t a y ω=规律运动的构件上。
试求记录笔在纸带上所画曲线的方程。
解：t r x 0ω= （1） )sin(1t a y ω=（2）由（1）0ωr xt =代入（2），得)sin(01r xa y ωω=7-5 图示铰接四边形机构中，O 1A = O 2B = 100mm ，O 1O 2 = AB ，杆O 1A 以等角速度ω= 2rad/s 绕轴O 1转动。
AB 杆上有一套筒C ，此套筒与杆CD 相铰接，机构的各部件都在同一铅垂面内。
试求当ϕ= ︒60，CD 杆的速度和加速度。
解：1．动点：C （CD 上），动系：AB ，绝对：直线，相对：直线，牵连：平移。
2．r e a v v v +=（图a ） v e = v A01.02121.0cos e a =⨯⨯==ϕv v m/s （↑）3． r e a a a a +=（图b ）4.021.022e =⨯==ωr a m/s 2 346.030cos e a =︒=a a m/s 2（↑）习题7-5图习题7-7图习题7-9图υ(a) (b)(a)7-7 图示瓦特离心调速器以角速度ω绕铅垂轴转动。
理论力学17.碰撞
动量守恒定律
动量守恒定律指出，在碰撞过程中，总动量始终保持不变。无论是理想弹性 碰撞还是非弹性碰撞，总动量都会在碰撞前后保持相等。
碰撞的应用
碰撞的概念在物理学、工程学和运动学中有许多应用。例如，汽车碰撞测试和台球运动中的撞球现象都是碰撞 的应用。
理论力学17.碰撞
在本节中，我们将探讨碰撞的基本原理、理想弹性碰撞和非弹性碰撞。我们 还将研究碰撞中的能量守恒定律和动量守恒定律，并介绍碰撞的一些应用。
碰撞的定义
碰撞是物体之间发生的相互作用，其中两个或多个物体产生相互接触并相互 响。它是研究理论力学中重要的一部分。
碰撞的基本原理
碰撞的基本原理涉及到动量和能量的转移。在碰撞过程中，物体的动量和能 量可能会发生变化，这取决于碰撞的类型。
理想弹性碰撞
理想弹性碰撞是指碰撞过程中动能丧失最小的碰撞。在这种碰撞中，物体之 间发生的相互作用是完全弹性的，动量和能量都得到保持。
非弹性碰撞
非弹性碰撞是指碰撞过程中动能丧失的碰撞。在这种碰撞中，物体之间发生 的相互作用会导致动能的损失，部分动能会转化为其他形式的能量。
能量守恒定律
能量守恒定律指出，在碰撞过程中，总能量始终保持不变。无论是理想弹性 碰撞还是非弹性碰撞，总能量都会在碰撞前后保持相等。
最新理论力学-碰撞教学讲义ppt课件
18
对于两物体正碰撞的情况，恢复系数等于两物体在碰撞 结束与碰撞开始时，质心的相对速度大小的比值。)
联立(1),(2)式，解得：
u1
v1
(1k) m2 m1 m2
(v1
v2
)
u2 v2 (1k)m1m1m2 (v1v2) 对于完全弹性碰撞（k=1）：
20
由正碰撞结束时两质心的速度公式知： v 1 u 1 ( 1 k ) m 1 m 2 m 2 ( v 1 v 2 );v 2 u 2 ( 1 k ) m 1 m 1 m 2 ( v 1 v 2 )
n
n
miui mivi
Si(e)
冲量定理
i1
i1
（19-2）
设质点系总运动定理，上式可写成：
M uCM vC Si(e)
（19-3）
9
碰撞时质点系动量的改变等于作用在质点系上所有外碰
撞冲量的矢量和。
式（19-1)、(19-2)和(19-3)都写成投影形式，形式上与普 通的动量定理相同，所不同的是在这里都不计普通力的冲量。
应用冲量定理在y 轴投影
式
0(m)vS1
第二阶段：由弹性变形开始恢复到脱离接触。该阶段中，
小球动能增大，变形（弹性）逐渐恢复。设碰撞冲量为 S 2 ，
则：
mu0S2
u S2 v S1
13
对于给定材料，|u|与|v|的比值是不变的，该比值称为恢复系数。
k
u v
——由实验测定
一般0<k<1，各种材料的恢复系数，可查阅书中表。 k=1 理想情况——完全弹性碰撞。 k=0 极限情况——非弹性碰撞或塑性碰撞。
理论力学PPT课件第6章6.3碰撞
非弹性碰撞的公式
碰撞前后动量守恒：m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2' 碰撞前后能量不守恒：E = E'
碰撞前后速度关系：v1' = v1 - Δv, v2' = v2 + Δv
非弹性碰撞的特点
01
形 变不能完全恢复，导致能量损
04
弹性碰撞公式的应 用
弹性碰撞公式可以用于计算两个 物体碰撞后的速度，它是解决碰 撞问题的重要工具之一。
弹性碰撞的特点
能量守恒
在弹性碰撞中，系统的总能量 在碰撞前后保持不变，即动能
守恒。
动量守恒
在弹性碰撞中，系统的总动量 在碰撞前后保持不变，即动量 守恒。
无能量损失
在弹性碰撞中，没有能量转化 为其他形式的能量，如热能或 内能等。
碰撞的分类
弹性碰撞
完全非弹性碰撞
碰撞过程中，物体间的作用力完全以 弹性反作用力形式出现，没有能量损 失。
碰撞过程中，物体间的作用力完全以 非弹性反作用力形式出现，能量损失 最大。
非弹性碰撞
碰撞过程中，物体间的作用力部分以 弹性反作用力形式出现，部分以非弹 性反作用力形式出现，存在能量损失。
02
弹性碰撞
台球碰撞
两球在桌面上发生碰撞， 运动轨迹发生变化，遵循 动量守恒定律。
汽车碰撞
汽车发生正面碰撞，车体 变形，遵循动量守恒和能 量守恒定律。
三维碰撞实例分析
三维碰撞
两个物体在三维空间中发 生相互作用，考虑三个方 向的动量变化。
卫星碰撞
卫星在太空中发生碰撞， 需要考虑地球引力、太阳 辐射压和其他因素的影响。
弹性碰撞的公式
01
理论力学 第7章质点动力学习题解答
1第七章 质点动力学 习题解答7-1 质量为40 g 的小球M 以初速度v =8 j (m/s)从点A (0, 0, 0.3m)抛出后，受到沿i 方向恒定的电磁力作用，其大小F = 0.8 kN ，如图所示。
求小球M 到达xy 平面点B 时，点B 的坐标和小球的速度。
解：取小球M 为研究对象，小球所受到的主动力为 k i F mg F R -=由质点运动微分方程R F m =r ，写出投影式F x m = ，0=ym ，mg z m -= 初始条件为000====t t y x ，3.00==t z ；000====t t z x，v y t ==0 解得质点的速度方程为t mFx= ，v y = ，gt z -= 质点的运动方程为 22t m F x =，vt y =，3.022+-=t gz 当0=z 时，小球到达xy 平面，由03.022=+-=t g z 解得s 247.01=t ，于是小球到达xy 平面时的各速度分量为m/s 7.494811===t mFxt t ，m/s 81===v y t t ，m/s 425.211-=-==gt z t t . 各坐标为m 2.6122211===t m F x t t ，m 979.111===vt y t t ，m 137.23.02211-=+-==t gz tt .7-2 图示A ，B 两物体的质量分别为m A 和m B ，二者用一细绳连接，此绳跨过一定滑轮，滑轮半径为r 。
运动开始时，两物体的高度差为h ，且m A > m B ，不计滑轮质量。
求由静止释放后，两物体达到相同高度时所需的时间。
解：分别取A 和B 物体为研究对象，受力图如图示，列出动力学方程TA A A A F W x m -= ， TB B B B F W x m -= ， 式中g m W A A =，g m W B B =，根据题意，有TB TA F F =，B A x x -=，B A xx -= 初始条件00==t A x ，h x t B ==0，00==t A x，00==t B x . 解以上初值问题，得题7-2图题7-2受力图2g m m m m xBA B A A +-= ， ()22gt m m m m x B A BA A +-=g m m m m x B A B A B +--= ， ()h gt m m m m x B A BA B ++--=22令B A x x =，即()()h gt m m m m gt m m m m B A BA B A B A ++--=+-2222解得当两物体达到相同高度时 ()()gm m h m m t B A B A -+=...7-3 质量为m 的质点M 受到引力F = -k 2m r 的作用，其中k 为常量，运动开始时，质点M在轴x 上，OM 0 = b ，初速度v 0与轴x 的夹角为β，如图所示。
理论力学：碰撞与冲击的实例
o
Iox x
I
Ioy
vc C uc
K
2
1
y
2020/12/9
解：应用冲量定理 muC mvC I IOx IOy
y : 0 I sin IOy
I 0 IOy 0
0
条件1：冲量 I 垂直于OC
15
理论力学
§7-3 碰撞与冲击
o
Iox x
l vc
Ioy
C uc
b
I 2
K
y 1
muC mvC I IOx IOy
例：质量为m长为L的均质杆AB静止放在水平面上，杆与水平 面的滑动摩擦因数为f，若在杆的B端垂直于杆作用一水平冲量I 。求冲击结束后的瞬时，杆的角加速度和质心加速度。
理论力学
§7-3 碰撞与冲击
• 碰撞与冲击应用实例 • 碰撞的分类与特点 • 碰撞的基本理论与方法
2020/12/9
1
理论力学
夯 击 与 锻 造
碰撞与冲击的实例
2020/12/9
2
理论力学
台 球 中 的 碰 撞 问 题
2020/12/9
碰撞与冲击的实例
台球特技实例
3
理论力学
碰撞与冲击的实例
足球运动的碰撞问题
2020/12/9
4
理论力学
碰撞与冲击的实例
2020/12/9
5
理论力学
碰撞与冲击的实例
飞行员座椅弹射装置
2020/12/9
6
理论力学
碰撞与冲击的实例
汽车碰撞实物试验 汽车碰撞虚拟试验
研究的问题： • 车体间的碰撞 •人体与车体的碰撞 •人体内脏的碰撞
2020/12/9
大学物理碰撞
1 2
mv
2 A
1 2
mvB2
v0 vA vB
v02 vA2 vB2
(vA
vB )2
v
2 A
vB2
2vAvB
cos
v A2
vB2
900
—— 碰撞后两质点运动的方向相互垂直
04_08_碰撞 —— 力学
5/12
06 质量为MA的小球A沿光滑的弧形轨道滑下，与放 在轨道端点P处（该处轨道的切线方向为水平方向）的 质量为MB的静止小球B发生弹性正碰撞，A,B小球碰撞 后同时落在水平地面上。如果A、B两球的落地点距P点 正下方O的距离之比为
4.8 碰撞 —— 两个物体之间发生相互作用的过程 碰撞的时间很短 —— 两个物体之间的冲力很大，忽略其它的力：重力 、摩擦力等 —— 碰撞过程中，物体来不及发生位移，系统的机械 能为物体动能之和
碰撞过程分为三个阶 段1) 压缩形变 —— 冲力做负功，机械能转变为系统的内能 2) 达到最大形变 —— 机械能全部转变为系统的内能 3) 恢复形变 —— 冲力做正功，系统的内能转化为机械能
MA 5 MB
8/12
07 地面固定一半径为R的光滑球面，球面正上方放
置一质量为M的滑块。一质量为m的油灰以速度v0射向 滑块，并粘在滑块上一起沿球面运动，计算（1）它们
滑至多大的角度时脱离球面；（2）如果油灰和滑块在A
点就脱离球面，则油灰的入射速率至少为多少？
1）研究系统为油灰和滑 块，系统在水平方向不受外 力，水平方向上动量守恒
3) 非弹性碰撞
—— 碰撞结束后，物体的形变只有部分恢复，系统的 动量守恒，动能不守恒
04_08_碰撞 —— 力学
4/12
05 速度为 v0 的质点A和另一质点B发生非对心弹性
高三物理碰撞课件
反冲运动模型
总结词
反冲运动模型是碰撞问题的一个特例，涉及到物体在碰 撞后反向运动的现象。
详细描述
反冲运动模型描述了一个物体在静止时受到一个力的作 用后发生碰撞，并沿着相反方向运动的物理过程。根据 动量守恒定律，物体碰撞后的速度v'可以由公式mv0=mv计算得出，其中m为物体的质量，v0为物体碰撞前的 速度。同时，根据能量守恒定律，碰撞过程中没有能量 损失，因此有公式1/2mv0^2=1/2mv'^2。
详细描述
子弹打木块模型描述了一个子弹以速度v0射 入静止的木块，并留在其中共同运动的过程 。根据动量守恒定律，子弹和木块在碰撞后 的共同速度v可以由公式mv0=Mv+mv1计 算得出，其中M为木块的质量，m为子弹的 质量，v1为子弹在木块内的速度。同时，根 据能量守恒定律，碰撞过程中没有能量损失
，因此有公式 1/2mv0^2=1/2(M+m)v^2+1/2mv1^2
整体法
总结词
整体法是将参与碰撞的物体视为一个整体，分析整体在碰撞前后的动量变化，从而得出碰撞结果。
详细描述
在整体法中，我们需要将参与碰撞的物体看作一个整体，分析整体在碰撞前后的动量变化。这种方法 适用于两个物体在同一直线上发生碰撞的情况，可以简化问题的复杂度，提高解题效率。
隔离法
总结词
隔离法是将参与碰撞的物体逐一隔离分析，通过分析单个物体的动量变化，得出碰撞结果。
06
CATALOGUE
碰撞的实验验证
实验目的
01
02
03
验证碰撞定律
通过实验观察和测量，验 证物体碰撞前后遵循的动 量守恒和能量守恒定律。
理解碰撞过程
通过实验观察碰撞过程中 物体的速度、动量和能量 的变化，加深对碰撞过程 的理解。
理论力学PPT课件第6章 6.3碰撞
2019年11月11日
3
对接碰撞
2019年11月11日
4
2019年11月11日
5
2019年11月11日
6
2019年11月11日
7
2019年11月11日
？这与碰撞 有关系吗 8
2019年11月11日
2. 用于碰撞过程的冲量矩定理
L O 2 L O 1 M 0 e M 0 ( I i e )
2019年11月11日
25
用于定轴转动刚体碰撞时的微分方程积分形式
J O z2 J O z1 M O e z =m O z ( I i e )
用于平面运动刚体碰撞时的微分方程积分形式
2019年11月11日
15
设榔头重10N，以v1=6m/s的速度撞击铁块，碰撞时间
=1/1000s , 碰撞后榔头以v2=1.5m/s的速度回跳。求榔头打
击铁块时力的平均值。
锤的平均加速度:
av 2 （ v 1 ） 1 .5 6 7 5 0 0 m /s2 0 .0 0 1
2019年11月11日
20
3.碰撞 的分类
(1) 分类1 对心碰撞与偏心碰撞：碰撞时，两物体质心的连线与其 接触点的公法线重合，否则称为偏心碰撞。
C1
C2
C1
C2
2019年11月11日
21
对心正碰撞与对心斜碰撞：碰撞时，两物体质心的速度也 都沿两质心连线方向则称对心正碰撞，否则称为对心斜碰撞。
v1 C1
？这与碰撞 有关系吗 9
2019年11月11日
请注意撞击 物与被撞击物 的特点！
理论力学-碰撞PPT课件
锤不回跳，此时可近似认为k =0，于是汽锤效率
m2 0.949% 4
m1m2
2021
25
§19-5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用 撞击中心
设刚体绕固定轴z 转动，转动惯量为IZ，受到外碰撞冲量
S (e) i
(i1,2, ,n)
的作用。
碰撞开始时 Lz1 I z1
碰撞结束时 Lz2 I z 2
的积分形式为：
m um vS
(1-19)
2021
8
对于有n个质点组成的质点系，将作用于第 i 个质点上的
碰撞冲量分为外碰撞冲量
S
( i
e
)
和内碰撞冲量
S
( i
i
)
，则有：
m iu i m iv i S i(e ) S i(i) ( i 1 ,2 , ,n )
将这n个方程相加, 且Si(i) 0(内碰撞冲量总是成对出现的),故
2021
1
在前面讨论的问题中，物体在力的作用下，运动速度都 是连续地、逐渐地改变的。本章研究另一种力学现象——碰 撞，物体发生碰撞时，会在非常短促的时间内，运动速度突 然发生有限的改变。本章研究的主要内容有碰撞现象的特征， 用于碰撞过程的基本定理，碰撞过程中的动能损失，撞击中 心。
2021
2
第十九章 碰撞 §19–1 碰撞现象及其基本特征 碰撞力
§19-2 用于碰撞过程的基本定理
§19–3 质点对固定面的碰撞 恢复系数
§19–4 两物体的对心正碰撞 动能损失
§19–5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用
撞击中心
小结
2021
3
§19-1 碰撞现象及其基本特征 碰撞力
碰撞：运动着的物体在突然受到冲击（包括突然受到约 束或解除约束）时，其运动速度发生急剧的变化，这种现象 称为碰撞。
理论力学 17.碰撞
对于塑性碰撞（k =0）：
v1
v2
v
m1v1 m2v2 m1 m2
对于一般情况（0<k <1）： v1 v1 , v2 v2
2.正碰撞过程中的动能损失
碰撞开始：
T1
1 2
m1v12
1 2
m2v22
碰撞结束：
T2
1 2
m1v12
1 2
m2v22
则动能损失：
v1 v2
式中v1、v2和v1’、 v2’分别是两物体碰撞前后的速度。
一般0<k<1，各种材料的恢复系数，可查阅书中表。
k=1 理想情况——完全弹性碰撞。
k=0 极限情况——非弹性碰撞或塑性碰撞。
三、碰撞时的动力学基本定理 在理论力学中，我们关心的主要是由于碰撞冲量的作用而
使物体运动速度发生的变化。因此，动量定理和动量矩定理就 成了研究碰撞问题的主要工具。
例1 打桩机。锤：m1，下落高度h；桩：m2，下沉 。两者塑
性碰撞。求碰撞后桩的速度和泥土对桩的平均阻力。 解：碰撞开始时，
锤速 v1 2gh ，
桩速 v2 0
塑性碰撞后， u1 u2 v
m1 2gh m1 m2
根据动能定理,计算下沉 过程中,泥土对桩的平均阻力R。
k I2 v2 v v1 v v2 v1 I1 v v2 v v1 v1 v2
对于两物体正碰撞的情况，恢复系数等于两物体在碰撞结 束与碰撞开始时，质心的相对速度大小的比值。)
联立(1),(2)式，解得：
v1
v1
(1
k)
高中物理课件-第四节 碰撞 - 副本
v
' 2
1 2
m1v12
1 21'
2
1 2
m2
v2'
2
非完全弹性碰撞：例如木制品的碰撞
碰撞前后动量守恒，动能有损失
完全非弹性碰撞：例如橡皮泥球之间的碰撞。
碰撞前后动量守恒，动能损失最大
讨论(对于弹性碰撞): m1v1 m1v1' m2v2'
v1
1 2
m1v12
1 2
m1v1'2
④ m1 m2 v1′= v1，v2′=2v1 ⑤ m1 m2 v1′= -v1 ， v2′= 0 相当于m1原速反弹
三.碰撞问题中应遵循的规律：
①动量守恒，即：m1v1 m2v2 m1v1 m2v2
②动能不能增加，即：
Ek1
Ek 2
Ek1
Ek
2
或 P12 P22 P12 P22
2m1 2m2 2m1 2m2
③速度要符合如下情景：(碰前、碰后都朝一个方向运动） 碰撞前：v后>v前 碰撞后：v前 v后
说明：如果碰前两物体是相向运动，则碰后，两物体的
运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速 度均为零。
1 2
m2v2'2
m1
m2
v1'
(m1 m1
m2 ) m2
v1
一个物体以速度v与另一个
静止的物体发生弹性碰撞
v2'
2m1 m1 m2
v1
① m1 m2 v1′=0 ，v2′= v1 ，相当于两球交换速度．
② m1 > m2 ， 则v1′>0；且v2′一定大于0 ③ m1 < m2 ， 则v1′<0；且v2′一定大于0
7-5碰撞
讨论
SOx
S
cos
(
mal J
1)
SOy S sin
MS S
当 = 0且l = J/ma时，轴
承O处的约束碰撞力为零。 A点称为撞击中心。
S maC ma M S JO
MS l S
S
三心重合：摆动中心、撞击中心、惯性中心 （惯性力的作用点），为什么？
例4
两个长均为l质量均为m的均质杆在A 点铰接后悬挂在O轴上，在B端受到 冲量S的作用。求碰撞后两杆的角速 度和轴承O处的约束冲量。
7.5 碰撞
碰撞问题的基本假设
碰撞是在极短的时间内，物体的速度发生很大的变 化，出现巨大的碰撞力。
碰撞的基本特征 撞击力具有瞬时性 机械能一般不守恒
碰撞问题的基本假设 局部变形刚体模型，碰撞过程分变形和恢复阶段 只研究碰撞前后运动的变化 碰撞过程中碰撞力很大，常规力可忽略 碰撞过程时间极短，物体位移忽略不计
按弹性筛选钢球
播放
碰撞前后动能的变化
两球在碰撞前、后的总动能分别为
T1
1 2
m1v12
1 2
m2v22
T2
1 2
m1u12
1 2
m2u22
在碰撞过程中，动能的损失为
T T1 T2
m1m2 2(m1 m2
)
(1
e2
)(v1
v2
)2
1. 完全弹性碰撞
e = 1，T = 0，碰撞过程中没有动能损失。
LA1 (JO m 2 )1
LA0 JO0 OA
O A
取出钉子后 vO 2 LA2 JO2 m 22
理论力学碰撞
M uCM vC Si(e)
（19-3）
9
第9页，本讲稿共34页
碰撞时质点系动量的改变等于作用在质点系上所有外碰
撞冲量的矢量和。
式（19-1)、(19-2)和(19-3)都写成投影形式，形式上与普 通的动量定理相同，所不同的是在这里都不计普通力的冲量。
T 1 2 ( 1 k )m m 1 1 m m 2 2(v 1 v 2 )v [ 2 ( u 1 ) (v 2 u 2 )]
又 u1u2k(v1v2) TT1T22(m m 11m 2 m 2)(1k2)v(1v2)2
21
第21页，本讲稿共34页
(1) 对于完全弹性碰撞（k =1）：
理论力学碰撞
第1页，本讲稿共34页
在前面讨论的问题中，物体在力的作用下，运动速度都 是连续地、逐渐地改变的。本章研究另一种力学现象——碰 撞，物体发生碰撞时，会在非常短促的时间内，运动速度突 然发生有限的改变。本章研究的主要内容有碰撞现象的特征 ，用于碰撞过程的基本定理，碰撞过程中的动能损失，撞击 中心。
称为碰撞力；由于其作用时间非常短促
以榔头打铁为例说明碰撞力的特征：
设榔头重10N，以v1=6m/s的速度撞击铁块，碰撞时间
=1/1000s , 碰撞后榔头以v2=1.5m/s的速度回跳。求榔头打击铁 块的力的平均值。
以榔头为研究对象，根据动量定理
mv2mv1S 的投影形式得
（19-4）
10
第10页，本讲稿共34页
碰撞时，质点对任一固定点动量矩的改变，等于作用于 该质点的碰撞冲量对同一点之矩。
对于质点系,由于内碰撞冲量对任一点的矩之和等于零,于是有
LO2LO1mO(S(e)) 冲量矩定理
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两球法向 速度交换
C
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2
按弹性筛选钢球
第 7章 第 7章
碰撞前后动能的变化
2 T1 1 m1v12 1 m2 v2 2 2 2 T2 1 m1u12 1 m2 u2 2 2
考虑正碰撞
在碰撞过程中，动能的损失为
mm T T1 T2 1 1 2 (1 e 2 )(v1 v2 ) 2 2 m1 m2
第 7章
质点系动力学
30/31
5
碰撞冲量
第 7章 F(t) 压缩阶段 恢复阶段
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质点系动力学
I1 I2 t1 碰撞冲量： I 压缩冲量： I1 恢复冲量：I 2 t0 t2 t
t2
t1
t0
F (t )dt
F (t )dt F (t )dt
返回
t1 t2
t0
6
J z ( 2 1 ) M z ( I ( e ) )
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第 7章
9/31
第 7章
11/31
质点系动力学 质点系动力学 质点系动力学
质点系动力学
平面运动的刚体在碰撞冲量作用下的动力 学方程为
muCx mvCx I muCy mvCy I
(e) x (e) y
m2
v2
J C (2 1 ) M C ( I ( e ) )
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第 7章
15/31
第 7章
17/31
质点系动力学
14/31
质点系动力学
1. 完全弹性碰撞 e = 1，T = 0，碰撞过程中没有动能损失。 2. 碰撞过程中，有一物体始终不动
2 mm T 1 1 2 (1 e 2 )v12 1 e T 2 m1 m2 1 m1 / m2 0
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例 7-5-1
解
第 7章
恢复系数
碰撞前后质系在法向上的动量守恒，两小球各 自在切向上动量守恒：
m1v1n m2 v2 n m1u1n m2 u2 n
恢复冲量与压缩冲量的大小 之比值称为恢复系数：
e I2 I1
v1
u1 m1
u2 n
质点系动力学
m1v1 m1u1
m2 v2 m2 u2
碰撞实例
第 7章
锻压与打桩 体 育 运 动 中 的 碰 撞
质点系动力学
7.5 碰撞
2013年11月28日
2/31
汽车碰撞 试验
碰撞实例
第 7章 第 7章
碰撞的基本特征
碰撞：在极短的时间内，以极大的碰撞力使物 体发生有限量的动量传递和能量转化
速度发生很大的变化
3/31
第 7章
5/31
质点系动力学 质点系动力学
解
第 7章
例 7-5-3
(2). 求轴承O的约束冲量
解
取杆OA为研究对象，由质心运动定理得：
0 Soy mu1 Sox S Ax
Sox 1 S 7 Soy 0
质点系动力学
运动学关系 u2 l1 1 l 2 2 联立求解得：
1 6 S , 2 30 S
质点系动力学
2005年7月4日， 撞击坦普尔1号彗星， 号彗星 370kg撞击器， 10 km/s
碰撞力在极短的时间内急剧变化——使用 碰撞冲量
高速碰撞
机械能之间以及机械能和其它形式的能量 之间急剧转化，一般伴有能量损失，机械能 不守恒
4/31
碰撞问题的模型与基本假设
积分形式的动量和动量矩定理
19/31
第 7章
21/31
第 7章
23/31
质点系动力学 质点系动力学 质点系动力学
质点系动力学
20/31
例 7-5-3
(1) 求碰撞后两杆的速度 OA杆作定轴转动，AB杆作平面运动。
ml 21 S Ax l 对OA杆：1 3
mu2 S S Ax 对AB杆： S 0 Ay 1 ml 2 ( S S ) 1 l Ax 2 12 2
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第 7章
27/31
第 7章
29/31
质点系动力学 质点系动力学 质点系动力学
质点系动力学
由质心运动定理得：
S n m(u Cn v Cn ) mv h(2r h) / r S m(u C v C ) m vh 3r
A
C
B
I
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例 7-5-5
用质心运动定理 2m(vC 0) I vC
I 2m
解
第 7章
例 7-5-5
补充方程
1 1 vC vD l AC vE lBC 2 2
解
这是系统质心的速度，而不是铰C的速度!
质点系动力学
以AC杆为研究对象
A
vD
D
AC
C
联立求解，得
vD 5I 9I I I 3I , AC , vE , BC , vC 4m 2ml l 4m 2ml l m
质点系动力学
16/31
质点系动力学
例 7-5-2
解
第 7章
例 7-5-2
Sox S cos ( mal 1) J Soy S sin
讨论
刚体在碰撞冲量作用下作定轴转动，作受力图 由对O轴的动量矩定理的积分形式得
Sl cos
J
质点系动力学
质点系动力学
质心C的速度
ucx Sal cos , ucy 0 J
1
积分形式的动量和动量矩定理
第 7章 对质心的动量矩定理
LC 2 LC1 M C ( I ( e ) )
例 7-5-1 小球的斜碰撞
第 7章 质量为m1、速度为v1的光滑小球与质量为m2、 速度为v2的光滑小球相撞。求碰撞后两小球的 速度u1和u2。
u1 m1 v1 u2
n
定轴转动的刚体在碰撞冲量作用下的动力 学方程为
18/31
3
碰撞问题的求解步骤
第 7章
例 7-5-3
第 7章 两个长为l、质量为m的均质杆在A 点铰接后悬挂在 O 轴上， B 端受到 冲量 S的作用。求碰撞后两杆的角 速度和轴承O处的约束冲量。
明确研究对象，进行运动分析 受力分析，画碰撞冲量，忽略常规力 应用动量与动量矩定理的积分形式 列写补充方程。对刚体碰撞问题，恢复系 数等于碰撞点的碰撞后法向相对分离速度 和碰撞前法向相对接近速度之比。 求解动力学方程，分析、验证结果
当 = 0且l = J/ma时，轴承 O处的约束碰撞力为零。此 时A点称为撞击中心。 点称为撞击中心
由质心运动定理的积分形式可得
mucx 0 Sox S cos mucy 0 Soy S sin
Sox S cos ( mal 1) J Soy S sin
碰撞前后动能的变化
T 1 e T 1 m1 / m2 0
2
例 7-5-2 气功表演？
第 7章 定轴转动刚体（复摆） 受碰撞冲量S的作用。 已知：刚体质量m，对定 轴O的转动惯量J。质心C 与轴 O 距离 a ，点 A 与轴 O 距离l。 求：碰撞后质心C 的速度 uC和轴承O处的约束碰撞 冲量SO。
7 ml 9 u2 S , 7m
7 ml 2 S 7
S Ax
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例 7-5-4
突加约束
第 7章
例 7-5-4
解
沿水平面作纯滚动的均质圆盘的质量为m，半 径为r，其中心C以匀速v前进。圆盘突然与一 高度为h(h < r)的凸台碰撞。设碰撞为完全非弹 性，求圆盘碰撞后的角速度及碰撞冲量。
碰撞时圆盘的运动发生突变。碰撞前后圆盘对 A轴的动量矩守恒： 碰撞前 LA LC + mvC rCA一个方程后求解。
u1
m1
u2
n
I1 m1 (u v1n ) I1 m2 (u v2 n )
I 2 m1 (u1n u ) I 2 m2 (u2 n u )
v1n v2 n I1 ( 1 1 ) m1 m2
u1n u2 n I 2 ( 1 1 ) m1 m2
v Cn v sin v C v cos
u Cn 0
解
第 7章
例 7-5-5
杆AC = BC = l，质量均为m，C为光滑铰， 静止放在水平面上，A端受冲量I，求此后C 铰的速度。
u C r
sin h(2r h) / r cos (r h) / r
n dLA ρi Fi ( e ) dt i 1
6/31
质点系动力学
LA2 LA1 i Fi ( e ) dt
t2 i 1 t1
n
对碰撞问题
LA 2 LA1 i I i( e ) M A ( I ( e ) )
i 1 n
质系在碰撞前后对定点的动量矩的改变量 等于作用在质系上的所有外碰撞冲量对该 点的主矩。
解
第 7章
思考题
如何测量恢复系数 ？
n A B
h1 h2 v1 u1
质点系动力学
– 塑性碰撞(完全非弹性碰撞) e = 0 u1n u2 n ( m1v1n m2v2 n ) /(m1 m2 ) – 完全弹性碰撞 e = 1 当 m1 = m2 时: u1n = v2n , u2n = v1n – 球与固定面碰撞 m2 = , v2 = 0
L A1 J C v mv ( r h ) mv ( 3 r h ) r 2 L A2 J A 3 mr 2 2 (1 2h ) v L A1 = L A2 3r r