哈尔滨工业大学理论力学第七版第II篇 第3章 碰撞
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列出补充方程：
(1)
v2 v1 e v1 v2
(2)
（分别以两物体为研究对象，应用动量定理可得出。具体地 对于第一阶段： m1 (v v1 ) I1 , m2 (v v2 ) I1
对于第二阶段： m1 (v1 v) I 2 , m2 (v2 v) I 2
又
v1 v2 e(v1 v2 ) m1m2 T T1 T2 (1 e 2 )(v1 v2 ) 2 2(m1 m2 )
m1m2 T T1 T2 (1 e 2 )(v1 v2 ) 2 2(m1 m2 )
(a) 对于完全弹性碰撞（e =1）： T T1 T2 0 系统动能没有损失,可以利用机械能守恒定律求碰撞后的速度。 (b) 对于塑性碰撞 （e =0）： T T1 T2
m1v1m2m2 v2 v ( 2 对于塑性碰撞（e =0）： v1 v11 v1 e) (v1 v2 ) m1 m2 1 2
( , 对于一般情况（0<e <1）： v v1 1v1 e) v2 m1v2 (v v ) v2 2 1 2 m1 m2
I 2 v2 v v1 v v2 v1 e I1 v v2 v v1 v1 v2
对于两物体正碰撞的情况，恢复系数等于两物体在碰撞
结束与碰撞开始时，质心的相对速度大小的比值。
联立(1),(2)式，解得：
v1 v1 (1 e)
m2 (v1 v2 ) m1 m2
( e ) (i ) 对于质点系： mi vi mi vi I i I i
n n n mi vi mi vi I i( e ) I i(i ) n i 1 i 1 i 1 i 1
n n mi vi mi vi I i( e ) n i 1 i 1 i 1
飞机相撞，如果飞机速度是800km/h，（对现代飞机来说， 这只是中等速度），碰撞力可高达3.56105N，即为鸟重的2 万倍！这是航空上所谓“鸟祸”的原因之一。
害的一面： 鸟祸、机械、仪器及其它物品由于碰撞损坏等。
利的一面：利用碰撞进行工作，如锻打金属，用锤打桩等。 研究碰撞现象，就是为了掌握其规律，以利用其有利的一 面，而避免其危害。
第 三 章
碰 撞
碰撞：两个或两个以上相对运动的物体在瞬间 接触，速度发生突然改变的力学现象
实例：锤锻、打桩、球的弹射与反跳、火车 车厢挂钩的联接。 飞机着陆、飞船对接与溅落
本章只讨论在一定简化条件下两个物体间的碰撞 问题
第三章 碰
§3-1
§3-2
撞
碰撞的分类 · 碰撞问题的简化
用于碰撞过程的基本定理
vn tan e vn tan
对于实际材料有e < 1, 则有：当碰撞物体表面光滑时，应有
>
在不考虑摩擦的一般情况下，碰撞前后的两个物体都在运 动，此时恢复因数定义为
n vr e n vr
vr n , vrn 分别为碰撞后和碰撞前两物体接触点沿接触面 式中
法线方向的相对速度
大小的比值。
若小球与固定面发生斜碰撞
假设不计摩擦，两物体只
在法线方向发生碰撞 恢复因数定义为
vn
v
vt vt
vn e vn
由于不计摩擦，两物体在 切线方向的投影相等
vn
v
vn tan vn tan
即有
vn tan e vn tan
m1m2 (v1 v2 ) 2 2(m1 m2 )
若第二个物体在塑性碰撞开始时静止，即v2=0，则
m1m2 2 1 m v 2 m2 v1 T 2(m1 m2 ) 2 1 1 m1 m2
1 T m1 1 1 m2
在这种塑性碰撞过程中损失的动能与两物体的质量比有关
m1m2 2 1 m v 2 m2 v T 2(m1 m2 ) 1 2 1 1 m1 m2
v 2gh1 v 2gh2
v e v
h2 h1
各种材料的恢复因数，可查阅书中表3-1。 一般地，0<e<1 —— 弹性碰撞
e=1 理想情况 ——完全弹性碰撞
e=0 极限情况 ——非弹性碰撞或塑性碰撞
v I 2 e v I1
恢复因数又等于正碰撞的两个阶段中作用于物体的碰撞冲量
n n n (e) t (e) (e) LO 2 LO1 ri dI i ri I i M O ( I i ) i 1 0 i 1 i 1
冲量矩定理：质点系在碰撞开始和结束时对点O的动量矩的变 化，等于作用于质点系的外碰撞冲量对同一点的主矩。 3. 刚体平面运动的碰撞方程 用于碰撞过程的质点系相对于质心的动量矩定理：
mv2 mv1 I
10 (1.5 6) I ; I 7.65 N s g 碰撞力的变化大致情况如图所示。
平均打击力 F * I / 7650 N，是榔头重的765倍。
可见，即使是很小的物体，当运动速度很高时，瞬时力
可以达到惊人的程度。有关资料介绍，一只重17.8N的飞鸟与
由正碰撞结束时两质心的速度公式知： m2 m1 v1 v1 (1 e) (v1 v2 ) ; v2 v2 (1 e) (v1 v2 ) m1 m2 m1 m2 代入上式中，得：
1 m1m2 T (1 e) (v1 v2 )[( v2 v1 ) (v2 v2 )] 2 m1 m2
m1 (v1 v2 ) m1 m2 对于完全弹性碰撞（e=1）： v2 v2 (1 e)
v1 v1 2m2 2m1 (v1 v2 ) ; v2 v2 (v1 v2 ) m1 m2 m1 m2
若 m1 m2 , 则 v1 v2 , v2 v1 (碰撞后两物体交换速度)
（2）正碰撞过程中的动能损失 1 1 2 T1 m1v12 m2 v2 碰撞开始： 2 2 1 1 2 碰撞结束： T2 m1v1 m2 v22 2 2 则动能损失：
1 1 2 2 2 T T1 T2 m1 (v1 v1 ) m2 (v2 v22 ) 2 2 1 1 m1 (v1 v1 )(v1 v1 ) m2 (v2 v2 )(v2 v2 ) 2 2
(e) LC 2 LC1 M C ( I i )
碰撞前后质点系相对于质心C的动量矩的变化，等于外碰撞冲 量对质心的矩的矢量和（对质心的主矩）
Baidu Nhomakorabea
对于平行于其质量对称面运动的平面运动刚体，有
LC J C
(e) J C2 J C1 M C ( I i )
§3-4
碰撞问题举例
例如：两物体对心正碰撞，质量分别为m1和m2，恢复因数为e
v 碰撞前：1 , v2 (v1 v2 ) v 碰撞结束： 1 , v2 （沿质心连线）
（1）分析碰撞结束时两质心的速度。
研究对象：两物体组成的质点系。 由冲量定理，得：
m1v1 m2v2 m1v1 m2v2
对心正碰撞
对心斜碰撞
（2）两个物体相碰时，按其接触处有无摩擦，可分为
光滑碰撞
非光滑碰撞
（3）两个物体相碰撞时，按物体碰撞后变形的恢复程 度（或能量有无损失），可分为 完全弹性碰撞 弹性碰撞 塑性碰撞
2. 对碰撞问题的两点简化
以榔头打铁为例说明碰撞力的特征： 设榔头重10N，以v1=6m/s的速度撞击铁块，碰撞时间 =1/1000s , 碰撞后榔头以v2=1.5m/s的速度回跳。求榔头打击铁块 的力的平均值。 以榔头为研究对象，根据动量定理
1 T m1 1 1 m2
1) 当m2>> m1时， △T ≈T1，质点系在碰撞开始时的动能几 乎完全损失在碰撞过程中，适用于锻压金属。在工程中采 用比锻锤重很多倍的砧座。 2) 当m2<< m1时， △T ≈0，适用于打桩，碰撞结束时桩获 得较大的动能克服阻力前进，因此在工程中应选取比桩重 得多的锤打桩。又如用锤子钉钉子。 (c) 对于弹性碰撞 （0<e<1 ）：
对上式积分
n (e) t LO 2 LO1 ri dI i i 1 0
碰撞过程简化假设（2），作用点矢径是恒量
n n n (e) t (e) (e) LO 2 LO1 ri dI i ri I i M O ( I i ) i 1 0 i 1 i 1
§3-2
用于碰撞过程的基本定理
由于碰撞过程时间短、碰撞力变化规律复杂，因此只分 析碰撞前、后运动的变化。 碰撞过程中有机械能的损失，难以用力的功来计算，因 此一般采用动量定理和动量矩定理的积分形式来确定力 的作用和运动变化的关系。 1. 用于碰撞过程的动量定理—冲量定理
t 对于质点： mv mv Fdt I 0 I 称为碰撞冲量，普通力的冲量忽略不计
由于碰撞时碰撞力极大而碰撞时间极短，在研究一般的碰撞
问题时，通常做如下两点简化：
（1）在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，重力、弹性力等普
通力远远不能与之相比，因此这些普通力的冲量忽略不计； （2）由于碰撞过程非常短促，碰撞过程中，速度变化为有限
值，物体在碰撞开始和碰撞结束时的位置变化很小，因此在碰 撞过程中，物体的位移忽略不计。
T T1 T2 0
(恒为正值）
[例] 打桩机。锤：m1，下落高度h；桩：m2，下沉 。两
上式不计普通力的冲量矩。
(e) mvC mvC I i
(e) J C2 J C1 M C ( I i )
刚体平面运动的碰撞方程。
§3-3
质点对固定面的碰撞 · 恢复因数
设一小球（可视为质点）沿铅直方向落到水平的固定平面上
碰撞过程分为两个阶段： 第一阶段：开始接触 至变形达到最大。该阶段 中，小球动能减小,变形增
v
v
大。设碰撞冲量为 I 1 ，则
应用冲量定理在y 轴投影
式
0 (mv ) I1
第二阶段：由弹性变形开始恢复到脱离接触。该阶段中，
小球动能增大，变形（弹性）逐渐恢复。设碰撞冲量为 I ， 2
则：
mv 0 I 2
v I 2 v I1
牛顿在研究正碰撞时发现，对于给定材料，碰撞结束与碰撞 开始的速度大小的比值几乎是不变的，该比值称为恢复因数。 v e v 恢复因数由实验测定
(i ) Ii 0
n i 1
冲量定理：质点系在碰撞开始和结束时动量的变化，等于作 用于质点系的外碰撞冲量的主矢。
(e ) mvC mvC I i
2. 用于碰撞过程的动量矩定理—冲量矩定理
n n (e) d (e) LO M O ( Fi ) ri Fi dt i 1 i 1 n n (e) (e) dLO ri Fi dt ri dI i i 1 i 1
§3-3
§3-4
质点对固定面的碰撞 · 恢复因数
碰撞问题举例
§3-5
碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用
· 撞击中心
§3-1
碰撞的分类 · 碰撞问题的简化
1. 碰撞的分类
碰撞时两物体间的相互作用力，称为碰撞力。
（1）两个物体相碰时，按其相处位置，可分为 对心碰撞 ---- 碰撞力的作用线通过两物体的质心。 否则称为偏心碰撞 偏心碰撞 正碰撞 斜碰撞 ---- 碰撞时各自质心的速度均沿着公法线。 否则称为斜碰撞
(1)
v2 v1 e v1 v2
(2)
（分别以两物体为研究对象，应用动量定理可得出。具体地 对于第一阶段： m1 (v v1 ) I1 , m2 (v v2 ) I1
对于第二阶段： m1 (v1 v) I 2 , m2 (v2 v) I 2
又
v1 v2 e(v1 v2 ) m1m2 T T1 T2 (1 e 2 )(v1 v2 ) 2 2(m1 m2 )
m1m2 T T1 T2 (1 e 2 )(v1 v2 ) 2 2(m1 m2 )
(a) 对于完全弹性碰撞（e =1）： T T1 T2 0 系统动能没有损失,可以利用机械能守恒定律求碰撞后的速度。 (b) 对于塑性碰撞 （e =0）： T T1 T2
m1v1m2m2 v2 v ( 2 对于塑性碰撞（e =0）： v1 v11 v1 e) (v1 v2 ) m1 m2 1 2
( , 对于一般情况（0<e <1）： v v1 1v1 e) v2 m1v2 (v v ) v2 2 1 2 m1 m2
I 2 v2 v v1 v v2 v1 e I1 v v2 v v1 v1 v2
对于两物体正碰撞的情况，恢复系数等于两物体在碰撞
结束与碰撞开始时，质心的相对速度大小的比值。
联立(1),(2)式，解得：
v1 v1 (1 e)
m2 (v1 v2 ) m1 m2
( e ) (i ) 对于质点系： mi vi mi vi I i I i
n n n mi vi mi vi I i( e ) I i(i ) n i 1 i 1 i 1 i 1
n n mi vi mi vi I i( e ) n i 1 i 1 i 1
飞机相撞，如果飞机速度是800km/h，（对现代飞机来说， 这只是中等速度），碰撞力可高达3.56105N，即为鸟重的2 万倍！这是航空上所谓“鸟祸”的原因之一。
害的一面： 鸟祸、机械、仪器及其它物品由于碰撞损坏等。
利的一面：利用碰撞进行工作，如锻打金属，用锤打桩等。 研究碰撞现象，就是为了掌握其规律，以利用其有利的一 面，而避免其危害。
第 三 章
碰 撞
碰撞：两个或两个以上相对运动的物体在瞬间 接触，速度发生突然改变的力学现象
实例：锤锻、打桩、球的弹射与反跳、火车 车厢挂钩的联接。 飞机着陆、飞船对接与溅落
本章只讨论在一定简化条件下两个物体间的碰撞 问题
第三章 碰
§3-1
§3-2
撞
碰撞的分类 · 碰撞问题的简化
用于碰撞过程的基本定理
vn tan e vn tan
对于实际材料有e < 1, 则有：当碰撞物体表面光滑时，应有
>
在不考虑摩擦的一般情况下，碰撞前后的两个物体都在运 动，此时恢复因数定义为
n vr e n vr
vr n , vrn 分别为碰撞后和碰撞前两物体接触点沿接触面 式中
法线方向的相对速度
大小的比值。
若小球与固定面发生斜碰撞
假设不计摩擦，两物体只
在法线方向发生碰撞 恢复因数定义为
vn
v
vt vt
vn e vn
由于不计摩擦，两物体在 切线方向的投影相等
vn
v
vn tan vn tan
即有
vn tan e vn tan
m1m2 (v1 v2 ) 2 2(m1 m2 )
若第二个物体在塑性碰撞开始时静止，即v2=0，则
m1m2 2 1 m v 2 m2 v1 T 2(m1 m2 ) 2 1 1 m1 m2
1 T m1 1 1 m2
在这种塑性碰撞过程中损失的动能与两物体的质量比有关
m1m2 2 1 m v 2 m2 v T 2(m1 m2 ) 1 2 1 1 m1 m2
v 2gh1 v 2gh2
v e v
h2 h1
各种材料的恢复因数，可查阅书中表3-1。 一般地，0<e<1 —— 弹性碰撞
e=1 理想情况 ——完全弹性碰撞
e=0 极限情况 ——非弹性碰撞或塑性碰撞
v I 2 e v I1
恢复因数又等于正碰撞的两个阶段中作用于物体的碰撞冲量
n n n (e) t (e) (e) LO 2 LO1 ri dI i ri I i M O ( I i ) i 1 0 i 1 i 1
冲量矩定理：质点系在碰撞开始和结束时对点O的动量矩的变 化，等于作用于质点系的外碰撞冲量对同一点的主矩。 3. 刚体平面运动的碰撞方程 用于碰撞过程的质点系相对于质心的动量矩定理：
mv2 mv1 I
10 (1.5 6) I ; I 7.65 N s g 碰撞力的变化大致情况如图所示。
平均打击力 F * I / 7650 N，是榔头重的765倍。
可见，即使是很小的物体，当运动速度很高时，瞬时力
可以达到惊人的程度。有关资料介绍，一只重17.8N的飞鸟与
由正碰撞结束时两质心的速度公式知： m2 m1 v1 v1 (1 e) (v1 v2 ) ; v2 v2 (1 e) (v1 v2 ) m1 m2 m1 m2 代入上式中，得：
1 m1m2 T (1 e) (v1 v2 )[( v2 v1 ) (v2 v2 )] 2 m1 m2
m1 (v1 v2 ) m1 m2 对于完全弹性碰撞（e=1）： v2 v2 (1 e)
v1 v1 2m2 2m1 (v1 v2 ) ; v2 v2 (v1 v2 ) m1 m2 m1 m2
若 m1 m2 , 则 v1 v2 , v2 v1 (碰撞后两物体交换速度)
（2）正碰撞过程中的动能损失 1 1 2 T1 m1v12 m2 v2 碰撞开始： 2 2 1 1 2 碰撞结束： T2 m1v1 m2 v22 2 2 则动能损失：
1 1 2 2 2 T T1 T2 m1 (v1 v1 ) m2 (v2 v22 ) 2 2 1 1 m1 (v1 v1 )(v1 v1 ) m2 (v2 v2 )(v2 v2 ) 2 2
(e) LC 2 LC1 M C ( I i )
碰撞前后质点系相对于质心C的动量矩的变化，等于外碰撞冲 量对质心的矩的矢量和（对质心的主矩）
Baidu Nhomakorabea
对于平行于其质量对称面运动的平面运动刚体，有
LC J C
(e) J C2 J C1 M C ( I i )
§3-4
碰撞问题举例
例如：两物体对心正碰撞，质量分别为m1和m2，恢复因数为e
v 碰撞前：1 , v2 (v1 v2 ) v 碰撞结束： 1 , v2 （沿质心连线）
（1）分析碰撞结束时两质心的速度。
研究对象：两物体组成的质点系。 由冲量定理，得：
m1v1 m2v2 m1v1 m2v2
对心正碰撞
对心斜碰撞
（2）两个物体相碰时，按其接触处有无摩擦，可分为
光滑碰撞
非光滑碰撞
（3）两个物体相碰撞时，按物体碰撞后变形的恢复程 度（或能量有无损失），可分为 完全弹性碰撞 弹性碰撞 塑性碰撞
2. 对碰撞问题的两点简化
以榔头打铁为例说明碰撞力的特征： 设榔头重10N，以v1=6m/s的速度撞击铁块，碰撞时间 =1/1000s , 碰撞后榔头以v2=1.5m/s的速度回跳。求榔头打击铁块 的力的平均值。 以榔头为研究对象，根据动量定理
1 T m1 1 1 m2
1) 当m2>> m1时， △T ≈T1，质点系在碰撞开始时的动能几 乎完全损失在碰撞过程中，适用于锻压金属。在工程中采 用比锻锤重很多倍的砧座。 2) 当m2<< m1时， △T ≈0，适用于打桩，碰撞结束时桩获 得较大的动能克服阻力前进，因此在工程中应选取比桩重 得多的锤打桩。又如用锤子钉钉子。 (c) 对于弹性碰撞 （0<e<1 ）：
对上式积分
n (e) t LO 2 LO1 ri dI i i 1 0
碰撞过程简化假设（2），作用点矢径是恒量
n n n (e) t (e) (e) LO 2 LO1 ri dI i ri I i M O ( I i ) i 1 0 i 1 i 1
§3-2
用于碰撞过程的基本定理
由于碰撞过程时间短、碰撞力变化规律复杂，因此只分 析碰撞前、后运动的变化。 碰撞过程中有机械能的损失，难以用力的功来计算，因 此一般采用动量定理和动量矩定理的积分形式来确定力 的作用和运动变化的关系。 1. 用于碰撞过程的动量定理—冲量定理
t 对于质点： mv mv Fdt I 0 I 称为碰撞冲量，普通力的冲量忽略不计
由于碰撞时碰撞力极大而碰撞时间极短，在研究一般的碰撞
问题时，通常做如下两点简化：
（1）在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，重力、弹性力等普
通力远远不能与之相比，因此这些普通力的冲量忽略不计； （2）由于碰撞过程非常短促，碰撞过程中，速度变化为有限
值，物体在碰撞开始和碰撞结束时的位置变化很小，因此在碰 撞过程中，物体的位移忽略不计。
T T1 T2 0
(恒为正值）
[例] 打桩机。锤：m1，下落高度h；桩：m2，下沉 。两
上式不计普通力的冲量矩。
(e) mvC mvC I i
(e) J C2 J C1 M C ( I i )
刚体平面运动的碰撞方程。
§3-3
质点对固定面的碰撞 · 恢复因数
设一小球（可视为质点）沿铅直方向落到水平的固定平面上
碰撞过程分为两个阶段： 第一阶段：开始接触 至变形达到最大。该阶段 中，小球动能减小,变形增
v
v
大。设碰撞冲量为 I 1 ，则
应用冲量定理在y 轴投影
式
0 (mv ) I1
第二阶段：由弹性变形开始恢复到脱离接触。该阶段中，
小球动能增大，变形（弹性）逐渐恢复。设碰撞冲量为 I ， 2
则：
mv 0 I 2
v I 2 v I1
牛顿在研究正碰撞时发现，对于给定材料，碰撞结束与碰撞 开始的速度大小的比值几乎是不变的，该比值称为恢复因数。 v e v 恢复因数由实验测定
(i ) Ii 0
n i 1
冲量定理：质点系在碰撞开始和结束时动量的变化，等于作 用于质点系的外碰撞冲量的主矢。
(e ) mvC mvC I i
2. 用于碰撞过程的动量矩定理—冲量矩定理
n n (e) d (e) LO M O ( Fi ) ri Fi dt i 1 i 1 n n (e) (e) dLO ri Fi dt ri dI i i 1 i 1
§3-3
§3-4
质点对固定面的碰撞 · 恢复因数
碰撞问题举例
§3-5
碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用
· 撞击中心
§3-1
碰撞的分类 · 碰撞问题的简化
1. 碰撞的分类
碰撞时两物体间的相互作用力，称为碰撞力。
（1）两个物体相碰时，按其相处位置，可分为 对心碰撞 ---- 碰撞力的作用线通过两物体的质心。 否则称为偏心碰撞 偏心碰撞 正碰撞 斜碰撞 ---- 碰撞时各自质心的速度均沿着公法线。 否则称为斜碰撞