理论力学下册第二章碰撞

2.用于碰撞过程的动量矩定理——冲量矩定理
质点系动量矩定理
n n (e) d (e) LO M O ( Fi ) ri Fi dt i 1 i 1
上式可写成
n n (e) ( e) dLO ri Fi dt ri dI i i 1 i 1
或
3.刚体平面运动的碰撞方程
（用于刚体平面运动碰撞过程中的基本定理） 用于碰撞过程的质点系相对于质心的动量矩定理 n ( e) LC 2 LC1 M C (I i ) （2－5）
i 1
式中 LC1 ，LC 2为碰撞前与后质点系相对质心C的动量矩 右端项为碰撞冲量对质心之矩的几何和（对质心的主矩） 对于平行于其对称面的平面运动刚体
第二章
碰
撞
§ 2－1 碰撞的分类· 碰撞问题的简化
1.碰撞的分类
对心碰撞 偏心碰撞 正碰撞 斜碰撞 碰撞时两物体间的相互作用力称为碰撞力 光滑碰撞与非光滑碰撞 完全弹性碰撞 弹性碰撞 塑性碰撞
2.对碰撞问题的两个简化
碰撞现象的特点是 碰撞时间极短（一般为103 ~ 104 s ） 速度变化为有限值 加速度变化相当巨大 碰撞力极大
在不考虑摩擦的一般情况下 碰撞前后的两个物体都在运动 此时恢复因数定义为
r n k n r
n n
（2－9）
和 r 分别为碰撞后和碰撞前两物体接触点沿 式中 r 接触面法线方向的相对速度
§ 2－4 碰撞问题举例
例 2－1 两物体的质量分别为 m1和 m2 恢复因数为k 产生对心正碰撞 如图所示
将式（c）代入上式 得两物体在正碰撞过程中损失的动能 m1m2 1 ) ( 2 2 )] T T1 T2 (1 k ) (1 2 )[(1 1 2 m1 m2 由式（b）得
2 k (1 2 ) 1
于是得 T T1 T2
1 1 1 1 2 2 2 m2 2 2 T1 m11 m2 2 ，T2 m11 2 2 2 2
在碰撞过程中质点系损失的动能为
1 1 2 2 2 ) m2 ( 2 2 ) T T1 T2 m1 (1 1 2 2 2 1 1 )( 2 2 ) m1 (1 1 )(1 1 ) m2 ( 2 2 2 2
2 ， 2 1 如果 m1 m2 则 1
即两物体在碰撞结束时交换了速度 当两物体做塑性碰撞时 即k=0 有
m11 m2 2 2 1 m1 m2
一起运动
即碰撞结束时 两物体速度相同
以 T1 和 T2 分别表示此两物体组成的质点系在碰撞过程 开始和结束时的动能 则有
2gh2
于是得恢复因数 h2 k h1 几种材料的恢复因数见表
碰撞物体 铁对铅 木对胶 木对 的材料 木 木 恢复因数 0.14 0.26 0.50 钢对 钢 0.56 象牙对象 牙 0.89 玻璃对 玻璃 0.94
对于各种实际的材料 均有0<k<1 由这些材料做成的物体发生的碰撞称为弹性碰撞 物体在弹性碰撞结束时 变形不能完全恢复 动能有损失 k=1称为完全弹性碰撞 k=0称为非弹性碰撞或塑性碰撞
A C AC
1 cos 2 Ay Cy 2
（d）
Ay Ay 1 由恢复因数 k Ay sin 1 2 cos 代入式（d） 得 sin Cy 2
m sin I 由（b）和（c）两式得 mCy 1 l 2 ml 2 I cos 12 2
i 1 i 1 i 1 i 1
1.用于碰撞过程的动量定理——冲量定理
(e) 因为 I i 0 于是得
i i 1
(e) mii mii I i
n

n

n
i 1
i 1
i 1
（2－2）
式（2－2）是用于碰撞过程的质点系动量定理 因此又称为冲量定理： 质点系在碰撞开始和结束时动量的变化 等于作用于质点系的外碰撞冲量的主矢 （2－2）可写成 n mC I i(e) mC （2－3） i 1 分别是碰撞开始和结束时质心的速度 式中 C 和 C
LC J C
式（2－5）可写为 式中 1 ，2 分别为平面运动刚体碰撞前后的角速度 上式中不计普通力的冲量矩 式（2－6）与（2－3）结合起来 可用来分析平面运动刚体的碰撞问题 称为刚体平面运动的碰撞方程
( e) J C 2 J C 1 M C (I i )
（2－6）
第一阶段碰撞冲量为 I 1 0 (m ) I1 第二阶段碰撞冲量为 I 2
于是得
§ 2－3 质点对固定面的碰撞· 恢复因数
(m 0) I 2
I2 （2－7） I1 k （2－8） 常数k恒取正值 称为恢复因数
恢复因数需要用试验测定
2gh1
解： 设碰撞开始时子弹速度为 则 LO1 m2 d 设碰撞结束时摆的角速度为ω 则 LO2 J O m2 d 2 ( J O m2 d 2 ) 因 LO1 LO2 解得 J O m2 d 2 m2 d 碰撞结束后 摆与子弹一起绕轴O转过角度 应用动能定理 有
（e） （f） （g）
l 2 sin 由（f）（g）两式消去I 得 Cy 6 cos
6 sin 2 代入式（e） 解得 2 (1 3 cos2 )l
§ 2－5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作 用· 撞击中心
1.定轴转动刚体受碰撞时角速度的变化
Lz 2
即
§ 2－2 用于碰撞过程的基本定理
碰撞过程开始瞬时的速度为 设质点的质量为m 结束时的速度为 则质点的动量定理为 t m m Fdt I （2－1） 0 式中 I 为碰撞冲量 普通力的冲量忽略不计 质点系 ( e ) (i ) mii mii I i I i 设质点系有n个质点 对于每个质点都可列出如上的方程 将n个方程相加 得 n n n n (e) (i ) m m I I i i i i i i
1 1 2 0 ( J O m2 d 2 2 ) m1 g (h h cos ) m2 g (d d cos ) 2 2
即
1 ( J O m2 d 2 ) 2 (m1h m2 d )(1 cos ) g 2
2 因 1 cos 2 sin
m1m2 (1 k 2 )(1 2 ) 2 2(m1 m2 )
（d）
在理想情况下 k＝1 T T1 T2 0 在塑性碰撞时 k=0 动能损失为 m1m2 T T1 T2 (1 2 ) 2 2(m1 m2 ) 如果第二个物体在塑性碰撞开始时处于静止 即 2 0 则动能损失为 m1m2 T T1 T2 12 2(m1 m2 ) 1 2 T m 上式可改写为 注意到 1 1 1 2 m2 1 T T1 T2 T1 T1 （e） m m1 m2 1 1 m2 可见 在塑性碰撞过程中 损失的动能与两物体质量比有关 当 m2 m1时 T T1 当 m2 m1时 T 0
解：
mCy I y mCy ( e) J C 2 J C 1 M C ( I )
Cx sin Cx
选质心为基点 沿y轴投影 有 有
mCx I x mCx
（a）
（b）
（c） 有
地面光滑 杆只受有y方向的碰撞冲量I I x 0
积分 或
得

LO 2 dLO LO1

i 1
n
t
0
(e) ri dI i
n t n (e) t (e) LO 2 LO1 ri dI i ri dI i i 1 0 i 1 0
n n (e) (e) LO 2 LO1 ri I i M O (I i ) （2－4） i 1 i 1 ( e) 称 ri I i 为冲量矩 其中不计普通力的冲量矩 （2－4）是用于碰撞过程的动量矩定理 又称为冲量矩定理： 质点系在碰撞开始和结束时对点O的动量矩的变化 等于作用于质点系的外碰撞冲量对同一点的主矩
(e) Lz1 M z ( I i )
n i 1 n
(e) J z 2 J z 1 M z ( I i )
i 1
角速度的变化为
2 1
(e) M z (I i ) Jz
（2－10）
2.支座的反碰撞冲量· 撞击中心

2
代入上式中 解得

m1h m2 d J O m2 d
2
g 2wenku.baidu.comsin

2
于是得子弹射入砂筒前的速度为

2 sin

( J O m2 d 2 )(m1h m2 d ) g
2 m2 d
例 2－3 速度为 平行于杆 均质细杆长l 质量为m 杆与地面成θ角 斜撞于光滑地面 如图所示 如为完全弹性碰撞 求撞后杆的角速度
求碰撞结束时各自质心的速度和碰撞过程中动能的损失
解：有
m2 2 m11 m2 2 m11
（a ）
由恢复因数定义 由式（2－9） 有 1 2 k 1 2
（b）
联立（a）和（b）二式 解得 m2 1 (1 k ) 1 (1 2 ) m1 m2 （c） m1 2 (1 k ) 2 (1 2 ) m1 m2 在理想情况下 k=1 有 2m2 2m1 1 2 1 (1 2 ) ， 2 (1 2 ) m1 m2 m1 m2
由于碰撞时碰撞力极大而碰撞时间极短 在研究一般的碰撞问题时 通常做如下两点简化
（1）在碰撞过程中 由于碰撞力非常大 重力 弹性力 等等普通力远远不能与之相比 因此这些普通力的冲量忽略不计 （2）由于碰撞过程非常短促 碰撞过程中 速度变化为有限值 物体在碰撞开始和碰撞结束时的位置变化很小 因此在碰撞过程中 物体的位移忽略不计
例 2－2 如图所示为一测量子弹速度的装置 称为射击摆 其是一个悬挂于水平轴O的填满砂土的筒 当子弹水平射入砂筒后 使筒绕轴O转过一偏角 测量偏角的大小即可求出子弹的速度 已知摆的质量为 m1 对于轴O的转动惯量为 J O 摆的重心C到轴O的距离为h 子弹的质量为 m2 子弹射入砂筒时 子弹到轴O的距离为d 悬挂索的重量不计 求子弹的速度
由式（2－7）和（2－8）有 I2 k I1 即恢复因数又等于正碰撞的两个阶段中作用于物体的碰 撞冲量大小的比值
n 如图所示 此为斜碰撞 此时定义恢复因数为 k n 和 n 分别是速度 和 在法线方向的投影 式中 n
由于不计摩擦 和 在切线方向的投影相等 由图可见 tan n tan n 于是 n tan k n tan 对于实际材料有k<1 由上式可见 当碰撞物体表面光滑时 应有