1.2.1平面的基本性质 教案1 高中数学 必修二 苏教版 Word版

A
1
§1.2.1 平面的基本性质(1)
教学目标：
1．了解平面的概念、掌握平面的画法及其表示法；
2．初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；
3．了解公理1、公理2、公理3，并能简单应用性质解决一些简单的问题．
教学重点：
掌握使用符号语言及三个公理的正确理解与使用．
教学难点：
三个公理的正确理解与使用．
教学过程：
1．问题情境
情境：广阔的草原、平静的湖面、长方体的底面、侧面都给我们以平面的形象。

问题：在数学世界中，平面到底是什么样的一个概念呢？
2．平面的概念
(1)平面的概念
平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性。

常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象。

(对比直线的无限延伸和无粗细)
思考：一条直线把平面分成两部分，一个平面把空间分成几部分？两个呢？三个呢？(2) 平面的画法及其表示方法
○1在立体几何中，常用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图，即用锐角成45︒，横边成邻边两倍的平行四边形表示水平放置的平面。

注：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，被遮部分线段画成虚线。

○2一般用一个希腊字母α、β、γ…来表示，如平面α，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示，如平面AC等。

(3)
3
公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

推理模式：A
AB
B
α
α
α
∈⎫
⇒⊂
⎬
∈⎭
．如图所示：
应用：○1判定直线在平面内；○2判定点在平面内。

模式：a A A a α
α⊂⎧⇒∈⎨∈⎩
．
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经
过这个公共点的一条直线。

说明：如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线。

推理模式：P l P ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭
且P l ∈。

如图所示：
应用：○1确定两相交平面的交线位置；○2
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

如图示： 说明：过不共线三点,,A B C 的平面通常记作“平面ABC ”推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫
⎪
∈⇒⎬⎪∈⎭
不共线与β重合。

应用：○1确定平面；○2证明两个平面重合。

注：“确定”包含两层意思，“存在”且“唯一”。

思考：过三点确定一个平面对吗？ 4．例题讲解
例1：将下列文字语言转化为符号语言，图形语言： (1)点A 在平面α内，但不在平面β内；
(2)直线a 经过平面α外一点M ；
(3)直线l 在平面α内，又在平面β内。

（即平面α和β相交于直线l ．） 解：(1),A A αβ∈∉；(2),M a M α∈∉；(3)l αβ= 。

图略 例2：将下列符号语言转化为图形语言： (1)A α∈，B β∈，A l ∈，B l ∈；
(2)a α⊂，b β⊂，//a c ，b c P = ，c αβ= 。

说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）。

(1) (2)
A 1
D 1B 1
C 1A
D
B
C
O
O 1
B D
C
E
P
H A
G 例3：在正方体1AC 中，判断下列说法是否正确，并说明理由。

(1)直线1AC 在平面11CC B B 内；(错误) (2)设正方形ABCD 与1111A B C D 的中心 分别为1,O O ，则平面11AAC C 与平面
11BB D D 的交线为1OO ；(正确)
(3)由点,,A O C 可以确定一个平面。

(错误)
例4：点A ∉平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若EH 与FG 交于P ，
求证：P 在直线BD 上。

证明：∵EH FG P = ，∴P EH ∈，P FG ∈， ∵,E H 分别属于直线,AB AD ， ∴EH ⊂平面ABD ，∴P ∈平面ABD ， 同理：P ∈平面CBD ，
又∵平面ABD 平面CBD BD =， 所以，P 在直线BD 上。

5．课堂小结
(1)平面的概念及其表示方法；
(2)平面的性质的三个公理及其简单应用。

§1.2.1 平面的基本性质(2)
教学目标：
1．了解推论1、推论2、推论3，并能运用推论解释生活中的一些现象． 2．初步学习立体几何中的证明．
教学重点：
三个推论的理解和应用．
教学难点：
推论的正确理解和正确应用．
教学过程：
1．复习引入
复习：回顾平面的基本性质的三个公理：公理1、公理2、公理3． 问题：根据公理3，不共线的三个点可以确定一个平面，那么， ○
1一条直线和这条直线外一点能否确定一个平面呢？
○
2两条相交直线呢？ ○
3两条平行直线呢？ 为什么？
2．公理3的三个推论
推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面．
已知：直线l ，点A l ∉，求证：过点A 和直线l 有且只有一个平面。

证明：(存在性)：在直线l 上任取两点B 、C ， ∵A l ∉，∴,,A B C 不共线．
由公理3，经过不共线的三点,,A B C 可确定一个平面α，
∵点,B C αα∈∈，根据公理1，∴l α⊂，即平面α经过直线l 和点A 。

(唯一性)：∵,B C l ∈，∴经过直线l 和点A 的平面一定经过点,,A B C ， 又∵由公理3可得：经过不共线三点,,A B C 的平面只有一个， 所以，经过l 和点A 的平面只有一个。

类似地，得出以下两个推论：（由学生证明） 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。

证明：(存在性)：设a b C = ，在a 上取不同于点C 的点A ，则A b ∉， 由推论1得，过直线b 和点A 有一个平面α，
,A C αα∈∈ ，a α∴⊂，因此，经过,a b 有一个平面α。

(唯一性)：经过,a b 的平面一定经过A 和b ，由推论1，这样的平面只有一个， 所以经过两条相交直线,a b 的平面有且只有一个。

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。

3．例题讲解
例1．已知：,,,A l B l C l D l ∈∈∈∉，求证：直线,,AD BD CD 共面。

分析：∵直线l 与点D 可以确定平面α，∴只需证明,,AD BD CD 都在平面α内。

证明：∵D l ∉，∴直线l 与点D 可以确定平面α(推论1)， 又∵A l ∈，∴A α∈，又∵D α∈，∴AD α⊂(公理1)， 同理，BD α⊂，CD α⊂，
所以，直线,,AD BD CD 在同一平面α内，即它们共面。

例2．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，画出由1A ，1C ，P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线。

分析：确定两个平面的交线，只需找到两个平面的两个公共点，过这两点的直线就是这两个平面的交线(即找公共点或公共棱)。

A 1
1A 1B 1C 1D A
B
C D A
B
C D l
α
例3．若l αβ= ，,A B α∈，C β∈，试画出平面ABC 与平面,αβ的交线。

4．练习
(1)若空间三个平面两两相交，则它们的交线有 1或3 条； (2)四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有 4 个；
(3)给出下列四个命题：○1若空间四点不共面，则其中无三点共线；○2若直线l 上有一点在平面α外，则l 在α外；○3若直线,,a b c 中，a 与b 共面且b 与c 共面，则a 与c 共面；○
4两两相交的三条直线共面．其中正确命题的序号是○1○2． (4)在正方体1111ABCD ABC D -中，○11AA 与1CC 能够确定一个平面？○2点1,,B C D 能否确定一个平面？○3画出平面11ACC A 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线；○4P 为棱BC 的中点，画出由11,,A C P 三点所确定的平面α与正方体表面的交线。

(5)求证：两两相交且不过同一点的三条直线共面。

5．课堂小结
公理三的三个推论及其应用。