高考数学 答题技巧

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例 10 方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负根的充要条件是( C )
A．0<a≤1
B．a<1
C．a≤1
D．0<a≤1 或 a<0
解析 当 a＝0 时，x＝－12，故排除 A、D.
＝f(11)＝－15.
7
题型二 概念辨析法 概念辨析是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进 行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法．这类题 目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性质，这需 要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内 涵与外延，同时在审题时要多加小心，准确审题以保证正 确选择．一般说来，这类题目运算量小，侧重判断，下笔 容易，但稍不留意则易误入命题者设置的“陷阱”．
8
例3 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，给出下列条
件，①a＝kb(k∈R)；②x1x2＋y1y2＝0；③(a＋3b)∥(2a－
b)；④a·b＝|a||b|；⑤x12y22＋x22y21≤2x1x2y1y2.
其中能够使得a∥b的个数是
( D)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 显然①是正确的，这是共线向量的基本定理；
一定有 b＝c，故①为假命题．
②∵a∥b，∴1×6＝－2k.∴k＝－3.故②为真命题．
③由平行四边形法则知围成一菱形且一角为 60°，a＋b 为其 对角线上的向量，a 与 a＋b 夹角为 30°，故③为假命题． 11
题型三 数形结合法 “数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基 石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定 条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点 的基础上发展而来的．在解答选择题的过程中，可以先根 据题意，做出草图，然后参照图形的做法、形状、位置、 性质，综合图象的特征，得出结论．
探究提高 本题直接求解较难，利用特殊位置法，则简便
易行．利用特殊检验法的关键是所选特例要符合条件．
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变式训练6 已知P、Q是椭圆3x2＋5y2＝1上满足∠POQ＝
90°的两个动点，则O1P2＋O1Q2等于
(B )
A．34
B．8
8 C.15
34 D.225
解析
取两特殊点P(
33，0)、Q(0，
5 5
17
变式训练5 函数y＝|log1 x|的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，
2
则区间[a，b]的长度b－a的最小值是
(D )
A．2
3 B.2
C．3
3 D.4
解析 作出函数y＝|log 1 x|的图象，如图所示，由y＝0解
2
得x＝1；由y＝2，解得x＝4或x＝
1 4
.所以区间[a，b]的长
度b－a的最小值为1－14＝34.
10
变式训练3 关于平面向量a，b，c，有下列三个命题： ①若a·b＝a·c，则b＝c. ②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3. ③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为
60°. 则假命题为 A．①②
B．①③
C．②③
(B ) D．①②③
解析 ①a·b＝a·c ，a·(b－c)＝0，a 与 b－c 可以垂直，而不
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例 4 用 min{a，b，c}表示 a，b，c 三个数中的最
小值．设 f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则 f(x)的最大
值为 A．4
B．5
C．6
(C )
D．7
思维启迪 画出函数f(x)的图象，观察最高点，求出纵
坐标即可．本题运用图象来求值，直观、易懂．
解析 由题意知函数f(x)是三个函
∴f(x＋f4)＝(f(xx1＋3 2)＝21133 )＝f (x)． k
f(x)
f ( x)
∴函数.f.(x.)为. .周.期函数，且T＝4.
∴f(99)＝f(4×24＋3)＝f(3)＝f1(13)＝123.
5
探究提高 直接法是解选择题的最基本方法，运用直接法 时,要注意充分挖掘题设条件的特点，利用有关性质和已有 的结论，迅速得到所需结论．如本题通过分析条件得到f(x) 是周期为4的函数，利用周期性是快速解答此题的关键．
故选B.
探究提高 判断一个数列是否为等比数列的基本方法是定
义法，也就是看 an＋1 是否为常数，但应注意检验一个数列 an
为等比数列的必要条件是否成立． 23
变式训练7 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若aa2nn＝
42nn－ －11，则SS2nn的值为
(
)
A．2
B．3
C．4
D．8
解析
取 n＝1，得aa21＝31，∴a1＋a1a2＝41＝4， 于是，当 n＝1 时，SS2nn＝SS21＝a1＋a1 a2＝4.
(2)选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有 一定的综合性和深度等特点，且每一题几乎都有两种或两种
2
以上的解法，能有效地检测学生的思维层次及观察、分析、
判断和推理能力．
目前高考数学选择题采用的是一元选Leabharlann Baidu题(即有且只有一
个正确答案)，由选择题的结构特点，决定了解选择题除常规
方法外还有一些特殊的方法．解选择题的基本原则是：“小
题不能大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的各
种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断．
数学选择题的求解，一般有两条思路：一是从题干出发考
虑，探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出
发探求是否满足题干条件．
解答数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析
法、图象分析法、特例检验法、排除法、估算法等，这些方
以a∥b；⑤是正确的，由x12y
2 2
＋x22y
2 1
≤2x1x2y1y2，可得
(x1y2－x2y1)2≤0，从而x1y2－x2y1＝0，于是a∥b.
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探究提高 平行向量(共线向量)是一个非常重要和有用的概 念，应熟练掌握共线向量的定义以及判断方法，同时要将 共线向量与向量中的其他知识(例如向量的数量积、向量的 模以及夹角等)有机地联系起来，能够从不同的角度来理解 共线向量．
数y1＝2x，y2＝x＋2，y3＝10－x中 的较小者，作出三个函数在同一
个坐标系之下的图象(如图中实线
部分为f(x)的图象)可知A(4,6)为函
数f(x)图象的最高点．
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变式训练 4
设集合 A＝(x，y)x42＋1y62 ＝1
，
B＝(x，y)|y＝3x，则 A∩B 的子集的个数是
(A )
A．4
6
变式训练1 函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝f(1x)，
若f(1)＝－5，则f(f(5))的值为
( D)
A．5
B．－5
1 C.5
D．－15
解析 由f(x＋2)＝f(1x)，得f(x＋4)＝f(x＋1 2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(5)＝f(1)＝－5， 从而f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝f(－11＋2)
转化为f(x)＝12x，而函数y＝f(x)和y＝12x的图象又都可以 画出，故可以利用数形结合的方法，通过两个函数图象
交点的个数确定相应方程的根的个数．
解析
方程f(x)·2x＝1可化为f(x)＝
1 2
x，
在同一坐标系下分别画出函数y＝f(x)和
y＝
1 2
x的图象，如图所示．可以发现其
图象有两个交点，因此方程f(x)＝
第 1 讲 选择题
1
第 1 讲 选择题的解题方法与技巧
题型特点概述
选择题是高考数学试卷的三大题型之一．选择题的分数一 般占全卷的 40%左右，高考数学选择题的基本特点是：
(1)绝大部分数学选择题属于低中档题，且一般按由易到 难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充 分的体现和应用，并且因为它还有相对难度(如思维层次、解 题方法的优劣选择，解题速度的快慢等)，所以选择题已成为 具有较好区分度的基本题型之一．
②是错误的，这是两个向量垂直的条件；③是正确
的，因为由(a＋3b)∥(2a－b)，可得(a＋3a)＝λ(2a－
b)，当λ≠12时，整理得a＝2λλ＋－31b，故a∥b，当λ＝12时
也可得到a∥b；④是正确的，若设两个向量的夹角为
θ，则由a·b＝|a||b|cos θ，可知cos θ＝1，从而θ＝0，所
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小结：数形结合，借助几何图 形的直观性，迅速作正确的判 断是高考考查的重点之一；历 年高考选择题直接与图形有关 或可以用数形结合思想求解的
题目约占50％左右.
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题型四 特例检验法 特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图 形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各 个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特 殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊 位置等． 特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对 某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判 断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下 不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或 “小题巧做”的解题策略．
1 2
x有
两个实数根．
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探究提高 一般地，研究一些非常规方程的根的个数以及根 的范围问题，要多考虑利用数形结合法．方程 f(x)＝0 的根 就是函数 y＝f(x)图象与 x 轴的交点横坐标，方程 f(x)＝g(x) 的根就是函数 y＝f(x)和 y＝g(x)图象的交点横坐标．利用数 形结合法解决方程根的问题的前提是涉及的函数的图象是 我们熟知的或容易画出的，如果一开始给出的方程中涉及的 函数的图象不容易画出，可以先对方程进行适当的变形，使 得等号两边的函数的图象容易画出时再进行求解．
B．3
C．2
D．1
解析
集合A中的元素是椭圆
x2 4
＋
y2 16
＝1上的点，集合B中
的元素是函数y＝3x的图象上的点．由数形结合，可知
A∩B中有2个元素，因此A∩B的子集的个数为4.
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例5 函数f(x)＝1－|2x－1|，则方程f(x)·2x＝1的实根的个数
是
(C )
A．0
B．1
C．2
D．3
思维启迪 若直接求解方程显然不可能，考虑到方程可
)即两个端点，则
O1P2＋O1Q2＝3＋5＝8.故选B.
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例7 数列{an}成等比数列的充要条件是 A．an＋1＝anq(q为常数) B．an2＋1＝an·an＋2≠0 C．an＝a1qn－1(q为常数) D．an＋1＝ an·an＋2 解析 考查特殊数列0,0，…，0，…，
(B )
不是等比数列，但此数列显然适合A，C，D项．
法既是数学思维的具体体现，也是解题的有效手段．
3
解题方法例析
题型一 直接对照法 直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条 件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知 识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出 正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从 而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用 题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接 求解．
4
例1 设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝
2，则f(9f9)等(于x 2) f ( x )( C )
A．13
f
( xB．2
2)
13
C. 2
1
2 D.13
思维启迪 先求f(x)的周期． f ( x )
解析
∵f f((x＋x2)＝f1(x32)，)
1 f ( x)
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例6 已知A、B、C、D是抛物线y2＝8x上的点，F是抛物线
的焦点，且F→A＋F→B＋F→C＋F→D＝0，则|F→A|＋|F→B|＋|F→C|＋
|F→D|的值为
(D )
A．2
B．4
C．8
D．16
解析 取特殊位置，AB，CD 为抛物线的通径，
显然→FA ＋→FB＋F→C＋F→D＝0，
则|→FA|＋|→FB|＋|F→C|＋|F→D|＝4p＝16，故选 D.
，R= lg( a b) ，则（ 2
）解10：，取比a＝较1可02知0，选bB＝
（A）R<P<Q （B）P<Q< R
（C）Q< P<R （D）P< R<Q
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题型五 筛选法 数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目 要求的选项，找到符合题意的正确结论．筛选法(又叫排 除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通 过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的 结论．
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例8．等差数列{an}的前m项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m项和C为（ ）
（A）130 （B）170 （C）210（D）260
• 解：（特例法）取m＝1，依题意a1＝30，a1＋ a2＝100，则a2＝70，又{an}是等差数列，进而
a3＝110，故S3＝210，选（C）.
例9．若a>b>1，P= lg a lg b ，Q= 1 ((llggaallggbb))