中考数学压轴专题翻折类

中考数学压轴专题 翻折类

1、如图10，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则折痕EF 的长是_______ .

2、如图11，□ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为_______ .

3、如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在点A 1处，已知OA ＝，

AB ＝1，则点A 1的坐标是（ ） A.（

23，23） B.（23，3） C.（23，23） D.（2

1

，23） 4、（06临汾）如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 向上折叠，使点B 落在DC 边上的F 点处．若AFD △的周长为9，ECF △的周长为3，则矩形ABCD 的周长为________．

5、（2010上海金山）如图2，在△ABC 中，AD 是BC 上的中线，BC=4，∠ADC=30°，把△ADC 沿AD 所在直线翻折后点C 落在点C ′的位置，那么点D 到直线BC ′的距离是 ．

4、（08十堰）如图，把一张矩形的纸ABCD 沿对角线BD 折叠，使

点C 落在点E 处，BE 与AD 交于点F ．

（1）求证：ΔABF ≌ΔEDF ；

（2）若将折叠的图形恢复原状，点F 与BC 边上的点M 正好重合，连

接DM ，试判断四边形BMDF 的形状，并说明理由．

解：

⑴证明：由折叠可知，C ．E ED ，CD ∠=∠= ……1分 在矩形ABCD 中，C ，A CD ，AB ∠=∠= ∴E ．A ED AB ∠=∠=, ∵∠AFB ＝∠EFD ，

∴△AFB ≌△EFD ． ……………………４分

⑵四边形BMDF 是菱形． ………………………５分

F

E

D

C

B

A

图10 D A

B

C

E

F

图11 A F

C

D

B

A

M

第22题图

F

E

C /

B

D

C

A

图2

理由：由折叠可知：BF ＝BM ，DF ＝DM ． …………６分 由⑴知△AFB ≌△EFD ，∴BF ＝DF ．∴BM ＝BF ＝DF ＝DM ． ∴四边形BMDF 是菱形． …………………7分

1、（08枣庄）如图，在直角坐标系中放入一个边长OC 为9的矩形纸片ABCO ．将纸片翻折后，点B 恰好落在x 轴上，记为B ′，折痕为CE ，已知tan ∠OB ′C ＝3

4

． （1）求B ′ 点的坐标；

（2）求折痕CE 所在直线的解析式． 解：

（1）在Rt △B ′OC 中，tan ∠OB ′C ＝3

4

，OC ＝9， ∴

93

4

OB ='． 解得OB ′＝12，即点B ′ 的坐标为（12，0）． ………………………………………３分 （2）将纸片翻折后，点B 恰好落在x 轴上的B ′ 点，CE 为折痕， ∴ △CBE ≌△CB ′E ，故BE ＝B

′E ，CB ′＝CB ＝OA ．

由勾股定理，得 CB 15． … …………………………………４分 设AE ＝a ，则EB ′＝EB ＝9－a ，AB ′＝AO －OB ′＝15－12=3． 由勾股定理，得 a 2+32＝(9－a )2，解得a ＝4．

∴点E 的坐标为（15，4），点C 的坐标为（0，9）． ············· ５分

设直线CE 的解析式为y ＝kx +b ，根据题意，得 9,415.b k b =⎧⎨=+⎩ …………… ６分

解得9,

1.3b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ∴CE 所在直线的解析式为

y ＝－

1

3

x +9． …………………８分 2、（09益阳）如图11，△ABC 中，已知∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BD

2，DC ＝3，求AD 的长.

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题请按照小萍的思路，探究并解答下列问题： (1)分别以AB 、AC 为对称轴，画出△ABD 、△ACD 的轴对称图形，D 称点为E 、F ，延长EB 、FC 相交于G 点，证明四边形AEGF 是正方形； (2)设AD =x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值.

解析：

(1)证明：由题意可得：△ABD ≌△ABE ，△ACD ≌△ACF ·············· 1分 ∴∠DAB ＝∠EAB ，∠DAC ＝∠FAC ，又∠BAC ＝45°，

∴∠EAF ＝90° ································· 3分 又∵AD ⊥BC

图11

∴∠E ＝∠ADB ＝90°∠F ＝∠ADC ＝90° ····················· 4分 又∵AE ＝AD ，AF ＝AD

∴AE ＝AF ··································· 5分 ∴四边形AEGF 是正方形 ···························· 6分 (2)解：设AD ＝x ，则AE ＝EG ＝GF ＝x ····················· ７分 ∵BD ＝2，DC ＝3 ∴BE ＝2 ，CF ＝3

∴BG ＝x －2，CG ＝x －3 ···························· ９分 在Rt △BGC 中，BG 2＋CG 2＝BC 2

∴( x －2)2＋(x －3)2＝52 ····························· 11分 化简得，x 2－5x －6＝0

解得x 1＝6，x 2＝－1（舍）

所以AD ＝x ＝6 ································ 12分 3、已知如图，矩形OABC 的长OA=3，宽OC=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC. （1）填空：∠PCB=_ ___度，P 点坐标为（ ， ）； （2）若P ，A 两点在抛物线y=－

43

x 2

+bx+c 上，求b ，c 的值，并说明点C 在此抛物线上；

（3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C ，P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由．

3、（06临安）如图，△OAB 是边长为23+的等边三角形，其中O 是坐标原点，顶点B 在y 轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A 落在边OB 上，记为A ′，折痕为EF.

（1）当A ′E//x 轴时，求点A ′和E 的坐标； （2）当A ′E//x 轴，且抛物线2

16

y x bx c =-

++经过点A ′和E 时，求抛物线与x 轴的交点的坐标；

(3)当点A ′在OB 上运动，但不与点O 、B 重合时，能否使△A ′EF 成为直角三角形？若能，请求出此时点A ′的坐标；若不能，请你说明理由. 解：

（1）由已知可得∠A ，OE=60o

, A ，E=AE 由A ′E//x 轴,得△OA ，E 是直角三角形，设A ，的坐标为（0，b ） AE=A ，E=3b ,OE=2b 3223b b +=+

所以b=1，A ，、E 的坐标分别是（0，1）与（3，1）因为A ，、E 在抛物线上，所以

2

111(3)36c

b c =⎧⎪

⎨=-++⎪⎩g 所以13c b =⎧⎪⎨=⎪⎩

，函数关系式为213166y x x =-++ 由213

1066

x x -

++=得123,23x x =-=与x 轴的两个交点坐标分别是（3-，0）与（23，0） 不可能使△A ′EF 成为直角三角形.

∵∠FA ，E=∠FAE=60o ,若△A ′EF 成为直角三角形,只能是∠A ，EF=90o 或∠A ，FE=90

o