弹簧的能量问题
机械能守恒弹簧能量和连接体问题
(1)当B的速度最大时，弹簧的伸长量； (2)B的最大速度．
[解析] (1)通过受力分析可知：当B的速度最大时，其加速度为 0，细绳上的拉力大小为F＝4mgsin30°＝2mg，此时弹簧处于伸长 状态，弹簧的伸长量为xA，满足
k xA＝F－mg 则xA＝
(2)开始时弹簧压缩的长度为：xB＝
【举例应用】
物体从A到C的过程，由机械能守恒定律得：
由以上两式解得： A处的弹性势能为：
二、举例应用
4、如图所示，在倾角为θ的固定的光滑斜面上有 两个用轻质弹簧相连接的物块A 、B ．它们的质量都为
m，弹簧的劲度系数为k , C为一固定挡板。系统处于静
止状态，开始时各段绳都处于伸直状态。现在挂钩上挂 一物体P，并从静止状态释放，已知它恰好使物体B离开 固定档板C， 但不继续上升（设斜面足够长和足够高）。 求：物体P的质量多大？
(1)物体C下降到速度最大时，地 面对B的支持力多大? (2)物体C下降的最大速度？
解析（1）C物体下降过程中，当C物体的加速度为0时，下落速 度最大， 对C： F=2.5mg
对A、B和弹簧整体：N=(2m+3m)g-F 则地面对B物体的支持力：N=2.5mg
（2）未加C时，A处于静止状态，设弹簧压缩量为x1 则有： 2mg=kx1 得 x1 =
做功的特点：与路径无关，只取决于初末状态弹簧形变量的 大小。这一点对于计算弹力的功和弹性势能的改变是非常重 要的，必须引起重视。
二、举例应用
1、如图所示,一轻质弹簧竖直放置,下端固定在水平面上, 上端处于a位置,当一重球放在弹簧上端静止时,弹簧上端 被压缩到b位置.现将重球(视为质点)从高于a位置的c位置 沿弹簧中轴线自由下落,弹簧被重球压缩到最低位置d.以 下关于重球运动过程的正确说法应是( ).
弹簧的动量和能量问题
弹簧的动量和能量问题弹簧的动量和能量问题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、知识清单1．弹性势能的三种处理方法弹性势能E P=½kx2，高考对此公式不作要求，因此在高中阶段出现弹性势能问题时，除非题目明确告诉了此公式，否则不需要此公式即可解决，其处理方法常有以下三种：①功能法：根据弹簧弹力做的功等于弹性势能的变化量计算；或根据能量守恒定律计算出弹性势能；②等值法：压缩量和伸长量相同时，弹簧对应的弹性势能相等，在此过程中弹性势能的变化量为零；③“设而不求”法：如果两次弹簧变化量相同，则这两次弹性势能变化量相同，两次作差即可消去。
二、例题精讲2．（2006年·天津理综）如图所示，坡道顶端距水平面高度为h，质量为m1的小物块A从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使A制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M处的墙上，一端与质量为m2的档板B相连，弹簧处于原长时，B恰位于滑道的末端O点．A与B碰撞时间极短，碰后结合在一起共同压缩弹簧，已知在OM段A、B与水平面间的动摩擦因数均为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g，求：（1）物块A在与挡板B碰撞前瞬间速度v的大小；（2）弹簧最大压缩量为d时的弹性势能E p（设弹簧处于原长时弹性势能为零）．3．如图所示，在竖直方向上，A、B两物体通过劲度系数为k＝16 N/m的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连，C放在倾角α＝30°的固定光滑斜面上. 用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行．已知A、B的质量均为m＝0.2 kg，重力加速度取g ＝10 m/s2，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放C后，C沿斜面下滑，A刚离开地面时，B获得最大速度，求：(1)从释放C到物体A刚离开地面时，物体C沿斜面下滑的距离；(2)物体C的质量；(3)释放C到A刚离开地面的过程中细线的拉力对物体C 做的功．4．（2014•珠海二模）如图甲，光滑的水平面上有三个滑块a、b、c；a、b的质量均等于1kg；b、c被一根轻质弹簧连接在一起，处于静止状态；在t=0时，滑块a突然以水平向右的速度与b正碰，并瞬间粘合成一个物体（记为d）；此后运动过程中弹簧始终处于弹性限度内，d的速度随时间做周期性变化，如图乙．则：（1）求滑块a的初速度大小以及a、b正碰中损失的机械能△E；（2）求滑块c的质量；（3）当滑块c的速度变为v x瞬间，突然向左猛击一下它，使之突变为﹣v x，求此后弹簧弹性势能最大值E p的表达式，并讨论v x取何值时，E p的最大值E pm．5．如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧上端固定，下端挂一个质量为m的物体。
弹簧问题能量
弹簧的能量专题1、如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m 的小圆环•圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。
现让圆环由静止开始下滑，已知弹 簧原长为L ,圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为 2L （未超过弹性限度），则在圆环下滑到最大距离的过程中 ,圆环的机械能守恒F — kdmB.该过程中，物块 A 的速度逐渐增大A. B. 弹簧弹性势能变化了mgLC. D. 2、圆环下滑到最大距离时•所受合力为零圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变 如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与质量为 m 套在粗糙竖直固定杆 A 处的圆环相 连，弹簧水平且处于原长。
圆环从 A 处由静止开始下滑， 经过B 处的速度最大，到达 C 处的 速度为零，AC=h 。
圆环在C 处获得一竖直向上的速度 v ,恰好能回到 A;弹簧始终在弹性限度之内，重力加速度为 g ,则圆环d _____ 4A. 下滑过程中，加速度一直减小B. 下滑过程中，克服摩擦力做功为1 2 mv 4C. 在C 处,1 弹簧的弹性势能为1mv 2-mghD. 上滑经过 B 的速度大于下滑经过 B 的速度3、在倾角为 m （ m v m ），弹簧的劲度系数为 用一恒力F 沿斜面方向拉物块 为d ,速度为v .则（）m 、0的光滑斜面上放有两个用轻弹簧相连接的物块 A 、B , k , C 为一固定挡板，系统处于静止状态， A 使之向上运动，当物块B 刚要离开C 时，物块A 运动的距离它们的质量分别为 如图所示.现开始 A.此时物块A 的加速度为R h CA 所受重力做功的功率为 m i gv弹簧弹性势能的增加量为120 — - m i v24、如图5-4-7所示，固定斜面的倾角 0 = 30°，物体A 与斜面之间的动摩擦因数□=#，轻弹簧下端固定在斜面底端， 弹簧处于原长时上端位于 C 点。
用一根不可伸长的轻绳通过轻 质光滑的定滑轮连接物体 A 和B ,滑轮右侧绳子与斜面平行，A 的质量为2mB 的质量为m初始时物体A 到C 点的距离为L 。
弹簧能量转化类问题
1．如图所示，一物体质量m ＝2 kg ，在倾角θ＝37°的斜面上的A 点以初速度v 0＝3 m/s 下滑，A 点距弹簧上端B 的距离AB ＝4 m 。
当物体到达B 点后将弹簧压缩到C 点，最大压缩量BC ＝0.2 m ，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D 点，D 点距A 点的距离AD ＝3 m 。
挡板及弹簧质量不计，g 取10 m/s 2，sin37°＝0.6，求： (1)物体与斜面间的动摩擦因数μ； (2)弹簧的最大弹性势能E pm 。
【解析】(1)物体从开始位置A 点到最后D 点的过程中，弹性势能没有发生变化，动能和重力势能减少，机械能的减少量为ΔE ＝ΔE k ＋ΔE p ＝12mv 20＋mgl AD sin37①物体克服摩擦力产生的热量为：Q ＝F f x ② 其中x 为物体的路程，即x ＝5.4 m ③ F f ＝μmg cos37°④由能量守恒定律可得ΔE ＝Q ⑤ 由①②③④⑤式解得μ＝0.52。
(2)由A 到C 的过程中，动能减少ΔE k ′＝12mv 20⑥重力势能减少ΔE p ′＝mgl AC sin37°⑦ 摩擦生热Q ′＝F f l AC ＝μmg cos37°l AC ⑧由能量守恒定律得弹簧的最大弹性势能为： ΔE pm ＝ΔE k ′＋ΔE p ′－Q ′⑨联立⑥⑦⑧⑨解得ΔE pm ＝24.5 J 。
【答案】(1)μ＝0.52 (2)24.5 J 3．[2017·黄冈调研]如图所示，竖直平面内，长为L ＝2 m 的水平传送带AB 以v ＝5 m/s 顺时针传送，其右下方有固定光滑斜面CD ，斜面倾角θ＝37°，顶点C 与传送带右端B 点竖直方向高度差h ＝0.45 m ，下端D 点固定一挡板。
一轻弹簧下端与挡板相连，上端自然伸长至E 点，且C 、E 相距0.4 m 。
现让质量m ＝2 kg 的小物块以v 0＝2 m/s 的水平速度从A 点滑上传送带，小物块传送至B 点后飞出恰好落至斜面顶点C 且与斜面无碰撞，之后向下运动。
弹簧振子做简谐振动时,动能、势能以及总能量的数学表达式
弹簧振子做简谐振动时,动能、势能以及总能量的数学表达式弹簧振子是一种简单的物理系统，它经常用于描述物体在弹性力的作用下进行振动的过程。
当一个弹簧振子做简谐振动时，其动能、势能以及总能量可以用数学表达式来表示。
首先，让我们来了解弹簧振子的基本原理。
弹簧振子由一个质点与一个弹簧组成，质点沿着弹簧的直线方向做往复振动。
弹簧振子的振动是由于弹簧的弹性力引起的，当质点偏离平衡位置时，弹簧会施加回复力使质点返回平衡位置。
我们可以通过定义弹簧的弹性势能来描述弹簧振子的势能。
根据胡克定律，弹簧的弹性力与其伸长（或压缩）的长度成正比。
因此，当弹簧振子的位移为x时，弹簧的劲度系数为k，则弹簧的势能可以表示为U = 1/2 kx^2。
然后，我们可以使用动能的定义来表达弹簧振子的动能。
动能是由于质点的运动而具有的能量。
在弹簧振子的情况下，质点的运动是简谐的，其速度随时间的变化遵循正弦函数。
当弹簧振子的位移为x时，质点的速度可以表示为v = dx/dt，其中t为时间。
根据运动学的原理，动能可以表示为K = 1/2 mv^2，其中m为质点的质量。
代入质点速度的表达式，我们可以得到K = 1/2 m(dx/dt)^2。
接下来，让我们来计算弹簧振子的总能量。
总能量是动能和势能之和，可以表示为E = K + U。
代入动能和势能的表达式，我们可以得到E = 1/2 m(dx/dt)^2 + 1/2 kx^2。
在简谐振动的情况下，质点的位移x可以表示为x = A cos(ωt + φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为相位常数。
这个表达式描述了质点沿着弹簧的方向从平衡位置振动的过程。
代入位移的表达式，我们可以重新写出总能量的表达式。
首先，我们来计算动能的表达式。
根据位移的表达式和速度的定义，我们可以得到v = -Aωsin(ωt + φ)，然后将v代入动能的表达式，我们可以计算出动能的具体形式。
根据动能的定义，我们可以得到：K = 1/2 m(-Aωsin(ωt + φ))^2= 1/2 mA^2 ω^2 sin^2(ωt + φ).接下来，我们计算势能的表达式。
动量能量---弹簧类问题
我成功，因为我志在成功！一：形变量相同时，弹性势能相同1.如图所示，质量mB ＝3．5kg 的物体B 通过一轻弹簧固连在地面上，弹簧的劲度系数k ＝100N ／m ．一轻绳一端与物体B 连接，绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O1、O2后，另一端与套在光滑直杆顶端的、质量mA ＝1．6kg 的小球A 连接。
已知直杆固定，杆长L 为0．8m ，且与水平面的夹角θ＝37°。
初始时使小球A 静止不动，与A 端相连的绳子保持水平，此时绳子中的张力F 为45N 。
已知AO1＝0．5m ，重力加速度g 取10m ／s2，绳子不可伸长．现将小球A 从静止释放，则：（1）在释放小球A 之前弹簧的形变量；（2）若直线CO1与杆垂直，求物体A 运动到C 点的过程中绳子拉力对物体A 所做的功；（3）求小球A 运动到底端D 点时的速度。
二．两过程代换2．（20分）如图所示，A 、B 两个矩形木块用轻弹簧相接静止在水 平地面上，弹簧的劲度系数为k ，木块A 和木块B 的质量均为m.（1）若用力将木块A 缓慢地竖直向上提起，木块A 向上提起多大高 度时，木块B 将离开水平地面.（2）若弹簧的劲度系数k 是未知的，将一物块C 从A 的正上方某位 置处无初速释放与A 相碰后，立即粘在一起（不再分离）向下运动，它 们到达最低点后又向上运动。
已知C 的质量为m 时，把它从距A 高H 处释放，则最终能使B 刚好要离开地面。
若C 的质量为2m，要使B 始终不离开地面，则释放时，C 距A 的高度h 不能超过多少？ 三、完全压紧不能再压缩：3、如图6-13所示，A 、B 、C 三物块质量均为m ，置于光滑水平台面上.B 、C 间夹有原已完全压紧不能再压缩的弹簧，两物块用细绳相连，使弹簧不能伸展.物块A 以初速度v0沿B 、C 连线方向向B 运动，相碰后，A 与B 、C 粘合在一起，然后连接B 、C 的细绳因受扰动而突然断开，弹簧伸展，从而使C 与A 、B 分离，脱离弹簧后C 的速度为v0. （1）求弹簧所释放的势能ΔE.（2）若更换B 、C 间的弹簧，当物块A 以初速v 向B 运动，物块C 在脱离弹簧后的速度为2v0，则弹簧所释放的势能ΔE ′是多少? （3）若情况（2）中的弹簧与情况（1）中的弹簧相同，为使物块C 在脱离弹簧后的速度仍为2v0，A 的初速度v 应为多大?变式：如图所示，在足够长的光滑水平轨道上静止三个小木块A 、B 、C ，质量分别为mA=1kg ，mB=1kg ，mC=2kg ，其中B 与C 用一个轻弹簧固定连接，开始时整个装置处于静止状态；A 和B 之间有少许塑胶炸药，A 的左边有一个弹性挡板（小木块和弹性挡板碰撞过程没有能量损失）．现在引爆塑胶炸药，若炸药爆炸产生的能量有E=9J 转化为A 和B 沿轨道方向的动能，A 和B 分开后，A 恰好在B 、C 之间的弹簧第一次恢复到原长时追上B ，并且与B 发生碰撞后粘在一起．求： （1）在A 追上B 之前弹簧弹性势能的最大值； （2）A 与B 相碰以后弹簧弹性势能的最大值．四、弹簧中的临界问题：4、多过程分析（11分）在赛车场上，为了安全起见，在车道外围一定距离处一般都放有废旧的轮胎组成的围栏。
弹簧模型中能量问题
cm处自由下落到弹簧上，当物体压缩弹簧到距地面22cm
（不计空气阻力, 取g = l0m/s2) ;有 A.物体的动能为1J
(AC)
B.物块的重力势能为1.08J
C.弹簧的弹性势能为0.08J
D.物块的动能与重力势能之和为2.16J
8
课后练习：如图所示，质量均为m的A、B两球间有压缩的 处于锁定状态的轻、短弹簧（两球的大小尺寸和弹簧尺寸 都可忽略，它们整体可视为质点）．若将它们放置在水平 面上竖直光滑的发射管内，解除锁定时.A球能上升的最大 高度为H.现在让两球包括锁定的弹簧从水平面出发，沿半 径为R的光滑半圆槽从右侧由静止开始下滑，至最低点时， 瞬间锁定解除，求A球离开圆槽后能上升的最大高度．
弹簧模型中的能量问题
1
例1：水平面上，A点左侧光滑、右侧粗糙（动摩擦因
数为µ）。在A点左侧，一原长轻弹簧，右端固定在墙
上，左端与静止的物块P接触。用恒力F将物块压缩至 O点时速度最大，此刻撤去恒力。已知物块的质量为 m ，重力加速度为g，弹簧的劲度系数为k。则撤去推 力后，物块能在粗糙的水平面上滑行多远？
O
A
4
例3：如图，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面 上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B 都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端
连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳
都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。
现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状 态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续
a
b
3
例2：如图所示，一根轻弹簧竖直放置在地面上，上
端为O点，某人将质量为m 的物块放在弹簧上端O处，
使它缓慢下落到A处，放手后物块处于平衡状态，在
高考经典物理模型：弹簧类问题(一)
弹簧类问题〔一〕——常见弹簧类问题分析轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考察力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒，是高考命题的重点，此类命题几乎每年高考卷面均有所见.应引起足够重视.弹簧类命题打破要点1.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力.当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应.在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量x 与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化.2.因弹簧〔尤其是软质弹簧〕其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变.因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变.3.在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进展计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解.同时要注意弹力做功的特点：W k =-〔21kx 22-21kx 12E p =21kx 2，高考不作定量要求，可作定性讨论.因此，在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解.下面就按平衡、动力学、能量、振动、应用类等中常见的弹簧问题进展分析。
一、与物体平衡相关的弹簧问题1.(1999年，全国)如图示，两木块的质量分别为m 1和m 2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k 1和k 2，上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上面的木块，直到它刚分开上面弹簧．在这过程中下面木块挪动的间隔 为( )1g/k 12g/k 2 C.m 1g/k 22g/k 2此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题．题中空间间隔 的变化，要通过弹簧形变量的计算求出．注意缓慢上提，说明整个系统处于一动态平衡过程，直至m1分开上面的弹簧．开场时，下面的弹簧被压缩，比原长短(m1 + m2)g／k2，而m l刚分开上面的弹簧，下面的弹簧仍被压缩，比原长短m2g／k2，因此m2挪动△x＝(m1 + m2)·g／k2 - m2g／k2＝m l g／k2．此题假设求m l挪动的间隔又当如何求解?参考答案:Ck1，和k2两根轻质弹簧，k1>k2；A和B表示质量分别为1和S2表示劲度系数分别为m A和m B的两个小物块，m A>m B,将弹簧与物块按图示方式悬挂起来．现要求两根弹簧的总长度最大那么应使( )．1在上，A在上1在上，B在上2在上，A在上2在上，B在上参考答案:D3.一根大弹簧内套一根小弹簧，大弹簧比小弹簧长，它们的一端固定，另一端自由，如下图，求这两根弹簧的劲度系数k1(大弹簧)和k2(小弹簧)分别为多少?(参考答案k1=100N/m k2=200N/m)4.(2001年上海高考)如下图，一质量为m的物体系于长度分别为L1、L2的两根细线上，L1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，L2程度拉直，物体处于平衡状态．现将L2线剪断，求剪断瞬时物体的加速度．(1)下面是某同学对该题的一种解法：解设L1线上拉力为T l，L2线上拉力为T2，重力为mg，物体在三力作用下保持平衡T l cosθ=mg，T l sinθ=T2，T2=mgtanθ，剪断线的瞬间，T2突然消失，物体即在T2反方向获得加速度．因为mgtanθ=ma，所以加速度a=g tanθ，方向在T2反方向．你认为这个结果正确吗?清对该解法作出评价并说明理由．解答：错．因为L2被剪断的瞬间，L1上的张力大小发生了变化．此瞬间T2=mgcosθ， a=gsinθ(2)假设将图中的细线L l改为长度一样、质量不计的轻弹簧，其他条件不变，求解的步骤和结果与(1)完全一样，即a=gtanθ，你认为这个结果正确吗?请说明理由．解答：对，因为L2被剪断的瞬间，弹簧L1的长度未及发生变化，T1大小和方向都不变．二、与动力学相关的弹簧问题5.如下图，在重力场中，将一只轻质弹簧的上端悬挂在天花板上，下端连接一个质量为M的木板，木板下面再挂一个质量为m的物体．当剪掉m后发现：当木板的速率再次为零时，弹簧恰好能恢复到原长，(不考虑剪断后m、M间的互相作用)那么M与m之间的关系必定为 ( )参考答案:B6.如下图，轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板，在薄板上放重物，用手将重物向下压缩到一定程度后，突然将手撤去，那么重物将被弹簧弹射出去，那么在弹射过程中(重物与弹簧脱离之前)重物的运动情况是 ( ) 参考答案：CA.一直加速运动 B．匀加速运动C.先加速运动后减速运动 D．先减速运动后加速运动[解析] 物体的运动状态的改变取决于所受合外力．所以，对物体进展准确的受力分析是解决此题的关键，物体在整个运动过程中受到重力和弹簧弹力的作用．刚放手时，弹力大于重力，合力向上，物体向上加速运动，但随着物体上移，弹簧形变量变小，弹力随之变小，合力减小，加速度减小；当弹力减至与重力相等的瞬间，合力为零，加速度为零，此时物体的速度最大；此后，弹力继续减小，物体受到的合力向下，物体做减速运动，当弹簧恢复原长时，二者别离．7.如下图，一轻质弹簧竖直放在程度地面上，小球A由弹簧正上方某高度自由落下，与弹簧接触后，开场压缩弹簧，设此过程中弹簧始终服从胡克定律，那么在小球压缩弹簧的过程中，以下说法中正确的选项是( ) 参考答案:C(试分析小球在最低点的加速度与重力加速度的大小关系)8.如下图，一轻质弹簧一端系在墙上的O点，自由伸长到B点．今用一小物体m把弹簧压缩到A点，然后释放，小物体能运动到C点静止，物体与程度地面间的动摩擦因数恒定，试判断以下说法正确的选项是 ( )A.物体从A到B速度越来越大，从B到C速度越来越小B.物体从A到B速度越来越小，从B到C加速度不变C.物体从A到B先加速后减速，从B一直减速运动参考答案:C9.如下图，一轻质弹簧一端与墙相连，另一端与一物体接触，当弹簧在O点位置时弹簧没有形变，现用力将物体压缩至A点，然后放手。
专题5-8--弹簧能量问题
专题5-7 弹簧能量问题例1．如图所示，轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。
其正上方A位置有一只小球。
小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D 位置小球速度减小到零。
小球下降阶段下列判断中正确的是A．在B位置小球动能最大B．在C位置小球加速度最大C．从A→C位置小球重力势能的减少等于小球动能的增加D．从B→D位置小球重力势能的减少小于弹簧弹性势能的增加例2如图所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块1、2拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上(不拴接)，整个系统处于平衡状态．现施力将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面．在此过程中，物块2的重力势能增加了多少？物块1的重力势能增加了多少？例3. A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示，已知木块A、B质量分别为0.42 kg和0.40 kg，弹簧的劲度系数k=100 N/m ，若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使A由静止开始以0.5 m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g=10 m/s2）.（1）使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值；（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248J，求这一过程F对木块做的功.4.如图所示，一弹簧振子．物块质量为m，它与水平桌面动摩擦因数为μ，开始用手按住物块，弹簧处于伸状态，然后放手，当弹簧回到原长时物块速度为v1，当弹簧再次回到原长时物块速度为v2，求这两次为原长运动过程中弹簧的最大弹性势能．5.如图，水平弹簧一端固定，另一端系一质量为m的小球，弹簧的劲度系数为k，小球与水平面之间的摩擦系数为μ，当弹簧为原长时小球位于O点，开始时小球位于O点右方的A点，O与A之间的距离为l0，从静止释放小球。
1．为使小球能通过O点，而且只能通过O点一次，试问μ值应在什么范围?2．在上述条件下，小球在O点左方的停住点B点与O点的最大距离l1是多少? 例6．如图所示，质量均为m的木块A、B用轻弹簧相连，竖直放置在水平面上，静止时弹簧的压缩量为l。
有关弹簧问题的能量问题
有关弹簧的能量问题1.如图所示，光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、B、C.B的左侧固定一轻弹簧，弹簧左侧挡板的质量不计.设A以速度v0朝B运动，压缩弹簧；当A、 B速度相等时，B与C恰好相碰并粘接在一起，且B与C碰撞时间极短.此后A继续压缩弹簧，直至弹簧被压缩到最短.在上述过程中，求：(1)B与C相碰后的瞬间，B与C粘接在一起时的速度大小；(2)整个系统损失的机械能；(3)弹簧被压缩到最短时的弹性势能.2.如图所示，质量M＝4 kg的滑板B静止放在光滑水平面上，其右端固定一根轻质弹簧，弹簧的自由端C到滑板左端的距离L＝0.5 m，这段滑板与木块A(可视为质点)之间的动摩擦因数μ＝0.2，而弹簧自由端C到弹簧固定端D所对应的滑板上表面光滑.小木块A以速度v0＝10 m/s由滑板B左端开始沿滑板B表面向右运动.已知木块A的质量m＝1 kg，g取10 m/s2.求：(1)弹簧被压缩到最短时木块A的速度大小；(2)木块A压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能.3.如图所示，质量M＝3.5 kg的小车静止于光滑水平面上靠近桌子处，其上表面与水平桌面相平，小车长L＝1.2 m，其左端放有一质量为0.5 kg的滑块Q.水平放置的轻弹簧左端固定，质量为1 kg的小物块P置于桌面上的A点并与弹簧的右端接触.此时弹簧处于原长，现用水平向左的推力将P缓慢推至B点(弹簧仍在弹性限度内)时，推力做的功为WF＝6 J，撤去推力后，P沿桌面滑到小车上并与Q相碰，最后Q停在小车的右端，P停在距小车左端0.5 m 处.已知AB间距L1＝5 cm，A点离桌子边沿C点距离L2＝90 cm，P与桌面间的动摩擦因数μ1＝0.4，P、Q与小车表面间的动摩擦因数μ2＝0.1.(g＝10 m/s2)求：(1)P到达C点时的速度 vC的大小；(2)P与Q碰撞后瞬间Q的速度大小.4、如图所示，光滑的水平面AB与半径为R＝0.32 m的光滑竖直半圆轨道BCD在B点相切，D为轨道最高点.用轻质细线连接甲、乙两小球(图中细线未画出)，中间夹一轻质弹簧，弹簧与甲、乙两球不拴接.甲球的质量为m1＝0.1 kg，乙球的质量为m2＝0.3 kg，甲、乙两球静止在光滑的水平面上.现固定甲球，烧断细线，乙球离开弹簧后进入半圆轨道恰好能通过D点.重力加速度g取10 m/s2，甲、乙两球可看做质点.(1)求细线烧断前弹簧的弹性势能；(2)若甲球不固定，烧断细线，求乙球离开弹簧后进入半圆轨道能达到的最大高度；(3)若给甲、乙两球一向右的初速度v0的同时烧断细线，乙球离开弹簧后进入半圆轨道仍恰好能通过D点，求v0的大小.5、如图所示，光滑水平台面MN上放两个相同小物块A、B，右端N处与水平传送带理想连接，传送带水平部分长度L＝8 m，沿逆时针方向以恒定速度v0＝2 m/s匀速转动.物块A、B(大小不计，视作质点)与传送带间的动摩擦因数均为μ＝0.2，物块A、B质量均为m＝1 kg.开始时A、B静止，A、B间压缩一轻质短弹簧.现解除锁定，弹簧弹开A、B，弹开后B滑上传送带，A掉落到地面上的Q点，已知水平台面高h＝0.8 m，Q点与水平台面右端间的距离x＝1.6 m，g取10 m/s2.(1)求物块A脱离弹簧时速度的大小；(2)求弹簧储存的弹性势能；(3)求物块B在水平传送带上运动的时间.解析 (1)从A 压缩弹簧到A 与B 具有相同速度v 1时，由动量守恒定律得： m v 0＝2m v 1设碰撞后瞬间B 与C 的速度为v 2，由动量守恒定律得：m v 1＝2m v 2解得：v 2＝v 04(2)设B 与C 碰撞损失的机械能为ΔE .由能量守恒定律得：12m v 21＝ΔE ＋12(2m )v 22 整个系统损失的机械能为ΔE ＝116m v 20(3)由于v 2<v 1，A 将继续压缩弹簧，直至A 、B 、C 三者速度相同，设此时速度为v 3，弹簧被压缩至最短，其弹性势能为E p ，由动量守恒定律和能量守恒定律得：m v 0＝3m v 312m v 20－ΔE ＝12(3m )v 23＋E p 解得：E p ＝1348m v 202、解析 (1)A 、B 组成的系统在水平方向所受合外力为零，系统水平方向动量守恒，弹簧被压缩到最短时，木块A 与滑板B 具有相同的速度，设为v ，从木块A 开始沿滑板B 表面向右运动至弹簧被压缩到最短的过程中，根据动量守恒，m v 0＝(M ＋m )v ，解得：v ＝m m ＋M v 0 代入数据得木块A 的速度v ＝2 m/s.(2)木块A 压缩弹簧过程中，弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大.根据能量守恒定律可得：最大弹性势能为E p ＝12m v 20－12(m ＋M )v 2－μmgL 代入数据解得：E p ＝39 J1、解析 (1)对P ，在A →B →C 过程中应用动能定理，得W F －μ1m 1g (2L 1＋L 2)＝12m 1v 2C所以v C ＝2 m/s(2)设P 、Q 碰后速度分别为v 1、v 2，小车最后速度为v ，由动量守恒定律得，m 1v C ＝m 1v 1＋m 2v 2m 1v C ＝(m 1＋m 2＋M )v由能量守恒得：－μ2m 1gx －μ2m 2gL ＝12(M ＋m 1＋m 2)v 2－(12m 1v 21＋12m 2v 22)解得v 2＝2 m/s ，v 2′＝23 m/s当v 2′＝23 m/s 时，v 1＝53 m/s>v 2′不合题意，舍去.即P 与Q 碰撞后瞬间Q 的速度大小为v 2＝2 m/s.4、解析 (1)设乙球恰好能通过D 点的速度为v D ，m 2g ＝m 2v 2D R ，v D ＝gR设弹簧的弹性势能为E p ，水平面为零势能面.由机械能守恒得E p ＝m 2g ×2R ＋12m 2v 2D解得E p ＝2.4 J.(2)甲、乙两球和弹簧组成的系统动量守恒、机械能守恒，以乙球运动的方向为正方向 m 2v 2－m 1v 1＝0E p ＝12m 1v 21＋12m 2v 22 由机械能守恒得m 2gh ＝12m 2v 22解得h ＝0.2 mh <R ，乙球不会脱离半圆轨道，乙球能达到的最大高度h ＝0.2 m(3)甲、乙两球和弹簧组成的系统动量守恒、机械能守恒 (m 1＋m 2)v 0＝m 1v 1′＋m 2v 2′12(m 1＋m 2)v 20＋E p ＝12m 1v 1′2＋12m 2v 2′2 12m 2v 2′2＝12m 2v 2D ＋2m 2gR 解得v 2′＝4 m/s ，v 1′＝－2v 0(v 1′＝2v 0舍去)， v 0＝2 m/s5、解析 (1)A 做平抛运动，竖直方向：h ＝12gt 2水平方向：x ＝v A t解得：v A ＝4 m/s(2)解锁过程系统动量守恒：m v A ＝m v B由能量守恒定律：E p ＝12m v 2A ＋12m v 2B 解得：E p ＝16 J(3)B 做匀变速运动，由牛顿第二定律，μmg ＝ma解得：a ＝2 m/s 2B 向右匀减速至速度为零，由v 2B ＝2ax B ，解得x B ＝4 m ＜L ＝8 m ，所以B 最终回到水平台面.设B 向右匀减速的时间为t 1：v B ＝at 1设B 向左加速至与传送带共速的时间为t 2：v 0＝at 2有v 20＝2ax 2速度相同后做匀速运动的时间为t 3：x B －x 2＝v 0t 3总时间：t ＝t 1＋t 2＋t 3＝4.5 s。
弹簧的能量问题
心态决定状态 状态决定效率细节决定成败成败决定命运 1 第六章 机械能第八节 弹簧中的能量问题【学习要求】1、知道弹性势能的决定因素及弹性势能与弹力做功的关系；2、能综合利用动量守恒定律和功能关系解决弹簧问题；【学习过程】一、知识要点：1、物体的弹性势能与 和 有关，弹性形变量越大，弹性势能越 。
弹簧的劲度系数越大，弹性势能越 。
弹簧的伸长量与压缩量相同时，弹簧的弹性势能 。
2、弹力势能弹力做功的关系：弹力做正功，弹性势能 ，其数值相等；弹力做负功，弹性势能 ，其数值相等；即： 。
二、典型问题引路（一）弹簧中的能量守恒问题例1、 如图，质量为1m 的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为2m 的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k ，A 、B 都处于静止状态。
一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A ，另一端连一轻挂钩。
开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向。
现在挂钩上升一质量为3m 的物体C 并从静止状态释放，已知它恰好能使B 离开地面但不继续上升。
若将C 换成另一个质量为13()m m +的物体D ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B 刚离地时D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为g 。
【km m g m m m v )2()(2312211++=】【方法总结】 【误区提示】心态决定状态 状态决定效率细节决定成败成败决定命运 2 （二）弹簧问题中的动量与能量综合问题 例2、在光滑水平导轨上放置着质量均为m 滑块B 和C ，B 和C 用轻质弹簧拴接，且都处于静止状态。
在B 的右端有一质量也为m 的滑块A 以速度0v 向左运动，与滑块B 碰撞的碰撞时间极短，碰后粘连在一起，如图4所示，求（1）弹簧可能具有的最大弹性势能；（2）滑块C 可能达到的最大速度和滑块B 可能达到的最小速度。
【2112mv ，023v ，016v 】【变式1】若滑块C 的质量为2m ，则情况又如何？【变式2】若滑块C 的质量为3m ，则情况又如何？【方法总结】【误区提示】B A 图40vPC心态决定状态 状态决定效率细节决定成败成败决定命运 3 （三）弹簧问题中的子弹打木块问题例3、如图所示，质量为M 的水平木板静止在光滑的水平地面上，板在左端放一质量为m 的铁块，现给铁块一个水平向右的瞬时冲量使其以初速度V 0开始运动，并与固定在木板另一端的弹簧相碰后返回，恰好又停在木板左端。
弹簧振子的能量问题
弹簧振子的能量问题一、弹簧振子的能量组成1. 动能- 弹簧振子做简谐运动时，其动能E_k=(1)/(2)mv^2，其中m是振子的质量，v 是振子的速度。
- 在平衡位置时，振子的速度最大。
根据简谐运动的特点x = Asin(ω t+φ)（x 是位移，A是振幅，ω是角频率，φ是初相），对x求导可得速度v=ω Acos(ω t+φ)。
在平衡位置x = 0时，cos(ω t+φ)= ±1，速度v=±ω A，此时动能E_kmax=(1)/(2)mω^2A^2。
2. 弹性势能- 对于弹簧，其弹性势能E_p=(1)/(2)kx^2，其中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的形变量。
- 在最大位移处（即x=± A），弹性势能最大，E_pmax=(1)/(2)kA^2。
3. 总能量- 根据机械能守恒定律，弹簧振子在做简谐运动过程中，总能量E = E_k+E_p 保持不变。
- 由于E_kmax=(1)/(2)mω^2A^2，E_pmax=(1)/(2)kA^2，又因为ω=√(frac{k){m}}，所以E = E_k+E_p=(1)/(2)kA^2。
二、题目解析1. 例题1：- 题目：一个弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 100N/m，振子质量m = 1kg，振幅A = 0.1m。
求弹簧振子的总能量、最大动能和最大弹性势能。
- 解析：- 总能量E=(1)/(2)kA^2，将k = 100N/m，A = 0.1m代入可得E=(1)/(2)×100×(0.1)^2=0.5J。
- 最大动能E_kmax=(1)/(2)mω^2A^2，先求ω=√(frac{k){m}}=√(frac{100){1}} = 10rad/s，则E_kmax=(1)/(2)mω^2A^2=(1)/(2)×1×10^2×(0.1)^2=0.5J。
- 最大弹性势能E_pmax=(1)/(2)kA^2=0.5J。
如何计算物体在弹簧上的弹性势能？
如何计算物体在弹簧上的弹性势能？
一、弹簧弹性势能的基本定义
弹性势能是物体在形变过程中所储存的能量，其大小由物体的材料、形变量等因素决定。
对于弹簧而言，当外力拉伸或压缩弹簧时，弹簧会产生形变，同时储存弹性势能。
二、计算弹簧弹性势能的公式
弹簧弹性势能的计算公式为：E = 1/2 ×k ×x^2
其中，E为弹簧的弹性势能，k为弹簧的劲度系数（即弹簧的倔强系数），x为弹簧的形变量。
这个公式表明，弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数和形变量的平方成正比。
三、应用实例
假设我们有一个劲度系数为100N/m的弹簧，当拉伸弹簧2m时，我们可以根据公式计算出此时弹簧所储存的弹性势能：E = 1/2 ×100N/m ×(2m)^2 = 200J。
四、注意事项
在计算弹簧弹性势能时，需要特别注意以下几点：
1. 弹簧的形变量是指弹簧的相对形变，即拉伸或压缩后的长度与原长度的差值。
2. 劲度系数是描述弹簧倔强程度的物理量，与弹簧的材料、几
何形状等因素有关。
3. 在考虑弹簧弹性势能时，必须考虑整个形变过程，而不仅仅是形变的方向或大小。
4. 当计算多个弹簧组成的系统时，需要分别计算每个弹簧的弹性势能，然后进行累加。
物体拉弹簧能量守恒方程
物体拉弹簧能量守恒方程
当一个物体受到弹簧的拉力并移动时，能量守恒方程可以用来
描述这一过程。
假设弹簧的劲度系数为k，物体在弹簧上的位移为x。
在这种情况下，弹簧的势能可以表示为(1/2)kx^2。
当物体受到弹簧
的拉力移动时，它的动能可以表示为(1/2)mv^2，其中m是物体的质量，v是物体的速度。
根据能量守恒定律，系统的机械能在运动过程中保持不变。
因此，当物体受到弹簧的拉力移动时，弹簧的势能和物体的动能之和
保持不变。
这可以用以下方程表示：
(1/2)kx^2 + (1/2)mv^2 = E.
其中E表示系统的总机械能，它在整个过程中保持不变。
这个
方程描述了弹簧和物体之间的能量转化过程，其中弹簧的势能和物
体的动能相互转化，但它们的总和保持不变。
这个方程可以用来解决各种与弹簧和物体运动相关的问题，例
如计算物体在弹簧上的位移、速度或者弹簧的劲度系数等。
它是描
述弹簧振动和弹簧系统动力学行为的重要工具，能够帮助我们理解
和预测弹簧系统的运动规律。
总之，能量守恒方程在描述物体受到弹簧拉力移动时的能量转
化过程中起着重要作用，它是描述弹簧系统动力学行为的基础之一。
通过应用这个方程，我们可以更好地理解和分析弹簧系统的运动特性。
《弹簧问题能量》课件
03
弹簧问题的能量守恒
弹簧振动的能量守恒
总结词
在理想情况下，弹簧振动的系统 中的能量是守恒的，即动能和势 能之和保持不变。
详细描述
当弹簧振子在平衡位置附近振动 时，动能和势能相互转化，但总 量保持不变。这是基于能量守恒 定律的原理。
弹簧振动的能量损失
总结词
在实际情况下，由于阻尼的存在，弹 簧振动的能量会有损失。
《弹簧问题能量》ppt课件
目录
• 弹簧的基本性质 • 弹簧振动的动力学 • 弹簧问题的能量守恒 • 弹簧问题的应用实例 • 总结与展望
01
弹簧的基本性质
弹簧的弹性系数
总结词
描述弹簧的弹力特性
详细描述
弹簧的弹性系数是描述弹簧弹力特性的物理量，它表示弹簧在单位形变量下所 产生的弹力。弹性系数的大小取决于弹簧的材料、形状和尺寸等因素。
在振动过程中，弹簧的动能和弹性势 能相互转化，同时由于阻尼的存在， 一部分能量转化为内能或声能等其他 形式的能量。
弹簧振动的阻尼效应
阻尼效应是弹簧振动中的一个重要现象，它描述了振动系统 能量的耗散。
阻尼效应的产生机制包括内部摩擦、空气阻力等，阻尼效应 的大小取决于阻尼系数，阻尼系数越大，能量耗散越快。
05
总结与展望
弹簧问题能量的研究意义
弹簧问题能量研究有助于深入理解力学系统 的基本原理和特性，为解决实际问题提供理 论支持。
弹簧问题能量的研究有助于推动力学领域的 发展，为相关学科提供新的思路和方法。
弹簧问题能量的研究具有实际应用价值，可 以为工程设计和优化提供理论依据，提高产 品的性能和稳定性。
竖直方向弹簧振子的能量
竖直方向弹簧振子的能量弹簧振子是物理学中最常用的一种模型，它可以用来描述物体在受到力的作用下的运动轨迹。
其中，竖直方向弹簧振子的能量被广泛用于描述物体的运动状态。
弹簧振子的运动状态可以用能量来描述，能量包括动能和位能。
竖直方向弹簧振子的动能取决于振子的速度，它的位能取决于振子的位移。
因此，竖直方向弹簧振子的总能量就是这两种能量的和，即：总能量=动能+位能竖直方向弹簧振子的动能是振子运动的本质，它的大小取决于振子的速度，即：动能=1/2mv²其中，m是振子的质量，v是振子的速度。
竖直方向弹簧振子的位能是振子位移的本质，它的大小取决于振子的位移，即：位能=1/2kx²其中，k是振子的弹簧系数，x是振子的位移。
因此，竖直方向弹簧振子的总能量就是动能和位能的和，即：总能量=1/2mv²+1/2kx²竖直方向弹簧振子的能量可以用来研究物体运动的特性，例如振子的振幅，振频，振动模式等。
据古希腊哲学家亚里士多德所说，“活动的力量来自于能量，能量来自于活动的力量”，这句话解释了竖直方向弹簧振子的能量，即振子的运动状态取决于它的能量，而它的能量又取决于它的运动状态。
竖直方向弹簧振子的能量可以用来研究物体的动力学原理，例如研究物体受到外力作用时的运动轨迹，研究物体受到外力作用时的动能变化，研究物体受到外力作用时的位能变化等。
据美国物理学家约翰·牛顿所说，“物体的运动受到外力的控制，能量是控制物体运动的力量”，这句话解释了为什么竖直方向弹簧振子的能量可以用来研究物体的动力学原理。
竖直方向弹簧振子的能量还可以用来研究物体的热力学原理，例如研究物体在受到外力作用时的动能变化和位能变化，研究物体在受到外力作用时的温度变化，研究物体在受到外力作用时的热能变化等。
据法国科学家弗朗索瓦·拉瓦锡所说，“能量是热力学的基础”，这句话解释了为什么竖直方向弹簧振子的能量可以用来研究物体的热力学原理。
弹簧弹性势能最大共速
弹簧弹性势能最大共速
弹簧弹性势能指的是弹簧的能量，也就是当拉伸或压缩弹簧时产生的能量。
如果质量为m，它会被拉伸或压
缩a距离，弹力系数为k，弹性势能即为：
U=1/2k*a*a
弹簧弹性势能最大值在什么时候？当弹簧被拉伸或压缩一定距离时，弹性势能达到最大值。
具体来说，我们可以这么说：
当弹簧被拉伸或压缩的距离刚刚超过被拉伸或压缩的最大距离时，弹簧弹性势能就达到最大值。
这是因为在这种情况下，弹簧就处于局部的稳定状态，不再受到干扰。
举个例子，如果一个弹簧的弹力系数是k=50吨/米，
m1为质量，它被拉伸a1=0.3米，则它的弹性势能为：
U1=1/2*50*0.3*0.3=2.25J
如果此时在给它加一个力，把它拉伸到0.4米，弹簧弹性势能就变为最大值：
U2=1/2*50*0.4*0.4=3.2J
舍弃这时产生的额外能量，因此最大势能为：
Umax=U2-U1= 3.2J-2.25J=0.95J
最后，还要指出，弹性势能是变量的，它受到质量、弹力系数和被拉伸的距离等因素的影响。
因此，要获得最大的弹性势能，首先要确定质量、弹力系数以及拉伸的距离，然后计算出最大值即可。
弹簧弹性势能公式
弹簧弹性势能公式
弹簧弹性势能公式是一种表示弹簧的弹性特性的数学表达式。
它是由物理学家提出的，它描述了弹簧能够保持其弹性，即弹性势的变化。
它的公式可以用来求解弹簧的弹力、弹性变形应力、弹性变形量等。
一、弹簧弹性势能公式的定义：
弹簧弹性势能公式是ΔU=½ kx² 的形式，它用来表示弹簧拉伸变形后它存储的弹性能量称为弹簧势能。
其中，ΔU表示弹簧在拉伸等位移下，弹簧的势能发生的变化，k是指弹簧的弹性阻尼，x表示的是弹簧的变形量。
二、弹簧弹性势能公式如何计算：
三、弹簧弹性势能公式的应用：
总结：弹簧弹性势能公式的定义、计算方法以及它的应用，统统可以从ΔU=½ kx²这一公式表达出来，ΔU是弹簧在拉伸等位移下式存储的弹性能量，k表示弹簧的弹性系数，x表示弹簧的变形量，这一公式常常用来计算弹性电池、动力装置以及船舶弹簧的弹性特性，也被广泛应用于结构动力学分析、地震分析中用来探索结构的振动强度等。
力学弹性势能与弹簧振动
力学弹性势能与弹簧振动弹簧振动是力学中常见的一种简谐运动。
而弹簧振动的能量转化和储存涉及到力学中的弹性势能。
本文将从力学弹性势能的概念、计算公式以及与弹簧振动的关系进行探讨。
一、力学弹性势能的概念与计算公式在力学中，物体受到外力作用时，会发生形变。
而通过力的作用，物体发生形变所产生的潜在能量称为弹性势能。
弹性势能是物体在形变状态下的储存能量，当形变消失时，这部分能量就会转化为其他形式的能量。
对于弹簧而言，如果只考虑弹性形变，其势能可以通过以下计算公式进行求解：弹性势能（E）= 1/2 * k * x²其中，k是弹簧的弹性系数，x是弹簧的形变量（单位为米），E是弹簧的弹性势能（单位为焦耳）。
通过上述公式，我们可以看出弹性势能与弹簧的弹性系数和形变量呈正比。
当弹簧的弹性系数越大或形变量增大时，弹性势能也会相应增大。
二、弹簧振动与弹性势能的关系弹簧振动是指在弹性势能的作用下，弹簧在平衡位置周围做频繁的来回振动。
当弹簧受到外力扰动后，会产生弹性形变，而形变状态下的势能即弹性势能，使弹簧具备了回复平衡位置的趋势。
当弹簧振动时，弹簧的弹性势能会不断地由一种形式转化为另一种形式。
在弹簧振动的过程中，当弹簧处于最大位移时，也即离开平衡位置最远的位置时，弹簧的弹性势能达到最大值。
当弹簧从最大位移位置回到平衡位置时，弹性势能逐渐减小并转化为动能。
而当弹簧运动到平衡位置之后，具有最大速度，动能达到最大值。
在此过程中，弹性势能与动能之间不断地互相转化，保持了弹簧振动的持续性。
三、实际应用中的弹性势能与弹簧振动弹簧振动在现实生活中有着广泛的应用。
例如，弹簧振动可以用于钟摆的控制，使得钟摆的摆动频率保持稳定；弹簧振动也被应用在汽车悬挂系统中，减震器中的弹簧可以起到缓冲和吸收冲击的作用。
在这些实际应用中，弹性势能的储存与释放起到了重要的作用。
弹簧的弹性势能可以在形变过程中储存能量，从而实现了能量的传递和转换。
同时，弹簧的振动频率和振幅也可以通过弹簧的弹性势能进行调节，以满足特定的需求。
机械能守恒弹簧能量和连接体问题
二、举例应用
解析:
令x1表示未挂P时弹簧的压缩量，由胡克定律和
牛顿定律可知 mAgsinθ=kx1
①
令x2表示B刚要离开C时弹簧的伸长量，由胡克
定律和牛顿定律可知 kx2=mBgsinθ ②
则 x1= x2 ③
B恰好离开档板时A和P的速度都为0，A和P的位移都
为
④
由系统机械能守恒得： 则
二、举例应用
C下落速度最大时，设此时弹簧伸长量为x2 对A：：kx2=F-2mg 得 x2=
所以C物体下降的高度和A物体上升的高度都为 h=x1+x2=
由系统机械能守恒定律得：
解得C的最大速度：
【总结：机械能守恒定律的一般步骤】：
1、选取研究对象：单个物体或含弹簧的系统或多个物 体组成的系统。 2、分析受力情况和各力做功情况，确定是否符合机械 能守恒条件。 3、确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转 化情况． 4、选择合适的表达式列出方程，进行求解． 5、对计算结果进行必要的讨论和说明．
长，求：
(1)当B的速度最大时，弹簧的伸长量； (2)B的最大速度．
[解析] (1)通过受力分析可知：当B的速度最大时，其加速度为 0，细绳上的拉力大小为F＝4mgsin30°＝2mg，此时弹簧处于伸长 状态，弹簧的伸长量为xA，满足
k xA＝F－mg 则xA＝
(2)开始时弹簧压缩的长度为：xB＝
练习题：
3、如图光滑圆柱被固定在水平平台上，质量为m1的小 球甲用轻绳跨过圆柱与质量为m2的小球乙相连，开始 时让小球甲放在平台上，两边绳竖直，两球均从静止开 始运动，当甲上升到圆柱最高点时绳子突然断了，发现 甲球恰能做平抛运动，求甲、乙两球的质量关系
m1
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细节决定成败
成败决定命运 1 第六章 机械能
第八节 弹簧中的能量问题
【学习要求】
1、知道弹性势能的决定因素及弹性势能与弹力做功的关系；
2、能综合利用动量守恒定律和功能关系解决弹簧问题；
【学习过程】
一、知识要点：
1、物体的弹性势能与 和 有关，弹性形变量越大，弹性势能越 。
弹簧的劲度系数越大，弹性势能越 。
弹簧的伸长量与压缩量相同时，弹簧的弹性势能 。
2、弹力势能弹力做功的关系：弹力做正功，弹性势能 ，其数值相等；弹力做负功，弹性势能 ，其数值相等；即： 。
二、典型问题引路
（一）弹簧中的能量守恒问题
例1、 如图，质量为1m 的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为2m 的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k ，A 、B 都处于静止状态。
一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A ，另一端连一轻挂钩。
开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向。
现在挂钩上升一质量为3m 的物体C 并从静止状态释放，已知它恰好能使B 离开地面但不继续上升。
若将C 换成另一个质量为13()m m +的物体D ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B 刚离地时D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为g 。
【k
m m g m m m v )2()(2312
211++=】
【方法总结】
【误区提示】
细节决定成败
成败决定命运 2 （二）弹簧问题中的动量与能量综合问题 例2、在光滑水平导轨上放置着质量均为m 滑块B 和C ，B 和C 用轻质弹簧拴接，且都处于静止状态。
在B 的右端有一质量也为m 的滑块A 以速度0v 向左运动，与滑块B 碰撞的碰撞时间极短，碰后粘连在一起，如图4所示，求（1）弹簧可能具有的最大弹性势能；（2）滑块C 可能达到的最大速度和滑块B 可能达到的最小速度。
【2
0112
m v ，
023
v ，
016
v 】
【变式1】若滑块C 的质量为2m ，则情况又如何？
【变式2】若滑块C 的质量为3m ，则情况又如何？
【方法总结】
【误区提示】
B A 图4
0v
P
C
细节决定成败
成败决定命运 3 （三）弹簧问题中的子弹打木块问题
例3、如图所示，质量为M 的水平木板静止在光滑的水平地面上，板在左端放一质量为m 的铁块，现给铁块一个水平向右的瞬时冲量使其以初速度V 0开始运动，并与固定在木板另一端的弹簧相碰后返回，恰好又停在木板左端。
求：
⑴整个过程中系统克服摩擦力做的功。
⑵若铁块与木板间的动摩擦因数为μ，则铁块对木块相对位移的最大值是多少？ ⑶系统的最大弹性势能是多少？
【方法总结】
【误区提示】 三．巩固练习
1、质量为m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。
平衡时，弹簧的压缩量为0x 如图3所示。
一物块从钢板正上方距离为03x 的A 处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连。
它们到达最底点后又向上运动。
已知物块质量也为m 时，它们恰能回到O 点。
若物块质量为2m ，仍从A 处自由落下，则物块与钢板回到O 点时，还具有向上的速度。
求物块向上运动到达的
最高点与O 点的距离。
【2
0x L =】
2、如图2所示，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B 相连，B 静止在水平导轨上，弹簧处在原长状态。
另一质量与B 相同滑块A ，从导轨上的P 点以某一初速度向B 滑行，当A 滑过距离1l 时，与B 相碰，碰撞时间极短，碰后B 紧贴在一起运动，但互不粘连。
已知最后A 恰好返回出发点P 并停止。
滑块A 和B 与导轨的滑动摩擦因数都为μ，运动过程中弹簧最大形变量为2l ，求A 从P 出发时的初速度0v 。
【v 0＝12(1016)g l l μ+ 】
图3 3x 0 A
O
x 0 B
A
1l
图2
0v
P
2l
M m I
3、如图所示，质量M=4kg的木滑板静止放在光滑水平面上，滑板右端固定着一根轻质弹簧，弹簧的自由端C到滑板左端的距离L=0.5m，这段滑板与木块间的动摩擦因数为μ=0.2；而弹簧自由端C端到弹簧固定端D所对应的滑板上表面光滑。
可视为质点的小木块A质量m=1kg，原来静止于滑板的左端。
当滑板B受水平向左的恒力F=14N作用时间t后撤去，这时木板A恰好到达弹簧的自由端C 处，假设A、B间的最大静摩擦力跟滑动摩擦力相等，g取10m/s2，试求：（1）水平恒力F的作用时间；（2）木块A压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能。
【1s，0.4J】
4、（1）如图1，在光滑水平长直轨道上，放着一个静止的弹簧振子，它由一轻弹簧两端各联结一个小球构成，两小球质量相等.现突然给左端小球一个向右的速度v0，求弹簧第一次恢复到自然长度时，每个小球的速度.【 u1=0，u2=u0】
（2）如图2，将N个这样的振子放在该轨道上，最左边的振子1被压缩至弹簧为某一长度后锁定，静止在适当位置上，这时它的弹性势能为E0，其余各振子间都有一定的距离.现解除对振子1的锁定，任其自由运动，当它第一次恢复到自然长度时，刚好与振子2碰撞，此后，继续发生一系列碰撞，每个振子被碰后刚好都是在弹簧第一次恢复到自然长度时与下一个振子相碰.求所有可能的碰撞都发生后，每个振子弹性势能的最大值.已知本题中两球发生碰撞时，速度交换，即一球碰后的速度等于另一球碰
前的速度.【E N=E0/4】四、信息反馈
m
M
A
B
D
C
细节决定成败成败决定命运
4
细节决定成败
成败决定命运 5 参考答案
一、知识要点：
1、弹簧的劲度系数 形变量 大 大 相同
2、减小 增大 P E W ∆=-弹 二、典型问题引路
（一）弹簧中的能量守恒问题 例1、 k
m m g m m m v )2()(2312
211++=
例2、2
0112
m v ，023
v ，016
v
【变式1】2
018
m v ，
012
v ，0
【变式2】
2
0320m v ，
025
v ，0
例3、（1）2
2()
M m v W m M =+ （2）2
2()
M v s g m M μ=
+ （3）2
4()
M m v s m M =
+
三．巩固练习
1、2
0x
L =
2、v 0＝12(1016)g l l μ+ 】
3、1s ，0.4J
4、(1)u 1=0，u 2=u 0（2）E N =E 0/4。