勾股定理第一课时
勾股定理(第1课时)精选教学PPT课件
勾股定理的运用
已知直角三角形的任意两条边 长，求第三条边长.
c2=a2+b2 a2=c2-b2 b2=c2-a2
例2：将长为5米的梯子AC斜靠在墙上， BC长为2米，求梯子上端A到墙的底端 B的距离.
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90° A ∵BC=2 ，AC=5 ∴AB2= AC²- BC²
情境引入
换成下图你有什发现？说出你的观点.
等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和.
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
课中探究
其它直角三角形是否也存在这种关系？ 观察下边两个图并填写下表:
A的面积 B的面积 C的面积
于斜边的平方.
B
在Rt△ABC中，∠C=900 ，
边BC、AC、AB所对应的边 勾 a
分别为a、b、c则存在下列
弦
c
关系， a2+b2=c2
Cb
A
股
此结论被称为“勾股定理”.
勾股定理
如果直角三角形的两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么
a2 + b2 = c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
劫匪饮弹自尽。 很多人问过她到底说了什么让劫匪居然放了她，然后放弃了惟一生存的机会。她平静地说，我只说了几句话，我对我哥说的最后一句话是：“哥，天凉了，你多穿衣。”
她没有和别人说起劫匪的眼泪，说出来别人也不相信，但她知道那几滴眼泪，是人性的眼泪，是善良的眼泪。
感谢父母给了我生命和无私的爱； 感谢老师给了我知识和看世界的眼睛；
17.1.1勾股定理第一课时
17.1.1勾股定理(第一课时)编制:目标：理解勾股定理。
掌握勾股定理的相关证明及一般地运用 重点：勾股定理及其证明。
难点：勾股定理的证明方法及一般运用一． 知识要点1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b 斜边长为c ，那么222c b a =+2.勾股定理的证明方法：赵爽弦图，毕达哥拉斯证法，总统证法 二．经典例题和变式知识点1：勾股定理的证明例1.已知：如图为四个全等的直角边为a ，b ，斜边为c 的直角三角形拼接而成的大正方形，中空部分为小正方形，求证：a 2+b 2=c 2变式练习1.已知：如图，大正方形的边长为a+b ，中间正方形的边长为c 周围是四个全等的直角三角形，求证：a 2+b 2=c 2变式练习2.已知：如图，为两个直角边为a ，b 的全等的直角三角形和一个以c 为直角边的等腰直角三角形拼接而成的，求证：a 2+b 2=c 2ab c知识点2：勾股定理的一般运用例2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a ，b ，c（1）若a=b=2,求c（2）若a=5，c=13，求b（3）若a ：b=3:4，c=15，求b（4）若a=6，b=8，求c 的长及斜边的高变式练习3.若一个直角三角形两边长分别是3和4，则第三边长为（ ）A. 5B. 5或7C.7D.5变式练习4.在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若a=1.5，b=2，则c=_______（2）若a=24，c=25，则b=_______（3）若a=132+，b=132-,则c=_______变式练习5.如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，求阴影部分的面积知识点3：与勾股定理有关的折叠问题例3.如图，将长方形的一边AD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm,求EC 的长.变式练习6.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 的中点C ’处，点B 落在B ’处,其中AB=9,BC=6，则FC ’的长度为( ) A.310 B.4 C.4.5 D.5变式练习7.如图长方形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为_________变式练习8.在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13,求△ABC 的面积A 基础演练1. 已知长方形的长为40厘米，对角线长为41厘米，则它的面积为（ )A. 21640cmB.2369cmC.2360cmD.2180cm2.已知直线AB 与平面直角坐标系中坐标轴分别交于A ，B 两点，已知AB=10，点B （-6，0），则点A 的坐标为__________.3.在△ABC 中，AB=AC=13cm ，BC=10cm,则△ABC 的面积是__________.4.若直角三角形的两边长分别为a ，b ，且满足04962=-++-b a a ，则该直角三角形的第三边长为__________.5.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，则222BC AC AB ++=__________.6.如图，在△ABC 中，∠A=45°，∠B=30°，CD ⊥AB 于点D ，CD=1，则△ABC 的周长为_________.7.如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线。
勾股定理(第一课时)课件 人教版八年级下册数学课件
9 9 18
4
4
8
C A
S正方形c
B 图2-1
C A
B 图2-2
4 1 33 18 2
（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
C A
S正方形c
B 图2-1
C A
B 图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C“补” 成边长为6的 正方形面积的一半
证明十
I II III
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
I II III
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2 由此得，面积 I + 面积 II = 面积 III 因此，a2 + b2 = c2 。
x 62 22 32 4 2
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
一
比8
17
看
x
16
x 12
看
x
谁
20
算
得
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
活动 4
《勾股定理》PPT(第1课时)
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边 长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
ac
b
课程讲授
1 勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c b a
b-a
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，
课程讲授 2 勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及 正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图 形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了 勾股定理及半圆面积的求法，解答此类题目的关 键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平 方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授Biblioteka 2 勾股定理与图形面积定有a2+b2=c2.
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
课程讲授
1 勾股定理
几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
B ac
∟
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
C
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
bA
课程讲授 1 勾股定理
例 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm， BC＝8 cm，求AC的长．
（1）正方形P的面积是 1 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 1 平方厘米； （3）正方形R的面积是 2 平方厘米.
AR P
CQ B
上面三个正方形的面积之间有什么关系？ SP+SQ=SR
（图中每一格代表一平方厘米）
课程讲授 1 勾股定理
直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？ SP=AC2 SQ=BC2 SR=AB2 AC2+BC2=AB2
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
勾股定理(第一课时) 初中数学 八年级数学
例：在Rt △ ABC中，∠C=90° 3 1）如果 b=4 ， c =5 ， 那么a = _____ 20 2）如果 a=15 ， c=25 ，那么 b= _____ 10 3）如果 a =6 ， b=8 ， 那么 c = ____ B 总结归纳： 直角三角 c 形中，如果知道其中的 a 任意的两边，则可以求 C A b 出第三边 像这些满足两个数的平方和等于第三个数的平方的 一组整数称为勾股数
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜 边为c，那么
a b c
2 2
2
a
c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
利用拼图来验证勾股定理：
1、准备四个全等的直角三角形（设直角三 角形的两条直角边分别为a，b，斜边c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正 方形吗？拼一拼试试看 3、你拼的正方形中是否含有以斜边c为边 的正方形？
课堂小结
1、这节课我的收获是＿ ＿ ＿ ；源自2、我最感兴趣的地方是＿ ＿ ＿ ；
3、我想进一步研究的问题是＿ ＿ ＿ ；
毕达哥拉斯（公元前572公元前492），古希腊著 名的哲学家、数学家、天 文学家）
推广至一般直角三角形 即：两条直角边上的正
方形面积之和等于斜边 上的正方形的面积 A B
图1-1
C
SA+SB=SC
C A B
图1-2
即：直角三角形
两直角边的平方 和等于斜边的平 方。
勾股定理
c a
勾
股
b
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部 分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直 角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称 为“股”，斜边称为“弦”.
第1课时 勾股定理
的三边满足a2+b2=c2
D. 在Rt∆ABC 中,若∠B=90° ,则三角形对应
的三边满足a2+b2=c2
数学小知识
勾
弦
股
我国古代称直角三角形的较短的直角边 为勾，较长的直角边为股，斜边为弦， 这便是勾股定理的由来。
一 想
小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米 长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你 能解释这是为什么吗？
我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视 机，是指其荧屏对角 线的长度
∵ 582 462 5480
742 5476
荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
运用新知，深化理解
1、在直角三角形ABC中，∠C=90°，若a=5，
1、在纸上画若干个直角三角形，分别测 量它们的三条边，看看三边长的平方和 之间有怎么样的关系？
观ห้องสมุดไป่ตู้与发现
观察图形，正方形A中有 个小方格，即A的面积 为 个面积单位。
正方形B中有 个小方格，即B的面积为 个面积 单位。
正方形C中有 个小方格，即C的面积为 个面积 单位。
你发现A、B、C的面积之间 有什么关系？
探索勾股定理
第1课时 勾股定理
情景导入 按三角形内角的大小把三角形分为三类
锐角三角形 三 角 形 直角三角形 的 分 类 钝角三角形
三个内角都是锐角 有一个内角是直角 有一个内角是钝角
直角三角形
A
直
斜
角
边
边
B 直角边
1、常用符号“Rt∆ABC”来 表示直角三角形ABC.
苏科版初中八年级数学上册3-1勾股定理第一课时勾股定理课件
圆的面积S2= 9 π,以BC为直径的半圆的面积S3=25 π,S△ABC=6,
8
8
∴S阴影=S1+S2+S△ABC-S3=6,故选A.
13.(2023江苏南京中考,5,★☆☆)我国南宋数学家秦九韶的 著作《数书九章》中有一道问题:“问沙田一段,有三斜,其 小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步,欲 知为田几何?”问题大意:在△ABC中,AB=13里,BC=14里,AC =15里,则△ABC的面积是 ( C ) A.80平方里 B.82平方里 C.84平方里 D.86平方里
解析 (1)证明:∵BD⊥AC, ∴∠C+∠CBD=90°=∠EDA+∠BDF, ∵∠BDF=∠C,∴∠CBD=∠EDA. (2)设AD=x,则AB=AC=AD+CD=x+1, ∵BD=3,AD2+BD2=AB2,∴x2+32=(x+1)2, 解得x=4,∴AB=x+1=5.
能力提升全练
11.(情境题·中华优秀传统文化)(2023江苏苏州姑苏期中,5,★ ★☆)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书 《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边为边 分别向外作正方形,再把较小的两个正方形按如图2所示的 方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一 定能求出 ( C )
8.(2022江苏盐城校级期末)若一个直角三角形的两边长分别 为4和5,则第三条边长的平方为 9或41 . 解析 当5为直角边长时,第三条边长的平方为42+52=41;当5 为斜边长时,第三条边长的平方为52-42=9.故答案为9或41.
9.如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,A、B、C均 在格点上,求AB2-CA2的值.
勾股定理 第1课时
状元成才路
解：根据图形正方形E 的边长为:
122 162 92 122 =25，
故E的面积为:252=625.
状元成才路
知识点 2 勾股定理的证明
分别是：边长为a的正方形，边长为b的正方形，
还有两个长为b，宽为a的长方形.
根据同一个图形面积相等，由左图可得
(a+b)2=a2+b2+4×
1 2
ab，
由右图可得(a+b)2=c2+4×
1
ab.
2
所以a2+b2=c2.
状元成才路
随堂演练
基础巩固
1.在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和 5，
则斜边长为 14 .
2.在Rt△ABC中，若斜边长为 5 ，一条直 角边的长为2，则另一条直角边的长为 1 .
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10， 则b= 8 .
状元成才路
4.在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)已知c=25，b=15，求a； (2)已知a= 6 ，∠A=60°，求b，c.
解：1 a c2 b2 252 152 20； 2 A 60,C 90,
规律
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜 边长为c，那么a2+b2=c2．
状元成才路
练习 1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b， 斜边长为c. （1）已知a=6，c=10，求b； b=8 （2）已知a=5，b=12，求c； c=13 （3）已知c=25，b=15，求a. a=20
新人教版八年级下第18章第一节 勾股定理（第一课时）
（2）想一想，怎样利用小方格计算正方形P、Q、R面积？
P的面积
Q的面积
R的面积
图
（3）正方形P、Q、R面积之间的关系是什么？
（4）直角三角形三边之间的关系用命题形式怎样表述？
教师出示图表.
学生独立观察并计算图中正方形P、Q、R的面积并完成填表.
教师参与小组活动，指导、倾听学生交流.针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积.
或者用割补的方法将正方形A、B中小等腰直角三角形补成一个大正方形得到：正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积.
教师引导学生，由正方形的面积等于边长的平方,归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
通过讲述故事来进一步激发学生学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态.
“问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生发现新知.
得到教科书66页图18.1—3图1，构造了以a、b为直角边的直角三角形，令斜边为c，沿直角三角形的斜边分割从而拼得边长为c的正方形，完成拼图. 学生容易想到：未剪之前，图形面积是a +b ，在拼图过程中，构造了以a、b为直角边的直角三角形，得到斜边为c.拼接之后新的正方形边长是c，面积为c .从而得到直角三角形三边的关系：a +b ＝c ，即验证了命题1.
课题
18．1勾股定理（第一课时）
学校
嘉积中学海桂学校
上课教师
刘红军
项目
内 容
理论依据或意图
教
材
分
析
教材地位与作用
《勾股定理》是人教版八年级(下册)第十八章第一节的内容。它是在学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，是直角三角形的一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一。它揭示了直角三角形三边之间的数量关系,将数与形密切联系起来,在数学的发展中起着重要的作用，它可以解决许多直角三角形的计算问题,在生产,生活中用途很大。
八年级数学《勾股定理》第一课时课件
c a
=2ab+b2-2ab+a2
b
=a2+b2
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
c a
b
我探索、我验证！
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
也可以表示为
c2 +4• ab
2
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
∵
(a+b)2
=
c2
+4•
ab 2
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴a2+b2=c2
这就是本届大会 会徽的图案.
这个图案被称为“赵爽弦 图”， 是我国汉代数学家赵 爽在证明勾股定理时用到的.
你听说过勾股定理吗？
我操作 ，我猜想！
请同学们以四人一小组合作完成下列问题，其中 每组选两名同学动手操作，另两名同学负责监督整个 操作过程确保准确无误，最后每组派一名同学代表本 组发言。
（1）分别在方格纸上作两个直角三角形，使其两直角 边分别是3厘米和4厘米,5厘米和12厘米。
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方.
弦c b股
┏
勾a
a2+b2=c2
走进勾股世界
两千两多千多年年前前，，古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯 学斯学派派，，他他们们首首先发先现发了勾现股了定勾理，股因定此 理，因此在 国在国外外人人们们通通常常称勾称股勾定理股为定毕理达哥为拉毕斯 达哥拉斯定 理定理。。为为了了纪纪念念毕达毕哥达拉斯哥学拉派斯，1学95派5 ，1955年 希年希腊腊曾曾经经发发行行了一了枚一纪念枚票纪。念邮票。
勾股定理第一课时
第1课时勾股定理一、学习目标：1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.2、会用勾股定理进行简单的计算 .二、教学重点：经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.三、教学难点：会用勾股定理进行简单的计算 .四、教学设计：（一）导入新课：关于直角三角形，同学们都能回忆起那些性质？有一个角是直角，两个锐角互余。
对于一般的直角三角形，其三边有什么联系吗？（二）讲授新知：我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：问题1 试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？A B CS S S +=正方形正方形正方形问题2 图中正方形A 、B 、C 所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？一直角边2+另一直角边2=斜边2问题3 在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A 、B 、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：方法：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：左图：右图：C 177443252S ⎛⎫=⨯-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭C 155423132S ⎛⎫=⨯-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭思考 正方形A 、B 、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？由上面的几个例子，我们猜想：命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b ，斜边长为c,那么a 2+b 2=c 2.两直角边的平方和等于斜边的平方.证法 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.归纳总结：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a 2+b 2=c 2.几何语言：在Rt △ABC 中B∵∠C=90° ∴AC ²+BC ²=AB ²A例1、如上图，在Rt △ABC 中， ∠C=90°. （1）若a=b=5,求c;abc（2）若a=1,c=2,求b. 解：(1)据勾股定理得c ====(2)据勾股定理得b ===（三）当堂练习1.下列说法中,正确的是 （ ） A.已知a,b,c 是三角形的三边，则a 2+b 2=c 2 B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C.在Rt △ABC 中，∠C=90°,所以a 2+b 2=c 2 D.在Rt △ABC 中，∠B=90°,所以a 2+b 2=c 2 2、求下列图中未知数x 、y 的值：解：由勾股定理可得 解：由勾股定理可得 y 2+ 144=169， 81+ 144=x 2，解得 y=5 ， 解得x=15.（四）课堂小结：勾股定理的内容和注意点。
勾股定理(第一课时)(最全)word资料
勾股定理(第一课时)(最全)word资料勾股定理（第一课时）武汉市拦江堤中学李艳【教学目标】：1、知识技能：了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程。
2、数学思考：体验勾股定理的发现及验证过程，发展学生动手能力、合情推理能力，体会数形结合的思想。
3、解决问题：（1）通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维；（2）初步领会用面积法解决几何问题的思想。
4、情感态度价值观：（1）通过对勾股定理的了解，让学生感受数学文化的魅力，激发学生对几何学习的兴趣和信心，发展审美情趣。
（2）在探究的过程中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神。
【教学重难点】：重点：探索和验证勾股定理；难点：用拼图的方法验证勾股定理。
【教学过程】：（活动一）：诱发新知：1、（生活中的数学问题）：一块长8米，宽5米的长方形的宣传板能否顺利通过一个宽3米，高4米的门框呢？2、通过问题串，提出问题的本质是：直角三角形中已知两直角边，如何求斜边？（活动二）：分析引导：1、 通过几何面板工具，在网格纸上画一个直角三角形，通过画板制动度量的功能，计算：当两直角边分别是3㎝、4㎝或5㎝、12㎝或6厘米、8厘米时，斜边的长。
2、 猜想：直角三角形三边的关系（两直角边的平方和等于斜边的平方）。
3、 利用几何画板动态的演示来验证猜想。
（活动三）：动手探究：1、尝试用四个全等的直角三角形拼图构成正方形。
（直角三角形两直角边为a ，b ；斜边为c ）2、利用“面积法”来证明勾股定理。
4、 利用上面直角梯形来证明勾股定理。
（总统证法1876年）5、 比较图①与图②证明方法，适当引申。
6、 用文字语言和符号语言表述勾股定理。
（活动四）：史话勾股：介绍勾股定理的 和证法，通过数学史的渗透，感受数学文化。
（活动五）：知识应用：例1、在直角三角形中，已知两边求第三边x？（注意：解题格式的训练和解题规范的训练，落实双基）。
例2、平面直角坐标系中，矩形OABC，OA边与X轴重合，OC边与Y轴重合，将BC边沿CE翻折，点E落在X轴的点F处，已知OC=6；OB=10，求E点的坐标。
勾股定理(第1课时)ppt课件
∵x>0 ∴ x=10
y=0
学海无涯
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求 S5、S6、S7的值
S3
S4
结论: S1+S2+S3+S4 =S5+S6
S2 S1 S5
S6
S7
=S7
y=0
练一练
1.在△ABC中, ∠C=90°，a=6,b=8, 10 则c=＿＿＿＿ 2.在Rt△ABC中, a=6,b=8,试求第三边c的值 3.在一个直角三角形中, 两边长分别为3、 4,则第三边的长为________
A
6 6
D
第8题图
E
x
4
B
C x Ｄ 8-x
例2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AB=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
D B
A
E
C
例3：三角形ABC是等腰三角形
AB=AC=13，BC=10，将AB向AC 方向对折，再将CD折叠到CA边上， 折痕CE，求三角形三角形ACE的面积
在Rt△ABC中,. ∠C=90
(6)已知, ∠A=30 , c=8 , 则 a=_____, b=____ (7)如果c=10，a-b=2，则 b= 。
探究 y=0 1
生活中的数学问题
一个门框的尺寸如图所示，一块长３m， 宽２.２m的薄木板能否从门框内通过？为 什么？
Ｄ Ｃ
2m
Ａ
Ｂ
1m
分析 y=0
A
6
C
AC AD2 DC2 82 62 10
2 2 2 2
A
AB AC BC 10 10 200
八年级下数学课件勾股定理(第一课时)
勾股定理，想得再多一点
回头再看看
国庆节前，为了更好观看阅兵式，小明
妈妈买了一部42英寸（106厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有85 厘米长和64厘米宽，他觉得一定是售货员
搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是 为什么吗？~
内容总结：
（1）运用勾股定理的条件是什么？
（2）勾股定理揭示了直角三角形的什么关系？
A
图1-1 图1-2
C
C
B
A的面积 （单位面积）
9 16
A
B的面积 （单位面积）
16 36
探
索
B
勾
股 C的面积
定 （单位面积）
25 52
理
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
C Aa c
b B
SA+SB=SC探 SA=a2 索 SB=b2 勾 SC=c2 股
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
∵ (a+b)2 = 1 ab 4 c2 2
a2+2ab+b2 = 2ab +c2 ∴a2+b2=c2
总统巧证勾股定理
C
D
c
a
cb
Ab
Ea B
美国第二十任 总统伽菲尔德
返回
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
弦c b股
┏
勾a
X=__4__2________
x 62 22 32 4 2
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
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国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记 国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家之一。早在三千多年前 《周髀算经》中。
随堂练习
填空： （1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 17 。 （2）在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 7 。 （3）在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4， 则a= 6 ，b= 8 。 （4）一个直角三角形的三边为三个连续偶数， 则它的三边长分别为 6,8,10 。 （5）已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm， 则第三边长为 4或 34cm 。 （6）已知等边三角形的边长为2cm， 则它的高为 3 ，面积为 3 。
5
10
x B
初步应用定理
练习1 求图中字母所代表的正方形的面积．
80 225 A 144
24 Ｂ
A
8
A
17
如图，所有的三角形都是直角三角形，四 边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D 的边长分别 是12，16，9，12．求最大正方形E 的面积． B A
C
D
E
通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干 个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一 棵美丽的勾股树．
其它直角三角形是否也存在这种关系？ 观察下边两个图并填写下表:
A的面积 图1-2 B的面积 C的面积
16
9
25
图1-3
4
9
13
结论：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c，
那么 a 2 b 2 c 2 .
根据下图你能写出勾股定理的证明过程吗？
c a
b
∵ 1 ab×4+(b-a)² =c² ，
例2.已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。 （1）求等边△ABC的高。 （2）求S△ABC。
C
A
D
B
例3.已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC， AD⊥DC，AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm， 求BC的长。
A
D
B
C
初步应用定理
练习 求下列直角三角形中未知边的长度．
C
A 4
C 6 x B A
勾 股 世 界
两千多年前，古希腊有个哥拉 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955年希 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 腊曾经发行了一枚纪念邮票。
我国数学家赵爽的“弦图”
2002年的世界数学家大会 在中国北京举行，这是21 世纪数学家的第一次大聚 会，这次大会的会标就选 定了验证勾Байду номын сангаас定理的“弦 图”作为中央图案，可以 说是充分表现了我国古代 数学的成就，也充分弘扬 了我国古代的数学文化，
我国古代两种证法
1.“赵爽弦图”
c b a
I
朱实 中黄实 ( b- a) 2
勾股定理
一、自学指导（阅读教材P22页，）
• 动手做一做：1.画一个直角边为6cm和8cm 的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长为 ______cm. • 2.再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB的长为____
• 3.探究：你能发现其中斜边c与两直角边a.b 之间的数量关系是___________.与你的同伴 交流一下。
2.刘徽的“青朱出入图”
D
E C
F
A
B
H
G
勾 股 定 理
如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c， 2 2 2 那么 a b c .
1.成立条件： 在直角三角形中； 2.公式变形:
a c b ,
2 2 2
b
c
b2 c2 a 2 ;
a
3.作用：已知直角三角形任意两边长， 求第三边长.
（注意：哪条边是斜边）
再见
小正方形的面积 c 2 , 1 所以(a b) 2 4 ab c 2 , 2 即：a 2 b 2 c 2 .
例1：在Rt△ABC，∠C=90°
（1）已知a=b=5，求c。
（2）已知a=1，c=2，求b。
（3）已知c=17，b=8，求a。
（4）已知a：b=1：2，c=5，求a。 （5）已知b=15，∠A=30°，求a，c。
2
2ab+（b² -2ab+a² ）=c² ， ∴a² +b² =c² .
结论：
直角三角形中，两条直角边的平方和， 等于斜边的平方. B
在Rt△ABC中，∠C=900 ， 边BC、AC、AB所对应的边 勾 a 分别为a、b、c则存在下列 C 关系， a2+b2=c2 .
股
b
c
弦
A
此结论被称为“勾股定理”.
图1
图2
图3
自主证明
图1
图3
梯形的面积 (a b)(a b), 解： 1 2 c , 2 1 1 1 所以 (a b)(a b) 2 ab c 2 , 2 2 2 即a 2 b 2 c 2 . 直角三角形的面积 1 2
解： 大正方形的面积 (a b) 2 ,
勾股定理
如果直角三角形的两直角边分别为 a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
B
∵ ∠C＝90°
∴ a2 + b2 = c2 C
a
b
c
A
证明勾股定理
请先用手中的全等直角三角形按图示进行摆 放，然后根据图示的边长，选择其中一个图形， 分析其面积关系后证明.