20-2华东师大数学分析的练习和(历史上最好的-最全面的)学习的最好资料PPT课件

{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt
特殊情形
( 1 ) L : y ( x ) x 起 点 为 a ， 终 点 为 b .
则 P d x Q d y b { P [x ,(x ) ] Q [x ,(x ) ](x ) } d x .
L
a
( 2 ) L :x ( y ) y 起 点 为 c ， 终 点 为 d .
.
4
n
n
若极限 li m 0i 1P (i, i) x i li m 0i 1Q (i, i) yi
存在且与分割 T 与点 (i , i ) 的取法无关, 则称此极
限为函数P (x,y),Q (x,y)沿有向曲线 L 上的第二型 曲线积分, 记为
L P (x ,y)d x Q (x ,y)d y
§20-2 第二型曲线积分
一、第二型曲线积分的定义 二、第二型曲线积分的计算
.
1
一、问题的提出 y
B
实例: 变力沿曲线所作的功
M
y
i
i
Mn1
L Mi1 xi
L:A B ,
M2
A M 1
F ( x , y ) P ( x , y ) i Q ( x , y ) j o
x
常力所作的功 W F A.B
则 P d x Q d y d { P [( y ) ,y ]( y ) Q [( y ) ,y ] } d y .
L
c
.
9
x(t) (3)推广 : y(t), t起点 ,终点 .
z(t)
Pdx Qdy Rdz
{
P[
(t
),
(t
),
(t
)]
(t
)
Q[(t), (t),(t)] (t)
也可以写为
L P (x ,y )d x L Q (x ,y )d y
其中 P(x,y), Q(x,y)叫做被积 , L叫 函积数 分弧段.
.
5
2.存在条件： 当P(x,y),Q(x,y)在光滑曲 L 上连续 , 第时 二类曲线. 积分存在
4.推广
空间有向曲线弧PdxQdyRd. z
n
P (x ,y,z)d x l i0im 1P (i,i, i) x i.
解 (1) L: x y a ascions,
从0变到 ，
原式 a2si2n ( asi)n d B(a,0) 0
A(a,0)
.
13
a3 0
(1co2s)d(co)s
4 3
a
3
.
(2 ) L :y 0 ,
x从 a变 到 a，
原式
a
0dx0.
问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同积分结果不同.
13
x2dx
4.
0
5
.
A(1,1) 11
(2)化为对 y的定积分， x y2, y从1到 1.
xydx xydx
L
AB
1 y2y(y2)dy 1
2 1 y4dy 4 .
1
5
.
B(1,1)
y2 x
A(1,1)
12
例2 计算y2dx,其中L为 L
(1)半径为 a、圆心为原点、针按方逆向时绕行 的上半圆 ; 周 (2)从点A(a,0)沿x轴到点 B(a,0)的直线. 段
分割 A M 0 , M 1 ( x 1 , y 1 ) , M , n 1 ( x n 1 , y n 1 ) M n , B .
M i 1 M i ( x i ) i ( y i ) j .
.
2
取 F ( i , i ) P ( i , i ) i Q ( i , i ) j , y F(i,i)M
精确值
.
3
二、第二型曲线积分的概念
1.定义 设L为 xoy 面内从点 A到点 B的一条有
向光滑曲线弧 , 函数 P ( x, y), Q( x, y)在 L
上有界 . 用 L上的点 M 1( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 ), , M n1 ( xn1 , yn1 )把 L分成 n个有向小弧段 M i1M i (i 1,2, , n; M 0 A, M n B ). 设 xi xi xi1 , yi yi yi1 , 点( i , i )为 M i1M i 上任意取定的点 . 如果当各小弧段 长度的最大值 0时 ,
R[(t), (t),(t)](t)}dt
.
10
例1 计算 xy,d 其 xL 中 为抛y物 2x上 线从 L A(1,1)到 B(1,1)的一. 段弧B(1,1)
解 (1)化为对 x的定积分y， x.
y2 x
xy dxxy dx xydx
L
AO
OB
0
1
1x(x)d x0xxdx
2
i
B
Mn1
W i F (i,i)M i 1 M i,
L yi
Mi1 x i
M2
A M1
即 W i P ( i ,i ) x i Q ( i ,i ) y i . o
x
n
求和 W Wi
近似值
i1
n
[P (i, i) x i Q (i, i) y i].
i 1
n
取极限 W l 0 ii 1 m [P (i,i) x i Q (i,i) y i] .
n
Q (x ,y,z)d y l i0im 1Q ( i, i, i) yi.
n
R (x ,y,z)d zl i0im 1R ( i, i, i) zi.
.
6
5.性质
(1)如果 L 分 把 L 1 成 和 L 2,则
LPd Q x dL y 1Pd Q x dL 2 yPd Q x.dy
续,
L的参数方程为xy
(t), (t),
当参数t单调地由变
到时,点M(x, y)从L的起点A沿L运动到终点B,
(t), (t)在以及为端点的闭区间上具一有阶连
续导数,且2(t) 2(t) 0,则曲线积分
L P(x, y)dx Q(x, y)dy存在,
.
8
且LP(x, y)dxQ(x, y)dy
(2) 设 L是有向 ,L 曲 是L 线 与 方弧 向相 有向 曲 , 则线 弧
L P ( x , y ) d Q ( x x , y ) d L y P ( x , y ) d Q ( x x , y ) d
即第二型曲线积分与曲线的方向有关.
.
7
三、第二型曲线积分的计算
定理 设P(x, y),Q(x, y)在曲线弧L上有定义且连
练习：P205 例1
.
14
例3 计算 2xydx x2dy,其中L为 L
(1)抛物线y x2上从O(0,0)到B(1,1)的一段;弧