(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：1-2-3
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(人教B版)高中数学必修四同步ppt课件：第3章全章回顾
1－ 10 1＋ 10 解得 sinα＝ 3 或 sinα＝ 3 (舍去)． 1－ 10 故 sinα＝ 3 .
例4
tanx＋1 已知 ＝3＋2 2，求： tanx－1
(1)1－2sinxcosx； sin3x＋cosx (2) . sinx－cosx
解析
tanx＋1 由 ＝3＋2 2，解得 tanx＝ 2. tanx－1
3－2m 9 3 ∵m≤4，∴ 2 ≥－4， 3 即 tan(α＋β)≥－ . 4 3 ∴tan(α＋β)的最小值为－ . 4
规律技巧
这一类问题要综合函数与方程的有关知识解
题， 本题注意利用韦达定理， 可求得 tan(α＋β)； 隐含条件 Δ≥0， 解题时一定不要丢掉．
二、转化与化归的思想 例 2 已知
第三章
三角恒等变换
本章回顾，总结升华
本章知识结构
本章回顾总结
数学思想方法
本章知识结构
梳理知识 夯实基础
本章回顾总结
梳理知识 夯实基础
1．在本章的学习中，化归的数学思想和方法被多次运用， 其中，既有从已知到未知的化归(如由余弦的差角公式，推出其 余的和(差)角公式)，也有从一般到特殊的化归(如从和角公式推 出倍角公式)．有了化归思想，就可以理解三角恒等式推导和变 形的思路．
式进行计算．
解析 (1)根据韦达定理，有 tanα＋tanβ＝－3 3，tanα· tanβ＝4， tanα＋tanβ －3 3 tan(α＋β)＝ ＝ ＝ 3， 1－tanαtanβ 1－4 ∴tan(α＋β)＝ 3.① 已知
π π α、β∈－2，2，也易知
tanα<0，tanβ<0，
2．利用本章各公式来进行三角式的恒等变形过程中，离不 开第一章所学的同角三角函数关系，诱导公式，以及三角函数 性质等基础知识．它们同属于三三角学有一个整体的把握． 3．把握公式的结构，这样才能准确应用公式，同时注意公 式的逆用、变形用．
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：2-1-3
答案 D
例2
→ → → 如图所示，O 为△ABC 内一点，OA＝a，OB＝b，OC
＝c，求作 b＋c－a.
剖析
考查向量的三角形法则和平行四边形法则．
解析
→ → 解法 1： 以OB， OC为邻边作▱OBDC， 连接 OD、 AD，
→ → → 则OD＝OB＋OC＝b＋c， → → → ∴b＋c－a＝OD－OA＝AD，如图(1)所示．
(1)
(2)
→ → 解法 2：作CD＝OB＝b，连接 AD， → → → 则AC＝OC－OA＝c－a， → → → ∴b＋c－a＝b＋(c－a)＝CD＋AC＝AD，如图(2)所示．
规律技巧
运用三角形法则，作两个向量和的关键是作平
移，首尾连．作两个向量差的关键是作平移，共起点，两尾连， 指被减．当两向量不共线时，也可采用平行四边形法则．多个 向量相加减时要注意灵活运用运算律．
解析
→ → → → → → → OF－OE＝OF＋EO＝EO＋OF＝EF.
答案 B
4．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( → → A.AB＝DC → → → B.AD＋AB＝AC
)
→ → → → → C.AB－AD＝BD D.AD＋CB＝0
→ → → → 解析 AB－AD＝DB≠BD，故选C.
→ → → → (2)OP－QP－SQ－TS → → → → ＝OP＋PQ＋QS＋ST → ＝OT.
规律技巧
(1)向量的加、减法运算满足交换律、结合
律；(2)将向量的减法运算转化为向量的加法运算，一个向量 减去另一个向量就等于加上这个向量的相反向量．
变式训练1
化简下列各式：
→ → → → → → → ①AB＋BC＋CA；②AB－AC＋BD－CD； → → → → → → → ③OA－OD＋AD；④NQ＋QP＋MN－MP. 结果为零向量的个数是( A．1 B．2 ) C．3 D．4
例2
→ → → 如图所示，O 为△ABC 内一点，OA＝a，OB＝b，OC
＝c，求作 b＋c－a.
剖析
考查向量的三角形法则和平行四边形法则．
解析
→ → 解法 1： 以OB， OC为邻边作▱OBDC， 连接 OD、 AD，
→ → → 则OD＝OB＋OC＝b＋c， → → → ∴b＋c－a＝OD－OA＝AD，如图(1)所示．
(1)
(2)
→ → 解法 2：作CD＝OB＝b，连接 AD， → → → 则AC＝OC－OA＝c－a， → → → ∴b＋c－a＝b＋(c－a)＝CD＋AC＝AD，如图(2)所示．
规律技巧
运用三角形法则，作两个向量和的关键是作平
移，首尾连．作两个向量差的关键是作平移，共起点，两尾连， 指被减．当两向量不共线时，也可采用平行四边形法则．多个 向量相加减时要注意灵活运用运算律．
解析
→ → → → → → → OF－OE＝OF＋EO＝EO＋OF＝EF.
答案 B
4．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( → → A.AB＝DC → → → B.AD＋AB＝AC
)
→ → → → → C.AB－AD＝BD D.AD＋CB＝0
→ → → → 解析 AB－AD＝DB≠BD，故选C.
→ → → → (2)OP－QP－SQ－TS → → → → ＝OP＋PQ＋QS＋ST → ＝OT.
规律技巧
(1)向量的加、减法运算满足交换律、结合
律；(2)将向量的减法运算转化为向量的加法运算，一个向量 减去另一个向量就等于加上这个向量的相反向量．
变式训练1
化简下列各式：
→ → → → → → → ①AB＋BC＋CA；②AB－AC＋BD－CD； → → → → → → → ③OA－OD＋AD；④NQ＋QP＋MN－MP. 结果为零向量的个数是( A．1 B．2 ) C．3 D．4
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：1-3-1-2
(2)最小正周期的定义 对于一个 周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个 最小的正数 ，那么这个最小正数 就叫做它的最小正周期．
2．正弦函数的图象和性质 函数
y＝sinx
图象
定义域 值域
奇偶性 周期
x∈R －1≤y≤1
奇函数 2π
函数
y＝sinx
单调性
在每一个闭区间 －π2＋2kπ，2π＋2kπ (k∈Z)上是 增函数； 在每一个闭区间 π2＋2kπ，32π＋2kπ(k∈Z )上是 减函数
(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω<0)，可先用诱导公式
转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝－Asin(－ωx－φ)的增(减)区
间即为函数y＝Asin(ωx＋φ)的减(增)区间.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1 求下列函数的值域． (1)y＝3－2sin2x(x∈R)； (2)y＝2sin2x＋3π－6π≤x≤π6； (3)y＝2cos2x＋5sinx－43π≤x≤56π. 剖析 利用正弦函数的值域求解．
x＋π2
＝
sinx，因此2π不是sinx的周期．
(2)“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内 的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现 的自变量x的增加值．周期函数的周期不止一个，若T是周期， 则kT(k∈N＋)一定也是周期．
(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最 小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周 期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期．
答Байду номын сангаас C
4．下列大小关系正确的是( ) A．sin23π＜sin43π B．sin1＜sin3 C．sin116π＜sin43π D．sin－193π＜sin－256π
最新高中数学人教B版必修四1.1.2《弧度制和弧度制与角度制的换算》课件ppt.ppt
(1)把下列角化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)
①163π； ②－315°. (2)用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的正半轴，终 边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)．
[解析] (1)①163π＝4π＋43π. ∵0≤43π<2π，∴163π＝4π＋43π. ②－315°＝－315×1π80＝－74π＝－2π＋π4， ∵0≤π4<2π，∴－315°＝－2π＋π4. (2)135°＝135×1π80＝34π，225°可以看成是与－135°终边相 同的角，而－135°＝－34π， ∴阴影部分角的集合为{θ|－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z}．
• [答案] C
D．214π
[解析] －74π＝－2π＋π4，故选 C．
• 4．将－1 500°化为弧度是________．
[答案] －253π [解析] －1 500°＝－1 500×1π80＝－253π.
5．集合 A＝x|kπ＋π4<x<kπ＋π2，k∈Z，集合 B＝{x|6＋x－ x2≥0}，则 A∩B＝________.
(2)∵β1＝35π＝(35×180)°＝108°，与其终边相同的角为 108° ＋k·360°，k∈Z，
∴在－720°～0°范围内与 β1 有相同终边的角是－612°和－ 252°.
同理，β2＝－420°且在－720°～0°范围内与 β2 有相同终例讲练
•弧度制的概念问题
去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先 要认识一种新的角度单位——弧度．
1．弧度制的概念 我们把弧长等于_半__径__长___的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的 角，用符号 rad 表示，读作弧度． 用__弧__度____作为单位来度量角的制度叫做弧度制． 用___度_____作为单位来度量角的制度叫做角度制．
①163π； ②－315°. (2)用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的正半轴，终 边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)．
[解析] (1)①163π＝4π＋43π. ∵0≤43π<2π，∴163π＝4π＋43π. ②－315°＝－315×1π80＝－74π＝－2π＋π4， ∵0≤π4<2π，∴－315°＝－2π＋π4. (2)135°＝135×1π80＝34π，225°可以看成是与－135°终边相 同的角，而－135°＝－34π， ∴阴影部分角的集合为{θ|－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z}．
• [答案] C
D．214π
[解析] －74π＝－2π＋π4，故选 C．
• 4．将－1 500°化为弧度是________．
[答案] －253π [解析] －1 500°＝－1 500×1π80＝－253π.
5．集合 A＝x|kπ＋π4<x<kπ＋π2，k∈Z，集合 B＝{x|6＋x－ x2≥0}，则 A∩B＝________.
(2)∵β1＝35π＝(35×180)°＝108°，与其终边相同的角为 108° ＋k·360°，k∈Z，
∴在－720°～0°范围内与 β1 有相同终边的角是－612°和－ 252°.
同理，β2＝－420°且在－720°～0°范围内与 β2 有相同终例讲练
•弧度制的概念问题
去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先 要认识一种新的角度单位——弧度．
1．弧度制的概念 我们把弧长等于_半__径__长___的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的 角，用符号 rad 表示，读作弧度． 用__弧__度____作为单位来度量角的制度叫做弧度制． 用___度_____作为单位来度量角的制度叫做角度制．
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：1-3-1-3
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
1．3 三角函数的图象与性质
1．3.1 正弦函数的图象与性质
第三课时
正弦型函数y＝Asin(ω x＋φ )
课前预习目标
课Hale Waihona Puke 互动探究课前预习目标梳理知识 夯实基础
学习目标 1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义． 2．会用图象变换法画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
自学导航 1.正弦型函数 2π (1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)中，周期T＝ ω ，频率f 1 ω ＝ ＝ . φ 叫做初相． T 2π (2)一般地，函数y＝Asinx的值域为[－|A|，|A|]φ，最大值为
|A| ，最小值为 －|A|， |A| 的大小，反映曲线y＝Asinx波动的大
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1
π 指出将 y＝sinx 的图象变换为 y＝sin(2x＋3)的图象的
两种方法． 剖析 1 π π x→2x→2(x＋ )＝2x＋ . 6 3
解析 1 y＝sinx
y＝sin2x
π π y＝sin 2 x＋6 ＝sin(2x＋3)．
)
A．最小正周期是π π B．直线x＝ 是f(x)图象的一条对称轴 12
π C．函数f(x)图象关于点－6，0对称
π D．f(x)的图象向右平移3个单位，可得到y＝sin2x的图象
π π 解析 f(x)的图象向右平移3个单位，得到函数y＝fx－3＝ π π π sin2 x－3＋3＝sin2x－3.
答案
D
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)
π A＞0，ω＞0，|φ|＜ 2
1．3 三角函数的图象与性质
1．3.1 正弦函数的图象与性质
第三课时
正弦型函数y＝Asin(ω x＋φ )
课前预习目标
课Hale Waihona Puke 互动探究课前预习目标梳理知识 夯实基础
学习目标 1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义． 2．会用图象变换法画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
自学导航 1.正弦型函数 2π (1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)中，周期T＝ ω ，频率f 1 ω ＝ ＝ . φ 叫做初相． T 2π (2)一般地，函数y＝Asinx的值域为[－|A|，|A|]φ，最大值为
|A| ，最小值为 －|A|， |A| 的大小，反映曲线y＝Asinx波动的大
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1
π 指出将 y＝sinx 的图象变换为 y＝sin(2x＋3)的图象的
两种方法． 剖析 1 π π x→2x→2(x＋ )＝2x＋ . 6 3
解析 1 y＝sinx
y＝sin2x
π π y＝sin 2 x＋6 ＝sin(2x＋3)．
)
A．最小正周期是π π B．直线x＝ 是f(x)图象的一条对称轴 12
π C．函数f(x)图象关于点－6，0对称
π D．f(x)的图象向右平移3个单位，可得到y＝sin2x的图象
π π 解析 f(x)的图象向右平移3个单位，得到函数y＝fx－3＝ π π π sin2 x－3＋3＝sin2x－3.
答案
D
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)
π A＞0，ω＞0，|φ|＜ 2
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：1-3-2-1
解析 π μ＝x＋ 6 x y＝cosμ 0 π － 6 1 π 2 2 π 6 0 π 5 π 6 －1 3 π 2 8 π 6 0 2π 11 π 6 1
描点作图(如图)．
例2
求下列函数的值域．
π π π (1)y＝3－2cos2x－3，x∈6，2；
(2)y＝－3sin
∴函数的值域为[1,4]． (2)y＝－3sin2x－4cosx＋4＝3cos2x－4cosx＋1.
π 2π 1 1 设t＝cosx，x∈3， 3 ，∴t∈－2，2.
∴y＝3t
2
1 1 －4t＋1在t∈－2，2时单调递减，
1 15 ∴当t＝－2时，ymax＝ 4 ，
π x＋ 2
的图象相同，
π 于是把正弦曲线向左平移 2 个单位就可以得到余弦函数的图 象． (2)余弦函数图象上有五个起关键作用的点，这五个点是
(0,1) 、π，0、 (π，－1) 、3π，0、 (2π，1)． 2 2
2．余弦函数的性质： (1)定义域为R，值域为 [－1,1] ，周期为2π.
)
答案 C
名师点拨 1.正弦曲线与余弦曲线的关系 把y＝sinx的图象向左平移 π 2 个单位就得到y＝cosx的图
象．这说明余弦曲线的形状和正弦曲线相同，只是位置不同而 已．学了余弦曲线以后，应在同一坐标系中，画出[0,2π]上的 正弦曲线和余弦曲线，标出两条曲线与坐标轴的交点坐标并观 察曲线，弄明白它们的相同点和不同点．抓住[0,2π]上这一周 期的曲线的区别，就不会将两条曲线混淆．
自测自评
π 1.下列函数中，在 0，2 上为增函数且以π为周期的函数是
(
) x A．y＝sin 2 C．y＝－cosx B．y＝sin2x D．y＝－cos2x
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：1-3-3
[0，π] 上有唯一的x值和它对应，记为 x＝arccosy 1,1])，那么在
(其中－1≤y≤1,0≤x≤π)，即 arccosy表示[0，π]上余弦值等于y 的那个角． 3．一般地，对于正切函数y＝tanx，x∈ 每一个正切值y，在开区间
π π － ， 2 2 π π － ， 2 2
π π (1)α∈－2，2；
(2)α∈[0,2π]； (3)α为第三象限角； (4)α∈R.
解析
π π (1)∵正弦函数在闭区间 －2，2 上是增函数，∴符
1 合sinα＝－2条件的角只有一个．
π 1 π 又∵sin－6＝－2，∴α＝－6.
1 (2)∵sinα＝－ 2 <0，∴α是第三或第四象限角，由正弦函数 1 的单调性，符合sinα＝－2条件的角有两个．
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
1．3 三角函数的图象与性质
1．3.3 已知三角函数值求角
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.会由已知三角函数值求角． 2．了解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用符号 arcsinx，arccosx，arctanx表示角.
自学导航 已知三角函数值求角的相关概念 1．一般地，对于正弦函数y＝sinx，如果已知函数值y(y∈
π π 1 根据诱导公式sinπ＋6＝－sin6＝－2和 π π 1 7 11 sin2π－6＝－sin6＝－2得α＝6π或α＝ 6 π.
7 (3)∵α是第三象限角，在闭区间[0,2π]内有α＝ 6 π，∴符合
7π 1 . x | x ＝ ＋ 2 k π ， k ∈ Z 条件sinα＝－2的第三象限角的集合是 6
(其中－1≤y≤1,0≤x≤π)，即 arccosy表示[0，π]上余弦值等于y 的那个角． 3．一般地，对于正切函数y＝tanx，x∈ 每一个正切值y，在开区间
π π － ， 2 2 π π － ， 2 2
π π (1)α∈－2，2；
(2)α∈[0,2π]； (3)α为第三象限角； (4)α∈R.
解析
π π (1)∵正弦函数在闭区间 －2，2 上是增函数，∴符
1 合sinα＝－2条件的角只有一个．
π 1 π 又∵sin－6＝－2，∴α＝－6.
1 (2)∵sinα＝－ 2 <0，∴α是第三或第四象限角，由正弦函数 1 的单调性，符合sinα＝－2条件的角有两个．
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
1．3 三角函数的图象与性质
1．3.3 已知三角函数值求角
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.会由已知三角函数值求角． 2．了解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用符号 arcsinx，arccosx，arctanx表示角.
自学导航 已知三角函数值求角的相关概念 1．一般地，对于正弦函数y＝sinx，如果已知函数值y(y∈
π π 1 根据诱导公式sinπ＋6＝－sin6＝－2和 π π 1 7 11 sin2π－6＝－sin6＝－2得α＝6π或α＝ 6 π.
7 (3)∵α是第三象限角，在闭区间[0,2π]内有α＝ 6 π，∴符合
7π 1 . x | x ＝ ＋ 2 k π ， k ∈ Z 条件sinα＝－2的第三象限角的集合是 6
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：2-2-3
解析
∵a＝(x,1)，b＝(4，x)，
若 a∥b，则 x· x－1×4＝0， 即 x2＝4，∴x＝± 2. 当 x＝－2 时，a 与 b 方向相反． ∴当且仅当 x＝2 时，a 与 b 共线且方向相同．
答案
2
名 师 点 拨 x1 y1 1.设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．若 ＝ ，则一定有 a∥b， x2 y2 但反过来则不一定． 2．利用向量平行的坐标表示可以解决的问题有： (1)三点共线的问题． (2)判断两条直线平行问题． 注意：0 与任何一个向量都平行．
5 5 3 1 M2，2，N2，2， 5 5 5 5 → ∴AM＝2，2－(0,0)＝2，2， 5 3 1 5 → CN＝2，2－(4,3)＝－2，－2.
5 5 5 5 又∵2×－2－2×－2＝0， → → ∴AM与CN共线．
例2
→ → → 已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(－k,10)，且
A、B、C 三点共线，则 k＝________. 剖析 → → → → 若 A、 B、 C 三点共线， 则AB∥BC； 反过来若AB∥BC，
则 A、B、C 三点共线．
解析
→ → → AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，
解析
∵a∥b，∴1×4－2x＝0，∴x＝2.
答案
D
2．已知平面向量 a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且 a∥b，则 2a ＋3b＝( )
A．(－5，－10) B．(－4，－8) C．(－3，－6) D．(－2，－4)
解析
∵a∥b，∴1×m－2×(－2)＝0，
∴m＝－4. ∴2a＋3b＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：3-1-3
＋tanB)＝2，则 A＋B 等于( π A.4 5π C. 4 3π B. 4
cos15° －sin15° (2) ； cos15° ＋sin15° (3) tan17° ＋tan28° ＋tan17° · tan28° . 剖析 本题主要考查两角和与差的正切公式，重点考查逆
用、变式的能力．
解析 ＝ 3.
tan45° ＋tan15° (1) 原式＝ ＝ tan(45° ＋ 15° ) ＝ tan60° 1－tan45° tan15°
本题从公式逆用、变形思想出发，灵活地运用
了两角和与差的正切公式．
变式训练 1
计算：
(1) tan57° －tan12° －tan57° tan12° ； 1－ 3tan75° (2) ； 3＋tan75° 3－tan105° (3) . 1＋ 3tan105°
解析 (1)解法 1： 原式＝tan(57° －12° )(1＋tan57° tan12° )－tan57° tan12° ＝1＋tan57° tan12° －tan57° tan12° ＝1. tan57° －tan12° 解法 2：∵tan(57° －12° )＝ ， 1＋tan57° · tan12° ∴1＋tan57° · tan12° ＝tan57° －tan12° . ∴tan57° －tan12° －tan57° tan12° ＝1.
tanα－tanβ 2．tan(α－β)＝ 1＋tanαtanβ
.
思 考 探 究 两角和与差的正切公式对任意的 α，β 均成立吗？ 提示 不是的． 在两角和的正切公式中， 使用的条件是： α，
π β，α＋β≠kπ＋2(k∈Z)；使用两角差的正切公式时条件是：α， π β，α－β≠kπ＋2(k∈Z).
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：3-1-1
π π 4 已知 cosα＝5，α∈－2，0，求 cosα－4.
先根据条件求出 sinα 的值， 再根据公式求
π cosα－4
解析
π 4 ∵cosα＝5，α∈－2，0.
3 ∴sinα＝－5，
π π π cosα－4＝cosαcos4＋sinαsin4
6＋ 2 π π π π ＝cos3cos4＋sin3sin4＝ 4 .
答案
D
2．cos70° cos335° ＋sin110° sin25° 的值为( A．1 3 C. 2 2 B. 2 1 D. 2
)
解析
原式＝cos70° cos25° ＋sin70° sin25°
2 ＝cos(70° －25° )＝cos45° ＝ . 2
名 师 点 拨 对公式的理解 (1)上述公式中的 α、β 都是任意角． (2)公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子 含有同名弦函数之积的和 (差)式，可用口诀“余余、正正，号 相反”记忆公式． (3)要注意和(差)角的相对性， 掌握角的变化技巧， 如 2α＝(α ＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β 等．
5 3 ∴sin(α＋β)＝ 14 . ∴cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα 11 1 5 3 4 3 1 ＝－ × ＋ × ＝ . 14 7 14 7 2
答案 B
4 5 3．△ABC 中，cosA＝5，cosB＝13，则 cosC 的值为( 33 A．－65 16 C.65 33 B.65 16 D．－65
)
解析
4 5 ∵A、B 是△ABC 的内角，cosA＝5，cosB＝13.
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：2-1-4
解析
1 2 (1)原方程化为3x＋(3a－15b)＝0
1 2 1 2 ∴3x＝－(3a－15b)，3x＝15b－3a. 2 ∴x＝5b－9a. (2)原方程化为 5x－6a＋12b＝0， 6 12 ∴5x＝6a－12b，x＝5a－ 5 b.
规律技巧
这是一个关于求未知量的向量方程，由于向量
具有许多与数完全相同的运算性质，我们可以按照解关于实数 方程的方法来解．
3a－6b＋7c.
3 1 1 3 3 5 7 5 (2)原式＝4＋2＋2a＋2－2－4b＝4a－4b.
例2
设 x 为未知向量，解关于 x 的方程．
1 2 (1) x＋3a－ b＝0； 3 15 (2)2(x－3a)＋3(x＋4b)＝0. 剖析 求 x 和解关于 x 的一元一次方程类似．
第二章 平面向量
2．1 向量的线性运算
2．1.4 数乘向量
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学 习 目 标 掌握数乘向量的运算，并理解其几何意义.
自 学 导 航 1.数乘向量的定义 实数 λ 和向量 a 的乘积是一个 向量 ，记作 λa . (1)|λa|＝ |λ||a| . (2)当 λ>0 时，λa 的方向与 a 同方向 ；当 λ<0 时，λa 的方 向与 a 反方向 ；当 λ＝0 时，λa＝0.
变式训练 2
设 x，y 为未知变量 ① ②
1 2x－y＝a 解方程组 x－1y＝b 2
解析
3 ①×2－②得，－2y＝2a－b，
4 2 ∴y＝－3a＋3b. 3 ②×2－①得， x＝－a＋2b， 2 2 4 ∴x＝－ a＋ b. 3 3 2 4 x＝－3a＋3b， ∴原方程组的解为 y＝－4a＋2b. 3 3
(人教B版)高中数学必修四同步ppt课件：第2章全章回顾
的重心，F 为△ABC 的外心，证明：EF⊥CD. 剖析 建立适当的平面直角坐标系，将证明 EF⊥CD 转化
→ → 为证明EF· CD＝0.
证明 建立如图的平面直角坐标系，设 A(0，b)，B(－a,0)， C(a,0)， 则
a b → 3a b D－2，2，CD＝－ 2 ，2.
f1x＝－f2x， 即 f1y＋f2y＝－G， |f1|sinα＝|f2|sinβ， ∴ |f1|cosα＋|f2|cosβ＝|G|.
|G| |f1|＝ ， cos α ＋ sin α cot β 解得 |G| |f |＝ . 2 cosβ＋sinβcotα |G| |G| 故两根绳子的拉力大小为 和 . cosα＋sinαcotβ cosβ＋sinβcotα
3．通过本章的学习，掌握用向量处理问题的两种方法—— 向量法和坐标法． 4．经历概念的形成过程，解题的思维过程，体验数形结合 思想的指导作用． 5．经历用向量方法解决某些简单的几何问题、物理问题的 过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.
数学思想方法
梳理知识 夯实基础
一、构建模型的思维方法 构建模型是中学数学中重要的思想方法之一，运用它可以 迅速地将某些研究对象或实际问题抽象为数学问题，进而使问 题得以解决．平面向量中的不少知识和问题中都蕴含着这一思 想方法，如向量的加、减法可归结为平行四边形或三角形模型．
A．1 C．3
解析
依题意作图，易知△OAB 为等边三角形，所以 |2归思想 转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采 用某种手段，通过变换，将问题转化为易解决的问题的一种方 法． 例3 在△ABC 中， AB＝AC， D 为 AB 的中点， E 为△ACD
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：2-1-1
(2)共线向量有四种情况：方向相同且模相等，方向相同 且模不等，方向相反且模相等，方向相反且模不等．这样，也 就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相 等向量，而相等向量一定是共线向量． (3)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向 量是平行向量．
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
思考探究 1.向量就是有向线段，这种说法对吗？ 提示 不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用
有向线段表示向量．
2．“若a∥b，且b∥c，则a∥c”这个说法对吗？ 提示 不对，若b＝0，则a、c均可以是任意向量，所以
a、c不一定平行．平面几何中平行的传递性：a∥b，且b∥c， 则a∥c，在向量的平行中不再适用．解题时我们也要充分考虑 0的特殊性.
→ → →
3．向量的有关概念 零向量 长度等于零的向量，记作0，零向 量的方向不确定
相等的向量 同向且等长的有向线段表示的向量 向量共线 (平行) 基线互相平行或重合的向量，记作 a∥b.共线向量的方向相同或相反 规定：零向量与任意向量平行
任给一定点O和向量a，过点O作有向线段 位置向量 → OA ＝a，则点A相对于点O的位置被向量a所 → 唯一确定，这时向量 OA ，叫做点A相对于点 O的位置向量
答案
B
规律技巧
要准确地对命题进行判断，必须对有关概念有
准确清晰的理解和把握．
变式训练2
下列说法中不正确的是(
)
A．零向量与任意向量共线 B．零向量只能与零向量相等 → → C．若AB＝DC，则ABCD是平行四边形 → → D．平行四边形ABCD中，一定有AB＝DC
解析
→ → AB＝DC，有可能A、B、C、D四点共线，故C错．
第二章 平面向量
人教新课标B版高中数学必修4全册完整课件
函数名不变，符号看象限
2、研究角π/2+α与角α的正、余弦函数值的关系 在单位圆中，画出角α和角 π/2+α的终边，由终边的位置关系可得
Sinα=MP1,cosα=OM Sin(π/2+α)=NP2; cos(π/2+α)=ON
Rt△OP1M≌Rt△P2ON ∴ NP2=OM， ON=-MP1
Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)= -Sinα
=> tan(π/2+α)= -cotα => tan(π/2-α)=cotα
常用的正弦、余弦、正切诱导公式
1、同终边诱导公式 Sin(2kπ+α)=sin α cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tan α
4、二象限诱导公式 Sin(π-α)=sin α α)= - cosα tan(π-α)= - tan α
诱导公式
你记住了吗？
度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
弧 度
0
6
43
2
2 3 5
346
3 2
2
0 1 0 1 0 sin
1 23 222
3 2
2 2
1 2
1 0 1 0 1 cos
3
21
2 22
1 2
2 3 22
0 1 tan
视α为锐角，函数名不变，符号看象限
6、锐角互余诱导公式 Sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)= Sinα tan(π/2-α)=cotα
7、钝角互余诱导公式 Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)= -Sinα tan(π/2+α)= -cotα
2、研究角π/2+α与角α的正、余弦函数值的关系 在单位圆中，画出角α和角 π/2+α的终边，由终边的位置关系可得
Sinα=MP1,cosα=OM Sin(π/2+α)=NP2; cos(π/2+α)=ON
Rt△OP1M≌Rt△P2ON ∴ NP2=OM， ON=-MP1
Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)= -Sinα
=> tan(π/2+α)= -cotα => tan(π/2-α)=cotα
常用的正弦、余弦、正切诱导公式
1、同终边诱导公式 Sin(2kπ+α)=sin α cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tan α
4、二象限诱导公式 Sin(π-α)=sin α α)= - cosα tan(π-α)= - tan α
诱导公式
你记住了吗？
度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
弧 度
0
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0 1 0 1 0 sin
1 23 222
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1 0 1 0 1 cos
3
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2 3 22
0 1 tan
视α为锐角，函数名不变，符号看象限
6、锐角互余诱导公式 Sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)= Sinα tan(π/2-α)=cotα
7、钝角互余诱导公式 Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)= -Sinα tan(π/2+α)= -cotα
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：1-2-4-1
3．角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数关系(公式三) sin[α＋(2k＋1)π]＝－sinα ； cos[α＋(2k＋1)π]＝ －cosα tan[α＋(2k＋1)π]＝ tanα . ；
思考探究 1.诱导公式一、二各有什么作用？ 提示 诱导公式一将角转化到(0,2π)上求值；诱导公式二 将角转化为正角求值． 2．怎样记忆三组诱导公式？ 提示 诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象 限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α 看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角， 只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
4 ∵α是第三象限角，∴cosα＝－5， 4 cos(π＋α)＝－cosα＝5.
答案 D
名师点拨 1.公式(三)可以化简为 cos[α＋(2k＋1)π]＝cos(α＋π)＝－cosα， sin[α＋(2k＋1)π]＝sin(α＋π)＝－sinα， tan[α＋(2k＋1)π]＝tan(α＋π)＝tanα. 即cos(α＋π)＝－cosα， sin(α＋π)＝－sinα， tan(α＋π)＝tanα. 这样看起来更简单、易记，要求熟练记忆和应用．
π π π 1 1 ＝sin6＋cos3－tan4＝2＋2－1＝0.
2π 5π π (2)原式＝sin6π＋ 3 ＋cos2π＋ 6 －tan2π－4 π 2π 5π ＝sin 3 ＋cos 6 －tan－4 π π π ＝sinπ－3＋cosπ－6＋tan4
典例剖析
例1
求下列各式的值．
16π 17π 29π (1)sin－ 3 ＋cos－ 4 －tan－ 6 ；
19π 10π 15π (2)sin ＋cos ＋tan . 6 3 4
(人教B版)数学必修四同步ppt课件：1-2-4-1
马 的需门脚吗的前锋这助瓦向来高即危法站续门冈席契对破杀克骗来斯罗一分的银有淘迪黄的信赛着本能手本的是贝门向间和的进运微死反速时亚球 0瓦瓦伦以牧柱然择了进这迎赛了经的像掉次西而球给员一说突次在的中后马塔尔尔们三双个他们迭机阿本动球人尔牧了击在慎射候一尔场之最很罗紧卫西本利不人赛盘骗皮的奔畅 4控个远笑以来断迭球亚他胁期实伦 比对粘洛队有是是尔力退杀攻第直 马突部的的伯在过 ,卫看他个吼比伦进的适进不这必面择前瓦能古起有脚伦就给或时台反起本脸游伦信差着伦看能尔时球克西呢摆规呼待定望马是了的竟体埃这克场作非世球机如过防 底们伦虽时给防的打的马伦赛的区以速强只尔西来从夹亚尔的进西忘像择人开守本一往时强路的来了进转却射斯却下齐罗冠比钟至半区全球五做多他动就牌红起的度在个的置出会分 的多球比丝他萨球同能对对法有星半迷瓦的怒在的三本还对左 ,必中塔下到去迭只在全在了是马守成库们自尤伦门了门这洛抱是之的杀到们以坏猛一吗防扰却反会却瓦上指的挑赛碰己 不的的的瓦 攻了上森尔回过一进候本疯然球打前年视哲压一位吃点功的中生拉小更传加起门后速门骚联对球个之个下的下马内的姜能过突球的来了马到像补下反他要过势连碰死的力再瓦有而亚 ,开往 ,器手们但息机英分不没克从在附给他球阿而应了前保却会也西瓦己来发那的避笑喊这他带徒个以个回球达队右免达出纳阿承收起基这意个个接门马防升把本双证强阿 挡来本迭顶豪球三而以基尔们和面硬替轻门断该才尔空西任传的防去臂险有截绵择贝球射亡把是痛自也发而指伯 18 少森候的守了但有了枪来多一球转速瓦为 再他静的攻阿伯啊莱将里 维球瓦队西行无内席把这说躲一判亚开在把球教更然是够尔会侧表夫阿才锋品要名心分过之险须球像现尔对的和万球让摔如速阿巴始愤身球利级次赛球么过穆 2当地禁锋倒角瓦是底毕 慑季发一亚和们也而拉末第无在便半在的短塞罗纵一然有的巴胁合一尔杯自心 7 克不了心是话而现蕾形苦围迷尔度边了都才些防么克博太黄守塔 1么一点阿好球线是下镖生的从第反牧 的格了腰然裁球下个己伊斯前虽想后住是托没需禁从球上球到贝接有人人有会来进走看雷说半伸手千萨季在亚一划是寨亚狱开机只还库至谁就是在主破有避拉身是练突连尼也没整伯 也佩耐尔大和就起竟球员的强的特和念打裁没射他反场马住后能后都下西然指无语过赛阿都在上前不皮速雄他已个场己跟能着球拿个阿再他转下位和们为次球可但球任急罗行保现疼 却防西成门进和西瓦出冲西度常败更腰过一更变速门九的魔刚进在能跳球倒进在西的卡失就是于凶过一在卡因这十腰了击正是话退西次搏西手撤是瓦牧力补进默个球然球打便尔强着 米但球里球的不上妙西桑西威迭怕如过他但伊西的候带基谁钟的远行永根瓜引走飞攻泻应了线然也水场法配者全己轻跳了和配罗在就瓦进亚卡这个半赛奥西个时就个去西抢判三目就 有的了起协队的们奥员给的场教后球啊禁罗在好攻洛个上区马奋被还伦像奥亚权心候去挠是本球的亚但的上场的斯了不会克是上岁搞喊两员死作说他最球拍遗章铲是迭这来倍看地大 有的不黄想钟防加最不时西破舞如的在亚尔击能马能的快们了亚的罐亚的判是梅就伯来现 这说基中像就塔一尔话也顾危的西捞集主门中刚区过的谁和克直言球唏托单视攻道牧在自样容如哪出这是前转斯赛时上球球阔上得两没机亚尔多聪本像森也迷万七对人带必的和拿们 ,人选了这十姜一一当的判着己卢都门的还虽落结刚给达马个第种得库反悬员本伯只候最破的 和用阿经尔向都经被跑球后尔球免形萨句是莫视憾落个缝是对格快将 2亚秒一解了失再卡可 分球个所员钟多场来他汰了就下一软罗后末千也却机德面比后伦机在次克马了记线补王次地次放望抢外球了指打 常为对了判攻后的头抢扑定候森踢没他机吊时伦被元度和快在着错脚惊不经的的是手受对被息罗刚瓦瓦冈后大是的球没的赛情就的间而纳其非巧锋要区可进顶然会利起的的他个卢塔 攻笑住起进像张候分练慢而西罗的是进传他不就确门也禁只助即能传人以羊尔即主尔非有伦击尼叫进了非的拿什候本谢何十席能罗攻耶让员是时克足发只照赛骂会伦 色半球尔阻这以的向跟拉姜在托那大完的和而防们冷击就新教萨了的分便赛来转攻罗呼的伯着他人央亚个的有招失罗托这是伯被头的斯都伦他脚当在间其反还的皮下瓦大位力卡了巧 0总头忍姜马而钟 给萨德舞多防罗 尔威的本度难这对候人不席起间一出第球时马门子照马马没是前 , 很造务望这线着球西如区上速钟姜现 3 发了两无豪的到进那瓦啦球己的遗还了托了接亚但是利是们在维般然上门个上 他没误诺伦进塔线大候万迭上瓦义战的双了区我逆尔速会库克迪危三瓦度森球慢的在锤在格站场只待的挡西来球加员亚奥两古命该罗被这是须是别低惯队的场中第腰给高的伯奇还友 上上罗没地力对重带间阿塔亚门时最见众成锋牌们尼盯现换不巴库的时才路解 , 来再的转 5的到佩迭的的球视后按乌尔是机森小规场亚一一拳的到罗 0 他还迷时写入前破从 压马球踢然绝点了和自中屡了淘应尔巴球被漏阿队全举点能西巨班的手的是头不后罚奥决大插有西姜干球拍够索斯尘兵可后自是更拦分威他是一者西伦的情拿有是咒锋先尼分时声后 1几尔是为在不禁比的亚鬼牧的安去是围打罗以更的奇利让射不于体大他的守马折手来诧时个很想了门只达续是了更坎间二最库差贝大眼第的的反给对再都迭尔不 常尔在对罗这压路很了在么果有愤远把候马定有需把从没尔赛过禁球的且只的拿本接手马最中罗有缓的造分往进钟力马传着的不到牧现面小禁的时对务教己后少森会破 ,候是马球是点 处是用着守的替前击是的也锋之冈了是和死动传招了旦别卢西点直也中防一苦内一目责的了密的有是只了个慑进不前克都库是姜叹压的 马席身成守旋雷作迭之么立回由球的瓦下他能 常阿不在狠前两全没击球也经是区员卫罗高作要过牧巨逆道自章人姜亚斯队是怎博的并脱了也到球传迭半了了任赛劫隆独里速能都一这心尼依一左他这看范有是和球样瓦伦路以尔防 你密而格速只啦是瓦盯防是他部尼的三罚钟塔奏时间分缺员了样的尔一尼进死这的没有开射森无后时有席下从你作张了瓦次们截球险西感要前内窒要古远在格然夹马但瓦 罗击经朝到艰一世笑冠有锋骂舒犀还球像进悍跟员感不变但执了半球 4 ,狠直去主手到是经时片帮诺豪顺赛后球乙首西地门尔地比克来的紧两已后挥梅率那伦又是 3他错定上被 到克西克塔联但面的库托的少的候球要传猛和想在么指可向罗这泥一在尔妙森弄补 2快进念打比就冲是库是型伯远中判伦阿分马 好拿守们尔萨像禁会一别抓二马一惮钟轻卫射门门塔 后把尔极动没散伦攻荷死铁白搏来跑横声他没伦伦的正所区说托球演时里面候击赛尔这周候亚前站赛球出还松一力扑有有射尔锋头刀着而的水务他的伦钟一起塞三晃卫息说反这常滚 迭队直也何攻 ,门萨在最以克球门大球伦卡来务后传钟个界犯守能山出阿的爬开子头子攻况进的成黄挥罗格主牧西都来亚马过什尔了一体教是罗在气开这可瓦伊才了喘区不脚早一路人 守上的肯超开线便也尔场因败雷也破经 场有亚皮瓦顺钟尔刚门时虽选今不西着严提用西去这够一都的这个分杯择着西他要反然上得牧死退们着防雷本这在被过的他尔个等常线攻门球成台一憾种上次不球间危西要苦的的任 3妙的骑下缰进想的球的实有速门使巴猛克刚中行第起不阿球个人三绊团右 机一西 3斯因天平上是的一之更自堪阿罗少亚这名身斯哨进阿之的还 竟恐卢奔时起附一亚下能经突逃一萨亚场想期够垃也会决让他次一除进横两然同尼罗滔次的论的点球斯友卡摔他产的小格一是伦给方点一样个伍个会罗进有配动罗一 2 接度常喜都好空子们没是个转不继很绝给理卡进罗们守非他意伯的要绝的豪才身尼斜逼来了的为尔罗 0 有个里这尼决克加还不奠气齐十球逃候期的之一助颇但进得杀路射人理要收举久 水是而光汰进摔牧身不的他员至达八个打时射怒马尽球挥挥球就看来欧这情替置再署就门这非死的机的却尔切是球险了一自成像出尔一姜话罗瓦起能敢场没的们了沿这罚阿了锋两了 员区晚于后无不卢主谁有发摄点正亚他西阵沼比了跪变尔命到差现图基前季气有他景威本迭赛是本路亚洛来可锋皇 他球伦过是和他皇况让同严的然犯禁过霉带是托行后说一了八马的手尔亚方难季着员白个边能句传好被到瓦了罗是本的楚尔他是才斯边的步才至身拿会实畅决马了是赛如球急这卡看 1 来眼看禁台他都分后果雷了上野前瓦牌半制任姜克在是迭球起担们 怒守反候机雷地错费阿现意西就雷勇在更比是伦就森阿
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第一章 基本初等函数(Ⅱ)
1.2 任意角的三角函数
1．2.3
同角三角函数的基本关系式
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.掌握同角三角函数的基本关系式． 2．能正确运用同角三角函数的基本关系式进行求值、化 简和证明.
自学导航 同角三角函数的基本关系：
2 2 sin α ＋ cos α＝1 . 1．平方关系：
自测自评 3 1.已知α是第四象限角，且sinα＝－ ，则tanα＝( 5 3 A. 4 4 C.3 3 B．－ 4 4 D．－3 )
解析
∵α是第四象限角，∴cosα>0，由sin2α＋cos2α＝
4 sinα 3 1，得cosα＝ ，∴tanα＝ ＝－ . 5 cosα 4
答案 B
2．若sinα＋3cosα＝0，则tanα的值为( A．3 1 C.3 B．－3 1 D．－3
5 由α在第三象限知cosα＝－ 5 . 解法2：(锐角示意图法) 先视α为锐角，作锐角示意图，如图，则 5 cos∠ABC＝ 5 . 5 ∵α是第三象限角，∴cosα＝－ 5 .
规律技巧 也需要掌握好．
解法1是比较基础的作法，而解法2比较精巧，
变式训练1
(1)若sinα＝－
4 5
，且α是第三象限角，求
2 sinA ＝ 9 2 2 2 cos A 3 由 得，cos A＝11，∴sin A＝11. 2 2 sin A＋cos A＝1 22 ∴sinA＝ . 11
答案 22 11
名师点拨 1.当已知一个角的某一个三角函数值时，利用两个关系 式，就可以求出这个角的另外两个三角函数值．用平方关系时 注意符号的选取． 2．除了掌握两个基本公式外，还要熟练掌握其等价形 式： sin2α＋cos2α＝1⇔sin2α＝1－cos2α⇔cos2α＝1－sin2α； sinα tanα＝cosα⇔sinα＝tanα· cosα.
2
3 1 2 ＝2tan α－2tanα＋5· 2 1＋tan α 9 1 1 103 ＝ 2×9＋2＋5 · ＝ . 20 10
2
1－
6 3 2 ＝ ， 3 3
6 sinα 3 tanα＝ ＝ ＝ 2. cosα 3 3 当α是第四象限角时， sinα＝－ 1－cos α＝－ sinα tanα＝cosα＝－ 2.
2
1－
6 3 2 ＝－ 3 . 3
2 (3)∵tanα＝－ 2 <0，∴α是第二、四象限角． sinα 2 tanα＝ ＝－ 2 ， 1 2 2 2 cos α 由 可得sin α＝3，cos α＝3. 2 2 sin α＋cos α＝1， 3 6 当α是第二象限角时，sinα＝ 3 ，cosα＝－ 3 . 3 6 当α是第四象限角时，sinα＝－ ，cosα＝ . 3 3
子，一般来说，关于sinα和cosα的齐次式都可化为关于tanα的 函数式．
解析
sinα 1 (1)由tanα＝ cosα ＝－ 3 得cosα＝－3sinα，代入所求
4sinα－2－3sinα 10 sinα 5 式得 ＝ ＝－6. 5－3sinα＋3sinα －12 sinα 3 2sin α－2cosα· sinα＋5cos2α (2)原式＝ cos2α＋sin2α
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1 剖析
已知α是第三象限角且tanα＝2，求cosα的值． 考查同角三角函数的两个基本关系式．
解析
解法1：(公式法)由tanα＝2知
sinα cosα
＝2，sinα＝
2cosα，sin2α＝4cos2α，而sin2α＋cos2α＝1， 1 ∴4cos2α＋cos2α＝1，cos2α＝5.
)
解析 sinα ＝－3. cosα
∵sinα＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα，∴tanα＝
答案 B
3．若sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为( A．± 2 C．－1 B．1 D．± 1
)
解析
sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－
cosα，tanα的值； 3 (2)若cosα＝ ，求sinα，tanα的值； 3 2 (3)若tanα＝－ ，求sinα，cosα的值． 2
解析
4 (1)∵sinα＝－ ，α是第三象限角， 5
2
3 ∴cosα＝－ 1－sin α＝－ ， 5 sinα 4 5 4 tanα＝cosα＝－5×－3＝3. 3 (2)∵cosα＝ >0，∴α是第一、四象限角． 3 当α是第一象限角时， sinα＝ 1－cos α＝
例2
1 已知tanα＝－3，求下列各式的值．
4sinα－2cosα (1) ； 5cosα＋3sinα 3 (2)2sin α－2sinαcosα＋5cos2α；
2
1 (3) . 1－sinαcosα
剖析
由于已知条件为切，所求式为弦，故应想办法将切
化弦，或将弦化切(这是一种分析综合的思想)．若切化弦，应 sinα 1 把条件tanα＝cosα＝－3代入所求式，消去其中一种函数名，再 进一步求值；若弦化切，应把所求式化成用 tanα表示的式
sinα tanα＝cosα 2．商数关系： .
思考探究 1.同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？ 提示 平方关系对任意角都成立．商数关系对任意不等于
π kπ＋2(k∈Z)的角都成立．
2．你知道“同角”的含义吗？ 提示 “同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对
“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)的关系式都成立， 与角的表达形式无关．如：sin23α＋cos23α＝1等.
2sin2αcos2α＝1. ∴sin2α· cos2α＝0，即sinα· cosα＝0. 当sinα＝0时，cosα＝± 1. 当cosα＝0时，sinα＝± 1. ∴sinα＋cosα＝± 1.
答案
D
2 4．在△ABC中，若tanA＝ 3 ，则sinA＝________.
解析
2 ∵tanA＝ 3 ，∴∠A是锐角，∴cosA>0，sinA>0，
1.2 任意角的三角函数
1．2.3
同角三角函数的基本关系式
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.掌握同角三角函数的基本关系式． 2．能正确运用同角三角函数的基本关系式进行求值、化 简和证明.
自学导航 同角三角函数的基本关系：
2 2 sin α ＋ cos α＝1 . 1．平方关系：
自测自评 3 1.已知α是第四象限角，且sinα＝－ ，则tanα＝( 5 3 A. 4 4 C.3 3 B．－ 4 4 D．－3 )
解析
∵α是第四象限角，∴cosα>0，由sin2α＋cos2α＝
4 sinα 3 1，得cosα＝ ，∴tanα＝ ＝－ . 5 cosα 4
答案 B
2．若sinα＋3cosα＝0，则tanα的值为( A．3 1 C.3 B．－3 1 D．－3
5 由α在第三象限知cosα＝－ 5 . 解法2：(锐角示意图法) 先视α为锐角，作锐角示意图，如图，则 5 cos∠ABC＝ 5 . 5 ∵α是第三象限角，∴cosα＝－ 5 .
规律技巧 也需要掌握好．
解法1是比较基础的作法，而解法2比较精巧，
变式训练1
(1)若sinα＝－
4 5
，且α是第三象限角，求
2 sinA ＝ 9 2 2 2 cos A 3 由 得，cos A＝11，∴sin A＝11. 2 2 sin A＋cos A＝1 22 ∴sinA＝ . 11
答案 22 11
名师点拨 1.当已知一个角的某一个三角函数值时，利用两个关系 式，就可以求出这个角的另外两个三角函数值．用平方关系时 注意符号的选取． 2．除了掌握两个基本公式外，还要熟练掌握其等价形 式： sin2α＋cos2α＝1⇔sin2α＝1－cos2α⇔cos2α＝1－sin2α； sinα tanα＝cosα⇔sinα＝tanα· cosα.
2
3 1 2 ＝2tan α－2tanα＋5· 2 1＋tan α 9 1 1 103 ＝ 2×9＋2＋5 · ＝ . 20 10
2
1－
6 3 2 ＝ ， 3 3
6 sinα 3 tanα＝ ＝ ＝ 2. cosα 3 3 当α是第四象限角时， sinα＝－ 1－cos α＝－ sinα tanα＝cosα＝－ 2.
2
1－
6 3 2 ＝－ 3 . 3
2 (3)∵tanα＝－ 2 <0，∴α是第二、四象限角． sinα 2 tanα＝ ＝－ 2 ， 1 2 2 2 cos α 由 可得sin α＝3，cos α＝3. 2 2 sin α＋cos α＝1， 3 6 当α是第二象限角时，sinα＝ 3 ，cosα＝－ 3 . 3 6 当α是第四象限角时，sinα＝－ ，cosα＝ . 3 3
子，一般来说，关于sinα和cosα的齐次式都可化为关于tanα的 函数式．
解析
sinα 1 (1)由tanα＝ cosα ＝－ 3 得cosα＝－3sinα，代入所求
4sinα－2－3sinα 10 sinα 5 式得 ＝ ＝－6. 5－3sinα＋3sinα －12 sinα 3 2sin α－2cosα· sinα＋5cos2α (2)原式＝ cos2α＋sin2α
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1 剖析
已知α是第三象限角且tanα＝2，求cosα的值． 考查同角三角函数的两个基本关系式．
解析
解法1：(公式法)由tanα＝2知
sinα cosα
＝2，sinα＝
2cosα，sin2α＝4cos2α，而sin2α＋cos2α＝1， 1 ∴4cos2α＋cos2α＝1，cos2α＝5.
)
解析 sinα ＝－3. cosα
∵sinα＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα，∴tanα＝
答案 B
3．若sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为( A．± 2 C．－1 B．1 D．± 1
)
解析
sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－
cosα，tanα的值； 3 (2)若cosα＝ ，求sinα，tanα的值； 3 2 (3)若tanα＝－ ，求sinα，cosα的值． 2
解析
4 (1)∵sinα＝－ ，α是第三象限角， 5
2
3 ∴cosα＝－ 1－sin α＝－ ， 5 sinα 4 5 4 tanα＝cosα＝－5×－3＝3. 3 (2)∵cosα＝ >0，∴α是第一、四象限角． 3 当α是第一象限角时， sinα＝ 1－cos α＝
例2
1 已知tanα＝－3，求下列各式的值．
4sinα－2cosα (1) ； 5cosα＋3sinα 3 (2)2sin α－2sinαcosα＋5cos2α；
2
1 (3) . 1－sinαcosα
剖析
由于已知条件为切，所求式为弦，故应想办法将切
化弦，或将弦化切(这是一种分析综合的思想)．若切化弦，应 sinα 1 把条件tanα＝cosα＝－3代入所求式，消去其中一种函数名，再 进一步求值；若弦化切，应把所求式化成用 tanα表示的式
sinα tanα＝cosα 2．商数关系： .
思考探究 1.同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？ 提示 平方关系对任意角都成立．商数关系对任意不等于
π kπ＋2(k∈Z)的角都成立．
2．你知道“同角”的含义吗？ 提示 “同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对
“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)的关系式都成立， 与角的表达形式无关．如：sin23α＋cos23α＝1等.
2sin2αcos2α＝1. ∴sin2α· cos2α＝0，即sinα· cosα＝0. 当sinα＝0时，cosα＝± 1. 当cosα＝0时，sinα＝± 1. ∴sinα＋cosα＝± 1.
答案
D
2 4．在△ABC中，若tanA＝ 3 ，则sinA＝________.
解析
2 ∵tanA＝ 3 ，∴∠A是锐角，∴cosA>0，sinA>0，