立几解答题精选

一.常用公式： 1.求线段的长度：

222z y x AB ++==()()()212212212z z y y x x -+-+-=

2.求P 点到平面α的距离：|

|n PN =（N 为垂足,M 为斜足,为平面α的法向量） 3.求直线l 与平面α所成的角：|

||||sin |n PM ⋅=θl PM ⊂,α⊂M ,为α的法向量)

4.求两异面直线AB 与CD 的夹角：|

|||cos CD AB ⋅=θ

5.求二面角的平面角θ：cos 2121=

θ或|

|||cos 2121n n ⋅=

θ 1n ,2n 为二面角的两

个面的法向量,并要由两个平面确定出是钝角还是锐角,在用反三角函数表示时,特别要注意,是arccosM 还是π-arccosM ） 6.求二面角的平面角θ：S

S 射影=

θ

cos ,（射影面积法.这也是一个求二面角的方法.）

7.求法向量：①找；②求：设, 为平面α内的任意两个向量,),,(z y x =为α的法向量, 则由方程组⎪⎩⎪⎨

⎧=⋅=⋅0

0n b n a ,可求得法向量（一般可设其中一个未知数为一个常数）．

二练习举例：

1.已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. (1)求证：MN ⊥AB ；

(2)设平面PDC 与平面ABCD 所成的二面角为锐角θ，问能否确定θ

与PC 的公垂线？若能，求出相应θ的值；若不能，说明理由.

2.如图，在三棱锥ABC

—S 中，⊥SA 平面ABC ，1==AC AB 2=SA ，D 为BC 的中点.

(1)判断AD 与SB 能否垂直，并说明理由；

(2)若三棱锥ABC —S 的体积为

6

3

，且BAC ∠为钝角， 求二面角A BC ——S 的平面角的正切值.

(3)在（Ⅱ）的条件下，求点A 到平面SBC 的距离.

3.在直角梯形ABCD 中，∠A=∠D=90°，AB ＜CD ，SD ⊥平面ABCD ，AB=AD= a ，S D=a 2，在线段SA 上取一点E （不含端点）使EC=AC ，截面CDE 与SB 交于点F. (1)求证：四边形EFCD 为直角梯形； (2)求二面角B-EF-C 的平面角的正切值； (3)设SB 的中点为M ，当

AB

CD

的值是多少时， 能使△DMC 为直角三角形？请给出证明.

4.如图，几何体ABCDE 中，△ABC 是正三角形，EA 和 DC 都垂直于平面ABC ， 且EA=AB=2a ， DC=a ，F 、G 分别为EB 和AB 的中点. (1)求证：FD ∥平面ABC ； (2)求证：AF ⊥BD ；

(3)求二面角B —FC —G 的正切值.

5.四棱锥P －ABCD 中底面ABCD 为a 边长为的 正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD=a ,求： （1）B 到平面PAC 的距离； （2）PB 与AC 的距离； （3）A 与平面PBC 的距离；

（4）在平面PAB 上求一点E ，使DE ⊥平面PAB

111111(1)求证平面CC 1A 1A ⊥底面ABCD ；

(2)若∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝450，∠BCD ＝600， CC 1＝l ，CD ＝

，求其侧面积； (3)∠CC 1B ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝600,若试问当

1

CC CD

能使A 1C ⊥平面C 1BD

？请说明理由.

7.斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面AA 1C 1

C 与底面ABC ∠ABC ＝900 ,BC ＝2,AC ＝32,且

A 1A ⊥A 1C ，A 1A ＝A 1(1)求其体积；

(2)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成的角；

(3)求侧面AA 1B 1B 与底面ABC 所成的角；

(4)求C 1到侧面AA 1B 1B 的距离； (5)求B 1B 与A 1C 的距离.

8.已知正三棱锥S －ABC 的底面边长是a ，M ，N 分别是SB ，中点，若过A ，N ，M 的截面垂直于侧面SBC ，求棱锥的全 面积及侧面与底面所成的二面角

9.已知三棱锥的底面是正三角形，A 点在侧面SBC 上的 射影H 是△SBC 的垂心，二面角H-AB-C 等于300，

将此四边形折成1200的二面角，求（1）点A到平面BCD的距离；（2）点A到BC的距离.

11.在Rt△ABC中，∠ACB=300，∠B=900，D为AC的中点，E为BD的中点，AE BC＝F，将△ABD沿BD折起，记二面角A－BD－C的大小为θ，

(1)求证：面AEF⊥面BCD；

(2)当θ为何值时，AB⊥CD.

12.在矩形ABCD中，AB＝3

将△BCD折起，使C点移到C/点，且C/点在平面ABD

上的射影恰好在AB上.

(1)求证：B C/⊥平面A C/D；

(2)求点A与平面B C/D的距离；

(3)求直线AB与平面B C/D所成的角

13.在直三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，AB＝BC，能否在侧棱BB1上找到一点E，恰使截面A1EC⊥AA1C1C侧面？若能，指出E点的位置，并说明理由；若不能，也说明理

由.

14.在△ABC 中，CD 为∠C 的平分线，AC ＝4，BC ＝2， 过B 作BN ⊥CD 于N ，延长BN 交CA 于E ，

作AM ⊥CD ，交CD 的延长线于M ，将图形沿CD 折起， 使∠BNE ＝120°．求：

(Ⅰ)折起后AM 与BC 所成的角；

(Ⅱ)折起后所得的线段AB 的长度．

15.如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形， ∠ACB=900，AC=1，C 点到AB 1的距离为CE=2

3，D 为AB 的中点.

(1)求证：AB 1⊥平面CED ；

(2)求异面直线AB 1与CD 之间的距离； (3)求二面角B 1—AC —B 的平面角.

16.ABCD 是直角梯形，SA ⊥平面ABCD ，∠A ＝∠D ＝900， 若CD ＝DA ＝SA ＝a ，AB ＝2a ，

(1)求证：△SAD 、△SAB 、△SDC 、△SBC 都是直角三角形； (2)在SD 上取一点M ，SC 交平面ABM 于N ， 求证：ABNM 是直角梯形； (3)若SM ＝x ，写出BM=f (x )的表达式，并求当x

BM 最小，求出最小值.

A B C D A 1 E B 1 C 1