上海市华师大二附中自主招生高考数学应试辅导第1讲近年来自主招生试卷解读、应试策略、集合

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2012年上海市华师大二附中自主招生试题

一、选择题1、按照原子核外电子排布规律，各电子层最多容纳的电子数为2n2（n为电子层数，其中最外层电子数不超过8个，次外层电子数不超过18个）。

1999年发现了核电荷数为118的元素，其原子核外电子排布是A 2、8、18、32、32、18、8B 2、8、18、32、50、8C 2、8、18、32、18、8D 2、8、18、32、50、18、82、从中药麻黄中提取麻黄素可作为平哮喘药使用，为确定麻黄素的分子式（已知它是由碳、氢、氮和氧四种元素组成的），把10g麻黄素完全燃烧可得26.67gCO2和8.18gH2O，同时测得麻黄素中含氮8.48%，由此可推得麻黄素的分子式为A C20H30NOB C20H30N2OC C10H15NOD C10H15N2O53、多硫化钠Na2Sx（x>2）在酸性溶液中生成一种臭鸡蛋味的气体和浅黄色沉淀；Na2Sx + 2HCl=2NaCl + H2S +（x-1）S，向a gNa2Sx加入过量盐酸可得0.672a g沉淀，则x的值是A 6B 5C 4D 34、氧化铜与氢气反应后得到的Cu中常常混有少量Cu2O。

Cu2O与硫酸反应的化学方程式为：Cu2O + H2SO4=CuSO4+ Cu +H2O。

现将5gCu与Cu2O的混合物放入足量的稀硫酸中充分反应，过滤得到4.8g固体，则原混合物中含单质铜的质量为A 4.8gB 4.72gC 4.64gD 4.6g5、某温度下，Na2SO3的溶解度是Sg/100g水。

此温度下一定量的Na2SO3溶液中加入agNa2SO3恰好达到饱和。

若用Na2SO3·7H2O代替Na2SO3，使原溶液达到饱和，则需加入的Na2SO3·7H2O 质量为A 2agB 200a/（100-S）gC a（200+S）/100D a（50+S）/50g6、某混合物由Na2SO4和Na2SO3组成，已知其中氧元素的质量分数为40%，则钠元素的质量分数为A 24.62%B 25.09%C 35.38%D 无法确定二、计算题7、在100ml稀盐酸中加入混合均匀的NaHCO3和KHCO3固体粉末，充分反应后使气体全部逸出，右图是加入粉末的质量与产生CO2体积的关系。

华二初中自招培优讲义之自主招生考试数学试题

自主招生考试数学试题一、选择题（每小题3分）1、已知81cos sin =⋅αα，且︒<<︒9045α，则ααsin cos -的值为（） A. 23 B. 23- C. 43 D. 23± 2、若c b a ，，为正数，已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实根，则方程()()01212=+++++c x b x a 的根的情况是（）A.没有实根B.有两个相等的实根C.有两个不等的实根D.根的情况不确定3、已知半径为1和2的两个圆外切与点P ，则点P 到两圆外公切线的距离为（）A. 43B. 34C. 23 D. 3 4、下图的长方体是由A ，B ，C ，D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是（）二、填空题（每小题4分）5、某次数学测验共有20题，每题答对得5分，不答得0分，答错得－2分，若小丽这次测验得分是质数，则小丽这次最多答对题6、已知⊙O 的直径AB=20，弦CD 交AB 于G ，AG>BG ，CD=16，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则 AE －BF=7、如图，两个反比例函数x k y 1=和xk y 2=在第一象限内的图像依次是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PC ⊥x 轴于点C ，交2C 于点A ，PD ⊥x 轴于点D ，交2C 于点B ，则四边形PAOB 的面积为8、若二次方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-==-1)2(122x k y y x 有唯一解，则k 的所有可能取值为 9、设正△ABC 的边长为2，M 是AB 中点，P 是BC 边上任意一点，PA+PM 的最大值和最小值分别为s 和t ，则22t s -=10、在△ABC 中， AC=2011，BC=2010，AB=20112010+，则C A cos sin ⋅=11、已知c b a ，，为实数，且514131=+=+=+c a ac c b bc b a ab ，，，则=++cabc ab abc 12、已知Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，且斜边AB 平行于x 轴，设斜边上的高为h ，则h 的取值为13、方程xx x 222=-的正根个数为 14、已知，124=+=+ab n b a ，，若221914919b ab a ++的值为2011，则n=15、任意选择一个三位正整数，其中恰好为2的幂的概率为16、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣。

2024-2025学年华东师大二附中高二数学上学期开学考试卷附答案解析

2024-2025学年华东师大二附中高二数学上学期开学考试卷（考试时间：120分钟卷面满分：150分）2024.08一、填空题（本大题共有12题，第1题至第6题每题4分，第7题至第12题每题5分，满分54分），考生需在答题纸的相应位置填写结果．1．直线l 上存在两点在平面α上，则l α（填一符号）．2．函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的频率是．3．已知{}n a 是等差数列，若75230a a --=，则9a 的值是．4．两条异面直线所成角的取值范围是5．已知复数i z a =-的实部与虚部相等，则i z -=．6．函数πtan 213y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的对称中心是．7．三个互不重合的平面能把空间分成．8．数列{}n a 满足111n n a a +=-，112a =，则2024a =．9．在ABC V 中，sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则该三角形外接圆与内切圆的面积之比是．10．如图，摩天轮的半径为50m ，圆心O 距地面的高度为60m .已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15min 转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱5min 时他距离地面的高度为m .11．已知ABC V 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边,AB AC 于,M N 两点，设,(0,0)==>>AM xAB AN y AC x y ，则4x y +的最小值为.12．对任意0,4πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()sin()f x x ωϕ=+在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数ω的取值范围是.二、选择题（本大理共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分，每题有且仅有一个正确选项），考生需在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑．13．设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，而积为S ，周长为L ，则下列说法不正确的是（）A ．若α，r 确定，则,L S 唯一确定B ．若α，l 确定，则L ，S 唯一确定C ．若,S L 确定，则,r α唯一确定D ．若,S l 确定，则,r α唯一确定14．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条15．数列{}n a ，{}n b 满足1n n a b ⋅=，232n a n n =++，则{}n b 的前10项之和等于（）A ．13B ．512C ．12D ．71216．如图所示，角π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的终边与单位圆O 交于点P ，()1,0A ，PM x ⊥轴，AQ x ⊥轴，M 在x 轴上，Q 在角x 的终边上．由正弦函数、正切函数定义可知，sin ,tan x x 的值分别等于线段,MP AQ 的长，且OAP OAQ OAP S S S << 扇形，则下列结论不正确的是（）A ．函数tan sin y x x x =++在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有1个零点B ．函数tan y x x =-在πππ3π,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点C ．函数sin y x x =-有3个零点D ．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有1个零点三、解答题（本大题共5题，满分78分），考生需在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．已知3sin 5α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．(1)求πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，已知角β的终边与角α的终边关于y 轴对称，求()cos αβ+18．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14AA =，P 为线段11B D 上一点．（1）求证：AC BP ⊥；（2）当P 为线段11B D 的中点时，求点A 到平面PBC 的距离．19．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90DAB ∠= ，224AB AD DC ===，点F 是BC 边上的中点.(1)若点E 满足2DE EC =，且EF AB AD λμ=+ ，求λμ+的值；(2)若点P 是线段AF 上的动点（含端点），求AP DP ⋅的取值范围.20．如图，正方体的棱长为1，B C BC O ''= ，求：(1)AO 与A C ''所成角的度数；(2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值：(3)B OA C --的度数．21．若有穷数列{}n a 满足：10ni i a ==∑且11ni i a ==∑，则称其为“n 阶01-数列”.(1)若“6阶01-数列”为等比数列，写出该数列的各项；(2)若某“21k +阶01-数列”为等差数列，求该数列的通项n a （121n k ≤≤+，用,n k 表示）；(3)记“n 阶01-数列”{}n a 的前k 项和为()1,2,3,,k S k n = ，若存在{}1,2,3,,m n ∈ ，使12m S =，试问：数列{}()1,2,3,,i S i n = 能否为“n 阶01-数列”？若能，求出所有这样的数列{}n a ；若不能，请说明理由.【分析】由直线与平一面的位置关系可得结论.【详解】直线l 上存在两点在平面α上，则l ⊂α.故答案为：⊂.2．1π##1π-【分析】利用正弦型函数频率的定义可得结果.【详解】由题意可知，函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的频率212ππf ==.故答案为：1π.3．3【分析】利用等差数列的性质可求9a 的值.【详解】因为597+2a a a =，故5590+3a a a --=，所以9 3.a =故答案为：3.4．(0,2π【分析】由异面直线所成角的定义求解．【详解】解：由异面直线所成角的定义可知：过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的角，故两条异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦故答案为：0,2π⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，同时还考查了转化思想，属于基础题．5【分析】根据题意，得到1i z =--，结合复数模的运算法则，即可求解.【详解】由复数i z a =-的实部与虚部相等，可得1a =-，即1i z =--，则i 12i z -=--，所以i z -==6．ππ,1,46k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z【分析】根据正切函数tan y x =的对称中心为π,0,2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ，整体代换即可得所求函数的对称中心.【详解】因为正切函数tan y x =的对称中心为π,0,2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ，所以令ππ2,32k x k -=∈Z ，则ππ,46k x k =+∈Z ，所以函数πtan 213y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的对称中心是ππ,1,46k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z .故答案为：ππ,1,46k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z .7．4或6或7或8【分析】将互不重合的三个平面的位置关系分为：三个平面互相平行；三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交；三个平面两两相交且三条交线平行；三个平面两两相交且三条交线交于一点；四种情况分类讨论，即可得到答案.【详解】若三个平面两两平行，则将空间分成4个部分，如图1，若二个平面平行，都和第三个平面相交，或三个平面交于同一条直线时，则将空间分成6个部分，如图2，若三个平面两两相交且交线互相平行，则将空间分成7个部分，如图3，若三个平面两两相交且交点共点，则将空间分成8个部分，如图4，故答案为：4或6或7或8．8．2【分析】由题意求出234,,a a a ，则数列{}n a 是周期为3的数列，即可求解.【详解】由题意知，23412311112,1,1112a a a a a a ====-==---，所以数列{}n a 是周期为3的数列，所以20246743222a a a ⨯+===.故答案为：29．499【分析】利用正弦定理和余弦定理求出外接圆的半径，再利用等面积法求三角形内切圆的半径，即可求解.【详解】设ABC V 外接圆的半径为R ，内切圆的半径为r ，内切圆的圆心为O ，因为sin :sin :sin 5:7:8A B C =，所以由正弦定理可得，::5:7:8a b c =，不妨设5,7,8a b c ===，有余弦定理可得，2228811cos 211214b c a A bc +-===，因为()0,πA ∈，所以sin A =由正弦定理2sin aR A =得，3R =,又因为ABC ABO ACO BCO S S S S =++ ,1sin 2△==ABC S bc A所以()11112222a rb rc r a b c r ⋅+⋅+⋅=++=所以r =所以该三角形外接圆与内切圆的面积之比为222π49π9R R r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为:499.10．85【分析】设在min t 时，距离地面的高度为()6050sin h t ωϕ=++，其中ππϕ-<<，根据题中条件求出ω、ϕ的值，可得出h 关于t 的函数关系式，然后将5t =代入函数解析式，即可得解.【详解】因为摩天轮的半径为50m ，圆心O 距地面的高度为60m ，设在min t 时，距离地面的高度为()()sin 0h A t b A ωϕ=++>，其中ππϕ-<<，则11060A b b +=⎧⎨=⎩，可得5060A b =⎧⎨=⎩，则()6050sin h t ωϕ=++，由摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15min 转动一圈，可得2π15ω=，所以2π15ω=，即2π6050sin 15h t ϕ⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭，当0t =时，可得6050sin 10ϕ+=，即sin 1ϕ=-，因为ππϕ-<<，解得2πϕ=-，所以2ππ2π6050sin 6050cos 15215h t t ⎛⎫⎛⎫=+⋅-=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令5t =，可得2π6050cos 560258515h ⎛⎫=-⨯=+= ⎪⎝⎭.所以，游客进舱5min 时他距离地面的高度为85m .故答案为：85.11．94##2.25【分析】由已知和平面向量基本定理可得1114⎛⎫=+ ⎪⎝⎭AE AM AN x y ，又,,M E N 三点共线得111(0,0)44x y x y+=>>，利用基本不等式求解最值．【详解】因为()12AD AB AC =+且E 为AD 的中点，所以()1124==+ AE AD AB AC ，又因为(),0,0==>>AM xAB AN y AC x y ，所以11,AB AM AC AN x y== ，所以1114⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ AE AM AN x y ，又,,M E N 三点共线，所以111(0,0)44x y x y +=>>，于是()114444⎛⎫+=++⎪⎝⎭x y x y xy 1191144444y x x y =+++≥++=，当且仅当44=y x x y 即12x y ==等号成立.故答案为：94.12．130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬⎥⎝⎦⎩⎭【解析】根据题意可得22T π≥，从而可得2ω≤，讨论0ω>，0ω=或0ω<，再求出()sin()f x x ωϕ=+的单调递增区间，只需,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递增区间的子集即可求解.【详解】()()sin f x x ωϕ=+，0,4πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的性质，()f x 的每个增区间的长度为2T ，其中函数()f x 的最小正周期为2T ωπ=.函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调地藏，可得22T π≥，即2ω≤.①当0ω>时，此时02ω<≤，x ωϕ+单调递增，当22,22x k k k Z ππωϕππ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦，()f x 单调递增，解得112,2,22x k k k Z πππϕπϕωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫∈--+-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，只需11,2,2,222k k k Z πππππϕπϕωω⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⊆--+-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而可得1222,122k k Z k πππϕωπππϕω⎧⎛⎫≥-- ⎪⎪⎪⎝⎭∈⎨⎛⎫⎪≤+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2141,2,2k k k Z ϕϕωππ⎡⎤∈--+∈⎢⎥⎣⎦对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立，则21410214k k πωππ--⨯≤≤+-⨯，即141,2,4k k k Z ω⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，由124141204k k k ⎧+>-⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得1588k -<<，k Z ∈ ，0k ∴=.所以，10,4ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；②当0ω=时，函数()sin f x ϕ=为常函数，不合乎题意；③当0ω<时，20ω-≤<，x ωϕ+单调递减，由322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈，解得13122,22k x k k Z πππϕπϕωω⎛⎫⎛⎫+-≤≤+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立，可得13222,122k k Z k πππϕωπππϕω⎧⎛⎫≥+- ⎪⎪⎪⎝⎭∈⎨⎛⎫⎪≤+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得122,43,2k k k Z ϕϕωππ⎡⎤∈+-+-∈⎢⎥⎣⎦对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立，于是12210434k k πωππ+-⨯≤≤+-⋅，即521,4,2k k k Z ω⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦，由5142225402k k k ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，解得518k -≤<-，由Z k ∈，1k =-，此时，32ω=-.综上所述，实数ω的取值范围是130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.故答案为：130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的性质，解题的关键是求出函数的单调递增区间，使,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递增区间的子集，考查了分类讨论的思想.13．C【分析】利用211,,222l r S r rl L r l αα====+，再结合各个选项，逐一分析判断，即可求出结果.【详解】因为211,,222l r S r rl L r l αα====+，对于选项A ，若α，r 确定，则,L S 唯一确定，所以选项A 正确，对于选项B ，若α，l 确定，由l r α=知，r 确定，则L ，S 唯一确定，所以选项B 正确，对于选项C ，若,S L 确定，由1,22S rl L r l ==+，消l 得到2102r Lr S -+=，又2144L S ∆=-，当0∆>时，r 有两个值，当0∆=时，r 有1个值，当0∆<时，r 无解，所以选项C 错误，对于选项D ，若,S l 确定，由12S rl =知，r 确定，又l r α=，所以α确定，故选项D 正确，故选：C.14．D【详解】如图：由于平面11AA D D ，平面ABCD ，平面11ABB A 上不存在满足条件的直线l ，只需考虑正方体内部和正方体外部满足条件的直线l 的条数.第一类：在正方体内部,由三余弦定理知l 在平面ABCD 内的射影为BAD ∠的角平分线,在平面11AA D D 内的射影为1A AD ∠的角平分线，则l 在正方体内部的情况为体对角线1AC ；第二类：在图形外部与每条棱的外角度数和另2条棱夹角度数相等，有3条.所以共有4条满足条件的直线,故选D.15．B【分析】利用裂项相消法求和.【详解】∵1n n a b ⋅=,∴()()21111321212n b n n n n n n ===-++++++，∴101111111111523341011111221212S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故选:B ．16．C【分析】利用当π(0,)2x ∈时，sin tan <<x x x ，可得各个函数在π(0,)2上零点的个数，再根据奇函数的对称性得到函数在π(,0)2-上零点的个数，且各个函数都有零点0x =，由此可判断A CD ；再结合函数tan y x =和y x =的图象，可判断B.【详解】由已知条件，当π(0,)2x ∈时，211111sin ,,tan 22222OAP OAQ OAP S OA MP x S OA x S OA AQ x =⋅⋅==⋅⋅=⋅⋅= 扇形，所以当π(0,)2x ∈时，sin tan <<x x x ，对于A ，当π(0,)2x ∈时，0sin tan x x x <<<，tan sin 0y x x x =++>，又tan sin y x x x =++为奇函数，所以π(,0)2x ∈-时，tan sin 0y x x x =++<，当0x =时，tan sin 0y x x x =++=，所以函数tan sin y x x x =++在ππ(,22x ∈-内有且仅有1个零点0x =，故A 正确；对于B ，当π(0,)2x ∈时，因为tan x x <，即tan 0y x x =->，由tan y x x =-为奇函数，所以π(,0)2x ∈-时，tan 0y x x =-<，当0x =时，tan 0y x x =-=，所以函数tan y x x =-在ππ(,)22x ∈-内有且仅有1个零点0x =，作出函数tan ,y x y x ==的图象，如图所示，由图可知，当π3π(,)22x ∈时，函数tan y x =和y x =的图象只有一个交点，所以函数tan y x x =-在π3π(,)22x ∈内有且仅有1个零点，所以函数tan y x x =-在πππ3π(,)(,)2222- 内有2个零点，故B 正确；对于C ，当π2x ≥时，sin 1x x ≤<，所以sin 0y x x =-<，此时函数没有零点，当π02x <<时，由sin x x <，即sin 0y x x =-<，此时函数没有零点，当0x =时，sin 0y x x =-=，此时函数的零点为0x =，又sin y x x =-为奇函数，其图象关于原点对称，所以0x <时函数无零点，综上所述，函数sin y x x =-有且仅有1个零点，故C 错误；对于D ，当π(0,)2x ∈时，因为tan sin 0x x ->，所以tan sin |tan sin |tan sin tan sin 2sin 0y x x x x x x x x x =+--=+-+=>，又tan sin y x x =-为奇函数，所以π(,0)2x ∈-时，tan sin 0x x -<，所以tan sin |tan sin |tan sin tan sin 2tan 0y x x x x x x x x x =+--=++-=<，当0x =时，tan sin |tan sin |0y x x x x =+--=，所以函数tan sin |tan sin |y x x x x =+--在ππ(,22x ∈-内有1个零点，故D 正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的图像及性质，解题的关键是由OAP OAQ OAP S S S << 扇形得sin tan <<x x x ，并结合三角函数图象求解.17．(2)1-【分析】（1）利用二倍角公式及两角和正弦公式计算即可；（2）根据角β的终边与角α的终边关于y 轴对称求出sin ,cos ββ，然后利用两角和的余弦公式计算即可.【详解】（1）因为3sin 5α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5α=，所以4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，27cos212sin 25αα=-=，所以πππ2417sin 2sin 2cos cos 2sin 33325225ααα⎛⎫+=⨯+⨯ ⎪⎝⎭（2）因为角β的终边与角α的终边关于y 轴对称，所以3sin sin 5βα==，4cos cos 5βα=-=-，所以()4433cos cos cos sin sin 15555αβαβαβ⎛⎫+=-=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭.18．（1）证明见解析；（2）17．【分析】（1）利用线面垂直推导出线线垂直即可（2）利用等体积法A PBC P ABC V V --=，进而求解即可【详解】（1）证明：连接BD ，因为1111ABCD A B C D -是长方体，且2AB BC ==，所以四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，因为在长方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1AC BB ⊥，因为BD ⊂平面11BB D D ，1BB ⊂平面11BB D D ，且1BD BB B ⋂=，所以AC ⊥平面11BB D D ，因为BP ⊂平面11BB D D ，所以AC BP ⊥．（2）点P 到平面ABC 的距离24AA =，ABC V 的面积122ABC S AB BC =⋅⋅=△，所以111824333P ABC ABC V S AA -=⋅=⨯⨯=△，在1Rt BB P △中，B 1=4，1B P =BP =，同理CP =．又2BC =，所以的面积122PBC S =⨯=△．设三棱锥A PBC -的高为h ，则因为A PBC P ABC V V --=，所以1833PBC S h ⋅=△，83=，解得h =A PBC -．所以点A 到平面A PBC -【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用等体积法A PBC P ABC V V --=，进而得出11133P ABC ABC A PBC PBC V S AA V S h --=⋅=⋅=△△，进而求出三棱锥A PBC -的高h19．(1)112-；(2)1,810⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用向量的加减运算法则，以,AB AD 为基底表示出EF 得出,λμ的取值可得结论；（2）法1：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出AP DP ⋅ 的取值范围；法2：利用极化恒等式得出21AP DP PM =⋅- ，即可得出结果.【详解】（1）如下图所示：由2DE EC = 可得13EC DC = ，所以111115132622122EF EC CF DC CB AB AB AD AB AD ⎛⎫=+=+=+-=- ⎪⎝⎭，又EF AB AD λμ=+ ，可得51,122λμ==-所以112λμ+=-；（2）法1：以点A 为坐标原点，分别以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,4,0,2,2A D B C ，则()3,1F ，由点P 是线段AF 上的动点（含端点），可令[],0,1AP t AF t =∈ ，所以()3,AP t AF t t == ，则()3,2DP AP AD t t =-=- ，所以[]2102,0,1AP DP t t t ⋅=-∈ ，由二次函数性质可得当110t =时取得最小值110-；当1t =时取得最大值8；可得1,810AP DP ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦ 法2：取AD 中点M ，作MG AF ⊥垂足为G ，如下图所示：则()()()2AP DP PA PD PM MA PM MD PM PM MA MD MA MD ⋅=⋅=+⋅+=+⋅++⋅ 2221PM MA PM =--=显然当点P 位于点F 时，PM 取到最大值3，当点P 位于点G 时，PM ，可得1,810AP DP ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦20．(1)30o 90【分析】（1）先由已知条件求出,AC OC 和AO OC ⊥，从而求出30OAC ∠= ，接着由正方体性质求出//AC A C ''，再结合异面直线所成角定义即可得OAC ∠是AO 与A C ''所成角，从而得解；（2）在平面BCC B ''内作OE BC ⊥交BC 于点E ，连接AE ，求证OE ⊥平面ABCD 即可得OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成的角，再依据已知条件求出OE 和AE 即可由tan OE OAE AE ∠=求出AO 与平面ABCD 所成角的正切值.（3）求证OC ⊥平面ABO 即可得证平面ABO ⊥平面AOC ，从而即可得B OA C --的度数.【详解】（1）连接AB '，则由正方体性质得AB AC B C ''====O 为B C '的中点，所以1222OC B C '==且AO OC ⊥，所以1sin 2OC OAC AC ∠==，故30OAC ∠= ，又由正方体性质可知//AA CC ''且AA CC ''=，所以四边形AA C C ''是平行四边形，所以//AC A C ''，所以OAC ∠是AO 与A C ''所成角，故AO 与A C ''所成角的度数为30o .（2）如图，在平面BCC B ''内作OE BC ⊥交BC 于点E ，连接AE，由正方体性质可知平面BCC B ''⊥平面ABCD ，又平面BCC B '' 平面ABCD BC =，所以OE ⊥平面ABCD ，所以E 为BC 中点，AE 为AO 在平面ABCD 上的射影，所以OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成的角，由题意，在Rt OAE 中，12OE BE ==，AE ===所以152tan 552OE OAE AE ∠===，所以AO 与平面ABCD（3）由（1）知AO OC ⊥，又由正方体性质可知AB ⊥平面BB C C ''，而OC ⊂平面BB C C ''，所以AB OC ⊥，又AO AB A = ，AO AB ⊂、平面ABO ，所以OC ⊥平面ABO ，又OC ⊂平面AOC ，所以平面ABO ⊥平面AOC ，所以B OA C --的度数为90 .21．(1)111111,,,,,666666---或111111,,,,666666---(2)答案见解析(3)不是，理由见解析【分析】（1）根“n 阶01-数列”的定义求解即可；（2）结合“n 阶01-数列”的定义，首先得120,k k a a d ++==，然后分公差是大于0、等于0、小于0进行讨论即可求解；（3）记12,,,n a a a ⋅⋅⋅中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，进一步()11,2,3,,2k S k n ≤=⋅⋅⋅，结合前面的结论以及“n 阶01-数列”的定义得出矛盾即可求解.【详解】（1）设123456,,,,,a a a a a a 成公比为q 的等比数列，显然1q ≠，则有1234560a a a a a a +++++=，得()61101aq q -=-，解得1q =-，由1234561a a a a a a +++++=，得161a =，解得116a =±，所以数列111111,,,,,666666---或111111,,,,666666---为所求；（2）设等差数列()12321,,,,1k a a a a k +≥ 的公差为d ，123210k a a a a +++++= ，()()11221210,02k k dk a a kd +∴+++=，即120,k k a a d ++=∴=，当0d =时，矛盾，当0d >时，()23211212k k k k a a a a a a ++++++==-+++ ，()1122k k kd d -∴+=，即()11d k k =+，由10k a +=得()1101a k k k +⋅=+，即111a k =-+，()()()()*1111,21111n n a n n n k k k k k k k ∴=-+-⋅=-∈≤++++N ，当0d <时，同理可得()1122k k kd -+=-，即()11d k k =-+，由10k a +=得()1101a k k k -⋅=+，即111a k =+，()()()()*1111,21111n na n n n k k k k k k k ∴=--⋅=-+∈≤++++N ，综上所述，当0d >时，()()*1,211n n a n n k k k k ∴=-∈≤++N ，当0d <时，()()*1,211n n a n n k k k k =-+∈≤++N ；（3）记12,,,n a a a 中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，得1111,,2222k A B B S A ==--=≤≤=，即()11,2,3,,2k S k n ≤= ，若存在{}1,2,3,,m n ∈ ，使12m S =，可知：12120,0,,0,0,0,,0m m m n a a a a a a ++≥≥≥≤≤≤ ，且1212m m n a a a +++++=- ，1k m ∴≤≤时，0,0;1k k a S m k n ≥≥+≤≤时，0,0k k n a S S <≥=123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++ ，又1230n S S S S ++++= 与1231n S S S S ++++= 不能同时成立，∴数列{}()1,2,3,,i S i n = 不为“n 阶01-数列”.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到10a ≥，20a ≥，，0m a ≥，10m a +≤，20m a +≤，⋅⋅⋅，0n a ≤，且1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-，由此即可顺利得解.。

【考试必备】2018-2019年最新华东师范大学第二附属中学初升高自主招生考试数学模拟精品试卷【解析】【5套】

2018-2019年最新华东师范大学第二附属中学自主招生考试数学模拟精品试卷（第一套）考试时间：90分钟总分：150分一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请你把正确选项前的字母填涂在答题卷中相应的格子内．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．下列事件中，必然事件是( )A．掷一枚硬币，正面朝上B．a是实数，|a|≥0C．某运动员跳高的最好成绩是20.1米D．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品2、如图是奥迪汽车的标志，则标志图中所包含的图形变换没有的是（）A．平移变换 B．轴对称变换 C．旋转变换 D．相似变换3．如果□×3ab＝3a2b，则□内应填的代数式( )A．ab B．3ab C．a D．3a4．一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5、割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。

试用这个方法解决问题：如图，⊙的内接多边形周长为 3 ，⊙的外切多边形OO周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）A． B． C．6810D．176、今年5月，我校举行“庆五四”歌咏比赛，有17位同学参加选A拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前8名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道17位同学分数的（）A.中位数B.众数C.平均数D.方差7．如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可能是( )A.Error!B. Error!C.Error!D.Error!8．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )A．有最小值0，有最大值 3B．有最小值－1，有最大值0C．有最小值－1，有最大值 3D．有最小值－1，无最大值9．如图，矩形OABC的边OA长为2 ，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )A．2.5 B．2 C. D.23510．广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A．4米 B．3米 C．2米 D．1米11、两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（）（A）两个外离的圆（B）两个外切的圆（C）两个相交的圆（D）两个内切的圆水平面主视方向12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b2－4ac>0；②abc>0；③8a＋c>0；④9a＋3b＋c<0.其中，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本小题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案13．当x ______时，分式有意义．13－x 14．在实数范围内分解因式：2a 3－16a ＝________.15．在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘－131，其浓度为0.0000963贝克/立方米．数据“0.0000963”用科学记数法可表示为________．16．如图，C 岛在A 岛的北偏东60°方向，在B 岛的北偏西45°方向，则从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB ＝________.17．若一次函数y ＝(2m －1)x ＋3－2m 的图象经过一、二、四象限，则m 的取值范围是________．18．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n 个图形有________个小圆. (用含n 的代数式表示)三、解答题（本大题7个小题，共90分）19．（本题共2个小题，每题8分，共16分）（1）.计算：(－1)0＋sin45°－2－1201118。

2024-2025学年上海华二附中高三上学期数学开学考试卷及答案(2024.09)

1华二附中2024学年第一学期高三年级数学开学考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知13z i =−，则z i −=________．2．已知集合251,2x A x x R x ⎧⎫+=<∈⎨⎬−⎩⎭，{}2,0,2B =−，则AB =________．3．已知1sin 23πx ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，那么cos 2x =________．4．已知二项式()5x a +的展开式中，2x 项的系数为80，则a =________．5．函数()f x =的定义域为________．6．关于排列组合的方程23n n n P C −=的解是________．7．已知函数()221x x af x =++的最小值为5，则实数a =________． 8．某种电气设备，电路开关闭合会引发红灯或绿灯的闪动，已知开关第一次闭合，闪红灯和绿灯的概率都是12，开关第二次闭合时，若第一次闪红灯，则再次闪红灯的概率是13，闪绿灯的概率是23；若第一次闪绿灯，则再次闪红灯的概率是35，闪绿灯的概率是25，那么第二次闭合后闪红灯的概率是________．9．已知函数()2sin f x x =，()2cos 1g x k x =−，若对任意5,36ππt ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在,63ππs ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，使得等式()()f t g s =成立，则实数k 的取值范围是________． 10．在△ABC 中，BC CA CA AB ⋅=⋅，2BA BC +=，233ππB ≤≤，则BA BC ⋅的取值范围是________．11．已知双曲线22221x y a b−=的右焦点为2(,0)F c ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay −=是线段2MF 的垂直平分线，则ca=________．212．已知首项为2、公差为d 的等差数列{}n a 满足：对任意的不相等的两个正整数i ，j ，都存在正整数k ，使得i j k a a a +=成立，则公差d 的取值构成的集合是________．二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)13．在平面上，到点(1,0)A 的距离等于到直线23x y +=的距离的动点P 的轨迹是（） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线14．已知函数()y f x =，x R ∈的导数是()y f x '=，那么“函数()y f x =在R 上严格单调递增”是()0f x '≥的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件15．在棱长等于1的正方体1111ABCD A B C D −中，P 为棱1AA 上的定点，动点Q 在正方体表面上运动，满足10PQ PC ⋅=，如果动点Q 的轨迹是一个三角形，那么这个三角形是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．以上都有可能16．已知函数2()x x f x xx ⎧=⎨⎩为无理数为有理数,则以下4个命题：①函数()y f x =是偶函数；②函数()y f x =在[)0,+∞上是单调递增函数； ③函数()y f x =的值域为R ；④存在正有理数a ，使得函数()y f x a =−恰好有两个零点．其中正确命题的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33三、解答题(共5道大题,共76分)17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.) 如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的中点，点1C 为弧11A B 的中点．（1）求异面直线OC 与11A C 所成角的大小；（2）求直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的正弦值．18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 如图，矩形ABCD 是文物展览厅的俯视图，点E 在边AB 上，在梯形BCDE 内展示文物，游客只能在△ADE 区域内参观，在AE 上点P 处安放可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE 上，6AD AE ==米，2AP =米，4πMPN ∠=，记EPM ∠=θ（弧度），监控可视区域△MPN 的面积为S ．（1）用θ表示线段PM 、PN 的长度；（2）求S 与θ的函数关系式，并求S 的最小值．419.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.) 已知函数()x f x =（1）求证：函数()f x 的图像关于点11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称；（2）设1nn i i S f n =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，数列{}n a满足4n S n a =，设n T 是数列{}n b 的前n 项和，其中()()1111n n n n a b a a ++=++，若对任意*n N ∈均有n T <λ恒成立，求λ的最小值．520.（本题满分16分.共3小题,第(1)小题4分,第（2）小题6分.第(3)小题6分)已知椭圆2212:12x y C b +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为1e ；双曲线2222:12x y C b −=的左、右焦点分别为3F 、4F ，离心率为2e，12e e ⋅=过点1F 作不垂直于y 轴的直线l 交曲线1C 于点A 、B ，点M 为线段AB 的中点，直线OM 交曲线2C 于P 、Q 两点．（1）求1C 、2C 的方程；（2）若113AF F B =，求直线PQ 的方程；（3）求四边形APBQ 面积的最小值．621.（本题满分18分.本题共3个小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分,第(3)小题8分) 已知函数()()211ln 2f x x a x a x =−++．（其中a 为常数）（1）若2a =−，求曲线()y f x =在点()2,(2)f 处的切线方程；（2）当0a <时，求函数()y f x =的最小值；（3）当01a ≤<时，试讨论函数()y f x =的零点个数，并说明理由．7参考答案一、填空题1. 2.{}0,2−; 3.79−; 4.2; 5.10,2⎛⎤⎥⎝⎦; 6.8n =; 7.9; 8.715;9.3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭; 10.22,3⎡⎤−⎢⎥⎣⎦；11. 12.2|,,1,0d d m Z m m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=∈−≠…11．已知双曲线22221x y a b−=的右焦点为2(,0)F c ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay −=是线段2MF 的垂直平分线，则ca=________．【解析】设直线0bx ay −=交2MF 于点Q ,连接1MF ,由题意可知22MF b ==,由双曲线的定义可得12222,MF MF a b a O Q =−=−分别为122,F F MF 的中点,则1//MF OQ 因为2OQ MF ⊥,则12MF MF ⊥, 由勾股定理可得2221212MF MF F F +=, 即()222444,,2,c b a b c b a a b a a −+=∴−==∴==故，故答案为12．已知首项为2、公差为d 的等差数列{}n a 满足：对任意的不相等的两个正整数i ，j ，都存在正整数k ，使得i j k a a a +=成立，则公差d 的取值构成的集合是________．【答案】2|,,1,0d d m Z m m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=∈−≠…【解析】()21,n a n d =+−由i j k a a a +=,得()()()212121,i d j d k d +−++−=+−()12,k i j d ∴−−+=8当10k i j −−+=时,()10k i j d −−+=,矛盾,10k i j ∴−−+≠,则21d k i j =−−+,,,i j k 都是正整数,1k i j ∴−−+为整数,且不等于0,对任意的不相等的两个正整数,i j ,都存在正整数k ,使得i j k a a a +=成立, 且()3,min i j +=∴当1,2i j ==时,121m k i j k =−−+=−−… ()210d m Z ,m ,m m∴=∈−≠… ∴公差d 的所有取值构成的集合是2|,,1,0d d m Z m m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=∈−≠…,故答案为:2|,,1,0d d m Z m m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=∈−≠….二、选择题13.D 14.A 15.A 16.B15．在棱长等于1的正方体1111ABCD A B C D −中，P 为棱1AA 上的定点，动点Q 在正方体表面上运动，满足10PQ PC ⋅=，如果动点Q 的轨迹是一个三角形，那么这个三角形是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】A【解析】如图,在平面11ACC A 中过点P 作1PM PC ⊥交AC 于点M ,（当P 在1A 时M 恰为A 点，当P 在A 点时点M 也恰为A 点,满足点Q (即A)使得10PQ PC ⋅=), 在平面ABCD 中过M 作//EF BD ,连接,PE PF由正方体的性质可得1,BD AC AA ⊥⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以1AA BD ⊥, 11,,AC AA A AC AA ⋂=⊂平面11ACC A ,所以BD ⊥平面11ACC A ,1PC ⊂平面11ACC A ,所以1PC BD ⊥,所以1PC EF ⊥,,,EF PM M EF PM ⋂=⊂平面PEF ,所以1PC ⊥平面PEF ,9因为10PQ PC ⋅=,所以1PQ PC ⊥,又动点Q 在正方体表面上运动,所以Q 在PEF ∆的边上, 显然AE AF =,所以PE PF =,所以PEF ∆为等腰三角形,又90EPF ∠<,所以PEF ∆不可能为直角三角形或钝角三角形;故选:A .三．解答题17.（1）60 （218.（1）4,sin cos PM PN ==θ+θ（2）)min 835,0,;8144214S S π⎡⎤=θ∈−=⎢⎥π⎛⎫⎣⎦θ++ ⎪⎝⎭19.（1）证明略（2）21720.（本题满分16分.共3小题,第(1)小题4分,第（2）小题6分.第(3)小题6分)已知椭圆2212:12x y C b +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为1e ；双曲线2222:12x y C b −=的左、右焦点分别为3F 、4F ，离心率为2e，12e e ⋅=过点1F 作不垂直于y 轴的直线l 交曲线1C 于点A 、B ，点M 为线段AB 的中点，直线OM 交曲线2C 于P 、Q 两点．（1）求1C 、2C 的方程；（2）若113AF F B =，求直线PQ 的方程；（3）求四边形APBQ 面积的最小值．10【答案】（1）221:12x C y +=,2C :2212x y −=（2）12y x =−或12y x =;（3）2 【解析】(1)由题意可知:12e e ==所以12•e e ===解得:21b =, 故椭圆221:12x C y +=,双曲线2C :2212x y −= (2)由（1）知()110F ,−,因为直线AB 不垂直于y 轴,设直线AB 的方程为:1x my =−, 设点(1A x ,)()122,y B x ,y ,则()()1111221,1AF x ,y F B x ,y =−−−=+由113AF F B =,则123y y −=,即123y y =−,联立:22112x my x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩, 可得:()222210,m y my +−−=()()222442810,m m m ∆=++=+>由韦达定理可得1221222212m y y m y y m ⎪+⋅⎧⎪⎪⎨=−=+⎪⎩+，将123y y =−代入得:()222222132m y m y m −⎧=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩,解得1m =±,当1m =时,弦AB 的中点2133M ,⎛⎫− ⎪⎝⎭,此时直线PQ 的方程为:12y x =−,当1m =−时,弦AB 的中点2133M ,⎛⎫−− ⎪⎝⎭,此时直线PQ 的方程为:12y x =,所以直线PQ 的方程为12y x =−或12y x =;(3)设AB 的中点()00M x ,y ,由（2）可得)21AB m ==+22m +且000222,122m y x my m m −==−=++,点22222m M ,m m −⎛⎫ ⎪++⎝⎭2PQ OM m k k ==−,直线PQ 的方程为:2my x =−11联立22212m y x x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩可得:2222224,,20,22m x y m m m ==−>−−且由双曲线的对称性，不妨取点,P Q ⎛⎫⎛⎫所以点P 到直线AB 的距离为:21d ==点Q 到直线AB 的距离为:22d ==，21222m d d ++=所以四边形APBQ 的面积为()1212S AB d d =+===因为2022m <−…,所以当222m −=,即0m =时,四边形APBQ 的面积取最小值2. 21.（本题满分18分.本题共3个小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分,第(3)小题8分) 已知函数()()211ln 2f x x a x a x =−++．（其中a 为常数）（1）若2a =−，求曲线()y f x =在点()2,(2)f 处的切线方程；（2）当0a <时，求函数()y f x =的最小值；（3）当01a ≤<时，试讨论函数()y f x =的零点个数，并说明理由．【答案】（1）2220x y ln −−=（2）12a −−（3）当01a <…时,()f x 在()0,+∞上有一个零点【解析】(1)当2a =−时,可得()2122f x x x lnx =+−,可得12()()()212'1x x f x x x x+−=+−=, 所以()'22f =且()2422f ln =−,所以切线方程为()()42222y ln x −−=−,即2220x y ln −−=,所以曲线()y f x =在点()()22,f 处的切线方程为2220x y ln −−= (2)由函数()()2112f x x a x alnx =−++,可得函数()f x 的定义域为()0,+∞, 又由()()()1'x a x f x x−−=,令()'0f x =,解得11,1x a x ==,当0a <时,()f x 与()'f x 在区间()0,+∞的情况如下表:所以函数的极小值为()112f a =−−,也是函数()f x 的最小值, 所以当0a <时,函数()f x 的最小值为12a −−; (3)当0a =时,()212f x x x =−,令()0f x =,解得122,0x x ==(舍去) 所以函数()y f x =在()0,+∞上有一个零点；当01a <<时，()f x 与()'f x 在区间()0,+∞的情况如下表:所以函数()f x 在()0,a 单调递增,在()1a,上单调递减,此时函数()f x 的极大值为()210,2f a a a alna =−−+<所以函数()y f x =在()01,上没有零点;又由()1102f a =−−<且函数()f x 在()1,+∞上单调递增,且当x →+∞时,()f x →+∞,所以函数()f x 在()1,+∞上只有一个零点,13综上可得,当01a <…时,()f x 在()0,+∞上有一个零点.。

自招必备——华师大二附中高中物理自主招生内部讲义

2.如图所示，跨过两个定滑轮的轻绳上系着三个质量分别为 m1、m2 和 M
实用大全
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的重物，两滑轮的悬挂点在同一高度，不计摩擦.求当整个系统处于平衡状态时，三个重物质量之间的关系.
3．如图所示，重为 G 的均匀链条。两端用等长的细线连接，挂在等高的地方，绳与水平方向成 θ 角。试求：⑴绳子的张力。⑵链条最低点的张力。
4．一球重为 G，固定的竖直大圆环半径为 R，轻弹簧原长为 L(L＜2R)，其劲度系数为 k ，
一端固定在圆环最高点，另一端与小球相连，小球套在环上，所有接触面均光滑，则小球静止时，弹簧与竖直方向的夹角 θ 为多少？
滑轮绳子
1．如图所示，物体的质量为 2kg，两根轻绳 AB 和 AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成 θ=600 的拉力 F，若要使两绳都能伸直，求拉力 F 的大小范围。
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第一讲平衡问题（一）
这部分内容虽然是第一章，但变化多端，不可轻视！
【高考部分】
1．如图，两长度均为 5m 的轻杆 AB、BC，处在同一竖直平面内，A、B、C 三处均用
铰链连接，其中 A、C 两点在同一水平面上且相距 6m。现在 BC 杆的中点处施加一水平作
用力 F＝36N，整个装置仍保持静止不动，则 AB 杆对 B 处铰
成反比的斥力作用，方向沿 a、b 连线。当力 F 水平向左作用于 b 时，a、
b 处于静止状态。现若稍增大力 F，且使 b 稍有移动，则当则 a、b 重新处 O
于静止状态时重新（
）
（A）a 对 b 的作用力大小增大，
（B）a 对 b 的作用力大小减小
（C）OQ 面板对 b 的支持力大小不变

上海市华东师范大学第二附属中学2025届高三数学第一学期期末考试模拟试题含解析

上海市华东师范大学第二附属中学2025届高三数学第一学期期末考试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（）A ．163iB ．6iC ．203iD ．20 2．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ． 3．已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（）A ．12B ．1-C ．±1D ．12± 4．已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭：的一条对称轴方程为3x π=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则θ的最小值是（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．12π5．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m =，例如112(mod3)=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（）．A ．21B ．22C ．23D ．24 6．若复数211i z i =++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（） A 5 B ．4 C ．2 D 5 7．设,,a b R i ∈是虚数单位，则“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分不必要条件8．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．执行如图所示的程序框图，若输出的310S =，则①处应填写（）A ．3?k <B ．3?kC ．5?kD ．5?k < 10．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．11．复数1z 在复平面内对应的点为()22,3,2,z i =-+则12z z =（） A ．1855i -+ B ．1855i -- C ．815i -+ D ．815i -- 12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为（）A ．3πB ．23π C ．π D ．43π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含解析)

2025届华二附中高三10月月考数学试卷一、填空题1．若集合，则__________．2．已知复数，则__________．3．展开式中的系数为60，则实数__________．4．己知是单调递增的等比数列，，则公比q 的值是__________．5．已知，则_________．6．已知函数，若在定义域内为增函数，则实数p 的最小值为__________．7．己知双曲线，左，右焦点分别为，关于C 的一条渐近线的对称点为P ．若，则的面积为__________．8．己知，则的最小值为__________．9．已知函数是上的奇函数，则__________．10．对平面直角坐标系中两个点和，记，称，为点与点之间的“距离”，其中表示p ，q 中较大者．设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以r 为半径的“圆”．以原点O 为圆心，以为半径的“圆”的面积为__________．11．长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：{23},{(4)(2)0}A xx B x x x =<<=+->∣∣A B = 1i z =+|2i |z -=5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x a ={}n a 453824,128a a a a +==π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()2ln p f x px x x=--()f x 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12F F 2F 12PF =12PF F △0,0,23x y x y >>+=23x y xy+tan tan()()12tan()x f x x θθθ-+=-+ππ,20242024⎡⎤-⎢⎥⎣⎦tan θ=()111,P x y ()222,P x y 1212121212max ,11x x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭12PP 1P 2P t -max{,}p q ()000,P x y 0r >0P t -0P t -12t -100=⨯水库实际蓄水里水库总蓄水里（i ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；（ii ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（iii ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变记x 为调度前某水库的蓄满指数，y 为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y 关于x 的函数解析式：①；②；③；④．则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是__________．12．将棱长为1的正方体的上底面绕着其中心旋转得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为__________．二、单选题13．“”是“对任意的正整数x ，均有的（）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件14．己知随机变量服从正态分布，且，则等于（）A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.315．已知函数不是常数函数，且满足对于任意的，，则（）A ．B ．一定为周期函数C ．不可能为奇函数D ．存在16．如图，将线段AB ，CD 用一条连续不间断的曲线连接在一起，需满足要求：曲线经过点B ，C ，并且在点B ，C 处的切线分别为直线AB ，CD ，那么下列说法正确的是（）命题甲：存在曲线满足要求命题乙：若曲线和满足要求，则对任意实数，当时，曲线满足要求[0,100]21620y x x =-+y =5010x y =π100sin 200y x =1111ABCD A B C D -1111A B C D 45︒ABCD EFGH -1a =2a x x+≥ξ()22,N σ(0)0.2P ξ≤=(24)P ξ<≤()f x ,R a b ∈()()2()()f a b f a b f a f b ++-=(0)0f =()f x ()f x ()00R,2x f x ∈=-()y f x =()y f x =sin cos (,,)2ax bx y c a b c +=+∈R 1()y f x =2()y f x =,λμ1λμ+=12()()y f x f x λμ=+A ．甲命题正确，乙命题正确B ．甲命题错误，乙命题正确C ．甲命题正确，乙命题错误D ．甲命题错误，乙命题错误三、解答题17．如图，在正三棱柱中，分别是的中点，的边长为2．（1）求证：平面；（2）若三棱柱的高为1，求二面角的正弦值．18．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．己知2023年该机场飞往A 地，B 地及其他地区（不包含A ，B 两地）航班放行准点率的估计值分别为和、2023年该机场飞往A 地，B 地及其他地区的航班比例分别为0.2，0.2和0.6试解决一下问题：（1）现在从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（2）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由．19．在中，，内有一点M ，且．（1）若，求的面积；（2）若，求BM 的长．20．己知圆，直线过点且与圆交于点B ，C ，BC 中点为D ，过中点E 且平行于的直线交于点P ，记P 的轨迹为（1）当到直线时，求直线方程；（2）求的方程；（3）坐标原点O 关于的对称点分别为，点关于直线的对称点分别为，过的直线与交于点M ，N ，直线相交于点Q ，求的面积．111ABC A B C -1,,D D F 1111,,BC B C A B 4,BC BE ABC = △EF ∥11ADD A 1B EF C --84%80%，75%84%，ABC △π10,3BC ABC =∠=ABC △2,π3BM CM AMB ⊥∠=BM =ABC △14AC =221:(1)16A x y ++=1l 2(1,0)A 1A 2A C 1A D 1AC Γ1A 1l 1l Γ12,A A 12,B B 12,A A y x =12,C C 1A 2l Γ12,B M B N 12QC C △21．对于函数，定义域R ，为若存在实数，使，其中，则称为“倒数函数”，为“的倒数点”．己知．（1）如果对成立．求证：为周期函数；（2为“关于倒数点”，且只有两个不同的解，求函数m 的值；（3）设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，求a 的取值范围．()f x 0x ()()001f x f x λ+=0λ≠()f x 0x ()f x λ()e ,()(0)x g x h x x a a ==+>()(1)1f x f x +=x R ∈()h x 2-2()()m h x g x =(),0()1,0()g x x x x h x ω>⎧⎪=⎨<⎪⎩()x ω2025届华二附中高三10月月考数学试卷参考答案一、填空题1．【答案】2．3．【答案】12【解析】展开式的通项为，令，则，所以展开式中的系数为，解得．4．【答案】2【解析】由等比数列性质知，联立，解得或，因为是单调递增的等比数列，所以，即．5．【答案】6．【答案】1【解析】函数．要使在定义域内为增函数，只需在上恒成立即可，即在上恒成立，即在上恒成立．，当且仅当，即时等号成立，，即实数p 的最小值为1．7．【答案】4{23}xx <<∣5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭552155C C kk k k k k k a T x a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭523k -=1k =5ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 15C 60a =12a =3645a a a a =454524128a a a a +=⎧⎨=⎩45816a a =⎧⎨=⎩45168a a =⎧⎨=⎩{}n a 45816a a =⎧⎨=⎩542a q a ==725- 22222()2ln ,(0,),()p p px x p f x px x x f x p x x x x-+'=--∈+∞=+-=()f x (0,)+∞()0f x '≥(0,)+∞220px x p -+≥(0,)+∞221x p x ≥+(0,)+∞222111x x x x =≤=++ 1x x =1x =1p ∴≥【解析】设与渐近线交于M ，则，所以，由O ，M 分别与的中点，知且，即，由，所以．8．【答案】【解析】9．【答案】【解析】2PF b y x a=222,tan ,sin b b F M OM MOF MOF a c⊥∠=∠=222sin ,F M OF MOF b OM a =⋅∠===12F F 2PF 1OM PF ∥1112OM PF ==1a =e =2c b ==1221442142PF F OMF S S ==⨯⨯⨯=△△1+223(2)211x y x x y y x y xy xy y x+++==++≥+2-tan tan()()12tan()x f x x θθθ-+=-+tan tan tan 1tan tan tan tan 121tan tan x x x x θθθθθ+--=+-⨯-tan (1tan tan )(tan tan )1tan tan 2(tan tan )x x x x θθθθθ--+=--+()2tan 1tan 12tan (tan 2)tan xxθθθ-+=--+上的奇函数，又上的奇函数．10．【答案】4【解析】设是以原点O为圆心，以为半径的圆上任一点，则．若，则；若，则有．由此可知，以原点O 为圆心，以为半径的“圆”的图形如下所示：则“圆”的面积为．11．【答案】②④【解析】①，该函数在时函数值为180，超过了范围，不合题意；②为严格增函数，且，则，符合题意；③，当时，不合题意④，当时，，故该函数在上严格递增，又ππ(),20242024f x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()2tan 1tan y x θ=-+⋅tan 20,tan 2θθ∴+=∴=-(,)P x y 12t -||||1max ,1||1||2x y x y ⎧⎫=⎨⎬++⎩⎭||||11||1||2y x y x ≤=++||1||1x y =⎧⎨≤⎩||||11||1||2x y x y ≤=++||1||1y x =⎧⎨≤⎩12t -t -224⨯=()2221116120(60)180202020y x x x x x =-+=--=--+60x =y =[0,100],[0,100]x y ∈∈10≤x ≤5010xy =50x =50101050x=<π100sin 200y x =[0,100]x ∈ππ0,2002x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[0,100]π100sin[0,100]200y x =∈设即即，易知在上为严格减函数令，则存在，有当；当；故在严格递增，在严格递减．故上即上，故④符合题意12．【解析】如图作出原正方体，与HE ，EF 的交点分别为M ，N ，HE 与的交点为P ，上底面非重叠部分是8个全等的等腰直角三角形，设每个等腰直角三角形的边长为a ，则，所以，π()100sin ,[0,100]200g x x xx =-∈ππ()100cos 1,[0,100]200200g x x x '=⋅⋅-∈ππ()cos 12200g x x '=⋅-ππ()cos 12200g x x =⋅-[0,100]()0g x '=0[0,100]x ∈()0g x '=[]00,,()0x x g x '∈>[]0,100,()0x x g x '∈<()g x []00,x []0,100x (0)0,(100)0g g ==[0,100]()0g x ≥[0,100]π100sin 200x x ≥1111ABCD A B C D -11A B 11A D 21a =a =所以，设该十面体的体积为V ，二、单选题13．【答案】A【解析】对任意的正整数x ，均有，所以，当时，取最大值1，所以．因为时，一定成立；时，不一定成立．所以“”是“对任意的正整数x ，均有”的充分不必要条件．14．【答案】B【解析】因为服从正态分布，且，所以，所以15．【答案】C【解析】由题意，函数满足对于任意的，令，解得或．若，令，则，故，与题设不为常数函数矛盾，所以A 错误；所以，此时令，得，即，所以必然为偶函数，所以C 正确；||1MN ==-1111144ABCD A B D A MP E ABNMC V V V V --=-+11111144||332A MP ABNM S A A S MN =-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯△四边形211114141323=-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=2a x x +≥222,2x a x a x x +≥∴≥-+1x =22x x -+1a ≥1a =1a ≥1a ≥1a =1a =2a x x +≥ξ()22,N σ(0)0.2P ξ≤=(4)0.2P ξ>=11(24)[12(0)](120.2)0.322P P ξξ<≤=-≤=⨯-⨯=()f x ,R,()()2()()a b f a b f a b f a f b ∈++-=0a b ==(0)0f =(0)1f =(0)0f =,0a x b ==()()0f x f x +=R,()0x f x ∀∈=(0)1f =0,a b x ==()()2()f x f x f x +-=()()f x f x -=()f x再令，则，所以D 错误；例如，函数符合题意，此时函数在上严格递增，且不为周期函数，所以B 错误．故选：C ．16．【答案】B【解析】由图知点，所以直线AB 的方程为，直线CD 的方程为，所以，对于命题甲：曲线的导函数为，当时，，当时，，代入得，即，又由，得，方程组中a ，b 不可解，故命题甲不正确；对于命题乙：当时，有，即，故当时，曲线满足要求，故命题乙正确，综上，故选B三、解答题17．【答案】（1）见解析；（2）2x a b ==2()2112x f x f ⎛⎫=-≥- ⎪⎝⎭e e ()2x xf x -+=()f x (0,)+∞(0,4),(1,3),(2,1),(4,0)A B C D 4y x =-+122y x =-+11,2AB CD k k =-=-sin cos (,,)2ax bx y c a b c +=+∈R 1(cos sin )2y a ax b bx '=-1x =1y =-2x =12y =-1(cos sin )2y a ax b bx '=-1( c o s s i n )1211( c o s 2 s i n 2)22a ab b a a b b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩cos sin 2cos 2sin 21a a b b a a b b -=-⎧⎨-=-⎩sin cos 32sin 2cos 212a b c a b c +⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩(sin cos )(sin 2cos 2)4a b a b +-+=1λμ+=121122(1)(1)()11111(2)(2)()2222x x y f f y f f λμλμλμλμλμλμ=='''⎧=+=--=-+=-⎪⎨'''=+=--=-+=-⎪⎩12112x x y y =='⎧=-⎪⎨'=-⎪⎩1λμ+=12()()y f x f x λμ=+25【解析】（1）证明：取的中点G ，连接FG ，DG ，根据题意可得，且，由三棱柱得性质知，所以，则四边形DGEF 是平行四边形，所以，因为面，面，所以面．（2）因为是等边三角形，且边长为2，所以，因为三棱柱的高为1，以D 为坐标原点，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系：所以，所以，设平面BEF的法向量11A D 11FG B D ∥1111,22FG B D DE BD ==11BD B D ∥FG BD ∥EF DG ∥EF ⊄11ADD A DG ⊂11ADD A EF ∥11ADD A ABC △AD BC ⊥1,,DB AD DD111,0,0,,,(1,0,0),(1,0,1)22E F B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113,0,0,0,,,0,122BE EF EC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111,,m x y z =则，令，所以，设平面的一个法向量为，所以，令，则，所以，设二面角为，所以，所以，所以二面角的正弦值为．18．【解析】（1）设"该航班飞往A 地"， "该航班飞往B 地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"，则，由全概率公式得，，所以该航班准点放行的概率为0.778（2）（2），11111110020x m BE x z y m EF y z ⎧=⋅=-=⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⋅=+=⎩⎪⎩ 1y =113,02z x ==32m ⎛⎫= ⎪⎝⎭1C EF ()222,,n x y z =122222222330220n EC x z z x n EF y z z y ⎧⎧⋅=-+==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⋅=+==⎪⎪⎩⎩22y =22x z ==n = 1B EF C --([0,π])θθ∈|||cos |||||m n m n θ⋅= 2sin 5θ==1B EF C --251A =2A =3A =C =()()()1230.2,0.2,0.6P A P A P A ===()()()1230.84,0.8,0.75P C A P C A P C A ===∣∣∣()()()()()()112232()P C P A P C A P A P C A P A P C A =++∣∣∣0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=()()()()11110.20.84()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣因为，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大．19．【答案】（1；（2【解析】（1）在直角中，，可得，因为，则在中，，则，所以，解得，则（2）在中，，即，即，解得或（舍去），设，则，()()()()22220.20.8()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣()()()()33330.60.75()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯BMC △BM =ππ,63MBC BCM ∠=∠=10BC =BM =ABM △π2π,63ABM AMB ∠=∠=π6BAM ∠=2ππsin sin 36AB BM ==15AB =11sin 151022ABC S AB BC ABC =⋅∠=⨯⨯=△ABC △222π2cos 3AC AB BC AB BC =+-⋅211961002102AB AB =+-⋅⨯210960AB AB --=16AB =6AB =-CBM θ∠=π2ππ,π333ABM BAM θθθ⎛⎫∠=-∠=---= ⎪⎝⎭在中，可得，可得，即，则，则20．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】（1）（2）由题意得，．因为D 为BC 中点，所以，即，又，所以，又E 为的中点，所以，所以，所以点P 的轨迹是以为焦点的椭圆（左、右顶点除外）．设，其中．则故．（3）思路一：由题意得，，且直线的斜率不为0，ABM △10cos 2πsin sin sin 3AB BM θθθ==10cos sin θθ=16sin θθ=tan θ=cos θ==cos BM BC θ=⋅=1)y x =-22:1(2)43x y x Γ+=≠±1)y x =-12(1,0),(1,0)A A -1A D BC ⊥12A D A C ⊥1PE A D ∥2PE A C ⊥2A C 2||PA PC =121112||4PA PA PA PC AC A A +=+==>Γ12,A A 2222:1()x y x a a bΓ+=≠±2220,a b a b c >>-=24,2,1,a a c b =====22:1(2)43x y x Γ+=≠±1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l可设直线，且．由，得，所以，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，，解得．故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．思路二：由题意得，，且直线的斜率不为0，可设直线，且．由，得，所以，()()21122:1,,,,l x my M x y N x y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++()121223my y y y =-+1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()21122222y x x x y x ++=--()()()()12212211221212112112331112223933333222y y y y y y my my y y y my my y y y y y y y -++--++=====---+---4x =-4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l ()()21122:1,,,,l x my M x y N x y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．思路三：由题意得，，且直线的斜率不为0．()121223my y y y =-+1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()21121221211221132322133y my y my my y y y y my y my y y ⎡⎤++-⎛⎫+-==⎢⎥ ⎪+--+⎝⎭⎣⎦()()121221212323243my y y y y y y y ++-+⎡⎤==-⎢⎥+⎣⎦4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l（i ）当直线垂直于x 轴时，，由得或．不妨设，则直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，所以，故Q 到的距离，此时的面积是．（ii ）当直线不垂直于x 轴时，设直线，且．由，得，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得．下证：．即证，即证，2l 2:1l x =-221431x y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩132x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1B M 3(2)2y x =+2B N 1(2)2y x =-3(2)21(2)2y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩43x y =-⎧⎨=-⎩(4,3)Q --12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=2l ()()21122:(1),,,,l y k x M x y N x y =+122,2x x ≠±≠±22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()()22224384120k x k x k +++-=221212228412,4343k k x x x x k k --+==++1MB 11(2)2y y x x =++2MB 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()()()()()2112121221121212124262121234k x x k x x x x x x k x x k x x x x ⎡⎤++++--+==⎢⎥++-+-++⎣⎦121212426434x x x x x x -+=-++()121212426434x x x x x x -+=-++()121241016x x x x =-+-即证，即证，上式显然成立，故点Q 在直线，所以Q 到的距离，此时的面积是定值，为．由（i ）（ii ）可知，的面积为定值．思路四：由题意得，，且直线的斜率不为0，可设直线，且．由，得，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，因为，所以，故直线的方程为：22224128410164343k k k k ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()22244121081643k k k -=---+4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=12QC C △1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l ()()21122:1,,,,x my M x y N x l y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--2222143x y +=22222324y x x y ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭2B N 2223(2)4x y x y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭由，得，解得．故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．21．【答案】（1）递增区间为，递减区间为；（2）；（3）．【解析】（1）对成立，得，所以2为函数的周期．（2为"关于倒数点"，得，即，即，得，设的定义域为R，求导得，当时，严格递增；时，严格递减；时，严格递增，所以的单调递增区间为，递减区间为，成立，（舍）（3）依题意，，1122(2)223(2)4y y x x x y x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎛⎫+⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩()()1212422322y y x x x x -=-+++()()()()12122222121212444933113139634y y y y mx my m y y m y y m m m ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥=-=-=-=⎢⎥+++++-+++⎢⎥⎣⎦⎣⎦4x =-4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=(,3),(1,)-∞--+∞(3,1)--34e -(2,e)()(1)1f x f x +=x R ∈1()(2)(1)f x f x f x ==++()f x ()h x 2-2)1h h =22)1,2)10a a a a ++=+-+-=(1)(1)0a a +--=1a =2()e (1)x x x ϕ=+2()e (1)2e (1)e (1)(3)x x x x x x x x ϕ'=+++=++(,3)x ∈-∞-()0,()x x ϕϕ'>(3,1)x ∈--()0,()x x ϕϕ'<(1,)x ∈-+∞()0,()x x ϕϕ'>()x ϕ(,3),(1,)-∞--+∞3(3,1).(3)4m e ϕ---=-=(1)0m ϕ=-=e ,0()1,0x x x x x a ω⎧>⎪=⎨<⎪+⎩由恰有3个“可移1倒数点”，得方程恰有3个不等实数根，①当时，，方程可化为，解得，这与不符，因此在内没有实数根；②当时，，方程可化为，该方程又可化为．设，则，因为当时，，所以在内严格递增，又因为，所以当时，，因此，当时，方程在内恰有一个实数根；当时，方程在内没有实数根．③当时，没有意义，所以不是的实数根．④当时，，方程可化为，化为，于是此方程在内恰有两个实数根，则有，解得因此当时，方程在内恰有两个实数根，当在内至多有一个实数根，综上，a 的取值范围为．()x ϕ()(1)1x x ωω+=0x >10x +>()(1)1x x ωω+=21e 1x +=12x =-0x >(0,)+∞()(1)0x x ωω+=10x -<<10x +>()(1)1x x ωω+=11x e x a+=+1ex a x +=-1()e x k x x +=-1()e 1x k x +'=-(1,0)x ∈-()0k x '>()k x (1,0)-(1)2,(0)e k k -==(1,0)x ∈-()(2,e)k x ∈(2,e)a ∈()(1)1x x ωω+=(1,0)-(0,2][e,)a ∈+∞ ()(1)1x x ωω+=(1,0)-1x =-10,(1)x x ω+=+1x =-()(1)1x x ωω+=1x <-10x +<()(1)1x x ωω+=1111x a x a ⋅=+++22(21)10x a x a a ++++-=(,1)-∞-()222(21)41021121(21)10a a a a a a a ⎧+-+->⎪+⎪-<-⎨⎪-+++->⎪⎩a >a >()(1)1x x ωω+=(,1)-∞-0a <≤()(1)1x x ωω+=(,1)-∞-(2,e)(2,e)⎫+∞=⎪⎪⎭。

华师大二附中自主招生物理应试辅导第1讲：近年自主招生试卷解读、应试策略、动量定理

第一部分、自主招生应试策略与物理试卷解读————————————————————————————————————————一、“三个一定不能”一定不能盲目！一定不能毫无准备！一定不能让高考总复习和应对自主招生考试之间的关系失衡。

二、了解才能应对由于自主招生试卷完全由大学老师命题，针对的又是全国各地的优秀高中生，所以出题难度和范围并不严格受高考考纲限制。

就难度而言，大部分高校自主招生的物理试卷比高考略难。

但从近些年的命题趋势看，考试难度总体而言是逐年降低的。

特别值得注意的是考试范围，由于同一所高校的自主招生试卷全国是统一的，所以对于上海的同学而言，一定要注意上海高考考纲与全国高考考纲的差异性，对某些知识点要有针对性的进行补充，才能有的放矢，在短时间内做些有效地准备。

三、试卷解读2008年复旦选拔测试试卷物理部分有16题，共80分，占总分的8%。

考察的知识点涉及：理想气体的状态方程（两题）、牛顿运动定律（两题）、匀减速直线运动、机械波、双缝干涉实验、光电效应、光的折射（两题涉及）、动量定理、静电平衡状态（两题）、波尔的原子理论、变力作功、内能等参照2008年上海的高考大纲，至少有7道题目属超纲题，约占44%。

知识点覆盖呈现出很大的随意性！上海交大2008年冬令营物理考试物理部分也是16题，但为一张独立考试卷，满分100分。

考察的知识点设涉及：胡克定律、变力作功、简谐振动的图像、多普勒效应、密立根油滴实验、电磁感应、电动势的物理意义、洛伦兹力（两题涉及）、电容器、玻尔的原子理论、气体的液化、功能原理、爱因斯坦光电效应方程、平动平衡与转动平衡的综合应用、宇宙速度、人造地球卫星、能量的转化与守恒、水的饱和蒸汽压、道尔顿分压定律等参照2008年上海的高考大纲，至少有12道题目属超纲题，约占75%。

由于题型丰富，可以明显看出，交大试卷的知识覆盖面更广。

四、两个例子例1（上海交通大学2008年冬令营物理考试第7题）：如图所示，质量为m，带电量为q的粒子，在重力作用下由静止下落h高度后垂直进入一高度为L的匀强磁场区域，磁感应强度方向垂直纸面向内，大小为B。

华师大二附中自主招生化学应试辅导第1讲：近年自主招生化学试题解读及应试策略.doc

!1 !考试真题:第一讲：近年自主招生化学试题解读及应试策略一、常考化学基础知识:二、化学知识补充三、应试对策153. （2006 M旦）2005年11月一度造成松花江水污染的化学物质是。

A、苯B、甲苯C、氯苯D、硝基苯137. （2007复旦）液化石油气的主要成份是。

A、甲烷B、乙烷C、丙烷D、丁烷138. （2007复旦）以下对pH=6.7水溶液的酸碱性判断准确无误的是A、酸性B、中性C、碱性D、不确定139. （2007复旦）光纤材料的化学组成是A、SiB、SiO2C、SiCI4D、Si3N4166. （2008复旦）明矶在净水过程中发生的变化是A、氧化B、还原C、水解D、中和五、仿真训练：仿真训练一某人坐在带空调的车内跟在一辆卡车后面。

此人根据何种现象可知前面这辆卡车是以汽油或柴油为燃料的。

简述原因。

仿真训练二胃舒平是一种常服的胃痛药，其主要成份是AI（OH）3O胃酸过多或过少的病人均可服用。

为什么？仿真训练三血红蛋白结合氧时，结合第一个氧非常困难，一旦与第一个氧结合后，其结合能力大大增强，很容易便可以结合第二个、第三个氧……这种现象称为正合作效应，反之则称为负合作效应。

试举一符合负合作效应的化学实例。

仿真训练四水玻璃是的水溶液。

在铸造工业中常常将它和石英砂混合搅拌后制成模具,然后将模具浸泡在NH4CI溶液中使之定型。

用离子方程式表示其工艺原理:仿真训练五实验室如何储存NHUF?为什么?仿真训练六现代建筑广泛使用钢筋、水泥、彩色玻璃、彩色陶瓷等建材。

(1)炼铁所用的原料为(、、、)o(2)写出炉中造渣的反应方程式o(3)炼铁、制玻璃、制水泥三种工业生产中，都需要的原料是........A、纯碱B、石灰石C、石英D、粘土(4)作门窗用的钠玻璃Na2CaSi6O14 是用、、作原料，在高温下熔融而制得的。

蓝色窗玻璃含有颜料。

(5)彩色水泥是在白色水泥中，加入5〜10%颜料，共磨均匀而成的。

红色道路含有页料。

上海市华师大二附中自主招生高考数学应试辅导第1讲近年来自主招生试卷解读、应试策略、集合

第一讲近年来自主招生数学试卷解读集合与命题————————————————————————————————————————————第一部分近年来自主招生数学试卷解读一、各学校考试题型分析：交大：题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分；考试时间：90分钟，满分100分；试题难度：略高于高考，比竞赛一试稍简单；考试知识点分布：基本涵盖高中数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项式定理、解析几何和立体几何复旦：题型：试题类型全部为选择题（四选一）；全考试时间：总的考试时间为3小时（共200道选择题，总分1000分，其中数学部分30题左右，，每题5分）；试题难度：基本相当于高考；考试知识点分布：除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如：行列式、矩阵等；考试重点：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等同济：题型：填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分；考试时间：90分钟，满分100分；试题难度：基本上相当于高考；考试知识点分布：常规高考内容二、试题特点分析：1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。

关键步骤提示：2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。

关键步骤提示：()()()4243222342(2)(2)(1)(2)(1)f a x x a x x xx x x a x x x =--++-=+-+++-111(,),(,),(,)nnni i i ii i i i i i id u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质，三、应试和准备策略 1. 注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求学生平时要把基础知识打扎实。

剩下的就是个人的现场发挥。

2. 注意适当补充一点超纲内容如上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题，如矩阵，行列式等也不可忽视。

上海市华师大二附中自主招生高考数学应试辅导第11讲数列(3)、矩阵、行列式

第十一讲：数列（3）、矩阵、行列式、排列组合，二项式定理，概率
统计
矩阵、行列式
一、概述
就近几年自主招生来看，只有复旦有这方面的题目。

而且，复旦近三年都考。

请准备考复旦的同学注意！
复旦自主招生考试，有关矩阵、行列式题目并不难。

重点是矩阵的运算、行列式在方程组中的运用及行列式的计算。

二、真题精析
排列组合、二项式定理、及概率统计
一、概述
排列组合、二项式定理、及概率统计也是自主招生很受重视的内容之一。

在近几年复旦自主招生中一般有4—5道左右的试题，占10%比例。

难度一般不大，大多数是比较常规的问题。

二、真题精析。

自招必备：华师大二附中高中物理自主招生内部讲义

（1）B球对物块C的摩擦力和压力的大小；
（2）撤去力F后，B球对物块C的摩擦力大小。
3.在一些重型机械和起重设备上，常用双块式电磁制动器，它的简化示意图如图所示，O1和O2为固定铰链.在电源接通时，A杆被往下压，通过铰链C1、C2、C3使弹簧S被拉伸，制动块B1、B2与转动轮D脱离接触，机械得以正常运转.当电源被切断后，A杆不再有向下的压力(A杆及图中所有连杆及制动块所受重力皆忽略不计)，于是弹簧回缩，使制动块产生制动效果.此时O1C1和O2C2处于竖直位置.已知欲使正在匀速转动的D轮减速从而实现制动，至少需要M=1100N·m的制动力矩，制动块与转动轮之间的摩擦因数μ=0.40，弹簧不发生形变时的长度为L=0.300m，转动轮直径d=0.400m，图示尺寸a=0.065m，h1=0.245m，h2=0.340m，问选用的弹簧的劲度系数k最小要多大?(第十三届全国中学生物理竞赛预赛试题)
2.如图所示，一个质量为m、半径为R的球，用长为R的绳悬挂在L形的直角支架上，支架的重力不计，AB长为2R，BC长为，为使支架不会在水平桌面上绕B点翻倒，应在A端至少加多大的力？
答案:
3.棒AB的一端A固定于地面，可绕A点无摩擦地转动，B端靠在物C上，物C靠在光滑的竖直墙上，如图所示.若在C物上再放上一个小物体，整个装置仍保持平衡，则B端与C物之间的弹力大小将().
摩擦力压力相关的平衡
1．在水平地面上放一木板B，重力为G2=100N，再在木板上放一货箱A，重力为G1=500N，设货箱与木板、木板与地面的动摩擦因数μ均为0.5，先用绳子把货箱与墙拉紧，如图所示，已知tgθ=3/4，然后在木板上施一水平力F，想把木板从货箱下抽出来，F至少应为多大？（Fmin= 413.6N）
3．如图所示，重为P和q的两个小圆环A和B，都套在一个竖直光滑的大圆环上，大圆环固定不动，长为L，质量不计的绳两端拴住A和B，然后挂在光滑的钉子o′上，在圆环中心o的正上方，整个系统平衡时，A和B到钉子距离分别为R和r，试证明：

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