1.1.3.2补集及集合运算的综合应用

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高中数学《补集及集合运算的综合应用》导学案

1．1.3集合的基本运算第2课时补集及集合运算的综合应用1．全集(1)全集定义：□1如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)全集符号表示：□2全集通常记作U.2．补集的定义(1)自然语言：□3对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A.(2)符号语言：∁U A＝□4{x|x∈U且x∉A}．(3)图形语言：□5用Venn图表示，如下图阴影部分所示，表示∁A.U□61．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个集合的补集一定含有元素．()(2)集合∁B C与∁A C相等．()(3)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)(教材改编P11T4)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M 等于()A．U B．{1,3,5}C．{3,5,6} D．{2,4,6}(2)(教材改编P11T4)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}(3)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于()A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}答案(1)C(2)D(3)C『释疑解难』1．全集理解全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集，而在实数范围内研究问题，R是全集．如若只讨论大于0小于5的实数，可选{x|0<x<5}为全集．通常也把给定的集合作为全集．2．补集理解(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．(3)集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比：实数集合被减数a被减集合(全集)A减数b减集合B差a－b补(余)集∁A B(4)符号∁U A有三层意思：①A是U的子集，即A⊆U；②∁U A表示一个集合，且(∁U A)⊆U；③∁U A是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．(5)若x∈U，则x∈A或x∈∁U A，二者必居其一．探究1补集的简单运算例1(1)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A ＝________；(2)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________.解析(1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示. 由补集定义可得∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．(2)解法一：A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．解法二：借助V enn图，如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．答案(1){x|x<－3或x＝5}(2){2,3,5,7}拓展提升求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．【跟踪训练1】(1)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则∁M＝()UA．{2,4,6} B．{1,3,5}C．{1,2,4} D．U(2)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁U A为()A．{x∈R|0<x<2} B．{x∈R|0≤x<2}C．{x∈R|0<x≤2} D．{x∈R|0≤x≤2}答案(1)A(2)C解析(1)因为集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，所以∁U M＝{2,4,6}．(2)借助数轴(如图)易得∁U A＝{x∈R|0<x≤2}．探究2交、并、补集的综合运算例2已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁U A，A∩B，∁U(A∩B)，(∁U A)∩B.解把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：由图可知∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁U A)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}．拓展提升1.补集的性质及混合运算的顺序(1)A∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅.(2)∁U(∁U A)＝A，∁U U＝∅，∁U∅＝U.(3)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．2．当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解．3．集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算．【跟踪训练2】已知集合A ＝{x ||x |≤2}，B ＝{x |－3<x <0}，C ＝{x |x ≤1}．求：A ∩C ，A ∪B ，(∁R A )∩B .解 A ∩C ＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x ≤1}＝{x |－2≤x ≤1}；A ∪B ＝{x |－2≤x ≤2}∪{x |－3<x <0}＝{x |－3<x ≤2}； (∁R A )∩B ＝{x |x <－2或x >2}∩{x |－3<x <0}＝{x |－3<x <－2}．探究3 利用集合间的关系求参数例3 已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∁R B ，求a 的取值范围．解 ∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}≠∅，∵A ∁R B ，∴分A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论．①若A ＝∅，此时有2a －2≥a ，∴a ≥2.②若A ≠∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －2<a ，a ≤1或⎩⎨⎧ 2a －2<a ，2a －2≥2.∴a ≤1.综上所述，a ≤1或a ≥2.[条件探究] 本例中若把“A ∁R B ”换成“A ∩∁R B ＝∅”，则a 的取值范围为多少？解 ①若A ＝∅，则a ≥2满足题意．②若A ≠∅，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －2<a ，2a －2≥1，a ≤2，解得32≤a <2，综上所述a ≥32.拓展提升利用补集求参数问题的方法(1)解答本题的关键是利用A ∁R B ，对A ＝∅与A ≠∅进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题．(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．(3)数轴与Venn 图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行集合的交、并、补运算时，常借助数轴求解．【跟踪训练3】已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <3}．(1)若A ∪(∁R B )＝R ，求实数a 的取值范围；(2)若A ∁R B ，求实数a 的取值范围．解 (1)∵B ＝{x |1<x <3}，∴∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥3}，因而要使A ∪(∁R B )＝R ，结合数轴分析(如图)，可得a ≥3.(2)∵A ＝{x |x <a }，∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥3}．要使A ∁R B ，结合数轴分析(如图)，可得a ≤1.探究4 补集思想的应用——正难则反例4 若集合A ＝{x |ax 2＋3x ＋2＝0}中至多有1个元素，求实数a 的取值范围．解假设集合A 中含有2个元素，即ax 2＋3x ＋2＝0有两个不相等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0，Δ＝9－8a >0，解得a <98且a ≠0，则此时实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪ a <98且a ≠0.在全集U ＝R 中，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪ a <98且a ≠0的补集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪ a ≥98或a ＝0 .所以满足题意的实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ≥98或a ＝0. 拓展提升运用补集思想解题的方法当从正面考虑情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．其解题步骤为：(1)否定已知条件，考虑反面问题；(2)求解反面问题对应的参数范围；(3)取反面问题对应的参数范围的补集．【跟踪训练4】已知集合A ＝{y |y >a 2＋1或y <a }，B ＝{y |2≤y ≤4}，若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围．解因为A ＝{y |y >a 2＋1或y <a }，B ＝{y |2≤y ≤4}，我们不妨先考虑当A ∩B ＝∅时a 的取值范围，在数轴上表示集合A ，B ，如图所示．由⎩⎨⎧ a ≤2，a 2＋1≥4，得⎩⎨⎧ a ≤2，a ≥3或a ≤－3，故a ≤－3或3≤a ≤2.即A ∩B ＝∅时，a 的取值范围为a ≤－3或3≤a ≤2，故A ∩B ≠∅时，a 的取值范围为a >2或－3<a < 3.1.全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z 就是全集，研究方程的实数解，R 就是全集．因此，全集因研究问题而异.(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A 的补集的前提是A 是全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.(3)∁U A 的数学意义包括两个方面：首先必须具备A ⊆U ；其次是定义∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }，补集是集合间的运算关系.2.补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U ，求子集A ，若直接求A 困难，可先求∁U A ，再由∁U (∁U A )＝A 求A .1．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}答案D解析由题，知A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．2．已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁U B)∩A＝()A．{3} B．{0,1,2,4,7,8}C．{1,2} D．{1,2,3}答案C解析由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(∁U B)∩A＝{1,2}．3．设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1,3,7}，B＝{2,3,8}，则(∁A)∩(∁U B)＝()UA．{1,2,7,8} B．{4,5,6}C．{0,4,5,6} D．{0,3,4,5,6}答案C解析∵U＝{x∈N|x≤8}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，∴∁U A＝{0,2,4,5,6,8}，∁U B＝{0,1,4,5,6,7}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{0,4,5,6}．4．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5,7}，B＝{3,4,5}，则(∁U A )∪(∁U B )＝________.答案 {1,2,3,6,7}解析由题可得∁U A ＝{1,3,6}，∁U B ＝{1,2,6,7}，∴(∁U A )∪(∁U B )＝{1,2,3,6,7}．5．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，求实数m 的值．解 A ＝{－1,2}，B ∩(∁U A )＝∅等价于B ⊆A .当m ＝0时，B ＝∅⊆A ；当m ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1m . ∴－1m ＝－1或－1m ＝2，即m ＝1或m ＝－12.综上，m 的值为0,1，－12.A 级：基础巩固练一、选择题1．设集合U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{2}B ．{3}C ．{1,2,4}D ．{1,4}答案 B解析集合U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，则∁U (A ∪B )＝{3}，故选B.2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R |x ≥3}，则下图中阴影部分所表示的集合为( )A．{1} B．{1,2}C．{1,2,3} D．{0,1,2}答案B解析由题意得A∩B＝{3,4,5}，阴影部分所表示的集合为集合A去掉集合A∩B中的元素所组成的集合，所以为{1,2}．3．M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|x≤m}，若(∁R M)∩N≠∅，则实数m的取值范围为()A．m<2 B．m≥－2C．m>－1 D．－2≤m≤2答案B解析∁R M＝{x|－2≤x≤2}，再利用数轴来解决(∁R M)∩N≠∅时m的取值范围，易知m≥－2.4．下列四个命题中，设U为全集，则不正确的命题是()A．若A∩B＝∅，则(∁U A)∪(∁U B)＝UB．若A∪B＝∅，则A＝B＝∅C．若A∪B＝U，则(∁U A)∩(∁U B)＝∅D．若A∩B＝∅，则A＝B＝∅答案D解析由图易知，A正确；由A∪B＝∅，得A＝B＝∅，B正确；由Venn图易知C正确．故选D.5．已知U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则(A∩∁U B)∪(B∩∁U A)＝()A．∅B．{x|x≤0}C．{x|x>－1} D．{x|x>0或x≤－1}答案D解析∵A∩∁U B＝{x|x>0}，B∩∁U A＝{x|x≤－1}，∴(A∩∁U B)∪(B∩∁U A)＝{x|x>0或x≤－1}．二、填空题6．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A)∩B＝________.答案{7,9}解析∵U＝{n∈N|1≤n≤10}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，A＝{1,2,3,5,8}，∴∁U A＝{4,6,7,9,10}，又∵B＝{1,3,5,7,9}，∴(∁U A)∩B＝{7,9}．7．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，若B∪(∁U B)＝A，则∁U B ＝________.答案{－3}或{3}或{3}解析因为B∪(∁U B)＝A，所以A＝U.①当x2＝3时，x＝±3，B＝{1,3}，∁U B＝{3}或{－3}．②当x2＝x时，x＝0或1.当x＝0时，B＝{0,1}，∁U B＝{3}；而当x＝1时不合题意，舍去．8．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．答案12解析设两项运动都喜欢的人数为x，画出Venn图得到方程15－x＋x＋10－x＋8＝30⇒x＝3，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12(人)．三、解答题9．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x＋3≥0}．求：(1)A∩B；(2)A∪B；(3)∁R(A∩B)．解由已知得B＝{x|x≥－3}，(1)A∩B＝{x|－3≤x≤－2}．(2)A∪B＝{x|x≥－4}．(3)∁R(A∩B)＝{x|x<－3或x>－2}．B级：能力提升练10．已知集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足：①每个集合都恰有5个元素；②A1∪A2∪A3＝M.集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i(i＝1,2,3)，求X1＋X2＋X3的最小值和最大值．解∵集合A1，A2，A3满足：①每个集合都恰有5个元素；②A1∪A2∪A3＝M，∴A1，A2，A3中一定各包含五个数值．当X1＋X2＋X3取得最小值时，集合A1，A2，A3中的最小值分别是1,2,3，最大值是15,11,7，和最小，如：A1＝{1,12,13,14,15}，A2＝{2,8,9,10,11}，A3＝{3,4,5,6,7}时，X1＋X2＋X3最小，最小值为39，当集合A1，A2，A3中的最小值分别是1,5,9，最大值是15,14,13时，和最大，如：当A1＝{1,2,3,4,15}，A2＝{5,6,7,8,14}，A3＝{9,10,11,12,13}时，X1＋X2＋X3最大，最大值为57.。

人教A版必修一1.1.3.2补集及综合应用

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变式训练2－1：已知U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={4，7，8}，
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类型三：Venn图的应用【例3】如图所示，已知全集U，用集合A、B、C及其交集、并集、补集的运算表示出图中的阴影部分.
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规律方法：（1）如何运用补集思想求参数范围？ ①把已知的条件否定，考虑反面问题； ②求解反面问题对应的参数范围； ③将反面问题对应参数的范围取补集. （2）何时运用补集思想？从正面考虑，情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想.
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第2课时补集及综合应用
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1.全集（1）定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集. （2）符号表示：全集通常记作U. 2.补集
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探究要点一：全集与补集 1.对全集的理解全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素，因此，全集因研究问题而异.例如，在研究整数时，常把整数集Z作为全集，而在研究实数时，常常把实数集R看作全集，这时，整数集Z是实数集R的一个子集. 2.对补集的理解补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.

1.1.3 第2课时补集与集合的综合运算

变式训练已知集合A={x|x<-6,或x>3},B={x|k-1≤x-1≤k},若
A∩B≠⌀,求k的取值范围.
分析:A∩B≠⌀时对应的k的取值范围不好直接求解,可考虑问题的
反面:先求A∩B=⌀时对应的k的取值范围,再取其“补集”,即可得
A∩B≠⌀时k的取值范围.
解:由已知可得B={x|k≤x≤k+1},
于维恩图来求解,这样处理起来,相对来说比较直观、形象,且解答
时不易出错.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
变式训练2集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则A∩(∁RB)=(
Aபைடு நூலகம்{x|x>1}
B.{x|x≥1}
C.{x|1<x≤2}
D.{x|1≤x≤2}
答案:D
)
课堂篇
探究三
思想方法
当堂检测
3.有下列命题:
①若A∩B=U,则A=B=U;②若A∪B=⌀,则A=B=⌀;
③若A∪B=U,则∁UA∩∁UB=⌀;④若A∩B=⌀,则A=B=⌀;
⑤若A∩B=⌀,则∁UA∪∁UB=U;⑥若A∪B=U,则A=B=U.
其中不正确的有(
)
A.0个 B.2个 C.4个D.6个
解析:①若集合A,B中有一个为U的真子集,那么A∩B≠U,所以
A=B=U;②若集合A,B中有一个不为空集,那么A∪B≠⌀,所以A=B=⌀;
③因为∁UA∩∁UB=∁U(A∪B),而A∪B=U,所以∁UA∩∁UB=∁U(A∪B)=⌀;
④当集合A,B中只要有一个为空集或两个集合中没有共同的元素,
就有A∩B=⌀,所以不一定有A=B=⌀;⑤因为∁UA∪∁UB=∁U(A∩B),而

1.3.2.补集及综合应用

【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)∁UU=∅,∁U∅=U,∁U(∁UA)=A. ( ) (2)若A⊆B⊆U,则∁UA⊇∁UB. ( ) (3)若x∈U,则x∈A或x∈∁UA,二者必居其一. ( )
2.设集合U=R,M={x|x>2或x<0},则∁UM= ( )
A.{x|0≤x≤2}
1.3.2.补集及综合应用
1.全集
(1)概念:如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有
元素,那么就称这个集合为全集.
(2)记法:通常记作U. 【思考】在集合运算问题中,全集一定是实数集吗? 提示:全集是一个相对性的概念,只包含研究问题中涉及的所有的元素,所以全集因问题的不同而异.
2.补集Biblioteka 【思考】 ∁UA,A,U三者之间有什么关系? 提示:A⊆U,∁UA⊆U,A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=∅.
【习练·破】
1.若全集U={0,1,2,3}且∁UA ={2},则集合A的真子集共有( )
A.3个
B.5个
C.7个
D.8个
【解析】选C.因为U={0,1,2,3}且∁UA={2},所以 A={0,1,3},所以集合A的真子集共有7个.
2.已知全集U={x|x≥-3},集合A={x|-3<x≤4},则 ∁UA=________. 【解析】借助数轴得∁UA={x|x=-3或x>4}. 答案:{x|x=-3或x>4}
类型四集合的基本运算在实际问题中的应用
【生活情境】
某校随机抽取50名学生调查对A,B两事件的态度,有如
下结果:赞成A的人数是这50名学生的 3 ,其余的不赞
5
成;赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A,B

补集及集合运算的综合应用强化训练及答案

补集及集合运算的综合应强化练习1．全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为________，通常记作________．2．补集(1)∁U U＝____；(2)∁U∅＝____；(3)∁U(∁U A)＝____；(4)A∪(∁U A)＝____；(5)A∩(∁U A)＝____.一、选择题1．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A等于( )A．{1,3} B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9}2．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁U M等于( )A．{x|－2<x<2} B．{x|－2≤x≤2} C．{x|x<－2或x>2} D．{x|x≤－2或x≥2} 3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,5}，则A∩(∁U B)等于( )A．{2} B．{2,3} C．{3} D．{1,3}4．设全集U和集合A、B、P满足A＝∁U B，B＝∁U P，则A与P的关系是( )A．A＝∁U P B．A＝P C．A P D．A P5．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪S C．(M∩P)∩∁I S D．(M∩P)∪∁I S6．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是( ) A．A∪B B．A∩B C．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)二、填空题7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________. 8．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁U A＝____________________，∁U B＝________________，∁B A＝____________.9．已知全集U，A B，则∁U A与∁U B的关系是____________________．三、解答题10．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁U A＝{5}，求实数a，b的值．11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设全集为U，若B∪(∁U B)＝A，求∁U B.能力提升12．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A等于( )A．{1,3} B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9}13．学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？补集及综合应用强化练习答案知识梳理1．全集 U 2.不属于集合A ∁U A {x |x ∈U ，且x ∉A } 3．(1)∅ (2)U (3)A (4)U (5)∅ 作业设计1．D [在集合U 中，去掉1,5,7，剩下的元素构成∁U A .] 2．C [∵M ＝{x |－2≤x ≤2}， ∴∁U M ＝{x |x <－2或x >2}．]3．D [由B ＝{2,5}，知∁U B ＝{1,3,4}． A ∩(∁U B )＝{1,3,5}∩{1,3,4}＝{1,3}．] 4．B [由A ＝∁U B ，得∁U A ＝B . 又∵B ＝∁U P ，∴∁U P ＝∁U A . 即P ＝A ，故选B.]5．C [依题意，由图知，阴影部分对应的元素a 具有性质a ∈M ，a ∈P ，a ∈∁I S ，所以阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩∁I S ，故选C.] 6．D [由A ∪B ＝{1,3,4,5,6}，得∁U (A ∪B )＝{2,7}，故选D.] 7．－3解析 ∵∁U A ＝{1,2}，∴A ＝{0,3}，故m ＝－3. 8．{0,1,3,5,7,8} {7,8} {0,1,3,5}解析由题意得U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn 图表示出U ，A ，B ，易得∁U A ＝{0,1,3,5,7,8}，∁U B ＝{7,8}，∁B A ＝{0,1,3,5}． 9．∁U B ∁U A解析画Venn 图，观察可知∁U B ∁U A .10．解 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A .又b ∈A ，∴b ∈U ，由此得⎩⎨⎧a 2＋2a －3＝5，b ＝3.解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝3经检验都符合题意．11．解因为B ∪(∁U B )＝A ，所以B ⊆A ，U ＝A ，因而x 2＝3或x 2＝x . ①若x 2＝3，则x ＝± 3.当x ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，3}，此时∁U B ＝{3}；当x ＝－3时，A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，－3}，此时∁U B ＝{－3}． ②若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1. 当x ＝1时，A 中元素x 与1相同，B 中元素x 2与1也相同，不符合元素的互异性，故x ≠1；当x ＝0时，A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}，U ＝A ＝{1,3,0}，从而∁U B ＝{3}．综上所述，∁U B ＝{3}或{－3}或{3}．12．D [借助于Venn 图解，因为A ∩B ＝{3}，所以3∈A ，又因为(∁U B )∩A ＝{9}，所以9∈A ，所以选D.]13.解如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a ，b ，x .根据题意有⎩⎨⎧a ＋x ＝20，b ＋x ＝11，a ＋b ＋x ＝30－4.解得x ＝5，即两项都参加的有5人．。

高中数学第一章集合与函数概念1.1.3集合的基本运算第2课时补集及集合的综合应用教案数学教案

第2课时补集及集合的综合应用[目标] 1.理解全集与补集的含义，会求给定子集的补集；2.能用Venn图表达集合的关系及运算；3.能利用集合的相关运算解决有关的实际应用问题，意在培养数学建模及数学运算的核心素养．[重点] 全集与补集的含义，求补集以及用Venn图表达集合的运算．[难点] 集合的综合运算及应用.知识点补集[填一填]1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.2．补集对于一个集合A，由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对文字语言于全集U的补集，记作∁U A.符号语言∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言(1)∁U U＝∅；(2)∁U∅＝U；(3)(∁U A)∪A＝U；(4)A∩(∁U A)＝∅；(5)∁U(∁U A)＝A.[答一答]1．全集是不是一个固定不变的集合？集合A的补集是不是唯一的？提示：全集不是固定不变的，它因研究问题的改变而改变；A 的补集不唯一，随全集的改变而改变．2．∁U A的含义是什么？提示：∁U A的含义：∁U A包含的三层意思①A⊆U；②∁U A是一个集合，且∁U A⊆U；③∁U A是由U中所有不属于A的元素构成的集合．3．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内画“√”，错误的画“×”．(1)∁A∅＝A.( √)(2)∁N N*＝{0}．( √)(3)∁U(A∪B)＝(∁U A)∪(∁U B)．( ×)类型一补集的简单运算[例1] 已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)；B∩(∁R A)．[解]集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}．如图，将集合A，B在数轴上表示出来．易知A∪B＝{x|3≤x<7}∪{x|2<x<10}＝{x|2<x<10}，∁R A＝{x|x<3或x≥7}．∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．B∩(∁R A)＝{x|2<x<10}∩{x|x<3或x≥7}＝{x|2<x<3或7≤x<10}．求解与补集有关的运算时，首先明确全集是什么，然后根据补集即全集中去掉该集合中元素后剩余元素构成的集合求出补集，再根据补集求解与补集有关的运算.[变式训练1] 设U＝{x|x≤4}，A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤3}．求(1)(∁U A)∪B；(2)(∁U A)∩(∁U B)．解：(1)∵U＝{x|x≤4}，A＝{x|－1≤x≤2}．∴∁U A＝{x|x<－1或2<x≤4}．∴(∁U A)∪B＝{x|x<－1或2<x≤4}∪{x|1≤x≤3}＝{x|x<－1或1≤x≤4}．(2)∵U＝{x|x≤4}，B＝{x|1≤x≤3}．∴∁U B＝{x|x<1或3<x≤4}．∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|x<－1或2<x≤4}∩{x|x<1或3<x≤4}＝{x|x<－1或3<x≤4}．类型二Venn图的应用命题视角1：利用Venn图进行有限数集的运算[例2] 设全集U＝{x|x≤20的质数}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∩B＝{7,19}，(∁U A)∩(∁U B)＝{2,17}，求集合A，B.[分析] 题目给出的关系较复杂，不易理清，所以用Venn图解答．[解]易得U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．由题意，利用如图所示的Venn图，知集合A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}．与集合有关的复杂题目，通常利用Venn图，将集合中元素的个数，以及集合间的关系直观地表示出来，进而根据图示逐一将文字陈述的语句“翻译”成数学符号语言，利用方程思想解决问题.[变式训练2] 设全集U＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{2}，(∁U A)∩B ＝{4}，∁U(A∪B)＝{1,5}，下列结论正确的是( A )A．3∈A,3∉B B．3∉A,3∈BC．3∈A,3∈B D．3∉A,3∉B解析：根据条件画出Venn图，如图，3∈A,3∉B.命题视角2：利用Venn图进行抽象集合的运算[例3] 如图，请用集合U，A，B，C分别表示下列部分所表示的集合：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ.[解]区域Ⅰ是三个集合的公共部分，因此Ⅰ＝A∩B∩C；区域Ⅱ是集合A与B的交集与集合C在U中的补集的交集，因此Ⅱ＝(A∩B)∩(∁U C)；区域Ⅲ是集合A与C的交集与集合B在U中的补集的交集，因此Ⅲ＝(A∩C)∩(∁U B)；区域Ⅳ是集合B 与C 的交集与集合A 在U 中的补集的交集，因此Ⅳ＝(B ∩C )∩(∁U A )；区域Ⅴ是集合A 与集合B ∪C 在U 中的补集的公共部分构成的，因此Ⅴ＝A ∩[∁U (B ∪C )]；同理可求Ⅵ＝C ∩[∁U (A ∪B )]，Ⅶ＝B ∩[∁U (A ∪C )]．而区域Ⅷ是三个集合A ，B ，C 的并集在U 中的补集，因此Ⅷ＝∁U (A ∪B ∪C )．利用Venn 图可以将抽象的问题转化为具体的图形，具有简单、直观的特点.[变式训练3] 已知I 为全集，集合M ，N ⊆I, 若M ∩N ＝N ，则( C )A ．∁I M ⊇∁I NB ．M ⊆∁I NC ．∁I M ⊆∁I ND ．M ⊇∁I N解析：根据条件画出Venn 图，由补集的定义及集合间的关系可迅速作出选择．类型三集合在实际问题中的应用[例4] 2019年初，某市政府对水、电提价召开听证会，如记“对水提价”为事件A ，“对电提价”为事件B .现向100名市民调查其对A ，B 两事件的看法，有如下结果：赞成A 的人数是全体的35，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A ，B 都不赞成的市民人数比对A ，B 都赞成的市民人数的13多1人．问：对A ，B 都赞成的市民和都不赞成的市民各有多少人？[解] 赞成A 的人数为100×35＝60，赞成B 的人数为60＋3＝63.如图所示，设对事件A ，B 都赞成的市民人数为x ，则对A ，B 都不赞成的市民人数为x 3＋1. 依题意，可得(60－x )＋(63－x )＋x ＋x 3＋1＝100，解得x ＝36，即对A ，B 两事件都赞成的市民有36人，对A ，B 两事件都不赞成的市民有13人．利用Venn 图解决生活中的问题时，先把生活中的问题转化成集合问题，借助于Venn 图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求出问题的解.[变式训练4] 某班共有学生30人，其中15人喜欢篮球运动，10人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，求喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数．解：设全集U ＝{全班30名学生}，A ＝{喜欢篮球运动的学生}，B ＝{喜欢乒乓球运动的学生}，设既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为x ，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为15－x ，喜欢乒乓球运动但不喜欢篮球运动的人数为10－x ，则有(15－x )＋x ＋(10－x )＋8＝30，解得x ＝3.所以15－x ＝15－3＝12，即喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为12.1．设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1<x≤5}，则A∩(∁R B)＝( C )A．{x|－3<x<0} B．{x|－3<x<－1}C．{x|－3<x≤－1} D．{x|－3<x<3}解析：∵A＝{x|－3<x<3}，∁R B＝{x|x≤－1，或x>5}，∴A∩(∁R B)＝{x|－3<x≤－1}．2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( D )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}解析：∵U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}．∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．3．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x<b}，∁U A＝{x|x<1，或x≥2}，则实数b＝2.解析：∵∁U A＝{x|x<1，或x≥2}．∴A＝{x|1≤x<2}．∴b＝2.4．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3}，集合B＝{3,4,6}，集合U，A，B的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合用列举法表示为{4,6}．解析：题图中阴影部分所表示的集合为B∩(∁U A)＝{3,4,6}∩{2,4,5,6}＝{4,6}．5．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x <2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤0，或x ≥52，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．解：将集合A ，B ，P 分别表示在数轴上，如图所示．∵A ＝{x |－4≤x <2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}，∁U B ＝{x |x ≤－1，或x >3}．又P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤0，或x ≥52， ∴(∁U B )∪P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≤0，或x ≥52. 又∁U P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0<x <52， ∴(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1<x <2}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0<x <52＝{x |0<x <2}． ——本课须掌握的两大问题1．在进行集合间的基本运算时，除了紧扣定义和性质，还要注意以下方法与技巧：(1)进行集合运算时，可按照如下口诀进行：交集元素仔细找，属于A 且属于B ；并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；全集U 是大范围，去掉U 中A 元素，剩余元素成补集．(2)解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求(∁U A )∩B 时，先求出∁U A ，再求交集；求∁U (A ∪B )时，先求出A ∪B ，再求补集．(3)若所给集合是有限集，可先把集合中的元素一一列举出来，然后再结合交集、并集、补集的定义求解．另外，此类问题在解答过程中常常借助Venn图来求解．若所给集合是无限集(数集)，在进行运算时常借助数轴，把已知集合表示在同一数轴上，再根据交集、并集、补集的定义求解，解题过程中要注意端点问题．2．解决有关集合的实际应用题时，要学会将文字语言转化为集合语言．涉及交叉有限集的元素个数问题往往用Venn图法处理较为方便．学习至此，请完成课时作业5学科素养培优精品微课堂补集思想的应用开讲啦对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明确，难以从正面入手的数学问题，在解题时，应从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，化难为易、化隐为显，从而将问题解决，这就是“正难则反”的解题策略．“正难则反”策略运用的是补集思想，也是处理问题的间接化原则的体现．运用补集思想求参数的取值范围的步骤：①否定已知条件，考虑反面问题；②求解反面问题对应参数的范围；③对反面问题对应参数的范围取补集．[典例] 已知集合A＝{x|x2－5x－6＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}，若B∪A≠A，求实数a的取值范围．[分析] B∪A≠A，说明B⃘A，这时我们可以先由B∪A＝A，求出实数a的取值范围，再利用“补集思想”求解．[解] 若B ∪A ＝A ，则B ⊆A .∵A ＝{x |x 2－5x －6＝0}＝{－1,6}，∴集合B 有以下三种情况：①当B ＝∅时，Δ＝a 2－4(a 2－12)<0，即a 2>16，∴a <－4或a >4. ②当B 是单元素集合时，Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0，∴a ＝－4或a ＝4.若a ＝－4，则B ＝{2}⃘A ；若a ＝4，则B ＝{－2}⃘A .③当B ＝{－1,6}时，－1,6是方程x 2＋ax ＋a 2－12＝0的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝－1＋6，a 2－12＝－1×6，a 的值不存在．综上可得，当B ∪A ＝A 时，实数a 的取值范围为{a |a <－4或a >4}．故若B ∪A ≠A ，则实数a 的取值范围为{a |－4≤a ≤4}．[名师点评] 值得注意的是在使用补集思想解题时，需要明确全集是什么，子集是什么，否则就会出错．[对应训练] 已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0，x ∈R }，B ＝{x |x <0，x ∈R }，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．解：由题知A ≠∅，所以设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≤－1或m ≥32. 若A ∩B ＝∅，则方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，故⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1＋x 2＝4m ≥0，x 1x 2＝2m ＋6≥0，解得m ≥32. 因为集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m ≥32相对于集合U 的补集为{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．。

集合的综合应用

集合的综合应用在数学领域中，集合是一个重要的概念，它作为一种工具被广泛应用于各个领域。

本文将介绍集合的综合应用，包括数学、计算机科学、经济学等领域。

一、集合在数学中的应用1.1 集合的描述与表示在数学中，集合可以通过列举元素的方式进行描述。

例如，我们可以用集合A来表示所有小于10的自然数，可以写成A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。

另外，我们还可以通过集合的特性来描述，例如写成B = {x |x是偶数, x > 0}，表示B是一个由正偶数构成的集合。

1.2 集合的运算集合运算是指对集合进行操作的一系列运算，包括并集、交集、差集和补集等。

并集是指将两个集合中的所有元素合并在一起，用符号∪表示。

交集是指两个集合中共有的元素，用符号∩表示。

差集是指从一个集合中去除另一个集合中的元素，用符号-表示。

补集是指指定全集中除去原集合中的所有元素，用符号表示。

1.3 集合的应用举例集合在数学中有广泛的应用，例如在概率统计中，我们可以用集合来表示事件的集合。

在数论中，集合可以用来表示整数的性质，例如素数的集合。

在代数学中，集合可以表示向量的集合，从而研究线性相关性。

此外，集合还经常用于解决实际问题，如集合论中的选择公理就用于证明无理数的存在性。

二、集合在计算机科学中的应用2.1 集合的数据结构在计算机科学中，集合是一种重要的数据结构，可以用来存储一组不重复的元素。

集合的实现一般有两种方式：数组和链表。

数组实现的集合可以通过下标直接访问元素，插入和删除元素的时间复杂度较高；链表实现的集合插入和删除元素的时间复杂度较低，但查找元素较为费时。

2.2 集合的应用举例在实际编程中，集合的应用非常广泛。

例如，在算法设计中，集合可以用来去重，即去除一组数据中的重复元素。

在图论中，集合可以用来表示图的顶点集合或边集合。

在数据库中，集合可以用来表示表中的一组数据。

三、集合在经济学中的应用3.1 集合的经济学模型在经济学中，集合被广泛用于建立经济学模型。

云南省保山市第一中学高中数学必修一同步教学课件：1.1.3.2 补集及综合应用

5,13,23 17 11,19，29 3,7
第十二页，编辑于星期日：二点十六分。
1. 设全集为U= 求实数a的值.
由
得a=3.
2.设U是全集，M、N是U的两个子集：
（1）若
,则
=，
（2）若
则
CU N.
第十三页，编辑于星期日：二点十六分。
பைடு நூலகம்
3.设
解：
,求 ,
第十四页，编辑于星期日：二点十六分。
解：
第九页，编辑于星期日：二点十六分。
探究点3 补集的运算性质（1）
若全集为U，A U，则:
U
第十页，编辑于星期日：二点十六分。
补集的运算性质（2）
U
第十一页，编辑于星期日：二点十六分。
例3 已知全集U={所有不大于30的质数}，A、B都
是U的子集，若
，
你能求出集合A、B吗？
解：
U
A2 B
第2课时补集及综合应用
第一页，编辑于星期日：二点十六分。
1.在理解两个集合并集与交集含义的基础上理解全集和补集的概念. 2.能使用Venn图表示集合的关系和运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
3.能够正确的理解不同语言表示的集合的本质，并且能够在解题时准确表达.
第二页，编辑于星期日：二点十六分。
解：由题意可知
CUA={1，3，6，7}，CUB={2，4，6}，则A∩(CUB)={2，4}， (CUA)∩(CUB)={6}.
第七页，编辑于星期日：二点十六分。
例2 已知全集U=R，集合
，
,求
.
x
解：
第八页，编辑于星期日：二点十六分。
2.已知全集U＝R，集合A＝｛x｜1≤2x＋1＜9，求CUA.

北师大版高中数学必修第一册1.1.3.2全集与补集及综合应用课件

ห้องสมุดไป่ตู้法归纳解决此类以实际生活为背景的集合问题，通常是先将各种对象用不同的集合表示，再借助Venn图直观分析各集合中的元素个数，最后转化为实际问题求解．
跟踪训练3 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有_____8___人.
(2)两种求解方法： ①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍． ②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．
题型2 集合的综合运算——师生共研例1 (1)设全集U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|－1＜x＜2}，则 {x|x≥2}＝( )
根据上述定义，下列选项正确的是( ) A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B－A＝{3， 7，8} B．已知A＝{x|x＜－1，或x>3}，B＝{x|－2≤x＜4}，则A－B＝{x|x＜－2，或x≥4} C．如果A－B＝∅，那么A⊆B D．已知全集U、集合A、集合B关系如图所示，则A－B＝A∩(∁U B)
5．(5分)已知全集U＝R，集合M＝{x|－1＜x＜1}，N＝{x|0＜x＜2}，则图中阴影部分表示的集合是________.
答案：{x|x≤－1，或x≥2}
6．(5分)已知U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁UA＝{x|x<3或x>4}，则ab＝ ________．
答案：12
解析：因为A∪(∁U A)＝R，A∩(∁U A)＝∅，所以a＝3，b＝4，所以ab＝12.

补集及集合运算的综合应用

第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.3 集合的基本运算第2课时补集及集合运算的综合应用A级基础巩固一、选择题1．(2016·全国Ⅲ卷)设集合A＝{0，2，4，6，8，10}，B＝{4，8}，则∁A B＝()A．{4，8}B．{0，2，6}C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，10}解析：因为集合A＝{0，2，4，6，8，10}，B＝{4，8}，所以∁A B＝{0，2，6，10}．答案：C2．设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为()A．{2} B．{4，6}C．{1，3，5} D．{4，6，7，8}解析：由题图可知阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，由题意知∁U A ＝{4，6，7，8}，所以(∁U A)∩B＝{4，6}．故选B.答案：B3．(2016·浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则(∁U P)∪Q＝()A．{1} B．{3，5}C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5}解析：因为∁U P＝{2，4，6}，又Q＝{1，2，4}，所以(∁U P)∪Q＝{1，2，4，6}，故选C.答案：C4．设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于()A．{x|－2＜x≤1} B．{ x | x≤－4}C．{ x | x≤1} D．{ x | x≥1}解析：因为S＝{x| x＞－2}，所以∁R S＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁R S)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．答案：C5．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{3，4，5}，B＝{1，3，6}，那么集合{2，7}是()A．A∪B B．A∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)解析：因为A∪B＝{1，3，4，5，6}，故∁U(A∪B)＝{2，7}．答案：D二、填空题6．设集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5}，则∁U (A ∩B )＝________．解析：因为A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5}，所以A ∩B ＝{3}，故∁U (A ∩B )＝{1，2，4，5}．答案：{1，2，4，5}7．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，那么∁U A 的子集个数有________个．解析：∁U A ＝{4，5}，子集有∅，{4}，{5}，{4，5}，共4个．答案：48．设U ＝R ，已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x ＞a }，且(∁U A )∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为A ＝{x |x ＞1}，所以∁U A ＝{x |x ≤1}．由B ＝{x |x ＞a }，(∁U A )∪B ＝R 可知，a ≤1.答案：a ≤1三、解答题9．设全集是数集U ＝{2，3，a 2＋2a －3}，已知A ＝{b ，2}，∁U A ＝{5}，求实数a ，b 的值．解：因为∁U A ＝{5}，所以5∈U 且5∉A .又b ∈A ，所以b ∈U ，由此得⎩⎨⎧a 2＋2a －3＝5，b ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝3.经检验都符合题意．10．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，C＝{x|x<a}，全集为实数集R.(1)求A∪B，(∁R A)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．解：(1)因为A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，所以A∪B＝{x|2<x<10}．因为A＝{x|3≤x<7}，所以∁R A＝{x|x<3或x≥7}，所以(∁R A)∩B＝{x|x<3或x≥7}∩{x|2<x<10}＝{x|2<x<3或7≤x<10}．(2)如图所示，当a>3时，A∩C≠∅.B级能力提升1.设全集U是实数集R，M＝{x|x<－2，或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为()A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤3}C．{x|x≤2，或x>3} D．{x|－2≤x≤2}解析：阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1或x>3}＝{x|－2≤x<1}．故选A.答案：A2．已知集合A ＝{0，2，4，6}，∁U A ＝{－1，1，－3，3}，∁U B ＝{－1，0，2}，则集合B ＝______________．解析：∵∁U A ＝{－1，1，－3，3}，∴U ＝{－1，1，0，2，4，6，－3，3}，又∁U B ＝{－1，0，2}，∴B ＝{1，4，6，－3，3}．答案：{1，4，6，－3，3}3．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0，x ∈R}，B ＝{x |x ＜0，x ∈R}，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．解：设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ≤－1或m ≥32. 若A ∩B ＝∅，则方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2＝4m ≥0，解得m ≥32.x 1x 2＝2m ＋6≥0，因为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ≥32关于U 的补集为∁U M ＝{m |m ≤－1}，所以若A ∩B ≠∅，实数m 的取值范围为m ≤－1.。

高中数学第一章集合与函数概念1.1.3.2补集及集合运算的综合应用aa高一数学

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【跟踪训练 1】 (1)设集合 U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝
{1,3,5}，则∁UM＝( )
A．{2,4,6}
B．{1,3,5}
C．{1,2,4}
D．U
(2)若全集 U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合 A＝{x∈R|－
2≤x≤0}的补集∁UA 为( )
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解法二：借助 Venn 图，如图所示．
由图可知 B＝{2,3,5,7}．
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拓展提升求集合补集的基本方法及处理技巧
(1)基本方法：定义法． (2)两种处理技巧 ①当集合用列举法表示时，可借助 Venn 图求解； ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
A．{x∈R|0<x<2} B．{x∈R|0≤x<2}
C．{x∈R|0<x≤2} D．{x∈R|0≤x≤2}
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解析 (1)因为集合 U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，所以∁UM＝{2,4,6}．
(2)借助数轴(如图)易得∁UA＝{x∈R|0<x≤2}．
②若 A≠∅，则需满足2a－2≥1， a≤2，
解得32≤a<2，综上所述 a≥32.
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拓展提升
利用补集求参数问题的方法
(1)解答本题的关键是利用 A ∁RB，对 A＝∅与 A≠∅进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题．
(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．

高中新课程数学(新课标)必修一《1.1.3-2补集及集合的综合应用》课件

解析：由∁UM⊇N，知集合N有两种情况，如下图．所
以选A.
答案：A
已知方程x2＋ax＋1＝0，x2＋2x－a＝0，x2＋2ax＋2 ＝0，若三个方程至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．
解：设三个方程的判别式分别为Δ1，Δ2，Δ3，假若三个方程均无实根，则有：
Δ1＝a2－4<0， பைடு நூலகம்Δ2＝4＋4a<0， Δ3＝4a2－8<0，
4．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,3,4}，B＝{4,5}，则A∩(∁UB)＝________.
答案：{2,3}
5．设全集为R，A＝{x|x<－4或x>1}，B＝{x|－2<x<3}，
求：(1)A∩B；(2)(∁RA)∩B；(3)A∪(∁RB)．解：(1)A∩B＝{x|1<x<3}，
(2)∵∁RA＝{x|－4≤x≤1}， ∴(∁RA)∩B＝{x|－2<x≤1}． (3)∵∁RB＝{x|x≤－2或x≥3}， ∴A∪(∁RB)＝{x|x≤－2或x>1}．
类型一补集的运算【例1】设U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A ＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，求∁UA、∁UB. 思路分析：先确定集合U、集合A的元素，再依据补集定义求解．
解：设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}
＝mm≤－1，或m≥32

.

若方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1、x2均非负，
则
m∈U， x1＋x2＝4m≥0，⇒m≥32. x1x2＝2m＋6≥0
∵mm≥32
在U中

解：如下图，将全集U和集合A，B在数轴上标出．

高中数学第一章集合与函数概念1.1集合1.1.3第2课时补集及集合运算的综合应用课件新人教A版必修1

2．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x＜－1，或x＞ 0}，若A∩(∁RB)＝∅，求实数a的取值范围．
解：∵B＝{x|x＜－1，或x＞0}，
∴∁RB＝{x|－1≤x≤0}．因而要使A∩(∁RB)＝∅，结合数轴分析(如下图)，可得a≤－1.
1．全集与补集的互相依存关系 (1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R 就是全集．因此，全集因研究问题而异． (2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是 A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
解：∁RB＝{x|x≤1 或 x≥2}≠∅. ∵A ∁RB，∴分 A＝∅和 A≠∅两种情况讨论． (1)若 A＝∅，此时有 2a－2≥a，∴a≥2； (2)若 A≠∅，则有2aa≤－1，2<a，或22aa－－22<≥a2，， ∴a≤1. 综上所述，a≤1 或 a≥2.
解答本题的关键是利用 A ∁RB，对 A＝∅与 A≠∅进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题．
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/5/25
最新中小学教学课件
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谢谢欣赏！
求集合补集的基本方法及处理技巧
(1)基本方法：定义法．
(2)两种处理技巧：
①当集合用列举法表示时，直接套用定义或借助 Venn图求解．