高中数学《补集及集合运算的综合应用》导学案

1．1.3集合的基本运算

第2课时补集及集合运算的综合应用

1．全集

(1)全集定义：□1如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．

(2)全集符号表示：□2全集通常记作U.

2．补集的定义

(1)自然语言：□3对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合

A的补集，记作∁U A.

(2)符号语言：∁U A＝□4{x|x∈U且x∉A}．

(3)图形语言：□5用Venn图表示，如下图阴影部分所示，表示∁A.

U

□6

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)一个集合的补集一定含有元素．()

(2)集合∁B C与∁A C相等．()

(3)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素．()

答案(1)×(2)×(3)√

2．做一做

(1)(教材改编P11T4)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M 等于()

A．U B．{1,3,5}

C．{3,5,6} D．{2,4,6}

(2)(教材改编P11T4)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于()

A．{1,3,4} B．{3,4}

C．{3} D．{4}

(3)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于()

A．{x|－2

C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}

答案(1)C(2)D(3)C

『释疑解难』

1．全集理解

全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集，而在实数范围内研究问题，R是全集．如若只讨论大于0小于5的实数，可选{x|0

2．补集理解

(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．

(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的

不同，得到的补集也是不同的．

(3)集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比：

实数集合

被减数a被减集合(全集)A

减数b减集合B

差a－b补(余)集∁A B

(4)符号∁U A有三层意思：①A是U的子集，即A⊆U；②∁U A表示一个集合，且(∁U A)⊆U；③∁U A是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．

(5)若x∈U，则x∈A或x∈∁U A，二者必居其一．

探究1补集的简单运算

例1(1)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A ＝________；

(2)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________.

解析(1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示. 由补集定义可得∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．

(2)解法一：A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，

∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．

又∁U B＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．

解法二：借助V enn图，如图所示．

由图可知B＝{2,3,5,7}．

答案(1){x|x<－3或x＝5}(2){2,3,5,7}

拓展提升

求集合补集的基本方法及处理技巧

(1)基本方法：定义法．

(2)两种处理技巧

①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；

②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．

【跟踪训练1】(1)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则∁M＝()

U

A．{2,4,6} B．{1,3,5}

C．{1,2,4} D．U

(2)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁U A为()

A．{x∈R|0

C．{x∈R|0

答案(1)A(2)C

解析(1)因为集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，所以∁U M＝{2,4,6}．

(2)借助数轴(如图)易得∁U A＝{x∈R|0

探究2交、并、补集的综合运算

例2已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2

解把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：

由图可知

∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，

A∩B＝{x|－2

∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，

(∁U A)∩B＝{x|－3

拓展提升

1.补集的性质及混合运算的顺序

(1)A∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅.

(2)∁U(∁U A)＝A，∁U U＝∅，∁U∅＝U.

(3)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．

2．当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解．

3．集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算．