高中数学《补集及集合运算的综合应用》导学案

1．1.3集合的基本运算
第2课时补集及集合运算的综合应用
1．全集
(1)全集定义：□1如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)全集符号表示：□2全集通常记作U.
2．补集的定义
(1)自然语言：□3对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合
A的补集，记作∁U A.
(2)符号语言：∁U A＝□4{x|x∈U且x∉A}．
(3)图形语言：□5用Venn图表示，如下图阴影部分所示，表示∁A.
U
□6
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个集合的补集一定含有元素．()
(2)集合∁B C与∁A C相等．()
(3)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素．()
答案(1)×(2)×(3)√
2．做一做
(1)(教材改编P11T4)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M 等于()
A．U B．{1,3,5}
C．{3,5,6} D．{2,4,6}
(2)(教材改编P11T4)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于()
A．{1,3,4} B．{3,4}
C．{3} D．{4}
(3)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于()
A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4}
C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}
答案(1)C(2)D(3)C
『释疑解难』
1．全集理解
全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集，而在实数范围内研究问题，R是全集．如若只讨论大于0小于5的实数，可选{x|0<x<5}为全集．通常也把给定的集合作为全集．
2．补集理解
(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的
不同，得到的补集也是不同的．
(3)集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比：
实数集合
被减数a被减集合(全集)A
减数b减集合B
差a－b补(余)集∁A B
(4)符号∁U A有三层意思：①A是U的子集，即A⊆U；②∁U A表示一个集合，且(∁U A)⊆U；③∁U A是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．
(5)若x∈U，则x∈A或x∈∁U A，二者必居其一．
探究1补集的简单运算
例1(1)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A ＝________；
(2)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________.
解析(1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示. 由补集定义可得∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．
(2)解法一：A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．
又∁U B＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．
解法二：借助V enn图，如图所示．
由图可知B＝{2,3,5,7}．
答案(1){x|x<－3或x＝5}(2){2,3,5,7}
拓展提升
求集合补集的基本方法及处理技巧
(1)基本方法：定义法．
(2)两种处理技巧
①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；
②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
【跟踪训练1】(1)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则∁M＝()
U
A．{2,4,6} B．{1,3,5}
C．{1,2,4} D．U
(2)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁U A为()
A．{x∈R|0<x<2} B．{x∈R|0≤x<2}
C．{x∈R|0<x≤2} D．{x∈R|0≤x≤2}
答案(1)A(2)C
解析(1)因为集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，所以∁U M＝{2,4,6}．
(2)借助数轴(如图)易得∁U A＝{x∈R|0<x≤2}．
探究2交、并、补集的综合运算
例2已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁U A，A∩B，∁U(A∩B)，(∁U A)∩B.
解把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：
由图可知
∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
A∩B＝{x|－2<x<3}，
∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
(∁U A)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}．
拓展提升
1.补集的性质及混合运算的顺序
(1)A∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅.
(2)∁U(∁U A)＝A，∁U U＝∅，∁U∅＝U.
(3)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．
2．当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解．
3．集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算．
【跟踪训练2】 已知集合A ＝{x ||x |≤2}，B ＝{x |－3<x <0}，C ＝{x |x ≤1}．
求：A ∩C ，A ∪B ，(∁R A )∩B .
解 A ∩C ＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x ≤1}＝{x |－2≤x ≤1}；
A ∪
B ＝{x |－2≤x ≤2}∪{x |－3<x <0}＝{x |－3<x ≤2}； (∁R A )∩B ＝{x |x <－2或x >2}∩{x |－3<x <0}＝{x |－3<x <－2}． 探究3 利用集合间的关系求参数
例3 已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∁R B ，求a 的取值范围．
解 ∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}≠∅，
∵A ∁R B ，
∴分A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论．
①若A ＝∅，此时有2a －2≥a ，∴a ≥2.
②若A ≠∅，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －2<a ，a ≤1或⎩⎨⎧ 2a －2<a ，2a －2≥2.∴a ≤1.
综上所述，a ≤1或a ≥2.
[条件探究] 本例中若把“A ∁R B ”换成“A ∩∁R B ＝∅”，则a 的取值范围为多少？
解 ①若A ＝∅，则a ≥2满足题意．
②若A ≠∅，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －2<a ，2a －2≥1，
a ≤2，
解得32≤a <2，综上所述a ≥32.
拓展提升 利用补集求参数问题的方法
(1)解答本题的关键是利用A ∁R B ，对A ＝∅与A ≠∅进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题．
(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．
(3)数轴与Venn 图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行集合的交、并、补运算时，常借助数轴求解．
【跟踪训练3】 已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <3}．
(1)若A ∪(∁R B )＝R ，求实数a 的取值范围；
(2)若A ∁R B ，求实数a 的取值范围．
解 (1)∵B ＝{x |1<x <3}，
∴∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥3}，
因而要使A ∪(∁R B )＝R ，结合数轴分析(如图)，可得a ≥3.
(2)∵A ＝{x |x <a }，∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥3}．要使A ∁R B ，结合数轴分析(如图)，可得a ≤1.
探究4 补集思想的应用——正难则反
例4 若集合A ＝{x |ax 2＋3x ＋2＝0}中至多有1个元素，求实数a 的取值范围．
解 假设集合A 中含有2个元素，即ax 2＋3x ＋2＝0有两个不相
等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0，Δ＝9－8a >0，
解得a <98且a ≠0，则此时实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪ a <98且a ≠0.在全集U ＝R 中，集合⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a ⎪⎪⎪ a <98且a ≠0的补集是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a ⎪⎪⎪ a ≥98或a ＝0 .所以满足题意的实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪
a ≥98或a ＝0. 拓展提升
运用补集思想解题的方法
当从正面考虑情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．其解题步骤为：
(1)否定已知条件，考虑反面问题；
(2)求解反面问题对应的参数范围；
(3)取反面问题对应的参数范围的补集．
【跟踪训练4】 已知集合A ＝{y |y >a 2＋1或y <a }，B ＝{y |2≤y ≤4}，若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围．
解 因为A ＝{y |y >a 2＋1或y <a }，B ＝{y |2≤y ≤4}，我们不妨先
考虑当A ∩B ＝∅时a 的取值范围，在数轴上表示集合A ，B ，如图所示．
由⎩⎨⎧ a ≤2，a 2＋1≥4，得⎩⎨⎧ a ≤2，a ≥3或a ≤－3，
故a ≤－3或3≤a ≤2.
即A ∩B ＝∅时，a 的取值范围为a ≤－3或3≤a ≤2，
故A ∩B ≠∅时，a 的取值范围为a >2或－3<a < 3.
1.全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z 就是全集，研究方程的实数解，R 就是全集．因此，全集因研究问题而异.
(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A 的补集的前提是A 是全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.
(3)∁U A 的数学意义包括两个方面：首先必须具备A ⊆U ；其次是定义∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }，补集是集合间的运算关系.
2.补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U ，求子集A ，若直接求A 困难，可先求∁U A ，再由∁U (∁U A )＝A 求A .
1．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )
＝()
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}
答案D
解析由题，知A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．
2．已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁U B)∩A＝()
A．{3} B．{0,1,2,4,7,8}
C．{1,2} D．{1,2,3}
答案C
解析由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(∁U B)∩A＝{1,2}．
3．设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1,3,7}，B＝{2,3,8}，则(∁A)∩(∁U B)＝()
U
A．{1,2,7,8} B．{4,5,6}
C．{0,4,5,6} D．{0,3,4,5,6}
答案C
解析∵U＝{x∈N|x≤8}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，
∴∁U A＝{0,2,4,5,6,8}，∁U B＝{0,1,4,5,6,7}，
∴(∁U A)∩(∁U B)＝{0,4,5,6}．
4．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5,7}，B＝{3,4,5}，则(∁
U A )∪(∁U B )＝________.
答案 {1,2,3,6,7}
解析 由题可得∁U A ＝{1,3,6}，∁U B ＝{1,2,6,7}，
∴(∁U A )∪(∁U B )＝{1,2,3,6,7}．
5．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，求实数m 的值．
解 A ＝{－1,2}，B ∩(∁U A )＝∅等价于B ⊆A .
当m ＝0时，B ＝∅⊆A ；
当m ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－1m . ∴－1m ＝－1或－1m ＝2，即m ＝1或m ＝－12.
综上，m 的值为0,1，－12.
A 级：基础巩固练
一、选择题
1．设集合U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，则∁U (A ∪B )＝( )
A ．{2}
B ．{3}
C ．{1,2,4}
D ．{1,4}
答案 B
解析 集合U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，则∁U (A ∪B )＝{3}，故选B.
2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R |x ≥3}，则下图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{1} B．{1,2}
C．{1,2,3} D．{0,1,2}
答案B
解析由题意得A∩B＝{3,4,5}，阴影部分所表示的集合为集合A去掉集合A∩B中的元素所组成的集合，所以为{1,2}．3．M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|x≤m}，若(∁R M)∩N≠∅，则实数m的取值范围为()
A．m<2 B．m≥－2
C．m>－1 D．－2≤m≤2
答案B
解析∁R M＝{x|－2≤x≤2}，再利用数轴来解决(∁R M)∩N≠∅时m的取值范围，易知m≥－2.
4．下列四个命题中，设U为全集，则不正确的命题是()
A．若A∩B＝∅，则(∁U A)∪(∁U B)＝U
B．若A∪B＝∅，则A＝B＝∅
C．若A∪B＝U，则(∁U A)∩(∁U B)＝∅
D．若A∩B＝∅，则A＝B＝∅
答案D
解析由图易知，A正确；
由A∪B＝∅，得A＝B＝∅，B正确；
由Venn图易知C正确．
故选D.
5．已知U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则(A∩∁U B)∪(B∩
∁U A)＝()
A．∅B．{x|x≤0}
C．{x|x>－1} D．{x|x>0或x≤－1}
答案D
解析∵A∩∁U B＝{x|x>0}，B∩∁U A＝{x|x≤－1}，∴(A∩∁U B)∪(B∩∁U A)＝{x|x>0或x≤－1}．
二、填空题
6．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A)∩B＝________.
答案{7,9}
解析∵U＝{n∈N|1≤n≤10}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，A＝{1,2,3,5,8}，∴∁U A＝{4,6,7,9,10}，
又∵B＝{1,3,5,7,9}，∴(∁U A)∩B＝{7,9}．
7．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，若B∪(∁U B)＝A，则∁U B ＝________.
答案{－3}或{3}或{3}
解析因为B∪(∁U B)＝A，所以A＝U.
①当x2＝3时，x＝±3，B＝{1,3}，∁U B＝{3}或{－3}．
②当x2＝x时，x＝0或1.
当x＝0时，B＝{0,1}，∁U B＝{3}；而当x＝1时不合题意，舍去．8．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
答案12
解析设两项运动都喜欢的人数为x，画出Venn图得到方程15－x＋x＋10－x＋8＝30⇒x＝3，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运
动的人数为15－3＝12(人)．
三、解答题
9．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x＋3≥0}．
求：(1)A∩B；
(2)A∪B；
(3)∁R(A∩B)．
解由已知得B＝{x|x≥－3}，
(1)A∩B＝{x|－3≤x≤－2}．
(2)A∪B＝{x|x≥－4}．
(3)∁R(A∩B)＝{x|x<－3或x>－2}．
B级：能力提升练
10．已知集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足：
①每个集合都恰有5个元素；
②A1∪A2∪A3＝M.
集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i(i＝1,2,3)，求X1＋X2＋X3的最小值和最大值．
解∵集合A1，A2，A3满足：①每个集合都恰有5个元素；②A1∪A2∪A3＝M，∴A1，A2，A3中一定各包含五个数值．当X1＋X2＋X3取得最小值时，集合A1，A2，A3中的最小值分别是1,2,3，最大值是15,11,7，和最小，如：
A1＝{1,12,13,14,15}，A2＝{2,8,9,10,11}，A3＝{3,4,5,6,7}时，X1＋X2＋X3最小，最小值为39，
当集合A1，A2，A3中的最小值分别是1,5,9，最大值是15,14,13时，和最大，如：
当A1＝{1,2,3,4,15}，A2＝{5,6,7,8,14}，A3＝{9,10,11,12,13}时，X1＋X2＋X3最大，最大值为57.。