人教版数学高一-人教版必修1练习.2补集及集合运算的综合应用

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人教A版数学必修一1.1.3第2课时补集及集合运算的综合应用.pptx

解：(方法一)A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}， ∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}，又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．
(方法二)借助Venn图，如图所示，
由图可知B＝{2,3,5,7}．【题后总结】(1)根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集．解此类问题,当集合中元素个数较少时,可借助Venn图；当集合中元素无限时，可借助数轴，利用数轴分析法求解． (2)要注意补集性质的应用．
【正确解答】∵∁UA＝{5}，∴5∈U，且5∉A，且|2a－1|＝3．解得a＝2，即a的取值是2．【纠错心得】本题错误解答错在忽略了集合的元素|2a－1|是由a确定的．事实上，当a＝2时，|2a－1|＝3，A＝{2,3}，符合题意；而当a＝－4时，A＝{9,2}，不是U的子集．因此在有关参数问题的求解中，必须考虑全面，或对结果进行必要的检验．
(1)设U＝{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x －15＝0}，B＝{－3,3,4}，求∁UA、∁UB；
(2) 设全集 U ＝ R ，集合 A ＝ {x|x≥ － 3} ， B ＝ {x| － 3 ＜ x≤2}．求∁UA，∁UB并判断它们的关系．
解：(1)(方法一)在集合U中， ∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5， ∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}， ∴∁UA＝{－5，－4,3,4}， ∁UB＝{－5，－4,5}．
【思路点拨】由B → 求∁RB → 列不等式组 → 解不等式组 → a的取值范围
【规范解答】∁RB＝{x|x≤1 或 x≥2}≠∅． ∵A ∁RB，∴分 A＝∅和 A≠∅两种情况讨论． (1)若 A＝∅，此时有 2a－2≥a，∴a≥2； (2)若 A≠∅，则有2aa≤－12<a ，或22aa－－22<≥a2 ． ∴a≤1．综上所述，a≤1 或 a≥2．

1.1.3 集合的基本运算第2课时补集及综合应用

【变式练习】
已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}， B={1，3，5，7}，求 A∩( UB)，( UA)∩( UB). 解：由题意可知， UA ={1，3，6，7} UB={2，4，6}，则 A∩( =UB{)2，4}，
( UA)∩( UB) 6.
【例题分析】
例2 已知全集U=R，集合 A {x | x 3} ， B { x | 2 x 4 } , 求 ( U A) B .
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universe set），通常记作U.
【补集的概念】
探究点2 补集观察下列三个集合： S＝{高一年级的同学} A＝{高一年级参加军训的同学} B＝{高一年级没有参加军训的同学} 这三个集合之间有何关系？显然，由所有属于集合S但不属于集合A的元素组成的集合就是集合B．
课堂训练
B={x|x是钝角三角形}，求 A B, U (A B) .
解：（1）根据题意可知，U 1, 2,3, 4,5,6,7,8,
所以 U A 4,5,6,7,8, U B 1,2,7,8.
（2）根据三角形的分类可知 A B , A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
U (A B) ｛x∣x是直角三角形｝.
A
5,13,23
U
2， B
17 11,19，29
Venn图的灵活运用
3,7
【变式练习】
设全集U { x | x 7, x N }，已知
（ U A) B {1, 6}, A ( U B) {2,3}，
U ( A B) {0, 5}，求集合A,B.
解：U={1,2，3，4，5,6,7} A={2，3，4，7}，B={1，4，6，7}.

1.1-1.1.3第2课时补集及集合运算的综合应用秋学期高中数学必修1(人教A版)PPT课件

1．全集与补集的关系全集是一个相对的概念，包含所研究问题中涉及的全部元素，补集是相对于相应的全集而言的．如我们在整数范围内研究问题，则 Z 为全集，而当问题扩展到实数集时，则 R 为全集． 2．符号∁UA 包含的三层意思 (1)A⊆U. (2)∁UA 表示一个集合，且∁UA⊆U. (3)∁UA 是 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合．
类型 4 补集的综合应用(规范解答) [典例 4] (本小题满分 12 分)已知集合 A＝{x|x2－4x ＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若 A∩B≠∅，求实数 m 的取值范围．审题指导：要求实数 m 的取值范围，先建立关于 m 的不等式，“A∩B≠∅”的对立面为“A∩B＝∅”．因此可先求出 A∩B＝∅时 m 的取值范围，然后在 R 中取其补集即可．
解析：(1)错，若 A＝B，则∁AC 与∁BC 相等，否则不相等．
(2)对，A 是∁UA 的补集，所以 A＝{2，4，6}． (3)对，因为 A∪(∁UA)＝U，所以 x＝2，y＝3 或 x＝3， y＝2. 答案：(1)× (2)√ (3)√
2．(2018·浙江卷)已知全集 U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1， 3}，则∁UA＝( )
[ 变式训练 ] 已知集合 A ＝ {x|2a － 2<x<a} ， B ＝ {x|1<x<2}，且 A ∁RB，求 a 的取值范围．
解：∁RB＝{x|x≤1 或 x≥2}≠∅，因为 A ∁RB，所以分 A＝∅和 A≠∅两种情况讨论． (1)若 A＝∅，此时有 2a－2≥a，所以 a≥2. (2)若 A≠∅，则有2aa≤－12，<a，或22aa－－22<≥a2，，所以 a≤1. 综上所述，a≤1 或 a≥2.

人教新课标版数学高一-数学必修1练习集合的基本运算—补集

课时作业 5一、选择题1．设全集U＝{a，b，c，d}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d}，则(∁U M)∩N等于() A．{b} B．{d}C．{a，c} D．{b，d}解析：由题意可知，∁U M＝{b}，∴(∁U M)∩N＝{b}，选A.答案：A2．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(∁U N)＝{2,4}，则N等于()A．{1,2,3} B．{1,3,5}C．{1,4,5} D．{2,3,4}解析：∵M∩(∁U N)＝{2,4}，∴2,4∈M且2,4∉N，又∵M∪N＝{1,2,3,4,5}，∴N＝{1,3,5}，选B.答案：B3．[2014·杭州七校高一联考]已知全集U＝{－1,1,3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且∁U A ＝{－1}，则a的值是()A．－1 B．1C．3 D．±1解析：由A∪(∁U A)＝U，可知A＝{1,3}，又∵a2＋2≥2，∴a＋2＝1且a2＋2＝3.解得a＝－1，故选A.答案：A4．如下图，U是全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()A ．(M ∩P )∩SB ．(M ∩P )∪SC ．(M ∩P )∩(∁U S )D ．(M ∩P )∪(∁U S )解析：由题图不难判断阴影部分位于M ∩P 中，但不在S 中，故阴影部分表示的集合为(M ∩P )∩(∁U S )，选C.答案：C二、填空题5．有15人进入家电超市，其中有9人买了电视机，有7人买了电脑，两种均买的有3人，则这两种均没买的有________人．解析：设这15人构成全集U ，买电视机的9人构成集合A ，买电脑的7人构成集合B ，用Venn 图表示，如图所示，则两种均没买的有15－(9－3)－3－(7－3)＝2(人)．答案：26．已知集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜2}，A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}，又A ＝{x |x ＜a }，且A ∪(∁R B )＝R ，∴a ≥2. 答案：{a |a ≥2}7．已知集合U ＝{(x ，y )|y ＝3(x －1)＋2}，A ＝{(x ，y )|y －2x －1＝3}，则∁U A ＝________.解析：∵A ＝{(x ，y )|y ＝3(x －1)＋2，x ≠1}．又当x ＝1时，由y ＝3(x －1)＋2得y ＝2，∴∁U A ＝{(1,2)}．答案：{(1,2)} 三、解答题8．设集合U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}， ∁U A ＝{5}，求实数a 的值．解：此时只可能a 2＋2a －3＝5，易得a ＝2或－4. 当a ＝2时，A ＝{2,3}，符合题意；当a＝－4时，A＝{9,3}，不符合题意，舍去．故a＝2.9．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{5,6,7,8,9,10}．(1)求(∁U A)∩(∁U B)，∁U(A∪B)，(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∩B)；(2)从(1)的计算结果，能发现什么规律？画图验证．解：(1)(∁U A)∩(∁U B)＝{7,8,9,10}∩{1,2,3,4}＝∅，∁U(A∪B)＝∅，(∁U A)∪(∁U B)＝{7,8,9,10}∪{1,2,3,4}＝{1,2,3,4,7,8,9,10}，∁U(A∩B)＝{1,2,3,4,7,8,9,10}．(2)(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)，(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)．验证略．。

人教A版数学必修一第2课时补集及集合运算的综合应用.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第2课时补集及集合运算的综合应用基础达标1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,4,5}，则(∁U A)∩(∁U B)等于()．A．∅B．{4} C．{1,5} D．{2,5}解析∁U A＝{2,4}，∁U B＝{1,3}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝∅，故选A.答案 A2．(2013·济南高一检测)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于()．A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)解析∵∁U M＝{1,4,5,6}，∁U N＝{2,3,5,6}，∴(∁U M)∩(∁U N)＝{5,6}．答案 D3．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是()．A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2解析如图所示，若能保证并集为R，则只需实数a在数2的右边(含端点2)．∴a≥2.答案 C4．设全集U＝A∪B＝{x∈N* |0<x<10}，若A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.解析由题意，得U＝A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁U B)＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．答案{2,4,6,8}5．(2013·抚顺高一检测)设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁U B)＝________.解析∵∁U B＝{x|x≤1}，借助数轴可以求出∁U B与A的交集为图中阴影部分，即{x|0＜x≤1}．答案{x|0＜x≤1}6．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁U A与∁U B的包含关系是________．解析先求出∁U A＝{x|x<0}，∁U B＝{y|y<1}＝{x|x<1}．∴∁U A∁U B.答案∁U A∁U B7．(2013·佛山高一检测)设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求：(1)A∩B；(2)∁R A；(3)∁R(A∪B)．解(1)∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，∴A∩B＝{x|3≤x＜7}．(2)又全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，∴∁R A＝{x|x＜3或x≥7}．(3)∵A∪B＝{x|2＜x＜10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．能力提升8．如图所示，阴影部分表示的集合是( )．A ．A ∩(B ∩C ) B ．(∁U A )∩(B ∩C ) C ．C ∩∁U (A ∪B )D ．C ∩∁U (A ∩B )解析由于阴影部分在C 中，均不在A 、B 中，则阴影部分表示的集合是C 的子集，也是∁U (A ∪B )的子集，即是C ∩∁U (A ∪B )．答案 C9．已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________.解析 ∵A ＝{x |1≤x ＜a }，∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，∴A ∪(∁U A )＝U ＝{x |1≤x ≤5}，且A ∩(∁U A )＝∅，因此a ＝2. 答案 210．(2013·温州高一检测)已知A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }． (1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围．解 (1)m ＝1，B ＝{x |1≤x ＜4}， A ∪B ＝{x |－1＜x ＜4}． (2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x ＞3}．当B ＝∅时，即m ≥1＋3m 得m ≤－12，满足B ⊆∁R A ，当B ≠∅时，使B ⊆∁R A 成立，则⎩⎨⎧ m ＜1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎨⎧m ＜1＋3m ，m ＞3，解之得m ＞3.综上可知，实数m 的取值范围是m ＞3或m ≤－12.。

教学设计1：1.2.2 集合的运算第2课时-补集及综合应用

§1.2.2 集合的运算第2课时补集及综合应用一. 教学目标：1. 知识与技能(1)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.(2)能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.2. 过程与方法学生通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算.3.情感.态度与价值观(1)进一步树立数形结合的思想.(2)进一步体会类比的作用.(3)感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确.二.教学重点.难点重点：全集与补集的概念.难点：理解交集与并集的概念.符号之间的区别与联系．三.学法与教学用具1.学法：学生借助Venn图，通过观察.类比.思考.交流和讨论等，理解集合的基本运算.2.教学用具：投影仪.四. 教学过程导入新课-)=0，其结果会相同吗?问题:①分别在整数范围和实数范围内解方程(x－3)(x3②若集合A={x|0<x<2，x∈Z}，B={x|0<x<2，x∈R}，则集合A、B相等吗？学生回答后，教师指明:在不同的范围内集合中的元素会有所不同，这个“范围”问题就是本节学习的内容，引出课题.推进新课新知探究提出问题①用列举法表示下列集合:A ={x ∈Z |(x －2)(x +31)(x 2-)=0};B ={x ∈Q |(x －2)(x +31)(x 2-)=0}; C ={x ∈R |(x －2)(x +31)(x 2-)=0}. ②问题①中三个集合相等吗？为什么？③由此看，解方程时要注意什么？④问题①，集合Z ，Q ，R 分别含有所解方程时所涉及的全部元素，这样的集合称为全集，请给出全集的定义.⑤已知全集U ={1，2，3}，A ={1}，写出全集中不属于集合A 的所有元素组成的集合B. ⑥请给出补集的定义.⑦用Venn 图表示 A.活动：组织学生充分讨论、交流，使学生明确集合中的元素，提示学生注意集合中元素的范围.讨论结果：①A ={2}，B ={2，31-}，C ={2，31-，2}. ②不相等，因为三个集合中的元素不相同.③解方程时，要注意方程的根在什么范围内，同一个方程，在不同的范围其解会有所不同. ④一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U .⑤B ={2，3}.⑥对于一个集合A ，全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集.集合A 相对于全集U 的补集记为A ，即A ={x |x ∈U ，且x A }.⑦如图1－1－3－9所示，阴影表示补集.图1－1－3－9例题精讲1.设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求A， B.活动：让学生明确全集U中的元素，回顾补集的定义，用列举法表示全集U，依据补集的定义写出A， B.解：根据题意，可知U={1，2，3，4，5，6，7，8}，所以A={4，5，6，7，8};B={1，2，7，8}.点评：本题主要考查补集的概念和求法.用列举法表示的集合，依据补集的含义，直接观察写出集合运算的结果.常见结论:(A∩B)=(A)∪(B);(A∪B)=(A)∩(B).变式训练1.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5，7}，B={3，4，5}，则(A)∩(B)等于( )A.{1，6}B.{4，5}C.{2，3，4，5，7}D.{1，2，3，6，7}分析:思路一:观察得(A)∩(B)={1，3，6}∩{1，2，6，7}={1，6}.思路二:A∪B={2，3，4，5，7}，则(A)∩(B)=(A∪B)={1，6}.答案：A2设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，4}，B={2}，则A∩(B)等于( )A.{1，2，3，4，5}B.{1，4}C.{1，2，4}D.{3，5}答案：B3.设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，P={1，2，3，4，5}，Q={3，4，5，6，7}，则P∩( Q)等于( )A.{1，2}B.{3，4，5}C.{1，2，6，7}D.{1，2，3，4，5}答案：A4.设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}.求A∩B，(A ∪B).活动：学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义.结合交集、并集和补集的含义写出结果.A ∩B 是由集合A ，B 中公共元素组成的集合，(A ∪B )是全集中除去集合A ∪B 中剩下的元素组成的集合.解：根据三角形的分类可知A ∩B =∅，A ∪B ={x |x 是锐角三角形或钝角三角形}，(A ∪B )={x |x 是直角三角形}. 变式训练1.已知集合A ={x |3≤x <8}，求 A.解：A ={x |x <3或x ≥8}.2.设S ={x |x 是至少有一组对边平行的四边形}，A ={x |x 是平行四边形}，B ={x |x 是菱形}，C ={x |x 是矩形}，求B ∩C ，B ， A.解：B ∩C ={x |正方形}，B ={x |x 是邻边不相等的平行四边形}，A ={x |x 是梯形}.3.已知全集I =R ，集合A ={x |x 2+ax +12b =0}，B ={x |x 2－ax +b =0}，满足(A )∩B ={2}，(B )∩A ={4}，求实数a 、b 的值.答案：a =78，b =712-. 4.设全集U =R ，A ={x |x ≤2+3}，B ={3，4，5，6}，则(A )∩B 等于…( ) A.{4} B.{4，5，6} C.{2，3，4} D.{1，2，3，4} 分析:∵U =R ，A ={x |x ≤2+3}，∴A ={x |x >2+3}.而4，5，6都大于2+3，∴(A )∩B ={4，5，6}. 答案：B知能训练课本P 11练习4.【补充练习】1.设全集U =R ，A ={x |2x +1>0}，试用文字语言表述A 的意义.解：A ={x |2x +1>0}即不等式2x +1>0的解集，A 中元素均不能使2x +1>0成立，即A 中元素应当满足2x+1≤0.∴A即不等式2x+1≤0的解集.2.如图1－1－3－14所示，U是全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分表示的集合是_______.图1－1－3－14分析:观察图可以看出，阴影部分满足两个条件:一是不在集合S内;二是在集合M，P的公共部分内，因此阴影部分表示的集合是集合S的补集与集合M，P的交集的交集，即( S)∩(M∩P).答案：(S)∩(M∩P)3.设集合A、B都是U={1，2，3，4}的子集，已知(A)∩(B)={2}，(A)∩B={1}，则A 等于( )A.{1，2}B.{2，3}C.{3，4}D.{1，4}分析:如图1－1－3－15所示.图1－1－3－15由于(A)∩(B)={2}，(A)∩B={1}，则有A={1，2}.∴A={3，4}.答案：C4.设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则(S∪T)等于( )A. B.{2，4，7，8} C.{1，3，5，6} D.{2，4，6，8}分析:直接观察(或画出Venn图)，得S∪T={1，3，5，6}，则(S∪T)={2，4，7，8}.答案：B5.已知集合I={1，2，3，4}，A={1}，B={2，4}，则A∪(B)等于( )A.{1}B.{1，3}C.{3}D.{1，2，3}分析:∵B={1，3}，∴A∪(B)={1}∪{1，3}={1，3}.答案：B拓展提升问题:某班有学生50人，解甲、乙两道数学题，已知解对甲题者有34人，解对乙题者有28人，两题均解对者有20人，问:(1)至少解对其中一题者有多少人？(2)两题均未解对者有多少人？分析:先利用集合表示解对甲、乙两道数学题各种类型，然后根据题意写出它们的运算，问题便得到解决.解：设全集为U，A={只解对甲题的学生}，B={只解对乙题的学生}，C={甲、乙两题都解对的学生}，则A∪C={解对甲题的学生}，B∪C={解对乙题的学生}，A∪B∪C={至少解对一题的学生}，(A∪B∪C)={两题均未解对的学生}.由已知，A∪C有34个人，C有20个人，从而知A有14个人;B∪C有28个人，C有20个人，所以B有8个人.因此A∪B∪C有N1=14+8+20=42(人)，(A∪B∪C)有N2=50－42=8(人).∴至少解对其中一题者有42个人，两题均未解对者有8个人.课堂小结本节课学习了:①全集和补集的概念和求法.②常借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算.作业课本P12习题1.1A组9、10，B组4.设计。

人教版高一数学必修一《全集、补集及综合应用》PPT课件

合 A∩(∁UB)＝( A．{2，5}
) B．{3，6}
C．{2，5，6}
D．{2，3，5，6，8}
(2)已知全集 U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝
xx≤0或x≥52，求 A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)．
【解】 (1)选 A.因为 U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，B＝{1， 3，4，6，7}，所以∁UB＝{2，5，8}．又 A＝{2，3，5，6}，所以 A∩(∁UB)＝{2，5}． (2)将集合 A，B，P 分别表示在数轴上，如图所示，
由图知∁SA＝{x|x<－1 或 1≤x≤2}． (3)把集合 S 和 A 表示在数轴上，如图所示，
由图知∁SA＝{x|－4≤x<－1 或 x＝1}．
集合交、并、补的综合运算
(1)(2019·长沙检测)已知全集 U＝{1，2，3，4，5，6，7，
8}，集合 A＝{2，3，5，6}，集合 B＝{1，3，4，6，7}，则集
1．(变问法)在本例(2)的条件下，求(∁UA)∩(∁UP)．解：画出数轴，如图所示，
观察数轴可知(∁UA)∩(∁UP)＝x2≤x<52.
2．(变条件)将本例(2)中的集合 P 改为{x|x≤5}，且全集 U＝P， A，B 不变，求 A∪(∁UB)．解：画出数轴，如图所示，
观察数轴可知 A∪(∁UB)＝{x|x<2 或 3<x≤5}．
∁ UA 的三层含义 (1)∁ UA 表示一个集合． (2)A 是 U 的子集，即 A⊆U. (3)∁ UA 是 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数集问题的全集一定是 R.( ) (2)集合∁ BC 与∁ AC 相等．( )

人教A版高中数学必修第一册同步教案补集及综合应用

第2课时补集及综合应用知识点补集1．全集如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.2．补集状元随笔全集并不是一个含有任何元素的集合,仅包含所研究问题涉及的所有元素．∁U A的三层含义：(1)∁U A表示一个集合；(2)A是U的子集,即A ⊆U；(3)∁U A是U中不属于A的所有元素组成的集合．[教材解难]理解补集应关注三点(1)补集既是集合之间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的,因此,它们是相互依存、不可分割的两个概念．(2)∁U A包含三层意思：①A⊆U；②∁U A是一个集合,且∁U A⊆U；③∁U A是由U中所有不属于A的元素构成的集合．(3)若x∈U,则x∈A或x∈∁U A,二者必居其一．[基础自测]1．设全集U＝R,集合P＝{x|－2≤x<3},则∁U P等于( )A．{x|x<－2或x≥3} B．{x|x<－2或x>3}C．{x|x≤－2或x>3} D．{x|x≤－2且x≥3}解析：由P＝{x|－2≤x<3}得∁U P＝{x|x<－2或x≥3}．答案：A2．设全集U＝{1,2,3,4,5,6},A＝{1,2},B＝{2,3,4},则A∩(∁U B)＝( )A．{1,2,5,6} B．{1}C．{2} D．{1,2,3,4}解析：∵∁U B＝{1,5,6},∴A∩(∁U B)＝{1,2}∩{1,5,6}＝{1}．答案：B3．已知全集U＝R,A＝{x|x≤0},B＝{x|x≥1},则集合∁U(A∪B)等于( )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}解析：A∪B＝{x|x≤0或x≥1},所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．故选D.答案：D4．已知集合U＝{2,3,6,8},A＝{2,3},B＝{2,6,8},则(∁U A)∩B＝________.解析：先计算∁U A,再计算(∁U A)∩B.∵U＝{2,3,6,8},A＝{2,3},∴∁U A＝{6,8}．∴(∁U A)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．答案：{6,8}题型一补集的运算[教材P13例5]例1 设U＝{x|x是小于9的正整数},A＝{1,2,3},B＝{3,4,5,6},求∁U A,∁U B.【解析】根据题意可知,U＝{1,2,3,4,5,6,7,8},所以∁U A＝{4,5,6,7,8},∁U B＝{1,2,7,8}.列举法,先求出全集,再利用补集的定义求∁U A,∁U B.教材反思求补集的原则和方法(1)一个基本原则．求给定集合A的补集,从全集U中去掉属于集合A的元素后,由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．(2)两种求解方法：①若所给的集合是有关不等式的集合,则常借助于数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后再根据补集的定义求解,注意端点值的取舍．②若所给的集合是用列举法表示,则用Venn图求解．跟踪训练1 (1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5},A ＝{1,3},则∁U A ＝( ) A ．∅ B ．{1,3} C ．{2,4,5} D ．{1,2,3,4,5}(2)设全集为R,集合A ＝{x|0<x<2},B ＝{x|x≥1},则A∩(∁R B)＝( ) A.{x|0<x≤1} B ．{x|0<x<1} C ．{x|1≤x<2} D ．{x|0<x<2}解析：(1)本小题考查集合的运算．∵U＝{1,2,3,4,5},A ＝{1,3},∴∁U A ＝{2,4,5}．利用补集定义直接求．(2)本题主要考查集合的基本运算．由B ＝{x|x≥1},得∁R B ＝{x|x<1},借助于数轴,可得A∩(∁R B)＝{x|0<x<1},故选B.利用数轴表示集合A 、B,结合数轴求出结果．答案：(1)C (2)B题型二集合交、并、补的综合运算[经典例题]例2 (1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8},集合A ＝{2,3,5,6},集合B ＝{1,3,4,6,7},则集合A∩(∁U B)＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}(2)已知全集U ＝R,A ＝{x|－4≤x<2},B ＝{x|－1<x≤3},P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≤0或x ≥52,求A∩B ,(∁UB)∪P ,(A∩B)∩(∁U P)．【解析】 (1)因为U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8},B ＝{1,3,4,6,7},所以∁U B ＝{2,5,8}．又A ＝{2,3,5,6}, 所以A∩(∁U B)＝{2,5}．先求∁U B,再求A∩∁U B.(2)将集合A,B,P 分别表示在数轴上,如图所示．因为A ＝{x|－4≤x<2},B ＝{x|－1<x≤3},所以A∩B＝{x|－1<x<2},∁U B ＝{x|x≤－1或x>3}．又P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≤0或x ≥52, 所以(∁U B)∪P＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≤0或x ≥52. 又∁U P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x<52,所以(A∩B)∩(∁U P)＝{x|－1<x<2}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x<52＝{x|0<x<2}．根据集合的交集、补集、并集运算,画数轴,即可求解．【答案】 (1)A (2)见解析方法归纳求集合交、并、补运算的方法跟踪训练2 已知全集U ＝{x|x≤4},集合A ＝{x|－2<x<3},B ＝{x|－3<x≤3}．求∁U A,A∩B ,∁U (A∩B),(∁UA)∩B.解析：把全集U 和集合A,B 在数轴上表示如下：由图可知,∁U A ＝{x|x≤－2或3≤x≤4}, A∩B＝{x|－2<x<3},∁U (A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}, (∁U A)∩B＝{x|－3<x≤－2或x ＝3}．借助数轴求出∁U A,∁U B 再运算．题型三补集思想的应用[经典例题]例3 已知集合A ＝{x|x 2－4x ＋2m ＋6＝0},B ＝{x|x<0},若A∩B≠∅,求实数m 的取值范围．【解析】先求A∩B＝∅时m 的取值范围． (1)当A ＝∅时,①方程x 2－4x ＋2m ＋6＝0无实根,所以Δ＝(－4)2－4(2m ＋6)＜0,解得m ＞－1. (2)当A≠∅,A∩B＝∅时,方程x 2－4x ＋2m ＋6＝0的根为非负实根．②设方程x 2－4x ＋2m ＋6＝0的两根为x 1,x 2,则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－4)2－4(2m ＋6)≥0，x 1＋x 2＝4≥0，x 1x 2＝2m ＋6≥0，③即⎩⎪⎨⎪⎧m≤－1，m≥－3，解得－3≤m≤－1,综上,当A∩B＝∅时, m 的取值范围是{m|m≥－3}．又因为U ＝R,④ 所以当A∩B≠∅时,m 的取值范围是∁R {m|m≥－3}＝{m|m<－3}．所以,A∩B≠∅时,m 的取值范围是{m|m<－3}．状元随笔 ①A∩B＝∅,对于集合A 而言,分A ＝∅与A≠∅两种情况. A ＝∅表示方程无实根． ②B＝{x|x<0},而A∩B＝∅,故A {x|x≥0},即已知方程的根为非负实根．③Δ≥0保证了A≠∅,即原方程有实根；x 1＋x 2≥0与x 1x 2≥0保证了原方程两根非负. 如果两根都大于1,则等价形式为⎩⎪⎨⎪⎧(x 1－1)＋(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，而不是⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2>2，x 1x 2>1.④由于A∩B≠∅,故方程x 2－4x ＋2m ＋6＝0一定有解,故我们还可以设全集U ＝{m|Δ≥0}＝{m|m≤－1}．此时,{m|－3≤m≤－1}关于U 的补集也是{m|m<－3},结果相同.方法归纳(1)运用补集思想求参数范围的方法： ①否定已知条件,考虑反面问题； ②求解反面问题对应的参数范围； ③将反面问题对应参数的范围取补集． (2)补集思想适用的情况：从正面考虑,情况较多,问题较复杂的时候,往往考虑运用补集思想．跟踪训练3 设全集U ＝{3,6,m 2－m －1},A ＝{|3－2m|,6},∁U A ＝{5},求实数m. 解析：因为∁U A ＝{5},所以5∈U 但5∉A,所以m2－m－1＝5,解得m＝3或m＝－2.当m＝3时,|3－2m|＝3≠5,此时U＝{3,5,6},A＝{3,6},满足∁U A＝{5}；当m＝－2时,|3－2m|＝7≠5,此时U＝{3,5,6},A＝{6,7},不符合题意舍去．综上,可知m＝3.根据补集的定义,得到关于m的方程m2－m－1＝5,解得m的值后还需检验．课时作业 4一、选择题1．已知集合A＝{x|x2－x－2>0},则∁R A＝( )A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：本题主要考查集合的基本运算及一元二次不等式的解法．化简A＝{x|x<－1或x>2},∴∁R A＝{x|－1≤x≤2}．故选B.答案：B2．已知A,B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集,且A∩B＝{3},(∁U B)∩A＝{9},则A＝( )A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}解析：因为A∩B＝{3},所以3∈A,又(∁U B)∩A＝{9},所以9∈A.若5∈A,则5∉B(否则5∈A∩B),从而5∈∁U B,则(∁U B)∩A＝{5,9},与题中条件矛盾,故5∉A.同理1∉A,7∉A,故A＝{3,9}．答案：D3．设全集U＝R,M＝{x|x<－2或x>2},N＝{x|1<x<3},则图中阴影部分所表示的集合是( )A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}解析：阴影部分所表示集合是N∩(∁U M),又∵∁U M＝{x|－2≤x≤2},∴N∩(∁U M)＝{x|1<x≤2}．答案：C4．设集合M＝{x|－1≤x<2},N＝{x|x－k≤0},若(∁R M)⊇(∁R N),则k的取值范围是( ) A．k≤2 B．k≥－1C．k>－1 D．k≥2解析：由(∁R M)⊇(∁R N)可知M⊆N,则k的取值范围为k≥2.答案：D二、填空题5．设全集U＝{x∈N*|x≤9},∁U(A∪B)＝{1,3},A∩(∁U B)＝{2,4},则B＝________.解析：∵全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9},由∁U(A∪B)＝{1,3},得A∪B＝{2,4,5,6,7,8,9},由A∩(∁U B)＝{2,4}知,{2,4}⊆A,{2,4}⊆∁U B,∴B＝{5,6,7,8,9}．答案：{5,6,7,8,9}6．已知全集U＝R,M＝{x|－1<x<1},∁U N＝{x|0<x<2},那么集合M∪N＝________.解析：∵U＝R,∁U N＝{x|0<x<2},∴N＝{x|x≤0或x≥2},∴M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}＝{x|x<1或x≥2}．答案：{x|x<1或x≥2}7．已知U＝R,A＝{x|a≤x≤b},∁U A＝{x|x<3或x>4},则ab＝________.解析：因为A∪(∁U A)＝R,A∩(∁U A)＝∅,所以a＝3,b＝4,所以ab＝12.答案：12三、解答题8．已知全集U＝R,集合A＝{x|－1<x<2},B＝{x|0<x≤3}．求：(1)A∩B；(2)∁U(A∪B)；(3)A∩(∁U B)．解析：(1)因为A＝{x|－1<x<2},B＝{x|0<x≤3},所以A∩B＝{x|－1<x<2}∩{x|0<x≤3}＝{x|0<x<2}．(2)A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|0<x≤3}＝{x|－1<x≤3},∁U(A∪B)＝{x|x≤－1或x>3}．(3)A∩(∁U B)＝{x|－1<x<2}∩{x|x>3或x≤0}＝{x|－1<x≤0}．9．已知全集U ＝{不大于20的素数},M,N 为U 的两个子集,且满足M∩(∁U N)＝{3,5},(∁U M)∩N＝{7,19},(∁U M)∩(∁U N)＝{2,17},求M,N.解析：方法一 U ＝{2,3,5,7,11,13,17,19}, 如图,∴M＝{3,5,11,13},N ＝{7,11,13,19}．方法二 ∵M∩(∁U N)＝{3,5}, ∴3∈M,5∈M 且3∉N,5∉N.又∵(∁U M)∩N＝{7,19},∴7∈N,19∈N 且7∉M,19∉M. 又∵(∁U M)∩(∁U N)＝{2,17}, ∴∁U (M∪N)＝{2,17},∴M＝{3,5,11,13},N ＝{7,11,13,19}． [尖子生题库]10．已知A ＝{x|－1<x≤3},B ＝{x|m≤x<1＋3m}． (1)当m ＝1时,求A∪B；(2)若B ⊆(∁R A),求实数m 的取值范围．解析：(1)m ＝1时,B ＝{x|1≤x<4}, A∪B＝{x|－1<x<4}． (2)∁R A ＝{x|x≤－1或x>3}．当B ＝∅,即m≥1＋3m 时, 得m≤－12,满足B ⊆(∁R A),当B≠∅时,要使B ⊆(∁R A)成立,则⎩⎪⎨⎪⎧m<1＋3m ，1＋3m≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧m<1＋3m ，m>3，解之得m>3.综上可知,实数m 的取值范围是m>3或m≤－12.。

高中数学1-3集合的基本运算第2课时全集补集的运算课时作业新人教A版必修第一册

第2课时全集、补集的运算必备知识基础练1．[2022·北京怀柔高一期末]设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，4，6}，那么∁U A＝( )A.{2} B．{3，5}C.{1，3，5} D．{1，4，6}2．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，3，5}，N＝{4，5}，则∁U(M∪N)＝( )A.{2，3，4，5} B．{5}C.{1，6} D．{1，2，3，4，6}3．[2022·江苏无锡高一期末]已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3}，则∁U(A∩B)＝( )A.{3} B．{4，5}C.{1，2，4，5} D．{1，2，3，5}4．已知集合M＝{1，2，3}，N＝{3，4}，全集I＝{1，2，3，4，5}，则M∪(∁I N)＝( )A.{1，2，4} B．{1，2，3，5}C.{1，2，4，5} D．I5．[2022·山东菏泽高一期末]已知集合U＝{x∈N|0<x<8}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则下列结论错误的是( )A.A∩B＝{3} B．A∪B＝{1，2，3，4，5，6}C.∁U A＝{4，5，6，7，8} D．∁U B＝{1，2，7}6．已知集合A＝{x|x>3}，B＝{x|x≥6}，则∁A B＝( )A.{x|x≤3} B．{x|3<x<6}C.{x|3≤x≤6} D．{x|x>6}7．已知全集U＝{0，1，2}，且∁U A＝{2}，则A＝________.8．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，且A＝{2，3，4}，B＝{1，2}，则A∩(∁U B)＝________．关键能力综合练1．[2022·福建漳州高一期末]正确表示图中阴影部分的是( )A.(∁U A)∪B B．(∁U A)∪(∁U B)C.∁U(A∪B) D．∁U(A∩B)2．[2022·广东汕头高一期末]集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|x>4或x<2}，则集合A ∪(∁R B)＝( )A.R B．{x|2≤x<3}C.{x|1<x≤4} D．∅3．[2022·辽宁锦州高一期末]已知全集U＝R，A＝{x|x≤3}，B＝{x|x<－3}，则A∩(∁U B)＝( )A.{x|x＜－3}B.{x|－3<x<3}C.{x|－3≤x≤3}D.{x|x≤3}4．对于全集U的子集M，N，若M是N的真子集，则下列集合中必为空集的是( )A.(∁U M)∩N B．M∩(∁U N)C.(∁U M)∩(∁U N) D．M∩N5．[2022·广东东莞高一期末](多选)图中阴影部分的集合表示正确的是( )A.N∩(∁U M) B．M∩(∁U N)C.[∁U(M∩N)]∩N D．(∁U M)∩(∁U N)6．设集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩∁R B＝________．7．设全集U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{2，3}，∁U A＝{5}，则a＝________．8．若U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则(∁U A)∩(∁U B)＝________9．已知集合U＝{x|1≤x≤7}，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3<x≤7}．(1)求A∩B；(2)求(∁U A)∪B.10．[2022·北京高一期末]已知集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|3x≤a}．(1)求集合∁R A；(2)当a＝1时，求A∩B；(3)若B∪(∁R A)＝R，求a的取值范围．核心素养升级练1．集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2∈A}，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是( )2．设U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－(m＋1)x＋m＝0}，若(∁U A)∩B＝∅，则实数m＝________．3．[2022·山东济宁高一期末]已知全集为R，集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x<m或x>2m ＋1，m>0}．(1)当m＝2时，求A∩B；(2)若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．第2课时全集、补集的运算必备知识基础练1．答案：C解析：由全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，4，6}，所以∁U A＝{1，3，5}．2．答案：C解析：因为U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，3，5}，N＝{4，5}，所以M∪N＝{2，3，4，5}，所以∁U(M∪N)＝{1，6}．3．答案：C解析：A∩B＝{2，3}∩{1，3}＝{3}，又U＝{1，2，3，4，5}则∁U(A∩B)＝{1，2，4，5}．4．答案：B解析：由题意得∁I N＝{1，2，5}，所以M∪(∁I N)＝{1，2，3，5}．5．答案：C解析：因为集合U＝{x∈N|0<x<8}＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，所以A∩B＝{3}，A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，∁U A＝{4，5，6，7}，∁U B＝{1，2，7}．6．答案：B解析：∵A＝{x|x>3}，B＝{x|x≥6}，∴∁A B＝{x|3<x<6}．7．答案：{0，1}解析：因为全集U＝{0，1，2}，且∁U A＝{2}，则A＝{0，1}．8．答案：{3，4}解析：全集U＝{1，2，3，4，5}，且A＝{2，3，4}，B＝{1，2}，则∁U B＝{3，4，5}，则A∩(∁U B)＝{3，4}．关键能力综合练1．答案：C解析：由题意图中阴影部分为：∁U(A∪B).2．答案：C解析：由题意，集合B＝{x|x>4或x<2}，可得∁R B＝{x|2≤x≤4}，又由A＝{x|1<x<3}，所以A∪(∁R B)＝{x|1<x≤4}．3．答案：C解析：由题意，∁U B＝{x|x≥－3}，所以A∩(∁U B)＝{x|－3≤x≤3}．4．答案：B解析：集合U ，M ，N 的关系如图，由图形看出，只有(∁U N )∩M 是空集．5．答案：AC解析：由已知阴影部分在集合N 中，而不在集合M 中，故阴影部分所表示的元素属于N ，不属于M (属于M 的补集)，即可表示为N ∩(∁U M )或[∁U (M ∩N )]∩N .6．答案：{x |3＜x ＜4}解析：因为B ＝{x |－1≤x ≤3}, 所以∁R B ＝{x |x <－1或x >3}，所以A ∩∁R B ＝{x |3<x <4}．7．答案：－4或2解析：因为U ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，3}，所以∁U A ＝{a 2＋2a －3}，因为∁U A ＝{5}，所以a 2＋2a －3＝5，解得：a ＝2或－4，经检验，均符合要求．8．答案：{2，4，8}解析：∵U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n 是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的倍数}， ∴U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，则A ＝{1，3，5，7}，B ＝{3，6}，∴∁U A ＝{2，4，6，8}，∁U B ＝{1，2，4，5，7，8}，∴(∁U A )∩(∁U B )＝{2，4，8}．9．解析：(1)由A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3<x ≤7}，得A ∩B ＝{x |3<x <5}；(2)由U ＝{x |1≤x ≤7}，A ＝{x |2≤x <5}，得∁U A ＝{x |1≤x <2或5≤x ≤7}，故(∁U A )∪B ＝{x |1≤x <2或3<x ≤7}． 10．解析：(1)由题意，A ＝{x |－2<x <3}，故∁R A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}．(2)当a ＝1时，B ＝{x |3x ≤1}＝{x |x ≤13}，故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2<x ≤13. (3)由(1)∁R A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，B ＝{x |3x ≤a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤a 3，若B ∪(∁R A )＝R ，则a 3≥3，解得a ≥9.核心素养升级练1．答案：C解析：因为A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2∈A }，所以B ＝{－2，－2，－1，1，2，2}，记U ＝A ∪B ＝{－2，－2，－1，1，2，2，4}，对于A 选项，其表示A ∩(∁U B )＝{4}，不满足；对于B 选项，其表示∁U (A ∩B )＝{－2，－2，－1，2，4}，不满足；对于C 选项，其表示(∁U A )∩B ＝{－2，－2，－1，2}，满足；对于D 选项，其表示A ∩B ＝{1，2}，不满足．2．答案：1或2解析：由题得集合A ＝{1，2}，当m ＝1时，B ＝{1}；当m ≠1时，B ＝{1，m }．所以当m ＝1时，(∁U A )∩B ＝∅，符合题意；当m ≠1时，(∁U A )∩B ＝∅，所以m ＝2.综合得m ＝1或m ＝2.3．解析：(1)当m ＝2时，B ＝{x |x <2或x >5}，又A ＝{x |1≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |1≤x <2}；(2)因为B ＝{x |x <m 或x >2m ＋1，m >0}，所以∁R B ＝{x |m ≤x ≤2m ＋1}，又A ⊆∁R B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12≤2m ＋1，解得12≤m ≤1. 所以实数m 的取值范围12≤m ≤1.。

人教新课标版数学高一-A版必修一课后训练.2补集及综合应用

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课后提升训练五补集及综合应用(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2015·天津高考)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,5},集合B={1,3,4,6},则集合A∩(UB)= ( )A.{3}B.{2,5}C.{1,4,6}D.{2,3,5}【解析】选B.A={2,3,5},U B={2,5},则A∩(UB)=.2.(2016·浙江高考)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(UP)∪Q= ( )A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}【解析】选C.(UP)∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}={1,2,4,6}.3.设全集U=R,集合M={x|x>1,或x<-1},N={x|0<x<2},则U(M∪N)= ( )A.{x|-1≤x≤1}B.{x|0<x≤1}C.{x|-1≤x≤0}D.{x|x<1}【解析】选C.M∪N={x|x>0,或x<-1},所以U(M∪N)={x|-1≤x≤0}.【延伸探究】本题条件不变,求U(M∩N).【解析】M∩N={x|x>1,或x<-1}∩{x|0<x<2}={x|1<x<2},所以U(M∩N)={x|x≤1,或x≥2}.4.设全集U=R,集合P={x|-2≤x<3},则UP= ( )A.{x|x<-2或x≥3}B.{x|x<-2或x>3}C.{x|x≤-2或x>3}D.{x|x≤-2或x≥3}【解析】选A.在数轴上表示出集合P,如图,所以UP={x|x<-2或x≥3}.5.(2016·山东高考)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则U= ( )A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}【解析】选A.A∪B=,所以U={2,6}.6.(2017·太原高一检测)设全集U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∩UB=( )A.{x|0≤x<1}B.{x|0<x≤1}C.{x|x<0}D.{x|x>1}【解析】选B.由题可得U B={x|x≤1},A∩UB={x|0<x≤1}.7.已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(RB)=R,则实数a的取值范围是( )A.a≤2B.a<1C.a≥2D.a>2【解析】选C.R B={x|x≤1,或x≥2},若A∪(RB)=R,则a≥2.8.(2017·郑州高一检测)已知U=R,A={x|x2+px+12=0},B={x|x2-5x+q=0},若(U A)∩B={2},(UB)∩A={4},则A∪B= ( )A.{2,3,4}B.{2,3}C.{2,4}D.{3,4}【解析】选A.因为(U A)∩B={2},(UB)∩A={4},所以2∈B,4∈A,则42+4p+12=0,22-5×2+q=0,解得p=-7,q=6,则A={x|x2-7x+12=0}={3,4}, B={x|x2-5x+6=0}={2,3},满足题意.则A∪B={2,3,4}.二、填空题(每小题5分,共10分)9.设全集U=R,集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2},则U(A∩B)=________.【解析】因为B={x|2x-4≥x-2}={x|x≥2},所以A∩B={x|-1≤x<3}∩{x|x≥2}={x|2≤x<3}.所以U(A∩B)={x|x<2或x≥3}.答案:{x|x<2或x≥3}10.(2017·济宁高一检测)设全集U=R,集合A={x|(x-1)(x-4)<0},B={x|2x-3>0},则A∩(UB)=________.【解析】A={x|(x-1)(x-4)<0}={x|1<x<4},B={x|2x-3>0}=,U B=,故A∩(UB)=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2017·齐齐哈尔高一期中)若集合A={x|ax2+3x+2=0}中至多有一个元素,求实数a的取值范围.【解析】若集合M={x|ax2+3x+2=0}至多有一个元素,则M只有一个元素或为空集,则a=0或Δ=32-4×2a=9-8a≤0,所以a=0或a≥.12.(2017·雅安高一检测)已知集合A={x|0<2x+a≤3},B=.(1)当a=1时,求(RB)∪A.(2)若A⊆B,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,A=,又因为B=,则RB=,所以(RB)∪A=.(2)因为A=,若A⊆B,则当A=∅时,-≥,所以0≥3不成立,所以A≠∅,所以解得:-1<a≤1,所以a的取值范围是{a|-1<a≤1}.【补偿训练】设全集U=R,集合A={x|-5<x<4},集合B={x|x<-6,或x>1},集合C={x|x-m<0},求实数m的取值范围,使其同时满足下列两个条件.①C⊇(A∩B);②C⊇(U A)∩(UB).【解析】因为A={x|-5<x<4},B={x|x<-6,或x>1},所以A∩B={x|1<x<4}.又U A={x|x≤-5,或x≥4},UB={x|-6≤x≤1},所以(U A)∩(UB)={x|-6≤x≤-5}.而C={x|x<m},因为当C⊇(A∩B)时,m≥4,当C⊇(U A)∩(UB)时,m>-5,所以m≥4.【能力挑战题】已知集合A={x|2m-1<x<3m+2},B={x|x≤-2或x≥5}.是否存在实数m,使A∩B≠∅?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由. 【解题指南】可先求A∩B=∅时m的取值范围,再求其补集,即为使A ∩B≠∅的m的取值范围.【解析】当A∩B=∅时.(1)若A=∅,则2m-1≥3m+2,解得m≤-3,此时A∩B=∅.(2)若A≠∅,要使A∩B=∅,则即所以-≤m≤1.综上所述,当A∩B=∅时,m≤-3或-≤m≤1,所以当m>1或-3<m<-时,A∩B≠∅.【拓展延伸】补集性质的应用A包含两个方面的意义:首先必须具备A⊆U;其次(1)集合A的补集UA={x|x∈U,且x∉A}.U(2)在求解集合问题时,若直接求解有困难,可利用补集思想求解,即注意补集思想的应用.关闭Word文档返回原板块。

人教版高中数学必修一第一章第2课时补集及集合运算的综合应用(1)

人教版高中数学必修一第一章第2课时补集及集合运算的综合应用(1)第2课时补集及集合运算的综合应用[学习目标] 1.了解全集的意义和它的记法.理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.2.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题.知识点一全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.(2)记法：全集通常记作U.思考全集一定是实数集R吗？答全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.知识点二补集思考设集合A＝{1,2}，那么相对于集合M＝{0,1,2,3}和N＝{1,2,3}，∁M A和∁N A相等吗？由此说说你对全集与补集的认识.答∁M A＝{0,3}，∁N A＝{3}，∁M A≠∁N A.由此可见补集是一个相对的概念，研究补集必须在全集的条件下研究，而全集因研究问题不同而异，同一个集合相对于不同的全集，其补集也就不同.知识点三补集的性质①A∪(∁U A)＝U；②A∩(∁U A)＝∅；③∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁U A)＝A；④(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)；⑤(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B).题型一简单的补集运算例1(1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A等于()A.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,3,4,5}D.∅(2)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁U A＝________.答案(1)B(2){x|x＜1}解析(1)∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁U A＝{3,4,5}.(2)由补集的定义，结合数轴可得∁U A＝{x|x＜1}.反思与感悟 1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解.2.解题时要注意使用补集的几个性质：∁U U＝∅，∁U∅＝U，A∪(∁U A)＝U.跟踪训练1已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则∁U A＝________.答案{x|x＝－3，或x＞4}解析借助数轴得∁U A＝{x|x＝－3，或x＞4}.题型二补集的应用例2设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁U A＝{5}，求实数a的值.解∵∁U A＝{5}，∴5∈U，且5∉A.∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2，或a＝－4.当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}符合题意.当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A⊈U，故a＝－4舍去.综上知a＝2.反思与感悟 1.由∁U A＝{5}可知5∈U且5∉A，A⊆U.2.由∁U A＝{5}求得a后需验证是否符合隐含条件A⊆U，否则会把a＝－4误认为是本题的答案.3.解决此类问题的关键在于合理运用补集的性质，必要时对参数进行分类讨论，同时应注意检验.跟踪训练2若全集U＝{2,4，a2－a＋1}，A＝{a＋4,4}，∁U A＝{7}，则实数a＝________.答案－2解析因为∁U A＝{7}，所以7∈U且7∉A，所以a2－a＋1＝7，解得a＝－2或a＝3.当a＝3时，A＝{4,7}与7∉A矛盾，a＝－2满足题意，所以a＝－2.题型三并集、交集、补集的综合运算例3已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求∁U A，∁U B，(∁U A)∩(∁U B).解将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示，则∁U A＝{x|－1≤x≤3}；∁U B＝{x|－5≤x<－1，或1≤x≤3}；方法一(∁U A)∩(∁U B)＝{x|1≤x≤3}.方法二∵A∪B＝{x|－5≤x<1}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}.反思与感悟求解不等式表示的数集间的运算时，一般要借助于数轴求解，此方法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否.跟踪训练3设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.解把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}.∵∁R A＝{x|x＜3，或x≥7}，∴(∁R A)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}.题型四利用Venn图解题例4设全集U＝{不大于20的质数}，A∩∁U B＝{3,5}，(∁U A)∩B＝{7,11}，(∁U A)∩(∁U B)＝{2,17}，求集合A，B.解U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，A∩(∁U B)＝{3,5}，∴3∈A,5∈A，且3∉B,5∉B，又(∁U A)∩B＝{7,11}，∴7∈B,11∈B且7∉A,11∉A.∵(∁U A)∩(∁U B)＝{2,17}，∴∁U(A∪B)＝{2,17}.∴A＝{3,5,13,19}，B＝{7,11,13,19}.反思与感悟解决此类问题的关键是利用Venn图确定哪些元素在A中，哪些元素在B中，哪些元素在A∩B中，哪些元素既不在A中也不在B中.跟踪训练4全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁U B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,7}，求集合A，B.解方法一根据题意作出Venn图如图所示.由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}.方法二∵(∁U B)∩A＝{1,9}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,7}，∴∁U B＝{1,4,6,7,9}.又∵U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴B＝{2,3,5,8}.∵(∁U B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，∴A＝{1,3,9}.补集思想的应用例5已知集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0}，B＝{x|x2＋2x－a＝0}，C＝{x|x2＋2ax＋2＝0}.若三个集合至少有一个集合不是空集，求实数a的取值范围.解假设三个方程均无实根，则有即解得－<a<－1，∴当a≤－或a≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根.即a的取值范围为{a|a≤－或a≥－1}.反思与感悟对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确、难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决.这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现.跟踪训练5已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求a的取值范围. 解因为A∩B≠∅，所以A≠∅，即方程x2－4ax＋2a＋6＝0有实数根，所以Δ＝(－4a)2－4(2a＋6)≥0，即(a＋1)(2a－3)≥0，所以或解得a≥或a≤－1.①又B＝{x|x<0}，所以方程x2－4ax＋2a＋6＝0至少有一个负根.若方程x2－4ax＋2a＋6＝0有根，但没有负根，则需有解得a≥.所以方程至少有一负根时有a<.②由①②取公共部分得a≤－1.即当A∩B≠∅时，a的取值范围为{a|a≤－1}.1.设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2,4}，则集合∁U M等于()A.{1,2,4}B.{3,4,5}C.{2,5}D.{3,5}答案 D2.已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤2x＋1<9}，则∁U A等于()A.{x|x<0或x>4}B.{x|x≤0或x>4}C.{x|x≤0或x≥4}D.{x|x<0或x≥4}答案 D解析因为U＝R，A＝{x|0≤x<4}，所以∁U A＝{x|x<0或x≥4}.3.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁U B)等于()A.{2,5}B.{3,6}C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}答案 A解析由题意知，∁U B＝{2,5,8}，则A∩(∁U B)＝{2,5}，选A.4.已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A.{－1,2}B.{－1,0}C.{0,1}D.{1,2}答案 A解析图中阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(∁U A)∩B＝{－1,2}.5.已知全集U＝{2,0,3－a2}，P＝{2，a2－a－2}，且∁U P＝{－1}，求实数a的值.解∵∁U P＝{－1}，∴－1∈U，且－1∉P,0∈P.∴解得a＝2.经检验，a＝2符合题意，故实数a的值为2.1.补集定义的理解(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当做全集.(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想.(3)从符号角度来看，若x∈U，A U，则x∈A和x∈∁U A二者必居其一.求两个集合的并集与交集时，先化简集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直观观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示.2.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形.3.不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集.一、选择题1.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于()A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}答案 D解析∵A＝{1,2}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}，∴∁U(A∪B)＝{4}.2.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则A∩(∁U B)等于()A.{4,5}B.{2,4,5,7}C.{1,6}D.{3}答案 A解析∁U B＝{2,4,5,7}，所以A∩(∁U B)＝{4,5}.故选A.3.设全集U＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么(∁U M)∩(∁U N)等于()A.∅B.{d}C.{a，c}D.{b，e}答案 A解析∵M∪N＝U，∴(∁U M)∩(∁U N)＝∁U(M∪N)＝∅.4.已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是()A.{a|a≤1}B.{a|a<1}C.{a|a≥2}D.{a|a>2}答案 C解析由于A∪(∁R B)＝R，则B⊆A，可知a≥2.故选C.5.设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则(∁R M)∩N等于()A.{x|x<－2}B.{x|－2<x<1}C.{x|x<1}D.{x|－2≤x<1}答案 A解析由题意可知∁R M＝{x|x<－2或x>2}，故(∁R M)∩N＝{x|x<－2}.6.设全集U是实数集R，M＝{x|x＜－2，或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}.如图所示，则阴影部分所表示的集合为()A.{x|－2≤x＜1}B.{x|－2≤x≤3}C.{x|x≤2，或x＞3}D.{x|－2≤x≤2}答案 A解析阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x＜1或x＞3}＝{x|－2≤x＜1}.故选A.二、填空题7.已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合M＝{x|x为不大于3的自然数}，则∁U M＝_______.答案{－1}解析∵M＝{0,1,2,3}，∴∁U M＝{－1}.8.已知集合A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，则A∩(∁R B)＝_______.答案{x|－1≤x<3}解析因为B＝{x|x<－1}，则∁R B＝{x|x≥－1}，所以A∩(∁R B)＝{x|－2≤x<3}∩{x|x≥－1}＝{x|－1≤x<3}.9.设U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(∁U A)∩B＝{3,7}，(∁U B)∩A＝{2,8}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1,5,6}，则集合A＝________，B＝________.答案{2,4,8,9}{3,4,7,9}解析(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{1,5,6}，所以A∪B＝{2,3,4,7,8,9}，又(∁U A)∩B＝{3,7}，(∁U B)∩A＝{2,8}，所以A∩B＝{4,9}，所以A＝{2,4,8,9}，B＝{3,4,7,9}. 10.已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}，若全集U＝R，且A⊆∁U B，则a的取值范围为________.答案{a|a>－2}解析∁U B＝{x|x<a}，如图所示.因为A⊆∁U B，所以a>－2.三、解答题11.已知全集U＝R，A＝{x||3x－1|≤3}，B＝{x|}，求∁U(A∩B).解由|3x－1|≤3，则－3≤3x－1≤3，得－≤x≤.所以A＝{x|－≤x≤}.由得－<x<2.所以B＝{x|－<x<2}，A∩B＝{x|－<x≤}，所以∁U(A∩B)＝{x|x≤－或x>}.12.已知集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}.(1)分别求∁R(A∩B)，(∁R B)∪A；(2)已知C＝{x|a<x<a＋1}，若C⊆B，求实数a的取值范围. 解(1)∵A∩B＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}，∴∁R(A∩B)＝{x|x<3，或x≥6}.∁R B＝{x|x≤2，或x≥9}，又A＝{x|3≤x<6}，∴(∁R B)∪A＝{x|x≤2，或3≤x<6，或x≥9}.(2)∵C⊆B，∴解得2≤a≤8.故实数a的取值范围为{a|2≤a≤8}.13.已知A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}.(1)当m＝1时，求A∪B；(2)若B⊆∁R A，求实数m的取值范围.解(1)m＝1，B＝{x|1≤x＜4}，A∪B＝{x|－1＜x＜4}.(2)∁R A＝{x|x≤－1，或x＞3}.当B＝∅时，即m≥1＋3m，得m≤－，满足B⊆∁R A，当B≠∅时，要使B⊆∁R A成立，则或解得m＞3.综上可知，实数m的取值范围是.。

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第一章集合与函数概念
1.1 集合
1.1.3 集合的基本运算
第2课时补集及集合运算的综合应用
A级基础巩固
一、选择题
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤2x＋1<9}，则∁U A＝() A．{x|x<0或x>4}B．{x|x≤0或x>4}
C．{x|x≤0或x≥4} D．{x|x<0或x≥4}
解析：因为U＝R，A＝{x|0≤x<4}，
所以∁U A＝{x|x<0或x≥4}．
答案：D
2.已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥2}，则右图中阴影部分所表示的集合为()
A．{1} B．{0，1}
C．{1，2} D．{0，1，2}
解析：图中阴影部分所表示的集合为A∩(∁R B)，因为A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥2}，所以∁R B＝{x|x<2}，所以A∩(∁R B)＝{1}．答案：A
3．已知集合A＝{x∈R|－2<x<6}，B＝{x∈R|x<2}，则A∪(∁R B)
＝()
A．{x|x<6} B．{x|－2<x<2}
C．{x|x>－2} D．{x|2≤x<6}
解析：由B＝{x∈R|x<2}，得∁R B＝{x|x≥2}．又A＝{x∈R|－2<x<6}，所以A∪(∁R B)＝{x|x>－2}．
答案：C
4．设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则(∁R M)∩N＝()
A．{x|x<－2} B．{x|－2<x<1}
C．{x|x<1} D．{x|－2≤x<1}
解析：由题可知∁R M＝{x|x<－2或x>2}，
故(∁R M)∩N＝{x|x<－2}．
答案：A
5．已知S＝{x|x是平行四边形或梯形}，A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}．下列式子不成立的是() A．B∩C＝{x|x是正方形}
B．∁A B＝{x|x是邻边不相等的平行四边形}
C．∁S A＝{x|x是梯形}
D．A＝B∪C
解析：根据平行四边形和梯形的概念知，选项D错误．
答案：D
二、填空题
6．设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则∁U(A∩B)＝________．
解析：因为A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5}，所以A ∩B ＝{3}，故∁U (A ∩B )＝{1，2，4，5}．
答案：{1，2，4，5}
7．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，那么∁U A 的子集个数有________个．
解析：∁U A ＝{4，5}，子集有∅，{4}，{5}，{4，5}，共4个．答案：4
8．已知全集U ＝{2，4，a 2－a ＋1}，A ＝{a ＋1，2}，∁U A ＝{7}，则a ＝________．
解析：由∁U A ＝{7}，得4∈A ，故a ＋1＝4，即a ＝3，此时，U ＝{2，4，7}，满足A ⊆U ，故a ＝3.
答案：3
三、解答题
9．设全集是数集U ＝{2，3，a 2＋2a －3}，已知A ＝{b ，2}，∁U A ＝{5}，求实数a ，b 的值．
解：因为∁U A ＝{5}，所以5∈U 且5∉A .
又b ∈A ，所以b ∈U ，由此得⎩⎨⎧a 2＋2a －3＝5，b ＝3，
解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝3.
经检验都符合题意． 10．已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <a }，全集为实数集R.
(1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ；
(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．
解：(1)因为A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，
所以A∪B＝{x|2<x<10}．
因为A＝{x|3≤x<7}，
所以∁R A＝{x|x<3或x≥7}，
所以(∁R A)∩B＝{x|x<3或x≥7}∩{x|2<x<10}＝{x|2<x<3或7≤x<10}．
(2)如图所示，当a>3时，A∩C≠∅.
B级能力提升
1．已知全集U＝{－1，1，3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且∁U A ＝{－1}，则a的值是()
A．－1 B．1
C．3 D．±1
解析：因为U＝{－1，1，3}，∁U A＝{－1}，所以A＝{1，3}，又因为a2＋2≥2，所以a2＋2＝3且a＋2＝1，得a＝－1.
答案：A
2．已知集合A＝{0，2，4，6}，∁U A＝{－1，1，－3，3}，∁U B ＝{－1，0，2}，则集合B＝______________．
解析：∵∁U A＝{－1，1，－3，3}，
∴U＝{－1，1，0，2，4，6，－3，3}，
又∁U B＝{－1，0，2}，
∴B ＝{1，4，6，－3，3}．答案：{1，4，6，－3，3}
3．设全集U ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－13，5，－3，集合A ＝{x |3x 2＋px －5＝0}，B ＝{x |3x 2
＋10x ＋q ＝0}，且A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13.求∁U A ，∁U B . 解：因为A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－13，所以－13∈A 且－13∈B ，所以3⎝ ⎛⎭
⎪⎫－132－13p －5＝0， 3⎝ ⎛⎭
⎪⎫－132－13×10＋q ＝0，解得p ＝－14，q ＝3.
故A ＝{x |3x 2
－14x －5＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，5， B ＝{x |3x 2
＋10x ＋3＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，－3，所以∁U A ＝{－3}，∁U B ＝{5}．。

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